UniformSampleCone, y

Percentage Accurate: 57.2% → 98.3%

Time: 19.6s

Alternatives: 22

Speedup: 2.0×

Specification

\[\left(\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Initial Program: 57.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Alternative 1: 98.3% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(2 \cdot \pi + -2\right) \cdot uy\\ t_1 := {\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}^{0.5}\\ t\_1 \cdot \left(\sin t\_0 \cdot \cos \left(2 \cdot uy\right)\right) + t\_1 \cdot \left(\cos t\_0 \cdot \sin \left(2 \cdot uy\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (+ (* 2.0 PI) -2.0) uy))
        (t_1
         (pow (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ 2.0 (* ux (+ maxCos -1.0))))) 0.5)))
   (+
    (* t_1 (* (sin t_0) (cos (* 2.0 uy))))
    (* t_1 (* (cos t_0) (sin (* 2.0 uy)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((2.0f * ((float) M_PI)) + -2.0f) * uy;
	float t_1 = powf((ux * ((1.0f - maxCos) * (2.0f + (ux * (maxCos + -1.0f))))), 0.5f);
	return (t_1 * (sinf(t_0) * cosf((2.0f * uy)))) + (t_1 * (cosf(t_0) * sinf((2.0f * uy))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(-2.0)) * uy)
	t_1 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(2.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))) ^ Float32(0.5)
	return Float32(Float32(t_1 * Float32(sin(t_0) * cos(Float32(Float32(2.0) * uy)))) + Float32(t_1 * Float32(cos(t_0) * sin(Float32(Float32(2.0) * uy)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(2.0) * single(pi)) + single(-2.0)) * uy;
	t_1 = (ux * ((single(1.0) - maxCos) * (single(2.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0)))))) ^ single(0.5);
	tmp = (t_1 * (sin(t_0) * cos((single(2.0) * uy)))) + (t_1 * (cos(t_0) * sin((single(2.0) * uy))));
end

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 0\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(2 + -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2\right) + -2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot 1\right) + -2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) + 1\right) + -2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(-2 + 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) + 1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(-2 + \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot 1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(-2 + \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(\left(-2 + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(-2 + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy + 2 \cdot uy\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(-2 + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy + uy \cdot 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(-2 + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy\right), \left(uy \cdot 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-2 + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), uy\right), \left(uy \cdot 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2\right), uy\right), \left(uy \cdot 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), -2\right), uy\right), \left(uy \cdot 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), -2\right), uy\right), \left(uy \cdot 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), -2\right), uy\right), \left(uy \cdot 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 98.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), -2\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.2%

   \[\leadsto \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \pi + -2\right) \cdot uy + uy \cdot 2\right)} \cdot \sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \]

8. Applied egg-rr 98.2%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \left(\sin \left(\left(2 \cdot \pi + -2\right) \cdot uy\right) \cdot \cos \left(2 \cdot uy\right)\right) + {\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \left(\cos \left(\left(2 \cdot \pi + -2\right) \cdot uy\right) \cdot \sin \left(2 \cdot uy\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.3% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(2 \cdot \pi + -2\right) \cdot uy\\ t_1 := 2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\\ {\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot t\_1\right)\right)}^{0.5} \cdot \left(\cos t\_0 \cdot \sin \left(2 \cdot uy\right)\right) + \sin t\_0 \cdot \left(\cos \left(2 \cdot uy\right) \cdot {\left(t\_1 \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}^{0.5}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (+ (* 2.0 PI) -2.0) uy)) (t_1 (+ 2.0 (* ux (+ maxCos -1.0)))))
   (+
    (* (pow (* ux (* (- 1.0 maxCos) t_1)) 0.5) (* (cos t_0) (sin (* 2.0 uy))))
    (*
     (sin t_0)
     (* (cos (* 2.0 uy)) (pow (* t_1 (* ux (- 1.0 maxCos))) 0.5))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((2.0f * ((float) M_PI)) + -2.0f) * uy;
	float t_1 = 2.0f + (ux * (maxCos + -1.0f));
	return (powf((ux * ((1.0f - maxCos) * t_1)), 0.5f) * (cosf(t_0) * sinf((2.0f * uy)))) + (sinf(t_0) * (cosf((2.0f * uy)) * powf((t_1 * (ux * (1.0f - maxCos))), 0.5f)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(-2.0)) * uy)
	t_1 = Float32(Float32(2.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))
	return Float32(Float32((Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * t_1)) ^ Float32(0.5)) * Float32(cos(t_0) * sin(Float32(Float32(2.0) * uy)))) + Float32(sin(t_0) * Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * uy)) * (Float32(t_1 * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))) ^ Float32(0.5)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(2.0) * single(pi)) + single(-2.0)) * uy;
	t_1 = single(2.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0)));
	tmp = (((ux * ((single(1.0) - maxCos) * t_1)) ^ single(0.5)) * (cos(t_0) * sin((single(2.0) * uy)))) + (sin(t_0) * (cos((single(2.0) * uy)) * ((t_1 * (ux * (single(1.0) - maxCos))) ^ single(0.5))));
end

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 0\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(2 + -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2\right) + -2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot 1\right) + -2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) + 1\right) + -2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(-2 + 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) + 1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(-2 + \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot 1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(-2 + \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(\left(-2 + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(-2 + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy + 2 \cdot uy\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(-2 + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy + uy \cdot 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(-2 + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy\right), \left(uy \cdot 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-2 + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), uy\right), \left(uy \cdot 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2\right), uy\right), \left(uy \cdot 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), -2\right), uy\right), \left(uy \cdot 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), -2\right), uy\right), \left(uy \cdot 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), -2\right), uy\right), \left(uy \cdot 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 98.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), -2\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.2%

   \[\leadsto \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \pi + -2\right) \cdot uy + uy \cdot 2\right)} \cdot \sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \]

8. Applied egg-rr 98.2%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \left(\sin \left(\left(2 \cdot \pi + -2\right) \cdot uy\right) \cdot \cos \left(2 \cdot uy\right)\right) + {\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \left(\cos \left(\left(2 \cdot \pi + -2\right) \cdot uy\right) \cdot \sin \left(2 \cdot uy\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left({\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2\right) \cdot uy\right)\right) \cdot \cos \left(2 \cdot uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), -2\right), uy\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\cos \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left({\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2\right) \cdot uy\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), -2\right), uy\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\cos \left(2 \cdot uy\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2\right) \cdot uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), -2\right), uy\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\cos \left(2 \cdot uy\right) \cdot {\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \sin \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2\right) \cdot uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{+.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), -2\right), uy\right)\right), \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 98.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \cos \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi + -2\right) \cdot uy\right)} + {\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \left(\cos \left(\left(2 \cdot \pi + -2\right) \cdot uy\right) \cdot \sin \left(2 \cdot uy\right)\right) \]

11. Final simplification 98.2%

    \[\leadsto {\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \left(\cos \left(\left(2 \cdot \pi + -2\right) \cdot uy\right) \cdot \sin \left(2 \cdot uy\right)\right) + \sin \left(\left(2 \cdot \pi + -2\right) \cdot uy\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot uy\right) \cdot {\left(\left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}^{0.5}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.3% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\\ \sin \left(\left(2 \cdot \pi + -2\right) \cdot uy + 2 \cdot uy\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot t\_0 + \left(t\_0 + t\_0\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (- 1.0 maxCos))))
   (*
    (sin (+ (* (+ (* 2.0 PI) -2.0) uy) (* 2.0 uy)))
    (sqrt (+ (* (* ux (+ maxCos -1.0)) t_0) (+ t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (1.0f - maxCos);
	return sinf(((((2.0f * ((float) M_PI)) + -2.0f) * uy) + (2.0f * uy))) * sqrtf((((ux * (maxCos + -1.0f)) * t_0) + (t_0 + t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))
	return Float32(sin(Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(-2.0)) * uy) + Float32(Float32(2.0) * uy))) * sqrt(Float32(Float32(Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))) * t_0) + Float32(t_0 + t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (single(1.0) - maxCos);
	tmp = sin(((((single(2.0) * single(pi)) + single(-2.0)) * uy) + (single(2.0) * uy))) * sqrt((((ux * (maxCos + single(-1.0))) * t_0) + (t_0 + t_0)));
end

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 0\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(2 + -2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2\right) + -2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot 1\right) + -2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) + 1\right) + -2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(-2 + 2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) + 1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(-2 + \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot 1\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(-2 + \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \left(\left(-2 + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(-2 + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy + 2 \cdot uy\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(\left(-2 + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy + uy \cdot 2\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(-2 + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy\right), \left(uy \cdot 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-2 + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), uy\right), \left(uy \cdot 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + -2\right), uy\right), \left(uy \cdot 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), -2\right), uy\right), \left(uy \cdot 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), -2\right), uy\right), \left(uy \cdot 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), -2\right), uy\right), \left(uy \cdot 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 98.2%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), -2\right), uy\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.2%

   \[\leadsto \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \pi + -2\right) \cdot uy + uy \cdot 2\right)} \cdot \sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \]

7. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(\left(2 \cdot \pi + -2\right) \cdot uy + 2 \cdot uy\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\\ \sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot t\_0 + \left(t\_0 + t\_0\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (- 1.0 maxCos))))
   (*
    (sqrt (+ (* (* ux (+ maxCos -1.0)) t_0) (+ t_0 t_0)))
    (sin (* PI (* 2.0 uy))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (1.0f - maxCos);
	return sqrtf((((ux * (maxCos + -1.0f)) * t_0) + (t_0 + t_0))) * sinf((((float) M_PI) * (2.0f * uy)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))
	return Float32(sqrt(Float32(Float32(Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))) * t_0) + Float32(t_0 + t_0))) * sin(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (single(1.0) - maxCos);
	tmp = sqrt((((ux * (maxCos + single(-1.0))) * t_0) + (t_0 + t_0))) * sin((single(pi) * (single(2.0) * uy)));
end

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

5. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto \sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* PI (* 2.0 uy)))
  (sqrt
   (+
    (* (* ux (+ maxCos -1.0)) (* ux (- 1.0 maxCos)))
    (+ ux (* ux (- (- 1.0 maxCos) maxCos)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((((float) M_PI) * (2.0f * uy))) * sqrtf((((ux * (maxCos + -1.0f)) * (ux * (1.0f - maxCos))) + (ux + (ux * ((1.0f - maxCos) - maxCos)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy))) * sqrt(Float32(Float32(Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))) * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))) + Float32(ux + Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) - maxCos))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin((single(pi) * (single(2.0) * uy))) * sqrt((((ux * (maxCos + single(-1.0))) * (ux * (single(1.0) - maxCos))) + (ux + (ux * ((single(1.0) - maxCos) - maxCos)))));
end

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \left(1 \cdot ux + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux + \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-+r- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1\right) - maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) - maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f32 98.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.1%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \color{blue}{\left(ux + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right) \cdot ux\right)}} \]

7. Final simplification 98.1%

   \[\leadsto \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 6: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* PI (* 2.0 uy)))
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ (- 2.0 (* (+ maxCos -1.0) (* ux (+ maxCos -1.0)))) (* maxCos -2.0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((((float) M_PI) * (2.0f * uy))) * sqrtf((ux * ((2.0f - ((maxCos + -1.0f) * (ux * (maxCos + -1.0f)))) + (maxCos * -2.0f))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(2.0) - Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))) + Float32(maxCos * Float32(-2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin((single(pi) * (single(2.0) * uy))) * sqrt((ux * ((single(2.0) - ((maxCos + single(-1.0)) * (ux * (maxCos + single(-1.0))))) + (maxCos * single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) - 2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right) \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right) + -2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + -1 \cdot \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 - ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(ux \cdot {\left(maxCos - 1\right)}^{2}\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(ux \cdot \left(\left(maxCos - 1\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \left(\left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(-2 \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 98.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(2 - \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)}} \]

6. Final simplification 98.1%

   \[\leadsto \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(2 - \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + maxCos \cdot -2\right)} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 7: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* 2.0 PI) uy))
  (sqrt
   (*
    ux
    (+ (- 1.0 maxCos) (* (+ maxCos -1.0) (+ -1.0 (* ux (- 1.0 maxCos)))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf(((2.0f * ((float) M_PI)) * uy)) * sqrtf((ux * ((1.0f - maxCos) + ((maxCos + -1.0f) * (-1.0f + (ux * (1.0f - maxCos)))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * uy)) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) + Float32(Float32(maxCos + Float32(-1.0)) * Float32(Float32(-1.0) + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin(((single(2.0) * single(pi)) * uy)) * sqrt((ux * ((single(1.0) - maxCos) + ((maxCos + single(-1.0)) * (single(-1.0) + (ux * (single(1.0) - maxCos)))))));
end

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(maxCos + -1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

8. Final simplification 98.1%

   \[\leadsto \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) + \left(maxCos + -1\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 8: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* PI (* 2.0 uy)))
  (sqrt (* (- 1.0 maxCos) (* ux (+ 2.0 (* ux (+ maxCos -1.0))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((((float) M_PI) * (2.0f * uy))) * sqrtf(((1.0f - maxCos) * (ux * (2.0f + (ux * (maxCos + -1.0f))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy))) * sqrt(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin((single(pi) * (single(2.0) * uy))) * sqrt(((single(1.0) - maxCos) * (ux * (single(2.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0)))))));
end

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. count-2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 2 \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 98.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.1%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)}} \]

7. Final simplification 98.1%

   \[\leadsto \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 9: 97.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\\ \mathbf{if}\;2 \cdot uy \leq 0.02500000037252903:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot t\_0 + \left(t\_0 + t\_0\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (- 1.0 maxCos))))
   (if (<= (* 2.0 uy) 0.02500000037252903)
     (*
      (sqrt (+ (* (* ux (+ maxCos -1.0)) t_0) (+ t_0 t_0)))
      (*
       uy
       (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI))))))
     (* (sin (* PI (* 2.0 uy))) (sqrt (* ux (- 2.0 ux)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (1.0f - maxCos);
	float tmp;
	if ((2.0f * uy) <= 0.02500000037252903f) {
		tmp = sqrtf((((ux * (maxCos + -1.0f)) * t_0) + (t_0 + t_0))) * (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = sinf((((float) M_PI) * (2.0f * uy))) * sqrtf((ux * (2.0f - ux)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(Float32(2.0) * uy) <= Float32(0.02500000037252903))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(Float32(Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))) * t_0) + Float32(t_0 + t_0))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (single(1.0) - maxCos);
	tmp = single(0.0);
	if ((single(2.0) * uy) <= single(0.02500000037252903))
		tmp = sqrt((((ux * (maxCos + single(-1.0))) * t_0) + (t_0 + t_0))) * (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))));
	else
		tmp = sin((single(pi) * (single(2.0) * uy))) * sqrt((ux * (single(2.0) - ux)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.0250000004

   1. Initial program 53.9%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 98.5%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{maxCos}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 98.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \]

   if 0.0250000004 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 51.1%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 97.1%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

   5. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot {ux}^{2} + 2 \cdot ux\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot ux + -1 \cdot {ux}^{2}\right)\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left({ux}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(2 \cdot ux + \left(-1 \cdot ux\right) \cdot ux\right)\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right)\right)\right) \]

      10. --lowering--.f32 89.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 89.3%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 - ux\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;2 \cdot uy \leq 0.02500000037252903:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 93.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\\ \mathbf{if}\;2 \cdot uy \leq 0.05700000002980232:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot t\_0 + \left(t\_0 + t\_0\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - maxCos\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (- 1.0 maxCos))))
   (if (<= (* 2.0 uy) 0.05700000002980232)
     (*
      (sqrt (+ (* (* ux (+ maxCos -1.0)) t_0) (+ t_0 t_0)))
      (*
       uy
       (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI))))))
     (* (sin (* PI (* 2.0 uy))) (sqrt (* ux (- 2.0 maxCos)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (1.0f - maxCos);
	float tmp;
	if ((2.0f * uy) <= 0.05700000002980232f) {
		tmp = sqrtf((((ux * (maxCos + -1.0f)) * t_0) + (t_0 + t_0))) * (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = sinf((((float) M_PI) * (2.0f * uy))) * sqrtf((ux * (2.0f - maxCos)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(Float32(2.0) * uy) <= Float32(0.05700000002980232))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(Float32(Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))) * t_0) + Float32(t_0 + t_0))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - maxCos))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (single(1.0) - maxCos);
	tmp = single(0.0);
	if ((single(2.0) * uy) <= single(0.05700000002980232))
		tmp = sqrt((((ux * (maxCos + single(-1.0))) * t_0) + (t_0 + t_0))) * (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))));
	else
		tmp = sin((single(pi) * (single(2.0) * uy))) * sqrt((ux * (single(2.0) - maxCos)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.057

   1. Initial program 54.5%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 98.5%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{maxCos}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 97.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \]

   if 0.057 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 48.1%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      3. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      5. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      6. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + \left(-1 \cdot ux + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot -1\right) + 1\right)\right)\right) \]

      12. fma-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos, \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot -1, 1\right)\right)\right)\right) \]

      13. fma-lowering-fma.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot -1\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 48.3%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right), -1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right), 1\right)}} \]

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 - \left(maxCos - 1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos - 1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f32 81.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 81.2%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)}} \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{2}, maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 74.6%

       \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\color{blue}{2} - maxCos\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;2 \cdot uy \leq 0.05700000002980232:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - maxCos\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 93.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\\ \mathbf{if}\;2 \cdot uy \leq 0.05700000002980232:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot t\_0 + \left(t\_0 + t\_0\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot 2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (- 1.0 maxCos))))
   (if (<= (* 2.0 uy) 0.05700000002980232)
     (*
      (sqrt (+ (* (* ux (+ maxCos -1.0)) t_0) (+ t_0 t_0)))
      (*
       uy
       (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI))))))
     (* (sin (* PI (* 2.0 uy))) (sqrt (* ux 2.0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (1.0f - maxCos);
	float tmp;
	if ((2.0f * uy) <= 0.05700000002980232f) {
		tmp = sqrtf((((ux * (maxCos + -1.0f)) * t_0) + (t_0 + t_0))) * (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
	} else {
		tmp = sinf((((float) M_PI) * (2.0f * uy))) * sqrtf((ux * 2.0f));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(Float32(2.0) * uy) <= Float32(0.05700000002980232))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(Float32(Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))) * t_0) + Float32(t_0 + t_0))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))));
	else
		tmp = Float32(sin(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy))) * sqrt(Float32(ux * Float32(2.0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (single(1.0) - maxCos);
	tmp = single(0.0);
	if ((single(2.0) * uy) <= single(0.05700000002980232))
		tmp = sqrt((((ux * (maxCos + single(-1.0))) * t_0) + (t_0 + t_0))) * (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))));
	else
		tmp = sin((single(pi) * (single(2.0) * uy))) * sqrt((ux * single(2.0)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 uy #s(literal 2 binary32)) < 0.057

   1. Initial program 54.5%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 98.5%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{maxCos}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 97.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \]

   if 0.057 < (*.f32 uy #s(literal 2 binary32))

   1. Initial program 48.1%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(1 - {\left(1 - ux\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({\left(1 - ux\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 46.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 46.6%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)}} \]

   6. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot ux\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 74.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, ux\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 74.0%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{2 \cdot ux}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;2 \cdot uy \leq 0.05700000002980232:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot 2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 97.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(2 - ux\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* (sin (* PI (* 2.0 uy))) (sqrt (* (- 1.0 maxCos) (* ux (- 2.0 ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((((float) M_PI) * (2.0f * uy))) * sqrtf(((1.0f - maxCos) * (ux * (2.0f - ux))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy))) * sqrt(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sin((single(pi) * (single(2.0) * uy))) * sqrt(((single(1.0) - maxCos) * (ux * (single(2.0) - ux))));
end

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. count-2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 2 \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 98.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.1%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)}} \]

7. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 96.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 96.6%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 - ux\right)\right)}} \]

10. Final simplification 96.6%

    \[\leadsto \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(2 - ux\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 13: 89.1% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\\ \sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot t\_0 + \left(t\_0 + t\_0\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (- 1.0 maxCos))))
   (*
    (sqrt (+ (* (* ux (+ maxCos -1.0)) t_0) (+ t_0 t_0)))
    (*
     uy
     (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (1.0f - maxCos);
	return sqrtf((((ux * (maxCos + -1.0f)) * t_0) + (t_0 + t_0))) * (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos))
	return Float32(sqrt(Float32(Float32(Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))) * t_0) + Float32(t_0 + t_0))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (single(1.0) - maxCos);
	tmp = sqrt((((ux * (maxCos + single(-1.0))) * t_0) + (t_0 + t_0))) * (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{maxCos}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 86.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 86.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \]

8. Final simplification 86.9%

   \[\leadsto \sqrt{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 14: 84.9% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.001500000013038516:\\ \;\;\;\;uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.001500000013038516)
   (*
    uy
    (*
     (* 2.0 PI)
     (sqrt (* (* ux (- 1.0 maxCos)) (+ 1.0 (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0))))))))
   (*
    (*
     uy
     (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI)))))
    (sqrt (* ux (- (- 1.0 (+ maxCos -1.0)) maxCos))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.001500000013038516f) {
		tmp = uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) * sqrtf(((ux * (1.0f - maxCos)) * (1.0f + (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))))));
	} else {
		tmp = (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) * sqrtf((ux * ((1.0f - (maxCos + -1.0f)) - maxCos)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.001500000013038516))
		tmp = Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - Float32(maxCos + Float32(-1.0))) - maxCos))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.001500000013038516))
		tmp = uy * ((single(2.0) * single(pi)) * sqrt(((ux * (single(1.0) - maxCos)) * (single(1.0) + (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))))));
	else
		tmp = (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))) * sqrt((ux * ((single(1.0) - (maxCos + single(-1.0))) - maxCos)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.00150000001

   1. Initial program 53.8%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

   3. Simplified 53.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right) \cdot 2 \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)}\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\sqrt{1 + \color{blue}{\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 53.4%

      \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot -1\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1 \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot 1 + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + -1 \cdot \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(-1 \cdot \left(-1 \cdot ux\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot ux\right)\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(1 \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(1 \cdot ux + \left(-1 \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. neg-mul-1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(1 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 59.1%

      \[\leadsto uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\left(1 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) + -1\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(-1 + \left(1 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(-1 + 1\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-lft-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. distribute-lft1-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right) + 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right) + 1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right), 1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right), 1\right), 1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right), 1\right), 1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right), 1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. --lowering--.f32 96.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Applied egg-rr 96.6%

       \[\leadsto uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right) + 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}}\right) \]

   if 0.00150000001 < uy

   1. Initial program 52.1%

      \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      3. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      5. neg-mul-1 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      6. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + \left(-1 \cdot ux + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot -1\right) + 1\right)\right)\right) \]

      12. fma-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos, \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot -1, 1\right)\right)\right)\right) \]

      13. fma-lowering-fma.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{fma.f32}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right), \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot -1\right), 1\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 52.5%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right), -1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right), 1\right)}} \]

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      4. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 - \left(maxCos - 1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos - 1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(maxCos + -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f32 79.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 79.8%

      \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)}} \]

   8. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), maxCos\right)\right)}\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), maxCos\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), maxCos\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      11. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      15. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      16. PI-lowering-PI.f32 52.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 52.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 83.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.001500000013038516:\\ \;\;\;\;uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - \left(maxCos + -1\right)\right) - maxCos\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 89.1% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (* (- 1.0 maxCos) (* ux (+ 2.0 (* ux (+ maxCos -1.0))))))
  (*
   uy
   (+ (* 2.0 PI) (* (* -1.3333333333333333 (* uy uy)) (* PI (* PI PI)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf(((1.0f - maxCos) * (ux * (2.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))))) * (uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) + ((-1.3333333333333333f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(ux * Float32(Float32(2.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))) * Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) + Float32(Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt(((single(1.0) - maxCos) * (ux * (single(2.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))))) * (uy * ((single(2.0) * single(pi)) + ((single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)) * (single(pi) * (single(pi) * single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 98.2%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. count-2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 2 \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 98.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, 2\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.1%

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)}} \]

7. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) + 2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 2\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-4}{3} \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right)}, 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)}\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. PI-lowering-PI.f32 86.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 86.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)} \]

10. Final simplification 86.9%

    \[\leadsto \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 16: 81.2% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  uy
  (*
   (* 2.0 PI)
   (sqrt (* (* ux (- 1.0 maxCos)) (+ 1.0 (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0)))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) * sqrtf(((ux * (1.0f - maxCos)) * (1.0f + (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = uy * ((single(2.0) * single(pi)) * sqrt(((ux * (single(1.0) - maxCos)) * (single(1.0) + (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))))));
end

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right) \cdot 2 \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)}\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\sqrt{1 + \color{blue}{\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 46.4%

   \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot -1\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1 \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot 1 + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + -1 \cdot \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(-1 \cdot \left(-1 \cdot ux\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot ux\right)\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(1 \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(1 \cdot ux + \left(-1 \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(1 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 52.3%

   \[\leadsto uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\left(1 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) + -1\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(-1 + \left(1 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(-1 + 1\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. distribute-lft1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right) + 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right) + 1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right), 1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right), 1\right), 1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right), 1\right), 1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right), 1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. --lowering--.f32 80.1%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(maxCos, -1\right)\right), 1\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 80.1%

    \[\leadsto uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right) + 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}}\right) \]

12. Final simplification 80.1%

    \[\leadsto uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 17: 81.3% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  uy
  (*
   (* 2.0 PI)
   (sqrt (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ 2.0 (* ux (+ maxCos -1.0)))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) * sqrtf((ux * ((1.0f - maxCos) * (2.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(2.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = uy * ((single(2.0) * single(pi)) * sqrt((ux * ((single(1.0) - maxCos) * (single(2.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))))));
end

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right) \cdot 2 \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)}\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\sqrt{1 + \color{blue}{\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 46.4%

   \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot -1\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1 \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot 1 + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + -1 \cdot \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(-1 \cdot \left(-1 \cdot ux\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot ux\right)\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(1 \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(1 \cdot ux + \left(-1 \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(1 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 52.3%

   \[\leadsto uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\left(1 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) + -1\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(-1 + \left(1 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(-1 + 1\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(0 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. distribute-lft1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. count-2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 2 \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right), ux\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 80.1%

    \[\leadsto uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right) \cdot ux}}\right) \]

12. Final simplification 80.1%

    \[\leadsto uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(2 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)}\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 18: 77.3% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* uy (* (* 2.0 PI) (sqrt (+ (* ux (- 1.0 maxCos)) (* ux (- 1.0 ux)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) * sqrtf(((ux * (1.0f - maxCos)) + (ux * (1.0f - ux)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)) + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = uy * ((single(2.0) * single(pi)) * sqrt(((ux * (single(1.0) - maxCos)) + (ux * (single(1.0) - ux)))));
end

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right) \cdot 2 \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)}\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\sqrt{1 + \color{blue}{\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 46.4%

   \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot -1\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1 \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot 1 + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + -1 \cdot \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(-1 \cdot \left(-1 \cdot ux\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot ux\right)\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(1 \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(1 \cdot ux + \left(-1 \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(1 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 52.3%

   \[\leadsto uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\left(1 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) + -1\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}}\right) \]

10. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. --lowering--.f32 75.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 75.9%

    \[\leadsto uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(1 - ux\right)} + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}\right) \]

13. Final simplification 75.9%

    \[\leadsto uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 19: 76.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* uy (* (* 2.0 PI) (sqrt (+ ux (* ux (- 1.0 ux)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return uy * ((2.0f * ((float) M_PI)) * sqrtf((ux + (ux * (1.0f - ux)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * sqrt(Float32(ux + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = uy * ((single(2.0) * single(pi)) * sqrt((ux + (ux * (single(1.0) - ux)))));
end

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right) \cdot 2 \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)}\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\sqrt{1 + \color{blue}{\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 46.4%

   \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot -1\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1 \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 \cdot 1 + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + -1 \cdot \left(ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + -1 \cdot \left(-1 \cdot ux + maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(-1 \cdot \left(-1 \cdot ux\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot ux\right)\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(1 \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(1 \cdot ux + \left(-1 \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. neg-mul-1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + \left(1 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + -1\right) + ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 52.3%

   \[\leadsto uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\left(1 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 1\right)\right) + -1\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}}\right) \]

10. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux + ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)}\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, \left(ux \cdot \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. --lowering--.f32 75.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 75.4%

    \[\leadsto uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}}\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 20: 76.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* 2.0 (* PI (* uy (sqrt (* ux (- 2.0 ux)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 2.0f * (((float) M_PI) * (uy * sqrtf((ux * (2.0f - ux)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(uy * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(2.0) * (single(pi) * (uy * sqrt((ux * (single(2.0) - ux)))));
end

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right) \cdot 2 \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)}\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\sqrt{1 + \color{blue}{\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 46.4%

   \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}\right)} \]

9. Applied egg-rr 48.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(uy \cdot {\left(1 + \left(-1 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)}^{0.5}\right) \cdot \pi\right) \cdot 2} \]

10. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)} \cdot uy\right)}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)}\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

    3. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

    5. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

    6. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

    7. --lowering--.f32 75.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), 2\right) \]

12. Simplified 75.4%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(uy \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\right)} \cdot \pi\right) \cdot 2 \]

13. Final simplification 75.4%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 21: 76.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)} \cdot \left(\pi \cdot uy\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* 2.0 (* (sqrt (* ux (- 2.0 ux))) (* PI uy))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 2.0f * (sqrtf((ux * (2.0f - ux))) * (((float) M_PI) * uy));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(2.0) * Float32(sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux))) * Float32(Float32(pi) * uy)))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(2.0) * (sqrt((ux * (single(2.0) - ux))) * (single(pi) * uy));
end

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right) \cdot 2 \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)}\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\sqrt{1 + \color{blue}{\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 46.4%

   \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}\right)} \]

9. Applied egg-rr 48.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(uy \cdot {\left(1 + \left(-1 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos + -1\right) + 2\right)\right)\right)}^{0.5}\right) \cdot \pi\right) \cdot 2} \]

10. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)} \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}, 2\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)}\right), \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), 2\right) \]

    2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right), \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), 2\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + -1 \cdot ux\right)\right)\right), \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), 2\right) \]

    4. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), 2\right) \]

    5. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right)\right), \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), 2\right) \]

    6. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right), \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), 2\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), 2\right) \]

    8. PI-lowering-PI.f32 75.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), 2\right) \]

12. Simplified 75.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)} \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot 2 \]

13. Final simplification 75.3%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)} \cdot \left(\pi \cdot uy\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 22: 7.1% accurate, 223.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos) :precision binary32 0.0)

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 0.0f;
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = 0.0e0
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(0.0)
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
end

Derivation

1. Initial program 53.3%

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

3. Simplified 53.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot \color{blue}{2} \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(uy \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right) \cdot 2 \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto uy \cdot \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right) \cdot 2\right)} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto uy \cdot \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)}\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}\right)}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\sqrt{1 + \color{blue}{\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}}\right)\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 46.4%

   \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) \cdot \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)}\right)} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{-1}\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 7.2%

    \[\leadsto uy \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \color{blue}{-1}}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. pow1/2 N/A

       \[\leadsto uy \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {\left(1 + -1\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto uy \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {0}^{\frac{1}{2}}\right) \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto uy \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot 0\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto uy \cdot \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

    5. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + -1\right)} \]

    6. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot 0 \]

    7. mul0-rgt 7.2%

       \[\leadsto 0 \]

12. Applied egg-rr 7.2%

    \[\leadsto \color{blue}{0} \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024164 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, y"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))