NMSE Section 6.1 mentioned, A

Percentage Accurate: 72.7% → 98.9%

Time: 15.3s

Alternatives: 14

Speedup: 14.2×

• 37.9% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

• could not determine a ground truth

  1. x = -1.99999999999999997e77
  2. eps = -2e-231

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (/
  (-
   (* (+ 1.0 (/ 1.0 eps)) (exp (- (* (- 1.0 eps) x))))
   (* (- (/ 1.0 eps) 1.0) (exp (- (* (+ 1.0 eps) x)))))
  2.0))

C

double code(double x, double eps) {
	return (((1.0 + (1.0 / eps)) * exp(-((1.0 - eps) * x))) - (((1.0 / eps) - 1.0) * exp(-((1.0 + eps) * x)))) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = (((1.0d0 + (1.0d0 / eps)) * exp(-((1.0d0 - eps) * x))) - (((1.0d0 / eps) - 1.0d0) * exp(-((1.0d0 + eps) * x)))) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return (((1.0 + (1.0 / eps)) * Math.exp(-((1.0 - eps) * x))) - (((1.0 / eps) - 1.0) * Math.exp(-((1.0 + eps) * x)))) / 2.0;
}

Python

def code(x, eps):
	return (((1.0 + (1.0 / eps)) * math.exp(-((1.0 - eps) * x))) - (((1.0 / eps) - 1.0) * math.exp(-((1.0 + eps) * x)))) / 2.0

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(1.0 / eps)) * exp(Float64(-Float64(Float64(1.0 - eps) * x)))) - Float64(Float64(Float64(1.0 / eps) - 1.0) * exp(Float64(-Float64(Float64(1.0 + eps) * x))))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = (((1.0 + (1.0 / eps)) * exp(-((1.0 - eps) * x))) - (((1.0 / eps) - 1.0) * exp(-((1.0 + eps) * x)))) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[(N[(N[(1.0 + N[(1.0 / eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[(-N[(N[(1.0 - eps), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision])], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[(1.0 / eps), $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision] * N[Exp[(-N[(N[(1.0 + eps), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision])], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Initial Program: 72.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (/
  (-
   (* (+ 1.0 (/ 1.0 eps)) (exp (- (* (- 1.0 eps) x))))
   (* (- (/ 1.0 eps) 1.0) (exp (- (* (+ 1.0 eps) x)))))
  2.0))

C

double code(double x, double eps) {
	return (((1.0 + (1.0 / eps)) * exp(-((1.0 - eps) * x))) - (((1.0 / eps) - 1.0) * exp(-((1.0 + eps) * x)))) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = (((1.0d0 + (1.0d0 / eps)) * exp(-((1.0d0 - eps) * x))) - (((1.0d0 / eps) - 1.0d0) * exp(-((1.0d0 + eps) * x)))) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return (((1.0 + (1.0 / eps)) * Math.exp(-((1.0 - eps) * x))) - (((1.0 / eps) - 1.0) * Math.exp(-((1.0 + eps) * x)))) / 2.0;
}

Python

def code(x, eps):
	return (((1.0 + (1.0 / eps)) * math.exp(-((1.0 - eps) * x))) - (((1.0 / eps) - 1.0) * math.exp(-((1.0 + eps) * x)))) / 2.0

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(1.0 / eps)) * exp(Float64(-Float64(Float64(1.0 - eps) * x)))) - Float64(Float64(Float64(1.0 / eps) - 1.0) * exp(Float64(-Float64(Float64(1.0 + eps) * x))))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = (((1.0 + (1.0 / eps)) * exp(-((1.0 - eps) * x))) - (((1.0 / eps) - 1.0) * exp(-((1.0 + eps) * x)))) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[(N[(N[(1.0 + N[(1.0 / eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[(-N[(N[(1.0 - eps), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision])], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(N[(1.0 / eps), $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision] * N[Exp[(-N[(N[(1.0 + eps), $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision])], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.9% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} + e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (* 0.5 (+ (exp (* x (+ eps -1.0))) (exp (* x (- -1.0 eps))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return 0.5 * (exp((x * (eps + -1.0))) + exp((x * (-1.0 - eps))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = 0.5d0 * (exp((x * (eps + (-1.0d0)))) + exp((x * ((-1.0d0) - eps))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return 0.5 * (Math.exp((x * (eps + -1.0))) + Math.exp((x * (-1.0 - eps))));
}

Python

def code(x, eps):
	return 0.5 * (math.exp((x * (eps + -1.0))) + math.exp((x * (-1.0 - eps))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(0.5 * Float64(exp(Float64(x * Float64(eps + -1.0))) + exp(Float64(x * Float64(-1.0 - eps)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = 0.5 * (exp((x * (eps + -1.0))) + exp((x * (-1.0 - eps))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(0.5 * N[(N[Exp[N[(x * N[(eps + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Exp[N[(x * N[(-1.0 - eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 76.9%

   \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

3. Simplified 76.9%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in eps around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} - \frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \frac{1}{2} \cdot e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

   3. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)} \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)}\right), \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1} \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. exp-lowering-exp.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot 1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. --lowering--.f64 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} + e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)}\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 73.3% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\\ t_1 := -0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\\ t_2 := 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\\ \mathbf{if}\;\varepsilon \leq 1:\\ \;\;\;\;\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 6 \cdot 10^{+94}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(\varepsilon + \left(-1 + x \cdot \left(\left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot t\_0 + 0.5 \cdot t\_0\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot t\_1\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 1.1 \cdot 10^{+128}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) + t\_1 \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + 1\right) + \left(0.5 \cdot x\right) \cdot \frac{t\_2 \cdot t\_2}{\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 \cdot x\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (+ eps -1.0) (+ eps -1.0)))
        (t_1 (+ -0.5 (/ 0.5 eps)))
        (t_2 (- 1.0 (* eps eps))))
   (if (<= eps 1.0)
     (* (+ x 1.0) (exp (- 0.0 x)))
     (if (<= eps 6e+94)
       (-
        (*
         (+
          1.0
          (*
           x
           (+
            eps
            (+
             -1.0
             (*
              x
              (+
               (* (* (+ eps -1.0) (* x 0.16666666666666666)) t_0)
               (* 0.5 t_0)))))))
         (- 0.5 (/ -0.5 eps)))
        (* (exp (* x (- -1.0 eps))) t_1))
       (if (<= eps 1.1e+128)
         (+
          (+ 0.5 (/ 0.5 eps))
          (*
           t_1
           (+
            -1.0
            (*
             x
             (+
              (+ eps 1.0)
              (* (* 0.5 x) (/ (* t_2 t_2) (* (+ eps -1.0) (- 1.0 eps)))))))))
         (+ 1.0 (* x (* eps (* eps (* 0.5 x))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = (eps + -1.0) * (eps + -1.0);
	double t_1 = -0.5 + (0.5 / eps);
	double t_2 = 1.0 - (eps * eps);
	double tmp;
	if (eps <= 1.0) {
		tmp = (x + 1.0) * exp((0.0 - x));
	} else if (eps <= 6e+94) {
		tmp = ((1.0 + (x * (eps + (-1.0 + (x * ((((eps + -1.0) * (x * 0.16666666666666666)) * t_0) + (0.5 * t_0))))))) * (0.5 - (-0.5 / eps))) - (exp((x * (-1.0 - eps))) * t_1);
	} else if (eps <= 1.1e+128) {
		tmp = (0.5 + (0.5 / eps)) + (t_1 * (-1.0 + (x * ((eps + 1.0) + ((0.5 * x) * ((t_2 * t_2) / ((eps + -1.0) * (1.0 - eps))))))));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = (eps + (-1.0d0)) * (eps + (-1.0d0))
    t_1 = (-0.5d0) + (0.5d0 / eps)
    t_2 = 1.0d0 - (eps * eps)
    if (eps <= 1.0d0) then
        tmp = (x + 1.0d0) * exp((0.0d0 - x))
    else if (eps <= 6d+94) then
        tmp = ((1.0d0 + (x * (eps + ((-1.0d0) + (x * ((((eps + (-1.0d0)) * (x * 0.16666666666666666d0)) * t_0) + (0.5d0 * t_0))))))) * (0.5d0 - ((-0.5d0) / eps))) - (exp((x * ((-1.0d0) - eps))) * t_1)
    else if (eps <= 1.1d+128) then
        tmp = (0.5d0 + (0.5d0 / eps)) + (t_1 * ((-1.0d0) + (x * ((eps + 1.0d0) + ((0.5d0 * x) * ((t_2 * t_2) / ((eps + (-1.0d0)) * (1.0d0 - eps))))))))
    else
        tmp = 1.0d0 + (x * (eps * (eps * (0.5d0 * x))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = (eps + -1.0) * (eps + -1.0);
	double t_1 = -0.5 + (0.5 / eps);
	double t_2 = 1.0 - (eps * eps);
	double tmp;
	if (eps <= 1.0) {
		tmp = (x + 1.0) * Math.exp((0.0 - x));
	} else if (eps <= 6e+94) {
		tmp = ((1.0 + (x * (eps + (-1.0 + (x * ((((eps + -1.0) * (x * 0.16666666666666666)) * t_0) + (0.5 * t_0))))))) * (0.5 - (-0.5 / eps))) - (Math.exp((x * (-1.0 - eps))) * t_1);
	} else if (eps <= 1.1e+128) {
		tmp = (0.5 + (0.5 / eps)) + (t_1 * (-1.0 + (x * ((eps + 1.0) + ((0.5 * x) * ((t_2 * t_2) / ((eps + -1.0) * (1.0 - eps))))))));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = (eps + -1.0) * (eps + -1.0)
	t_1 = -0.5 + (0.5 / eps)
	t_2 = 1.0 - (eps * eps)
	tmp = 0
	if eps <= 1.0:
		tmp = (x + 1.0) * math.exp((0.0 - x))
	elif eps <= 6e+94:
		tmp = ((1.0 + (x * (eps + (-1.0 + (x * ((((eps + -1.0) * (x * 0.16666666666666666)) * t_0) + (0.5 * t_0))))))) * (0.5 - (-0.5 / eps))) - (math.exp((x * (-1.0 - eps))) * t_1)
	elif eps <= 1.1e+128:
		tmp = (0.5 + (0.5 / eps)) + (t_1 * (-1.0 + (x * ((eps + 1.0) + ((0.5 * x) * ((t_2 * t_2) / ((eps + -1.0) * (1.0 - eps))))))))
	else:
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))))
	return tmp

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64(Float64(eps + -1.0) * Float64(eps + -1.0))
	t_1 = Float64(-0.5 + Float64(0.5 / eps))
	t_2 = Float64(1.0 - Float64(eps * eps))
	tmp = 0.0
	if (eps <= 1.0)
		tmp = Float64(Float64(x + 1.0) * exp(Float64(0.0 - x)));
	elseif (eps <= 6e+94)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(x * Float64(eps + Float64(-1.0 + Float64(x * Float64(Float64(Float64(Float64(eps + -1.0) * Float64(x * 0.16666666666666666)) * t_0) + Float64(0.5 * t_0))))))) * Float64(0.5 - Float64(-0.5 / eps))) - Float64(exp(Float64(x * Float64(-1.0 - eps))) * t_1));
	elseif (eps <= 1.1e+128)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 / eps)) + Float64(t_1 * Float64(-1.0 + Float64(x * Float64(Float64(eps + 1.0) + Float64(Float64(0.5 * x) * Float64(Float64(t_2 * t_2) / Float64(Float64(eps + -1.0) * Float64(1.0 - eps)))))))));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(eps * Float64(eps * Float64(0.5 * x)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, eps)
	t_0 = (eps + -1.0) * (eps + -1.0);
	t_1 = -0.5 + (0.5 / eps);
	t_2 = 1.0 - (eps * eps);
	tmp = 0.0;
	if (eps <= 1.0)
		tmp = (x + 1.0) * exp((0.0 - x));
	elseif (eps <= 6e+94)
		tmp = ((1.0 + (x * (eps + (-1.0 + (x * ((((eps + -1.0) * (x * 0.16666666666666666)) * t_0) + (0.5 * t_0))))))) * (0.5 - (-0.5 / eps))) - (exp((x * (-1.0 - eps))) * t_1);
	elseif (eps <= 1.1e+128)
		tmp = (0.5 + (0.5 / eps)) + (t_1 * (-1.0 + (x * ((eps + 1.0) + ((0.5 * x) * ((t_2 * t_2) / ((eps + -1.0) * (1.0 - eps))))))));
	else
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(eps + -1.0), $MachinePrecision] * N[(eps + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(-0.5 + N[(0.5 / eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(1.0 - N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[eps, 1.0], N[(N[(x + 1.0), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(0.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[eps, 6e+94], N[(N[(N[(1.0 + N[(x * N[(eps + N[(-1.0 + N[(x * N[(N[(N[(N[(eps + -1.0), $MachinePrecision] * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 - N[(-0.5 / eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Exp[N[(x * N[(-1.0 - eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[eps, 1.1e+128], N[(N[(0.5 + N[(0.5 / eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 * N[(-1.0 + N[(x * N[(N[(eps + 1.0), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * x), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$2 * t$95$2), $MachinePrecision] / N[(N[(eps + -1.0), $MachinePrecision] * N[(1.0 - eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(x * N[(eps * N[(eps * N[(0.5 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if eps < 1

   1. Initial program 67.9%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 67.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in eps around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x} + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right) - \left(\frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x} + \frac{-1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) - \left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x}} + \frac{-1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right) \]

      2. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) - \frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} - \frac{-1}{2}\right)} \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) \cdot 1 \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto e^{-1 \cdot x} + \color{blue}{x \cdot e^{-1 \cdot x}} \]

      6. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \left(x + 1\right) \cdot \color{blue}{e^{-1 \cdot x}} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(x + 1\right), \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot x}\right)}\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \left(e^{\color{blue}{-1 \cdot x}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot x\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - x\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 67.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 67.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}} \]

   if 1 < eps < 6.0000000000000001e94

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\varepsilon + x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) - 1\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) - 1\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) + -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right), -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 90.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\varepsilon + \left(x \cdot \left(\left(\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + 0.5 \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right) + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   if 6.0000000000000001e94 < eps < 1.10000000000000008e128

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 51.6%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 51.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right)} - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)}, \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\varepsilon}\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 \cdot 1 + -1 \cdot \varepsilon\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 + -1 \cdot \varepsilon\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 - \varepsilon\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right), \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \varepsilon\right), \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 40.9%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 40.9%

       \[\leadsto \left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) - \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) + \left(0.5 \cdot x\right) \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left(\frac{1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon}{1 - \varepsilon} \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       2. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left(\frac{1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon}{1 - \varepsilon} \cdot \frac{1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon}{1 - \varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       3. frac-times N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left(\frac{\left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)}{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right), \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       6. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right), \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       7. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       9. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       10. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 - \varepsilon\right), \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       13. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \varepsilon\right), \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       14. --lowering--.f64 87.9%

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 87.9%

       \[\leadsto \left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) - \left(1 + x \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) + \left(0.5 \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)}{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}}\right)\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   if 1.10000000000000008e128 < eps

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 89.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right) + \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{{\varepsilon}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 89.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 89.0%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right), \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 91.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 91.2%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 73.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\varepsilon \leq 1:\\ \;\;\;\;\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 6 \cdot 10^{+94}:\\ \;\;\;\;\left(1 + x \cdot \left(\varepsilon + \left(-1 + x \cdot \left(\left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + 0.5 \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(-0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right)\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 1.1 \cdot 10^{+128}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) + \left(-0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + 1\right) + \left(0.5 \cdot x\right) \cdot \frac{\left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)}{\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 \cdot x\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 73.4% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\\ t_1 := x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\\ \mathbf{if}\;\varepsilon \leq 1:\\ \;\;\;\;\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 1.15 \cdot 10^{+18}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(e^{t\_1} + 1\right)\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 6 \cdot 10^{+94}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} + \left(t\_1 + 1\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 1.15 \cdot 10^{+128}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) + \left(-0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + 1\right) + \left(0.5 \cdot x\right) \cdot \frac{t\_0 \cdot t\_0}{\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 \cdot x\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- 1.0 (* eps eps))) (t_1 (* x (+ eps -1.0))))
   (if (<= eps 1.0)
     (* (+ x 1.0) (exp (- 0.0 x)))
     (if (<= eps 1.15e+18)
       (* 0.5 (+ (exp t_1) 1.0))
       (if (<= eps 6e+94)
         (* 0.5 (+ (exp (* x (- -1.0 eps))) (+ t_1 1.0)))
         (if (<= eps 1.15e+128)
           (+
            (+ 0.5 (/ 0.5 eps))
            (*
             (+ -0.5 (/ 0.5 eps))
             (+
              -1.0
              (*
               x
               (+
                (+ eps 1.0)
                (* (* 0.5 x) (/ (* t_0 t_0) (* (+ eps -1.0) (- 1.0 eps)))))))))
           (+ 1.0 (* x (* eps (* eps (* 0.5 x)))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = 1.0 - (eps * eps);
	double t_1 = x * (eps + -1.0);
	double tmp;
	if (eps <= 1.0) {
		tmp = (x + 1.0) * exp((0.0 - x));
	} else if (eps <= 1.15e+18) {
		tmp = 0.5 * (exp(t_1) + 1.0);
	} else if (eps <= 6e+94) {
		tmp = 0.5 * (exp((x * (-1.0 - eps))) + (t_1 + 1.0));
	} else if (eps <= 1.15e+128) {
		tmp = (0.5 + (0.5 / eps)) + ((-0.5 + (0.5 / eps)) * (-1.0 + (x * ((eps + 1.0) + ((0.5 * x) * ((t_0 * t_0) / ((eps + -1.0) * (1.0 - eps))))))));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = 1.0d0 - (eps * eps)
    t_1 = x * (eps + (-1.0d0))
    if (eps <= 1.0d0) then
        tmp = (x + 1.0d0) * exp((0.0d0 - x))
    else if (eps <= 1.15d+18) then
        tmp = 0.5d0 * (exp(t_1) + 1.0d0)
    else if (eps <= 6d+94) then
        tmp = 0.5d0 * (exp((x * ((-1.0d0) - eps))) + (t_1 + 1.0d0))
    else if (eps <= 1.15d+128) then
        tmp = (0.5d0 + (0.5d0 / eps)) + (((-0.5d0) + (0.5d0 / eps)) * ((-1.0d0) + (x * ((eps + 1.0d0) + ((0.5d0 * x) * ((t_0 * t_0) / ((eps + (-1.0d0)) * (1.0d0 - eps))))))))
    else
        tmp = 1.0d0 + (x * (eps * (eps * (0.5d0 * x))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = 1.0 - (eps * eps);
	double t_1 = x * (eps + -1.0);
	double tmp;
	if (eps <= 1.0) {
		tmp = (x + 1.0) * Math.exp((0.0 - x));
	} else if (eps <= 1.15e+18) {
		tmp = 0.5 * (Math.exp(t_1) + 1.0);
	} else if (eps <= 6e+94) {
		tmp = 0.5 * (Math.exp((x * (-1.0 - eps))) + (t_1 + 1.0));
	} else if (eps <= 1.15e+128) {
		tmp = (0.5 + (0.5 / eps)) + ((-0.5 + (0.5 / eps)) * (-1.0 + (x * ((eps + 1.0) + ((0.5 * x) * ((t_0 * t_0) / ((eps + -1.0) * (1.0 - eps))))))));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = 1.0 - (eps * eps)
	t_1 = x * (eps + -1.0)
	tmp = 0
	if eps <= 1.0:
		tmp = (x + 1.0) * math.exp((0.0 - x))
	elif eps <= 1.15e+18:
		tmp = 0.5 * (math.exp(t_1) + 1.0)
	elif eps <= 6e+94:
		tmp = 0.5 * (math.exp((x * (-1.0 - eps))) + (t_1 + 1.0))
	elif eps <= 1.15e+128:
		tmp = (0.5 + (0.5 / eps)) + ((-0.5 + (0.5 / eps)) * (-1.0 + (x * ((eps + 1.0) + ((0.5 * x) * ((t_0 * t_0) / ((eps + -1.0) * (1.0 - eps))))))))
	else:
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))))
	return tmp

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64(1.0 - Float64(eps * eps))
	t_1 = Float64(x * Float64(eps + -1.0))
	tmp = 0.0
	if (eps <= 1.0)
		tmp = Float64(Float64(x + 1.0) * exp(Float64(0.0 - x)));
	elseif (eps <= 1.15e+18)
		tmp = Float64(0.5 * Float64(exp(t_1) + 1.0));
	elseif (eps <= 6e+94)
		tmp = Float64(0.5 * Float64(exp(Float64(x * Float64(-1.0 - eps))) + Float64(t_1 + 1.0)));
	elseif (eps <= 1.15e+128)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 / eps)) + Float64(Float64(-0.5 + Float64(0.5 / eps)) * Float64(-1.0 + Float64(x * Float64(Float64(eps + 1.0) + Float64(Float64(0.5 * x) * Float64(Float64(t_0 * t_0) / Float64(Float64(eps + -1.0) * Float64(1.0 - eps)))))))));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(eps * Float64(eps * Float64(0.5 * x)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, eps)
	t_0 = 1.0 - (eps * eps);
	t_1 = x * (eps + -1.0);
	tmp = 0.0;
	if (eps <= 1.0)
		tmp = (x + 1.0) * exp((0.0 - x));
	elseif (eps <= 1.15e+18)
		tmp = 0.5 * (exp(t_1) + 1.0);
	elseif (eps <= 6e+94)
		tmp = 0.5 * (exp((x * (-1.0 - eps))) + (t_1 + 1.0));
	elseif (eps <= 1.15e+128)
		tmp = (0.5 + (0.5 / eps)) + ((-0.5 + (0.5 / eps)) * (-1.0 + (x * ((eps + 1.0) + ((0.5 * x) * ((t_0 * t_0) / ((eps + -1.0) * (1.0 - eps))))))));
	else
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 - N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(x * N[(eps + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[eps, 1.0], N[(N[(x + 1.0), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(0.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[eps, 1.15e+18], N[(0.5 * N[(N[Exp[t$95$1], $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[eps, 6e+94], N[(0.5 * N[(N[Exp[N[(x * N[(-1.0 - eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(t$95$1 + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[eps, 1.15e+128], N[(N[(0.5 + N[(0.5 / eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.5 + N[(0.5 / eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(x * N[(N[(eps + 1.0), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * x), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[(eps + -1.0), $MachinePrecision] * N[(1.0 - eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(x * N[(eps * N[(eps * N[(0.5 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if eps < 1

   1. Initial program 67.9%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 67.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in eps around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x} + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right) - \left(\frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x} + \frac{-1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) - \left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x}} + \frac{-1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right) \]

      2. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) - \frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} - \frac{-1}{2}\right)} \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) \cdot 1 \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto e^{-1 \cdot x} + \color{blue}{x \cdot e^{-1 \cdot x}} \]

      6. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \left(x + 1\right) \cdot \color{blue}{e^{-1 \cdot x}} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(x + 1\right), \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot x}\right)}\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \left(e^{\color{blue}{-1 \cdot x}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot x\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - x\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 67.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 67.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}} \]

   if 1 < eps < 1.15e18

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} - \frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \frac{1}{2} \cdot e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

      3. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)}\right), \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1} \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot 1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} + e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)}\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} + \color{blue}{1}\right) \]

   if 1.15e18 < eps < 6.0000000000000001e94

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} - \frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \frac{1}{2} \cdot e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

      3. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)}\right), \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1} \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot 1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} + e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)}\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)}, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 76.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 76.6%

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right)} + e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)}\right) \]

   if 6.0000000000000001e94 < eps < 1.14999999999999999e128

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 51.6%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 51.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right)} - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)}, \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\varepsilon}\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 \cdot 1 + -1 \cdot \varepsilon\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 + -1 \cdot \varepsilon\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 - \varepsilon\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right), \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \varepsilon\right), \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 40.9%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 40.9%

       \[\leadsto \left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) - \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) + \left(0.5 \cdot x\right) \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left(\frac{1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon}{1 - \varepsilon} \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       2. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left(\frac{1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon}{1 - \varepsilon} \cdot \frac{1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon}{1 - \varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       3. frac-times N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left(\frac{\left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)}{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right), \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       6. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right), \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       7. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       9. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       10. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 - \varepsilon\right), \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       13. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \varepsilon\right), \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       14. --lowering--.f64 87.9%

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 87.9%

       \[\leadsto \left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) - \left(1 + x \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) + \left(0.5 \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)}{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}}\right)\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   if 1.14999999999999999e128 < eps

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 89.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right) + \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{{\varepsilon}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 89.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 89.0%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right), \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 91.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 91.2%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)} \]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 73.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\varepsilon \leq 1:\\ \;\;\;\;\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 1.15 \cdot 10^{+18}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} + 1\right)\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 6 \cdot 10^{+94}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} + \left(x \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + 1\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 1.15 \cdot 10^{+128}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) + \left(-0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + 1\right) + \left(0.5 \cdot x\right) \cdot \frac{\left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)}{\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 \cdot x\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 73.3% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\\ \mathbf{if}\;\varepsilon \leq 1:\\ \;\;\;\;\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 3.4 \cdot 10^{+18}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} + 1\right)\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 5.2 \cdot 10^{+94}:\\ \;\;\;\;0.5 + 0.5 \cdot e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)}\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 1.1 \cdot 10^{+128}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) + \left(-0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + 1\right) + \left(0.5 \cdot x\right) \cdot \frac{t\_0 \cdot t\_0}{\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 \cdot x\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- 1.0 (* eps eps))))
   (if (<= eps 1.0)
     (* (+ x 1.0) (exp (- 0.0 x)))
     (if (<= eps 3.4e+18)
       (* 0.5 (+ (exp (* x (+ eps -1.0))) 1.0))
       (if (<= eps 5.2e+94)
         (+ 0.5 (* 0.5 (exp (* x (- -1.0 eps)))))
         (if (<= eps 1.1e+128)
           (+
            (+ 0.5 (/ 0.5 eps))
            (*
             (+ -0.5 (/ 0.5 eps))
             (+
              -1.0
              (*
               x
               (+
                (+ eps 1.0)
                (* (* 0.5 x) (/ (* t_0 t_0) (* (+ eps -1.0) (- 1.0 eps)))))))))
           (+ 1.0 (* x (* eps (* eps (* 0.5 x)))))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = 1.0 - (eps * eps);
	double tmp;
	if (eps <= 1.0) {
		tmp = (x + 1.0) * exp((0.0 - x));
	} else if (eps <= 3.4e+18) {
		tmp = 0.5 * (exp((x * (eps + -1.0))) + 1.0);
	} else if (eps <= 5.2e+94) {
		tmp = 0.5 + (0.5 * exp((x * (-1.0 - eps))));
	} else if (eps <= 1.1e+128) {
		tmp = (0.5 + (0.5 / eps)) + ((-0.5 + (0.5 / eps)) * (-1.0 + (x * ((eps + 1.0) + ((0.5 * x) * ((t_0 * t_0) / ((eps + -1.0) * (1.0 - eps))))))));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 1.0d0 - (eps * eps)
    if (eps <= 1.0d0) then
        tmp = (x + 1.0d0) * exp((0.0d0 - x))
    else if (eps <= 3.4d+18) then
        tmp = 0.5d0 * (exp((x * (eps + (-1.0d0)))) + 1.0d0)
    else if (eps <= 5.2d+94) then
        tmp = 0.5d0 + (0.5d0 * exp((x * ((-1.0d0) - eps))))
    else if (eps <= 1.1d+128) then
        tmp = (0.5d0 + (0.5d0 / eps)) + (((-0.5d0) + (0.5d0 / eps)) * ((-1.0d0) + (x * ((eps + 1.0d0) + ((0.5d0 * x) * ((t_0 * t_0) / ((eps + (-1.0d0)) * (1.0d0 - eps))))))))
    else
        tmp = 1.0d0 + (x * (eps * (eps * (0.5d0 * x))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = 1.0 - (eps * eps);
	double tmp;
	if (eps <= 1.0) {
		tmp = (x + 1.0) * Math.exp((0.0 - x));
	} else if (eps <= 3.4e+18) {
		tmp = 0.5 * (Math.exp((x * (eps + -1.0))) + 1.0);
	} else if (eps <= 5.2e+94) {
		tmp = 0.5 + (0.5 * Math.exp((x * (-1.0 - eps))));
	} else if (eps <= 1.1e+128) {
		tmp = (0.5 + (0.5 / eps)) + ((-0.5 + (0.5 / eps)) * (-1.0 + (x * ((eps + 1.0) + ((0.5 * x) * ((t_0 * t_0) / ((eps + -1.0) * (1.0 - eps))))))));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = 1.0 - (eps * eps)
	tmp = 0
	if eps <= 1.0:
		tmp = (x + 1.0) * math.exp((0.0 - x))
	elif eps <= 3.4e+18:
		tmp = 0.5 * (math.exp((x * (eps + -1.0))) + 1.0)
	elif eps <= 5.2e+94:
		tmp = 0.5 + (0.5 * math.exp((x * (-1.0 - eps))))
	elif eps <= 1.1e+128:
		tmp = (0.5 + (0.5 / eps)) + ((-0.5 + (0.5 / eps)) * (-1.0 + (x * ((eps + 1.0) + ((0.5 * x) * ((t_0 * t_0) / ((eps + -1.0) * (1.0 - eps))))))))
	else:
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))))
	return tmp

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64(1.0 - Float64(eps * eps))
	tmp = 0.0
	if (eps <= 1.0)
		tmp = Float64(Float64(x + 1.0) * exp(Float64(0.0 - x)));
	elseif (eps <= 3.4e+18)
		tmp = Float64(0.5 * Float64(exp(Float64(x * Float64(eps + -1.0))) + 1.0));
	elseif (eps <= 5.2e+94)
		tmp = Float64(0.5 + Float64(0.5 * exp(Float64(x * Float64(-1.0 - eps)))));
	elseif (eps <= 1.1e+128)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 / eps)) + Float64(Float64(-0.5 + Float64(0.5 / eps)) * Float64(-1.0 + Float64(x * Float64(Float64(eps + 1.0) + Float64(Float64(0.5 * x) * Float64(Float64(t_0 * t_0) / Float64(Float64(eps + -1.0) * Float64(1.0 - eps)))))))));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(eps * Float64(eps * Float64(0.5 * x)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, eps)
	t_0 = 1.0 - (eps * eps);
	tmp = 0.0;
	if (eps <= 1.0)
		tmp = (x + 1.0) * exp((0.0 - x));
	elseif (eps <= 3.4e+18)
		tmp = 0.5 * (exp((x * (eps + -1.0))) + 1.0);
	elseif (eps <= 5.2e+94)
		tmp = 0.5 + (0.5 * exp((x * (-1.0 - eps))));
	elseif (eps <= 1.1e+128)
		tmp = (0.5 + (0.5 / eps)) + ((-0.5 + (0.5 / eps)) * (-1.0 + (x * ((eps + 1.0) + ((0.5 * x) * ((t_0 * t_0) / ((eps + -1.0) * (1.0 - eps))))))));
	else
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 - N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[eps, 1.0], N[(N[(x + 1.0), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(0.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[eps, 3.4e+18], N[(0.5 * N[(N[Exp[N[(x * N[(eps + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[eps, 5.2e+94], N[(0.5 + N[(0.5 * N[Exp[N[(x * N[(-1.0 - eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[eps, 1.1e+128], N[(N[(0.5 + N[(0.5 / eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.5 + N[(0.5 / eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(x * N[(N[(eps + 1.0), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * x), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[(eps + -1.0), $MachinePrecision] * N[(1.0 - eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(x * N[(eps * N[(eps * N[(0.5 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if eps < 1

   1. Initial program 67.9%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 67.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in eps around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x} + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right) - \left(\frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x} + \frac{-1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) - \left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x}} + \frac{-1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right) \]

      2. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) - \frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} - \frac{-1}{2}\right)} \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) \cdot 1 \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto e^{-1 \cdot x} + \color{blue}{x \cdot e^{-1 \cdot x}} \]

      6. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \left(x + 1\right) \cdot \color{blue}{e^{-1 \cdot x}} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(x + 1\right), \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot x}\right)}\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \left(e^{\color{blue}{-1 \cdot x}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot x\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - x\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 67.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 67.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}} \]

   if 1 < eps < 3.4e18

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} - \frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \frac{1}{2} \cdot e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

      3. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)}\right), \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1} \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot 1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} + e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)}\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto 0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} + \color{blue}{1}\right) \]

   if 3.4e18 < eps < 5.1999999999999998e94

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 71.5%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 71.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right)} - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} - \frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)} \]

      2. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)} \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{\mathsf{neg}\left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right) \]

      4. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\varepsilon + 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      6. distribute-neg-in N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\varepsilon\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{x \cdot \left(-1 \cdot \varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(e^{x \cdot \left(-1 \cdot \varepsilon - 1\right)}\right)\right) \]

      9. distribute-rgt-neg-in N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(-1 \cdot \varepsilon - 1\right)}\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(-1 \cdot \varepsilon - 1\right)}\right)\right)}\right) \]

      11. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{e^{x \cdot \left(-1 \cdot \varepsilon - 1\right)}}\right)\right) \]

      12. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot e^{x \cdot \left(-1 \cdot \varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      13. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot e^{x \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\varepsilon\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      14. distribute-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot e^{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\varepsilon + 1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot e^{x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      16. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot e^{\mathsf{neg}\left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right) \]

      17. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right) \]

   10. Simplified 71.5%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 + 0.5 \cdot e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)}} \]

   if 5.1999999999999998e94 < eps < 1.10000000000000008e128

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 51.6%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 51.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right)} - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)}, \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\varepsilon}\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 \cdot 1 + -1 \cdot \varepsilon\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 + -1 \cdot \varepsilon\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 - \varepsilon\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right), \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \varepsilon\right), \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 40.9%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 40.9%

       \[\leadsto \left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) - \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) + \left(0.5 \cdot x\right) \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left(\frac{1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon}{1 - \varepsilon} \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       2. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left(\frac{1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon}{1 - \varepsilon} \cdot \frac{1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon}{1 - \varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       3. frac-times N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left(\frac{\left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)}{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right), \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       6. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right), \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       7. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       9. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       10. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 - \varepsilon\right), \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       13. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \varepsilon\right), \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       14. --lowering--.f64 87.9%

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 87.9%

       \[\leadsto \left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) - \left(1 + x \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) + \left(0.5 \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)}{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}}\right)\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   if 1.10000000000000008e128 < eps

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 89.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right) + \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{{\varepsilon}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 89.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 89.0%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right), \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 91.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 91.2%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)} \]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 72.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\varepsilon \leq 1:\\ \;\;\;\;\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 3.4 \cdot 10^{+18}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} + 1\right)\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 5.2 \cdot 10^{+94}:\\ \;\;\;\;0.5 + 0.5 \cdot e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)}\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 1.1 \cdot 10^{+128}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) + \left(-0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + 1\right) + \left(0.5 \cdot x\right) \cdot \frac{\left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)}{\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 \cdot x\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 73.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right)\\ t_1 := \left(-0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + 1\right)\\ \mathbf{if}\;\varepsilon \leq 1:\\ \;\;\;\;\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 1.06 \cdot 10^{+128}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\left(t\_0 + t\_1\right) + \left(0.5 \cdot x\right) \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) \cdot t\_1 - \frac{t\_0 \cdot \left(-1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)}{\left(-1 - \varepsilon\right) - \varepsilon \cdot \varepsilon}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 \cdot x\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (+ eps -1.0) (+ 0.5 (/ 0.5 eps))))
        (t_1 (* (+ -0.5 (/ 0.5 eps)) (+ eps 1.0))))
   (if (<= eps 1.0)
     (* (+ x 1.0) (exp (- 0.0 x)))
     (if (<= eps 1.06e+128)
       (+
        1.0
        (*
         x
         (+
          (+ t_0 t_1)
          (*
           (* 0.5 x)
           (-
            (* (- -1.0 eps) t_1)
            (/
             (* t_0 (+ -1.0 (* eps (* eps eps))))
             (- (- -1.0 eps) (* eps eps))))))))
       (+ 1.0 (* x (* eps (* eps (* 0.5 x)))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = (eps + -1.0) * (0.5 + (0.5 / eps));
	double t_1 = (-0.5 + (0.5 / eps)) * (eps + 1.0);
	double tmp;
	if (eps <= 1.0) {
		tmp = (x + 1.0) * exp((0.0 - x));
	} else if (eps <= 1.06e+128) {
		tmp = 1.0 + (x * ((t_0 + t_1) + ((0.5 * x) * (((-1.0 - eps) * t_1) - ((t_0 * (-1.0 + (eps * (eps * eps)))) / ((-1.0 - eps) - (eps * eps)))))));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = (eps + (-1.0d0)) * (0.5d0 + (0.5d0 / eps))
    t_1 = ((-0.5d0) + (0.5d0 / eps)) * (eps + 1.0d0)
    if (eps <= 1.0d0) then
        tmp = (x + 1.0d0) * exp((0.0d0 - x))
    else if (eps <= 1.06d+128) then
        tmp = 1.0d0 + (x * ((t_0 + t_1) + ((0.5d0 * x) * ((((-1.0d0) - eps) * t_1) - ((t_0 * ((-1.0d0) + (eps * (eps * eps)))) / (((-1.0d0) - eps) - (eps * eps)))))))
    else
        tmp = 1.0d0 + (x * (eps * (eps * (0.5d0 * x))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = (eps + -1.0) * (0.5 + (0.5 / eps));
	double t_1 = (-0.5 + (0.5 / eps)) * (eps + 1.0);
	double tmp;
	if (eps <= 1.0) {
		tmp = (x + 1.0) * Math.exp((0.0 - x));
	} else if (eps <= 1.06e+128) {
		tmp = 1.0 + (x * ((t_0 + t_1) + ((0.5 * x) * (((-1.0 - eps) * t_1) - ((t_0 * (-1.0 + (eps * (eps * eps)))) / ((-1.0 - eps) - (eps * eps)))))));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = (eps + -1.0) * (0.5 + (0.5 / eps))
	t_1 = (-0.5 + (0.5 / eps)) * (eps + 1.0)
	tmp = 0
	if eps <= 1.0:
		tmp = (x + 1.0) * math.exp((0.0 - x))
	elif eps <= 1.06e+128:
		tmp = 1.0 + (x * ((t_0 + t_1) + ((0.5 * x) * (((-1.0 - eps) * t_1) - ((t_0 * (-1.0 + (eps * (eps * eps)))) / ((-1.0 - eps) - (eps * eps)))))))
	else:
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))))
	return tmp

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64(Float64(eps + -1.0) * Float64(0.5 + Float64(0.5 / eps)))
	t_1 = Float64(Float64(-0.5 + Float64(0.5 / eps)) * Float64(eps + 1.0))
	tmp = 0.0
	if (eps <= 1.0)
		tmp = Float64(Float64(x + 1.0) * exp(Float64(0.0 - x)));
	elseif (eps <= 1.06e+128)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(Float64(t_0 + t_1) + Float64(Float64(0.5 * x) * Float64(Float64(Float64(-1.0 - eps) * t_1) - Float64(Float64(t_0 * Float64(-1.0 + Float64(eps * Float64(eps * eps)))) / Float64(Float64(-1.0 - eps) - Float64(eps * eps))))))));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(eps * Float64(eps * Float64(0.5 * x)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, eps)
	t_0 = (eps + -1.0) * (0.5 + (0.5 / eps));
	t_1 = (-0.5 + (0.5 / eps)) * (eps + 1.0);
	tmp = 0.0;
	if (eps <= 1.0)
		tmp = (x + 1.0) * exp((0.0 - x));
	elseif (eps <= 1.06e+128)
		tmp = 1.0 + (x * ((t_0 + t_1) + ((0.5 * x) * (((-1.0 - eps) * t_1) - ((t_0 * (-1.0 + (eps * (eps * eps)))) / ((-1.0 - eps) - (eps * eps)))))));
	else
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(eps + -1.0), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(0.5 / eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(-0.5 + N[(0.5 / eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(eps + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[eps, 1.0], N[(N[(x + 1.0), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(0.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[eps, 1.06e+128], N[(1.0 + N[(x * N[(N[(t$95$0 + t$95$1), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-1.0 - eps), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision] - N[(N[(t$95$0 * N[(-1.0 + N[(eps * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(-1.0 - eps), $MachinePrecision] - N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(x * N[(eps * N[(eps * N[(0.5 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if eps < 1

   1. Initial program 67.9%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 67.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in eps around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x} + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right) - \left(\frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x} + \frac{-1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) - \left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot x}} + \frac{-1}{2} \cdot \left(x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)\right) \]

      2. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) - \frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right)} \]

      3. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} - \frac{-1}{2}\right)} \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(e^{-1 \cdot x} + x \cdot e^{-1 \cdot x}\right) \cdot 1 \]

      5. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto e^{-1 \cdot x} + \color{blue}{x \cdot e^{-1 \cdot x}} \]

      6. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \left(x + 1\right) \cdot \color{blue}{e^{-1 \cdot x}} \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(x + 1\right), \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot x}\right)}\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \left(e^{\color{blue}{-1 \cdot x}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot x\right)\right)\right) \]

      10. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

      11. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - x\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 67.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 67.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}} \]

   if 1 < eps < 1.06000000000000008e128

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 66.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right) + \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip3-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) \cdot \frac{{\varepsilon}^{3} + {-1}^{3}}{\varepsilon \cdot \varepsilon + \left(-1 \cdot -1 - \varepsilon \cdot -1\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\varepsilon}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) \cdot \left({\varepsilon}^{3} + {-1}^{3}\right)}{\varepsilon \cdot \varepsilon + \left(-1 \cdot -1 - \varepsilon \cdot -1\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) \cdot \left({\varepsilon}^{3} + {-1}^{3}\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \varepsilon + \left(-1 \cdot -1 - \varepsilon \cdot -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right), \left({\varepsilon}^{3} + {-1}^{3}\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \varepsilon + \left(-1 \cdot -1 - \varepsilon \cdot -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\varepsilon}\right)\right), \left({\varepsilon}^{3} + {-1}^{3}\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \varepsilon + \left(-1 \cdot -1 - \varepsilon \cdot -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon + -1\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\varepsilon}\right)\right), \left({\varepsilon}^{3} + {-1}^{3}\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \varepsilon + \left(-1 \cdot -1 - \varepsilon \cdot -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{\varepsilon}\right)\right), \left({\varepsilon}^{3} + {-1}^{3}\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \varepsilon + \left(-1 \cdot -1 - \varepsilon \cdot -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\varepsilon}\right)\right)\right), \left({\varepsilon}^{3} + {-1}^{3}\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \varepsilon + \left(-1 \cdot -1 - \varepsilon \cdot -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \left({\varepsilon}^{3} + {-1}^{3}\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \varepsilon + \left(-1 \cdot -1 - \varepsilon \cdot -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \left({\varepsilon}^{3} + -1\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \varepsilon + \left(-1 \cdot -1 - \varepsilon \cdot -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \left(-1 + {\varepsilon}^{3}\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \varepsilon + \left(-1 \cdot -1 - \varepsilon \cdot -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left({\varepsilon}^{3}\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \varepsilon + \left(-1 \cdot -1 - \varepsilon \cdot -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \varepsilon + \left(-1 \cdot -1 - \varepsilon \cdot -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \varepsilon + \left(-1 \cdot -1 - \varepsilon \cdot -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \left(\varepsilon \cdot \varepsilon + \left(-1 \cdot -1 - \varepsilon \cdot -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), \left(-1 \cdot -1 - \varepsilon \cdot -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\varepsilon}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), \left(-1 \cdot -1 - \varepsilon \cdot -1\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 72.5%

      \[\leadsto 1 + x \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right) + \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{\left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right)\right) \cdot \left(-1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)}{\varepsilon \cdot \varepsilon + \left(1 - \left(0 - \varepsilon\right)\right)}} + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right) \]

   if 1.06000000000000008e128 < eps

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 89.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right) + \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{{\varepsilon}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 89.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 89.0%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right), \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 91.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 91.2%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 72.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\varepsilon \leq 1:\\ \;\;\;\;\left(x + 1\right) \cdot e^{0 - x}\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 1.06 \cdot 10^{+128}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) + \left(-0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + 1\right)\right) + \left(0.5 \cdot x\right) \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + 1\right)\right) - \frac{\left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right)\right) \cdot \left(-1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)}{\left(-1 - \varepsilon\right) - \varepsilon \cdot \varepsilon}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 \cdot x\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 78.4% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\\ \mathbf{if}\;\varepsilon \leq 2.35 \cdot 10^{+86}:\\ \;\;\;\;e^{0 - x}\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 1.15 \cdot 10^{+128}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) + \left(-0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + 1\right) + \left(0.5 \cdot x\right) \cdot \frac{t\_0 \cdot t\_0}{\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 \cdot x\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- 1.0 (* eps eps))))
   (if (<= eps 2.35e+86)
     (exp (- 0.0 x))
     (if (<= eps 1.15e+128)
       (+
        (+ 0.5 (/ 0.5 eps))
        (*
         (+ -0.5 (/ 0.5 eps))
         (+
          -1.0
          (*
           x
           (+
            (+ eps 1.0)
            (* (* 0.5 x) (/ (* t_0 t_0) (* (+ eps -1.0) (- 1.0 eps)))))))))
       (+ 1.0 (* x (* eps (* eps (* 0.5 x)))))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = 1.0 - (eps * eps);
	double tmp;
	if (eps <= 2.35e+86) {
		tmp = exp((0.0 - x));
	} else if (eps <= 1.15e+128) {
		tmp = (0.5 + (0.5 / eps)) + ((-0.5 + (0.5 / eps)) * (-1.0 + (x * ((eps + 1.0) + ((0.5 * x) * ((t_0 * t_0) / ((eps + -1.0) * (1.0 - eps))))))));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 1.0d0 - (eps * eps)
    if (eps <= 2.35d+86) then
        tmp = exp((0.0d0 - x))
    else if (eps <= 1.15d+128) then
        tmp = (0.5d0 + (0.5d0 / eps)) + (((-0.5d0) + (0.5d0 / eps)) * ((-1.0d0) + (x * ((eps + 1.0d0) + ((0.5d0 * x) * ((t_0 * t_0) / ((eps + (-1.0d0)) * (1.0d0 - eps))))))))
    else
        tmp = 1.0d0 + (x * (eps * (eps * (0.5d0 * x))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = 1.0 - (eps * eps);
	double tmp;
	if (eps <= 2.35e+86) {
		tmp = Math.exp((0.0 - x));
	} else if (eps <= 1.15e+128) {
		tmp = (0.5 + (0.5 / eps)) + ((-0.5 + (0.5 / eps)) * (-1.0 + (x * ((eps + 1.0) + ((0.5 * x) * ((t_0 * t_0) / ((eps + -1.0) * (1.0 - eps))))))));
	} else {
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = 1.0 - (eps * eps)
	tmp = 0
	if eps <= 2.35e+86:
		tmp = math.exp((0.0 - x))
	elif eps <= 1.15e+128:
		tmp = (0.5 + (0.5 / eps)) + ((-0.5 + (0.5 / eps)) * (-1.0 + (x * ((eps + 1.0) + ((0.5 * x) * ((t_0 * t_0) / ((eps + -1.0) * (1.0 - eps))))))))
	else:
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))))
	return tmp

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64(1.0 - Float64(eps * eps))
	tmp = 0.0
	if (eps <= 2.35e+86)
		tmp = exp(Float64(0.0 - x));
	elseif (eps <= 1.15e+128)
		tmp = Float64(Float64(0.5 + Float64(0.5 / eps)) + Float64(Float64(-0.5 + Float64(0.5 / eps)) * Float64(-1.0 + Float64(x * Float64(Float64(eps + 1.0) + Float64(Float64(0.5 * x) * Float64(Float64(t_0 * t_0) / Float64(Float64(eps + -1.0) * Float64(1.0 - eps)))))))));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(eps * Float64(eps * Float64(0.5 * x)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, eps)
	t_0 = 1.0 - (eps * eps);
	tmp = 0.0;
	if (eps <= 2.35e+86)
		tmp = exp((0.0 - x));
	elseif (eps <= 1.15e+128)
		tmp = (0.5 + (0.5 / eps)) + ((-0.5 + (0.5 / eps)) * (-1.0 + (x * ((eps + 1.0) + ((0.5 * x) * ((t_0 * t_0) / ((eps + -1.0) * (1.0 - eps))))))));
	else
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 - N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[eps, 2.35e+86], N[Exp[N[(0.0 - x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[eps, 1.15e+128], N[(N[(0.5 + N[(0.5 / eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.5 + N[(0.5 / eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(x * N[(N[(eps + 1.0), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * x), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[(eps + -1.0), $MachinePrecision] * N[(1.0 - eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(x * N[(eps * N[(eps * N[(0.5 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if eps < 2.3500000000000001e86

   1. Initial program 70.6%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 70.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} - \frac{-1}{2} \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cancel-sign-sub-inv N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + \frac{1}{2} \cdot e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}} \]

      3. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)} + e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)}\right), \color{blue}{\left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon - 1\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{-1} \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \left(e^{-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      11. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot 1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + -1 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. --lowering--.f64 98.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, -1\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} + e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)}\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around 0

      \[\leadsto \color{blue}{e^{-1 \cdot x}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(-1 \cdot x\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right) \]

      3. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - x\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 73.5%

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x\right)\right) \]

   10. Simplified 73.5%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - x}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sub0-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x\right)\right)\right) \]

       2. neg-lowering-neg.f64 73.5%

          \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 73.5%

       \[\leadsto e^{\color{blue}{-x}} \]

   if 2.3500000000000001e86 < eps < 1.14999999999999999e128

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 53.5%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 53.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right)} - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)}, \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\varepsilon}\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 \cdot 1 + -1 \cdot \varepsilon\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 + -1 \cdot \varepsilon\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 + \left(\mathsf{neg}\left(\varepsilon\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\left(-1 - \varepsilon\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot {\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right), \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \varepsilon\right), \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 54.5%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 54.5%

       \[\leadsto \left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) - \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) + \left(0.5 \cdot x\right) \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left(\frac{1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon}{1 - \varepsilon} \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       2. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left(\frac{1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon}{1 - \varepsilon} \cdot \frac{1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon}{1 - \varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       3. frac-times N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \left(\frac{\left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)}{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right), \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       6. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right), \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       7. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(1 \cdot 1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       9. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       10. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \left(\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(1 - \varepsilon\right), \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       13. --lowering--.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \varepsilon\right), \left(1 - \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

       14. --lowering--.f64 73.6%

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \varepsilon\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 73.6%

       \[\leadsto \left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) - \left(1 + x \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) + \left(0.5 \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)}{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}}\right)\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   if 1.14999999999999999e128 < eps

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 89.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right) + \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{{\varepsilon}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 89.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 89.0%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right), \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 91.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 91.2%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 76.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\varepsilon \leq 2.35 \cdot 10^{+86}:\\ \;\;\;\;e^{0 - x}\\ \mathbf{elif}\;\varepsilon \leq 1.15 \cdot 10^{+128}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) + \left(-0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(-1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + 1\right) + \left(0.5 \cdot x\right) \cdot \frac{\left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(1 - \varepsilon \cdot \varepsilon\right)}{\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 \cdot x\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 81.3% accurate, 9.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 8.5 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 \cdot x\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5.6 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot 0.08333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (if (<= x 8.5e-10)
   (+ 1.0 (* x (* eps (* eps (* 0.5 x)))))
   (if (<= x 5.6e+102)
     (* (* (* eps (* eps eps)) 0.08333333333333333) (* x (* x x)))
     (* 0.5 (* x (* x (* eps eps)))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double tmp;
	if (x <= 8.5e-10) {
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))));
	} else if (x <= 5.6e+102) {
		tmp = ((eps * (eps * eps)) * 0.08333333333333333) * (x * (x * x));
	} else {
		tmp = 0.5 * (x * (x * (eps * eps)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: tmp
    if (x <= 8.5d-10) then
        tmp = 1.0d0 + (x * (eps * (eps * (0.5d0 * x))))
    else if (x <= 5.6d+102) then
        tmp = ((eps * (eps * eps)) * 0.08333333333333333d0) * (x * (x * x))
    else
        tmp = 0.5d0 * (x * (x * (eps * eps)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double tmp;
	if (x <= 8.5e-10) {
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))));
	} else if (x <= 5.6e+102) {
		tmp = ((eps * (eps * eps)) * 0.08333333333333333) * (x * (x * x));
	} else {
		tmp = 0.5 * (x * (x * (eps * eps)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, eps):
	tmp = 0
	if x <= 8.5e-10:
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))))
	elif x <= 5.6e+102:
		tmp = ((eps * (eps * eps)) * 0.08333333333333333) * (x * (x * x))
	else:
		tmp = 0.5 * (x * (x * (eps * eps)))
	return tmp

Julia

function code(x, eps)
	tmp = 0.0
	if (x <= 8.5e-10)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(eps * Float64(eps * Float64(0.5 * x)))));
	elseif (x <= 5.6e+102)
		tmp = Float64(Float64(Float64(eps * Float64(eps * eps)) * 0.08333333333333333) * Float64(x * Float64(x * x)));
	else
		tmp = Float64(0.5 * Float64(x * Float64(x * Float64(eps * eps))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, eps)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 8.5e-10)
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))));
	elseif (x <= 5.6e+102)
		tmp = ((eps * (eps * eps)) * 0.08333333333333333) * (x * (x * x));
	else
		tmp = 0.5 * (x * (x * (eps * eps)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := If[LessEqual[x, 8.5e-10], N[(1.0 + N[(x * N[(eps * N[(eps * N[(0.5 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 5.6e+102], N[(N[(N[(eps * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * 0.08333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 * N[(x * N[(x * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < 8.4999999999999996e-10

   1. Initial program 66.8%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 66.8%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 84.9%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right) + \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{{\varepsilon}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 84.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 84.9%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right), \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 84.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 84.9%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)} \]

   if 8.4999999999999996e-10 < x < 5.60000000000000037e102

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\left(\varepsilon + x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\varepsilon + x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\varepsilon + x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right) - 1\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon + \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) - 1\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) - 1\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) + -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{3}\right) + \frac{1}{2} \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right)\right), -1\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 17.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(\varepsilon + \left(x \cdot \left(\left(\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + 0.5 \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right)\right) + -1\right)\right)\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{12} \cdot \left({\varepsilon}^{3} \cdot {x}^{3}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{12} \cdot {\varepsilon}^{3}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{3}} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{12} \cdot {\varepsilon}^{3}\right), \color{blue}{\left({x}^{3}\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({\varepsilon}^{3}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{3}\right)\right) \]

      4. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right), \left({x}^{3}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{12}, \left(\varepsilon \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right), \left({x}^{3}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{3}\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right), \left({x}^{3}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \left({x}^{3}\right)\right) \]

      9. cube-mult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \left(x \cdot {x}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 50.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 50.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.08333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

   if 5.60000000000000037e102 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 51.8%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right) + \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{{\varepsilon}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 51.5%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 51.5%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right), \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 51.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 51.5%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)} \]

   13. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), x\right), x\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), x\right), x\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 73.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), x\right), x\right)\right) \]

   15. Simplified 73.0%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot x\right) \cdot x\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 79.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 8.5 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 \cdot x\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5.6 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot 0.08333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 74.5% accurate, 11.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -2.4 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.25 \cdot 10^{-22}:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (* x (* x (* eps eps))))))
   (if (<= x -2.4e-34) t_0 (if (<= x 1.25e-22) 1.0 t_0))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = 0.5 * (x * (x * (eps * eps)));
	double tmp;
	if (x <= -2.4e-34) {
		tmp = t_0;
	} else if (x <= 1.25e-22) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 * (x * (x * (eps * eps)))
    if (x <= (-2.4d-34)) then
        tmp = t_0
    else if (x <= 1.25d-22) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = 0.5 * (x * (x * (eps * eps)));
	double tmp;
	if (x <= -2.4e-34) {
		tmp = t_0;
	} else if (x <= 1.25e-22) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = 0.5 * (x * (x * (eps * eps)))
	tmp = 0
	if x <= -2.4e-34:
		tmp = t_0
	elif x <= 1.25e-22:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64(0.5 * Float64(x * Float64(x * Float64(eps * eps))))
	tmp = 0.0
	if (x <= -2.4e-34)
		tmp = t_0;
	elseif (x <= 1.25e-22)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, eps)
	t_0 = 0.5 * (x * (x * (eps * eps)));
	tmp = 0.0;
	if (x <= -2.4e-34)
		tmp = t_0;
	elseif (x <= 1.25e-22)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[(x * N[(x * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -2.4e-34], t$95$0, If[LessEqual[x, 1.25e-22], 1.0, t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -2.39999999999999991e-34 or 1.24999999999999988e-22 < x

   1. Initial program 97.6%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 57.8%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right) + \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{{\varepsilon}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 57.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 57.7%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right), \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 57.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 57.7%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)} \]

   13. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), x\right), x\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), x\right), x\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 69.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), x\right), x\right)\right) \]

   15. Simplified 69.6%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot x\right) \cdot x\right)} \]

   if -2.39999999999999991e-34 < x < 1.24999999999999988e-22

   1. Initial program 57.8%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 57.8%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 75.1%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 72.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.4 \cdot 10^{-34}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.25 \cdot 10^{-22}:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 81.9% accurate, 14.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 4.8 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 \cdot x\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (if (<= x 4.8e-8)
   (+ 1.0 (* x (* eps (* eps (* 0.5 x)))))
   (* 0.5 (* x (* x (* eps eps))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double tmp;
	if (x <= 4.8e-8) {
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))));
	} else {
		tmp = 0.5 * (x * (x * (eps * eps)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: tmp
    if (x <= 4.8d-8) then
        tmp = 1.0d0 + (x * (eps * (eps * (0.5d0 * x))))
    else
        tmp = 0.5d0 * (x * (x * (eps * eps)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double tmp;
	if (x <= 4.8e-8) {
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))));
	} else {
		tmp = 0.5 * (x * (x * (eps * eps)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, eps):
	tmp = 0
	if x <= 4.8e-8:
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))))
	else:
		tmp = 0.5 * (x * (x * (eps * eps)))
	return tmp

Julia

function code(x, eps)
	tmp = 0.0
	if (x <= 4.8e-8)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(eps * Float64(eps * Float64(0.5 * x)))));
	else
		tmp = Float64(0.5 * Float64(x * Float64(x * Float64(eps * eps))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, eps)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 4.8e-8)
		tmp = 1.0 + (x * (eps * (eps * (0.5 * x))));
	else
		tmp = 0.5 * (x * (x * (eps * eps)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := If[LessEqual[x, 4.8e-8], N[(1.0 + N[(x * N[(eps * N[(eps * N[(0.5 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 * N[(x * N[(x * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 4.79999999999999997e-8

   1. Initial program 67.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 67.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 84.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right) + \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{{\varepsilon}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 84.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 84.4%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right), \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 84.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 84.4%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)} \]

   if 4.79999999999999997e-8 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 46.2%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right) + \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{{\varepsilon}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 46.1%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 46.1%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right), \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 46.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 46.0%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)} \]

   13. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), x\right), x\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), x\right), x\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 67.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), x\right), x\right)\right) \]

   15. Simplified 67.5%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot x\right) \cdot x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 79.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 4.8 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 \cdot x\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 82.3% accurate, 14.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 0.0012:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(0.5 \cdot t\_0\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(x \cdot t\_0\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* eps eps))))
   (if (<= x 0.0012) (+ 1.0 (* x (* 0.5 t_0))) (* 0.5 (* x t_0)))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = x * (eps * eps);
	double tmp;
	if (x <= 0.0012) {
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 * t_0));
	} else {
		tmp = 0.5 * (x * t_0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = x * (eps * eps)
    if (x <= 0.0012d0) then
        tmp = 1.0d0 + (x * (0.5d0 * t_0))
    else
        tmp = 0.5d0 * (x * t_0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = x * (eps * eps);
	double tmp;
	if (x <= 0.0012) {
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 * t_0));
	} else {
		tmp = 0.5 * (x * t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = x * (eps * eps)
	tmp = 0
	if x <= 0.0012:
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 * t_0))
	else:
		tmp = 0.5 * (x * t_0)
	return tmp

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64(x * Float64(eps * eps))
	tmp = 0.0
	if (x <= 0.0012)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(0.5 * t_0)));
	else
		tmp = Float64(0.5 * Float64(x * t_0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, eps)
	t_0 = x * (eps * eps);
	tmp = 0.0;
	if (x <= 0.0012)
		tmp = 1.0 + (x * (0.5 * t_0));
	else
		tmp = 0.5 * (x * t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 0.0012], N[(1.0 + N[(x * N[(0.5 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 * N[(x * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 0.00119999999999999989

   1. Initial program 67.1%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 67.1%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 84.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right) + \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{{\varepsilon}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 84.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 84.0%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)} \]

   if 0.00119999999999999989 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 46.8%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right) + \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{{\varepsilon}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 46.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 46.6%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right), \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 46.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 46.6%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)} \]

   13. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), x\right), x\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), x\right), x\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 68.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), x\right), x\right)\right) \]

   15. Simplified 68.4%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot x\right) \cdot x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 79.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 0.0012:\\ \;\;\;\;1 + x \cdot \left(0.5 \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 78.7% accurate, 14.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 4.8 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (if (<= x 4.8e-8)
   (+ 1.0 (* eps (* eps (* 0.5 (* x x)))))
   (* 0.5 (* x (* x (* eps eps))))))

C

double code(double x, double eps) {
	double tmp;
	if (x <= 4.8e-8) {
		tmp = 1.0 + (eps * (eps * (0.5 * (x * x))));
	} else {
		tmp = 0.5 * (x * (x * (eps * eps)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: tmp
    if (x <= 4.8d-8) then
        tmp = 1.0d0 + (eps * (eps * (0.5d0 * (x * x))))
    else
        tmp = 0.5d0 * (x * (x * (eps * eps)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double tmp;
	if (x <= 4.8e-8) {
		tmp = 1.0 + (eps * (eps * (0.5 * (x * x))));
	} else {
		tmp = 0.5 * (x * (x * (eps * eps)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, eps):
	tmp = 0
	if x <= 4.8e-8:
		tmp = 1.0 + (eps * (eps * (0.5 * (x * x))))
	else:
		tmp = 0.5 * (x * (x * (eps * eps)))
	return tmp

Julia

function code(x, eps)
	tmp = 0.0
	if (x <= 4.8e-8)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(eps * Float64(eps * Float64(0.5 * Float64(x * x)))));
	else
		tmp = Float64(0.5 * Float64(x * Float64(x * Float64(eps * eps))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, eps)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 4.8e-8)
		tmp = 1.0 + (eps * (eps * (0.5 * (x * x))));
	else
		tmp = 0.5 * (x * (x * (eps * eps)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := If[LessEqual[x, 4.8e-8], N[(1.0 + N[(eps * N[(eps * N[(0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 * N[(x * N[(x * N[(eps * eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 4.79999999999999997e-8

   1. Initial program 67.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 67.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 84.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right) + \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{{\varepsilon}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 84.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 84.4%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto 1 + \left(\frac{1}{2} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{2}} \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto 1 + \left({\varepsilon}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot {\color{blue}{x}}^{2} \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto 1 + {\varepsilon}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right) \]

       6. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 78.2%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 78.2%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)} \]

   if 4.79999999999999997e-8 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot {\left(\varepsilon - 1\right)}^{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left({\left(1 + \varepsilon\right)}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon - 1\right)\right) - -1 \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \]

   7. Simplified 46.2%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right) + \left(x \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\left(\varepsilon + -1\right) \cdot \left(\varepsilon + -1\right)\right) + \left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\left(-1 - \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in eps around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{{\varepsilon}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\varepsilon \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 46.1%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 46.1%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot x\right) \cdot \varepsilon\right), \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 46.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right), \varepsilon\right), \varepsilon\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 46.0%

       \[\leadsto 1 + x \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot 0.5\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)} \]

   13. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({\varepsilon}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({\varepsilon}^{2} \cdot \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2} \cdot x\right), \color{blue}{x}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\varepsilon}^{2}\right), x\right), x\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right), x\right), x\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 67.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right), x\right), x\right)\right) \]

   15. Simplified 67.5%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot x\right) \cdot x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 75.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 4.8 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 47.0% accurate, 22.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.52 \cdot 10^{-21}:\\ \;\;\;\;\varepsilon \cdot \left(x \cdot -0.5\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (if (<= x -1.52e-21) (* eps (* x -0.5)) 1.0))

C

double code(double x, double eps) {
	double tmp;
	if (x <= -1.52e-21) {
		tmp = eps * (x * -0.5);
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-1.52d-21)) then
        tmp = eps * (x * (-0.5d0))
    else
        tmp = 1.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double tmp;
	if (x <= -1.52e-21) {
		tmp = eps * (x * -0.5);
	} else {
		tmp = 1.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, eps):
	tmp = 0
	if x <= -1.52e-21:
		tmp = eps * (x * -0.5)
	else:
		tmp = 1.0
	return tmp

Julia

function code(x, eps)
	tmp = 0.0
	if (x <= -1.52e-21)
		tmp = Float64(eps * Float64(x * -0.5));
	else
		tmp = 1.0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, eps)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -1.52e-21)
		tmp = eps * (x * -0.5);
	else
		tmp = 1.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := If[LessEqual[x, -1.52e-21], N[(eps * N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1.0]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.52000000000000009e-21

   1. Initial program 94.9%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 94.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 55.2%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 55.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right)} - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)}\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\varepsilon}} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} + \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right) \]

      9. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{\varepsilon}\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{\varepsilon}\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 27.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 27.4%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]

   11. Taylor expanded in eps around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\varepsilon \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \frac{-1}{2}\right)} \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \color{blue}{x}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot x\right)}\right) \]

       5. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 27.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right) \]

   13. Simplified 27.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(x \cdot -0.5\right)} \]

   if -1.52000000000000009e-21 < x

   1. Initial program 73.7%

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

   3. Simplified 73.7%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 48.1%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 13: 51.0% accurate, 32.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \varepsilon \cdot \left(x \cdot -0.5\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (+ 1.0 (* eps (* x -0.5))))

C

double code(double x, double eps) {
	return 1.0 + (eps * (x * -0.5));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = 1.0d0 + (eps * (x * (-0.5d0)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return 1.0 + (eps * (x * -0.5));
}

Python

def code(x, eps):
	return 1.0 + (eps * (x * -0.5))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(1.0 + Float64(eps * Float64(x * -0.5)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = 1.0 + (eps * (x * -0.5));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(1.0 + N[(eps * N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 76.9%

   \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

3. Simplified 76.9%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{1}{2}}{\varepsilon}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 40.5%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{\_.f64}\left(-1, \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 40.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + \frac{0.5}{\varepsilon}\right)} - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right) \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + x \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\left(1 + \varepsilon\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} - \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \varepsilon\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\varepsilon}} - \frac{1}{2}\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon} + \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\varepsilon}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{\varepsilon}\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{\varepsilon}\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 36.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \varepsilon\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \varepsilon\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right) \]

10. Simplified 36.5%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]

11. Taylor expanded in eps around inf

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot x + \frac{1}{\varepsilon}\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{1}{\varepsilon} + \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot x}\right) \]

    2. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \frac{1}{\varepsilon} + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot x\right)} \]

    3. rgt-mult-inverse N/A

       \[\leadsto 1 + \color{blue}{\varepsilon} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot x\right) \]

    4. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot x\right)\right)}\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot x\right)}\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 49.3%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right) \]

13. Simplified 49.3%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + \varepsilon \cdot \left(x \cdot -0.5\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 14: 44.2% accurate, 227.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x, double eps) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x, eps):
	return 1.0

Julia

function code(x, eps)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 76.9%

   \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2} \]

3. Simplified 76.9%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{x \cdot \left(\varepsilon + -1\right)} \cdot \left(0.5 - \frac{-0.5}{\varepsilon}\right) - e^{x \cdot \left(-1 - \varepsilon\right)} \cdot \left(\frac{0.5}{\varepsilon} + -0.5\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 41.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
8. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024163 
(FPCore (x eps)
  :name "NMSE Section 6.1 mentioned, A"
  :precision binary64
  (/ (- (* (+ 1.0 (/ 1.0 eps)) (exp (- (* (- 1.0 eps) x)))) (* (- (/ 1.0 eps) 1.0) (exp (- (* (+ 1.0 eps) x))))) 2.0))