UniformSampleCone, x

Percentage Accurate: 57.1% → 99.0%

Time: 14.3s

Alternatives: 12

Speedup: 2.1×

Specification

\[\left(\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Initial Program: 57.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(-2 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt (* (+ maxCos -1.0) (* ux (+ -2.0 (* ux (- 1.0 maxCos))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf(((maxCos + -1.0f) * (ux * (-2.0f + (ux * (1.0f - maxCos))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(Float32(-2.0) + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt(((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (single(-2.0) + (ux * (single(1.0) - maxCos))))));
end

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(1 - maxCos, ux, ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}} \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(\left(-1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot ux - ux\right)}} \]

7. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{\left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f32 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -2\right)\right)}} \]

10. Final simplification 98.9%

    \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(-2 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.6% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.996999979019165:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - ux\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (cos (* (* uy 2.0) PI))))
   (if (<= t_0 0.996999979019165)
     (* t_0 (sqrt (* ux (- 2.0 ux))))
     (*
      (+ (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)) 1.0)
      (sqrt
       (* (+ maxCos -1.0) (- (* ux (+ -1.0 (* ux (- 1.0 maxCos)))) ux)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI)));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.996999979019165f) {
		tmp = t_0 * sqrtf((ux * (2.0f - ux)));
	} else {
		tmp = (((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + 1.0f) * sqrtf(((maxCos + -1.0f) * ((ux * (-1.0f + (ux * (1.0f - maxCos)))) - ux)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.996999979019165))
		tmp = Float32(t_0 * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(1.0)) * sqrt(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(ux * Float32(Float32(-1.0) + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))) - ux))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi)));
	tmp = single(0.0);
	if (t_0 <= single(0.996999979019165))
		tmp = t_0 * sqrt((ux * (single(2.0) - ux)));
	else
		tmp = (((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi))) + single(1.0)) * sqrt(((maxCos + single(-1.0)) * ((ux * (single(-1.0) + (ux * (single(1.0) - maxCos)))) - ux)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f32 (*.f32 (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) (PI.f32))) < 0.996999979

   1. Initial program 51.1%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(1 - {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 49.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 49.8%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)}} \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 89.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 89.4%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 - ux\right)}} \]

   if 0.996999979 < (cos.f32 (*.f32 (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) (PI.f32)))

   1. Initial program 53.9%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 99.4%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(1 - maxCos, ux, ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}} \]

   6. Applied egg-rr 99.4%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(\left(-1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot ux - ux\right)}} \]

   7. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), ux\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), ux\right)\right)}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), ux\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), ux\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right)}, ux\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \color{blue}{ux}\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \color{blue}{ux}\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 99.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(\left(-1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot ux - ux\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \leq 0.996999979019165:\\ \;\;\;\;\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - ux\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 94.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.05000000074505806:\\ \;\;\;\;\left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - ux\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= (* uy 2.0) 0.05000000074505806)
   (*
    (+ (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)) 1.0)
    (sqrt (* (+ maxCos -1.0) (- (* ux (+ -1.0 (* ux (- 1.0 maxCos)))) ux))))
   (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (* 2.0 ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if ((uy * 2.0f) <= 0.05000000074505806f) {
		tmp = (((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + 1.0f) * sqrtf(((maxCos + -1.0f) * ((ux * (-1.0f + (ux * (1.0f - maxCos)))) - ux)));
	} else {
		tmp = cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((2.0f * ux));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(uy * Float32(2.0)) <= Float32(0.05000000074505806))
		tmp = Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(1.0)) * sqrt(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(ux * Float32(Float32(-1.0) + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))) - ux))));
	else
		tmp = Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(2.0) * ux)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if ((uy * single(2.0)) <= single(0.05000000074505806))
		tmp = (((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi))) + single(1.0)) * sqrt(((maxCos + single(-1.0)) * ((ux * (single(-1.0) + (ux * (single(1.0) - maxCos)))) - ux)));
	else
		tmp = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(2.0) * ux));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.0500000007

   1. Initial program 54.4%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 99.3%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(1 - maxCos, ux, ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}} \]

   6. Applied egg-rr 99.3%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(\left(-1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot ux - ux\right)}} \]

   7. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), ux\right)\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), ux\right)\right)}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), ux\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), ux\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right)}, ux\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \color{blue}{ux}\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \color{blue}{ux}\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(\left(-1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot ux - ux\right)} \]

   if 0.0500000007 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 48.7%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(1 - {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 47.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 47.2%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)}} \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot ux\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot 2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 74.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 74.0%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot 2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \cdot 2 \leq 0.05000000074505806:\\ \;\;\;\;\left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - ux\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{2 \cdot ux}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux + -2\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (* (+ maxCos -1.0) (* ux (+ ux -2.0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf(((maxCos + -1.0f) * (ux * (ux + -2.0f))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(ux + Float32(-2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt(((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (ux + single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(1 - maxCos, ux, ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}} \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(\left(-1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot ux - ux\right)}} \]

7. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{\left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f32 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -2\right)\right)}} \]

10. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{\left(ux \cdot \left(ux - 2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux + -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 97.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(ux, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 97.4%

    \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(ux + -2\right)\right)}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 5: 88.2% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - ux\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (+ (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)) 1.0)
  (sqrt (* (+ maxCos -1.0) (- (* ux (+ -1.0 (* ux (- 1.0 maxCos)))) ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + 1.0f) * sqrtf(((maxCos + -1.0f) * ((ux * (-1.0f + (ux * (1.0f - maxCos)))) - ux)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(1.0)) * sqrt(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(ux * Float32(Float32(-1.0) + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))) - ux))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi))) + single(1.0)) * sqrt(((maxCos + single(-1.0)) * ((ux * (single(-1.0) + (ux * (single(1.0) - maxCos)))) - ux)));
end

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(1 - maxCos, ux, ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}} \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(\left(-1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot ux - ux\right)}} \]

7. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), ux\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), ux\right)\right)}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), ux\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), ux\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right)}, ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \color{blue}{ux}\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), \color{blue}{ux}\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 86.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), ux\right)\right), ux\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 86.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(\left(-1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot ux - ux\right)} \]

10. Final simplification 86.1%

    \[\leadsto \left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + 1\right) \cdot \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) - ux\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 88.2% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(-2 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (* (+ maxCos -1.0) (* ux (+ -2.0 (* ux (- 1.0 maxCos))))))
  (+ (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)) 1.0)))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf(((maxCos + -1.0f) * (ux * (-2.0f + (ux * (1.0f - maxCos)))))) * (((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + 1.0f);
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(Float32(-2.0) + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)))))) * Float32(Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt(((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (single(-2.0) + (ux * (single(1.0) - maxCos)))))) * (((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi))) + single(1.0));
end

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(1 - maxCos, ux, ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}} \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(\left(-1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot ux - ux\right)}} \]

7. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{\left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f32 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -2\right)\right)}} \]

10. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    9. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 86.1%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 86.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -2\right)\right)} \]

13. Final simplification 86.1%

    \[\leadsto \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(-2 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + 1\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 7: 86.3% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 5.0999999075429514 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)} \cdot \left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 5.0999999075429514e-5)
   (sqrt (* (+ -2.0 (* ux (- 1.0 maxCos))) (* (+ maxCos -1.0) ux)))
   (* (sqrt (* ux (- 2.0 ux))) (+ (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)) 1.0))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 5.0999999075429514e-5f) {
		tmp = sqrtf(((-2.0f + (ux * (1.0f - maxCos))) * ((maxCos + -1.0f) * ux)));
	} else {
		tmp = sqrtf((ux * (2.0f - ux))) * (((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + 1.0f);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(5.0999999075429514e-5))
		tmp = sqrt(Float32(Float32(Float32(-2.0) + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))) * Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * ux)));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux))) * Float32(Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(1.0)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(5.0999999075429514e-5))
		tmp = sqrt(((single(-2.0) + (ux * (single(1.0) - maxCos))) * ((maxCos + single(-1.0)) * ux)));
	else
		tmp = sqrt((ux * (single(2.0) - ux))) * (((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi))) + single(1.0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 5.09999991e-5

   1. Initial program 53.4%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 99.4%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(1 - maxCos, ux, ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}} \]

   6. Applied egg-rr 99.4%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(\left(-1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot ux - ux\right)}} \]

   7. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{\left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. --lowering--.f32 99.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -2\right)\right)}} \]

   10. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)\right) \]

       5. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)\right) \]

       6. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)\right) \]

       8. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -2\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

       12. --lowering--.f32 99.6%

           \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 99.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -2\right)}} \]

   if 5.09999991e-5 < uy

   1. Initial program 53.1%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(1 - {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 51.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 51.5%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)}} \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 91.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 91.9%

      \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 - ux\right)}} \]

   9. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)}\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{2}, ux\right)\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, \color{blue}{ux}\right)\right)\right)\right) \]

       9. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f32 68.3%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 68.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 85.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 5.0999999075429514 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)} \cdot \left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 79.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\left(-2 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (sqrt (* (+ -2.0 (* ux (- 1.0 maxCos))) (* (+ maxCos -1.0) ux))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf(((-2.0f + (ux * (1.0f - maxCos))) * ((maxCos + -1.0f) * ux)));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt((((-2.0e0) + (ux * (1.0e0 - maxcos))) * ((maxcos + (-1.0e0)) * ux)))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(Float32(Float32(-2.0) + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))) * Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * ux)))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt(((single(-2.0) + (ux * (single(1.0) - maxCos))) * ((maxCos + single(-1.0)) * ux)));
end

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(1 - maxCos, ux, ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}} \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(\left(-1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot ux - ux\right)}} \]

7. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \color{blue}{\left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)}\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f32 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -2\right)\right)}} \]

10. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)\right) \]

    5. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)\right) \]

    6. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 2\right)\right)\right) \]

    8. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -2\right)\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

    12. --lowering--.f32 78.7%

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

12. Simplified 78.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -2\right)}} \]

13. Final simplification 78.7%

    \[\leadsto \sqrt{\left(-2 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot ux\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 9: 78.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(-1 + ux\right) - ux\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (sqrt (* (+ maxCos -1.0) (- (* ux (+ -1.0 ux)) ux))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf(((maxCos + -1.0f) * ((ux * (-1.0f + ux)) - ux)));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt(((maxcos + (-1.0e0)) * ((ux * ((-1.0e0) + ux)) - ux)))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(ux * Float32(Float32(-1.0) + ux)) - ux)))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt(((maxCos + single(-1.0)) * ((ux * (single(-1.0) + ux)) - ux)));
end

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. associate-+l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   23. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   24. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 45.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]

7. Applied egg-rr 78.6%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(\left(-1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot ux - ux\right)}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \color{blue}{ux}\right), ux\right), ux\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 77.6%

    \[\leadsto \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(\left(-1 + \color{blue}{ux}\right) \cdot ux - ux\right)} \]

11. Final simplification 77.6%

    \[\leadsto \sqrt{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(-1 + ux\right) - ux\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 10: 75.4% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos) :precision binary32 (sqrt (+ ux (* ux (- 1.0 ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux + (ux * (1.0f - ux))));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt((ux + (ux * (1.0e0 - ux))))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(ux + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux + (ux * (single(1.0) - ux))));
end

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. associate-+l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   23. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   24. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 45.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]

7. Applied egg-rr 78.6%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(\left(-1 + \left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot ux - ux\right)}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(ux \cdot \left(ux - 1\right) - ux\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(ux \cdot \left(ux - 1\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(ux \cdot \left(ux - 1\right) - ux\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(ux \cdot \left(ux - 1\right)\right), ux\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux - 1\right)\right), ux\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), ux\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux + -1\right)\right), ux\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 74.1%

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right), ux\right)\right)\right) \]

10. Simplified 74.1%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{-\left(ux \cdot \left(ux + -1\right) - ux\right)}} \]

11. Final simplification 74.1%

    \[\leadsto \sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 11: 75.5% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos) :precision binary32 (sqrt (* ux (- 2.0 ux))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * (2.0f - ux)));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt((ux * (2.0e0 - ux)))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux)))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * (single(2.0) - ux)));
end

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(1 - {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f32 50.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 50.8%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)}} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 91.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 91.8%

   \[\leadsto \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 - ux\right)}} \]

9. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 - ux\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right)\right) \]

    3. --lowering--.f32 74.1%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right) \]

11. Simplified 74.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 12: 6.6% accurate, 223.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos) :precision binary32 0.0)

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 0.0f;
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = 0.0e0
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(0.0)
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
end

Derivation

1. Initial program 53.2%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - {\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right) \]

   2. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right) \cdot \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   13. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   14. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) - ux\right)\right)\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(\left(1 + maxCos \cdot ux\right) + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. associate-+l+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + \left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   21. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   22. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   23. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   24. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 45.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}} \]

6. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{1}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 6.6%

   \[\leadsto \sqrt{1 - \color{blue}{1}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto {\left(1 - 1\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto {0}^{\frac{1}{2}} \]

   3. metadata-eval 6.6%

      \[\leadsto 0 \]

10. Applied egg-rr 6.6%

    \[\leadsto \color{blue}{0} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024164 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, x"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))