Disney BSSRDF, PDF of scattering profile

Percentage Accurate: 99.6% → 99.5%

Time: 23.9s

Alternatives: 31

Speedup: N/A×

Specification

\[\left(0 \leq s \land s \leq 256\right) \land \left(10^{-6} < r \land r < 1000000\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (+
  (/ (* 0.25 (exp (/ (- r) s))) (* (* (* 2.0 PI) s) r))
  (/ (* 0.75 (exp (/ (- r) (* 3.0 s)))) (* (* (* 6.0 PI) s) r))))

C

float code(float s, float r) {
	return ((0.25f * expf((-r / s))) / (((2.0f * ((float) M_PI)) * s) * r)) + ((0.75f * expf((-r / (3.0f * s)))) / (((6.0f * ((float) M_PI)) * s) * r));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(0.25) * exp(Float32(Float32(-r) / s))) / Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * s) * r)) + Float32(Float32(Float32(0.75) * exp(Float32(Float32(-r) / Float32(Float32(3.0) * s)))) / Float32(Float32(Float32(Float32(6.0) * Float32(pi)) * s) * r)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = ((single(0.25) * exp((-r / s))) / (((single(2.0) * single(pi)) * s) * r)) + ((single(0.75) * exp((-r / (single(3.0) * s)))) / (((single(6.0) * single(pi)) * s) * r));
end

Initial Program: 99.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (+
  (/ (* 0.25 (exp (/ (- r) s))) (* (* (* 2.0 PI) s) r))
  (/ (* 0.75 (exp (/ (- r) (* 3.0 s)))) (* (* (* 6.0 PI) s) r))))

C

float code(float s, float r) {
	return ((0.25f * expf((-r / s))) / (((2.0f * ((float) M_PI)) * s) * r)) + ((0.75f * expf((-r / (3.0f * s)))) / (((6.0f * ((float) M_PI)) * s) * r));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(0.25) * exp(Float32(Float32(-r) / s))) / Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * s) * r)) + Float32(Float32(Float32(0.75) * exp(Float32(Float32(-r) / Float32(Float32(3.0) * s)))) / Float32(Float32(Float32(Float32(6.0) * Float32(pi)) * s) * r)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = ((single(0.25) * exp((-r / s))) / (((single(2.0) * single(pi)) * s) * r)) + ((single(0.75) * exp((-r / (single(3.0) * s)))) / (((single(6.0) * single(pi)) * s) * r));
end

Alternative 1: 99.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{0 - r \cdot s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (/ -0.125 (/ PI (+ (exp (/ r (- s))) (exp (/ r (* s -3.0))))))
  (- 0.0 (* r s))))

C

float code(float s, float r) {
	return (-0.125f / (((float) M_PI) / (expf((r / -s)) + expf((r / (s * -3.0f)))))) / (0.0f - (r * s));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(-0.125) / Float32(Float32(pi) / Float32(exp(Float32(r / Float32(-s))) + exp(Float32(r / Float32(s * Float32(-3.0))))))) / Float32(Float32(0.0) - Float32(r * s)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(-0.125) / (single(pi) / (exp((r / -s)) + exp((r / (s * single(-3.0))))))) / (single(0.0) - (r * s));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

7. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{0 - r \cdot s} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{\frac{r}{-s}} + {e}^{\left(\frac{r}{\frac{s}{-0.3333333333333333}}\right)}}{\pi \cdot s} \cdot \frac{0.125}{r} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (*
  (/ (+ (exp (/ r (- s))) (pow E (/ r (/ s -0.3333333333333333)))) (* PI s))
  (/ 0.125 r)))

C

float code(float s, float r) {
	return ((expf((r / -s)) + powf(((float) M_E), (r / (s / -0.3333333333333333f)))) / (((float) M_PI) * s)) * (0.125f / r);
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(exp(Float32(r / Float32(-s))) + (Float32(exp(1)) ^ Float32(r / Float32(s / Float32(-0.3333333333333333))))) / Float32(Float32(pi) * s)) * Float32(Float32(0.125) / r))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = ((exp((r / -s)) + (single(2.71828182845904523536) ^ (r / (s / single(-0.3333333333333333))))) / (single(pi) * s)) * (single(0.125) / r);
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{e^{\frac{r}{\mathsf{neg}\left(s\right)}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r\right)\right)} \cdot s} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{8} \cdot \frac{e^{\frac{r}{\mathsf{neg}\left(s\right)}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\left(\mathsf{neg}\left(r\right)\right) \cdot s} \]

   3. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{8}}{\mathsf{neg}\left(r\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{e^{\frac{r}{\mathsf{neg}\left(s\right)}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{s}} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r\right)} \cdot \frac{\frac{\color{blue}{e^{\frac{r}{\mathsf{neg}\left(s\right)}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{s} \]

   5. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r} \cdot \frac{\color{blue}{\frac{e^{\frac{r}{\mathsf{neg}\left(s\right)}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{s} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{\frac{r}{\mathsf{neg}\left(s\right)}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{s} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{8}}{r}} \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\frac{e^{\frac{r}{\mathsf{neg}\left(s\right)}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{s}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{8}}{r}\right)}\right) \]

8. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{\frac{r}{\frac{s}{-0.3333333333333333}}} + e^{\frac{r}{-s}}}{s \cdot \pi} \cdot \frac{0.125}{r}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(e^{\frac{1}{\frac{\frac{s}{\frac{-1}{3}}}{r}}}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{neg.f32}\left(s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, r\right)\right) \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(e^{1 \cdot \frac{1}{\frac{\frac{s}{\frac{-1}{3}}}{r}}}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{neg.f32}\left(s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, r\right)\right) \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(e^{1 \cdot \frac{r}{\frac{s}{\frac{-1}{3}}}}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{neg.f32}\left(s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, r\right)\right) \]

   4. exp-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left({\left(e^{1}\right)}^{\left(\frac{r}{\frac{s}{\frac{-1}{3}}}\right)}\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{neg.f32}\left(s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, r\right)\right) \]

   5. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(e^{1}\right), \left(\frac{r}{\frac{s}{\frac{-1}{3}}}\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{neg.f32}\left(s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, r\right)\right) \]

   6. exp-1-e N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{E}\left(\right), \left(\frac{r}{\frac{s}{\frac{-1}{3}}}\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{neg.f32}\left(s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, r\right)\right) \]

   7. E-lowering-E.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{E.f32}\left(\right), \left(\frac{r}{\frac{s}{\frac{-1}{3}}}\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{neg.f32}\left(s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, r\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{E.f32}\left(\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \left(\frac{s}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{neg.f32}\left(s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, r\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 99.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{E.f32}\left(\right), \mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{/.f32}\left(s, \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{neg.f32}\left(s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, r\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 99.5%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{{e}^{\left(\frac{r}{\frac{s}{-0.3333333333333333}}\right)}} + e^{\frac{r}{-s}}}{s \cdot \pi} \cdot \frac{0.125}{r} \]

11. Final simplification 99.5%

    \[\leadsto \frac{e^{\frac{r}{-s}} + {e}^{\left(\frac{r}{\frac{s}{-0.3333333333333333}}\right)}}{\pi \cdot s} \cdot \frac{0.125}{r} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{\pi}}{\frac{s}{\frac{0.125}{r}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/ (/ (+ (exp (/ r (- s))) (exp (/ r (* s -3.0)))) PI) (/ s (/ 0.125 r))))

C

float code(float s, float r) {
	return ((expf((r / -s)) + expf((r / (s * -3.0f)))) / ((float) M_PI)) / (s / (0.125f / r));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(exp(Float32(r / Float32(-s))) + exp(Float32(r / Float32(s * Float32(-3.0))))) / Float32(pi)) / Float32(s / Float32(Float32(0.125) / r)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = ((exp((r / -s)) + exp((r / (s * single(-3.0))))) / single(pi)) / (s / (single(0.125) / r));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s}} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8}}}} \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8}}}} \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8}}\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{\pi}}{\frac{s}{\frac{0.125}{r}}}} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.125}{r} \cdot \frac{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{\frac{s}{-0.3333333333333333}}}}{\pi \cdot s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (*
  (/ 0.125 r)
  (/ (+ (exp (/ r (- s))) (exp (/ r (/ s -0.3333333333333333)))) (* PI s))))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.125f / r) * ((expf((r / -s)) + expf((r / (s / -0.3333333333333333f)))) / (((float) M_PI) * s));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.125) / r) * Float32(Float32(exp(Float32(r / Float32(-s))) + exp(Float32(r / Float32(s / Float32(-0.3333333333333333))))) / Float32(Float32(pi) * s)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.125) / r) * ((exp((r / -s)) + exp((r / (s / single(-0.3333333333333333))))) / (single(pi) * s));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{e^{\frac{r}{\mathsf{neg}\left(s\right)}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r\right)\right)} \cdot s} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{8} \cdot \frac{e^{\frac{r}{\mathsf{neg}\left(s\right)}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\left(\mathsf{neg}\left(r\right)\right) \cdot s} \]

   3. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-1}{8}}{\mathsf{neg}\left(r\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{e^{\frac{r}{\mathsf{neg}\left(s\right)}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{s}} \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r\right)} \cdot \frac{\frac{\color{blue}{e^{\frac{r}{\mathsf{neg}\left(s\right)}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{s} \]

   5. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r} \cdot \frac{\color{blue}{\frac{e^{\frac{r}{\mathsf{neg}\left(s\right)}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{s} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{\frac{r}{\mathsf{neg}\left(s\right)}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{s} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{8}}{r}} \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\frac{e^{\frac{r}{\mathsf{neg}\left(s\right)}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{s}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{8}}{r}\right)}\right) \]

8. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{\frac{r}{\frac{s}{-0.3333333333333333}}} + e^{\frac{r}{-s}}}{s \cdot \pi} \cdot \frac{0.125}{r}} \]

9. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \frac{0.125}{r} \cdot \frac{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{\frac{s}{-0.3333333333333333}}}}{\pi \cdot s} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 5: 87.6% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{s \cdot s}{\pi}\\ \mathbf{if}\;s \leq 2.0000000072549875 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.125}{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \left(0.006172839506172839 \cdot \frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)}}{s} \cdot \frac{-1}{r}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.125}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \mathsf{fma}\left(s \cdot \left(s \cdot s + -0.8888888888888888 \cdot \frac{\pi}{\frac{\pi}{s \cdot s}}\right), r \cdot \left(r \cdot \frac{\frac{-0.05555555555555555}{t\_0}}{s \cdot \left(s \cdot \left(0 - s \cdot s\right)\right)}\right), r \cdot \frac{0.08333333333333333}{t\_0} + \frac{0.3333333333333333}{\frac{s}{\pi}}\right)}}{0 - r \cdot s}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ (* s s) PI)))
   (if (<= s 2.0000000072549875e-15)
     (*
      (/
       (/
        -0.125
        (* (* r (* r r)) (* 0.006172839506172839 (/ PI (* s (* s s))))))
       s)
      (/ -1.0 r))
     (/
      (/
       -0.125
       (+
        (* PI 0.5)
        (*
         r
         (fma
          (* s (+ (* s s) (* -0.8888888888888888 (/ PI (/ PI (* s s))))))
          (*
           r
           (* r (/ (/ -0.05555555555555555 t_0) (* s (* s (- 0.0 (* s s)))))))
          (+
           (* r (/ 0.08333333333333333 t_0))
           (/ 0.3333333333333333 (/ s PI)))))))
      (- 0.0 (* r s))))))

C

float code(float s, float r) {
	float t_0 = (s * s) / ((float) M_PI);
	float tmp;
	if (s <= 2.0000000072549875e-15f) {
		tmp = ((-0.125f / ((r * (r * r)) * (0.006172839506172839f * (((float) M_PI) / (s * (s * s)))))) / s) * (-1.0f / r);
	} else {
		tmp = (-0.125f / ((((float) M_PI) * 0.5f) + (r * fmaf((s * ((s * s) + (-0.8888888888888888f * (((float) M_PI) / (((float) M_PI) / (s * s)))))), (r * (r * ((-0.05555555555555555f / t_0) / (s * (s * (0.0f - (s * s))))))), ((r * (0.08333333333333333f / t_0)) + (0.3333333333333333f / (s / ((float) M_PI)))))))) / (0.0f - (r * s));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(s, r)
	t_0 = Float32(Float32(s * s) / Float32(pi))
	tmp = Float32(0.0)
	if (s <= Float32(2.0000000072549875e-15))
		tmp = Float32(Float32(Float32(Float32(-0.125) / Float32(Float32(r * Float32(r * r)) * Float32(Float32(0.006172839506172839) * Float32(Float32(pi) / Float32(s * Float32(s * s)))))) / s) * Float32(Float32(-1.0) / r));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(-0.125) / Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(0.5)) + Float32(r * fma(Float32(s * Float32(Float32(s * s) + Float32(Float32(-0.8888888888888888) * Float32(Float32(pi) / Float32(Float32(pi) / Float32(s * s)))))), Float32(r * Float32(r * Float32(Float32(Float32(-0.05555555555555555) / t_0) / Float32(s * Float32(s * Float32(Float32(0.0) - Float32(s * s))))))), Float32(Float32(r * Float32(Float32(0.08333333333333333) / t_0)) + Float32(Float32(0.3333333333333333) / Float32(s / Float32(pi)))))))) / Float32(Float32(0.0) - Float32(r * s)));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if s < 2.00000001e-15

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

   3. Simplified 95.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

      2. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

   7. Taylor expanded in r around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-7}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \left(\frac{5}{54} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}}{s}\right)\right)\right) - \left(\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right) - \frac{-1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   9. Simplified -0.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.04938271604938271 + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot s} \cdot -0.08333333333333333\right)}{s}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

   11. Applied egg-rr -0.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}} - r \cdot \left(\frac{0.04938271604938271}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot s}}} + \frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}}}{s}\right)\right) \cdot \left(r \cdot r\right) + \pi \cdot \left(\frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}} + 0.5\right)}}{s} \cdot \frac{-1}{r}} \]

   12. Taylor expanded in r around inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left({r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)}\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\mathsf{neg}\left({r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       2. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({r}^{3} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({r}^{3} \cdot \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left({r}^{3}\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot {r}^{2}\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left({r}^{2}\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left(r \cdot r\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       10. mul-1-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       11. distribute-rgt-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} \cdot \left(\frac{-1}{18} + \frac{4}{81}\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       12. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} \cdot \frac{-1}{162}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       14. distribute-lft-neg-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{162}\right)\right) \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\frac{1}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{162}, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       17. /-lowering-/.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{162}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left({s}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       18. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{162}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({s}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       19. cube-mult N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{162}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

   14. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \left(0.006172839506172839 \cdot \frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)}}}{s} \cdot \frac{-1}{r} \]

   if 2.00000001e-15 < s

   1. Initial program 98.7%

      \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

   3. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

      2. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

   7. Taylor expanded in r around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-7}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \left(\frac{5}{54} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}}{s}\right)\right)\right) - \left(\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right) - \frac{-1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   9. Simplified 37.6%

      \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.04938271604938271 + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot s} \cdot -0.08333333333333333\right)}{s}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{4}{81}}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} + \frac{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)}{s}\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       2. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{4}{81}}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} + \frac{1}{\frac{s}{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)}}\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       3. frac-add N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{4}{81}\right) \cdot \frac{s}{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)} + \left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot 1}{\left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot \frac{s}{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)}}\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       4. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{4}{81}\right) \cdot \frac{s}{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)} + \left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot 1\right) \cdot \frac{1}{\left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot \frac{s}{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)}}\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{4}{81}\right) \cdot \frac{s}{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)} + \left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot 1\right), \left(\frac{1}{\left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot \frac{s}{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)}}\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 65.7%

       \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\frac{\pi \cdot 0.04938271604938271}{\frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}}}{s}} + s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{s \cdot \left(s \cdot s\right)}{\frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}}}{s}}}\right)} \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

   13. Applied egg-rr 68.2%

       \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(s \cdot \left(-0.8888888888888888 \cdot \frac{\pi}{\frac{\pi}{s \cdot s}} + s \cdot s\right), \left(\left(-r\right) \cdot \frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s \cdot s}{\pi}}}{\left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot s}\right) \cdot r, r \cdot \frac{0.08333333333333333}{\frac{s \cdot s}{\pi}} + \frac{0.3333333333333333}{\frac{s}{\pi}}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 86.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq 2.0000000072549875 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.125}{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \left(0.006172839506172839 \cdot \frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)}}{s} \cdot \frac{-1}{r}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.125}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \mathsf{fma}\left(s \cdot \left(s \cdot s + -0.8888888888888888 \cdot \frac{\pi}{\frac{\pi}{s \cdot s}}\right), r \cdot \left(r \cdot \frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s \cdot s}{\pi}}}{s \cdot \left(s \cdot \left(0 - s \cdot s\right)\right)}\right), r \cdot \frac{0.08333333333333333}{\frac{s \cdot s}{\pi}} + \frac{0.3333333333333333}{\frac{s}{\pi}}\right)}}{0 - r \cdot s}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 86.9% accurate, 3.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := s \cdot \left(s \cdot s\right)\\ \mathbf{if}\;s \leq 2.0000000072549875 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.125}{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \left(0.006172839506172839 \cdot \frac{\pi}{t\_0}\right)}}{s} \cdot \frac{-1}{r}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{r} \cdot \frac{\frac{-0.125}{\left(r \cdot r\right) \cdot \left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}} - \left(s \cdot \left(s \cdot s + -0.8888888888888888 \cdot \frac{\pi}{\frac{\pi}{s \cdot s}}\right)\right) \cdot \left(r \cdot \frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s \cdot s}{\pi}}}{s \cdot t\_0}\right)\right) + \pi \cdot \left(0.5 + \frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}}\right)}}{s}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* s (* s s))))
   (if (<= s 2.0000000072549875e-15)
     (*
      (/ (/ -0.125 (* (* r (* r r)) (* 0.006172839506172839 (/ PI t_0)))) s)
      (/ -1.0 r))
     (*
      (/ -1.0 r)
      (/
       (/
        -0.125
        (+
         (*
          (* r r)
          (-
           (/ 0.08333333333333333 (/ s (/ PI s)))
           (*
            (* s (+ (* s s) (* -0.8888888888888888 (/ PI (/ PI (* s s))))))
            (* r (/ (/ -0.05555555555555555 (/ (* s s) PI)) (* s t_0))))))
         (* PI (+ 0.5 (/ r (/ s 0.3333333333333333))))))
       s)))))

C

float code(float s, float r) {
	float t_0 = s * (s * s);
	float tmp;
	if (s <= 2.0000000072549875e-15f) {
		tmp = ((-0.125f / ((r * (r * r)) * (0.006172839506172839f * (((float) M_PI) / t_0)))) / s) * (-1.0f / r);
	} else {
		tmp = (-1.0f / r) * ((-0.125f / (((r * r) * ((0.08333333333333333f / (s / (((float) M_PI) / s))) - ((s * ((s * s) + (-0.8888888888888888f * (((float) M_PI) / (((float) M_PI) / (s * s)))))) * (r * ((-0.05555555555555555f / ((s * s) / ((float) M_PI))) / (s * t_0)))))) + (((float) M_PI) * (0.5f + (r / (s / 0.3333333333333333f)))))) / s);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(s, r)
	t_0 = Float32(s * Float32(s * s))
	tmp = Float32(0.0)
	if (s <= Float32(2.0000000072549875e-15))
		tmp = Float32(Float32(Float32(Float32(-0.125) / Float32(Float32(r * Float32(r * r)) * Float32(Float32(0.006172839506172839) * Float32(Float32(pi) / t_0)))) / s) * Float32(Float32(-1.0) / r));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(-1.0) / r) * Float32(Float32(Float32(-0.125) / Float32(Float32(Float32(r * r) * Float32(Float32(Float32(0.08333333333333333) / Float32(s / Float32(Float32(pi) / s))) - Float32(Float32(s * Float32(Float32(s * s) + Float32(Float32(-0.8888888888888888) * Float32(Float32(pi) / Float32(Float32(pi) / Float32(s * s)))))) * Float32(r * Float32(Float32(Float32(-0.05555555555555555) / Float32(Float32(s * s) / Float32(pi))) / Float32(s * t_0)))))) + Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(0.5) + Float32(r / Float32(s / Float32(0.3333333333333333))))))) / s));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(s, r)
	t_0 = s * (s * s);
	tmp = single(0.0);
	if (s <= single(2.0000000072549875e-15))
		tmp = ((single(-0.125) / ((r * (r * r)) * (single(0.006172839506172839) * (single(pi) / t_0)))) / s) * (single(-1.0) / r);
	else
		tmp = (single(-1.0) / r) * ((single(-0.125) / (((r * r) * ((single(0.08333333333333333) / (s / (single(pi) / s))) - ((s * ((s * s) + (single(-0.8888888888888888) * (single(pi) / (single(pi) / (s * s)))))) * (r * ((single(-0.05555555555555555) / ((s * s) / single(pi))) / (s * t_0)))))) + (single(pi) * (single(0.5) + (r / (s / single(0.3333333333333333))))))) / s);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if s < 2.00000001e-15

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

   3. Simplified 95.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

      2. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

   7. Taylor expanded in r around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-7}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \left(\frac{5}{54} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}}{s}\right)\right)\right) - \left(\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right) - \frac{-1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   9. Simplified -0.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.04938271604938271 + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot s} \cdot -0.08333333333333333\right)}{s}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

   11. Applied egg-rr -0.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}} - r \cdot \left(\frac{0.04938271604938271}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot s}}} + \frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}}}{s}\right)\right) \cdot \left(r \cdot r\right) + \pi \cdot \left(\frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}} + 0.5\right)}}{s} \cdot \frac{-1}{r}} \]

   12. Taylor expanded in r around inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left({r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)}\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\mathsf{neg}\left({r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       2. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({r}^{3} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({r}^{3} \cdot \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left({r}^{3}\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot {r}^{2}\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left({r}^{2}\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left(r \cdot r\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       10. mul-1-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       11. distribute-rgt-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} \cdot \left(\frac{-1}{18} + \frac{4}{81}\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       12. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} \cdot \frac{-1}{162}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       14. distribute-lft-neg-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{162}\right)\right) \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\frac{1}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{162}, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       17. /-lowering-/.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{162}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left({s}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       18. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{162}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({s}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       19. cube-mult N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{162}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

   14. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \left(0.006172839506172839 \cdot \frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)}}}{s} \cdot \frac{-1}{r} \]

   if 2.00000001e-15 < s

   1. Initial program 98.7%

      \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

   3. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

      2. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

   7. Taylor expanded in r around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-7}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \left(\frac{5}{54} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}}{s}\right)\right)\right) - \left(\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right) - \frac{-1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   9. Simplified 37.6%

      \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.04938271604938271 + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot s} \cdot -0.08333333333333333\right)}{s}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

   11. Applied egg-rr 36.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}} - r \cdot \left(\frac{0.04938271604938271}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot s}}} + \frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}}}{s}\right)\right) \cdot \left(r \cdot r\right) + \pi \cdot \left(\frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}} + 0.5\right)}}{s} \cdot \frac{-1}{r}} \]

   13. Applied egg-rr 67.3%

       \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}} - \color{blue}{\left(s \cdot \left(-0.8888888888888888 \cdot \frac{\pi}{\frac{\pi}{s \cdot s}} + s \cdot s\right)\right) \cdot \left(\frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s \cdot s}{\pi}}}{\left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot s} \cdot r\right)}\right) \cdot \left(r \cdot r\right) + \pi \cdot \left(\frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}} + 0.5\right)}}{s} \cdot \frac{-1}{r} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 86.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq 2.0000000072549875 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.125}{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \left(0.006172839506172839 \cdot \frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)}}{s} \cdot \frac{-1}{r}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{r} \cdot \frac{\frac{-0.125}{\left(r \cdot r\right) \cdot \left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}} - \left(s \cdot \left(s \cdot s + -0.8888888888888888 \cdot \frac{\pi}{\frac{\pi}{s \cdot s}}\right)\right) \cdot \left(r \cdot \frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s \cdot s}{\pi}}}{s \cdot \left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right)}\right)\right) + \pi \cdot \left(0.5 + \frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}}\right)}}{s}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 86.5% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := s \cdot \left(s \cdot s\right)\\ \mathbf{if}\;s \leq 2.0000000072549875 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.125}{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \left(0.006172839506172839 \cdot \frac{\pi}{t\_0}\right)}}{s} \cdot \frac{-1}{r}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.125}{r \cdot \left(r \cdot \left(r \cdot \left(\left(t\_0 \cdot 0.1111111111111111\right) \cdot \frac{1}{\frac{t\_0}{\frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}}}{s}}}\right) - \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) - \frac{\pi \cdot 0.3333333333333333}{s}\right) - \pi \cdot 0.5}}{r \cdot s}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* s (* s s))))
   (if (<= s 2.0000000072549875e-15)
     (*
      (/ (/ -0.125 (* (* r (* r r)) (* 0.006172839506172839 (/ PI t_0)))) s)
      (/ -1.0 r))
     (/
      (/
       -0.125
       (-
        (*
         r
         (-
          (*
           r
           (-
            (*
             r
             (*
              (* t_0 0.1111111111111111)
              (/ 1.0 (/ t_0 (/ (/ -0.05555555555555555 (/ s (/ PI s))) s)))))
            (* (/ PI (* s s)) 0.08333333333333333)))
          (/ (* PI 0.3333333333333333) s)))
        (* PI 0.5)))
      (* r s)))))

C

float code(float s, float r) {
	float t_0 = s * (s * s);
	float tmp;
	if (s <= 2.0000000072549875e-15f) {
		tmp = ((-0.125f / ((r * (r * r)) * (0.006172839506172839f * (((float) M_PI) / t_0)))) / s) * (-1.0f / r);
	} else {
		tmp = (-0.125f / ((r * ((r * ((r * ((t_0 * 0.1111111111111111f) * (1.0f / (t_0 / ((-0.05555555555555555f / (s / (((float) M_PI) / s))) / s))))) - ((((float) M_PI) / (s * s)) * 0.08333333333333333f))) - ((((float) M_PI) * 0.3333333333333333f) / s))) - (((float) M_PI) * 0.5f))) / (r * s);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(s, r)
	t_0 = Float32(s * Float32(s * s))
	tmp = Float32(0.0)
	if (s <= Float32(2.0000000072549875e-15))
		tmp = Float32(Float32(Float32(Float32(-0.125) / Float32(Float32(r * Float32(r * r)) * Float32(Float32(0.006172839506172839) * Float32(Float32(pi) / t_0)))) / s) * Float32(Float32(-1.0) / r));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(-0.125) / Float32(Float32(r * Float32(Float32(r * Float32(Float32(r * Float32(Float32(t_0 * Float32(0.1111111111111111)) * Float32(Float32(1.0) / Float32(t_0 / Float32(Float32(Float32(-0.05555555555555555) / Float32(s / Float32(Float32(pi) / s))) / s))))) - Float32(Float32(Float32(pi) / Float32(s * s)) * Float32(0.08333333333333333)))) - Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(0.3333333333333333)) / s))) - Float32(Float32(pi) * Float32(0.5)))) / Float32(r * s));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(s, r)
	t_0 = s * (s * s);
	tmp = single(0.0);
	if (s <= single(2.0000000072549875e-15))
		tmp = ((single(-0.125) / ((r * (r * r)) * (single(0.006172839506172839) * (single(pi) / t_0)))) / s) * (single(-1.0) / r);
	else
		tmp = (single(-0.125) / ((r * ((r * ((r * ((t_0 * single(0.1111111111111111)) * (single(1.0) / (t_0 / ((single(-0.05555555555555555) / (s / (single(pi) / s))) / s))))) - ((single(pi) / (s * s)) * single(0.08333333333333333)))) - ((single(pi) * single(0.3333333333333333)) / s))) - (single(pi) * single(0.5)))) / (r * s);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if s < 2.00000001e-15

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

   3. Simplified 95.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

      2. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

   7. Taylor expanded in r around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-7}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \left(\frac{5}{54} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}}{s}\right)\right)\right) - \left(\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right) - \frac{-1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   9. Simplified -0.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.04938271604938271 + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot s} \cdot -0.08333333333333333\right)}{s}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

   11. Applied egg-rr -0.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}} - r \cdot \left(\frac{0.04938271604938271}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot s}}} + \frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}}}{s}\right)\right) \cdot \left(r \cdot r\right) + \pi \cdot \left(\frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}} + 0.5\right)}}{s} \cdot \frac{-1}{r}} \]

   12. Taylor expanded in r around inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left({r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)}\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\mathsf{neg}\left({r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       2. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({r}^{3} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({r}^{3} \cdot \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left({r}^{3}\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot {r}^{2}\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left({r}^{2}\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left(r \cdot r\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       10. mul-1-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       11. distribute-rgt-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} \cdot \left(\frac{-1}{18} + \frac{4}{81}\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       12. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} \cdot \frac{-1}{162}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       14. distribute-lft-neg-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{162}\right)\right) \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\frac{1}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{162}, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       17. /-lowering-/.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{162}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left({s}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       18. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{162}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({s}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       19. cube-mult N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{162}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

   14. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \left(0.006172839506172839 \cdot \frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)}}}{s} \cdot \frac{-1}{r} \]

   if 2.00000001e-15 < s

   1. Initial program 98.7%

      \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

   3. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

      2. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

   7. Taylor expanded in r around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-7}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \left(\frac{5}{54} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}}{s}\right)\right)\right) - \left(\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right) - \frac{-1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   9. Simplified 37.6%

      \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.04938271604938271 + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot s} \cdot -0.08333333333333333\right)}{s}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{4}{81}}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} + \frac{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)}{s}\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       2. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{4}{81}}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} + \frac{1}{\frac{s}{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)}}\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       3. frac-add N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{4}{81}\right) \cdot \frac{s}{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)} + \left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot 1}{\left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot \frac{s}{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)}}\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       4. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{4}{81}\right) \cdot \frac{s}{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)} + \left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot 1\right) \cdot \frac{1}{\left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot \frac{s}{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)}}\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{4}{81}\right) \cdot \frac{s}{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)} + \left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot 1\right), \left(\frac{1}{\left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot \frac{s}{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)}}\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 65.7%

       \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\frac{\pi \cdot 0.04938271604938271}{\frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}}}{s}} + s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{s \cdot \left(s \cdot s\right)}{\frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}}}{s}}}\right)} \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

   12. Taylor expanded in s around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{9} \cdot {s}^{3}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{18}, \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({s}^{3} \cdot \frac{1}{9}\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{18}, \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({s}^{3}\right), \frac{1}{9}\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{18}, \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       3. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right), \frac{1}{9}\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{18}, \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(s \cdot {s}^{2}\right), \frac{1}{9}\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{18}, \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, \left({s}^{2}\right)\right), \frac{1}{9}\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{18}, \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, \left(s \cdot s\right)\right), \frac{1}{9}\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{18}, \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 65.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{9}\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{18}, \mathsf{/.f32}\left(s, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   14. Simplified 65.7%

       \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot 0.1111111111111111\right)} \cdot \frac{1}{\frac{s \cdot \left(s \cdot s\right)}{\frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}}}{s}}}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}{\left(-r\right) \cdot s} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 85.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq 2.0000000072549875 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.125}{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \left(0.006172839506172839 \cdot \frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)}}{s} \cdot \frac{-1}{r}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.125}{r \cdot \left(r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot 0.1111111111111111\right) \cdot \frac{1}{\frac{s \cdot \left(s \cdot s\right)}{\frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}}}{s}}}\right) - \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) - \frac{\pi \cdot 0.3333333333333333}{s}\right) - \pi \cdot 0.5}}{r \cdot s}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 80.6% accurate, 4.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{-0.125}{r \cdot \left(r \cdot \left(r \cdot \left(\left(s \cdot 0.04938271604938271 + s \cdot -0.05555555555555555\right) \cdot \frac{1}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}}}\right) - \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) - \frac{\pi \cdot 0.3333333333333333}{s}\right) - \pi \cdot 0.5}}{r \cdot s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (/
   -0.125
   (-
    (*
     r
     (-
      (*
       r
       (-
        (*
         r
         (*
          (+ (* s 0.04938271604938271) (* s -0.05555555555555555))
          (/ 1.0 (/ s (/ PI (* s (* s s)))))))
        (* (/ PI (* s s)) 0.08333333333333333)))
      (/ (* PI 0.3333333333333333) s)))
    (* PI 0.5)))
  (* r s)))

C

float code(float s, float r) {
	return (-0.125f / ((r * ((r * ((r * (((s * 0.04938271604938271f) + (s * -0.05555555555555555f)) * (1.0f / (s / (((float) M_PI) / (s * (s * s))))))) - ((((float) M_PI) / (s * s)) * 0.08333333333333333f))) - ((((float) M_PI) * 0.3333333333333333f) / s))) - (((float) M_PI) * 0.5f))) / (r * s);
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(-0.125) / Float32(Float32(r * Float32(Float32(r * Float32(Float32(r * Float32(Float32(Float32(s * Float32(0.04938271604938271)) + Float32(s * Float32(-0.05555555555555555))) * Float32(Float32(1.0) / Float32(s / Float32(Float32(pi) / Float32(s * Float32(s * s))))))) - Float32(Float32(Float32(pi) / Float32(s * s)) * Float32(0.08333333333333333)))) - Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(0.3333333333333333)) / s))) - Float32(Float32(pi) * Float32(0.5)))) / Float32(r * s))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(-0.125) / ((r * ((r * ((r * (((s * single(0.04938271604938271)) + (s * single(-0.05555555555555555))) * (single(1.0) / (s / (single(pi) / (s * (s * s))))))) - ((single(pi) / (s * s)) * single(0.08333333333333333)))) - ((single(pi) * single(0.3333333333333333)) / s))) - (single(pi) * single(0.5)))) / (r * s);
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

7. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-7}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \left(\frac{5}{54} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}}{s}\right)\right)\right) - \left(\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right) - \frac{-1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

9. Simplified 15.9%

   \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.04938271604938271 + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot s} \cdot -0.08333333333333333\right)}{s}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{4}{81}}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} + \frac{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)}{s}\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    2. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{4}{81}}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} + \frac{1}{\frac{s}{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)}}\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    3. frac-add N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{4}{81}\right) \cdot \frac{s}{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)} + \left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot 1}{\left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot \frac{s}{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)}}\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    4. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{4}{81}\right) \cdot \frac{s}{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)} + \left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot 1\right) \cdot \frac{1}{\left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot \frac{s}{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)}}\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{4}{81}\right) \cdot \frac{s}{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)} + \left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot 1\right), \left(\frac{1}{\left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot \frac{s}{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot s} \cdot \frac{-1}{12}\right)}}\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 28.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\frac{\pi \cdot 0.04938271604938271}{\frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}}}{s}} + s \cdot \left(s \cdot s\right)\right) \cdot \frac{1}{\frac{s \cdot \left(s \cdot s\right)}{\frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}}}{s}}}\right)} \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

13. Applied egg-rr 81.0%

    \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(s \cdot 0.04938271604938271 + \frac{s \cdot -0.05555555555555555}{1}\right) \cdot \frac{1}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}}}\right)} \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

14. Final simplification 81.0%

    \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{r \cdot \left(r \cdot \left(r \cdot \left(\left(s \cdot 0.04938271604938271 + s \cdot -0.05555555555555555\right) \cdot \frac{1}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}}}\right) - \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) - \frac{\pi \cdot 0.3333333333333333}{s}\right) - \pi \cdot 0.5}}{r \cdot s} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 9: 78.4% accurate, 4.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-0.125}{s \cdot \left(r \cdot \left(\left(r \cdot r\right) \cdot \left(\frac{r \cdot \left(s \cdot 0.04938271604938271 + s \cdot -0.05555555555555555\right)}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}}} - \frac{0.08333333333333333}{\frac{s \cdot s}{\pi}}\right) - \pi \cdot \left(0.5 + \frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}}\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  -0.125
  (*
   s
   (*
    r
    (-
     (*
      (* r r)
      (-
       (/
        (* r (+ (* s 0.04938271604938271) (* s -0.05555555555555555)))
        (/ s (/ PI (* s (* s s)))))
       (/ 0.08333333333333333 (/ (* s s) PI))))
     (* PI (+ 0.5 (/ r (/ s 0.3333333333333333)))))))))

C

float code(float s, float r) {
	return -0.125f / (s * (r * (((r * r) * (((r * ((s * 0.04938271604938271f) + (s * -0.05555555555555555f))) / (s / (((float) M_PI) / (s * (s * s))))) - (0.08333333333333333f / ((s * s) / ((float) M_PI))))) - (((float) M_PI) * (0.5f + (r / (s / 0.3333333333333333f)))))));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(-0.125) / Float32(s * Float32(r * Float32(Float32(Float32(r * r) * Float32(Float32(Float32(r * Float32(Float32(s * Float32(0.04938271604938271)) + Float32(s * Float32(-0.05555555555555555)))) / Float32(s / Float32(Float32(pi) / Float32(s * Float32(s * s))))) - Float32(Float32(0.08333333333333333) / Float32(Float32(s * s) / Float32(pi))))) - Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(0.5) + Float32(r / Float32(s / Float32(0.3333333333333333)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = single(-0.125) / (s * (r * (((r * r) * (((r * ((s * single(0.04938271604938271)) + (s * single(-0.05555555555555555)))) / (s / (single(pi) / (s * (s * s))))) - (single(0.08333333333333333) / ((s * s) / single(pi))))) - (single(pi) * (single(0.5) + (r / (s / single(0.3333333333333333))))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

7. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-7}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \left(\frac{5}{54} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}}{s}\right)\right)\right) - \left(\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right) - \frac{-1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

9. Simplified 15.9%

   \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.04938271604938271 + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot s} \cdot -0.08333333333333333\right)}{s}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

11. Applied egg-rr 15.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}} - r \cdot \left(\frac{0.04938271604938271}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot s}}} + \frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}}}{s}\right)\right) \cdot \left(r \cdot r\right) + \pi \cdot \left(\frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}} + 0.5\right)}}{s} \cdot \frac{-1}{r}} \]

13. Applied egg-rr 80.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.125}{s \cdot \left(\left(-r\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(0.5 + \frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}}\right) + \left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s \cdot s}{\pi}} - \frac{r \cdot \left(s \cdot 0.04938271604938271 + \frac{s \cdot -0.05555555555555555}{1}\right)}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}}}\right) \cdot \left(r \cdot r\right)\right)\right)}} \]

14. Final simplification 80.4%

    \[\leadsto \frac{-0.125}{s \cdot \left(r \cdot \left(\left(r \cdot r\right) \cdot \left(\frac{r \cdot \left(s \cdot 0.04938271604938271 + s \cdot -0.05555555555555555\right)}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}}} - \frac{0.08333333333333333}{\frac{s \cdot s}{\pi}}\right) - \pi \cdot \left(0.5 + \frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}}\right)\right)\right)} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 10: 77.5% accurate, 4.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{0.125}{\pi \cdot \left(0.5 + \frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}}\right) + \left(r \cdot r\right) \cdot \left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s \cdot s}{\pi}} - \frac{r \cdot \left(s \cdot 0.04938271604938271 + s \cdot -0.05555555555555555\right)}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}}}\right)}}{r \cdot s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (/
   0.125
   (+
    (* PI (+ 0.5 (/ r (/ s 0.3333333333333333))))
    (*
     (* r r)
     (-
      (/ 0.08333333333333333 (/ (* s s) PI))
      (/
       (* r (+ (* s 0.04938271604938271) (* s -0.05555555555555555)))
       (/ s (/ PI (* s (* s s)))))))))
  (* r s)))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.125f / ((((float) M_PI) * (0.5f + (r / (s / 0.3333333333333333f)))) + ((r * r) * ((0.08333333333333333f / ((s * s) / ((float) M_PI))) - ((r * ((s * 0.04938271604938271f) + (s * -0.05555555555555555f))) / (s / (((float) M_PI) / (s * (s * s))))))))) / (r * s);
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.125) / Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(0.5) + Float32(r / Float32(s / Float32(0.3333333333333333))))) + Float32(Float32(r * r) * Float32(Float32(Float32(0.08333333333333333) / Float32(Float32(s * s) / Float32(pi))) - Float32(Float32(r * Float32(Float32(s * Float32(0.04938271604938271)) + Float32(s * Float32(-0.05555555555555555)))) / Float32(s / Float32(Float32(pi) / Float32(s * Float32(s * s))))))))) / Float32(r * s))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.125) / ((single(pi) * (single(0.5) + (r / (s / single(0.3333333333333333))))) + ((r * r) * ((single(0.08333333333333333) / ((s * s) / single(pi))) - ((r * ((s * single(0.04938271604938271)) + (s * single(-0.05555555555555555)))) / (s / (single(pi) / (s * (s * s))))))))) / (r * s);
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

7. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-7}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \left(\frac{5}{54} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}}{s}\right)\right)\right) - \left(\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right) - \frac{-1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

9. Simplified 15.9%

   \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.04938271604938271 + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot s} \cdot -0.08333333333333333\right)}{s}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

11. Applied egg-rr 15.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}} - r \cdot \left(\frac{0.04938271604938271}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot s}}} + \frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}}}{s}\right)\right) \cdot \left(r \cdot r\right) + \pi \cdot \left(\frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}} + 0.5\right)}}{s} \cdot \frac{-1}{r}} \]

13. Applied egg-rr 78.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{\pi \cdot \left(0.5 + \frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}}\right) + \left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s \cdot s}{\pi}} - \frac{r \cdot \left(s \cdot 0.04938271604938271 + \frac{s \cdot -0.05555555555555555}{1}\right)}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}}}\right) \cdot \left(r \cdot r\right)}}{r \cdot s}} \]

14. Final simplification 78.2%

    \[\leadsto \frac{\frac{0.125}{\pi \cdot \left(0.5 + \frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}}\right) + \left(r \cdot r\right) \cdot \left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s \cdot s}{\pi}} - \frac{r \cdot \left(s \cdot 0.04938271604938271 + s \cdot -0.05555555555555555\right)}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}}}\right)}}{r \cdot s} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 11: 77.4% accurate, 4.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{0.125}{s \cdot \left(\pi \cdot \left(0.5 + \frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}}\right) + \left(r \cdot r\right) \cdot \left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s \cdot s}{\pi}} - \frac{r \cdot \left(s \cdot 0.04938271604938271 + s \cdot -0.05555555555555555\right)}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}}}\right)\right)}}{r} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (/
   0.125
   (*
    s
    (+
     (* PI (+ 0.5 (/ r (/ s 0.3333333333333333))))
     (*
      (* r r)
      (-
       (/ 0.08333333333333333 (/ (* s s) PI))
       (/
        (* r (+ (* s 0.04938271604938271) (* s -0.05555555555555555)))
        (/ s (/ PI (* s (* s s))))))))))
  r))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.125f / (s * ((((float) M_PI) * (0.5f + (r / (s / 0.3333333333333333f)))) + ((r * r) * ((0.08333333333333333f / ((s * s) / ((float) M_PI))) - ((r * ((s * 0.04938271604938271f) + (s * -0.05555555555555555f))) / (s / (((float) M_PI) / (s * (s * s)))))))))) / r;
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.125) / Float32(s * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(0.5) + Float32(r / Float32(s / Float32(0.3333333333333333))))) + Float32(Float32(r * r) * Float32(Float32(Float32(0.08333333333333333) / Float32(Float32(s * s) / Float32(pi))) - Float32(Float32(r * Float32(Float32(s * Float32(0.04938271604938271)) + Float32(s * Float32(-0.05555555555555555)))) / Float32(s / Float32(Float32(pi) / Float32(s * Float32(s * s)))))))))) / r)
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.125) / (s * ((single(pi) * (single(0.5) + (r / (s / single(0.3333333333333333))))) + ((r * r) * ((single(0.08333333333333333) / ((s * s) / single(pi))) - ((r * ((s * single(0.04938271604938271)) + (s * single(-0.05555555555555555)))) / (s / (single(pi) / (s * (s * s)))))))))) / r;
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

7. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-7}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \left(\frac{5}{54} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}}{s}\right)\right)\right) - \left(\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right) - \frac{-1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

9. Simplified 15.9%

   \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.04938271604938271 + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot s} \cdot -0.08333333333333333\right)}{s}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

11. Applied egg-rr 15.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}} - r \cdot \left(\frac{0.04938271604938271}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot s}}} + \frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}}}{s}\right)\right) \cdot \left(r \cdot r\right) + \pi \cdot \left(\frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}} + 0.5\right)}}{s} \cdot \frac{-1}{r}} \]

13. Applied egg-rr 78.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{s \cdot \left(\pi \cdot \left(0.5 + \frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}}\right) + \left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s \cdot s}{\pi}} - \frac{r \cdot \left(s \cdot 0.04938271604938271 + \frac{s \cdot -0.05555555555555555}{1}\right)}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}}}\right) \cdot \left(r \cdot r\right)\right)}}{r}} \]

14. Final simplification 78.1%

    \[\leadsto \frac{\frac{0.125}{s \cdot \left(\pi \cdot \left(0.5 + \frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}}\right) + \left(r \cdot r\right) \cdot \left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s \cdot s}{\pi}} - \frac{r \cdot \left(s \cdot 0.04938271604938271 + s \cdot -0.05555555555555555\right)}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}}}\right)\right)}}{r} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 12: 75.3% accurate, 5.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq 2.999999970665357 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.125}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(\left(r \cdot r\right) \cdot \left(0.006172839506172839 \cdot \frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} + \frac{\pi \cdot 0.08333333333333333}{r \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)\right)}}{0 - r \cdot s}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1}{\pi}}{r \cdot \left(s \cdot 4 + r \cdot \left(2.6666666666666665 + r \cdot \left(0.04938271604938271 \cdot \frac{r}{s \cdot s} + \frac{0.6666666666666666}{s}\right)\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (if (<= s 2.999999970665357e-10)
   (/
    (/
     -0.125
     (+
      (* PI 0.5)
      (*
       r
       (*
        (* r r)
        (+
         (* 0.006172839506172839 (/ PI (* s (* s s))))
         (/ (* PI 0.08333333333333333) (* r (* s s))))))))
    (- 0.0 (* r s)))
   (/
    (/ 1.0 PI)
    (*
     r
     (+
      (* s 4.0)
      (*
       r
       (+
        2.6666666666666665
        (*
         r
         (+
          (* 0.04938271604938271 (/ r (* s s)))
          (/ 0.6666666666666666 s))))))))))

C

float code(float s, float r) {
	float tmp;
	if (s <= 2.999999970665357e-10f) {
		tmp = (-0.125f / ((((float) M_PI) * 0.5f) + (r * ((r * r) * ((0.006172839506172839f * (((float) M_PI) / (s * (s * s)))) + ((((float) M_PI) * 0.08333333333333333f) / (r * (s * s)))))))) / (0.0f - (r * s));
	} else {
		tmp = (1.0f / ((float) M_PI)) / (r * ((s * 4.0f) + (r * (2.6666666666666665f + (r * ((0.04938271604938271f * (r / (s * s))) + (0.6666666666666666f / s)))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(s, r)
	tmp = Float32(0.0)
	if (s <= Float32(2.999999970665357e-10))
		tmp = Float32(Float32(Float32(-0.125) / Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(0.5)) + Float32(r * Float32(Float32(r * r) * Float32(Float32(Float32(0.006172839506172839) * Float32(Float32(pi) / Float32(s * Float32(s * s)))) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(0.08333333333333333)) / Float32(r * Float32(s * s)))))))) / Float32(Float32(0.0) - Float32(r * s)));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(pi)) / Float32(r * Float32(Float32(s * Float32(4.0)) + Float32(r * Float32(Float32(2.6666666666666665) + Float32(r * Float32(Float32(Float32(0.04938271604938271) * Float32(r / Float32(s * s))) + Float32(Float32(0.6666666666666666) / s))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(s, r)
	tmp = single(0.0);
	if (s <= single(2.999999970665357e-10))
		tmp = (single(-0.125) / ((single(pi) * single(0.5)) + (r * ((r * r) * ((single(0.006172839506172839) * (single(pi) / (s * (s * s)))) + ((single(pi) * single(0.08333333333333333)) / (r * (s * s)))))))) / (single(0.0) - (r * s));
	else
		tmp = (single(1.0) / single(pi)) / (r * ((s * single(4.0)) + (r * (single(2.6666666666666665) + (r * ((single(0.04938271604938271) * (r / (s * s))) + (single(0.6666666666666666) / s)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if s < 2.99999997e-10

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

   3. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

      2. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

   7. Taylor expanded in r around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-7}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \left(\frac{5}{54} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}}{s}\right)\right)\right) - \left(\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right) - \frac{-1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   9. Simplified 8.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.04938271604938271 + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot s} \cdot -0.08333333333333333\right)}{s}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

   10. Taylor expanded in r around inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left({r}^{2} \cdot \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right) + \frac{1}{12} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{r \cdot {s}^{2}}\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\left({r}^{2}\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right) + \frac{1}{12} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{r \cdot {s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot r\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right) + \frac{1}{12} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{r \cdot {s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right) + \frac{1}{12} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{r \cdot {s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right), \left(\frac{1}{12} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{r \cdot {s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   12. Simplified 94.0%

       \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \color{blue}{\left(\left(r \cdot r\right) \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.006172839506172839 + \frac{0.08333333333333333 \cdot \pi}{r \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

   if 2.99999997e-10 < s

   1. Initial program 98.2%

      \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

   3. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}}} \]

      2. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right)} \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\color{blue}{r \cdot s}} \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}}} \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}}} \]

      6. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}\right)}\right) \]

      7. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{r \cdot s}}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{r \cdot \color{blue}{s}}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(r \cdot s\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right)}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{8}} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)} + e^{\frac{\color{blue}{\frac{r}{s}}}{-3}}\right)\right)\right)\right) \]

      12. distribute-frac-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{\frac{\mathsf{neg}\left(r\right)}{s}} + e^{\frac{\color{blue}{\frac{r}{s}}}{-3}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\pi}}{\frac{r \cdot s}{\frac{0.125}{e^{\frac{r}{s}}} + \frac{0.125}{e^{\frac{r}{s \cdot 3}}}}}} \]

   7. Taylor expanded in r around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(r \cdot \left(4 \cdot s + r \cdot \left(\frac{8}{3} + r \cdot \left(\frac{4}{81} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(4 \cdot s + r \cdot \left(\frac{8}{3} + r \cdot \left(\frac{4}{81} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(4 \cdot s\right), \color{blue}{\left(r \cdot \left(\frac{8}{3} + r \cdot \left(\frac{4}{81} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(s \cdot 4\right), \left(\color{blue}{r} \cdot \left(\frac{8}{3} + r \cdot \left(\frac{4}{81} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \left(\color{blue}{r} \cdot \left(\frac{8}{3} + r \cdot \left(\frac{4}{81} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(\frac{8}{3} + r \cdot \left(\frac{4}{81} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \color{blue}{\left(r \cdot \left(\frac{4}{81} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(\frac{4}{81} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{4}{81} \cdot \frac{r}{{s}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{4}{81}, \left(\frac{r}{{s}^{2}}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{4}{81}, \mathsf{/.f32}\left(r, \left({s}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{4}{81}, \mathsf{/.f32}\left(r, \left(s \cdot s\right)\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{4}{81}, \mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{4}{81}, \mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{2}{3} \cdot 1}{\color{blue}{s}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{4}{81}, \mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{2}{3}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f32 34.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{4}{81}, \mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{2}{3}, \color{blue}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 34.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\pi}}{\color{blue}{r \cdot \left(s \cdot 4 + r \cdot \left(2.6666666666666665 + r \cdot \left(0.04938271604938271 \cdot \frac{r}{s \cdot s} + \frac{0.6666666666666666}{s}\right)\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 76.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq 2.999999970665357 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.125}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(\left(r \cdot r\right) \cdot \left(0.006172839506172839 \cdot \frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} + \frac{\pi \cdot 0.08333333333333333}{r \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)\right)}}{0 - r \cdot s}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1}{\pi}}{r \cdot \left(s \cdot 4 + r \cdot \left(2.6666666666666665 + r \cdot \left(0.04938271604938271 \cdot \frac{r}{s \cdot s} + \frac{0.6666666666666666}{s}\right)\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 75.6% accurate, 5.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{-0.125}{r \cdot \left(r \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot \left(r \cdot -0.006172839506172839\right) - \frac{\pi \cdot 0.08333333333333333}{s \cdot s}\right) - \frac{\pi \cdot 0.3333333333333333}{s}\right) - \pi \cdot 0.5}}{r \cdot s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (/
   -0.125
   (-
    (*
     r
     (-
      (*
       r
       (-
        (* (/ PI (* s (* s s))) (* r -0.006172839506172839))
        (/ (* PI 0.08333333333333333) (* s s))))
      (/ (* PI 0.3333333333333333) s)))
    (* PI 0.5)))
  (* r s)))

C

float code(float s, float r) {
	return (-0.125f / ((r * ((r * (((((float) M_PI) / (s * (s * s))) * (r * -0.006172839506172839f)) - ((((float) M_PI) * 0.08333333333333333f) / (s * s)))) - ((((float) M_PI) * 0.3333333333333333f) / s))) - (((float) M_PI) * 0.5f))) / (r * s);
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(-0.125) / Float32(Float32(r * Float32(Float32(r * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) / Float32(s * Float32(s * s))) * Float32(r * Float32(-0.006172839506172839))) - Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(0.08333333333333333)) / Float32(s * s)))) - Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(0.3333333333333333)) / s))) - Float32(Float32(pi) * Float32(0.5)))) / Float32(r * s))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(-0.125) / ((r * ((r * (((single(pi) / (s * (s * s))) * (r * single(-0.006172839506172839))) - ((single(pi) * single(0.08333333333333333)) / (s * s)))) - ((single(pi) * single(0.3333333333333333)) / s))) - (single(pi) * single(0.5)))) / (r * s);
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

7. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-7}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \left(\frac{5}{54} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}}{s}\right)\right)\right) - \left(\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right) - \frac{-1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

9. Simplified 15.9%

   \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.04938271604938271 + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot s} \cdot -0.08333333333333333\right)}{s}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

10. Taylor expanded in r around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} + r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{12} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right), \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{12} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    2. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right), \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{12} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right), \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{12} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{3}\right), s\right), \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{12} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{3}\right), s\right), \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{12} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    6. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{3}\right), s\right), \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{12} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{3}\right), s\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right) + \frac{1}{12} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    8. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{3}\right), s\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{1}{12} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + -1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    9. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{3}\right), s\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{1}{12} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(r \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    10. unsub-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{3}\right), s\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{1}{12} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} - r \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

12. Simplified 76.4%

    \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \color{blue}{\left(\frac{\pi \cdot 0.3333333333333333}{s} + r \cdot \left(\frac{0.08333333333333333 \cdot \pi}{s \cdot s} - \frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot \left(-0.006172839506172839 \cdot r\right)\right)\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

13. Final simplification 76.4%

    \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{r \cdot \left(r \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot \left(r \cdot -0.006172839506172839\right) - \frac{\pi \cdot 0.08333333333333333}{s \cdot s}\right) - \frac{\pi \cdot 0.3333333333333333}{s}\right) - \pi \cdot 0.5}}{r \cdot s} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 14: 73.4% accurate, 6.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{-0.125}{r \cdot \frac{r \cdot \left(\pi \cdot \left(r \cdot -0.006172839506172839\right)\right) - s \cdot \left(\pi \cdot \left(r \cdot 0.08333333333333333 + s \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} - \pi \cdot 0.5}}{r \cdot s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (/
   -0.125
   (-
    (*
     r
     (/
      (-
       (* r (* PI (* r -0.006172839506172839)))
       (* s (* PI (+ (* r 0.08333333333333333) (* s 0.3333333333333333)))))
      (* s (* s s))))
    (* PI 0.5)))
  (* r s)))

C

float code(float s, float r) {
	return (-0.125f / ((r * (((r * (((float) M_PI) * (r * -0.006172839506172839f))) - (s * (((float) M_PI) * ((r * 0.08333333333333333f) + (s * 0.3333333333333333f))))) / (s * (s * s)))) - (((float) M_PI) * 0.5f))) / (r * s);
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(-0.125) / Float32(Float32(r * Float32(Float32(Float32(r * Float32(Float32(pi) * Float32(r * Float32(-0.006172839506172839)))) - Float32(s * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(r * Float32(0.08333333333333333)) + Float32(s * Float32(0.3333333333333333)))))) / Float32(s * Float32(s * s)))) - Float32(Float32(pi) * Float32(0.5)))) / Float32(r * s))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(-0.125) / ((r * (((r * (single(pi) * (r * single(-0.006172839506172839)))) - (s * (single(pi) * ((r * single(0.08333333333333333)) + (s * single(0.3333333333333333)))))) / (s * (s * s)))) - (single(pi) * single(0.5)))) / (r * s);
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

7. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-7}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \left(\frac{5}{54} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}}{s}\right)\right)\right) - \left(\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right) - \frac{-1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

9. Simplified 15.9%

   \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.04938271604938271 + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot s} \cdot -0.08333333333333333\right)}{s}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

10. Taylor expanded in s around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(\frac{-1 \cdot \left({r}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + s \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{3} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{{s}^{3}}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \left({r}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + s \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \left(r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{3} \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left({s}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

12. Simplified 75.0%

    \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \color{blue}{\frac{s \cdot \left(\pi \cdot \left(0.08333333333333333 \cdot r + 0.3333333333333333 \cdot s\right)\right) - r \cdot \left(\pi \cdot \left(-0.006172839506172839 \cdot r\right)\right)}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

13. Final simplification 75.0%

    \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{r \cdot \frac{r \cdot \left(\pi \cdot \left(r \cdot -0.006172839506172839\right)\right) - s \cdot \left(\pi \cdot \left(r \cdot 0.08333333333333333 + s \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} - \pi \cdot 0.5}}{r \cdot s} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 15: 72.6% accurate, 6.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{-0.125}{r \cdot \frac{\pi \cdot -0.3333333333333333 - \frac{r \cdot \left(\pi \cdot 0.08333333333333333\right) + r \cdot \left(r \cdot \frac{\pi \cdot 0.006172839506172839}{s}\right)}{s}}{s} - \pi \cdot 0.5}}{r \cdot s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (/
   -0.125
   (-
    (*
     r
     (/
      (-
       (* PI -0.3333333333333333)
       (/
        (+
         (* r (* PI 0.08333333333333333))
         (* r (* r (/ (* PI 0.006172839506172839) s))))
        s))
      s))
    (* PI 0.5)))
  (* r s)))

C

float code(float s, float r) {
	return (-0.125f / ((r * (((((float) M_PI) * -0.3333333333333333f) - (((r * (((float) M_PI) * 0.08333333333333333f)) + (r * (r * ((((float) M_PI) * 0.006172839506172839f) / s)))) / s)) / s)) - (((float) M_PI) * 0.5f))) / (r * s);
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(-0.125) / Float32(Float32(r * Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(-0.3333333333333333)) - Float32(Float32(Float32(r * Float32(Float32(pi) * Float32(0.08333333333333333))) + Float32(r * Float32(r * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(0.006172839506172839)) / s)))) / s)) / s)) - Float32(Float32(pi) * Float32(0.5)))) / Float32(r * s))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(-0.125) / ((r * (((single(pi) * single(-0.3333333333333333)) - (((r * (single(pi) * single(0.08333333333333333))) + (r * (r * ((single(pi) * single(0.006172839506172839)) / s)))) / s)) / s)) - (single(pi) * single(0.5)))) / (r * s);
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

7. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-7}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \left(\frac{5}{54} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}}{s}\right)\right)\right) - \left(\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right) - \frac{-1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

9. Simplified 15.9%

   \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.04938271604938271 + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot s} \cdot -0.08333333333333333\right)}{s}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

10. Taylor expanded in s around -inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{-1 \cdot \frac{\frac{1}{12} \cdot \left(r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{{r}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}{s} + \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1 \cdot \frac{\frac{1}{12} \cdot \left(r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{{r}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}{s} + \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    2. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{-1 \cdot \frac{\frac{1}{12} \cdot \left(r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{{r}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}{s} + \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{neg}\left(s\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \left(\frac{-1 \cdot \frac{\frac{1}{12} \cdot \left(r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{{r}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}{s} + \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{-1 \cdot s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{12} \cdot \left(r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{{r}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}}{s} + \frac{-1}{3} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(-1 \cdot s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

12. Simplified 74.6%

    \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \color{blue}{\frac{\pi \cdot -0.3333333333333333 - \frac{r \cdot \left(\pi \cdot 0.08333333333333333\right) + r \cdot \left(r \cdot \frac{\pi \cdot 0.006172839506172839}{s}\right)}{s}}{-s}}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

13. Final simplification 74.6%

    \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{r \cdot \frac{\pi \cdot -0.3333333333333333 - \frac{r \cdot \left(\pi \cdot 0.08333333333333333\right) + r \cdot \left(r \cdot \frac{\pi \cdot 0.006172839506172839}{s}\right)}{s}}{s} - \pi \cdot 0.5}}{r \cdot s} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 16: 71.2% accurate, 7.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := r \cdot \left(r \cdot r\right)\\ \mathbf{if}\;s \leq 2.000000047484456 \cdot 10^{-33}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{r} \cdot \frac{0.125 \cdot \left(s \cdot s\right)}{t\_0 \cdot \left(\pi \cdot -0.006172839506172839\right)}\\ \mathbf{elif}\;s \leq 1.500000053056283 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{r} \cdot \frac{0.125}{\left(s \cdot t\_0\right) \cdot \frac{\pi \cdot -0.006172839506172839}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1}{\pi}}{r \cdot \left(s \cdot 4 + r \cdot \left(2.6666666666666665 + \frac{r \cdot 0.6666666666666666}{s}\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* r (* r r))))
   (if (<= s 2.000000047484456e-33)
     (* (/ -1.0 r) (/ (* 0.125 (* s s)) (* t_0 (* PI -0.006172839506172839))))
     (if (<= s 1.500000053056283e-6)
       (*
        (/ -1.0 r)
        (/ 0.125 (* (* s t_0) (/ (* PI -0.006172839506172839) (* s (* s s))))))
       (/
        (/ 1.0 PI)
        (*
         r
         (+
          (* s 4.0)
          (* r (+ 2.6666666666666665 (/ (* r 0.6666666666666666) s))))))))))

C

float code(float s, float r) {
	float t_0 = r * (r * r);
	float tmp;
	if (s <= 2.000000047484456e-33f) {
		tmp = (-1.0f / r) * ((0.125f * (s * s)) / (t_0 * (((float) M_PI) * -0.006172839506172839f)));
	} else if (s <= 1.500000053056283e-6f) {
		tmp = (-1.0f / r) * (0.125f / ((s * t_0) * ((((float) M_PI) * -0.006172839506172839f) / (s * (s * s)))));
	} else {
		tmp = (1.0f / ((float) M_PI)) / (r * ((s * 4.0f) + (r * (2.6666666666666665f + ((r * 0.6666666666666666f) / s)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(s, r)
	t_0 = Float32(r * Float32(r * r))
	tmp = Float32(0.0)
	if (s <= Float32(2.000000047484456e-33))
		tmp = Float32(Float32(Float32(-1.0) / r) * Float32(Float32(Float32(0.125) * Float32(s * s)) / Float32(t_0 * Float32(Float32(pi) * Float32(-0.006172839506172839)))));
	elseif (s <= Float32(1.500000053056283e-6))
		tmp = Float32(Float32(Float32(-1.0) / r) * Float32(Float32(0.125) / Float32(Float32(s * t_0) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(-0.006172839506172839)) / Float32(s * Float32(s * s))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(pi)) / Float32(r * Float32(Float32(s * Float32(4.0)) + Float32(r * Float32(Float32(2.6666666666666665) + Float32(Float32(r * Float32(0.6666666666666666)) / s))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(s, r)
	t_0 = r * (r * r);
	tmp = single(0.0);
	if (s <= single(2.000000047484456e-33))
		tmp = (single(-1.0) / r) * ((single(0.125) * (s * s)) / (t_0 * (single(pi) * single(-0.006172839506172839))));
	elseif (s <= single(1.500000053056283e-6))
		tmp = (single(-1.0) / r) * (single(0.125) / ((s * t_0) * ((single(pi) * single(-0.006172839506172839)) / (s * (s * s)))));
	else
		tmp = (single(1.0) / single(pi)) / (r * ((s * single(4.0)) + (r * (single(2.6666666666666665) + ((r * single(0.6666666666666666)) / s)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if s < 2.00000005e-33

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

   3. Simplified 80.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

      2. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

   7. Taylor expanded in r around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-7}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \left(\frac{5}{54} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}}{s}\right)\right)\right) - \left(\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right) - \frac{-1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   9. Simplified -0.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.04938271604938271 + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot s} \cdot -0.08333333333333333\right)}{s}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

   11. Applied egg-rr -0.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}} - r \cdot \left(\frac{0.04938271604938271}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot s}}} + \frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}}}{s}\right)\right) \cdot \left(r \cdot r\right) + \pi \cdot \left(\frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}} + 0.5\right)}}{s} \cdot \frac{-1}{r}} \]

   12. Taylor expanded in s around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{s}^{2}}{{r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{8} \cdot {s}^{2}}{{r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{-1}, r\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot {s}^{2}\right), \left({r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{-1}, r\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \left({s}^{2}\right)\right), \left({r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(s \cdot s\right)\right), \left({r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \left({r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({r}^{3}\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       7. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot {r}^{2}\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left({r}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left(r \cdot r\right)\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       12. distribute-rgt-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{18} + \frac{4}{81}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       13. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{162}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{162}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f32 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{162}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

   14. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.125 \cdot \left(s \cdot s\right)}{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot -0.006172839506172839\right)}} \cdot \frac{-1}{r} \]

   if 2.00000005e-33 < s < 1.50000005e-6

   1. Initial program 99.8%

      \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

   3. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

      2. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

   7. Taylor expanded in r around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-7}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \left(\frac{5}{54} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}}{s}\right)\right)\right) - \left(\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right) - \frac{-1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   9. Simplified 10.4%

      \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.04938271604938271 + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot s} \cdot -0.08333333333333333\right)}{s}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

   11. Applied egg-rr 9.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}} - r \cdot \left(\frac{0.04938271604938271}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot s}}} + \frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}}}{s}\right)\right) \cdot \left(r \cdot r\right) + \pi \cdot \left(\frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}} + 0.5\right)}}{s} \cdot \frac{-1}{r}} \]

   12. Taylor expanded in r around inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{8}}{{r}^{3} \cdot \left(s \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \left({r}^{3} \cdot \left(s \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{-1}, r\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(\left({r}^{3} \cdot s\right) \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left({r}^{3} \cdot s\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({r}^{3}\right), s\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right), s\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot {r}^{2}\right), s\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left({r}^{2}\right)\right), s\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left(r \cdot r\right)\right), s\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), s\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       10. distribute-rgt-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), s\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} \cdot \left(\frac{-1}{18} + \frac{4}{81}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), s\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} \cdot \frac{-1}{162}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), s\right), \left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       13. associate-*r/ N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), s\right), \left(\frac{\frac{-1}{162} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{162} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({s}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{162}, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({s}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       16. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{162}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({s}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       17. cube-mult N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{162}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       18. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{162}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(s \cdot {s}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       19. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{162}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \left({s}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       20. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{162}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \left(s \cdot s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       21. *-lowering-*.f32 74.7%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{162}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

   14. Simplified 74.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.125}{\left(\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot s\right) \cdot \frac{-0.006172839506172839 \cdot \pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}}} \cdot \frac{-1}{r} \]

   if 1.50000005e-6 < s

   1. Initial program 98.0%

      \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

   3. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}}} \]

      2. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right)} \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\color{blue}{r \cdot s}} \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}}} \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}}} \]

      6. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}\right)}\right) \]

      7. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{r \cdot s}}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{r \cdot \color{blue}{s}}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(r \cdot s\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right)}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{8}} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)} + e^{\frac{\color{blue}{\frac{r}{s}}}{-3}}\right)\right)\right)\right) \]

      12. distribute-frac-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{\frac{\mathsf{neg}\left(r\right)}{s}} + e^{\frac{\color{blue}{\frac{r}{s}}}{-3}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\pi}}{\frac{r \cdot s}{\frac{0.125}{e^{\frac{r}{s}}} + \frac{0.125}{e^{\frac{r}{s \cdot 3}}}}}} \]

   7. Taylor expanded in r around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(r \cdot \left(4 \cdot s + r \cdot \left(\frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(4 \cdot s + r \cdot \left(\frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(4 \cdot s\right), \color{blue}{\left(r \cdot \left(\frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(s \cdot 4\right), \left(\color{blue}{r} \cdot \left(\frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \left(\color{blue}{r} \cdot \left(\frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(\frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \left(\frac{\frac{2}{3} \cdot r}{\color{blue}{s}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{2}{3} \cdot r\right), \color{blue}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 40.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{2}{3}, r\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 40.8%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\pi}}{\color{blue}{r \cdot \left(s \cdot 4 + r \cdot \left(2.6666666666666665 + \frac{0.6666666666666666 \cdot r}{s}\right)\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 71.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq 2.000000047484456 \cdot 10^{-33}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{r} \cdot \frac{0.125 \cdot \left(s \cdot s\right)}{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot -0.006172839506172839\right)}\\ \mathbf{elif}\;s \leq 1.500000053056283 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{r} \cdot \frac{0.125}{\left(s \cdot \left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right)\right) \cdot \frac{\pi \cdot -0.006172839506172839}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1}{\pi}}{r \cdot \left(s \cdot 4 + r \cdot \left(2.6666666666666665 + \frac{r \cdot 0.6666666666666666}{s}\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 75.3% accurate, 7.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq 2.999999970665357 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.125}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(\left(r \cdot r\right) \cdot \left(0.006172839506172839 \cdot \frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)\right)}}{0 - r \cdot s}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1}{\pi}}{r \cdot \left(s \cdot 4 + r \cdot \left(2.6666666666666665 + r \cdot \left(0.04938271604938271 \cdot \frac{r}{s \cdot s} + \frac{0.6666666666666666}{s}\right)\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (if (<= s 2.999999970665357e-10)
   (/
    (/
     -0.125
     (+
      (* PI 0.5)
      (* r (* (* r r) (* 0.006172839506172839 (/ PI (* s (* s s))))))))
    (- 0.0 (* r s)))
   (/
    (/ 1.0 PI)
    (*
     r
     (+
      (* s 4.0)
      (*
       r
       (+
        2.6666666666666665
        (*
         r
         (+
          (* 0.04938271604938271 (/ r (* s s)))
          (/ 0.6666666666666666 s))))))))))

C

float code(float s, float r) {
	float tmp;
	if (s <= 2.999999970665357e-10f) {
		tmp = (-0.125f / ((((float) M_PI) * 0.5f) + (r * ((r * r) * (0.006172839506172839f * (((float) M_PI) / (s * (s * s)))))))) / (0.0f - (r * s));
	} else {
		tmp = (1.0f / ((float) M_PI)) / (r * ((s * 4.0f) + (r * (2.6666666666666665f + (r * ((0.04938271604938271f * (r / (s * s))) + (0.6666666666666666f / s)))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(s, r)
	tmp = Float32(0.0)
	if (s <= Float32(2.999999970665357e-10))
		tmp = Float32(Float32(Float32(-0.125) / Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(0.5)) + Float32(r * Float32(Float32(r * r) * Float32(Float32(0.006172839506172839) * Float32(Float32(pi) / Float32(s * Float32(s * s)))))))) / Float32(Float32(0.0) - Float32(r * s)));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(pi)) / Float32(r * Float32(Float32(s * Float32(4.0)) + Float32(r * Float32(Float32(2.6666666666666665) + Float32(r * Float32(Float32(Float32(0.04938271604938271) * Float32(r / Float32(s * s))) + Float32(Float32(0.6666666666666666) / s))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(s, r)
	tmp = single(0.0);
	if (s <= single(2.999999970665357e-10))
		tmp = (single(-0.125) / ((single(pi) * single(0.5)) + (r * ((r * r) * (single(0.006172839506172839) * (single(pi) / (s * (s * s)))))))) / (single(0.0) - (r * s));
	else
		tmp = (single(1.0) / single(pi)) / (r * ((s * single(4.0)) + (r * (single(2.6666666666666665) + (r * ((single(0.04938271604938271) * (r / (s * s))) + (single(0.6666666666666666) / s)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if s < 2.99999997e-10

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

   3. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

      2. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

   7. Taylor expanded in r around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-7}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \left(\frac{5}{54} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}}{s}\right)\right)\right) - \left(\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right) - \frac{-1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   9. Simplified 8.3%

      \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.04938271604938271 + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot s} \cdot -0.08333333333333333\right)}{s}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

   10. Taylor expanded in r around inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left({r}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \left(\mathsf{neg}\left({r}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       2. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \left({r}^{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \left({r}^{2} \cdot \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\left({r}^{2}\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot r\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       7. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       8. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} \cdot \left(\frac{-1}{18} + \frac{4}{81}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       9. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} \cdot \frac{-1}{162}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       10. distribute-rgt-neg-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{162}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       11. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} \cdot \frac{1}{162}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right), \frac{1}{162}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   12. Simplified 94.0%

       \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \color{blue}{\left(\left(r \cdot r\right) \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.006172839506172839\right)\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

   if 2.99999997e-10 < s

   1. Initial program 98.2%

      \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

   3. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}}} \]

      2. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right)} \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\color{blue}{r \cdot s}} \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}}} \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}}} \]

      6. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}\right)}\right) \]

      7. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{r \cdot s}}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{r \cdot \color{blue}{s}}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(r \cdot s\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right)}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{8}} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)} + e^{\frac{\color{blue}{\frac{r}{s}}}{-3}}\right)\right)\right)\right) \]

      12. distribute-frac-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{\frac{\mathsf{neg}\left(r\right)}{s}} + e^{\frac{\color{blue}{\frac{r}{s}}}{-3}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\pi}}{\frac{r \cdot s}{\frac{0.125}{e^{\frac{r}{s}}} + \frac{0.125}{e^{\frac{r}{s \cdot 3}}}}}} \]

   7. Taylor expanded in r around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(r \cdot \left(4 \cdot s + r \cdot \left(\frac{8}{3} + r \cdot \left(\frac{4}{81} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(4 \cdot s + r \cdot \left(\frac{8}{3} + r \cdot \left(\frac{4}{81} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(4 \cdot s\right), \color{blue}{\left(r \cdot \left(\frac{8}{3} + r \cdot \left(\frac{4}{81} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(s \cdot 4\right), \left(\color{blue}{r} \cdot \left(\frac{8}{3} + r \cdot \left(\frac{4}{81} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \left(\color{blue}{r} \cdot \left(\frac{8}{3} + r \cdot \left(\frac{4}{81} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(\frac{8}{3} + r \cdot \left(\frac{4}{81} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \color{blue}{\left(r \cdot \left(\frac{4}{81} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(\frac{4}{81} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{4}{81} \cdot \frac{r}{{s}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{4}{81}, \left(\frac{r}{{s}^{2}}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{4}{81}, \mathsf{/.f32}\left(r, \left({s}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{4}{81}, \mathsf{/.f32}\left(r, \left(s \cdot s\right)\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{4}{81}, \mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{4}{81}, \mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{2}{3} \cdot 1}{\color{blue}{s}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{4}{81}, \mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{2}{3}}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f32 34.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{4}{81}, \mathsf{/.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{2}{3}, \color{blue}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 34.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\pi}}{\color{blue}{r \cdot \left(s \cdot 4 + r \cdot \left(2.6666666666666665 + r \cdot \left(0.04938271604938271 \cdot \frac{r}{s \cdot s} + \frac{0.6666666666666666}{s}\right)\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 76.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq 2.999999970665357 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.125}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(\left(r \cdot r\right) \cdot \left(0.006172839506172839 \cdot \frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)\right)}}{0 - r \cdot s}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1}{\pi}}{r \cdot \left(s \cdot 4 + r \cdot \left(2.6666666666666665 + r \cdot \left(0.04938271604938271 \cdot \frac{r}{s \cdot s} + \frac{0.6666666666666666}{s}\right)\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 75.0% accurate, 8.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq 1.500000053056283 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.125}{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \left(0.006172839506172839 \cdot \frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)}}{s} \cdot \frac{-1}{r}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1}{\pi}}{r \cdot \left(s \cdot 4 + r \cdot \left(2.6666666666666665 + \frac{r \cdot 0.6666666666666666}{s}\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (if (<= s 1.500000053056283e-6)
   (*
    (/
     (/ -0.125 (* (* r (* r r)) (* 0.006172839506172839 (/ PI (* s (* s s))))))
     s)
    (/ -1.0 r))
   (/
    (/ 1.0 PI)
    (*
     r
     (+
      (* s 4.0)
      (* r (+ 2.6666666666666665 (/ (* r 0.6666666666666666) s))))))))

C

float code(float s, float r) {
	float tmp;
	if (s <= 1.500000053056283e-6f) {
		tmp = ((-0.125f / ((r * (r * r)) * (0.006172839506172839f * (((float) M_PI) / (s * (s * s)))))) / s) * (-1.0f / r);
	} else {
		tmp = (1.0f / ((float) M_PI)) / (r * ((s * 4.0f) + (r * (2.6666666666666665f + ((r * 0.6666666666666666f) / s)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(s, r)
	tmp = Float32(0.0)
	if (s <= Float32(1.500000053056283e-6))
		tmp = Float32(Float32(Float32(Float32(-0.125) / Float32(Float32(r * Float32(r * r)) * Float32(Float32(0.006172839506172839) * Float32(Float32(pi) / Float32(s * Float32(s * s)))))) / s) * Float32(Float32(-1.0) / r));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(pi)) / Float32(r * Float32(Float32(s * Float32(4.0)) + Float32(r * Float32(Float32(2.6666666666666665) + Float32(Float32(r * Float32(0.6666666666666666)) / s))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(s, r)
	tmp = single(0.0);
	if (s <= single(1.500000053056283e-6))
		tmp = ((single(-0.125) / ((r * (r * r)) * (single(0.006172839506172839) * (single(pi) / (s * (s * s)))))) / s) * (single(-1.0) / r);
	else
		tmp = (single(1.0) / single(pi)) / (r * ((s * single(4.0)) + (r * (single(2.6666666666666665) + ((r * single(0.6666666666666666)) / s)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if s < 1.50000005e-6

   1. Initial program 99.8%

      \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

   3. Simplified 96.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

      2. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

   7. Taylor expanded in r around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-7}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \left(\frac{5}{54} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}}{s}\right)\right)\right) - \left(\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right) - \frac{-1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   9. Simplified 8.6%

      \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.04938271604938271 + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot s} \cdot -0.08333333333333333\right)}{s}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

   11. Applied egg-rr 8.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}} - r \cdot \left(\frac{0.04938271604938271}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot s}}} + \frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}}}{s}\right)\right) \cdot \left(r \cdot r\right) + \pi \cdot \left(\frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}} + 0.5\right)}}{s} \cdot \frac{-1}{r}} \]

   12. Taylor expanded in r around inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left({r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)}\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\mathsf{neg}\left({r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       2. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({r}^{3} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left({r}^{3} \cdot \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left({r}^{3}\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot {r}^{2}\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left({r}^{2}\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left(r \cdot r\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       10. mul-1-neg N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       11. distribute-rgt-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} \cdot \left(\frac{-1}{18} + \frac{4}{81}\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       12. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} \cdot \frac{-1}{162}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       14. distribute-lft-neg-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{162}\right)\right) \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\frac{1}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{162}, \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       17. /-lowering-/.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{162}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left({s}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       18. PI-lowering-PI.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{162}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({s}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       19. cube-mult N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{162}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(s \cdot \left(s \cdot s\right)\right)\right)\right)\right)\right), s\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

   14. Simplified 84.2%

       \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \left(0.006172839506172839 \cdot \frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)}}}{s} \cdot \frac{-1}{r} \]

   if 1.50000005e-6 < s

   1. Initial program 98.0%

      \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

   3. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}}} \]

      2. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right)} \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\color{blue}{r \cdot s}} \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}}} \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}}} \]

      6. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}\right)}\right) \]

      7. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{r \cdot s}}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{r \cdot \color{blue}{s}}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(r \cdot s\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right)}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{8}} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)} + e^{\frac{\color{blue}{\frac{r}{s}}}{-3}}\right)\right)\right)\right) \]

      12. distribute-frac-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{\frac{\mathsf{neg}\left(r\right)}{s}} + e^{\frac{\color{blue}{\frac{r}{s}}}{-3}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\pi}}{\frac{r \cdot s}{\frac{0.125}{e^{\frac{r}{s}}} + \frac{0.125}{e^{\frac{r}{s \cdot 3}}}}}} \]

   7. Taylor expanded in r around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(r \cdot \left(4 \cdot s + r \cdot \left(\frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(4 \cdot s + r \cdot \left(\frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(4 \cdot s\right), \color{blue}{\left(r \cdot \left(\frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(s \cdot 4\right), \left(\color{blue}{r} \cdot \left(\frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \left(\color{blue}{r} \cdot \left(\frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(\frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \left(\frac{\frac{2}{3} \cdot r}{\color{blue}{s}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{2}{3} \cdot r\right), \color{blue}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 40.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{2}{3}, r\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 40.8%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\pi}}{\color{blue}{r \cdot \left(s \cdot 4 + r \cdot \left(2.6666666666666665 + \frac{0.6666666666666666 \cdot r}{s}\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 75.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq 1.500000053056283 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.125}{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \left(0.006172839506172839 \cdot \frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)}}{s} \cdot \frac{-1}{r}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1}{\pi}}{r \cdot \left(s \cdot 4 + r \cdot \left(2.6666666666666665 + \frac{r \cdot 0.6666666666666666}{s}\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 72.4% accurate, 8.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{-0.125}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(\left(r \cdot r\right) \cdot \left(0.006172839506172839 \cdot \frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)\right)}}{0 - r \cdot s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/
  (/
   -0.125
   (+
    (* PI 0.5)
    (* r (* (* r r) (* 0.006172839506172839 (/ PI (* s (* s s))))))))
  (- 0.0 (* r s))))

C

float code(float s, float r) {
	return (-0.125f / ((((float) M_PI) * 0.5f) + (r * ((r * r) * (0.006172839506172839f * (((float) M_PI) / (s * (s * s)))))))) / (0.0f - (r * s));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(-0.125) / Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(0.5)) + Float32(r * Float32(Float32(r * r) * Float32(Float32(0.006172839506172839) * Float32(Float32(pi) / Float32(s * Float32(s * s)))))))) / Float32(Float32(0.0) - Float32(r * s)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(-0.125) / ((single(pi) * single(0.5)) + (r * ((r * r) * (single(0.006172839506172839) * (single(pi) / (s * (s * s)))))))) / (single(0.0) - (r * s));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

7. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-7}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \left(\frac{5}{54} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}}{s}\right)\right)\right) - \left(\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right) - \frac{-1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

9. Simplified 15.9%

   \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.04938271604938271 + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot s} \cdot -0.08333333333333333\right)}{s}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

10. Taylor expanded in r around inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(-1 \cdot \left({r}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \left(\mathsf{neg}\left({r}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    2. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \left({r}^{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \left({r}^{2} \cdot \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\left({r}^{2}\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot r\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \left(-1 \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    7. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{-1}{18} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{4}{81} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    8. distribute-rgt-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} \cdot \left(\frac{-1}{18} + \frac{4}{81}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} \cdot \frac{-1}{162}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    10. distribute-rgt-neg-in N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{162}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} \cdot \frac{1}{162}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, r\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}}\right), \frac{1}{162}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

12. Simplified 72.9%

    \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \color{blue}{\left(\left(r \cdot r\right) \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.006172839506172839\right)\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

13. Final simplification 72.9%

    \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(\left(r \cdot r\right) \cdot \left(0.006172839506172839 \cdot \frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)}\right)\right)}}{0 - r \cdot s} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 20: 59.9% accurate, 9.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq 1.500000053056283 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{r} \cdot \frac{0.125 \cdot \left(s \cdot s\right)}{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot -0.006172839506172839\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1}{\pi}}{r \cdot \left(s \cdot 4 + r \cdot \left(2.6666666666666665 + \frac{r \cdot 0.6666666666666666}{s}\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (if (<= s 1.500000053056283e-6)
   (*
    (/ -1.0 r)
    (/ (* 0.125 (* s s)) (* (* r (* r r)) (* PI -0.006172839506172839))))
   (/
    (/ 1.0 PI)
    (*
     r
     (+
      (* s 4.0)
      (* r (+ 2.6666666666666665 (/ (* r 0.6666666666666666) s))))))))

C

float code(float s, float r) {
	float tmp;
	if (s <= 1.500000053056283e-6f) {
		tmp = (-1.0f / r) * ((0.125f * (s * s)) / ((r * (r * r)) * (((float) M_PI) * -0.006172839506172839f)));
	} else {
		tmp = (1.0f / ((float) M_PI)) / (r * ((s * 4.0f) + (r * (2.6666666666666665f + ((r * 0.6666666666666666f) / s)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(s, r)
	tmp = Float32(0.0)
	if (s <= Float32(1.500000053056283e-6))
		tmp = Float32(Float32(Float32(-1.0) / r) * Float32(Float32(Float32(0.125) * Float32(s * s)) / Float32(Float32(r * Float32(r * r)) * Float32(Float32(pi) * Float32(-0.006172839506172839)))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(pi)) / Float32(r * Float32(Float32(s * Float32(4.0)) + Float32(r * Float32(Float32(2.6666666666666665) + Float32(Float32(r * Float32(0.6666666666666666)) / s))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(s, r)
	tmp = single(0.0);
	if (s <= single(1.500000053056283e-6))
		tmp = (single(-1.0) / r) * ((single(0.125) * (s * s)) / ((r * (r * r)) * (single(pi) * single(-0.006172839506172839))));
	else
		tmp = (single(1.0) / single(pi)) / (r * ((s * single(4.0)) + (r * (single(2.6666666666666665) + ((r * single(0.6666666666666666)) / s)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if s < 1.50000005e-6

   1. Initial program 99.8%

      \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

   3. Simplified 96.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

      2. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

   7. Taylor expanded in r around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-7}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \left(\frac{5}{54} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}}{s}\right)\right)\right) - \left(\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right) - \frac{-1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   9. Simplified 8.6%

      \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.04938271604938271 + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot s} \cdot -0.08333333333333333\right)}{s}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

   11. Applied egg-rr 8.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}} - r \cdot \left(\frac{0.04938271604938271}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot s}}} + \frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}}}{s}\right)\right) \cdot \left(r \cdot r\right) + \pi \cdot \left(\frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}} + 0.5\right)}}{s} \cdot \frac{-1}{r}} \]

   12. Taylor expanded in s around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{s}^{2}}{{r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{8} \cdot {s}^{2}}{{r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{-1}, r\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot {s}^{2}\right), \left({r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{-1}, r\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \left({s}^{2}\right)\right), \left({r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(s \cdot s\right)\right), \left({r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \left({r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({r}^{3}\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       7. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot {r}^{2}\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left({r}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left(r \cdot r\right)\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       12. distribute-rgt-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{18} + \frac{4}{81}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       13. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{162}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{162}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f32 65.7%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{162}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

   14. Simplified 65.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.125 \cdot \left(s \cdot s\right)}{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot -0.006172839506172839\right)}} \cdot \frac{-1}{r} \]

   if 1.50000005e-6 < s

   1. Initial program 98.0%

      \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

   3. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}}} \]

      2. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right)} \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\color{blue}{r \cdot s}} \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}}} \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}}} \]

      6. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}\right)}\right) \]

      7. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{r \cdot s}}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{r \cdot \color{blue}{s}}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(r \cdot s\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right)}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{8}} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)} + e^{\frac{\color{blue}{\frac{r}{s}}}{-3}}\right)\right)\right)\right) \]

      12. distribute-frac-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{\frac{\mathsf{neg}\left(r\right)}{s}} + e^{\frac{\color{blue}{\frac{r}{s}}}{-3}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\pi}}{\frac{r \cdot s}{\frac{0.125}{e^{\frac{r}{s}}} + \frac{0.125}{e^{\frac{r}{s \cdot 3}}}}}} \]

   7. Taylor expanded in r around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(r \cdot \left(4 \cdot s + r \cdot \left(\frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(4 \cdot s + r \cdot \left(\frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(4 \cdot s\right), \color{blue}{\left(r \cdot \left(\frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(s \cdot 4\right), \left(\color{blue}{r} \cdot \left(\frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \left(\color{blue}{r} \cdot \left(\frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(\frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \frac{r}{s}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \left(\frac{\frac{2}{3} \cdot r}{\color{blue}{s}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{2}{3} \cdot r\right), \color{blue}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 40.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(s, 4\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\frac{8}{3}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{2}{3}, r\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 40.8%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\pi}}{\color{blue}{r \cdot \left(s \cdot 4 + r \cdot \left(2.6666666666666665 + \frac{0.6666666666666666 \cdot r}{s}\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 60.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq 1.500000053056283 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{r} \cdot \frac{0.125 \cdot \left(s \cdot s\right)}{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot -0.006172839506172839\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1}{\pi}}{r \cdot \left(s \cdot 4 + r \cdot \left(2.6666666666666665 + \frac{r \cdot 0.6666666666666666}{s}\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 21: 59.1% accurate, 9.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq 9.999999747378752 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{r} \cdot \frac{0.125 \cdot \left(s \cdot s\right)}{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot -0.006172839506172839\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\frac{0.25}{r} + \frac{\frac{r \cdot 0.06944444444444445}{s} + -0.16666666666666666}{s}}{s}}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (if (<= s 9.999999747378752e-6)
   (*
    (/ -1.0 r)
    (/ (* 0.125 (* s s)) (* (* r (* r r)) (* PI -0.006172839506172839))))
   (/
    (/
     (+
      (/ 0.25 r)
      (/ (+ (/ (* r 0.06944444444444445) s) -0.16666666666666666) s))
     s)
    PI)))

C

float code(float s, float r) {
	float tmp;
	if (s <= 9.999999747378752e-6f) {
		tmp = (-1.0f / r) * ((0.125f * (s * s)) / ((r * (r * r)) * (((float) M_PI) * -0.006172839506172839f)));
	} else {
		tmp = (((0.25f / r) + ((((r * 0.06944444444444445f) / s) + -0.16666666666666666f) / s)) / s) / ((float) M_PI);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(s, r)
	tmp = Float32(0.0)
	if (s <= Float32(9.999999747378752e-6))
		tmp = Float32(Float32(Float32(-1.0) / r) * Float32(Float32(Float32(0.125) * Float32(s * s)) / Float32(Float32(r * Float32(r * r)) * Float32(Float32(pi) * Float32(-0.006172839506172839)))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(0.25) / r) + Float32(Float32(Float32(Float32(r * Float32(0.06944444444444445)) / s) + Float32(-0.16666666666666666)) / s)) / s) / Float32(pi));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(s, r)
	tmp = single(0.0);
	if (s <= single(9.999999747378752e-6))
		tmp = (single(-1.0) / r) * ((single(0.125) * (s * s)) / ((r * (r * r)) * (single(pi) * single(-0.006172839506172839))));
	else
		tmp = (((single(0.25) / r) + ((((r * single(0.06944444444444445)) / s) + single(-0.16666666666666666)) / s)) / s) / single(pi);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if s < 9.99999975e-6

   1. Initial program 99.8%

      \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

   3. Simplified 96.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

      2. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

   7. Taylor expanded in r around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(r \cdot \left(-1 \cdot \left(r \cdot \left(\frac{-7}{162} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \left(\frac{5}{54} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{3}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}}{s}\right)\right)\right) - \left(\frac{-2}{9} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{{s}^{2}}\right)\right) - \frac{-1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   9. Simplified 8.7%

      \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + r \cdot \left(r \cdot \left(\left(\frac{\pi}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} \cdot 0.04938271604938271 + \frac{0.6666666666666666 \cdot \left(\frac{\pi}{s \cdot s} \cdot -0.08333333333333333\right)}{s}\right) \cdot \left(-r\right) + \frac{\pi}{s \cdot s} \cdot 0.08333333333333333\right) + \frac{0.3333333333333333 \cdot \pi}{s}\right)}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

   11. Applied egg-rr 8.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\left(\frac{0.08333333333333333}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}} - r \cdot \left(\frac{0.04938271604938271}{\frac{s}{\frac{\pi}{s \cdot s}}} + \frac{\frac{-0.05555555555555555}{\frac{s}{\frac{\pi}{s}}}}{s}\right)\right) \cdot \left(r \cdot r\right) + \pi \cdot \left(\frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}} + 0.5\right)}}{s} \cdot \frac{-1}{r}} \]

   12. Taylor expanded in s around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \frac{{s}^{2}}{{r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{8} \cdot {s}^{2}}{{r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{-1}, r\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{8} \cdot {s}^{2}\right), \left({r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{-1}, r\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \left({s}^{2}\right)\right), \left({r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(s \cdot s\right)\right), \left({r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \left({r}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({r}^{3}\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       7. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot {r}^{2}\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left({r}^{2}\right)\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \left(r \cdot r\right)\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\frac{-1}{18} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{4}{81} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       12. distribute-rgt-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{18} + \frac{4}{81}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       13. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{-1}{162}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{162}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

       15. PI-lowering-PI.f32 65.2%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{*.f32}\left(r, r\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{-1}{162}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(-1, r\right)\right) \]

   14. Simplified 65.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.125 \cdot \left(s \cdot s\right)}{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot -0.006172839506172839\right)}} \cdot \frac{-1}{r} \]

   if 9.99999975e-6 < s

   1. Initial program 98.0%

      \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

   3. Simplified 97.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in r around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{r \cdot \left(\frac{5}{72} \cdot \frac{r}{{s}^{3}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{{s}^{2}}\right) + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{s}}{r}\right)}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(r \cdot \left(\frac{5}{72} \cdot \frac{r}{{s}^{3}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{{s}^{2}}\right) + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{s}\right), r\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 36.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{0.25}{s} + r \cdot \left(\frac{r \cdot 0.06944444444444445}{s \cdot \left(s \cdot s\right)} + \frac{-0.16666666666666666}{s \cdot s}\right)}{r}}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in s around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{\left(\frac{5}{72} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}\right) - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}}{s}\right)}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\frac{5}{72} \cdot \frac{r}{{s}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}\right) - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{s}\right), s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 36.7%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{0.25}{r} + \frac{\frac{r \cdot 0.06944444444444445}{s} + -0.16666666666666666}{s}}{s}}}{\pi} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 59.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq 9.999999747378752 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{r} \cdot \frac{0.125 \cdot \left(s \cdot s\right)}{\left(r \cdot \left(r \cdot r\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot -0.006172839506172839\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\frac{0.25}{r} + \frac{\frac{r \cdot 0.06944444444444445}{s} + -0.16666666666666666}{s}}{s}}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 22: 16.0% accurate, 11.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq 9.800000012268644 \cdot 10^{-32}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.125}{0.3333333333333333 \cdot \frac{\pi \cdot r}{s}}}{0 - r \cdot s}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1}{\pi}}{r \cdot \left(s \cdot 4 + r \cdot 2.6666666666666665\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (if (<= s 9.800000012268644e-32)
   (/ (/ -0.125 (* 0.3333333333333333 (/ (* PI r) s))) (- 0.0 (* r s)))
   (/ (/ 1.0 PI) (* r (+ (* s 4.0) (* r 2.6666666666666665))))))

C

float code(float s, float r) {
	float tmp;
	if (s <= 9.800000012268644e-32f) {
		tmp = (-0.125f / (0.3333333333333333f * ((((float) M_PI) * r) / s))) / (0.0f - (r * s));
	} else {
		tmp = (1.0f / ((float) M_PI)) / (r * ((s * 4.0f) + (r * 2.6666666666666665f)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(s, r)
	tmp = Float32(0.0)
	if (s <= Float32(9.800000012268644e-32))
		tmp = Float32(Float32(Float32(-0.125) / Float32(Float32(0.3333333333333333) * Float32(Float32(Float32(pi) * r) / s))) / Float32(Float32(0.0) - Float32(r * s)));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(pi)) / Float32(r * Float32(Float32(s * Float32(4.0)) + Float32(r * Float32(2.6666666666666665)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(s, r)
	tmp = single(0.0);
	if (s <= single(9.800000012268644e-32))
		tmp = (single(-0.125) / (single(0.3333333333333333) * ((single(pi) * r) / s))) / (single(0.0) - (r * s));
	else
		tmp = (single(1.0) / single(pi)) / (r * ((s * single(4.0)) + (r * single(2.6666666666666665))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if s < 9.80000001e-32

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

   3. Simplified 85.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

      2. frac-2neg N/A

         \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

   7. Taylor expanded in r around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s} + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

      7. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\left(r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3}}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot r\right) \cdot \frac{1}{3}}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot r\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot r\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{1}{3} \cdot r\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\frac{1}{3} \cdot r\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 20.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   9. Simplified 20.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + \frac{\pi \cdot \left(r \cdot 0.3333333333333333\right)}{s}}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

   10. Taylor expanded in r around inf

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f32}\left(\left(r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

       4. PI-lowering-PI.f32 26.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   12. Simplified 26.1%

       \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{r \cdot \pi}{s}}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

   if 9.80000001e-32 < s

   1. Initial program 99.3%

      \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}}} \]

      2. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right)} \]

      3. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\color{blue}{r \cdot s}} \]

      4. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}}} \]

      5. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}}} \]

      6. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}\right)}\right) \]

      7. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{r \cdot s}}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{r \cdot \color{blue}{s}}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(r \cdot s\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right)}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{8}} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)} + e^{\frac{\color{blue}{\frac{r}{s}}}{-3}}\right)\right)\right)\right) \]

      12. distribute-frac-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{\frac{\mathsf{neg}\left(r\right)}{s}} + e^{\frac{\color{blue}{\frac{r}{s}}}{-3}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\pi}}{\frac{r \cdot s}{\frac{0.125}{e^{\frac{r}{s}}} + \frac{0.125}{e^{\frac{r}{s \cdot 3}}}}}} \]

   7. Taylor expanded in r around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(r \cdot \left(\frac{8}{3} \cdot r + 4 \cdot s\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot r + 4 \cdot s\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{8}{3} \cdot r\right), \color{blue}{\left(4 \cdot s\right)}\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(r \cdot \frac{8}{3}\right), \left(\color{blue}{4} \cdot s\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{8}{3}\right), \left(\color{blue}{4} \cdot s\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{8}{3}\right), \left(s \cdot \color{blue}{4}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 13.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{8}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \color{blue}{4}\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 13.4%

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\pi}}{\color{blue}{r \cdot \left(r \cdot 2.6666666666666665 + s \cdot 4\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 15.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq 9.800000012268644 \cdot 10^{-32}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{-0.125}{0.3333333333333333 \cdot \frac{\pi \cdot r}{s}}}{0 - r \cdot s}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1}{\pi}}{r \cdot \left(s \cdot 4 + r \cdot 2.6666666666666665\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 23: 18.7% accurate, 14.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{-0.125}{r \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(-0.5\right) - \frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}}\right)\right)}}{s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/ (/ -0.125 (* r (* PI (- (- 0.5) (/ r (/ s 0.3333333333333333)))))) s))

C

float code(float s, float r) {
	return (-0.125f / (r * (((float) M_PI) * (-0.5f - (r / (s / 0.3333333333333333f)))))) / s;
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(-0.125) / Float32(r * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(-Float32(0.5)) - Float32(r / Float32(s / Float32(0.3333333333333333))))))) / s)
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(-0.125) / (r * (single(pi) * (-single(0.5) - (r / (s / single(0.3333333333333333))))))) / s;
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

7. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s} + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   7. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\left(r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3}}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot r\right) \cdot \frac{1}{3}}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot r\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot r\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{1}{3} \cdot r\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\frac{1}{3} \cdot r\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 14.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

9. Simplified 14.7%

   \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + \frac{\pi \cdot \left(r \cdot 0.3333333333333333\right)}{s}}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]

10. Taylor expanded in r around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s} + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    3. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(r \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + r \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(r \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(r \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(r \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    9. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(r \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(r \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    11. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\left(r \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right) \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    12. associate-/l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    15. /-lowering-/.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f32}\left(\left(r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

    17. PI-lowering-PI.f32 15.8%

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

12. Simplified 15.8%

    \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + 0.3333333333333333 \cdot \frac{r \cdot \pi}{s}}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]
13. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\frac{-1}{8}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{\mathsf{neg}\left(r\right)}}{\color{blue}{s}} \]

    2. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\frac{-1}{8}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}{\mathsf{neg}\left(r\right)}\right), \color{blue}{s}\right) \]

14. Applied egg-rr 17.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\left(-r\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(0.5 + \frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}}\right)\right)}}{s}} \]

15. Final simplification 17.9%

    \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{r \cdot \left(\pi \cdot \left(\left(-0.5\right) - \frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}}\right)\right)}}{s} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 24: 15.6% accurate, 15.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{0.125}{\pi \cdot \left(0.5 + \frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}}\right)}}{r \cdot s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/ (/ 0.125 (* PI (+ 0.5 (/ r (/ s 0.3333333333333333))))) (* r s)))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.125f / (((float) M_PI) * (0.5f + (r / (s / 0.3333333333333333f))))) / (r * s);
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.125) / Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(0.5) + Float32(r / Float32(s / Float32(0.3333333333333333)))))) / Float32(r * s))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.125) / (single(pi) * (single(0.5) + (r / (s / single(0.3333333333333333)))))) / (r * s);
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

7. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s} + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   7. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\left(r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3}}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot r\right) \cdot \frac{1}{3}}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot r\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot r\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{1}{3} \cdot r\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\frac{1}{3} \cdot r\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 14.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

9. Simplified 14.7%

   \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + \frac{\pi \cdot \left(r \cdot 0.3333333333333333\right)}{s}}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]
10. Step-by-step derivation

    1. distribute-lft-neg-out N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{-1}{8}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)}{s}}}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \]

    2. distribute-frac-neg2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{\frac{\frac{-1}{8}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)}{s}}}{r \cdot s}\right) \]

    3. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{-1}{8}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)}{s}}\right)}{\color{blue}{r \cdot s}} \]

    4. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{-1}{8}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)}{s}}\right)\right), \color{blue}{\left(r \cdot s\right)}\right) \]

11. Applied egg-rr 14.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{\pi \cdot \left(\frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}} + 0.5\right)}}{r \cdot s}} \]

12. Final simplification 14.7%

    \[\leadsto \frac{\frac{0.125}{\pi \cdot \left(0.5 + \frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}}\right)}}{r \cdot s} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 25: 15.6% accurate, 15.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.125}{\left(\pi \cdot \left(0.5 + \frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}}\right)\right) \cdot \left(r \cdot s\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/ 0.125 (* (* PI (+ 0.5 (/ r (/ s 0.3333333333333333)))) (* r s))))

C

float code(float s, float r) {
	return 0.125f / ((((float) M_PI) * (0.5f + (r / (s / 0.3333333333333333f)))) * (r * s));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(0.125) / Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(0.5) + Float32(r / Float32(s / Float32(0.3333333333333333))))) * Float32(r * s)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = single(0.125) / ((single(pi) * (single(0.5) + (r / (s / single(0.3333333333333333))))) * (r * s));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \color{blue}{\frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. frac-2neg N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)} \cdot \frac{\color{blue}{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right) \cdot \frac{e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.125}{\frac{\pi}{e^{\frac{r}{-s}} + e^{\frac{r}{s \cdot -3}}}}}{\left(-r\right) \cdot s}} \]

7. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s} + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s} \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   7. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\left(r \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{3}}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot r\right) \cdot \frac{1}{3}}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot r\right)}{s}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot r\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{1}{3} \cdot r\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\frac{1}{3} \cdot r\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 14.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \frac{1}{3}\right)\right), s\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(r\right), s\right)\right) \]

9. Simplified 14.7%

   \[\leadsto \frac{\frac{-0.125}{\color{blue}{\pi \cdot 0.5 + \frac{\pi \cdot \left(r \cdot 0.3333333333333333\right)}{s}}}}{\left(-r\right) \cdot s} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/l/ N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{-1}{8}}{\color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(r\right)\right) \cdot s\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)}{s}\right)}} \]

    2. frac-2neg N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{8}\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(r\right)\right) \cdot s\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)}{s}\right)\right)}} \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{8}}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(r\right)\right) \cdot s\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)}{s}\right)}\right)} \]

    4. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(r\right)\right) \cdot s\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)}{s}\right)\right)\right)}\right) \]

    5. distribute-lft-neg-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(r \cdot s\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

    6. distribute-lft-neg-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(r \cdot s\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \left(\left(r \cdot s\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)}{s}\right)}\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\left(r \cdot s\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)}{s}\right)}\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)}{s}\right)\right)\right) \]

    10. +-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot \frac{1}{3}\right)}{s} + \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

    11. associate-/l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{r \cdot \frac{1}{3}}{s} + \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

    12. distribute-lft-out N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{r \cdot \frac{1}{3}}{s} + \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\frac{r \cdot \frac{1}{3}}{s} + \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

    14. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{\frac{r \cdot \frac{1}{3}}{s}} + \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

    15. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{8}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{r \cdot \frac{1}{3}}{s}\right), \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 14.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.125}{\left(r \cdot s\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}} + 0.5\right)\right)}} \]

12. Final simplification 14.6%

    \[\leadsto \frac{0.125}{\left(\pi \cdot \left(0.5 + \frac{r}{\frac{s}{0.3333333333333333}}\right)\right) \cdot \left(r \cdot s\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 26: 12.7% accurate, 17.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{1}{\pi}}{r \cdot \left(s \cdot 4 + r \cdot 2.6666666666666665\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r)
 :precision binary32
 (/ (/ 1.0 PI) (* r (+ (* s 4.0) (* r 2.6666666666666665)))))

C

float code(float s, float r) {
	return (1.0f / ((float) M_PI)) / (r * ((s * 4.0f) + (r * 2.6666666666666665f)));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(pi)) / Float32(r * Float32(Float32(s * Float32(4.0)) + Float32(r * Float32(2.6666666666666665)))))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(1.0) / single(pi)) / (r * ((s * single(4.0)) + (r * single(2.6666666666666665))));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]

3. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.125}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}}} \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{8}}{r \cdot s} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right)} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}{\color{blue}{r \cdot s}} \]

   4. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}}} \]

   5. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}}} \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{r \cdot s}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}\right)}\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{r \cdot s}}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{r \cdot \color{blue}{s}}{\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)}\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(r \cdot s\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right)}\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{8}} \cdot \left(e^{0 - \frac{r}{s}} + e^{\frac{\frac{r}{s}}{-3}}\right)\right)\right)\right) \]

   11. sub0-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(\frac{r}{s}\right)} + e^{\frac{\color{blue}{\frac{r}{s}}}{-3}}\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-frac-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, s\right), \left(\frac{1}{8} \cdot \left(e^{\frac{\mathsf{neg}\left(r\right)}{s}} + e^{\frac{\color{blue}{\frac{r}{s}}}{-3}}\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\pi}}{\frac{r \cdot s}{\frac{0.125}{e^{\frac{r}{s}}} + \frac{0.125}{e^{\frac{r}{s \cdot 3}}}}}} \]

7. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(r \cdot \left(\frac{8}{3} \cdot r + 4 \cdot s\right)\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{\left(\frac{8}{3} \cdot r + 4 \cdot s\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{8}{3} \cdot r\right), \color{blue}{\left(4 \cdot s\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\left(r \cdot \frac{8}{3}\right), \left(\color{blue}{4} \cdot s\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{8}{3}\right), \left(\color{blue}{4} \cdot s\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{8}{3}\right), \left(s \cdot \color{blue}{4}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 12.2%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(r, \frac{8}{3}\right), \mathsf{*.f32}\left(s, \color{blue}{4}\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 12.2%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{\pi}}{\color{blue}{r \cdot \left(r \cdot 2.6666666666666665 + s \cdot 4\right)}} \]

10. Final simplification 12.2%

    \[\leadsto \frac{\frac{1}{\pi}}{r \cdot \left(s \cdot 4 + r \cdot 2.6666666666666665\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 27: 9.3% accurate, 21.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{0.25}{r \cdot s}}{-1 + \left(\pi + 1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r) :precision binary32 (/ (/ 0.25 (* r s)) (+ -1.0 (+ PI 1.0))))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.25f / (r * s)) / (-1.0f + (((float) M_PI) + 1.0f));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.25) / Float32(r * s)) / Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(pi) + Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.25) / (r * s)) / (single(-1.0) + (single(pi) + single(1.0)));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{4}}{r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{4}}{r}}{\color{blue}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{r}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}}{\color{blue}{s} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}}{s}}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}}{s}\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{r}}{s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{r}}{s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   8. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{r \cdot s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot s\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 8.8%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

5. Simplified 8.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.25}{r \cdot s}}{\pi}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. expm1-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)} - \color{blue}{1}\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]

   4. log1p-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(e^{\log \left(1 + \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right), 1\right)\right) \]

   5. rem-exp-log N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 + \mathsf{PI}\left(\right)\right), 1\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right), 1\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 8.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 1\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 8.8%

   \[\leadsto \frac{\frac{0.25}{r \cdot s}}{\color{blue}{\left(1 + \pi\right) - 1}} \]

8. Final simplification 8.8%

   \[\leadsto \frac{\frac{0.25}{r \cdot s}}{-1 + \left(\pi + 1\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 28: 9.3% accurate, 33.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{\frac{0.25}{\pi}}{r}}{s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r) :precision binary32 (/ (/ (/ 0.25 PI) r) s))

C

float code(float s, float r) {
	return ((0.25f / ((float) M_PI)) / r) / s;
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(0.25) / Float32(pi)) / r) / s)
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = ((single(0.25) / single(pi)) / r) / s;
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{4}}{r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{4}}{r}}{\color{blue}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{r}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}}{\color{blue}{s} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}}{s}}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}}{s}\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{r}}{s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{r}}{s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   8. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{r \cdot s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot s\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 8.8%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

5. Simplified 8.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.25}{r \cdot s}}{\pi}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4}}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot s\right)}} \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(r \cdot s\right)}\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{r} \cdot s\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 8.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{s}\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 8.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.25}{\pi \cdot \left(r \cdot s\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{4}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{r \cdot s}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\frac{1}{4}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{r}}{\color{blue}{s}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{r}\right), \color{blue}{s}\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), r\right), s\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right)\right), r\right), s\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 8.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), r\right), s\right) \]

9. Applied egg-rr 8.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{0.25}{\pi}}{r}}{s}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 29: 9.3% accurate, 33.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{0.25}{\pi}}{r \cdot s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r) :precision binary32 (/ (/ 0.25 PI) (* r s)))

C

float code(float s, float r) {
	return (0.25f / ((float) M_PI)) / (r * s);
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(Float32(0.25) / Float32(pi)) / Float32(r * s))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = (single(0.25) / single(pi)) / (r * s);
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{4}}{r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{4}}{r}}{\color{blue}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{r}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}}{\color{blue}{s} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}}{s}}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}}{s}\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{r}}{s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{r}}{s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   8. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{r \cdot s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot s\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 8.8%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

5. Simplified 8.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.25}{r \cdot s}}{\pi}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4}}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot s\right)}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{4}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{r \cdot s}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(r \cdot s\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{r} \cdot s\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(r \cdot s\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 8.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{s}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 8.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.25}{\pi}}{r \cdot s}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 30: 9.3% accurate, 33.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.25}{s \cdot \left(\pi \cdot r\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r) :precision binary32 (/ 0.25 (* s (* PI r))))

C

float code(float s, float r) {
	return 0.25f / (s * (((float) M_PI) * r));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(0.25) / Float32(s * Float32(Float32(pi) * r)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = single(0.25) / (s * (single(pi) * r));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{4}}{r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{4}}{r}}{\color{blue}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{r}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}}{\color{blue}{s} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}}{s}}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}}{s}\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{r}}{s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{r}}{s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   8. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{r \cdot s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot s\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 8.8%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

5. Simplified 8.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.25}{r \cdot s}}{\pi}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4}}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot s\right)}} \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(r \cdot s\right)}\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{r} \cdot s\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 8.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{s}\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 8.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.25}{\pi \cdot \left(r \cdot s\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot r\right) \cdot \color{blue}{s}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot r\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), r\right), s\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f32 8.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), r\right), s\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 8.8%

   \[\leadsto \frac{0.25}{\color{blue}{\left(\pi \cdot r\right) \cdot s}} \]

10. Final simplification 8.8%

    \[\leadsto \frac{0.25}{s \cdot \left(\pi \cdot r\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 31: 9.3% accurate, 33.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.25}{\pi \cdot \left(r \cdot s\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (s r) :precision binary32 (/ 0.25 (* PI (* r s))))

C

float code(float s, float r) {
	return 0.25f / (((float) M_PI) * (r * s));
}

Julia

function code(s, r)
	return Float32(Float32(0.25) / Float32(Float32(pi) * Float32(r * s)))
end

MATLAB

function tmp = code(s, r)
	tmp = single(0.25) / (single(pi) * (r * s));
end

Derivation

1. Initial program 99.5%

   \[\frac{0.25 \cdot e^{\frac{-r}{s}}}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} + \frac{0.75 \cdot e^{\frac{-r}{3 \cdot s}}}{\left(\left(6 \cdot \pi\right) \cdot s\right) \cdot r} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in r around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{4}}{r \cdot \left(s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{4}}{r}}{\color{blue}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{r}}{s \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}}{\color{blue}{s} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}}{s}}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}}{s}\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{r}}{s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{r}}{s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   8. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{r \cdot s}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \left(r \cdot s\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 8.8%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(r, s\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

5. Simplified 8.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{0.25}{r \cdot s}}{\pi}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{4}}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot s\right)}} \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(r \cdot s\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(r \cdot s\right)}\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{r} \cdot s\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 8.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(r, \color{blue}{s}\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 8.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.25}{\pi \cdot \left(r \cdot s\right)}} \]
8. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024164 
(FPCore (s r)
  :name "Disney BSSRDF, PDF of scattering profile"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 0.0 s) (<= s 256.0)) (and (< 1e-6 r) (< r 1000000.0)))
  (+ (/ (* 0.25 (exp (/ (- r) s))) (* (* (* 2.0 PI) s) r)) (/ (* 0.75 (exp (/ (- r) (* 3.0 s)))) (* (* (* 6.0 PI) s) r))))