raw-angle from scale-rotated-ellipse

Percentage Accurate: 13.6% → 55.3%

Time: 54.6s

Alternatives: 14

Speedup: 26.0×

• could not determine a ground truth

  1. a = 1.4962999748905713e-18
  2. b = -10025732842.354559
  3. angle = -1.349639565315449e+118
  4. x-scale = 1.5024257449316292e-44
  5. y-scale = -3.5041096499135316e-284

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{angle}{180} \cdot \pi\\ t_1 := \cos t\_0\\ t_2 := \sin t\_0\\ t_3 := \frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot t\_2\right) \cdot t\_1}{x-scale}}{y-scale}\\ t_4 := \frac{\frac{{\left(a \cdot t\_1\right)}^{2} + {\left(b \cdot t\_2\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\\ t_5 := \frac{\frac{{\left(a \cdot t\_2\right)}^{2} + {\left(b \cdot t\_1\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\\ 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(t\_4 - t\_5\right) - \sqrt{{\left(t\_5 - t\_4\right)}^{2} + {t\_3}^{2}}}{t\_3}\right)}{\pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (/ angle 180.0) PI))
        (t_1 (cos t_0))
        (t_2 (sin t_0))
        (t_3
         (/
          (/ (* (* (* 2.0 (- (pow b 2.0) (pow a 2.0))) t_2) t_1) x-scale)
          y-scale))
        (t_4
         (/ (/ (+ (pow (* a t_1) 2.0) (pow (* b t_2) 2.0)) y-scale) y-scale))
        (t_5
         (/ (/ (+ (pow (* a t_2) 2.0) (pow (* b t_1) 2.0)) x-scale) x-scale)))
   (*
    180.0
    (/
     (atan
      (/ (- (- t_4 t_5) (sqrt (+ (pow (- t_5 t_4) 2.0) (pow t_3 2.0)))) t_3))
     PI))))

C

double code(double a, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = (angle / 180.0) * ((double) M_PI);
	double t_1 = cos(t_0);
	double t_2 = sin(t_0);
	double t_3 = ((((2.0 * (pow(b, 2.0) - pow(a, 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale;
	double t_4 = ((pow((a * t_1), 2.0) + pow((b * t_2), 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale;
	double t_5 = ((pow((a * t_2), 2.0) + pow((b * t_1), 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale;
	return 180.0 * (atan((((t_4 - t_5) - sqrt((pow((t_5 - t_4), 2.0) + pow(t_3, 2.0)))) / t_3)) / ((double) M_PI));
}

Java

public static double code(double a, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = (angle / 180.0) * Math.PI;
	double t_1 = Math.cos(t_0);
	double t_2 = Math.sin(t_0);
	double t_3 = ((((2.0 * (Math.pow(b, 2.0) - Math.pow(a, 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale;
	double t_4 = ((Math.pow((a * t_1), 2.0) + Math.pow((b * t_2), 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale;
	double t_5 = ((Math.pow((a * t_2), 2.0) + Math.pow((b * t_1), 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale;
	return 180.0 * (Math.atan((((t_4 - t_5) - Math.sqrt((Math.pow((t_5 - t_4), 2.0) + Math.pow(t_3, 2.0)))) / t_3)) / Math.PI);
}

Python

def code(a, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = (angle / 180.0) * math.pi
	t_1 = math.cos(t_0)
	t_2 = math.sin(t_0)
	t_3 = ((((2.0 * (math.pow(b, 2.0) - math.pow(a, 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale
	t_4 = ((math.pow((a * t_1), 2.0) + math.pow((b * t_2), 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale
	t_5 = ((math.pow((a * t_2), 2.0) + math.pow((b * t_1), 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale
	return 180.0 * (math.atan((((t_4 - t_5) - math.sqrt((math.pow((t_5 - t_4), 2.0) + math.pow(t_3, 2.0)))) / t_3)) / math.pi)

Julia

function code(a, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(Float64(angle / 180.0) * pi)
	t_1 = cos(t_0)
	t_2 = sin(t_0)
	t_3 = Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(2.0 * Float64((b ^ 2.0) - (a ^ 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale)
	t_4 = Float64(Float64(Float64((Float64(a * t_1) ^ 2.0) + (Float64(b * t_2) ^ 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale)
	t_5 = Float64(Float64(Float64((Float64(a * t_2) ^ 2.0) + (Float64(b * t_1) ^ 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale)
	return Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(Float64(Float64(t_4 - t_5) - sqrt(Float64((Float64(t_5 - t_4) ^ 2.0) + (t_3 ^ 2.0)))) / t_3)) / pi))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = (angle / 180.0) * pi;
	t_1 = cos(t_0);
	t_2 = sin(t_0);
	t_3 = ((((2.0 * ((b ^ 2.0) - (a ^ 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale;
	t_4 = ((((a * t_1) ^ 2.0) + ((b * t_2) ^ 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale;
	t_5 = ((((a * t_2) ^ 2.0) + ((b * t_1) ^ 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale;
	tmp = 180.0 * (atan((((t_4 - t_5) - sqrt((((t_5 - t_4) ^ 2.0) + (t_3 ^ 2.0)))) / t_3)) / pi);
end

Wolfram

code[a_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(angle / 180.0), $MachinePrecision] * Pi), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(N[(N[(N[(2.0 * N[(N[Power[b, 2.0], $MachinePrecision] - N[Power[a, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision] / y$45$scale), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(N[(N[Power[N[(a * t$95$1), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[N[(b * t$95$2), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / y$45$scale), $MachinePrecision] / y$45$scale), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[(N[(N[Power[N[(a * t$95$2), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[N[(b * t$95$1), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision]}, N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(N[(N[(t$95$4 - t$95$5), $MachinePrecision] - N[Sqrt[N[(N[Power[N[(t$95$5 - t$95$4), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[t$95$3, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$3), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Initial Program: 13.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{angle}{180} \cdot \pi\\ t_1 := \cos t\_0\\ t_2 := \sin t\_0\\ t_3 := \frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot t\_2\right) \cdot t\_1}{x-scale}}{y-scale}\\ t_4 := \frac{\frac{{\left(a \cdot t\_1\right)}^{2} + {\left(b \cdot t\_2\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\\ t_5 := \frac{\frac{{\left(a \cdot t\_2\right)}^{2} + {\left(b \cdot t\_1\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\\ 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(t\_4 - t\_5\right) - \sqrt{{\left(t\_5 - t\_4\right)}^{2} + {t\_3}^{2}}}{t\_3}\right)}{\pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (/ angle 180.0) PI))
        (t_1 (cos t_0))
        (t_2 (sin t_0))
        (t_3
         (/
          (/ (* (* (* 2.0 (- (pow b 2.0) (pow a 2.0))) t_2) t_1) x-scale)
          y-scale))
        (t_4
         (/ (/ (+ (pow (* a t_1) 2.0) (pow (* b t_2) 2.0)) y-scale) y-scale))
        (t_5
         (/ (/ (+ (pow (* a t_2) 2.0) (pow (* b t_1) 2.0)) x-scale) x-scale)))
   (*
    180.0
    (/
     (atan
      (/ (- (- t_4 t_5) (sqrt (+ (pow (- t_5 t_4) 2.0) (pow t_3 2.0)))) t_3))
     PI))))

C

double code(double a, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = (angle / 180.0) * ((double) M_PI);
	double t_1 = cos(t_0);
	double t_2 = sin(t_0);
	double t_3 = ((((2.0 * (pow(b, 2.0) - pow(a, 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale;
	double t_4 = ((pow((a * t_1), 2.0) + pow((b * t_2), 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale;
	double t_5 = ((pow((a * t_2), 2.0) + pow((b * t_1), 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale;
	return 180.0 * (atan((((t_4 - t_5) - sqrt((pow((t_5 - t_4), 2.0) + pow(t_3, 2.0)))) / t_3)) / ((double) M_PI));
}

Java

public static double code(double a, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = (angle / 180.0) * Math.PI;
	double t_1 = Math.cos(t_0);
	double t_2 = Math.sin(t_0);
	double t_3 = ((((2.0 * (Math.pow(b, 2.0) - Math.pow(a, 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale;
	double t_4 = ((Math.pow((a * t_1), 2.0) + Math.pow((b * t_2), 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale;
	double t_5 = ((Math.pow((a * t_2), 2.0) + Math.pow((b * t_1), 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale;
	return 180.0 * (Math.atan((((t_4 - t_5) - Math.sqrt((Math.pow((t_5 - t_4), 2.0) + Math.pow(t_3, 2.0)))) / t_3)) / Math.PI);
}

Python

def code(a, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = (angle / 180.0) * math.pi
	t_1 = math.cos(t_0)
	t_2 = math.sin(t_0)
	t_3 = ((((2.0 * (math.pow(b, 2.0) - math.pow(a, 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale
	t_4 = ((math.pow((a * t_1), 2.0) + math.pow((b * t_2), 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale
	t_5 = ((math.pow((a * t_2), 2.0) + math.pow((b * t_1), 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale
	return 180.0 * (math.atan((((t_4 - t_5) - math.sqrt((math.pow((t_5 - t_4), 2.0) + math.pow(t_3, 2.0)))) / t_3)) / math.pi)

Julia

function code(a, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(Float64(angle / 180.0) * pi)
	t_1 = cos(t_0)
	t_2 = sin(t_0)
	t_3 = Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(2.0 * Float64((b ^ 2.0) - (a ^ 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale)
	t_4 = Float64(Float64(Float64((Float64(a * t_1) ^ 2.0) + (Float64(b * t_2) ^ 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale)
	t_5 = Float64(Float64(Float64((Float64(a * t_2) ^ 2.0) + (Float64(b * t_1) ^ 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale)
	return Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(Float64(Float64(t_4 - t_5) - sqrt(Float64((Float64(t_5 - t_4) ^ 2.0) + (t_3 ^ 2.0)))) / t_3)) / pi))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = (angle / 180.0) * pi;
	t_1 = cos(t_0);
	t_2 = sin(t_0);
	t_3 = ((((2.0 * ((b ^ 2.0) - (a ^ 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale;
	t_4 = ((((a * t_1) ^ 2.0) + ((b * t_2) ^ 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale;
	t_5 = ((((a * t_2) ^ 2.0) + ((b * t_1) ^ 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale;
	tmp = 180.0 * (atan((((t_4 - t_5) - sqrt((((t_5 - t_4) ^ 2.0) + (t_3 ^ 2.0)))) / t_3)) / pi);
end

Wolfram

code[a_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(angle / 180.0), $MachinePrecision] * Pi), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(N[(N[(N[(2.0 * N[(N[Power[b, 2.0], $MachinePrecision] - N[Power[a, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision] / y$45$scale), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(N[(N[Power[N[(a * t$95$1), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[N[(b * t$95$2), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / y$45$scale), $MachinePrecision] / y$45$scale), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[(N[(N[Power[N[(a * t$95$2), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[N[(b * t$95$1), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision]}, N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(N[(N[(t$95$4 - t$95$5), $MachinePrecision] - N[Sqrt[N[(N[Power[N[(t$95$5 - t$95$4), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[t$95$3, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$3), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Alternative 1: 55.3% accurate, 2.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\\ t_1 := \cos t\_0\\ t_2 := {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\pi}}\right)}^{3}\\ t_3 := \sin t\_0\\ \mathbf{if}\;a\_m \leq 1.3 \cdot 10^{-84}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot t\_1}{t\_3 \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;a\_m \leq 6 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({t\_1}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \left(t\_2 \cdot t\_2\right)\right)\right)}^{2} \cdot \left(a\_m \cdot a\_m\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(t\_1 \cdot \left(t\_3 \cdot \left(b \cdot b - a\_m \cdot a\_m\right)\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot t\_3}{x-scale \cdot \cos \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot angle\right)\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.005555555555555556 (* angle PI)))
        (t_1 (cos t_0))
        (t_2 (pow (cbrt (sqrt PI)) 3.0))
        (t_3 (sin t_0)))
   (if (<= a_m 1.3e-84)
     (/ (* 180.0 (atan (/ (* y-scale t_1) (* t_3 (- 0.0 x-scale))))) PI)
     (if (<= a_m 6e-6)
       (/
        (*
         180.0
         (atan
          (/
           (*
            -0.5
            (*
             y-scale
             (*
              2.0
              (+
               (* (pow t_1 2.0) (* b b))
               (*
                (pow (sin (* 0.005555555555555556 (* angle (* t_2 t_2)))) 2.0)
                (* a_m a_m))))))
           (* x-scale (* t_1 (* t_3 (- (* b b) (* a_m a_m))))))))
        PI)
       (/
        (*
         180.0
         (atan
          (/
           (* y-scale t_3)
           (*
            x-scale
            (cos
             (* (sqrt PI) (* (sqrt PI) (* 0.005555555555555556 angle))))))))
        PI)))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI));
	double t_1 = cos(t_0);
	double t_2 = pow(cbrt(sqrt(((double) M_PI))), 3.0);
	double t_3 = sin(t_0);
	double tmp;
	if (a_m <= 1.3e-84) {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_1) / (t_3 * (0.0 - x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	} else if (a_m <= 6e-6) {
		tmp = (180.0 * atan(((-0.5 * (y_45_scale * (2.0 * ((pow(t_1, 2.0) * (b * b)) + (pow(sin((0.005555555555555556 * (angle * (t_2 * t_2)))), 2.0) * (a_m * a_m)))))) / (x_45_scale * (t_1 * (t_3 * ((b * b) - (a_m * a_m)))))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_3) / (x_45_scale * cos((sqrt(((double) M_PI)) * (sqrt(((double) M_PI)) * (0.005555555555555556 * angle)))))))) / ((double) M_PI);
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * Math.PI);
	double t_1 = Math.cos(t_0);
	double t_2 = Math.pow(Math.cbrt(Math.sqrt(Math.PI)), 3.0);
	double t_3 = Math.sin(t_0);
	double tmp;
	if (a_m <= 1.3e-84) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale * t_1) / (t_3 * (0.0 - x_45_scale))))) / Math.PI;
	} else if (a_m <= 6e-6) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((-0.5 * (y_45_scale * (2.0 * ((Math.pow(t_1, 2.0) * (b * b)) + (Math.pow(Math.sin((0.005555555555555556 * (angle * (t_2 * t_2)))), 2.0) * (a_m * a_m)))))) / (x_45_scale * (t_1 * (t_3 * ((b * b) - (a_m * a_m)))))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale * t_3) / (x_45_scale * Math.cos((Math.sqrt(Math.PI) * (Math.sqrt(Math.PI) * (0.005555555555555556 * angle)))))))) / Math.PI;
	}
	return tmp;
}

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi))
	t_1 = cos(t_0)
	t_2 = cbrt(sqrt(pi)) ^ 3.0
	t_3 = sin(t_0)
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 1.3e-84)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale * t_1) / Float64(t_3 * Float64(0.0 - x_45_scale))))) / pi);
	elseif (a_m <= 6e-6)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(-0.5 * Float64(y_45_scale * Float64(2.0 * Float64(Float64((t_1 ^ 2.0) * Float64(b * b)) + Float64((sin(Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * Float64(t_2 * t_2)))) ^ 2.0) * Float64(a_m * a_m)))))) / Float64(x_45_scale * Float64(t_1 * Float64(t_3 * Float64(Float64(b * b) - Float64(a_m * a_m)))))))) / pi);
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale * t_3) / Float64(x_45_scale * cos(Float64(sqrt(pi) * Float64(sqrt(pi) * Float64(0.005555555555555556 * angle)))))))) / pi);
	end
	return tmp
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Power[N[Power[N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[a$95$m, 1.3e-84], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * t$95$1), $MachinePrecision] / N[(t$95$3 * N[(0.0 - x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], If[LessEqual[a$95$m, 6e-6], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(-0.5 * N[(y$45$scale * N[(2.0 * N[(N[(N[Power[t$95$1, 2.0], $MachinePrecision] * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[Sin[N[(0.005555555555555556 * N[(angle * N[(t$95$2 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] * N[(a$95$m * a$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x$45$scale * N[(t$95$1 * N[(t$95$3 * N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(a$95$m * a$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * t$95$3), $MachinePrecision] / N[(x$45$scale * N[Cos[N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[(0.005555555555555556 * angle), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if a < 1.3e-84

   1. Initial program 17.7%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 15.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 32.6%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. add-cbrt-cube N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\sqrt[3]{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 33.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 33.6%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}}\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}{\pi} \]

   10. Taylor expanded in b around inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       12. sin-lowering-sin.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f64 46.2%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Simplified 46.2%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot x-scale}\right)}}{\pi} \]

   if 1.3e-84 < a < 6.0000000000000002e-6

   1. Initial program 32.0%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 32.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 62.1%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. add-cube-cbrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. pow3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. add-sqr-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. cbrt-prod N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. unpow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right), \left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), 3\right), \left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), 3\right), \left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), 3\right), \left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), 3\right), \left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), 3\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), 3\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f64 62.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), 3\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), 3\right)\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 62.2%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\pi}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\pi}}\right)}^{3}\right)}\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}{\pi} \]

   if 6.0000000000000002e-6 < a

   1. Initial program 8.0%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 4.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 26.3%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 62.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 62.9%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. add-sqr-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 64.6%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 64.6%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(\left(0.005555555555555556 \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\pi}\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)}}\right)}{\pi} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 51.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 1.3 \cdot 10^{-84}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;a \leq 6 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \left({\left(\sqrt[3]{\sqrt{\pi}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{\pi}}\right)}^{3}\right)\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot angle\right)\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 55.3% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\\ t_1 := \cos t\_0\\ t_2 := \sin t\_0\\ \mathbf{if}\;a\_m \leq 4 \cdot 10^{-84}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot t\_1}{t\_2 \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;a\_m \leq 6 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({t\_1}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + \left(a\_m \cdot a\_m\right) \cdot {t\_2}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(t\_1 \cdot \left(t\_2 \cdot \left(b \cdot b - a\_m \cdot a\_m\right)\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot t\_2}{x-scale \cdot \cos \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot angle\right)\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.005555555555555556 (* angle PI)))
        (t_1 (cos t_0))
        (t_2 (sin t_0)))
   (if (<= a_m 4e-84)
     (/ (* 180.0 (atan (/ (* y-scale t_1) (* t_2 (- 0.0 x-scale))))) PI)
     (if (<= a_m 6e-6)
       (/
        (*
         180.0
         (atan
          (/
           (*
            -0.5
            (*
             y-scale
             (*
              2.0
              (+ (* (pow t_1 2.0) (* b b)) (* (* a_m a_m) (pow t_2 2.0))))))
           (* x-scale (* t_1 (* t_2 (- (* b b) (* a_m a_m))))))))
        PI)
       (/
        (*
         180.0
         (atan
          (/
           (* y-scale t_2)
           (*
            x-scale
            (cos
             (* (sqrt PI) (* (sqrt PI) (* 0.005555555555555556 angle))))))))
        PI)))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI));
	double t_1 = cos(t_0);
	double t_2 = sin(t_0);
	double tmp;
	if (a_m <= 4e-84) {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_1) / (t_2 * (0.0 - x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	} else if (a_m <= 6e-6) {
		tmp = (180.0 * atan(((-0.5 * (y_45_scale * (2.0 * ((pow(t_1, 2.0) * (b * b)) + ((a_m * a_m) * pow(t_2, 2.0)))))) / (x_45_scale * (t_1 * (t_2 * ((b * b) - (a_m * a_m)))))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_2) / (x_45_scale * cos((sqrt(((double) M_PI)) * (sqrt(((double) M_PI)) * (0.005555555555555556 * angle)))))))) / ((double) M_PI);
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * Math.PI);
	double t_1 = Math.cos(t_0);
	double t_2 = Math.sin(t_0);
	double tmp;
	if (a_m <= 4e-84) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale * t_1) / (t_2 * (0.0 - x_45_scale))))) / Math.PI;
	} else if (a_m <= 6e-6) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((-0.5 * (y_45_scale * (2.0 * ((Math.pow(t_1, 2.0) * (b * b)) + ((a_m * a_m) * Math.pow(t_2, 2.0)))))) / (x_45_scale * (t_1 * (t_2 * ((b * b) - (a_m * a_m)))))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale * t_2) / (x_45_scale * Math.cos((Math.sqrt(Math.PI) * (Math.sqrt(Math.PI) * (0.005555555555555556 * angle)))))))) / Math.PI;
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * math.pi)
	t_1 = math.cos(t_0)
	t_2 = math.sin(t_0)
	tmp = 0
	if a_m <= 4e-84:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale * t_1) / (t_2 * (0.0 - x_45_scale))))) / math.pi
	elif a_m <= 6e-6:
		tmp = (180.0 * math.atan(((-0.5 * (y_45_scale * (2.0 * ((math.pow(t_1, 2.0) * (b * b)) + ((a_m * a_m) * math.pow(t_2, 2.0)))))) / (x_45_scale * (t_1 * (t_2 * ((b * b) - (a_m * a_m)))))))) / math.pi
	else:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale * t_2) / (x_45_scale * math.cos((math.sqrt(math.pi) * (math.sqrt(math.pi) * (0.005555555555555556 * angle)))))))) / math.pi
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi))
	t_1 = cos(t_0)
	t_2 = sin(t_0)
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 4e-84)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale * t_1) / Float64(t_2 * Float64(0.0 - x_45_scale))))) / pi);
	elseif (a_m <= 6e-6)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(-0.5 * Float64(y_45_scale * Float64(2.0 * Float64(Float64((t_1 ^ 2.0) * Float64(b * b)) + Float64(Float64(a_m * a_m) * (t_2 ^ 2.0)))))) / Float64(x_45_scale * Float64(t_1 * Float64(t_2 * Float64(Float64(b * b) - Float64(a_m * a_m)))))))) / pi);
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale * t_2) / Float64(x_45_scale * cos(Float64(sqrt(pi) * Float64(sqrt(pi) * Float64(0.005555555555555556 * angle)))))))) / pi);
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * pi);
	t_1 = cos(t_0);
	t_2 = sin(t_0);
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 4e-84)
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_1) / (t_2 * (0.0 - x_45_scale))))) / pi;
	elseif (a_m <= 6e-6)
		tmp = (180.0 * atan(((-0.5 * (y_45_scale * (2.0 * (((t_1 ^ 2.0) * (b * b)) + ((a_m * a_m) * (t_2 ^ 2.0)))))) / (x_45_scale * (t_1 * (t_2 * ((b * b) - (a_m * a_m)))))))) / pi;
	else
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_2) / (x_45_scale * cos((sqrt(pi) * (sqrt(pi) * (0.005555555555555556 * angle)))))))) / pi;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[a$95$m, 4e-84], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * t$95$1), $MachinePrecision] / N[(t$95$2 * N[(0.0 - x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], If[LessEqual[a$95$m, 6e-6], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(-0.5 * N[(y$45$scale * N[(2.0 * N[(N[(N[Power[t$95$1, 2.0], $MachinePrecision] * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(a$95$m * a$95$m), $MachinePrecision] * N[Power[t$95$2, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x$45$scale * N[(t$95$1 * N[(t$95$2 * N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(a$95$m * a$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * t$95$2), $MachinePrecision] / N[(x$45$scale * N[Cos[N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[(0.005555555555555556 * angle), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if a < 4.0000000000000001e-84

   1. Initial program 17.7%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 15.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 32.6%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. add-cbrt-cube N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\sqrt[3]{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 33.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 33.6%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}}\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}{\pi} \]

   10. Taylor expanded in b around inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       12. sin-lowering-sin.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f64 46.2%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Simplified 46.2%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot x-scale}\right)}}{\pi} \]

   if 4.0000000000000001e-84 < a < 6.0000000000000002e-6

   1. Initial program 32.0%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 32.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 62.1%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   if 6.0000000000000002e-6 < a

   1. Initial program 8.0%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 4.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 26.3%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 62.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 62.9%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. add-sqr-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 64.6%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 64.6%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(\left(0.005555555555555556 \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\pi}\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)}}\right)}{\pi} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 51.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 4 \cdot 10^{-84}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;a \leq 6 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + \left(a \cdot a\right) \cdot {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot angle\right)\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 55.3% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\\ t_1 := \cos t\_0\\ t_2 := \sin t\_0\\ \mathbf{if}\;a\_m \leq 3.4 \cdot 10^{-84}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot t\_1}{t\_2 \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;a\_m \leq 6.8 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({t\_1}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + \left(a\_m \cdot a\_m\right) \cdot {t\_2}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(t\_1 \cdot \left(t\_2 \cdot \left(b \cdot b - a\_m \cdot a\_m\right)\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot t\_2}{x-scale \cdot \cos \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot angle\right)\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.005555555555555556 (* angle PI)))
        (t_1 (cos t_0))
        (t_2 (sin t_0)))
   (if (<= a_m 3.4e-84)
     (/ (* 180.0 (atan (/ (* y-scale t_1) (* t_2 (- 0.0 x-scale))))) PI)
     (if (<= a_m 6.8e-6)
       (*
        180.0
        (/
         (atan
          (/
           (*
            -0.5
            (*
             y-scale
             (*
              2.0
              (+ (* (pow t_1 2.0) (* b b)) (* (* a_m a_m) (pow t_2 2.0))))))
           (* x-scale (* t_1 (* t_2 (- (* b b) (* a_m a_m)))))))
         PI))
       (/
        (*
         180.0
         (atan
          (/
           (* y-scale t_2)
           (*
            x-scale
            (cos
             (* (sqrt PI) (* (sqrt PI) (* 0.005555555555555556 angle))))))))
        PI)))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI));
	double t_1 = cos(t_0);
	double t_2 = sin(t_0);
	double tmp;
	if (a_m <= 3.4e-84) {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_1) / (t_2 * (0.0 - x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	} else if (a_m <= 6.8e-6) {
		tmp = 180.0 * (atan(((-0.5 * (y_45_scale * (2.0 * ((pow(t_1, 2.0) * (b * b)) + ((a_m * a_m) * pow(t_2, 2.0)))))) / (x_45_scale * (t_1 * (t_2 * ((b * b) - (a_m * a_m))))))) / ((double) M_PI));
	} else {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_2) / (x_45_scale * cos((sqrt(((double) M_PI)) * (sqrt(((double) M_PI)) * (0.005555555555555556 * angle)))))))) / ((double) M_PI);
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * Math.PI);
	double t_1 = Math.cos(t_0);
	double t_2 = Math.sin(t_0);
	double tmp;
	if (a_m <= 3.4e-84) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale * t_1) / (t_2 * (0.0 - x_45_scale))))) / Math.PI;
	} else if (a_m <= 6.8e-6) {
		tmp = 180.0 * (Math.atan(((-0.5 * (y_45_scale * (2.0 * ((Math.pow(t_1, 2.0) * (b * b)) + ((a_m * a_m) * Math.pow(t_2, 2.0)))))) / (x_45_scale * (t_1 * (t_2 * ((b * b) - (a_m * a_m))))))) / Math.PI);
	} else {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale * t_2) / (x_45_scale * Math.cos((Math.sqrt(Math.PI) * (Math.sqrt(Math.PI) * (0.005555555555555556 * angle)))))))) / Math.PI;
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * math.pi)
	t_1 = math.cos(t_0)
	t_2 = math.sin(t_0)
	tmp = 0
	if a_m <= 3.4e-84:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale * t_1) / (t_2 * (0.0 - x_45_scale))))) / math.pi
	elif a_m <= 6.8e-6:
		tmp = 180.0 * (math.atan(((-0.5 * (y_45_scale * (2.0 * ((math.pow(t_1, 2.0) * (b * b)) + ((a_m * a_m) * math.pow(t_2, 2.0)))))) / (x_45_scale * (t_1 * (t_2 * ((b * b) - (a_m * a_m))))))) / math.pi)
	else:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale * t_2) / (x_45_scale * math.cos((math.sqrt(math.pi) * (math.sqrt(math.pi) * (0.005555555555555556 * angle)))))))) / math.pi
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi))
	t_1 = cos(t_0)
	t_2 = sin(t_0)
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 3.4e-84)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale * t_1) / Float64(t_2 * Float64(0.0 - x_45_scale))))) / pi);
	elseif (a_m <= 6.8e-6)
		tmp = Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(Float64(-0.5 * Float64(y_45_scale * Float64(2.0 * Float64(Float64((t_1 ^ 2.0) * Float64(b * b)) + Float64(Float64(a_m * a_m) * (t_2 ^ 2.0)))))) / Float64(x_45_scale * Float64(t_1 * Float64(t_2 * Float64(Float64(b * b) - Float64(a_m * a_m))))))) / pi));
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale * t_2) / Float64(x_45_scale * cos(Float64(sqrt(pi) * Float64(sqrt(pi) * Float64(0.005555555555555556 * angle)))))))) / pi);
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * pi);
	t_1 = cos(t_0);
	t_2 = sin(t_0);
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 3.4e-84)
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_1) / (t_2 * (0.0 - x_45_scale))))) / pi;
	elseif (a_m <= 6.8e-6)
		tmp = 180.0 * (atan(((-0.5 * (y_45_scale * (2.0 * (((t_1 ^ 2.0) * (b * b)) + ((a_m * a_m) * (t_2 ^ 2.0)))))) / (x_45_scale * (t_1 * (t_2 * ((b * b) - (a_m * a_m))))))) / pi);
	else
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_2) / (x_45_scale * cos((sqrt(pi) * (sqrt(pi) * (0.005555555555555556 * angle)))))))) / pi;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[a$95$m, 3.4e-84], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * t$95$1), $MachinePrecision] / N[(t$95$2 * N[(0.0 - x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], If[LessEqual[a$95$m, 6.8e-6], N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(N[(-0.5 * N[(y$45$scale * N[(2.0 * N[(N[(N[Power[t$95$1, 2.0], $MachinePrecision] * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(a$95$m * a$95$m), $MachinePrecision] * N[Power[t$95$2, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x$45$scale * N[(t$95$1 * N[(t$95$2 * N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(a$95$m * a$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * t$95$2), $MachinePrecision] / N[(x$45$scale * N[Cos[N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[(0.005555555555555556 * angle), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if a < 3.40000000000000021e-84

   1. Initial program 17.7%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 15.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 32.6%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. add-cbrt-cube N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\sqrt[3]{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 33.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 33.6%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}}\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}{\pi} \]

   10. Taylor expanded in b around inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       12. sin-lowering-sin.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f64 46.2%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Simplified 46.2%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot x-scale}\right)}}{\pi} \]

   if 3.40000000000000021e-84 < a < 6.80000000000000012e-6

   1. Initial program 32.0%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 62.1%

      \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   if 6.80000000000000012e-6 < a

   1. Initial program 8.0%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 4.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 26.3%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 62.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 62.9%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. add-sqr-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 64.6%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 64.6%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(\left(0.005555555555555556 \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\pi}\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)}}\right)}{\pi} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 51.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 3.4 \cdot 10^{-84}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;a \leq 6.8 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + \left(a \cdot a\right) \cdot {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot angle\right)\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 55.3% accurate, 5.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\\ t_1 := \cos t\_0\\ t_2 := \sin t\_0\\ \mathbf{if}\;a\_m \leq 1.15 \cdot 10^{-84}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot t\_1}{t\_2 \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;a\_m \leq 5.8 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left(b \cdot b + \left(a\_m \cdot a\_m\right) \cdot {t\_2}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(t\_1 \cdot \left(t\_2 \cdot \left(b \cdot b - a\_m \cdot a\_m\right)\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot t\_2}{x-scale \cdot \cos \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot angle\right)\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.005555555555555556 (* angle PI)))
        (t_1 (cos t_0))
        (t_2 (sin t_0)))
   (if (<= a_m 1.15e-84)
     (/ (* 180.0 (atan (/ (* y-scale t_1) (* t_2 (- 0.0 x-scale))))) PI)
     (if (<= a_m 5.8e-6)
       (/
        (*
         180.0
         (atan
          (/
           (*
            -0.5
            (* y-scale (* 2.0 (+ (* b b) (* (* a_m a_m) (pow t_2 2.0))))))
           (* x-scale (* t_1 (* t_2 (- (* b b) (* a_m a_m))))))))
        PI)
       (/
        (*
         180.0
         (atan
          (/
           (* y-scale t_2)
           (*
            x-scale
            (cos
             (* (sqrt PI) (* (sqrt PI) (* 0.005555555555555556 angle))))))))
        PI)))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI));
	double t_1 = cos(t_0);
	double t_2 = sin(t_0);
	double tmp;
	if (a_m <= 1.15e-84) {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_1) / (t_2 * (0.0 - x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	} else if (a_m <= 5.8e-6) {
		tmp = (180.0 * atan(((-0.5 * (y_45_scale * (2.0 * ((b * b) + ((a_m * a_m) * pow(t_2, 2.0)))))) / (x_45_scale * (t_1 * (t_2 * ((b * b) - (a_m * a_m)))))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_2) / (x_45_scale * cos((sqrt(((double) M_PI)) * (sqrt(((double) M_PI)) * (0.005555555555555556 * angle)))))))) / ((double) M_PI);
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * Math.PI);
	double t_1 = Math.cos(t_0);
	double t_2 = Math.sin(t_0);
	double tmp;
	if (a_m <= 1.15e-84) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale * t_1) / (t_2 * (0.0 - x_45_scale))))) / Math.PI;
	} else if (a_m <= 5.8e-6) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((-0.5 * (y_45_scale * (2.0 * ((b * b) + ((a_m * a_m) * Math.pow(t_2, 2.0)))))) / (x_45_scale * (t_1 * (t_2 * ((b * b) - (a_m * a_m)))))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale * t_2) / (x_45_scale * Math.cos((Math.sqrt(Math.PI) * (Math.sqrt(Math.PI) * (0.005555555555555556 * angle)))))))) / Math.PI;
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * math.pi)
	t_1 = math.cos(t_0)
	t_2 = math.sin(t_0)
	tmp = 0
	if a_m <= 1.15e-84:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale * t_1) / (t_2 * (0.0 - x_45_scale))))) / math.pi
	elif a_m <= 5.8e-6:
		tmp = (180.0 * math.atan(((-0.5 * (y_45_scale * (2.0 * ((b * b) + ((a_m * a_m) * math.pow(t_2, 2.0)))))) / (x_45_scale * (t_1 * (t_2 * ((b * b) - (a_m * a_m)))))))) / math.pi
	else:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale * t_2) / (x_45_scale * math.cos((math.sqrt(math.pi) * (math.sqrt(math.pi) * (0.005555555555555556 * angle)))))))) / math.pi
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi))
	t_1 = cos(t_0)
	t_2 = sin(t_0)
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 1.15e-84)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale * t_1) / Float64(t_2 * Float64(0.0 - x_45_scale))))) / pi);
	elseif (a_m <= 5.8e-6)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(-0.5 * Float64(y_45_scale * Float64(2.0 * Float64(Float64(b * b) + Float64(Float64(a_m * a_m) * (t_2 ^ 2.0)))))) / Float64(x_45_scale * Float64(t_1 * Float64(t_2 * Float64(Float64(b * b) - Float64(a_m * a_m)))))))) / pi);
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale * t_2) / Float64(x_45_scale * cos(Float64(sqrt(pi) * Float64(sqrt(pi) * Float64(0.005555555555555556 * angle)))))))) / pi);
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * pi);
	t_1 = cos(t_0);
	t_2 = sin(t_0);
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 1.15e-84)
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_1) / (t_2 * (0.0 - x_45_scale))))) / pi;
	elseif (a_m <= 5.8e-6)
		tmp = (180.0 * atan(((-0.5 * (y_45_scale * (2.0 * ((b * b) + ((a_m * a_m) * (t_2 ^ 2.0)))))) / (x_45_scale * (t_1 * (t_2 * ((b * b) - (a_m * a_m)))))))) / pi;
	else
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_2) / (x_45_scale * cos((sqrt(pi) * (sqrt(pi) * (0.005555555555555556 * angle)))))))) / pi;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[a$95$m, 1.15e-84], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * t$95$1), $MachinePrecision] / N[(t$95$2 * N[(0.0 - x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], If[LessEqual[a$95$m, 5.8e-6], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(-0.5 * N[(y$45$scale * N[(2.0 * N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(N[(a$95$m * a$95$m), $MachinePrecision] * N[Power[t$95$2, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x$45$scale * N[(t$95$1 * N[(t$95$2 * N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(a$95$m * a$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * t$95$2), $MachinePrecision] / N[(x$45$scale * N[Cos[N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[(0.005555555555555556 * angle), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if a < 1.1499999999999999e-84

   1. Initial program 17.7%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 15.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 32.6%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. add-cbrt-cube N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\sqrt[3]{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 33.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 33.6%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}}\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}{\pi} \]

   10. Taylor expanded in b around inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       12. sin-lowering-sin.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f64 46.2%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Simplified 46.2%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot x-scale}\right)}}{\pi} \]

   if 1.1499999999999999e-84 < a < 5.8000000000000004e-6

   1. Initial program 32.0%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 32.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 62.1%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{1}, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 61.9%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\color{blue}{1}}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}{\pi} \]

   if 5.8000000000000004e-6 < a

   1. Initial program 8.0%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 4.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 26.3%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 62.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 62.9%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. add-sqr-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 64.6%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 64.6%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(\left(0.005555555555555556 \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\pi}\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)}}\right)}{\pi} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 51.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 1.15 \cdot 10^{-84}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;a \leq 5.8 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left(b \cdot b + \left(a \cdot a\right) \cdot {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot angle\right)\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 54.4% accurate, 5.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\\ t_1 := \sin t\_0\\ \mathbf{if}\;a\_m \leq 3.6 \cdot 10^{-128}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \cos t\_0}{t\_1 \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot t\_1}{x-scale \cdot \cos \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot angle\right)\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.005555555555555556 (* angle PI))) (t_1 (sin t_0)))
   (if (<= a_m 3.6e-128)
     (/ (* 180.0 (atan (/ (* y-scale (cos t_0)) (* t_1 (- 0.0 x-scale))))) PI)
     (/
      (*
       180.0
       (atan
        (/
         (* y-scale t_1)
         (*
          x-scale
          (cos (* (sqrt PI) (* (sqrt PI) (* 0.005555555555555556 angle))))))))
      PI))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI));
	double t_1 = sin(t_0);
	double tmp;
	if (a_m <= 3.6e-128) {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * cos(t_0)) / (t_1 * (0.0 - x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_1) / (x_45_scale * cos((sqrt(((double) M_PI)) * (sqrt(((double) M_PI)) * (0.005555555555555556 * angle)))))))) / ((double) M_PI);
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * Math.PI);
	double t_1 = Math.sin(t_0);
	double tmp;
	if (a_m <= 3.6e-128) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale * Math.cos(t_0)) / (t_1 * (0.0 - x_45_scale))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale * t_1) / (x_45_scale * Math.cos((Math.sqrt(Math.PI) * (Math.sqrt(Math.PI) * (0.005555555555555556 * angle)))))))) / Math.PI;
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * math.pi)
	t_1 = math.sin(t_0)
	tmp = 0
	if a_m <= 3.6e-128:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale * math.cos(t_0)) / (t_1 * (0.0 - x_45_scale))))) / math.pi
	else:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale * t_1) / (x_45_scale * math.cos((math.sqrt(math.pi) * (math.sqrt(math.pi) * (0.005555555555555556 * angle)))))))) / math.pi
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi))
	t_1 = sin(t_0)
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 3.6e-128)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale * cos(t_0)) / Float64(t_1 * Float64(0.0 - x_45_scale))))) / pi);
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale * t_1) / Float64(x_45_scale * cos(Float64(sqrt(pi) * Float64(sqrt(pi) * Float64(0.005555555555555556 * angle)))))))) / pi);
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * pi);
	t_1 = sin(t_0);
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 3.6e-128)
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * cos(t_0)) / (t_1 * (0.0 - x_45_scale))))) / pi;
	else
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_1) / (x_45_scale * cos((sqrt(pi) * (sqrt(pi) * (0.005555555555555556 * angle)))))))) / pi;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[a$95$m, 3.6e-128], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$1 * N[(0.0 - x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * t$95$1), $MachinePrecision] / N[(x$45$scale * N[Cos[N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[(0.005555555555555556 * angle), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 3.60000000000000025e-128

   1. Initial program 17.0%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 15.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 33.2%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. add-cbrt-cube N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\sqrt[3]{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 33.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 33.7%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}}\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}{\pi} \]

   10. Taylor expanded in b around inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       12. sin-lowering-sin.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f64 47.5%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Simplified 47.5%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot x-scale}\right)}}{\pi} \]

   if 3.60000000000000025e-128 < a

   1. Initial program 16.5%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 13.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 34.1%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 58.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 58.4%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. add-sqr-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 59.8%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 59.8%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(\left(0.005555555555555556 \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\pi}\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)}}\right)}{\pi} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 51.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 3.6 \cdot 10^{-128}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(\sqrt{\pi} \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot angle\right)\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 56.9% accurate, 9.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;a\_m \leq 10^{-85}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \cos t\_0}{\sin t\_0 \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan t\_0\right) \cdot \frac{180}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.005555555555555556 (* angle PI))))
   (if (<= a_m 1e-85)
     (/
      (* 180.0 (atan (/ (* y-scale (cos t_0)) (* (sin t_0) (- 0.0 x-scale)))))
      PI)
     (* (atan (* (/ y-scale x-scale) (tan t_0))) (/ 180.0 PI)))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI));
	double tmp;
	if (a_m <= 1e-85) {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * cos(t_0)) / (sin(t_0) * (0.0 - x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = atan(((y_45_scale / x_45_scale) * tan(t_0))) * (180.0 / ((double) M_PI));
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * Math.PI);
	double tmp;
	if (a_m <= 1e-85) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale * Math.cos(t_0)) / (Math.sin(t_0) * (0.0 - x_45_scale))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = Math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * Math.tan(t_0))) * (180.0 / Math.PI);
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * math.pi)
	tmp = 0
	if a_m <= 1e-85:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale * math.cos(t_0)) / (math.sin(t_0) * (0.0 - x_45_scale))))) / math.pi
	else:
		tmp = math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * math.tan(t_0))) * (180.0 / math.pi)
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi))
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 1e-85)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale * cos(t_0)) / Float64(sin(t_0) * Float64(0.0 - x_45_scale))))) / pi);
	else
		tmp = Float64(atan(Float64(Float64(y_45_scale / x_45_scale) * tan(t_0))) * Float64(180.0 / pi));
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * pi);
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 1e-85)
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * cos(t_0)) / (sin(t_0) * (0.0 - x_45_scale))))) / pi;
	else
		tmp = atan(((y_45_scale / x_45_scale) * tan(t_0))) * (180.0 / pi);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[a$95$m, 1e-85], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision] * N[(0.0 - x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision] * N[Tan[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(180.0 / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 9.9999999999999998e-86

   1. Initial program 17.7%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 15.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 32.6%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. add-cbrt-cube N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\sqrt[3]{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 33.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 33.6%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}}\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}{\pi} \]

   10. Taylor expanded in b around inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. neg-lowering-neg.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       12. sin-lowering-sin.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f64 46.2%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Simplified 46.2%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot x-scale}\right)}}{\pi} \]

   if 9.9999999999999998e-86 < a

   1. Initial program 14.4%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 11.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 35.9%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 58.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 58.7%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot 180}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

       2. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   12. Applied egg-rr 60.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \frac{180}{\pi}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 50.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 10^{-85}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \frac{180}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 56.4% accurate, 13.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;a\_m \leq 7.4 \cdot 10^{-87}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0 - \frac{y-scale}{x-scale}}{\sin t\_0}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan t\_0\right) \cdot \frac{180}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.005555555555555556 (* angle PI))))
   (if (<= a_m 7.4e-87)
     (/ (* 180.0 (atan (/ (- 0.0 (/ y-scale x-scale)) (sin t_0)))) PI)
     (* (atan (* (/ y-scale x-scale) (tan t_0))) (/ 180.0 PI)))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI));
	double tmp;
	if (a_m <= 7.4e-87) {
		tmp = (180.0 * atan(((0.0 - (y_45_scale / x_45_scale)) / sin(t_0)))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = atan(((y_45_scale / x_45_scale) * tan(t_0))) * (180.0 / ((double) M_PI));
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * Math.PI);
	double tmp;
	if (a_m <= 7.4e-87) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((0.0 - (y_45_scale / x_45_scale)) / Math.sin(t_0)))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = Math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * Math.tan(t_0))) * (180.0 / Math.PI);
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * math.pi)
	tmp = 0
	if a_m <= 7.4e-87:
		tmp = (180.0 * math.atan(((0.0 - (y_45_scale / x_45_scale)) / math.sin(t_0)))) / math.pi
	else:
		tmp = math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * math.tan(t_0))) * (180.0 / math.pi)
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi))
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 7.4e-87)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(0.0 - Float64(y_45_scale / x_45_scale)) / sin(t_0)))) / pi);
	else
		tmp = Float64(atan(Float64(Float64(y_45_scale / x_45_scale) * tan(t_0))) * Float64(180.0 / pi));
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * pi);
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 7.4e-87)
		tmp = (180.0 * atan(((0.0 - (y_45_scale / x_45_scale)) / sin(t_0)))) / pi;
	else
		tmp = atan(((y_45_scale / x_45_scale) * tan(t_0))) * (180.0 / pi);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[a$95$m, 7.4e-87], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(0.0 - N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision] * N[Tan[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(180.0 / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 7.4000000000000004e-87

   1. Initial program 17.7%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 15.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 32.6%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left({b}^{2} \cdot y-scale\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, \left({b}^{2} \cdot y-scale\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left({b}^{2}\right), y-scale\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\left(b \cdot b\right), y-scale\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 29.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), y-scale\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 29.3%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\color{blue}{-1 \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot y-scale\right)}}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}{\pi} \]

   11. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), y-scale\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 28.8%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-1 \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot y-scale\right)}{x-scale \cdot \left(\color{blue}{1} \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}{\pi} \]

   14. Taylor expanded in b around inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(0 - \frac{y-scale}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\frac{y-scale}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\frac{\frac{y-scale}{x-scale}}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale}\right), \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 45.5%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   16. Simplified 45.5%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(0 - \frac{\frac{y-scale}{x-scale}}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   if 7.4000000000000004e-87 < a

   1. Initial program 14.4%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 11.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 35.9%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 58.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 58.7%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot 180}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

       2. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   12. Applied egg-rr 60.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \frac{180}{\pi}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 49.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 7.4 \cdot 10^{-87}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0 - \frac{y-scale}{x-scale}}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \frac{180}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 54.5% accurate, 13.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a\_m \leq 3.9 \cdot 10^{-87}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot -180}{angle \cdot \left(\pi \cdot x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \frac{180}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (if (<= a_m 3.9e-87)
   (/ (* 180.0 (atan (/ (* y-scale -180.0) (* angle (* PI x-scale))))) PI)
   (*
    (atan (* (/ y-scale x-scale) (tan (* 0.005555555555555556 (* angle PI)))))
    (/ 180.0 PI))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 3.9e-87) {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (((double) M_PI) * x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = atan(((y_45_scale / x_45_scale) * tan((0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI)))))) * (180.0 / ((double) M_PI));
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 3.9e-87) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (Math.PI * x_45_scale))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = Math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * Math.tan((0.005555555555555556 * (angle * Math.PI))))) * (180.0 / Math.PI);
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	tmp = 0
	if a_m <= 3.9e-87:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (math.pi * x_45_scale))))) / math.pi
	else:
		tmp = math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * math.tan((0.005555555555555556 * (angle * math.pi))))) * (180.0 / math.pi)
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 3.9e-87)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale * -180.0) / Float64(angle * Float64(pi * x_45_scale))))) / pi);
	else
		tmp = Float64(atan(Float64(Float64(y_45_scale / x_45_scale) * tan(Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi))))) * Float64(180.0 / pi));
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 3.9e-87)
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (pi * x_45_scale))))) / pi;
	else
		tmp = atan(((y_45_scale / x_45_scale) * tan((0.005555555555555556 * (angle * pi))))) * (180.0 / pi);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := If[LessEqual[a$95$m, 3.9e-87], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * -180.0), $MachinePrecision] / N[(angle * N[(Pi * x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision] * N[Tan[N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(180.0 / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 3.8999999999999998e-87

   1. Initial program 17.7%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 15.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 18.3%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-180 \cdot y-scale\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 42.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 42.0%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-180 \cdot y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \pi\right)}\right)}}{\pi} \]

   if 3.8999999999999998e-87 < a

   1. Initial program 14.4%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 11.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 35.9%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 58.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 58.7%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot 180}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

       2. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   12. Applied egg-rr 60.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \frac{180}{\pi}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 47.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 3.9 \cdot 10^{-87}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot -180}{angle \cdot \left(\pi \cdot x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \frac{180}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 52.7% accurate, 13.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a\_m \leq 1.6 \cdot 10^{-86}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot -180}{angle \cdot \left(\pi \cdot x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180}{\pi} \cdot \tan^{-1} \left(y-scale \cdot \frac{\tan \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)}{x-scale}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (if (<= a_m 1.6e-86)
   (/ (* 180.0 (atan (/ (* y-scale -180.0) (* angle (* PI x-scale))))) PI)
   (*
    (/ 180.0 PI)
    (atan (* y-scale (/ (tan (/ (* angle PI) 180.0)) x-scale))))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 1.6e-86) {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (((double) M_PI) * x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = (180.0 / ((double) M_PI)) * atan((y_45_scale * (tan(((angle * ((double) M_PI)) / 180.0)) / x_45_scale)));
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 1.6e-86) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (Math.PI * x_45_scale))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = (180.0 / Math.PI) * Math.atan((y_45_scale * (Math.tan(((angle * Math.PI) / 180.0)) / x_45_scale)));
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	tmp = 0
	if a_m <= 1.6e-86:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (math.pi * x_45_scale))))) / math.pi
	else:
		tmp = (180.0 / math.pi) * math.atan((y_45_scale * (math.tan(((angle * math.pi) / 180.0)) / x_45_scale)))
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 1.6e-86)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale * -180.0) / Float64(angle * Float64(pi * x_45_scale))))) / pi);
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 / pi) * atan(Float64(y_45_scale * Float64(tan(Float64(Float64(angle * pi) / 180.0)) / x_45_scale))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 1.6e-86)
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (pi * x_45_scale))))) / pi;
	else
		tmp = (180.0 / pi) * atan((y_45_scale * (tan(((angle * pi) / 180.0)) / x_45_scale)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := If[LessEqual[a$95$m, 1.6e-86], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * -180.0), $MachinePrecision] / N[(angle * N[(Pi * x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 / Pi), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[(y$45$scale * N[(N[Tan[N[(N[(angle * Pi), $MachinePrecision] / 180.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 1.60000000000000003e-86

   1. Initial program 17.7%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 15.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 18.3%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-180 \cdot y-scale\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 42.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 42.0%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-180 \cdot y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \pi\right)}\right)}}{\pi} \]

   if 1.60000000000000003e-86 < a

   1. Initial program 14.4%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 11.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 35.9%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 58.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 58.7%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. add-sqr-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 60.0%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 60.0%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(\left(0.005555555555555556 \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\pi}\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)}}\right)}{\pi} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \cdot 180}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

       2. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   14. Applied egg-rr 58.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1} \left(y-scale \cdot \frac{\tan \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)}{x-scale}\right) \cdot \frac{180}{\pi}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 46.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 1.6 \cdot 10^{-86}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot -180}{angle \cdot \left(\pi \cdot x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180}{\pi} \cdot \tan^{-1} \left(y-scale \cdot \frac{\tan \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)}{x-scale}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 53.6% accurate, 24.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a\_m \leq 3.4 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot -180}{angle \cdot \left(\pi \cdot x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \frac{y-scale \cdot \pi}{x-scale}\right)\right)}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (if (<= a_m 3.4e-18)
   (/ (* 180.0 (atan (/ (* y-scale -180.0) (* angle (* PI x-scale))))) PI)
   (/
    (*
     180.0
     (atan (* 0.005555555555555556 (* angle (/ (* y-scale PI) x-scale)))))
    PI)))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 3.4e-18) {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (((double) M_PI) * x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = (180.0 * atan((0.005555555555555556 * (angle * ((y_45_scale * ((double) M_PI)) / x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 3.4e-18) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (Math.PI * x_45_scale))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = (180.0 * Math.atan((0.005555555555555556 * (angle * ((y_45_scale * Math.PI) / x_45_scale))))) / Math.PI;
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	tmp = 0
	if a_m <= 3.4e-18:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (math.pi * x_45_scale))))) / math.pi
	else:
		tmp = (180.0 * math.atan((0.005555555555555556 * (angle * ((y_45_scale * math.pi) / x_45_scale))))) / math.pi
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 3.4e-18)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale * -180.0) / Float64(angle * Float64(pi * x_45_scale))))) / pi);
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * Float64(Float64(y_45_scale * pi) / x_45_scale))))) / pi);
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 3.4e-18)
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (pi * x_45_scale))))) / pi;
	else
		tmp = (180.0 * atan((0.005555555555555556 * (angle * ((y_45_scale * pi) / x_45_scale))))) / pi;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := If[LessEqual[a$95$m, 3.4e-18], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * -180.0), $MachinePrecision] / N[(angle * N[(Pi * x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(0.005555555555555556 * N[(angle * N[(N[(y$45$scale * Pi), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 3.40000000000000001e-18

   1. Initial program 19.2%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 17.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 17.4%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-180 \cdot y-scale\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 42.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 42.2%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-180 \cdot y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \pi\right)}\right)}}{\pi} \]

   if 3.40000000000000001e-18 < a

   1. Initial program 7.8%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 4.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 25.7%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 60.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 60.9%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. add-sqr-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 62.6%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 62.6%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(\left(0.005555555555555556 \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\pi}\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)}}\right)}{\pi} \]

   13. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{180} \cdot \frac{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x-scale}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(\frac{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x-scale}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot y-scale\right), x-scale\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), y-scale\right), x-scale\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. PI-lowering-PI.f64 62.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), y-scale\right), x-scale\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   15. Simplified 62.5%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \frac{\pi \cdot y-scale}{x-scale}\right)\right)}}{\pi} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 46.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 3.4 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot -180}{angle \cdot \left(\pi \cdot x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \frac{y-scale \cdot \pi}{x-scale}\right)\right)}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 53.6% accurate, 24.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a\_m \leq 2.5 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot -180}{angle \cdot \left(\pi \cdot x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \frac{y-scale \cdot \pi}{x-scale}\right)\right)}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (if (<= a_m 2.5e-18)
   (* 180.0 (/ (atan (/ (* y-scale -180.0) (* angle (* PI x-scale)))) PI))
   (/
    (*
     180.0
     (atan (* 0.005555555555555556 (* angle (/ (* y-scale PI) x-scale)))))
    PI)))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 2.5e-18) {
		tmp = 180.0 * (atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (((double) M_PI) * x_45_scale)))) / ((double) M_PI));
	} else {
		tmp = (180.0 * atan((0.005555555555555556 * (angle * ((y_45_scale * ((double) M_PI)) / x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (a_m <= 2.5e-18) {
		tmp = 180.0 * (Math.atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (Math.PI * x_45_scale)))) / Math.PI);
	} else {
		tmp = (180.0 * Math.atan((0.005555555555555556 * (angle * ((y_45_scale * Math.PI) / x_45_scale))))) / Math.PI;
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	tmp = 0
	if a_m <= 2.5e-18:
		tmp = 180.0 * (math.atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (math.pi * x_45_scale)))) / math.pi)
	else:
		tmp = (180.0 * math.atan((0.005555555555555556 * (angle * ((y_45_scale * math.pi) / x_45_scale))))) / math.pi
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 2.5e-18)
		tmp = Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(Float64(y_45_scale * -180.0) / Float64(angle * Float64(pi * x_45_scale)))) / pi));
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * Float64(Float64(y_45_scale * pi) / x_45_scale))))) / pi);
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 2.5e-18)
		tmp = 180.0 * (atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (pi * x_45_scale)))) / pi);
	else
		tmp = (180.0 * atan((0.005555555555555556 * (angle * ((y_45_scale * pi) / x_45_scale))))) / pi;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := If[LessEqual[a$95$m, 2.5e-18], N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * -180.0), $MachinePrecision] / N[(angle * N[(Pi * x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(0.005555555555555556 * N[(angle * N[(N[(y$45$scale * Pi), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 2.50000000000000018e-18

   1. Initial program 19.2%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(90 \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 14.0%

      \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{a \cdot a}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{angle \cdot \left(\pi \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   6. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-180 \cdot y-scale\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 42.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 42.1%

      \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-180 \cdot y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \pi\right)}\right)}}{\pi} \]

   if 2.50000000000000018e-18 < a

   1. Initial program 7.8%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 4.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}\right)}{\frac{\sin \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\cos \left(\frac{angle \cdot \pi}{180}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b - a \cdot a\right) \cdot \frac{2}{x-scale}\right)\right)}{y-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 25.7%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 60.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 60.9%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. add-sqr-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 62.6%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 62.6%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \color{blue}{\left(\left(\left(0.005555555555555556 \cdot angle\right) \cdot \sqrt{\pi}\right) \cdot \sqrt{\pi}\right)}}\right)}{\pi} \]

   13. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{180} \cdot \frac{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x-scale}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(\frac{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x-scale}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), x-scale\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot y-scale\right), x-scale\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), y-scale\right), x-scale\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. PI-lowering-PI.f64 62.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), y-scale\right), x-scale\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   15. Simplified 62.5%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \frac{\pi \cdot y-scale}{x-scale}\right)\right)}}{\pi} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 46.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 2.5 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot -180}{angle \cdot \left(\pi \cdot x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \frac{y-scale \cdot \pi}{x-scale}\right)\right)}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 37.6% accurate, 26.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot -180}{angle \cdot \left(\pi \cdot x-scale\right)}\right)}{\pi} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (* 180.0 (/ (atan (/ (* y-scale -180.0) (* angle (* PI x-scale)))) PI)))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (((double) M_PI) * x_45_scale)))) / ((double) M_PI));
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (Math.atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (Math.PI * x_45_scale)))) / Math.PI);
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	return 180.0 * (math.atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (math.pi * x_45_scale)))) / math.pi)

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	return Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(Float64(y_45_scale * -180.0) / Float64(angle * Float64(pi * x_45_scale)))) / pi))
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 180.0 * (atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (pi * x_45_scale)))) / pi);
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * -180.0), $MachinePrecision] / N[(angle * N[(Pi * x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.8%

   \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in angle around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(90 \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

5. Simplified 12.4%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{a \cdot a}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{angle \cdot \left(\pi \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

6. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-180 \cdot y-scale\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f64 37.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

8. Simplified 37.4%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-180 \cdot y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \pi\right)}\right)}}{\pi} \]

9. Final simplification 37.4%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot -180}{angle \cdot \left(\pi \cdot x-scale\right)}\right)}{\pi} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 13: 11.8% accurate, 26.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{x-scale}{angle} \cdot \frac{-180}{y-scale \cdot \pi}\right)}{\pi} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (* 180.0 (/ (atan (* (/ x-scale angle) (/ -180.0 (* y-scale PI)))) PI)))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (atan(((x_45_scale / angle) * (-180.0 / (y_45_scale * ((double) M_PI))))) / ((double) M_PI));
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (Math.atan(((x_45_scale / angle) * (-180.0 / (y_45_scale * Math.PI)))) / Math.PI);
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	return 180.0 * (math.atan(((x_45_scale / angle) * (-180.0 / (y_45_scale * math.pi)))) / math.pi)

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	return Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(Float64(x_45_scale / angle) * Float64(-180.0 / Float64(y_45_scale * pi)))) / pi))
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 180.0 * (atan(((x_45_scale / angle) * (-180.0 / (y_45_scale * pi)))) / pi);
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(N[(x$45$scale / angle), $MachinePrecision] * N[(-180.0 / N[(y$45$scale * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.8%

   \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in angle around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(90 \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

5. Simplified 12.4%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{a \cdot a}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{angle \cdot \left(\pi \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

6. Taylor expanded in a around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{x-scale}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot x-scale}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-180 \cdot x-scale\right), \left(angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, x-scale\right), \left(angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, x-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, x-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f64 11.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, x-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

8. Simplified 11.4%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-180 \cdot x-scale}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \pi\right)}\right)}}{\pi} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{x-scale \cdot -180}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{x-scale}{angle} \cdot \frac{-180}{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{x-scale}{angle}\right), \left(\frac{-180}{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(x-scale, angle\right), \left(\frac{-180}{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(x-scale, angle\right), \mathsf{/.f64}\left(-180, \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(x-scale, angle\right), \mathsf{/.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 11.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(x-scale, angle\right), \mathsf{/.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 11.5%

    \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{x-scale}{angle} \cdot \frac{-180}{y-scale \cdot \pi}\right)}}{\pi} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 14: 11.8% accurate, 26.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(x-scale \cdot \frac{-180}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \pi\right)}\right)}{\pi} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (* 180.0 (/ (atan (* x-scale (/ -180.0 (* angle (* y-scale PI))))) PI)))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (atan((x_45_scale * (-180.0 / (angle * (y_45_scale * ((double) M_PI)))))) / ((double) M_PI));
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (Math.atan((x_45_scale * (-180.0 / (angle * (y_45_scale * Math.PI))))) / Math.PI);
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	return 180.0 * (math.atan((x_45_scale * (-180.0 / (angle * (y_45_scale * math.pi))))) / math.pi)

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	return Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(x_45_scale * Float64(-180.0 / Float64(angle * Float64(y_45_scale * pi))))) / pi))
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 180.0 * (atan((x_45_scale * (-180.0 / (angle * (y_45_scale * pi))))) / pi);
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(x$45$scale * N[(-180.0 / N[(angle * N[(y$45$scale * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 16.8%

   \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in angle around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(90 \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

5. Simplified 12.4%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{a \cdot a}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{angle \cdot \left(\pi \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

6. Taylor expanded in a around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{x-scale}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot x-scale}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-180 \cdot x-scale\right), \left(angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, x-scale\right), \left(angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, x-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, x-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f64 11.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, x-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

8. Simplified 11.4%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-180 \cdot x-scale}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \pi\right)}\right)}}{\pi} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{x-scale \cdot -180}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(x-scale \cdot \frac{-180}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, \left(\frac{-180}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{/.f64}\left(-180, \left(angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{/.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{/.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 11.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{/.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 11.4%

    \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(x-scale \cdot \frac{-180}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \pi\right)}\right)}}{\pi} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024164 
(FPCore (a b angle x-scale y-scale)
  :name "raw-angle from scale-rotated-ellipse"
  :precision binary64
  (* 180.0 (/ (atan (/ (- (- (/ (/ (+ (pow (* a (cos (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0) (pow (* b (sin (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0)) y-scale) y-scale) (/ (/ (+ (pow (* a (sin (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0) (pow (* b (cos (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0)) x-scale) x-scale)) (sqrt (+ (pow (- (/ (/ (+ (pow (* a (sin (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0) (pow (* b (cos (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0)) x-scale) x-scale) (/ (/ (+ (pow (* a (cos (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0) (pow (* b (sin (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0)) y-scale) y-scale)) 2.0) (pow (/ (/ (* (* (* 2.0 (- (pow b 2.0) (pow a 2.0))) (sin (* (/ angle 180.0) PI))) (cos (* (/ angle 180.0) PI))) x-scale) y-scale) 2.0)))) (/ (/ (* (* (* 2.0 (- (pow b 2.0) (pow a 2.0))) (sin (* (/ angle 180.0) PI))) (cos (* (/ angle 180.0) PI))) x-scale) y-scale))) PI)))