Beckmann Sample, near normal, slope_x

Percentage Accurate: 57.6% → 99.1%

Time: 17.8s

Alternatives: 20

Speedup: 3.1×

Specification

\[\left(\left(cosTheta\_i > 0.9999 \land cosTheta\_i \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u1 \land u1 \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * cos(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Initial Program: 57.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * cos(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Alternative 1: 99.1% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\\ \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \frac{\left(0.5 + 0.5 \cdot t\_0\right) + \left(t\_0 - \left(0.5 + t\_0 \cdot -0.5\right)\right)}{2} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (cos (* 2.0 (* PI u2)))))
   (*
    (sqrt (- (log1p (- u1))))
    (/ (+ (+ 0.5 (* 0.5 t_0)) (- t_0 (+ 0.5 (* t_0 -0.5)))) 2.0))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = cosf((2.0f * (((float) M_PI) * u2)));
	return sqrtf(-log1pf(-u1)) * (((0.5f + (0.5f * t_0)) + (t_0 - (0.5f + (t_0 * -0.5f)))) / 2.0f);
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2)))
	return Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(0.5) * t_0)) + Float32(t_0 - Float32(Float32(0.5) + Float32(t_0 * Float32(-0.5))))) / Float32(2.0)))
end

Derivation

1. Initial program 56.1%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. cos-2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   2. cos-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   3. sin-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

   4. sub-div N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right)}{2}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) + 1\right), 2\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right), 2\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right), 2\right)\right) \]

   4. cos-2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right), 2\right)\right) \]

   5. associate-+l- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 - \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   9. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\left(1 - 1\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(0 - \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \frac{\color{blue}{\left(0.5 + \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot 0.5\right) - \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) - \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)}}{2} \]

9. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \frac{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) - \left(0.5 + \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot -0.5\right)\right)}{2} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 90.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.9999979734420776:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{u1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (cos (* u2 (* 2.0 PI)))))
   (if (<= t_0 0.9999979734420776)
     (* t_0 (sqrt u1))
     (sqrt (- (log1p (- u1)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = cosf((u2 * (2.0f * ((float) M_PI))));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.9999979734420776f) {
		tmp = t_0 * sqrtf(u1);
	} else {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = cos(Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.9999979734420776))
		tmp = Float32(t_0 * sqrt(u1));
	else
		tmp = sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f32 (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)) < 0.999997973

   1. Initial program 54.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 77.3%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   if 0.999997973 < (cos.f32 (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2))

   1. Initial program 56.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)} \]

      2. neg-log N/A

         \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)} \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)\right) \]

      5. log-lowering-log.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{1 - u1}\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 - u1\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 53.7%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 53.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\log \left(\frac{1}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)\right) \]

       2. neg-log N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. neg-lowering-neg.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. log1p-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. neg-lowering-neg.f32 98.7%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 98.7%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 91.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \leq 0.9999979734420776:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) + -0.5\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (+ 0.5 (+ (cos (* 2.0 (* PI u2))) -0.5))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-log1pf(-u1)) * (0.5f + (cosf((2.0f * (((float) M_PI) * u2))) + -0.5f));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(0.5) + Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2))) + Float32(-0.5))))
end

Derivation

1. Initial program 56.1%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. cos-2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

   2. cos-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   3. sin-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

   4. sub-div N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right)}{2}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) + 1\right), 2\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right), 2\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right), 2\right)\right) \]

   4. cos-2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right), 2\right)\right) \]

   5. associate-+l- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 - \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   9. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\left(1 - 1\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(0 - \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \frac{\color{blue}{\left(0.5 + \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot 0.5\right) - \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) - \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)}}{2} \]

10. Applied egg-rr 98.9%

    \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) + -0.5\right) + 0.5\right)} \]

11. Final simplification 98.9%

    \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) + -0.5\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (cos (* 2.0 (* PI u2)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-log1pf(-u1)) * cosf((2.0f * (((float) M_PI) * u2)));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2))))
end

Derivation

1. Initial program 56.1%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.8% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0820000022649765:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + 1\right)} \cdot \frac{-1}{\frac{-1}{\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= (* u2 (* 2.0 PI)) 0.0820000022649765)
   (*
    (sqrt (- (log1p (- u1))))
    (+ 0.5 (+ 0.5 (* (* u2 u2) (* -2.0 (* PI PI))))))
   (*
    (sqrt
     (* u1 (+ (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))) 1.0)))
    (/ -1.0 (/ -1.0 (cos (* 2.0 (* PI u2))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if ((u2 * (2.0f * ((float) M_PI))) <= 0.0820000022649765f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (0.5f + (0.5f + ((u2 * u2) * (-2.0f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = sqrtf((u1 * ((u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))) + 1.0f))) * (-1.0f / (-1.0f / cosf((2.0f * (((float) M_PI) * u2)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) <= Float32(0.0820000022649765))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25)))))) + Float32(1.0)))) * Float32(Float32(-1.0) / Float32(Float32(-1.0) / cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0820000023

   1. Initial program 56.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      2. cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      3. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      4. sub-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right)}{2}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) + 1\right), 2\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right), 2\right)\right) \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right), 2\right)\right) \]

      4. cos-2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right), 2\right)\right) \]

      5. associate-+l- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 - \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      9. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\left(1 - 1\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(0 - \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \frac{\color{blue}{\left(0.5 + \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot 0.5\right) - \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) - \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)}}{2} \]

   10. Applied egg-rr 99.5%

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) + -0.5\right) + 0.5\right)} \]

   11. Taylor expanded in u2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \frac{1}{2}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot -2\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f32 99.2%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   13. Simplified 99.2%

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} + 0.5\right) \]

   if 0.0820000023 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 53.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 96.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      2. cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      3. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      4. sub-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 95.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right)}{2}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{2}{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)}}}\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{2}{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

      3. remove-double-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)}}}}\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{2}}}\right)\right)\right) \]

      5. associate-+r- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\left(1 + \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)}{2}}\right)\right)\right) \]

      6. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{1 + \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{2} - \color{blue}{\frac{1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{2}}}\right)\right)\right) \]

      7. frac-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\left(1 + \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \cdot 2 - 2 \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)}{\color{blue}{2 \cdot 2}}}\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot 2 - 2 \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)}{2 \cdot 2}}\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 95.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)}}} \]

   9. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 93.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 93.9%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0820000022649765:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + 1\right)} \cdot \frac{-1}{\frac{-1}{\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.8% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.0820000022649765:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + 1\right)} \cdot \cos t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.0820000022649765)
     (*
      (sqrt (- (log1p (- u1))))
      (+ 0.5 (+ 0.5 (* (* u2 u2) (* -2.0 (* PI PI))))))
     (*
      (sqrt
       (* u1 (+ (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))) 1.0)))
      (cos t_0)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.0820000022649765f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (0.5f + (0.5f + ((u2 * u2) * (-2.0f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = sqrtf((u1 * ((u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))) + 1.0f))) * cosf(t_0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.0820000022649765))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25)))))) + Float32(1.0)))) * cos(t_0));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0820000023

   1. Initial program 56.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      2. cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      3. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      4. sub-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right)}{2}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) + 1\right), 2\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right), 2\right)\right) \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right), 2\right)\right) \]

      4. cos-2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right), 2\right)\right) \]

      5. associate-+l- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 - \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      9. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\left(1 - 1\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(0 - \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \frac{\color{blue}{\left(0.5 + \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot 0.5\right) - \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) - \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)}}{2} \]

   10. Applied egg-rr 99.5%

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) + -0.5\right) + 0.5\right)} \]

   11. Taylor expanded in u2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \frac{1}{2}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot -2\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f32 99.2%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   13. Simplified 99.2%

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} + 0.5\right) \]

   if 0.0820000023 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 53.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 93.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 93.6%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0820000022649765:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + 1\right)} \cdot \cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 97.4% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0820000022649765:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\frac{-1}{\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)}} \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right) + 1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= (* u2 (* 2.0 PI)) 0.0820000022649765)
   (*
    (sqrt (- (log1p (- u1))))
    (+ 0.5 (+ 0.5 (* (* u2 u2) (* -2.0 (* PI PI))))))
   (*
    (/ -1.0 (/ -1.0 (cos (* 2.0 (* PI u2)))))
    (sqrt (* u1 (+ (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))) 1.0))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if ((u2 * (2.0f * ((float) M_PI))) <= 0.0820000022649765f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (0.5f + (0.5f + ((u2 * u2) * (-2.0f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = (-1.0f / (-1.0f / cosf((2.0f * (((float) M_PI) * u2))))) * sqrtf((u1 * ((u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))) + 1.0f)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) <= Float32(0.0820000022649765))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(-1.0) / Float32(Float32(-1.0) / cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2))))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333)))) + Float32(1.0)))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0820000023

   1. Initial program 56.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      2. cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      3. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      4. sub-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right)}{2}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) + 1\right), 2\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right), 2\right)\right) \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right), 2\right)\right) \]

      4. cos-2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right), 2\right)\right) \]

      5. associate-+l- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 - \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      9. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\left(1 - 1\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(0 - \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \frac{\color{blue}{\left(0.5 + \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot 0.5\right) - \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) - \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)}}{2} \]

   10. Applied egg-rr 99.5%

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) + -0.5\right) + 0.5\right)} \]

   11. Taylor expanded in u2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \frac{1}{2}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot -2\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f32 99.2%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   13. Simplified 99.2%

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} + 0.5\right) \]

   if 0.0820000023 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 53.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 96.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      2. cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      3. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      4. sub-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 95.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right)}{2}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{2}{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)}}}\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{2}{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

      3. remove-double-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)}}}}\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{2}}}\right)\right)\right) \]

      5. associate-+r- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\left(1 + \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)}{2}}\right)\right)\right) \]

      6. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{1 + \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{2} - \color{blue}{\frac{1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{2}}}\right)\right)\right) \]

      7. frac-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\left(1 + \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \cdot 2 - 2 \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)}{\color{blue}{2 \cdot 2}}}\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot 2 - 2 \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)}{2 \cdot 2}}\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 95.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)}}} \]

   9. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 92.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 92.2%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + 0.3333333333333333 \cdot u1\right)\right)}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0820000022649765:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\frac{-1}{\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)}} \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right) + 1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 97.5% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.0820000022649765:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right) + 1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.0820000022649765)
     (*
      (sqrt (- (log1p (- u1))))
      (+ 0.5 (+ 0.5 (* (* u2 u2) (* -2.0 (* PI PI))))))
     (*
      (cos t_0)
      (sqrt (* u1 (+ (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))) 1.0)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.0820000022649765f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (0.5f + (0.5f + ((u2 * u2) * (-2.0f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = cosf(t_0) * sqrtf((u1 * ((u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))) + 1.0f)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.0820000022649765))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333)))) + Float32(1.0)))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0820000023

   1. Initial program 56.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      2. cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      3. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      4. sub-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right)}{2}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) + 1\right), 2\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right), 2\right)\right) \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right), 2\right)\right) \]

      4. cos-2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right), 2\right)\right) \]

      5. associate-+l- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 - \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      9. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\left(1 - 1\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(0 - \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \frac{\color{blue}{\left(0.5 + \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot 0.5\right) - \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) - \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)}}{2} \]

   10. Applied egg-rr 99.5%

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) + -0.5\right) + 0.5\right)} \]

   11. Taylor expanded in u2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \frac{1}{2}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot -2\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f32 99.2%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   13. Simplified 99.2%

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} + 0.5\right) \]

   if 0.0820000023 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 53.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 91.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 91.9%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0820000022649765:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right) + 1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 96.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0820000022649765:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\frac{-1}{\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)}} \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot 0.5 + 1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= (* u2 (* 2.0 PI)) 0.0820000022649765)
   (*
    (sqrt (- (log1p (- u1))))
    (+ 0.5 (+ 0.5 (* (* u2 u2) (* -2.0 (* PI PI))))))
   (*
    (/ -1.0 (/ -1.0 (cos (* 2.0 (* PI u2)))))
    (sqrt (* u1 (+ (* u1 0.5) 1.0))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if ((u2 * (2.0f * ((float) M_PI))) <= 0.0820000022649765f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (0.5f + (0.5f + ((u2 * u2) * (-2.0f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = (-1.0f / (-1.0f / cosf((2.0f * (((float) M_PI) * u2))))) * sqrtf((u1 * ((u1 * 0.5f) + 1.0f)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) <= Float32(0.0820000022649765))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(-1.0) / Float32(Float32(-1.0) / cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2))))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(0.5)) + Float32(1.0)))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0820000023

   1. Initial program 56.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      2. cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      3. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      4. sub-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right)}{2}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) + 1\right), 2\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right), 2\right)\right) \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right), 2\right)\right) \]

      4. cos-2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right), 2\right)\right) \]

      5. associate-+l- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 - \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      9. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\left(1 - 1\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(0 - \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \frac{\color{blue}{\left(0.5 + \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot 0.5\right) - \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) - \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)}}{2} \]

   10. Applied egg-rr 99.5%

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) + -0.5\right) + 0.5\right)} \]

   11. Taylor expanded in u2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \frac{1}{2}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot -2\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f32 99.2%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   13. Simplified 99.2%

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} + 0.5\right) \]

   if 0.0820000023 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 53.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 96.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      2. cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      3. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      4. sub-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 95.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right)}{2}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{2}{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)}}}\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{2}{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

      3. remove-double-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)}}}}\right)\right)\right) \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{2}}}\right)\right)\right) \]

      5. associate-+r- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\left(1 + \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)}{2}}\right)\right)\right) \]

      6. div-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{1 + \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{2} - \color{blue}{\frac{1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{2}}}\right)\right)\right) \]

      7. frac-sub N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\left(1 + \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \cdot 2 - 2 \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)}{\color{blue}{2 \cdot 2}}}\right)\right)\right) \]

      8. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \left(\frac{1}{\frac{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot 2 - 2 \cdot \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)}{2 \cdot 2}}\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 95.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)}}} \]

   9. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 88.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 88.8%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + 0.5 \cdot u1\right)}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0820000022649765:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\frac{-1}{\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)}} \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot 0.5 + 1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 96.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.0820000022649765:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot 0.5 + 1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.0820000022649765)
     (*
      (sqrt (- (log1p (- u1))))
      (+ 0.5 (+ 0.5 (* (* u2 u2) (* -2.0 (* PI PI))))))
     (* (cos t_0) (sqrt (* u1 (+ (* u1 0.5) 1.0)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.0820000022649765f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (0.5f + (0.5f + ((u2 * u2) * (-2.0f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = cosf(t_0) * sqrtf((u1 * ((u1 * 0.5f) + 1.0f)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.0820000022649765))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(0.5) + Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(0.5)) + Float32(1.0)))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0820000023

   1. Initial program 56.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. cos-2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}\right)\right) \]

      2. cos-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \color{blue}{\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)} \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      3. sin-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{2} - \frac{\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      4. sub-div N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)}{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) + \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 - \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2 + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1 + \left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right)}{2}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) + 1\right), 2\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right), 2\right)\right) \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right), 2\right)\right) \]

      4. cos-2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right), 2\right)\right) \]

      5. associate-+l- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 - \left(1 - \cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(1 - \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      9. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\left(1 - 1\right) - \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \cos \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(\sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right) - \left(0 - \left(\mathsf{neg}\left(\cos \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 2\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \frac{\color{blue}{\left(0.5 + \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \cdot 0.5\right) - \left(\left(0.5 + -0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right) - \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)}}{2} \]

   10. Applied egg-rr 99.5%

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) + -0.5\right) + 0.5\right)} \]

   11. Taylor expanded in u2 around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \frac{1}{2}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot -2\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} + {u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({u2}^{2} \cdot \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       9. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       11. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

       12. PI-lowering-PI.f32 99.2%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right) \]

   13. Simplified 99.2%

       \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} + 0.5\right) \]

   if 0.0820000023 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 53.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 88.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.5%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0820000022649765:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(0.5 + \left(0.5 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot 0.5 + 1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 96.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.0820000022649765:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot -2\right) + 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot 0.5 + 1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.0820000022649765)
     (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (+ (* (* PI PI) (* (* u2 u2) -2.0)) 1.0))
     (* (cos t_0) (sqrt (* u1 (+ (* u1 0.5) 1.0)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.0820000022649765f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * ((u2 * u2) * -2.0f)) + 1.0f);
	} else {
		tmp = cosf(t_0) * sqrtf((u1 * ((u1 * 0.5f) + 1.0f)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.0820000022649765))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(-2.0))) + Float32(1.0)));
	else
		tmp = Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(0.5)) + Float32(1.0)))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.0820000023

   1. Initial program 56.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right) \cdot {\color{blue}{u2}}^{2}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({u2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)} \]

   if 0.0820000023 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 53.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 88.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.5%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0820000022649765:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot -2\right) + 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot 0.5 + 1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 80.4% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \leq 0.9999979734420776:\\ \;\;\;\;\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot -2\right) + 1\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + 1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= (cos (* u2 (* 2.0 PI))) 0.9999979734420776)
   (* (+ (* (* PI PI) (* (* u2 u2) -2.0)) 1.0) (sqrt u1))
   (sqrt
    (* u1 (+ (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))) 1.0)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (cosf((u2 * (2.0f * ((float) M_PI)))) <= 0.9999979734420776f) {
		tmp = (((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * ((u2 * u2) * -2.0f)) + 1.0f) * sqrtf(u1);
	} else {
		tmp = sqrtf((u1 * ((u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))) + 1.0f)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (cos(Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) <= Float32(0.9999979734420776))
		tmp = Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(-2.0))) + Float32(1.0)) * sqrt(u1));
	else
		tmp = sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25)))))) + Float32(1.0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if (cos((u2 * (single(2.0) * single(pi)))) <= single(0.9999979734420776))
		tmp = (((single(pi) * single(pi)) * ((u2 * u2) * single(-2.0))) + single(1.0)) * sqrt(u1);
	else
		tmp = sqrt((u1 * ((u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25)))))) + single(1.0))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f32 (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)) < 0.999997973

   1. Initial program 54.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 97.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right) \cdot {\color{blue}{u2}}^{2}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({u2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 67.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 67.4%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 55.6%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right) \]

   if 0.999997973 < (cos.f32 (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2))

   1. Initial program 56.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)} \]

      2. neg-log N/A

         \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)} \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)\right) \]

      5. log-lowering-log.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{1 - u1}\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 - u1\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 53.7%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 53.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \]

   10. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 94.2%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 94.2%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 81.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \leq 0.9999979734420776:\\ \;\;\;\;\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot -2\right) + 1\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + 1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 94.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.0006699999794363976:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot 0.5 + 1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.0006699999794363976)
     (sqrt (- (log1p (- u1))))
     (* (cos t_0) (sqrt (* u1 (+ (* u1 0.5) 1.0)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.0006699999794363976f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1));
	} else {
		tmp = cosf(t_0) * sqrtf((u1 * ((u1 * 0.5f) + 1.0f)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.0006699999794363976))
		tmp = sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1))));
	else
		tmp = Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(0.5)) + Float32(1.0)))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 6.6999998e-4

   1. Initial program 57.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)} \]

      2. neg-log N/A

         \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)} \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)\right) \]

      5. log-lowering-log.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{1 - u1}\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 - u1\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 54.3%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 54.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\log \left(\frac{1}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)\right) \]

       2. neg-log N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. neg-lowering-neg.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. log1p-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. neg-lowering-neg.f32 99.4%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 99.4%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}} \]

   if 6.6999998e-4 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 54.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 87.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 87.9%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0006699999794363976:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot 0.5 + 1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 82.7% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0006699999794363976:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + 1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot 0.5 + 1\right)} \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot -2\right) + 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= (* u2 (* 2.0 PI)) 0.0006699999794363976)
   (sqrt
    (* u1 (+ (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))) 1.0)))
   (*
    (sqrt (* u1 (+ (* u1 0.5) 1.0)))
    (+ (* (* PI PI) (* (* u2 u2) -2.0)) 1.0))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if ((u2 * (2.0f * ((float) M_PI))) <= 0.0006699999794363976f) {
		tmp = sqrtf((u1 * ((u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))) + 1.0f)));
	} else {
		tmp = sqrtf((u1 * ((u1 * 0.5f) + 1.0f))) * (((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * ((u2 * u2) * -2.0f)) + 1.0f);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))) <= Float32(0.0006699999794363976))
		tmp = sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25)))))) + Float32(1.0))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(0.5)) + Float32(1.0)))) * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(-2.0))) + Float32(1.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if ((u2 * (single(2.0) * single(pi))) <= single(0.0006699999794363976))
		tmp = sqrt((u1 * ((u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25)))))) + single(1.0))));
	else
		tmp = sqrt((u1 * ((u1 * single(0.5)) + single(1.0)))) * (((single(pi) * single(pi)) * ((u2 * u2) * single(-2.0))) + single(1.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 6.6999998e-4

   1. Initial program 57.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)} \]

      2. neg-log N/A

         \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)} \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)\right) \]

      5. log-lowering-log.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{1 - u1}\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 - u1\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 54.3%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 54.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \]

   10. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 94.6%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 94.6%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \]

   if 6.6999998e-4 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 54.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 97.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 97.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right) \cdot {\color{blue}{u2}}^{2}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({u2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 71.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 71.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 65.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 65.3%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 83.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.0006699999794363976:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + 1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot 0.5 + 1\right)} \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot -2\right) + 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 84.0% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + 1\right)} \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot -2\right) + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt
   (* u1 (+ (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))) 1.0)))
  (+ (* (* PI PI) (* (* u2 u2) -2.0)) 1.0)))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((u1 * ((u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))) + 1.0f))) * (((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * ((u2 * u2) * -2.0f)) + 1.0f);
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25)))))) + Float32(1.0)))) * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(-2.0))) + Float32(1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt((u1 * ((u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25)))))) + single(1.0)))) * (((single(pi) * single(pi)) * ((u2 * u2) * single(-2.0))) + single(1.0));
end

Derivation

1. Initial program 56.1%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right) \cdot {\color{blue}{u2}}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({u2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 88.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 88.7%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 84.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 84.2%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right) \]

11. Final simplification 84.2%

    \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right) + 1\right)} \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot -2\right) + 1\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 16: 82.5% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right) + 1\right)} \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot -2\right) + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (* u1 (+ (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))) 1.0)))
  (+ (* (* PI PI) (* (* u2 u2) -2.0)) 1.0)))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((u1 * ((u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))) + 1.0f))) * (((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * ((u2 * u2) * -2.0f)) + 1.0f);
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333)))) + Float32(1.0)))) * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(-2.0))) + Float32(1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt((u1 * ((u1 * (single(0.5) + (u1 * single(0.3333333333333333)))) + single(1.0)))) * (((single(pi) * single(pi)) * ((u2 * u2) * single(-2.0))) + single(1.0));
end

Derivation

1. Initial program 56.1%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right) \cdot {\color{blue}{u2}}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({u2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 88.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 88.7%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 82.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 82.6%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right) \]

11. Final simplification 82.6%

    \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right) + 1\right)} \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot -2\right) + 1\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 17: 79.2% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.00039999998989515007:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right) + 1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot -2\right) + 1\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.00039999998989515007)
   (sqrt (* u1 (+ (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))) 1.0)))
   (* (+ (* (* PI PI) (* (* u2 u2) -2.0)) 1.0) (sqrt u1))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.00039999998989515007f) {
		tmp = sqrtf((u1 * ((u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))) + 1.0f)));
	} else {
		tmp = (((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * ((u2 * u2) * -2.0f)) + 1.0f) * sqrtf(u1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.00039999998989515007))
		tmp = sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333)))) + Float32(1.0))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(-2.0))) + Float32(1.0)) * sqrt(u1));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if (u2 <= single(0.00039999998989515007))
		tmp = sqrt((u1 * ((u1 * (single(0.5) + (u1 * single(0.3333333333333333)))) + single(1.0))));
	else
		tmp = (((single(pi) * single(pi)) * ((u2 * u2) * single(-2.0))) + single(1.0)) * sqrt(u1);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 3.9999999e-4

   1. Initial program 56.8%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 98.7%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)} \]

      2. neg-log N/A

         \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)} \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)\right) \]

      5. log-lowering-log.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{1 - u1}\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 - u1\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f32 53.7%

         \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 53.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \]

   10. Taylor expanded in u1 around 0

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 92.3%

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 92.3%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + 0.3333333333333333 \cdot u1\right)\right)}} \]

   if 3.9999999e-4 < u2

   1. Initial program 54.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 97.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot -2\right) \cdot {\color{blue}{u2}}^{2}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \color{blue}{\left({u2}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(u2 \cdot \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 67.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, \color{blue}{u2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 67.4%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 55.6%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 79.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.00039999998989515007:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right) + 1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot -2\right) + 1\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 75.4% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right) + 1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (sqrt (* u1 (+ (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))) 1.0))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((u1 * ((u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))) + 1.0f)));
}

Fortran

real(4) function code(costheta_i, u1, u2)
    real(4), intent (in) :: costheta_i
    real(4), intent (in) :: u1
    real(4), intent (in) :: u2
    code = sqrt((u1 * ((u1 * (0.5e0 + (u1 * 0.3333333333333333e0))) + 1.0e0)))
end function

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333)))) + Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt((u1 * ((u1 * (single(0.5) + (u1 * single(0.3333333333333333)))) + single(1.0))));
end

Derivation

1. Initial program 56.1%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 80.8%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)} \]

   2. neg-log N/A

      \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)} \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)\right) \]

   5. log-lowering-log.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{1 - u1}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 - u1\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 46.5%

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 46.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \]

10. Taylor expanded in u1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 76.3%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, u1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 76.3%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + 0.3333333333333333 \cdot u1\right)\right)}} \]

13. Final simplification 76.3%

    \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right) + 1\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 19: 72.8% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot 0.5 + 1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (sqrt (* u1 (+ (* u1 0.5) 1.0))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((u1 * ((u1 * 0.5f) + 1.0f)));
}

Fortran

real(4) function code(costheta_i, u1, u2)
    real(4), intent (in) :: costheta_i
    real(4), intent (in) :: u1
    real(4), intent (in) :: u2
    code = sqrt((u1 * ((u1 * 0.5e0) + 1.0e0)))
end function

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(u1 * Float32(0.5)) + Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt((u1 * ((u1 * single(0.5)) + single(1.0))));
end

Derivation

1. Initial program 56.1%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 80.8%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)} \]

   2. neg-log N/A

      \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)} \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)\right) \]

   5. log-lowering-log.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{1 - u1}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 - u1\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 46.5%

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 46.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \]

10. Taylor expanded in u1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 73.7%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, u1\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 73.7%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + 0.5 \cdot u1\right)}} \]

13. Final simplification 73.7%

    \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(u1 \cdot 0.5 + 1\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 20: 64.9% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2) :precision binary32 (sqrt u1))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(u1);
}

Fortran

real(4) function code(costheta_i, u1, u2)
    real(4), intent (in) :: costheta_i
    real(4), intent (in) :: u1
    real(4), intent (in) :: u2
    code = sqrt(u1)
end function

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return sqrt(u1)
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(u1);
end

Derivation

1. Initial program 56.1%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 80.8%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)} \]

   2. neg-log N/A

      \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)}\right)} \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \sqrt{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)} \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)\right) \]

   5. log-lowering-log.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{1 - u1}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \left(1 - u1\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 46.5%

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 46.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log \left(\frac{1}{1 - u1}\right)}} \]

10. Taylor expanded in u1 around 0

    \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right) \]
11. Step-by-step derivation

12. Simplified 65.5%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024164 
(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
  :name "Beckmann Sample, near normal, slope_x"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (> cosTheta_i 0.9999) (<= cosTheta_i 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 u1) (<= u1 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 u2) (<= u2 1.0)))
  (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))