UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 98.9% → 98.9%

Time: 20.8s

Alternatives: 17

Speedup: 1.3×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ t_1 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_2 := \sqrt{1 + t\_1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\\ \left(\left(t\_2 \cdot \cos t\_0\right) \cdot xi + \left(t\_2 \cdot \sin t\_0\right) \cdot yi\right) + t\_1 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* PI (* uy 2.0)))
        (t_1 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
        (t_2 (sqrt (+ 1.0 (* t_1 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
   (+ (+ (* (* t_2 (cos t_0)) xi) (* (* t_2 (sin t_0)) yi)) (* t_1 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	float t_1 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	float t_2 = sqrtf((1.0f + (t_1 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f))))));
	return (((t_2 * cosf(t_0)) * xi) + ((t_2 * sinf(t_0)) * yi)) + (t_1 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	t_1 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	t_2 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_1 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(t_2 * cos(t_0)) * xi) + Float32(Float32(t_2 * sin(t_0)) * yi)) + Float32(t_1 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	t_1 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	t_2 = sqrt((single(1.0) + (t_1 * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)))))));
	tmp = (((t_2 * cos(t_0)) * xi) + ((t_2 * sin(t_0)) * yi)) + (t_1 * zi);
end

Derivation

1. Initial program 99.2%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \left(\left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) \cdot xi + \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) \cdot yi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]
4. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin t\_0 + xi \cdot \cos t\_0\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+
    (*
     (sqrt
      (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* ux (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
     (+ (* yi (sin t_0)) (* xi (cos t_0))))
    (* zi (* ux (- maxCos (* ux maxCos)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return (sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * (maxCos * (ux * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))))) * ((yi * sinf(t_0)) + (xi * cosf(t_0)))) + (zi * (ux * (maxCos - (ux * maxCos))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))) * Float32(Float32(yi * sin(t_0)) + Float32(xi * cos(t_0)))) + Float32(zi * Float32(ux * Float32(maxCos - Float32(ux * maxCos)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = (sqrt((single(1.0) + ((single(1.0) - ux) * (maxCos * (ux * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))))) * ((yi * sin(t_0)) + (xi * cos(t_0)))) + (zi * (ux * (maxCos - (ux * maxCos))));
end

Derivation

1. Initial program 99.2%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot 1 + maxCos \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, 1, maxCos \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, 1, \mathsf{neg}\left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. fmm-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot 1 - maxCos \cdot ux\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \color{blue}{\left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)}\right) \cdot zi \]

7. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin t\_0 + xi \cdot \cos t\_0\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+
    (*
     (sqrt
      (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* ux (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
     (+ (* yi (sin t_0)) (* xi (cos t_0))))
    (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return (sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * (maxCos * (ux * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))))) * ((yi * sinf(t_0)) + (xi * cosf(t_0)))) + ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))) * Float32(Float32(yi * sin(t_0)) + Float32(xi * cos(t_0)))) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = (sqrt((single(1.0) + ((single(1.0) - ux) * (maxCos * (ux * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))))) * ((yi * sin(t_0)) + (xi * cos(t_0)))) + ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * zi);
end

Derivation

1. Initial program 99.2%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]
6. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(yi \cdot \sin t\_0 + xi \cdot \cos t\_0\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+
    (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi)
    (*
     (+ (* yi (sin t_0)) (* xi (cos t_0)))
     (sqrt (+ 1.0 (* (+ ux -1.0) (* maxCos (* ux (* ux maxCos))))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi) + (((yi * sinf(t_0)) + (xi * cosf(t_0))) * sqrtf((1.0f + ((ux + -1.0f) * (maxCos * (ux * (ux * maxCos)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + Float32(Float32(Float32(yi * sin(t_0)) + Float32(xi * cos(t_0))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux + Float32(-1.0)) * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(ux * maxCos))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + (((yi * sin(t_0)) + (xi * cos(t_0))) * sqrt((single(1.0) + ((ux + single(-1.0)) * (maxCos * (ux * (ux * maxCos)))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.2%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(-1 \cdot maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f32 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{neg.f32}\left(maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \color{blue}{\left(-maxCos\right)}\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.7% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(yi \cdot \sin t\_0 + xi \cdot \cos t\_0\right) \cdot \left(1 + \left(-0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+
    (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi)
    (*
     (+ (* yi (sin t_0)) (* xi (cos t_0)))
     (+ 1.0 (* (* -0.5 (* maxCos maxCos)) (* ux ux)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi) + (((yi * sinf(t_0)) + (xi * cosf(t_0))) * (1.0f + ((-0.5f * (maxCos * maxCos)) * (ux * ux))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + Float32(Float32(Float32(yi * sin(t_0)) + Float32(xi * cos(t_0))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-0.5) * Float32(maxCos * maxCos)) * Float32(ux * ux)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + (((yi * sin(t_0)) + (xi * cos(t_0))) * (single(1.0) + ((single(-0.5) * (maxCos * maxCos)) * (ux * ux))));
end

Derivation

1. Initial program 99.2%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot {ux}^{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot {ux}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left(ux \cdot ux\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \left(-0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \cos t\_0 + yi \cdot \sin t\_0\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* PI (* uy 2.0))))
   (+
    (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi)
    (+ (* xi (cos t_0)) (* yi (sin t_0))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	return ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi) + ((xi * cosf(t_0)) + (yi * sinf(t_0)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	return Float32(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + Float32(Float32(xi * cos(t_0)) + Float32(yi * sin(t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	tmp = ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + ((xi * cos(t_0)) + (yi * sin(t_0)));
end

Derivation

1. Initial program 99.2%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}, ux\right), zi\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 7: 94.7% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;uy \leq 0.006500000134110451:\\ \;\;\;\;\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;xi \cdot \left(\cos t\_0 + \frac{yi \cdot \sin t\_0}{xi}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (if (<= uy 0.006500000134110451)
     (+
      (+ xi (* maxCos (* ux zi)))
      (*
       uy
       (+
        (* 2.0 (* PI yi))
        (*
         uy
         (+
          (* (* xi -2.0) (* PI PI))
          (* (* uy -1.3333333333333333) (* yi (* PI (* PI PI)))))))))
     (* xi (+ (cos t_0) (/ (* yi (sin t_0)) xi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (uy <= 0.006500000134110451f) {
		tmp = (xi + (maxCos * (ux * zi))) + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * (((xi * -2.0f) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + ((uy * -1.3333333333333333f) * (yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))))));
	} else {
		tmp = xi * (cosf(t_0) + ((yi * sinf(t_0)) / xi));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.006500000134110451))
		tmp = Float32(Float32(xi + Float32(maxCos * Float32(ux * zi))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(xi * Float32(-2.0)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(Float32(uy * Float32(-1.3333333333333333)) * Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))))));
	else
		tmp = Float32(xi * Float32(cos(t_0) + Float32(Float32(yi * sin(t_0)) / xi)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.006500000134110451))
		tmp = (xi + (maxCos * (ux * zi))) + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * (((xi * single(-2.0)) * (single(pi) * single(pi))) + ((uy * single(-1.3333333333333333)) * (yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))))));
	else
		tmp = xi * (cos(t_0) + ((yi * sin(t_0)) / xi));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.00650000013

   1. Initial program 99.4%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in xi around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right), \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   5. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}{xi}\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)}\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right), \left(\color{blue}{xi} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), zi\right), \left(\color{blue}{xi} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 95.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi + xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} \]

   9. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)} \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

       3. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 95.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(-1.3333333333333333 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 0.00650000013 < uy

   1. Initial program 98.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in xi around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right), \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   5. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}{xi}\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{xi}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 95.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 95.0%

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.006500000134110451:\\ \;\;\;\;\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 95.7% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ yi \cdot \sin t\_0 + \left(xi \cdot \cos t\_0 + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* PI (* uy 2.0))))
   (+ (* yi (sin t_0)) (+ (* xi (cos t_0)) (* maxCos (* ux zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	return (yi * sinf(t_0)) + ((xi * cosf(t_0)) + (maxCos * (ux * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	return Float32(Float32(yi * sin(t_0)) + Float32(Float32(xi * cos(t_0)) + Float32(maxCos * Float32(ux * zi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	tmp = (yi * sin(t_0)) + ((xi * cos(t_0)) + (maxCos * (ux * zi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.2%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot 1 + maxCos \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, 1, maxCos \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, 1, \mathsf{neg}\left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. fmm-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot 1 - maxCos \cdot ux\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \color{blue}{\left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)}\right) \cdot zi \]
7. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(uy \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. add-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(uy \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. sqrt-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(uy \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(uy \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left(\sqrt{{\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{2}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. sqrt-pow1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(uy \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{\left(\frac{2}{2}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(uy \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left({\left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}^{1} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. unpow1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(uy \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(\left(uy \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(uy \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \left(\sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(uy \cdot {\pi}^{0.5}\right) \cdot {\pi}^{0.3333333333333333}\right) \cdot {\pi}^{0.16666666666666666}\right)}\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

9. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot zi\right)\right), \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. cos-lowering-cos.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    13. sin-lowering-sin.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. PI-lowering-PI.f32 96.1%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 96.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + xi \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)} \]

12. Final simplification 96.1%

    \[\leadsto yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) + \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 9: 94.8% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ \mathbf{if}\;uy \leq 0.006500000134110451:\\ \;\;\;\;\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;xi \cdot \cos t\_0 + yi \cdot \sin t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* PI (* uy 2.0))))
   (if (<= uy 0.006500000134110451)
     (+
      (+ xi (* maxCos (* ux zi)))
      (*
       uy
       (+
        (* 2.0 (* PI yi))
        (*
         uy
         (+
          (* (* xi -2.0) (* PI PI))
          (* (* uy -1.3333333333333333) (* yi (* PI (* PI PI)))))))))
     (+ (* xi (cos t_0)) (* yi (sin t_0))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((float) M_PI) * (uy * 2.0f);
	float tmp;
	if (uy <= 0.006500000134110451f) {
		tmp = (xi + (maxCos * (ux * zi))) + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * (((xi * -2.0f) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + ((uy * -1.3333333333333333f) * (yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))))));
	} else {
		tmp = (xi * cosf(t_0)) + (yi * sinf(t_0));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.006500000134110451))
		tmp = Float32(Float32(xi + Float32(maxCos * Float32(ux * zi))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(xi * Float32(-2.0)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(Float32(uy * Float32(-1.3333333333333333)) * Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(xi * cos(t_0)) + Float32(yi * sin(t_0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(pi) * (uy * single(2.0));
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.006500000134110451))
		tmp = (xi + (maxCos * (ux * zi))) + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * (((xi * single(-2.0)) * (single(pi) * single(pi))) + ((uy * single(-1.3333333333333333)) * (yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))))));
	else
		tmp = (xi * cos(t_0)) + (yi * sin(t_0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.00650000013

   1. Initial program 99.4%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in xi around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right), \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   5. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}{xi}\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)}\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right), \left(\color{blue}{xi} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), zi\right), \left(\color{blue}{xi} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 95.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi + xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} \]

   9. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)} \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

       3. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 95.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(-1.3333333333333333 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 0.00650000013 < uy

   1. Initial program 98.3%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 95.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 95.0%

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) + yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 95.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.006500000134110451:\\ \;\;\;\;\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) + yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 90.7% accurate, 3.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) + xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)}{xi}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* zi (* ux maxCos))
  (*
   xi
   (+
    (cos (* 2.0 (* uy PI)))
    (/
     (*
      uy
      (+
       (* 2.0 (* PI yi))
       (* (* yi (* PI (* PI PI))) (* -1.3333333333333333 (* uy uy)))))
     xi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (zi * (ux * maxCos)) + (xi * (cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))) + ((uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + ((yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * (-1.3333333333333333f * (uy * uy))))) / xi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * maxCos)) + Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))) + Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy))))) / xi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (zi * (ux * maxCos)) + (xi * (cos((single(2.0) * (uy * single(pi)))) + ((uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + ((yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) * (single(-1.3333333333333333) * (uy * uy))))) / xi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.2%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in xi around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right), \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}{xi}\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)}\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right), \left(\color{blue}{xi} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), zi\right), \left(\color{blue}{xi} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi + xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} \]

9. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, xi\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    8. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    11. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    14. cube-mult N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    15. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    17. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    18. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    19. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    20. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    21. PI-lowering-PI.f32 92.2%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 92.2%

    \[\leadsto \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi + xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{\color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}}{xi}\right) \]

12. Final simplification 92.2%

    \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) + xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)}{xi}\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 11: 87.1% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) + xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)}{xi}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* zi (* ux maxCos))
  (* xi (+ (cos (* 2.0 (* uy PI))) (/ (* 2.0 (* uy (* PI yi))) xi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (zi * (ux * maxCos)) + (xi * (cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))) + ((2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi))) / xi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * maxCos)) + Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))) + Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi))) / xi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (zi * (ux * maxCos)) + (xi * (cos((single(2.0) * (uy * single(pi)))) + ((single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi))) / xi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.2%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in xi around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right), \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}{xi}\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)}\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right), \left(\color{blue}{xi} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), zi\right), \left(\color{blue}{xi} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi + xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} \]

9. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, xi\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

    5. PI-lowering-PI.f32 89.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right), xi\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 89.0%

    \[\leadsto \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi + xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{\color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)}}{xi}\right) \]

12. Final simplification 89.0%

    \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) + xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)}{xi}\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 12: 86.4% accurate, 12.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+ xi (* maxCos (* ux zi)))
  (*
   uy
   (+
    (* 2.0 (* PI yi))
    (*
     uy
     (+
      (* (* xi -2.0) (* PI PI))
      (* (* uy -1.3333333333333333) (* yi (* PI (* PI PI))))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (xi + (maxCos * (ux * zi))) + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * (((xi * -2.0f) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + ((uy * -1.3333333333333333f) * (yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(xi + Float32(maxCos * Float32(ux * zi))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(xi * Float32(-2.0)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(Float32(uy * Float32(-1.3333333333333333)) * Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (xi + (maxCos * (ux * zi))) + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * (((xi * single(-2.0)) * (single(pi) * single(pi))) + ((uy * single(-1.3333333333333333)) * (yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.2%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in xi around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right), \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}{xi}\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)}\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right), \left(\color{blue}{xi} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), zi\right), \left(\color{blue}{xi} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi + xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} \]

9. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)} \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 87.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot xi\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(-1.3333333333333333 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

12. Final simplification 87.4%

    \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(\left(xi \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 13: 82.9% accurate, 18.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot -2\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+ xi (* maxCos (* ux zi)))
  (* uy (+ (* 2.0 (* PI yi)) (* (* uy -2.0) (* xi (* PI PI)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (xi + (maxCos * (ux * zi))) + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + ((uy * -2.0f) * (xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(xi + Float32(maxCos * Float32(ux * zi))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(Float32(uy * Float32(-2.0)) * Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (xi + (maxCos * (ux * zi))) + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + ((uy * single(-2.0)) * (xi * (single(pi) * single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.2%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in xi around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right), \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}{xi}\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)}\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right), \left(\color{blue}{xi} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), zi\right), \left(\color{blue}{xi} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi + xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} \]

9. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    8. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot uy\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{yi}\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 84.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)} \]

12. Final simplification 84.5%

    \[\leadsto \left(xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(uy \cdot -2\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 14: 78.8% accurate, 30.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ xi (+ (* maxCos (* ux zi)) (* 2.0 (* uy (* PI yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + ((maxCos * (ux * zi)) + (2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * zi)) + Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + ((maxCos * (ux * zi)) + (single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi))));
end

Derivation

1. Initial program 99.2%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in xi around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right), zi\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), ux\right)}, zi\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{1 - {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right), \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right), \color{blue}{ux}\right), zi\right)\right) \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}{xi}\right)\right)} + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)}\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi\right), \left(\color{blue}{xi} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), zi\right), \left(\color{blue}{xi} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), zi\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot zi + xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} \]

9. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]

    2. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot zi\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{yi}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{yi}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 79.5%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), yi\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 79.5%

    \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 15: 51.7% accurate, 41.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ xi (* (* ux maxCos) (* (- 1.0 ux) zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + ((ux * maxCos) * ((1.0f - ux) * zi));
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = xi + ((ux * maxcos) * ((1.0e0 - ux) * zi))
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * zi)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + ((ux * maxCos) * ((single(1.0) - ux) * zi));
end

Derivation

1. Initial program 99.2%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot 1 + maxCos \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, 1, maxCos \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, 1, \mathsf{neg}\left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. fmm-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot 1 - maxCos \cdot ux\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \color{blue}{\left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)}\right) \cdot zi \]

7. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)\right) + xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)}\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)\right), \left(\color{blue}{xi} \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot zi\right), \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)\right), \left(\color{blue}{xi} \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)\right), \left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right), \left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

   8. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot maxCos\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. +-lowering-+.f32 53.7%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 53.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right) + xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}} \]

10. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)}\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot ux\right), \color{blue}{\left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \left(\color{blue}{zi} \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right)\right)\right) \]

    6. --lowering--.f32 53.7%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(zi, \mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 53.7%

    \[\leadsto \color{blue}{xi + \left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \]

13. Final simplification 53.7%

    \[\leadsto xi + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot zi\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 16: 49.8% accurate, 65.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ xi (* maxCos (* ux zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + (maxCos * (ux * zi));
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = xi + (maxcos * (ux * zi))
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(maxCos * Float32(ux * zi)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + (maxCos * (ux * zi));
end

Derivation

1. Initial program 99.2%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot 1 + maxCos \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, 1, maxCos \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, 1, \mathsf{neg}\left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. fmm-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot 1 - maxCos \cdot ux\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \color{blue}{\left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)}\right) \cdot zi \]

7. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)\right) + xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)}\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)\right), \left(\color{blue}{xi} \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot zi\right), \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)\right), \left(\color{blue}{xi} \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)\right), \left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right), \left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

   8. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot maxCos\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. +-lowering-+.f32 53.7%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 53.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right) + xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}} \]

10. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{\left(ux \cdot zi\right)}\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 52.0%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{zi}\right)\right)\right) \]

12. Simplified 52.0%

    \[\leadsto \color{blue}{xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 17: 45.7% accurate, 461.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos) :precision binary32 xi)

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi;
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = xi
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return xi
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi;
end

Derivation

1. Initial program 99.2%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot 1 + maxCos \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, 1, maxCos \cdot \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, 1, \mathsf{neg}\left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. fmm-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos \cdot 1 - maxCos \cdot ux\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 99.2%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), yi\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, maxCos\right)\right)\right), zi\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \color{blue}{\left(maxCos - ux \cdot maxCos\right)}\right) \cdot zi \]

7. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)\right) + xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)\right)\right), \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)}\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)\right), \left(\color{blue}{xi} \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot zi\right), \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)\right), \left(\color{blue}{xi} \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right)\right), \left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right), \left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

   8. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot maxCos\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. +-lowering-+.f32 53.7%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 53.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(maxCos - maxCos \cdot ux\right) + xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}} \]

10. Taylor expanded in ux around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi} \]
11. Step-by-step derivation

12. Simplified 48.7%

    \[\leadsto \color{blue}{xi} \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024164 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))