Jmat.Real.erfi, branch x greater than or equal to 5

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 14.6s

Alternatives: 15

Speedup: 4.9×

• 99.4% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

\[x \geq 0.5\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{\left|x\right|}\\ t_1 := \left(t\_0 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ t_2 := \left(t\_1 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(t\_0 + \frac{1}{2} \cdot t\_1\right) + \frac{3}{4} \cdot t\_2\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(t\_2 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (fabs x)))
        (t_1 (* (* t_0 t_0) t_0))
        (t_2 (* (* t_1 t_0) t_0)))
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x))))
    (+
     (+ (+ t_0 (* (/ 1.0 2.0) t_1)) (* (/ 3.0 4.0) t_2))
     (* (/ 15.0 8.0) (* (* t_2 t_0) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / fabs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / sqrt(((double) M_PI))) * exp((fabs(x) * fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / Math.abs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / Math.sqrt(Math.PI)) * Math.exp((Math.abs(x) * Math.abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 / math.fabs(x)
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0
	return ((1.0 / math.sqrt(math.pi)) * math.exp((math.fabs(x) * math.fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 / abs(x))
	t_1 = Float64(Float64(t_0 * t_0) * t_0)
	t_2 = Float64(Float64(t_1 * t_0) * t_0)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 / sqrt(pi)) * exp(Float64(abs(x) * abs(x)))) * Float64(Float64(Float64(t_0 + Float64(Float64(1.0 / 2.0) * t_1)) + Float64(Float64(3.0 / 4.0) * t_2)) + Float64(Float64(15.0 / 8.0) * Float64(Float64(t_2 * t_0) * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 1.0 / abs(x);
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	tmp = ((1.0 / sqrt(pi)) * exp((abs(x) * abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(1.0 / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$0 + N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(3.0 / 4.0), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(15.0 / 8.0), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$2 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{\left|x\right|}\\ t_1 := \left(t\_0 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ t_2 := \left(t\_1 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(t\_0 + \frac{1}{2} \cdot t\_1\right) + \frac{3}{4} \cdot t\_2\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(t\_2 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (fabs x)))
        (t_1 (* (* t_0 t_0) t_0))
        (t_2 (* (* t_1 t_0) t_0)))
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x))))
    (+
     (+ (+ t_0 (* (/ 1.0 2.0) t_1)) (* (/ 3.0 4.0) t_2))
     (* (/ 15.0 8.0) (* (* t_2 t_0) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / fabs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / sqrt(((double) M_PI))) * exp((fabs(x) * fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / Math.abs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / Math.sqrt(Math.PI)) * Math.exp((Math.abs(x) * Math.abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 / math.fabs(x)
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0
	return ((1.0 / math.sqrt(math.pi)) * math.exp((math.fabs(x) * math.fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 / abs(x))
	t_1 = Float64(Float64(t_0 * t_0) * t_0)
	t_2 = Float64(Float64(t_1 * t_0) * t_0)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 / sqrt(pi)) * exp(Float64(abs(x) * abs(x)))) * Float64(Float64(Float64(t_0 + Float64(Float64(1.0 / 2.0) * t_1)) + Float64(Float64(3.0 / 4.0) * t_2)) + Float64(Float64(15.0 / 8.0) * Float64(Float64(t_2 * t_0) * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 1.0 / abs(x);
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	tmp = ((1.0 / sqrt(pi)) * exp((abs(x) * abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(1.0 / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$0 + N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(3.0 / 4.0), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(15.0 / 8.0), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$2 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Alternative 1: 100.0% accurate, 4.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{{\left(e^{x}\right)}^{x}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{\frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x}}{x}}{x \cdot x}\right)}{{\left(\pi \cdot \pi\right)}^{0.25}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (*
   (/ (pow (exp x) x) (fabs x))
   (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) x) x)) (* x x))))
  (pow (* PI PI) 0.25)))

C

double code(double x) {
	return ((pow(exp(x), x) / fabs(x)) * (1.0 + ((0.5 + (((0.75 + (1.875 / (x * x))) / x) / x)) / (x * x)))) / pow((((double) M_PI) * ((double) M_PI)), 0.25);
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((Math.pow(Math.exp(x), x) / Math.abs(x)) * (1.0 + ((0.5 + (((0.75 + (1.875 / (x * x))) / x) / x)) / (x * x)))) / Math.pow((Math.PI * Math.PI), 0.25);
}

Python

def code(x):
	return ((math.pow(math.exp(x), x) / math.fabs(x)) * (1.0 + ((0.5 + (((0.75 + (1.875 / (x * x))) / x) / x)) / (x * x)))) / math.pow((math.pi * math.pi), 0.25)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64((exp(x) ^ x) / abs(x)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / x) / x)) / Float64(x * x)))) / (Float64(pi * pi) ^ 0.25))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (((exp(x) ^ x) / abs(x)) * (1.0 + ((0.5 + (((0.75 + (1.875 / (x * x))) / x) / x)) / (x * x)))) / ((pi * pi) ^ 0.25);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[Power[N[Exp[x], $MachinePrecision], x], $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Power[N[(Pi * Pi), $MachinePrecision], 0.25], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)}\right)\right) \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{\frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x}}{x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. exp-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\left(e^{x}\right)}^{x}\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{x}\right), x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. exp-lowering-exp.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{{\left(e^{x}\right)}^{x}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{\frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x}}{x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right) \]

   2. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   3. sqrt-unprod N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \left({\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   4. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \left({\left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

   5. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \left({\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)}}\right)\right) \]

   6. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \frac{1}{4}\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 100.0%

    \[\leadsto \frac{\frac{{\left(e^{x}\right)}^{x}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{\frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x}}{x}}{x \cdot x}\right)}{\color{blue}{{\left(\pi \cdot \pi\right)}^{0.25}}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 2: 100.0% accurate, 4.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{{\left(e^{x}\right)}^{x}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{\frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x}}{x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (*
   (/ (pow (exp x) x) (fabs x))
   (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) x) x)) (* x x))))
  (sqrt PI)))

C

double code(double x) {
	return ((pow(exp(x), x) / fabs(x)) * (1.0 + ((0.5 + (((0.75 + (1.875 / (x * x))) / x) / x)) / (x * x)))) / sqrt(((double) M_PI));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((Math.pow(Math.exp(x), x) / Math.abs(x)) * (1.0 + ((0.5 + (((0.75 + (1.875 / (x * x))) / x) / x)) / (x * x)))) / Math.sqrt(Math.PI);
}

Python

def code(x):
	return ((math.pow(math.exp(x), x) / math.fabs(x)) * (1.0 + ((0.5 + (((0.75 + (1.875 / (x * x))) / x) / x)) / (x * x)))) / math.sqrt(math.pi)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64((exp(x) ^ x) / abs(x)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / x) / x)) / Float64(x * x)))) / sqrt(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (((exp(x) ^ x) / abs(x)) * (1.0 + ((0.5 + (((0.75 + (1.875 / (x * x))) / x) / x)) / (x * x)))) / sqrt(pi);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[Power[N[Exp[x], $MachinePrecision], x], $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)}\right)\right) \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{\frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x}}{x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. exp-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\left(e^{x}\right)}^{x}\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{x}\right), x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. exp-lowering-exp.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{{\left(e^{x}\right)}^{x}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{\frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x}}{x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 3: 100.0% accurate, 6.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(1 + \frac{0.5 + \frac{\frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x}}{x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}}{\sqrt{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (*
   (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) x) x)) (* x x)))
   (/ (exp (* x x)) (fabs x)))
  (sqrt PI)))

C

double code(double x) {
	return ((1.0 + ((0.5 + (((0.75 + (1.875 / (x * x))) / x) / x)) / (x * x))) * (exp((x * x)) / fabs(x))) / sqrt(((double) M_PI));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((1.0 + ((0.5 + (((0.75 + (1.875 / (x * x))) / x) / x)) / (x * x))) * (Math.exp((x * x)) / Math.abs(x))) / Math.sqrt(Math.PI);
}

Python

def code(x):
	return ((1.0 + ((0.5 + (((0.75 + (1.875 / (x * x))) / x) / x)) / (x * x))) * (math.exp((x * x)) / math.fabs(x))) / math.sqrt(math.pi)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / x) / x)) / Float64(x * x))) * Float64(exp(Float64(x * x)) / abs(x))) / sqrt(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((1.0 + ((0.5 + (((0.75 + (1.875 / (x * x))) / x) / x)) / (x * x))) * (exp((x * x)) / abs(x))) / sqrt(pi);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)}\right)\right) \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{\frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x}}{x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}} \]

7. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \frac{\left(1 + \frac{0.5 + \frac{\frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x}}{x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}}{\sqrt{\pi}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.6% accurate, 6.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (/ (/ (exp (* x x)) (sqrt PI)) (fabs x))
  (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ 0.75 (* x x))) (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return ((exp((x * x)) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x)) * (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((Math.exp((x * x)) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x)) * (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return ((math.exp((x * x)) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)) * (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(exp(Float64(x * x)) / sqrt(pi)) / abs(x)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(0.75 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((exp((x * x)) / sqrt(pi)) / abs(x)) * (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(0.75 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{3}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{3}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 99.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.6% accurate, 6.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* (/ (exp (* x x)) (fabs x)) (+ 1.0 (/ 0.5 (* x x)))) (sqrt PI)))

C

double code(double x) {
	return ((exp((x * x)) / fabs(x)) * (1.0 + (0.5 / (x * x)))) / sqrt(((double) M_PI));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((Math.exp((x * x)) / Math.abs(x)) * (1.0 + (0.5 / (x * x)))) / Math.sqrt(Math.PI);
}

Python

def code(x):
	return ((math.exp((x * x)) / math.fabs(x)) * (1.0 + (0.5 / (x * x)))) / math.sqrt(math.pi)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(exp(Float64(x * x)) / abs(x)) * Float64(1.0 + Float64(0.5 / Float64(x * x)))) / sqrt(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((exp((x * x)) / abs(x)) * (1.0 + (0.5 / (x * x)))) / sqrt(pi);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(0.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)}\right)\right) \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{\frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x}}{x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 99.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right)}{\sqrt{\pi}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.6% accurate, 6.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (/ (/ (exp (* x x)) (sqrt PI)) (fabs x)) (+ 1.0 (/ 0.5 (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return ((exp((x * x)) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x)) * (1.0 + (0.5 / (x * x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((Math.exp((x * x)) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x)) * (1.0 + (0.5 / (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return ((math.exp((x * x)) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)) * (1.0 + (0.5 / (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(exp(Float64(x * x)) / sqrt(pi)) / abs(x)) * Float64(1.0 + Float64(0.5 / Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((exp((x * x)) / sqrt(pi)) / abs(x)) * (1.0 + (0.5 / (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(0.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 99.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 7: 99.5% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (/ (exp (* x x)) (sqrt PI)) (fabs x)))

C

double code(double x) {
	return (exp((x * x)) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp((x * x)) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x);
}

Python

def code(x):
	return (math.exp((x * x)) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(Float64(x * x)) / sqrt(pi)) / abs(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp((x * x)) / sqrt(pi)) / abs(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{{x}^{\color{blue}{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{x \cdot x}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{x \cdot x}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

   4. sqrt-div N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   6. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

   8. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   12. fabs-lowering-fabs.f64 99.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 8: 84.2% accurate, 8.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(1 + \frac{0.5 + \frac{\frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x}}{x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\left|x\right|}}{\sqrt{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (*
   (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) x) x)) (* x x)))
   (/
    (+
     1.0
     (* x (* x (+ 1.0 (* (* x x) (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666)))))))
    (fabs x)))
  (sqrt PI)))

C

double code(double x) {
	return ((1.0 + ((0.5 + (((0.75 + (1.875 / (x * x))) / x) / x)) / (x * x))) * ((1.0 + (x * (x * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / fabs(x))) / sqrt(((double) M_PI));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((1.0 + ((0.5 + (((0.75 + (1.875 / (x * x))) / x) / x)) / (x * x))) * ((1.0 + (x * (x * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / Math.abs(x))) / Math.sqrt(Math.PI);
}

Python

def code(x):
	return ((1.0 + ((0.5 + (((0.75 + (1.875 / (x * x))) / x) / x)) / (x * x))) * ((1.0 + (x * (x * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / math.fabs(x))) / math.sqrt(math.pi)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / x) / x)) / Float64(x * x))) * Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))))))) / abs(x))) / sqrt(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((1.0 + ((0.5 + (((0.75 + (1.875 / (x * x))) / x) / x)) / (x * x))) * ((1.0 + (x * (x * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / abs(x))) / sqrt(pi);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(1 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)}\right)\right) \]

   3. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(\color{blue}{1} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{\frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x}}{x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 85.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), x\right), x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

9. Simplified 85.5%

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{\frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x}}{x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}} \]

10. Final simplification 85.5%

    \[\leadsto \frac{\left(1 + \frac{0.5 + \frac{\frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x}}{x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\left|x\right|}}{\sqrt{\pi}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 9: 84.2% accurate, 9.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (/
   (+
    1.0
    (* (* x x) (+ 1.0 (* x (* x (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666)))))))
   (sqrt PI))
  (fabs x)))

C

double code(double x) {
	return ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x);
}

Python

def code(x):
	return ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))))))) / sqrt(pi)) / abs(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / sqrt(pi)) / abs(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{{x}^{\color{blue}{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{x \cdot x}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot e^{x \cdot x}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

   4. sqrt-div N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   6. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

   8. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   12. fabs-lowering-fabs.f64 99.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}} \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    7. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    13. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 85.5%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

12. Simplified 85.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 10: 75.9% accurate, 9.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (+ 1.0 (* (* x x) (+ 1.0 (* 0.5 (* x x))))) (fabs (* x (sqrt PI)))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (0.5 * (x * x))))) / fabs((x * sqrt(((double) M_PI))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (0.5 * (x * x))))) / Math.abs((x * Math.sqrt(Math.PI)));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (0.5 * (x * x))))) / math.fabs((x * math.sqrt(math.pi)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(0.5 * Float64(x * x))))) / abs(Float64(x * sqrt(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (0.5 * (x * x))))) / abs((x * sqrt(pi)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{{x}^{\color{blue}{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 76.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

10. Simplified 76.5%

    \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}{\left|x\right|} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    2. sqrt-div N/A

       \[\leadsto \frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)}{\left|x\right|} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    4. frac-times N/A

       \[\leadsto \frac{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    5. *-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \frac{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)}{\color{blue}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

    7. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    8. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \left(\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \left(\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    12. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 76.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 11: 52.1% accurate, 9.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(x \cdot x + 1.5\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (/ (sqrt (/ 1.0 PI)) (fabs x)) (+ (* x x) 1.5)))

C

double code(double x) {
	return (sqrt((1.0 / ((double) M_PI))) / fabs(x)) * ((x * x) + 1.5);
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.sqrt((1.0 / Math.PI)) / Math.abs(x)) * ((x * x) + 1.5);
}

Python

def code(x):
	return (math.sqrt((1.0 / math.pi)) / math.fabs(x)) * ((x * x) + 1.5)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 / pi)) / abs(x)) * Float64(Float64(x * x) + 1.5))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (sqrt((1.0 / pi)) / abs(x)) * ((x * x) + 1.5);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] + 1.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|} + \frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|} + \frac{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|} + {x}^{2} \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|} + {x}^{2} \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot 1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|} + {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left({x}^{2} + 1\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left({x}^{2} + 1\right) \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot 1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left({x}^{2} + 1\right) \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left({x}^{2} + 1\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + {x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} + {x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 52.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot x + 1\right)}{\left|x\right|}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|} + \color{blue}{\frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right) \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(\frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \left(\frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \cdot \color{blue}{{x}^{2}} \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{3}{2} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot {x}^{2}\right)} \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{3}{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{3}{2} \cdot \left(\left({x}^{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right) \]

   7. associate-/r* N/A

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{3}{2} \cdot \left(\left({x}^{2} \cdot \frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right) \]

   8. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}\right) \]

   9. rgt-mult-inverse N/A

      \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \]

10. Simplified 52.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(x \cdot x + 1.5\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 12: 52.0% accurate, 10.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 + x \cdot x}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (+ 1.0 (* x x)) (fabs (* x (sqrt PI)))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + (x * x)) / fabs((x * sqrt(((double) M_PI))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + (x * x)) / Math.abs((x * Math.sqrt(Math.PI)));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 + (x * x)) / math.fabs((x * math.sqrt(math.pi)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(x * x)) / abs(Float64(x * sqrt(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 + (x * x)) / abs((x * sqrt(pi)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{{x}^{\color{blue}{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2}\right)}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 52.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

10. Simplified 52.7%

    \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\color{blue}{1 + x \cdot x}}{\left|x\right|} \]
11. Step-by-step derivation

    1. sqrt-div N/A

       \[\leadsto \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\color{blue}{1 + x \cdot x}}{\left|x\right|} \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{\color{blue}{1} + x \cdot x}{\left|x\right|} \]

    3. frac-times N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(1 + x \cdot x\right)}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left|x\right|}} \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot \left(1 + x \cdot x\right)}{\left|x\right| \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    5. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \frac{1 + x \cdot x}{\color{blue}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + x \cdot x\right), \color{blue}{\left(\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

    7. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(\color{blue}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

    9. add-sqr-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right| \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) \]

    10. rem-sqrt-square N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right| \cdot \left|\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)\right) \]

    11. mul-fabs N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)\right) \]

    12. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. PI-lowering-PI.f64 52.7%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 52.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + x \cdot x}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 13: 52.0% accurate, 10.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\frac{\left|x\right| \cdot \sqrt{\pi}}{x \cdot x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 1.0 (/ (* (fabs x) (sqrt PI)) (* x x))))

C

double code(double x) {
	return 1.0 / ((fabs(x) * sqrt(((double) M_PI))) / (x * x));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 / ((Math.abs(x) * Math.sqrt(Math.PI)) / (x * x));
}

Python

def code(x):
	return 1.0 / ((math.fabs(x) * math.sqrt(math.pi)) / (x * x))

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(abs(x) * sqrt(pi)) / Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 / ((abs(x) * sqrt(pi)) / (x * x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 / N[(N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{{x}^{\color{blue}{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2}\right)}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 52.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

10. Simplified 52.7%

    \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\color{blue}{1 + x \cdot x}}{\left|x\right|} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{1 + x \cdot x}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    2. clear-num N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\left|x\right|}{1 + x \cdot x}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    3. sqrt-div N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\left|x\right|}{1 + x \cdot x}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\left|x\right|}{1 + x \cdot x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    5. frac-times N/A

       \[\leadsto \frac{1 \cdot 1}{\color{blue}{\frac{\left|x\right|}{1 + x \cdot x} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    6. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left|x\right|}{1 + x \cdot x}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

    7. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\left|x\right|}{1 + x \cdot x} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left|x\right|}{1 + x \cdot x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right)\right) \]

    9. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left|x\right|\right), \left(1 + x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    10. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(x\right), \left(1 + x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

    13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    14. PI-lowering-PI.f64 52.7%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 52.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\left|x\right|}{1 + x \cdot x} \cdot \sqrt{\pi}}} \]

13. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\left|x\right|}{{x}^{2}} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left|x\right|}{{\color{blue}{x}}^{2}}\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left|x\right|\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left|x\right|\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right) \]

    6. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right) \]

    7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right) \]

    8. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right) \]

    9. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 52.7%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{fabs.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

15. Simplified 52.7%

    \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left|x\right| \cdot \sqrt{\pi}}{x \cdot x}}} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 14: 5.4% accurate, 10.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left|x\right| \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (fabs x) (sqrt (/ 1.0 PI))))

C

double code(double x) {
	return fabs(x) * sqrt((1.0 / ((double) M_PI)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.abs(x) * Math.sqrt((1.0 / Math.PI));
}

Python

def code(x):
	return math.fabs(x) * math.sqrt((1.0 / math.pi))

Julia

function code(x)
	return Float64(abs(x) * sqrt(Float64(1.0 / pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = abs(x) * sqrt((1.0 / pi));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{\color{blue}{{x}^{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{e^{{x}^{\color{blue}{2}}}}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right) \]

   9. fabs-lowering-fabs.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x\right|}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2}\right)}, \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 52.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

10. Simplified 52.7%

    \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\color{blue}{1 + x \cdot x}}{\left|x\right|} \]

11. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|}\right)}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{x \cdot x}{\left|\color{blue}{x}\right|}\right)\right) \]

    2. fabs-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left|x \cdot x\right|}{\left|\color{blue}{x}\right|}\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left|{x}^{2}\right|}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    4. *-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left|{x}^{2} \cdot 1\right|}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    5. *-inverses N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left|{x}^{2} \cdot \frac{x}{x}\right|}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    6. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left|\frac{{x}^{2} \cdot x}{x}\right|}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left|\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot x}{x}\right|}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    8. unpow3 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left|\frac{{x}^{3}}{x}\right|}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    9. *-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left|\frac{{x}^{3} \cdot 1}{x}\right|}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    10. associate-/l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\left|{x}^{3} \cdot \frac{1}{x}\right|}{\left|x\right|}\right)\right) \]

    11. fabs-div N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|\frac{{x}^{3} \cdot \frac{1}{x}}{x}\right|\right)\right) \]

    12. associate-*r/ N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|{x}^{3} \cdot \frac{\frac{1}{x}}{x}\right|\right)\right) \]

    13. associate-/r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|{x}^{3} \cdot \frac{1}{x \cdot x}\right|\right)\right) \]

    14. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|{x}^{3} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right|\right)\right) \]

    15. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|\frac{1}{{x}^{2}} \cdot {x}^{3}\right|\right)\right) \]

    16. unpow3 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|\frac{1}{{x}^{2}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)\right|\right)\right) \]

    17. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|\frac{1}{{x}^{2}} \cdot \left({x}^{2} \cdot x\right)\right|\right)\right) \]

    18. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|\left(\frac{1}{{x}^{2}} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right|\right)\right) \]

    19. lft-mult-inverse N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|1 \cdot x\right|\right)\right) \]

    20. *-lft-identity N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

    21. fabs-lowering-fabs.f64 5.4%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

13. Simplified 5.4%

    \[\leadsto \sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \color{blue}{\left|x\right|} \]

14. Final simplification 5.4%

    \[\leadsto \left|x\right| \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 15: 2.3% accurate, 10.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{{\pi}^{-0.5}}{\left|x\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (pow PI -0.5) (fabs x)))

C

double code(double x) {
	return pow(((double) M_PI), -0.5) / fabs(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(Math.PI, -0.5) / Math.abs(x);
}

Python

def code(x):
	return math.pow(math.pi, -0.5) / math.fabs(x)

Julia

function code(x)
	return Float64((pi ^ -0.5) / abs(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi ^ -0.5) / abs(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[Pi, -0.5], $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot 1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. fabs-lowering-fabs.f64 2.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 2.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot 1}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

   2. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|\color{blue}{x}\right|} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   7. fabs-lowering-fabs.f64 2.2%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

10. Simplified 2.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

    2. pow1/2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

    3. inv-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{-1}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

    4. pow-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(-1 \cdot \frac{1}{2}\right)}\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

    5. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(-1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

    6. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(-1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

    8. fabs-lowering-fabs.f64 2.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 2.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\pi}^{-0.5}}{\left|x\right|}} \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024164 
(FPCore (x)
  :name "Jmat.Real.erfi, branch x greater than or equal to 5"
  :precision binary64
  :pre (>= x 0.5)
  (* (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x)))) (+ (+ (+ (/ 1.0 (fabs x)) (* (/ 1.0 2.0) (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))))) (* (/ 3.0 4.0) (* (* (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))))) (* (/ 15.0 8.0) (* (* (* (* (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x)))))))