powComplex, real part

Percentage Accurate: 40.3% → 79.0%

Time: 20.3s

Alternatives: 17

Speedup: 7.4×

• 35.1% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)\\ e^{t\_0 \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(t\_0 \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))))
   (*
    (exp (- (* t_0 y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
    (cos (+ (* t_0 y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * cos(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    t_0 = log(sqrt(((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im))))
    code = exp(((t_0 * y_46re) - (atan2(x_46im, x_46re) * y_46im))) * cos(((t_0 * y_46im) + (atan2(x_46im, x_46re) * y_46re)))
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return Math.exp(((t_0 * y_46_re) - (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * Math.cos(((t_0 * y_46_im) + (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))
	return math.exp(((t_0 * y_46_re) - (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * math.cos(((t_0 * y_46_im) + (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)))

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))
	return Float64(exp(Float64(Float64(t_0 * y_46_re) - Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * cos(Float64(Float64(t_0 * y_46_im) + Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_re))))
end

MATLAB

function tmp = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	tmp = exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * cos(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[Exp[N[(N[(t$95$0 * y$46$re), $MachinePrecision] - N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(t$95$0 * y$46$im), $MachinePrecision] + N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 40.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)\\ e^{t\_0 \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(t\_0 \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))))
   (*
    (exp (- (* t_0 y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
    (cos (+ (* t_0 y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * cos(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    t_0 = log(sqrt(((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im))))
    code = exp(((t_0 * y_46re) - (atan2(x_46im, x_46re) * y_46im))) * cos(((t_0 * y_46im) + (atan2(x_46im, x_46re) * y_46re)))
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return Math.exp(((t_0 * y_46_re) - (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * Math.cos(((t_0 * y_46_im) + (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))
	return math.exp(((t_0 * y_46_re) - (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * math.cos(((t_0 * y_46_im) + (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)))

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))
	return Float64(exp(Float64(Float64(t_0 * y_46_re) - Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * cos(Float64(Float64(t_0 * y_46_im) + Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_re))))
end

MATLAB

function tmp = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	tmp = exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * cos(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[Exp[N[(N[(t$95$0 * y$46$re), $MachinePrecision] - N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(t$95$0 * y$46$im), $MachinePrecision] + N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 79.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_1 := \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ t_2 := {\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -12.6:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - t\_0} \cdot t\_1\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{t\_0}}{t\_2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_1}{\frac{t\_0 + 1}{t\_2}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (atan2 x.im x.re) y.im))
        (t_1 (cos (* y.im (log (hypot x.im x.re)))))
        (t_2 (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
   (if (<= y.re -12.6)
     (*
      (exp (- (* y.re (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))) t_0))
      t_1)
     (if (<= y.re 3.1e-21)
       (/
        (cos (+ (* y.im (log (hypot x.re x.im))) (* y.re (atan2 x.im x.re))))
        (/ (exp t_0) t_2))
       (/ t_1 (/ (+ t_0 1.0) t_2))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	double t_2 = pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -12.6) {
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * t_1;
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = cos(((y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))) + (y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)))) / (exp(t_0) / t_2);
	} else {
		tmp = t_1 / ((t_0 + 1.0) / t_2);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = Math.cos((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re))));
	double t_2 = Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -12.6) {
		tmp = Math.exp(((y_46_re * Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * t_1;
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = Math.cos(((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_re, x_46_im))) + (y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re)))) / (Math.exp(t_0) / t_2);
	} else {
		tmp = t_1 / ((t_0 + 1.0) / t_2);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_1 = math.cos((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))))
	t_2 = math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -12.6:
		tmp = math.exp(((y_46_re * math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * t_1
	elif y_46_re <= 3.1e-21:
		tmp = math.cos(((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_re, x_46_im))) + (y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)))) / (math.exp(t_0) / t_2)
	else:
		tmp = t_1 / ((t_0 + 1.0) / t_2)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_1 = cos(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))))
	t_2 = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -12.6)
		tmp = Float64(exp(Float64(Float64(y_46_re * log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * t_1);
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = Float64(cos(Float64(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))) + Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re)))) / Float64(exp(t_0) / t_2));
	else
		tmp = Float64(t_1 / Float64(Float64(t_0 + 1.0) / t_2));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_1 = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	t_2 = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re;
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -12.6)
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * t_1;
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = cos(((y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))) + (y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)))) / (exp(t_0) / t_2);
	else
		tmp = t_1 / ((t_0 + 1.0) / t_2);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -12.6], N[(N[Exp[N[(N[(y$46$re * N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 3.1e-21], N[(N[Cos[N[(N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision] / t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 / N[(N[(t$95$0 + 1.0), $MachinePrecision] / t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -12.5999999999999996

   1. Initial program 37.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 88.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.5%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)} \]

   if -12.5999999999999996 < y.re < 3.0999999999999998e-21

   1. Initial program 39.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 80.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   if 3.0999999999999998e-21 < y.re

   1. Initial program 29.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 49.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 56.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 56.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\color{blue}{x.re}, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 74.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 74.8%

       \[\leadsto \frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 81.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -12.6:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im + 1}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 79.0% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}\\ t_1 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_2 := \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -2.9:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - t\_1} \cdot t\_2\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_2}{\frac{{e}^{t\_1}}{t\_0}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_2}{\frac{t\_1 + 1}{t\_0}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (hypot x.re x.im) y.re))
        (t_1 (* (atan2 x.im x.re) y.im))
        (t_2 (cos (* y.im (log (hypot x.im x.re))))))
   (if (<= y.re -2.9)
     (*
      (exp (- (* y.re (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))) t_1))
      t_2)
     (if (<= y.re 3.1e-21)
       (/ t_2 (/ (pow E t_1) t_0))
       (/ t_2 (/ (+ t_1 1.0) t_0))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	double t_1 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_2 = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -2.9) {
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_1)) * t_2;
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = t_2 / (pow(((double) M_E), t_1) / t_0);
	} else {
		tmp = t_2 / ((t_1 + 1.0) / t_0);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	double t_1 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_2 = Math.cos((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re))));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -2.9) {
		tmp = Math.exp(((y_46_re * Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_1)) * t_2;
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = t_2 / (Math.pow(Math.E, t_1) / t_0);
	} else {
		tmp = t_2 / ((t_1 + 1.0) / t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re)
	t_1 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_2 = math.cos((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -2.9:
		tmp = math.exp(((y_46_re * math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_1)) * t_2
	elif y_46_re <= 3.1e-21:
		tmp = t_2 / (math.pow(math.e, t_1) / t_0)
	else:
		tmp = t_2 / ((t_1 + 1.0) / t_0)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re
	t_1 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_2 = cos(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -2.9)
		tmp = Float64(exp(Float64(Float64(y_46_re * log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))) - t_1)) * t_2);
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = Float64(t_2 / Float64((exp(1) ^ t_1) / t_0));
	else
		tmp = Float64(t_2 / Float64(Float64(t_1 + 1.0) / t_0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re;
	t_1 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_2 = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -2.9)
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_1)) * t_2;
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = t_2 / ((2.71828182845904523536 ^ t_1) / t_0);
	else
		tmp = t_2 / ((t_1 + 1.0) / t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Cos[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -2.9], N[(N[Exp[N[(N[(y$46$re * N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 3.1e-21], N[(t$95$2 / N[(N[Power[E, t$95$1], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$2 / N[(N[(t$95$1 + 1.0), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -2.89999999999999991

   1. Initial program 37.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 88.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.5%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)} \]

   if -2.89999999999999991 < y.re < 3.0999999999999998e-21

   1. Initial program 39.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 80.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 80.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 80.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\color{blue}{x.re}, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. exp-prod N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(e^{y.im}\right)}^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

      3. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{y.im}\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(y.im\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\color{blue}{x.re}, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. atan2-lowering-atan2.f64 78.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(y.im\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, \color{blue}{x.im}\right), y.re\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 78.9%

      \[\leadsto \frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{\color{blue}{{\left(e^{y.im}\right)}^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. pow-exp N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       2. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{1 \cdot \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\color{blue}{x.re}, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

       3. exp-prod N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(e^{1}\right)}^{\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       4. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{1}\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       5. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(1\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\color{blue}{x.re}, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(1\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, \color{blue}{x.im}\right), y.re\right)\right)\right) \]

       7. atan2-lowering-atan2.f64 80.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(1\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 80.0%

       \[\leadsto \frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{\color{blue}{{\left(e^{1}\right)}^{\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   if 3.0999999999999998e-21 < y.re

   1. Initial program 29.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 49.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 56.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 56.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\color{blue}{x.re}, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 74.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 74.8%

       \[\leadsto \frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 81.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -2.9:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{{e}^{\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im + 1}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 79.0% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}\\ t_1 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_2 := \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -2:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - t\_1} \cdot t\_2\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_2}{\frac{e^{t\_1}}{t\_0}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_2}{\frac{t\_1 + 1}{t\_0}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (hypot x.re x.im) y.re))
        (t_1 (* (atan2 x.im x.re) y.im))
        (t_2 (cos (* y.im (log (hypot x.im x.re))))))
   (if (<= y.re -2.0)
     (*
      (exp (- (* y.re (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))) t_1))
      t_2)
     (if (<= y.re 3.1e-21)
       (/ t_2 (/ (exp t_1) t_0))
       (/ t_2 (/ (+ t_1 1.0) t_0))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	double t_1 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_2 = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -2.0) {
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_1)) * t_2;
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = t_2 / (exp(t_1) / t_0);
	} else {
		tmp = t_2 / ((t_1 + 1.0) / t_0);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	double t_1 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_2 = Math.cos((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re))));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -2.0) {
		tmp = Math.exp(((y_46_re * Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_1)) * t_2;
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = t_2 / (Math.exp(t_1) / t_0);
	} else {
		tmp = t_2 / ((t_1 + 1.0) / t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re)
	t_1 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_2 = math.cos((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -2.0:
		tmp = math.exp(((y_46_re * math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_1)) * t_2
	elif y_46_re <= 3.1e-21:
		tmp = t_2 / (math.exp(t_1) / t_0)
	else:
		tmp = t_2 / ((t_1 + 1.0) / t_0)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re
	t_1 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_2 = cos(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -2.0)
		tmp = Float64(exp(Float64(Float64(y_46_re * log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))) - t_1)) * t_2);
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = Float64(t_2 / Float64(exp(t_1) / t_0));
	else
		tmp = Float64(t_2 / Float64(Float64(t_1 + 1.0) / t_0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re;
	t_1 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_2 = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -2.0)
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_1)) * t_2;
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = t_2 / (exp(t_1) / t_0);
	else
		tmp = t_2 / ((t_1 + 1.0) / t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Cos[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -2.0], N[(N[Exp[N[(N[(y$46$re * N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 3.1e-21], N[(t$95$2 / N[(N[Exp[t$95$1], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$2 / N[(N[(t$95$1 + 1.0), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -2

   1. Initial program 37.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 88.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.5%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)} \]

   if -2 < y.re < 3.0999999999999998e-21

   1. Initial program 39.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 80.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 80.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 80.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   if 3.0999999999999998e-21 < y.re

   1. Initial program 29.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 49.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 56.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 56.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\color{blue}{x.re}, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 74.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 74.8%

       \[\leadsto \frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 81.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -2:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im + 1}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 77.9% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}\\ t_1 := \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -6.2 \cdot 10^{-12}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_1}{\frac{1}{t\_0}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot {\left({\left(e^{-1}\right)}^{-1}\right)}^{\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_1}{\frac{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im + 1}{t\_0}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (hypot x.re x.im) y.re))
        (t_1 (cos (* y.im (log (hypot x.im x.re))))))
   (if (<= y.re -6.2e-12)
     (/ t_1 (/ 1.0 t_0))
     (if (<= y.re 3.1e-21)
       (* t_1 (pow (pow (exp -1.0) -1.0) (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im))))
       (/ t_1 (/ (+ (* (atan2 x.im x.re) y.im) 1.0) t_0))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	double t_1 = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -6.2e-12) {
		tmp = t_1 / (1.0 / t_0);
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = t_1 * pow(pow(exp(-1.0), -1.0), (atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	} else {
		tmp = t_1 / (((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im) + 1.0) / t_0);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	double t_1 = Math.cos((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re))));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -6.2e-12) {
		tmp = t_1 / (1.0 / t_0);
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = t_1 * Math.pow(Math.pow(Math.exp(-1.0), -1.0), (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	} else {
		tmp = t_1 / (((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im) + 1.0) / t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re)
	t_1 = math.cos((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -6.2e-12:
		tmp = t_1 / (1.0 / t_0)
	elif y_46_re <= 3.1e-21:
		tmp = t_1 * math.pow(math.pow(math.exp(-1.0), -1.0), (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)))
	else:
		tmp = t_1 / (((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im) + 1.0) / t_0)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re
	t_1 = cos(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -6.2e-12)
		tmp = Float64(t_1 / Float64(1.0 / t_0));
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = Float64(t_1 * ((exp(-1.0) ^ -1.0) ^ Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im))));
	else
		tmp = Float64(t_1 / Float64(Float64(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im) + 1.0) / t_0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re;
	t_1 = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -6.2e-12)
		tmp = t_1 / (1.0 / t_0);
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = t_1 * ((exp(-1.0) ^ -1.0) ^ (atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	else
		tmp = t_1 / (((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im) + 1.0) / t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -6.2e-12], N[(t$95$1 / N[(1.0 / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 3.1e-21], N[(t$95$1 * N[Power[N[Power[N[Exp[-1.0], $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision], N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 / N[(N[(N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -6.2000000000000002e-12

   1. Initial program 36.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 65.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 76.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 76.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 86.4%

       \[\leadsto \frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{\color{blue}{1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   if -6.2000000000000002e-12 < y.re < 3.0999999999999998e-21

   1. Initial program 40.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]

      4. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \cos \left(\color{blue}{y.im} \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{y.im} \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. hypot-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. hypot-lowering-hypot.f64 80.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 80.2%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.im}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{-1 \cdot \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.im}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. exp-prod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(e^{-1}\right)}^{\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(e^{-1}\right)}^{\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(e^{-1}\right)}^{\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im\right)\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(e^{-1}\right)}^{\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(0 - y.im\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(e^{-1}\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(e^{-1}\right)}^{\left(-1 \cdot \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. pow-unpow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left({\left(e^{-1}\right)}^{-1}\right)}^{\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      10. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(e^{-1}\right)}^{-1}\right), \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      11. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{-1}\right), -1\right), \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.im}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(-1\right), -1\right), \left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(-1\right), -1\right), \left(\left(0 - y.im\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      14. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(-1\right), -1\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(-1\right), -1\right), \left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      16. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(-1\right), -1\right), \left(0 - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      17. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(-1\right), -1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(-1\right), -1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. atan2-lowering-atan2.f64 80.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(-1\right), -1\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 80.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(e^{-1}\right)}^{-1}\right)}^{\left(0 - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \]

   if 3.0999999999999998e-21 < y.re

   1. Initial program 29.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 49.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 56.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 56.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\color{blue}{x.re}, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 74.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 74.8%

       \[\leadsto \frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 80.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -6.2 \cdot 10^{-12}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{1}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \cdot {\left({\left(e^{-1}\right)}^{-1}\right)}^{\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im + 1}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 77.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}\\ t_1 := \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ t_2 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -2.7 \cdot 10^{-12}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_1}{\frac{1}{t\_0}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot {\left(e^{-1}\right)}^{t\_2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_1}{\frac{t\_2 + 1}{t\_0}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (hypot x.re x.im) y.re))
        (t_1 (cos (* y.im (log (hypot x.im x.re)))))
        (t_2 (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
   (if (<= y.re -2.7e-12)
     (/ t_1 (/ 1.0 t_0))
     (if (<= y.re 3.1e-21)
       (* t_1 (pow (exp -1.0) t_2))
       (/ t_1 (/ (+ t_2 1.0) t_0))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	double t_1 = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	double t_2 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double tmp;
	if (y_46_re <= -2.7e-12) {
		tmp = t_1 / (1.0 / t_0);
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = t_1 * pow(exp(-1.0), t_2);
	} else {
		tmp = t_1 / ((t_2 + 1.0) / t_0);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	double t_1 = Math.cos((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re))));
	double t_2 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double tmp;
	if (y_46_re <= -2.7e-12) {
		tmp = t_1 / (1.0 / t_0);
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = t_1 * Math.pow(Math.exp(-1.0), t_2);
	} else {
		tmp = t_1 / ((t_2 + 1.0) / t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re)
	t_1 = math.cos((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))))
	t_2 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	tmp = 0
	if y_46_re <= -2.7e-12:
		tmp = t_1 / (1.0 / t_0)
	elif y_46_re <= 3.1e-21:
		tmp = t_1 * math.pow(math.exp(-1.0), t_2)
	else:
		tmp = t_1 / ((t_2 + 1.0) / t_0)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re
	t_1 = cos(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))))
	t_2 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -2.7e-12)
		tmp = Float64(t_1 / Float64(1.0 / t_0));
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = Float64(t_1 * (exp(-1.0) ^ t_2));
	else
		tmp = Float64(t_1 / Float64(Float64(t_2 + 1.0) / t_0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re;
	t_1 = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	t_2 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -2.7e-12)
		tmp = t_1 / (1.0 / t_0);
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = t_1 * (exp(-1.0) ^ t_2);
	else
		tmp = t_1 / ((t_2 + 1.0) / t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -2.7e-12], N[(t$95$1 / N[(1.0 / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 3.1e-21], N[(t$95$1 * N[Power[N[Exp[-1.0], $MachinePrecision], t$95$2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 / N[(N[(t$95$2 + 1.0), $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -2.6999999999999998e-12

   1. Initial program 36.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 65.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 76.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 76.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 86.4%

       \[\leadsto \frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{\color{blue}{1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   if -2.6999999999999998e-12 < y.re < 3.0999999999999998e-21

   1. Initial program 40.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]

      4. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \cos \left(\color{blue}{y.im} \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{y.im} \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. hypot-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. hypot-lowering-hypot.f64 80.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 80.2%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.im}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{-1 \cdot \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.im}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. exp-prod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(e^{-1}\right)}^{\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      4. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{-1}\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(-1\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.im}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(-1\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. atan2-lowering-atan2.f64 80.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(-1\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 80.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(e^{-1}\right)}^{\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \]

   if 3.0999999999999998e-21 < y.re

   1. Initial program 29.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 49.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 56.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 56.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\color{blue}{x.re}, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. atan2-lowering-atan2.f64 74.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 74.8%

       \[\leadsto \frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 80.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -2.7 \cdot 10^{-12}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{1}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \cdot {\left(e^{-1}\right)}^{\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im + 1}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 77.5% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -2.8 \cdot 10^{-12}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_0}{\frac{1}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot {\left(e^{-1}\right)}^{\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (* y.im (log (hypot x.im x.re))))))
   (if (<= y.re -2.8e-12)
     (/ t_0 (/ 1.0 (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
     (if (<= y.re 3.1e-21)
       (* t_0 (pow (exp -1.0) (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
       (/ 1.0 (pow (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)) (/ y.re -2.0)))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -2.8e-12) {
		tmp = t_0 / (1.0 / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = t_0 * pow(exp(-1.0), (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	} else {
		tmp = 1.0 / pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.cos((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re))));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -2.8e-12) {
		tmp = t_0 / (1.0 / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = t_0 * Math.pow(Math.exp(-1.0), (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	} else {
		tmp = 1.0 / Math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.cos((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -2.8e-12:
		tmp = t_0 / (1.0 / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	elif y_46_re <= 3.1e-21:
		tmp = t_0 * math.pow(math.exp(-1.0), (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))
	else:
		tmp = 1.0 / math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = cos(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -2.8e-12)
		tmp = Float64(t_0 / Float64(1.0 / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = Float64(t_0 * (exp(-1.0) ^ Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)));
	else
		tmp = Float64(1.0 / (Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)) ^ Float64(y_46_re / -2.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -2.8e-12)
		tmp = t_0 / (1.0 / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = t_0 * (exp(-1.0) ^ (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	else
		tmp = 1.0 / (((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)) ^ (y_46_re / -2.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -2.8e-12], N[(t$95$0 / N[(1.0 / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 3.1e-21], N[(t$95$0 * N[Power[N[Exp[-1.0], $MachinePrecision], N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[Power[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$re / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -2.8000000000000002e-12

   1. Initial program 36.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 65.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 76.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 76.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 86.4%

       \[\leadsto \frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{\color{blue}{1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   if -2.8000000000000002e-12 < y.re < 3.0999999999999998e-21

   1. Initial program 40.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]

      4. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \cos \left(\color{blue}{y.im} \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{y.im} \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. hypot-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. hypot-lowering-hypot.f64 80.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 80.2%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.im}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{-1 \cdot \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.im}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. exp-prod N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(e^{-1}\right)}^{\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      4. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{-1}\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(-1\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.im}, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(-1\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. atan2-lowering-atan2.f64 80.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(-1\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 80.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(e^{-1}\right)}^{\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \]

   if 3.0999999999999998e-21 < y.re

   1. Initial program 29.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 49.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 56.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 56.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 63.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       2. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       3. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}{\color{blue}{\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)}\right)\right) \]

       5. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       6. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       7. pow-flip N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)}\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       8. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       9. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       13. distribute-neg-frac2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       16. rec-exp N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)}\right)\right)\right) \]

       17. distribute-lft-neg-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \cdot y.im}\right)\right)\right) \]

       18. mul-1-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot y.im}\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 63.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}}}} \]

   13. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

   15. Simplified 71.1%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}{\color{blue}{1}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 80.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -2.8 \cdot 10^{-12}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{1}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \cdot {\left(e^{-1}\right)}^{\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 77.5% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -6.1 \cdot 10^{-12}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_0}{\frac{1}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (* y.im (log (hypot x.im x.re))))))
   (if (<= y.re -6.1e-12)
     (/ t_0 (/ 1.0 (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
     (if (<= y.re 3.1e-21)
       (* t_0 (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im))))
       (/ 1.0 (pow (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)) (/ y.re -2.0)))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -6.1e-12) {
		tmp = t_0 / (1.0 / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = t_0 * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	} else {
		tmp = 1.0 / pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.cos((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re))));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -6.1e-12) {
		tmp = t_0 / (1.0 / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = t_0 * Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	} else {
		tmp = 1.0 / Math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.cos((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -6.1e-12:
		tmp = t_0 / (1.0 / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	elif y_46_re <= 3.1e-21:
		tmp = t_0 * math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)))
	else:
		tmp = 1.0 / math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = cos(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -6.1e-12)
		tmp = Float64(t_0 / Float64(1.0 / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = Float64(t_0 * exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / (Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)) ^ Float64(y_46_re / -2.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -6.1e-12)
		tmp = t_0 / (1.0 / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = t_0 * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	else
		tmp = 1.0 / (((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)) ^ (y_46_re / -2.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -6.1e-12], N[(t$95$0 / N[(1.0 / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 3.1e-21], N[(t$95$0 * N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[Power[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$re / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -6.1000000000000003e-12

   1. Initial program 36.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 65.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 76.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 76.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 86.4%

       \[\leadsto \frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{\color{blue}{1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   if -6.1000000000000003e-12 < y.re < 3.0999999999999998e-21

   1. Initial program 40.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]

      4. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \cos \left(\color{blue}{y.im} \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{y.im} \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. hypot-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. hypot-lowering-hypot.f64 80.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 80.2%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)} \]

   if 3.0999999999999998e-21 < y.re

   1. Initial program 29.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 49.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 56.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 56.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 63.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       2. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       3. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}{\color{blue}{\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)}\right)\right) \]

       5. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       6. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       7. pow-flip N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)}\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       8. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       9. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       13. distribute-neg-frac2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       16. rec-exp N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)}\right)\right)\right) \]

       17. distribute-lft-neg-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \cdot y.im}\right)\right)\right) \]

       18. mul-1-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot y.im}\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 63.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}}}} \]

   13. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

   15. Simplified 71.1%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}{\color{blue}{1}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 80.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -6.1 \cdot 10^{-12}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{1}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 77.5% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -5 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_0}{\frac{1}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_0}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cos (* y.im (log (hypot x.im x.re))))))
   (if (<= y.re -5e-15)
     (/ t_0 (/ 1.0 (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
     (if (<= y.re 3.1e-21)
       (/ t_0 (exp (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
       (/ 1.0 (pow (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)) (/ y.re -2.0)))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -5e-15) {
		tmp = t_0 / (1.0 / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = t_0 / exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	} else {
		tmp = 1.0 / pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.cos((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re))));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -5e-15) {
		tmp = t_0 / (1.0 / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = t_0 / Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	} else {
		tmp = 1.0 / Math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.cos((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -5e-15:
		tmp = t_0 / (1.0 / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	elif y_46_re <= 3.1e-21:
		tmp = t_0 / math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))
	else:
		tmp = 1.0 / math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = cos(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -5e-15)
		tmp = Float64(t_0 / Float64(1.0 / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = Float64(t_0 / exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)));
	else
		tmp = Float64(1.0 / (Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)) ^ Float64(y_46_re / -2.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -5e-15)
		tmp = t_0 / (1.0 / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = t_0 / exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	else
		tmp = 1.0 / (((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)) ^ (y_46_re / -2.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -5e-15], N[(t$95$0 / N[(1.0 / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 3.1e-21], N[(t$95$0 / N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[Power[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$re / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -4.99999999999999999e-15

   1. Initial program 36.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 65.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 76.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 76.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 86.4%

       \[\leadsto \frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{\color{blue}{1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   if -4.99999999999999999e-15 < y.re < 3.0999999999999998e-21

   1. Initial program 40.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 80.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      7. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      8. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 80.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 80.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   if 3.0999999999999998e-21 < y.re

   1. Initial program 29.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 49.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 56.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 56.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 63.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       2. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       3. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}{\color{blue}{\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)}\right)\right) \]

       5. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       6. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       7. pow-flip N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)}\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       8. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       9. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       13. distribute-neg-frac2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       16. rec-exp N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)}\right)\right)\right) \]

       17. distribute-lft-neg-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \cdot y.im}\right)\right)\right) \]

       18. mul-1-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot y.im}\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 63.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}}}} \]

   13. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

   15. Simplified 71.1%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}{\color{blue}{1}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 80.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -5 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{1}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 77.8% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -3.5 \cdot 10^{-12}:\\ \;\;\;\;{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= y.re -3.5e-12)
   (pow (hypot x.im x.re) y.re)
   (if (<= y.re 3.1e-21)
     (/
      (cos (* y.im (log (hypot x.im x.re))))
      (exp (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
     (/ 1.0 (pow (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)) (/ y.re -2.0))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -3.5e-12) {
		tmp = pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	} else {
		tmp = 1.0 / pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -3.5e-12) {
		tmp = Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = Math.cos((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	} else {
		tmp = 1.0 / Math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if y_46_re <= -3.5e-12:
		tmp = math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	elif y_46_re <= 3.1e-21:
		tmp = math.cos((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))
	else:
		tmp = 1.0 / math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -3.5e-12)
		tmp = hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re;
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = Float64(cos(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)));
	else
		tmp = Float64(1.0 / (Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)) ^ Float64(y_46_re / -2.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -3.5e-12)
		tmp = hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re;
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	else
		tmp = 1.0 / (((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)) ^ (y_46_re / -2.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[LessEqual[y$46$re, -3.5e-12], N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 3.1e-21], N[(N[Cos[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[Power[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$re / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -3.5e-12

   1. Initial program 36.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 73.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 73.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \color{blue}{1}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 85.1%

      \[\leadsto {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{1} \]

   if -3.5e-12 < y.re < 3.0999999999999998e-21

   1. Initial program 40.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 80.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      7. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      8. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 80.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 80.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   if 3.0999999999999998e-21 < y.re

   1. Initial program 29.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 49.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 56.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 56.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 63.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       2. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       3. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}{\color{blue}{\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)}\right)\right) \]

       5. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       6. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       7. pow-flip N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)}\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       8. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       9. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       13. distribute-neg-frac2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       16. rec-exp N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)}\right)\right)\right) \]

       17. distribute-lft-neg-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \cdot y.im}\right)\right)\right) \]

       18. mul-1-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot y.im}\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 63.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}}}} \]

   13. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

   15. Simplified 71.1%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}{\color{blue}{1}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 79.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -3.5 \cdot 10^{-12}:\\ \;\;\;\;{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 77.1% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -4.4 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= y.re -4.4e-15)
   (pow (hypot x.im x.re) y.re)
   (if (<= y.re 3.1e-21)
     (/ 1.0 (/ 1.0 (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im)))))
     (/ 1.0 (pow (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)) (/ y.re -2.0))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -4.4e-15) {
		tmp = pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = 1.0 / (1.0 / exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = 1.0 / pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -4.4e-15) {
		tmp = Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = 1.0 / (1.0 / Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	} else {
		tmp = 1.0 / Math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if y_46_re <= -4.4e-15:
		tmp = math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	elif y_46_re <= 3.1e-21:
		tmp = 1.0 / (1.0 / math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))))
	else:
		tmp = 1.0 / math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -4.4e-15)
		tmp = hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re;
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(1.0 / exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im)))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / (Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)) ^ Float64(y_46_re / -2.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -4.4e-15)
		tmp = hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re;
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = 1.0 / (1.0 / exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im))));
	else
		tmp = 1.0 / (((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)) ^ (y_46_re / -2.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[LessEqual[y$46$re, -4.4e-15], N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 3.1e-21], N[(1.0 / N[(1.0 / N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[Power[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$re / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -4.39999999999999971e-15

   1. Initial program 36.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 73.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 73.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \color{blue}{1}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 85.1%

      \[\leadsto {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{1} \]

   if -4.39999999999999971e-15 < y.re < 3.0999999999999998e-21

   1. Initial program 40.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 80.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 80.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 80.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 78.4%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       2. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       3. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}{\color{blue}{\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)}\right)\right) \]

       5. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       6. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       7. pow-flip N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)}\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       8. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       9. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       13. distribute-neg-frac2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       16. rec-exp N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)}\right)\right)\right) \]

       17. distribute-lft-neg-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \cdot y.im}\right)\right)\right) \]

       18. mul-1-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot y.im}\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 45.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}}}} \]

   13. Taylor expanded in y.re around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, y.im\right)\right)\right)\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

   15. Simplified 78.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}}} \]

   if 3.0999999999999998e-21 < y.re

   1. Initial program 29.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 49.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 56.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 56.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 63.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       2. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       3. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}{\color{blue}{\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)}\right)\right) \]

       5. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       6. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       7. pow-flip N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)}\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       8. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       9. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       13. distribute-neg-frac2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       16. rec-exp N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)}\right)\right)\right) \]

       17. distribute-lft-neg-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \cdot y.im}\right)\right)\right) \]

       18. mul-1-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot y.im}\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 63.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}}}} \]

   13. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

   15. Simplified 71.1%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}{\color{blue}{1}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 78.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -4.4 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 77.2% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -5.5 \cdot 10^{-12}:\\ \;\;\;\;{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= y.re -5.5e-12)
   (pow (hypot x.im x.re) y.re)
   (if (<= y.re 3.1e-21)
     (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im)))
     (/ 1.0 (pow (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)) (/ y.re -2.0))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -5.5e-12) {
		tmp = pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	} else {
		tmp = 1.0 / pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -5.5e-12) {
		tmp = Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	} else {
		tmp = 1.0 / Math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if y_46_re <= -5.5e-12:
		tmp = math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	elif y_46_re <= 3.1e-21:
		tmp = math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)))
	else:
		tmp = 1.0 / math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -5.5e-12)
		tmp = hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re;
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im)));
	else
		tmp = Float64(1.0 / (Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)) ^ Float64(y_46_re / -2.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -5.5e-12)
		tmp = hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re;
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	else
		tmp = 1.0 / (((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)) ^ (y_46_re / -2.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[LessEqual[y$46$re, -5.5e-12], N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 3.1e-21], N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[(1.0 / N[Power[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$re / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -5.5000000000000004e-12

   1. Initial program 36.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 73.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 73.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \color{blue}{1}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 85.1%

      \[\leadsto {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{1} \]

   if -5.5000000000000004e-12 < y.re < 3.0999999999999998e-21

   1. Initial program 40.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 80.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 80.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 80.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 78.4%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   11. Taylor expanded in y.re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. rec-exp N/A

          \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

       2. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto e^{-1 \cdot \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

       3. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

       4. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot y.im\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

       7. atan2-lowering-atan2.f64 78.4%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 78.4%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \]

   if 3.0999999999999998e-21 < y.re

   1. Initial program 29.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 49.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 56.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 56.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 63.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       2. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       3. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}{\color{blue}{\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)}\right)\right) \]

       5. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       6. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       7. pow-flip N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)}\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       8. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       9. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       13. distribute-neg-frac2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       16. rec-exp N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)}\right)\right)\right) \]

       17. distribute-lft-neg-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \cdot y.im}\right)\right)\right) \]

       18. mul-1-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot y.im}\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 63.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}}}} \]

   13. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

   15. Simplified 71.1%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}{\color{blue}{1}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 78.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -5.5 \cdot 10^{-12}:\\ \;\;\;\;{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 65.8% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \mathbf{if}\;y.im \leq -5.6 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 2.25 \cdot 10^{+139}:\\ \;\;\;\;{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (pow (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)) (/ y.re -2.0)))))
   (if (<= y.im -5.6e+20)
     t_0
     (if (<= y.im 2.25e+139) (pow (hypot x.im x.re) y.re) t_0))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = 1.0 / pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0));
	double tmp;
	if (y_46_im <= -5.6e+20) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_im <= 2.25e+139) {
		tmp = pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = 1.0 / Math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0));
	double tmp;
	if (y_46_im <= -5.6e+20) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_im <= 2.25e+139) {
		tmp = Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = 1.0 / math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0))
	tmp = 0
	if y_46_im <= -5.6e+20:
		tmp = t_0
	elif y_46_im <= 2.25e+139:
		tmp = math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(1.0 / (Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)) ^ Float64(y_46_re / -2.0)))
	tmp = 0.0
	if (y_46_im <= -5.6e+20)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_im <= 2.25e+139)
		tmp = hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re;
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = 1.0 / (((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)) ^ (y_46_re / -2.0));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_im <= -5.6e+20)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_im <= 2.25e+139)
		tmp = hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re;
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 / N[Power[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$re / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$im, -5.6e+20], t$95$0, If[LessEqual[y$46$im, 2.25e+139], N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.im < -5.6e20 or 2.25e139 < y.im

   1. Initial program 27.0%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 51.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 51.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 51.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 55.4%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       2. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       3. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}{\color{blue}{\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)}\right)\right) \]

       5. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       6. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       7. pow-flip N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)}\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       8. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       9. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       13. distribute-neg-frac2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       16. rec-exp N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)}\right)\right)\right) \]

       17. distribute-lft-neg-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \cdot y.im}\right)\right)\right) \]

       18. mul-1-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot y.im}\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 42.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}}}} \]

   13. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

   15. Simplified 41.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}{\color{blue}{1}}} \]

   if -5.6e20 < y.im < 2.25e139

   1. Initial program 42.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 74.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 74.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \color{blue}{1}\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 81.9%

      \[\leadsto {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 65.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.im \leq -5.6 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 2.25 \cdot 10^{+139}:\\ \;\;\;\;{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 60.9% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -3.1 \cdot 10^{-173}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.7 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;1 - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (pow (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)) (/ y.re -2.0)))))
   (if (<= y.re -3.1e-173)
     t_0
     (if (<= y.re 2.7e-21) (- 1.0 (* (atan2 x.im x.re) y.im)) t_0))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = 1.0 / pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -3.1e-173) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_re <= 2.7e-21) {
		tmp = 1.0 - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 1.0d0 / (((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im)) ** (y_46re / (-2.0d0)))
    if (y_46re <= (-3.1d-173)) then
        tmp = t_0
    else if (y_46re <= 2.7d-21) then
        tmp = 1.0d0 - (atan2(x_46im, x_46re) * y_46im)
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = 1.0 / Math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0));
	double tmp;
	if (y_46_re <= -3.1e-173) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_re <= 2.7e-21) {
		tmp = 1.0 - (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = 1.0 / math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / -2.0))
	tmp = 0
	if y_46_re <= -3.1e-173:
		tmp = t_0
	elif y_46_re <= 2.7e-21:
		tmp = 1.0 - (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(1.0 / (Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)) ^ Float64(y_46_re / -2.0)))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -3.1e-173)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_re <= 2.7e-21)
		tmp = Float64(1.0 - Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = 1.0 / (((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)) ^ (y_46_re / -2.0));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -3.1e-173)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_re <= 2.7e-21)
		tmp = 1.0 - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im);
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 / N[Power[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$re / -2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -3.1e-173], t$95$0, If[LessEqual[y$46$re, 2.7e-21], N[(1.0 - N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.re < -3.10000000000000005e-173 or 2.7000000000000001e-21 < y.re

   1. Initial program 34.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 63.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 71.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 71.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 72.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       2. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       3. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}{\color{blue}{\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}}\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)}\right)\right) \]

       5. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       6. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{{\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       7. pow-flip N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)}\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       8. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       9. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       13. distribute-neg-frac2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{\mathsf{neg}\left(2\right)}\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\right)\right)\right) \]

       16. rec-exp N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)}\right)\right)\right) \]

       17. distribute-lft-neg-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \cdot y.im}\right)\right)\right) \]

       18. mul-1-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \left(e^{\left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot y.im}\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 65.7%

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}}}} \]

   13. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, -2\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

   15. Simplified 70.8%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}{\color{blue}{1}}} \]

   if -3.10000000000000005e-173 < y.re < 2.7000000000000001e-21

   1. Initial program 40.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x.im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \color{blue}{\cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right), \color{blue}{\cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)} + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot y.re\right) \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot y.re\right), \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(-1 \cdot \color{blue}{\left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)} + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \color{blue}{\log \left(\frac{1}{x.im}\right)}\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + -1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 35.3%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(-1 \cdot y.re\right) \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + \left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right) \cdot e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot y.im\right), \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im\right)\right), \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right) \]

      7. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

      14. atan2-lowering-atan2.f64 35.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 35.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(-y.im\right) \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) \cdot e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}} \]

   9. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + -1 \cdot \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)}\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot y.im\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

       5. atan2-lowering-atan2.f64 47.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 47.8%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto 1 + \left(\mathsf{neg}\left(y.im\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re} \]

       2. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto 1 - \color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

       5. atan2-lowering-atan2.f64 47.8%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   13. Applied egg-rr 47.8%

       \[\leadsto \color{blue}{1 - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 62.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -3.1 \cdot 10^{-173}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.7 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;1 - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{-2}\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 60.1% accurate, 6.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\left(x.re + \frac{\left(x.im \cdot x.im\right) \cdot 0.5}{x.re}\right)}^{y.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -6.7 \cdot 10^{-12}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;1 - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (+ x.re (/ (* (* x.im x.im) 0.5) x.re)) y.re)))
   (if (<= y.re -6.7e-12)
     t_0
     (if (<= y.re 3.1e-21) (- 1.0 (* (atan2 x.im x.re) y.im)) t_0))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = pow((x_46_re + (((x_46_im * x_46_im) * 0.5) / x_46_re)), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -6.7e-12) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = 1.0 - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x_46re + (((x_46im * x_46im) * 0.5d0) / x_46re)) ** y_46re
    if (y_46re <= (-6.7d-12)) then
        tmp = t_0
    else if (y_46re <= 3.1d-21) then
        tmp = 1.0d0 - (atan2(x_46im, x_46re) * y_46im)
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.pow((x_46_re + (((x_46_im * x_46_im) * 0.5) / x_46_re)), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -6.7e-12) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_re <= 3.1e-21) {
		tmp = 1.0 - (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.pow((x_46_re + (((x_46_im * x_46_im) * 0.5) / x_46_re)), y_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -6.7e-12:
		tmp = t_0
	elif y_46_re <= 3.1e-21:
		tmp = 1.0 - (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(x_46_re + Float64(Float64(Float64(x_46_im * x_46_im) * 0.5) / x_46_re)) ^ y_46_re
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -6.7e-12)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = Float64(1.0 - Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = (x_46_re + (((x_46_im * x_46_im) * 0.5) / x_46_re)) ^ y_46_re;
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -6.7e-12)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_re <= 3.1e-21)
		tmp = 1.0 - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im);
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x$46$re + N[(N[(N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] / x$46$re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -6.7e-12], t$95$0, If[LessEqual[y$46$re, 3.1e-21], N[(1.0 - N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.re < -6.7000000000000001e-12 or 3.0999999999999998e-21 < y.re

   1. Initial program 33.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 68.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 68.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in x.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\left(x.re + \frac{1}{2} \cdot \frac{{x.im}^{2}}{x.re}\right)}, y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.re, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x.im}^{2}}{x.re}\right)\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.re, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {x.im}^{2}}{x.re}\right)\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.re, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {x.im}^{2}\right), x.re\right)\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.re, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x.im}^{2}\right)\right), x.re\right)\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.re, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x.im \cdot x.im\right)\right), x.re\right)\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 68.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.re, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), x.re\right)\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 68.0%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(x.re + \frac{0.5 \cdot \left(x.im \cdot x.im\right)}{x.re}\right)}}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \]

   9. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.re, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), x.re\right)\right), y.re\right), \color{blue}{1}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Simplified 75.1%

       \[\leadsto {\left(x.re + \frac{0.5 \cdot \left(x.im \cdot x.im\right)}{x.re}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{1} \]

   if -6.7000000000000001e-12 < y.re < 3.0999999999999998e-21

   1. Initial program 40.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x.im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \color{blue}{\cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right), \color{blue}{\cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)} + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot y.re\right) \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot y.re\right), \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(-1 \cdot \color{blue}{\left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)} + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \color{blue}{\log \left(\frac{1}{x.im}\right)}\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + -1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 37.8%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(-1 \cdot y.re\right) \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + \left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right) \cdot e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot y.im\right), \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im\right)\right), \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right) \]

      7. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

      14. atan2-lowering-atan2.f64 37.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 37.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(-y.im\right) \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) \cdot e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}} \]

   9. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + -1 \cdot \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)}\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot y.im\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

       5. atan2-lowering-atan2.f64 45.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 45.3%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto 1 + \left(\mathsf{neg}\left(y.im\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re} \]

       2. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto 1 - \color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

       5. atan2-lowering-atan2.f64 45.3%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   13. Applied egg-rr 45.3%

       \[\leadsto \color{blue}{1 - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 60.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -6.7 \cdot 10^{-12}:\\ \;\;\;\;{\left(x.re + \frac{\left(x.im \cdot x.im\right) \cdot 0.5}{x.re}\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 3.1 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;1 - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(x.re + \frac{\left(x.im \cdot x.im\right) \cdot 0.5}{x.re}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 52.8% accurate, 7.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -0.0029:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 4300000000000:\\ \;\;\;\;1 - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= y.re -0.0029)
   (pow x.im y.re)
   (if (<= y.re 4300000000000.0)
     (- 1.0 (* (atan2 x.im x.re) y.im))
     (pow x.im y.re))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -0.0029) {
		tmp = pow(x_46_im, y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 4300000000000.0) {
		tmp = 1.0 - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im);
	} else {
		tmp = pow(x_46_im, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: tmp
    if (y_46re <= (-0.0029d0)) then
        tmp = x_46im ** y_46re
    else if (y_46re <= 4300000000000.0d0) then
        tmp = 1.0d0 - (atan2(x_46im, x_46re) * y_46im)
    else
        tmp = x_46im ** y_46re
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -0.0029) {
		tmp = Math.pow(x_46_im, y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 4300000000000.0) {
		tmp = 1.0 - (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im);
	} else {
		tmp = Math.pow(x_46_im, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if y_46_re <= -0.0029:
		tmp = math.pow(x_46_im, y_46_re)
	elif y_46_re <= 4300000000000.0:
		tmp = 1.0 - (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	else:
		tmp = math.pow(x_46_im, y_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -0.0029)
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	elseif (y_46_re <= 4300000000000.0)
		tmp = Float64(1.0 - Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	else
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -0.0029)
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	elseif (y_46_re <= 4300000000000.0)
		tmp = 1.0 - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im);
	else
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[LessEqual[y$46$re, -0.0029], N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 4300000000000.0], N[(1.0 - N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.re < -0.0029 or 4.3e12 < y.re

   1. Initial program 33.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 68.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 68.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in x.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left({x.im}^{y.re}\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. pow-lowering-pow.f64 52.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x.im, y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right) \]

   8. Simplified 52.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{x.im}^{y.re}} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \]

   9. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x.im, y.re\right), \color{blue}{1}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Simplified 58.8%

       \[\leadsto {x.im}^{y.re} \cdot \color{blue}{1} \]

   if -0.0029 < y.re < 4.3e12

   1. Initial program 39.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x.im around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \color{blue}{\cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right), \color{blue}{\cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \cos \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.re \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)} + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot y.re\right) \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot y.re\right), \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{-1} \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right), \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(-1 \cdot \color{blue}{\left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)} + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \color{blue}{\log \left(\frac{1}{x.im}\right)}\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + -1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.re\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 36.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(-1 \cdot y.re\right) \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right) - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + \left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right) \cdot e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cos \left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot y.im\right), \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im\right)\right), \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right)\right) \]

      7. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\left(\frac{1}{x.im}\right)\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right)\right), \left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

      14. atan2-lowering-atan2.f64 36.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(y.im\right), \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x.im\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 36.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(-y.im\right) \cdot \log \left(\frac{1}{x.im}\right)\right) \cdot e^{y.im \cdot \left(-1 \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}} \]

   9. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + -1 \cdot \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)}\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(-1 \cdot y.im\right), \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re}\right)\right) \]

       5. atan2-lowering-atan2.f64 44.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-1, y.im\right), \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 44.6%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-1 \cdot y.im\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto 1 + \left(\mathsf{neg}\left(y.im\right)\right) \cdot \tan^{-1}_* \frac{\color{blue}{x.im}}{x.re} \]

       2. cancel-sign-sub-inv N/A

          \[\leadsto 1 - \color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \color{blue}{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

       5. atan2-lowering-atan2.f64 44.6%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, \color{blue}{x.re}\right)\right)\right) \]

   13. Applied egg-rr 44.6%

       \[\leadsto \color{blue}{1 - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 51.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -0.0029:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 4300000000000:\\ \;\;\;\;1 - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 52.8% accurate, 7.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -0.23:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 25000000000:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= y.re -0.23)
   (pow x.im y.re)
   (if (<= y.re 25000000000.0) 1.0 (pow x.im y.re))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -0.23) {
		tmp = pow(x_46_im, y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 25000000000.0) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = pow(x_46_im, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: tmp
    if (y_46re <= (-0.23d0)) then
        tmp = x_46im ** y_46re
    else if (y_46re <= 25000000000.0d0) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = x_46im ** y_46re
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -0.23) {
		tmp = Math.pow(x_46_im, y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 25000000000.0) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = Math.pow(x_46_im, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if y_46_re <= -0.23:
		tmp = math.pow(x_46_im, y_46_re)
	elif y_46_re <= 25000000000.0:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = math.pow(x_46_im, y_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -0.23)
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	elseif (y_46_re <= 25000000000.0)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -0.23)
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	elseif (y_46_re <= 25000000000.0)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[LessEqual[y$46$re, -0.23], N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 25000000000.0], 1.0, N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.re < -0.23000000000000001 or 2.5e10 < y.re

   1. Initial program 33.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 68.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 68.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in x.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left({x.im}^{y.re}\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. pow-lowering-pow.f64 52.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x.im, y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)}\right)\right) \]

   8. Simplified 52.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{x.im}^{y.re}} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \]

   9. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x.im, y.re\right), \color{blue}{1}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Simplified 58.8%

       \[\leadsto {x.im}^{y.re} \cdot \color{blue}{1} \]

   if -0.23000000000000001 < y.re < 2.5e10

   1. Initial program 39.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 46.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 46.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 44.2%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 51.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -0.23:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 25000000000:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 25.8% accurate, 829.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	return 1.0

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 36.6%

   \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y.im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

   3. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

   6. hypot-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

   7. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

   10. atan2-lowering-atan2.f64 56.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 56.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

6. Taylor expanded in y.re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 24.4%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024164 
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "powComplex, real part"
  :precision binary64
  (* (exp (- (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im))) (cos (+ (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re)))))