normal distribution

Percentage Accurate: 99.4% → 99.6%

Time: 9.8s

Alternatives: 7

Speedup: 0.8×

Specification

\[\left(0 \leq u1 \land u1 \leq 1\right) \land \left(0 \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2)))
  0.5))

C

double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * pow((-2.0 * log(u1)), 0.5)) * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) * u2))) + 0.5;
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * Math.pow((-2.0 * Math.log(u1)), 0.5)) * Math.cos(((2.0 * Math.PI) * u2))) + 0.5;
}

Python

def code(u1, u2):
	return (((1.0 / 6.0) * math.pow((-2.0 * math.log(u1)), 0.5)) * math.cos(((2.0 * math.pi) * u2))) + 0.5

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / 6.0) * (Float64(-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(Float64(Float64(2.0 * pi) * u2))) + 0.5)
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = (((1.0 / 6.0) * ((-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(((2.0 * pi) * u2))) + 0.5;
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(N[(N[(N[(1.0 / 6.0), $MachinePrecision] * N[Power[N[(-2.0 * N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] * u2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]

Initial Program: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2)))
  0.5))

C

double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * pow((-2.0 * log(u1)), 0.5)) * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) * u2))) + 0.5;
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * Math.pow((-2.0 * Math.log(u1)), 0.5)) * Math.cos(((2.0 * Math.PI) * u2))) + 0.5;
}

Python

def code(u1, u2):
	return (((1.0 / 6.0) * math.pow((-2.0 * math.log(u1)), 0.5)) * math.cos(((2.0 * math.pi) * u2))) + 0.5

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / 6.0) * (Float64(-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(Float64(Float64(2.0 * pi) * u2))) + 0.5)
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = (((1.0 / 6.0) * ((-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(((2.0 * pi) * u2))) + 0.5;
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(N[(N[(N[(1.0 / 6.0), $MachinePrecision] * N[Power[N[(-2.0 * N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] * u2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(\left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{0 - \log u1}, 0.5\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (fma
  (* (* 0.16666666666666666 (sqrt 2.0)) (cos (* u2 (* 2.0 PI))))
  (sqrt (- 0.0 (log u1)))
  0.5))

C

double code(double u1, double u2) {
	return fma(((0.16666666666666666 * sqrt(2.0)) * cos((u2 * (2.0 * ((double) M_PI))))), sqrt((0.0 - log(u1))), 0.5);
}

Julia

function code(u1, u2)
	return fma(Float64(Float64(0.16666666666666666 * sqrt(2.0)) * cos(Float64(u2 * Float64(2.0 * pi)))), sqrt(Float64(0.0 - log(u1))), 0.5)
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(N[(N[(0.16666666666666666 * N[Sqrt[2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(u2 * N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(0.0 - N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right)\right) \]

   6. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. pow-to-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(e^{\log \left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(e^{\frac{1}{2} \cdot \log \left(-2 \cdot \log u1\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. exp-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(e^{\frac{1}{2}}\right)}^{\log \left(-2 \cdot \log u1\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{\frac{1}{2}}\right), \log \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\frac{1}{2}\right), \log \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\frac{1}{2}\right), \log \left(e^{\log \left(-2 \cdot \log u1\right)}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\frac{1}{2}\right), \mathsf{log.f64}\left(\left(e^{\log \left(-2 \cdot \log u1\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\frac{1}{2}\right), \mathsf{log.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\frac{1}{2}\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. log-lowering-log.f64 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\frac{1}{2}\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto 0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{{\left(e^{0.5}\right)}^{\log \left(-2 \cdot \log u1\right)}}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]

7. Taylor expanded in u1 around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \sqrt{2}\right)\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\log \left(\frac{1}{u1}\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1}{u1}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, u1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.7%

   \[\leadsto 0.5 + \color{blue}{\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{2}\right)\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

    2. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} + \frac{1}{2} \]

    4. fma-define N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right), \color{blue}{\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}}, \frac{1}{2}\right) \]

    5. fma-lowering-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right)}, \frac{1}{2}\right) \]

11. Applied egg-rr 99.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), \sqrt{0 - \log u1}, 0.5\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  0.5
  (*
   (* (* 0.16666666666666666 (sqrt 2.0)) (sqrt (log (/ 1.0 u1))))
   (cos (* 2.0 (* u2 PI))))))

C

double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (((0.16666666666666666 * sqrt(2.0)) * sqrt(log((1.0 / u1)))) * cos((2.0 * (u2 * ((double) M_PI)))));
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (((0.16666666666666666 * Math.sqrt(2.0)) * Math.sqrt(Math.log((1.0 / u1)))) * Math.cos((2.0 * (u2 * Math.PI))));
}

Python

def code(u1, u2):
	return 0.5 + (((0.16666666666666666 * math.sqrt(2.0)) * math.sqrt(math.log((1.0 / u1)))) * math.cos((2.0 * (u2 * math.pi))))

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(0.5 + Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * sqrt(2.0)) * sqrt(log(Float64(1.0 / u1)))) * cos(Float64(2.0 * Float64(u2 * pi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = 0.5 + (((0.16666666666666666 * sqrt(2.0)) * sqrt(log((1.0 / u1)))) * cos((2.0 * (u2 * pi))));
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(0.5 + N[(N[(N[(0.16666666666666666 * N[Sqrt[2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[Log[N[(1.0 / u1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(2.0 * N[(u2 * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right)\right) \]

   6. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. pow-to-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(e^{\log \left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(e^{\frac{1}{2} \cdot \log \left(-2 \cdot \log u1\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. exp-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(e^{\frac{1}{2}}\right)}^{\log \left(-2 \cdot \log u1\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   5. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{\frac{1}{2}}\right), \log \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\frac{1}{2}\right), \log \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\frac{1}{2}\right), \log \left(e^{\log \left(-2 \cdot \log u1\right)}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\frac{1}{2}\right), \mathsf{log.f64}\left(\left(e^{\log \left(-2 \cdot \log u1\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\frac{1}{2}\right), \mathsf{log.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\frac{1}{2}\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. log-lowering-log.f64 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\frac{1}{2}\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto 0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{{\left(e^{0.5}\right)}^{\log \left(-2 \cdot \log u1\right)}}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]

7. Taylor expanded in u1 around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \sqrt{2}\right)\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\log \left(\frac{1}{u1}\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1}{u1}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, u1\right)\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{2}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, u1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.7%

   \[\leadsto 0.5 + \color{blue}{\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{2}\right)\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]

10. Final simplification 99.7%

    \[\leadsto 0.5 + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.4% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 + \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  0.5
  (*
   (cos (* 2.0 (* u2 PI)))
   (* 0.16666666666666666 (* (sqrt 2.0) (sqrt (log (/ 1.0 u1))))))))

C

double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (cos((2.0 * (u2 * ((double) M_PI)))) * (0.16666666666666666 * (sqrt(2.0) * sqrt(log((1.0 / u1))))));
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (Math.cos((2.0 * (u2 * Math.PI))) * (0.16666666666666666 * (Math.sqrt(2.0) * Math.sqrt(Math.log((1.0 / u1))))));
}

Python

def code(u1, u2):
	return 0.5 + (math.cos((2.0 * (u2 * math.pi))) * (0.16666666666666666 * (math.sqrt(2.0) * math.sqrt(math.log((1.0 / u1))))))

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(0.5 + Float64(cos(Float64(2.0 * Float64(u2 * pi))) * Float64(0.16666666666666666 * Float64(sqrt(2.0) * sqrt(log(Float64(1.0 / u1)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = 0.5 + (cos((2.0 * (u2 * pi))) * (0.16666666666666666 * (sqrt(2.0) * sqrt(log((1.0 / u1))))));
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(0.5 + N[(N[Cos[N[(2.0 * N[(u2 * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 * N[(N[Sqrt[2.0], $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[Log[N[(1.0 / u1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right)\right) \]

   6. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. pow-to-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(e^{\log \left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   3. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\log \left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{exp.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \log \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \log \left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \log \left(e^{\log \left(-2 \cdot \log u1\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\left(e^{\log \left(-2 \cdot \log u1\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. log-lowering-log.f64 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto 0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{e^{0.5 \cdot \log \left(-2 \cdot \log u1\right)}}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]

7. Taylor expanded in u1 around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \sqrt{2}\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right), \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\log \left(\frac{1}{u1}\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1}{u1}\right)\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, u1\right)\right)\right), \left(\sqrt{2}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, u1\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(2\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.5%

   \[\leadsto 0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \sqrt{2}\right)}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \]

10. Final simplification 99.5%

    \[\leadsto 0.5 + \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)}\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 + \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\log u1 \cdot -2}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  0.5
  (*
   (cos (* 2.0 (* u2 PI)))
   (* 0.16666666666666666 (sqrt (* (log u1) -2.0))))))

C

double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (cos((2.0 * (u2 * ((double) M_PI)))) * (0.16666666666666666 * sqrt((log(u1) * -2.0))));
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (Math.cos((2.0 * (u2 * Math.PI))) * (0.16666666666666666 * Math.sqrt((Math.log(u1) * -2.0))));
}

Python

def code(u1, u2):
	return 0.5 + (math.cos((2.0 * (u2 * math.pi))) * (0.16666666666666666 * math.sqrt((math.log(u1) * -2.0))))

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(0.5 + Float64(cos(Float64(2.0 * Float64(u2 * pi))) * Float64(0.16666666666666666 * sqrt(Float64(log(u1) * -2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = 0.5 + (cos((2.0 * (u2 * pi))) * (0.16666666666666666 * sqrt((log(u1) * -2.0))));
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(0.5 + N[(N[Cos[N[(2.0 * N[(u2 * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 * N[Sqrt[N[(N[Log[u1], $MachinePrecision] * -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right)\right) \]

   6. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto 0.5 + \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\log u1 \cdot -2}\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\log u1 \cdot -2}\right) \cdot \left(1 + \pi \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  0.5
  (*
   (* 0.16666666666666666 (sqrt (* (log u1) -2.0)))
   (+ 1.0 (* PI (* -2.0 (* PI (* u2 u2))))))))

C

double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + ((0.16666666666666666 * sqrt((log(u1) * -2.0))) * (1.0 + (((double) M_PI) * (-2.0 * (((double) M_PI) * (u2 * u2))))));
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + ((0.16666666666666666 * Math.sqrt((Math.log(u1) * -2.0))) * (1.0 + (Math.PI * (-2.0 * (Math.PI * (u2 * u2))))));
}

Python

def code(u1, u2):
	return 0.5 + ((0.16666666666666666 * math.sqrt((math.log(u1) * -2.0))) * (1.0 + (math.pi * (-2.0 * (math.pi * (u2 * u2))))))

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(0.5 + Float64(Float64(0.16666666666666666 * sqrt(Float64(log(u1) * -2.0))) * Float64(1.0 + Float64(pi * Float64(-2.0 * Float64(pi * Float64(u2 * u2)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = 0.5 + ((0.16666666666666666 * sqrt((log(u1) * -2.0))) * (1.0 + (pi * (-2.0 * (pi * (u2 * u2))))));
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(0.5 + N[(N[(0.16666666666666666 * N[Sqrt[N[(N[Log[u1], $MachinePrecision] * -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(Pi * N[(-2.0 * N[(Pi * N[(u2 * u2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right)\right) \]

   6. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto 0.5 + \color{blue}{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot u2\right)\right)\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

7. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(-2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-2, \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-2, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-2, \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left({u2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left({u2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

9. Simplified 98.4%

   \[\leadsto 0.5 + \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot 0.16666666666666666 \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\left(1 + -2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \frac{1}{6}\right)\right) \]

    2. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(1 + -2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(1 + -2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\sqrt{-2 \cdot \log u1}}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + -2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)}\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 98.4%

    \[\leadsto 0.5 + \color{blue}{\left(1 + \pi \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)} \]

12. Final simplification 98.4%

    \[\leadsto 0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\log u1 \cdot -2}\right) \cdot \left(1 + \pi \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 + 0.16666666666666666 \cdot \left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot \left(1 + -2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  0.5
  (*
   0.16666666666666666
   (* (sqrt (* (log u1) -2.0)) (+ 1.0 (* -2.0 (* PI (* PI (* u2 u2)))))))))

C

double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (0.16666666666666666 * (sqrt((log(u1) * -2.0)) * (1.0 + (-2.0 * (((double) M_PI) * (((double) M_PI) * (u2 * u2)))))));
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (0.16666666666666666 * (Math.sqrt((Math.log(u1) * -2.0)) * (1.0 + (-2.0 * (Math.PI * (Math.PI * (u2 * u2)))))));
}

Python

def code(u1, u2):
	return 0.5 + (0.16666666666666666 * (math.sqrt((math.log(u1) * -2.0)) * (1.0 + (-2.0 * (math.pi * (math.pi * (u2 * u2)))))))

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(0.5 + Float64(0.16666666666666666 * Float64(sqrt(Float64(log(u1) * -2.0)) * Float64(1.0 + Float64(-2.0 * Float64(pi * Float64(pi * Float64(u2 * u2))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = 0.5 + (0.16666666666666666 * (sqrt((log(u1) * -2.0)) * (1.0 + (-2.0 * (pi * (pi * (u2 * u2)))))));
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(0.5 + N[(0.16666666666666666 * N[(N[Sqrt[N[(N[Log[u1], $MachinePrecision] * -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(-2.0 * N[(Pi * N[(Pi * N[(u2 * u2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right)\right) \]

   6. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto 0.5 + \color{blue}{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot u2\right)\right)\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

7. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(-2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-2, \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-2, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-2, \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left({u2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left({u2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{6}\right)\right) \]

9. Simplified 98.4%

   \[\leadsto 0.5 + \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot 0.16666666666666666 \]

10. Final simplification 98.4%

    \[\leadsto 0.5 + 0.16666666666666666 \cdot \left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot \left(1 + -2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 7: 98.1% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 + 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\log u1 \cdot -2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+ 0.5 (* 0.16666666666666666 (sqrt (* (log u1) -2.0)))))

C

double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (0.16666666666666666 * sqrt((log(u1) * -2.0)));
}

Fortran

real(8) function code(u1, u2)
    real(8), intent (in) :: u1
    real(8), intent (in) :: u2
    code = 0.5d0 + (0.16666666666666666d0 * sqrt((log(u1) * (-2.0d0))))
end function

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + (0.16666666666666666 * Math.sqrt((Math.log(u1) * -2.0)));
}

Python

def code(u1, u2):
	return 0.5 + (0.16666666666666666 * math.sqrt((math.log(u1) * -2.0)))

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(0.5 + Float64(0.16666666666666666 * sqrt(Float64(log(u1) * -2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = 0.5 + (0.16666666666666666 * sqrt((log(u1) * -2.0)));
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(0.5 + N[(0.16666666666666666 * N[Sqrt[N[(N[Log[u1], $MachinePrecision] * -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{6}\right), \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right)\right) \]

   6. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. log-lowering-log.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{\log u1} \cdot \sqrt{-2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{\log u1} \cdot \sqrt{-2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left(\sqrt{\log u1} \cdot \sqrt{-2}\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{-2} \cdot \color{blue}{\sqrt{\log u1}}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt{-2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\log u1}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(-2\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\log u1}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(-2\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\log u1\right)\right)\right)\right) \]

   7. log-lowering-log.f64 0.0%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(-2\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 0.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot \left(\sqrt{-2} \cdot \sqrt{\log u1}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{-2} \cdot \sqrt{\log u1}\right) + \color{blue}{\frac{1}{2}} \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\sqrt{-2} \cdot \sqrt{\log u1}\right)\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right) \]

   3. sqrt-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right), \frac{1}{2}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   5. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(\sqrt{e^{\log \left(-2 \cdot \log u1\right)}}\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(e^{\log \left(-2 \cdot \log u1\right)}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   7. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot \log u1\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   8. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(-2 \cdot e^{\log \log u1}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \left(e^{\log \log u1}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   10. rem-exp-log N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \log u1\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

   11. log-lowering-log.f64 97.2%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{log.f64}\left(u1\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right) \]

9. Applied egg-rr 97.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} + 0.5} \]

10. Final simplification 97.2%

    \[\leadsto 0.5 + 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\log u1 \cdot -2} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024164 
(FPCore (u1 u2)
  :name "normal distribution"
  :precision binary64
  :pre (and (and (<= 0.0 u1) (<= u1 1.0)) (and (<= 0.0 u2) (<= u2 1.0)))
  (+ (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2))) 0.5))