Lanczos kernel

Percentage Accurate: 97.9% → 97.7%

Time: 14.5s

Alternatives: 12

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(10^{-5} \leq x \land x \leq 1\right) \land \left(1 \leq tau \land tau \leq 5\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Initial Program: 97.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Alternative 1: 97.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := tau \cdot \left(x \cdot \pi\right)\\ \frac{\sin t\_1 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{t\_1}}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* tau (* x PI))))
   (/ (* (sin t_1) (/ (sin (* x PI)) t_1)) (* x PI))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = tau * (x * ((float) M_PI));
	return (sinf(t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / t_1)) / (x * ((float) M_PI));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(tau * Float32(x * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(sin(t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / t_1)) / Float32(x * Float32(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = tau * (x * single(pi));
	tmp = (sin(t_1) * (sin((x * single(pi))) / t_1)) / (x * single(pi));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}} \cdot \frac{\color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}}{tau} \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}} \]

   5. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1 \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}}{\frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}} \]

   6. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}}{\frac{\color{blue}{x} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}} \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau}\right), \color{blue}{\left(\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)}}{\frac{x \cdot \pi}{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)} \]

   2. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)} \cdot \sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{\color{blue}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)} \cdot \sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right), \color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 97.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)} \cdot \sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}{x \cdot \pi}} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{\sin \left(tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\sin \left(tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{x}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\sin \left(tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{x}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 98.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sin \left(tau \cdot \left(x \cdot \pi\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \pi\right)}}}{x \cdot \pi} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := tau \cdot \left(x \cdot \pi\right)\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* tau (* x PI))))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = tau * (x * ((float) M_PI));
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(tau * Float32(x * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = tau * (x * single(pi));
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Final simplification 98.0%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(tau \cdot \left(x \cdot \pi\right)\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \pi\right)} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
4. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := x \cdot \left(tau \cdot \pi\right)\\ \sin \left(x \cdot \pi\right) \cdot \frac{\sin t\_1}{x \cdot \left(\pi \cdot t\_1\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* x (* tau PI))))
   (* (sin (* x PI)) (/ (sin t_1) (* x (* PI t_1))))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = x * (tau * ((float) M_PI));
	return sinf((x * ((float) M_PI))) * (sinf(t_1) / (x * (((float) M_PI) * t_1)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(x * Float32(tau * Float32(pi)))
	return Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) * Float32(sin(t_1) / Float32(x * Float32(Float32(pi) * t_1))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = x * (tau * single(pi));
	tmp = sin((x * single(pi))) * (sin(t_1) / (x * (single(pi) * t_1)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\color{blue}{\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\color{blue}{\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)} \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   3. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}{\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\sin \color{blue}{\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}}{\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{tau}\right)}{\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right), \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)} \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\left(\left(x \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \left(\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 97.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(x \cdot \pi\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}{x \cdot \left(\pi \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)\right)}} \]

5. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto \sin \left(x \cdot \pi\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \left(tau \cdot \pi\right)\right)}{x \cdot \left(\pi \cdot \left(x \cdot \left(tau \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 4: 85.1% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := tau \cdot \left(x \cdot \pi\right)\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* tau (* x PI))))
   (*
    (/ (sin t_1) t_1)
    (+ 1.0 (* x (* x (* -0.16666666666666666 (* PI PI))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = tau * (x * ((float) M_PI));
	return (sinf(t_1) / t_1) * (1.0f + (x * (x * (-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(tau * Float32(x * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = tau * (x * single(pi));
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (single(1.0) + (x * (x * (single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 86.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 86.9%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

6. Final simplification 86.9%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(tau \cdot \left(x \cdot \pi\right)\right)}{tau \cdot \left(x \cdot \pi\right)} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 5: 79.4% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \cdot \left(1 + \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (*
  (/ (sin (* x PI)) (* x PI))
  (+ 1.0 (* (* x (* (* PI PI) (* x -0.16666666666666666))) (* tau tau)))))

C

float code(float x, float tau) {
	return (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI))) * (1.0f + ((x * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (x * -0.16666666666666666f))) * (tau * tau)));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(x * Float32(-0.16666666666666666)))) * Float32(tau * tau))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi))) * (single(1.0) + ((x * ((single(pi) * single(pi)) * (x * single(-0.16666666666666666)))) * (tau * tau)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(tau \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(tau \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right) + tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(tau, \frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(tau, \frac{-1}{6} \cdot \left(\left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {tau}^{2}\right), tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(tau, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2}, tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. fma-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(tau \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right) + tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(tau \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2} + x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 80.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{tau \cdot \left(x \cdot \pi + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)}}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]

6. Taylor expanded in tau around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left({tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{1}{{tau}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2} \cdot \left(\frac{1}{{tau}^{2}} + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{{tau}^{2}} \cdot {tau}^{2} + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. lft-mult-inverse N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({x}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(x \cdot x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(tau \cdot tau\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 81.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 81.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot x\right) \cdot x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot x\right)\right) \cdot x\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot x\right)\right), x\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot x\right)\right), x\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot x\right)\right), x\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot x\right)\right), x\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot x\right)\right), x\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(x \cdot \frac{-1}{6}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 81.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \frac{-1}{6}\right)\right), x\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 81.1%

    \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{\left(\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot x\right)} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]

11. Final simplification 81.1%

    \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \cdot \left(1 + \left(x \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 79.4% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \cdot \left(1 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (*
  (/ (sin (* x PI)) (* x PI))
  (+ 1.0 (* (* tau tau) (* (* PI PI) (* -0.16666666666666666 (* x x)))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI))) * (1.0f + ((tau * tau) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f * (x * x)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(tau * tau) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(x * x))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi))) * (single(1.0) + ((tau * tau) * ((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) * (x * x)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(tau \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(tau \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right) + tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(tau, \frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(tau, \frac{-1}{6} \cdot \left(\left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {tau}^{2}\right), tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(tau, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2}, tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. fma-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(tau \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right) + tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(tau \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2} + x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 80.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{tau \cdot \left(x \cdot \pi + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)}}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]

6. Taylor expanded in tau around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left({tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{1}{{tau}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2} \cdot \left(\frac{1}{{tau}^{2}} + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{{tau}^{2}} \cdot {tau}^{2} + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. lft-mult-inverse N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({x}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(x \cdot x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(tau \cdot tau\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 81.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 81.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]

9. Final simplification 81.1%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \cdot \left(1 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 7: 79.4% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \cdot \left(1 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (*
  (/ (sin (* x PI)) (* x PI))
  (+ 1.0 (* (* x (* x (* PI PI))) (* -0.16666666666666666 (* tau tau))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI))) * (1.0f + ((x * (x * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * (-0.16666666666666666f * (tau * tau))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi))) * (single(1.0) + ((x * (x * (single(pi) * single(pi)))) * (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {x}^{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 81.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]

6. Final simplification 81.1%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \cdot \left(1 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 8: 79.3% accurate, 8.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (*
  (+ 1.0 (* x (* x (* -0.16666666666666666 (* PI PI)))))
  (+ 1.0 (* (* tau tau) (* (* PI PI) (* -0.16666666666666666 (* x x)))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return (1.0f + (x * (x * (-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * (1.0f + ((tau * tau) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f * (x * x)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(tau * tau) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(x * x))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = (single(1.0) + (x * (x * (single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * single(pi)))))) * (single(1.0) + ((tau * tau) * ((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) * (x * x)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(tau \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(tau \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right) + tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(tau, \frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(tau, \frac{-1}{6} \cdot \left(\left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {tau}^{2}\right), tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(tau, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2}, tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. fma-undefine N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(tau \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right) + tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(tau \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2} + x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 80.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{tau \cdot \left(x \cdot \pi + -0.16666666666666666 \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)}}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]

6. Taylor expanded in tau around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left({tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{1}{{tau}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2} \cdot \left(\frac{1}{{tau}^{2}} + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{{tau}^{2}} \cdot {tau}^{2} + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   3. lft-mult-inverse N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {tau}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({x}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(x \cdot x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left({tau}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(tau \cdot tau\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 81.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 81.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot {\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    6. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f32 81.1%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 81.1%

    \[\leadsto \left(1 + \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

12. Final simplification 81.1%

    \[\leadsto \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 9: 78.7% accurate, 12.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   (* x x)
   (*
    (* PI PI)
    (+ -0.16666666666666666 (* -0.16666666666666666 (* tau tau)))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((x * x) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f + (-0.16666666666666666f * (tau * tau)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((x * x) * ((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) + (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   7. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot \color{blue}{tau}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 80.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{tau}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 80.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 10: 69.8% accurate, 14.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* (* x x) (* (* -0.16666666666666666 (* PI PI)) (* tau tau)))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((x * x) * ((-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (tau * tau)));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(tau * tau))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((x * x) * ((single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * single(pi))) * (tau * tau)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

   4. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right) \cdot x}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

   7. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{x}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

   8. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot x}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau}}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

   9. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot x}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau}} \]

4. Applied egg-rr 97.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}{\pi} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \left(x \cdot \pi\right)}}{tau}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), tau\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), tau\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 72.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), tau\right) \]

7. Simplified 72.0%

   \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right)}{\pi} \cdot \frac{\color{blue}{x \cdot \pi}}{x \cdot \left(x \cdot \pi\right)}}{tau} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto 1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto 1 + \frac{-1}{6} \cdot \left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto 1 + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{{x}^{2}} \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({tau}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(tau \cdot tau\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. PI-lowering-PI.f32 71.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 71.1%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]

11. Final simplification 71.1%

    \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 11: 63.7% accurate, 219.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau) :precision binary32 1.0)

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f;
}

Fortran

real(4) function code(x, tau)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: tau
    code = 1.0e0
end function

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0);
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 64.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 12: 6.3% accurate, 219.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau) :precision binary32 0.0)

C

float code(float x, float tau) {
	return 0.0f;
}

Fortran

real(4) function code(x, tau)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: tau
    code = 0.0e0
end function

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(0.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(0.0);
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau} \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau} \cdot \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   4. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}} \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}} \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}\right) \]

3. Simplified 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot \left(\pi \cdot tau\right)\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot x}}{\pi \cdot \left(\pi \cdot tau\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right) \cdot \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot x}\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot x}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right) \]

   3. sin-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\cos \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau - x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \cos \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau + x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{2}}{x \cdot x}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right) \]

   4. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\cos \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau - x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \cos \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau + x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot x\right) \cdot 2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\cos \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau - x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \cos \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau + x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 2\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), tau\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 67.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\cos \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot \left(tau - 1\right)\right) - \cos \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot \left(tau + 1\right)\right)}{\left(x \cdot x\right) \cdot 2}}}{\pi \cdot \left(\pi \cdot tau\right)} \]

7. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(-1 \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) - \cos \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\cos \left(-1 \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} - \color{blue}{\frac{\cos \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}}\right) \]

   2. cos-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\cos \left(-1 \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} - \frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\color{blue}{tau} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\cos \left(-1 \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} - \frac{\cos \left(-1 \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right) \]

   4. +-inverses N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot 0 \]

   5. metadata-eval 6.3%

      \[\leadsto 0 \]

9. Simplified 6.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]
10. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024164 
(FPCore (x tau)
  :name "Lanczos kernel"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 1e-5 x) (<= x 1.0)) (and (<= 1.0 tau) (<= tau 5.0)))
  (* (/ (sin (* (* x PI) tau)) (* (* x PI) tau)) (/ (sin (* x PI)) (* x PI))))