Quadratic roots, wide range

Percentage Accurate: 17.9% → 99.9%

Time: 17.1s

Alternatives: 11

Speedup: 23.2×

Specification

\[\left(\left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < a \land a < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right) \land \left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < b \land b < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right)\right) \land \left(4.930380657631324 \cdot 10^{-32} < c \land c < 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 17.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-2 \cdot c}{\mathsf{fma}\left(\left|b\right|, \sqrt{1 + \frac{c \cdot \left(-4 \cdot a\right)}{b \cdot b}}, b\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (* -2.0 c) (fma (fabs b) (sqrt (+ 1.0 (/ (* c (* -4.0 a)) (* b b)))) b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / fma(fabs(b), sqrt((1.0 + ((c * (-4.0 * a)) / (b * b)))), b);
}

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(-2.0 * c) / fma(abs(b), sqrt(Float64(1.0 + Float64(Float64(c * Float64(-4.0 * a)) / Float64(b * b)))), b))
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(-2.0 * c), $MachinePrecision] / N[(N[Abs[b], $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(1.0 + N[(N[(c * N[(-4.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 17.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 17.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 18.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{a \cdot 2}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot c\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 99.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-2 \cdot c}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \]

10. Taylor expanded in b around inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left({b}^{2} \cdot \left(1 + -4 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)}\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({b}^{2}\right), \left(1 + -4 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(1 + -4 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(1 + -4 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(-4 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-4, \left(\frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-4, \left(a \cdot \frac{c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(c, \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 99.9%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 99.9%

    \[\leadsto \frac{-2 \cdot c}{b + \sqrt{\color{blue}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 + -4 \cdot \left(a \cdot \frac{c}{b \cdot b}\right)\right)}}} \]
13. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \left(\sqrt{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 + -4 \cdot \left(a \cdot \frac{c}{b \cdot b}\right)\right)} + \color{blue}{b}\right)\right) \]

    2. sqrt-prod N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \left(\sqrt{b \cdot b} \cdot \sqrt{1 + -4 \cdot \left(a \cdot \frac{c}{b \cdot b}\right)} + b\right)\right) \]

    3. fma-define N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \left(\mathsf{fma}\left(\sqrt{b \cdot b}, \color{blue}{\sqrt{1 + -4 \cdot \left(a \cdot \frac{c}{b \cdot b}\right)}}, b\right)\right)\right) \]

    4. fma-lowering-fma.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{fma.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + -4 \cdot \left(a \cdot \frac{c}{b \cdot b}\right)}\right)}, b\right)\right) \]

14. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \frac{-2 \cdot c}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left|b\right|, \sqrt{1 + \frac{c \cdot \left(-4 \cdot a\right)}{b \cdot b}}, b\right)}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-2 \cdot c}{b + \sqrt{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 + -4 \cdot \left(a \cdot \frac{c}{b \cdot b}\right)\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (* -2.0 c) (+ b (sqrt (* (* b b) (+ 1.0 (* -4.0 (* a (/ c (* b b))))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / (b + sqrt(((b * b) * (1.0 + (-4.0 * (a * (c / (b * b))))))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((-2.0d0) * c) / (b + sqrt(((b * b) * (1.0d0 + ((-4.0d0) * (a * (c / (b * b))))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / (b + Math.sqrt(((b * b) * (1.0 + (-4.0 * (a * (c / (b * b))))))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-2.0 * c) / (b + math.sqrt(((b * b) * (1.0 + (-4.0 * (a * (c / (b * b))))))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(-2.0 * c) / Float64(b + sqrt(Float64(Float64(b * b) * Float64(1.0 + Float64(-4.0 * Float64(a * Float64(c / Float64(b * b)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-2.0 * c) / (b + sqrt(((b * b) * (1.0 + (-4.0 * (a * (c / (b * b))))))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(-2.0 * c), $MachinePrecision] / N[(b + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(-4.0 * N[(a * N[(c / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 17.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 17.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 18.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{a \cdot 2}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot c\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 99.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-2 \cdot c}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \]

10. Taylor expanded in b around inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left({b}^{2} \cdot \left(1 + -4 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)}\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({b}^{2}\right), \left(1 + -4 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(1 + -4 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(1 + -4 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(-4 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-4, \left(\frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-4, \left(a \cdot \frac{c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(c, \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(c, \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 99.9%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 99.9%

    \[\leadsto \frac{-2 \cdot c}{b + \sqrt{\color{blue}{\left(b \cdot b\right) \cdot \left(1 + -4 \cdot \left(a \cdot \frac{c}{b \cdot b}\right)\right)}}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-2 \cdot c}{b + \sqrt{a \cdot \left(c \cdot -4 + \frac{b \cdot b}{a}\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (* -2.0 c) (+ b (sqrt (* a (+ (* c -4.0) (/ (* b b) a)))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / (b + sqrt((a * ((c * -4.0) + ((b * b) / a)))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((-2.0d0) * c) / (b + sqrt((a * ((c * (-4.0d0)) + ((b * b) / a)))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / (b + Math.sqrt((a * ((c * -4.0) + ((b * b) / a)))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-2.0 * c) / (b + math.sqrt((a * ((c * -4.0) + ((b * b) / a)))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(-2.0 * c) / Float64(b + sqrt(Float64(a * Float64(Float64(c * -4.0) + Float64(Float64(b * b) / a))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-2.0 * c) / (b + sqrt((a * ((c * -4.0) + ((b * b) / a)))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(-2.0 * c), $MachinePrecision] / N[(b + N[Sqrt[N[(a * N[(N[(c * -4.0), $MachinePrecision] + N[(N[(b * b), $MachinePrecision] / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 17.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 17.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 18.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{a \cdot 2}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot c\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 99.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-2 \cdot c}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \]

10. Taylor expanded in a around inf

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(a \cdot \left(-4 \cdot c + \frac{{b}^{2}}{a}\right)\right)}\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(-4 \cdot c + \frac{{b}^{2}}{a}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(-4 \cdot c\right), \left(\frac{{b}^{2}}{a}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot -4\right), \left(\frac{{b}^{2}}{a}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -4\right), \left(\frac{{b}^{2}}{a}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -4\right), \mathsf{/.f64}\left(\left({b}^{2}\right), a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -4\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot b\right), a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 99.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -4\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), a\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 99.9%

    \[\leadsto \frac{-2 \cdot c}{b + \sqrt{\color{blue}{a \cdot \left(c \cdot -4 + \frac{b \cdot b}{a}\right)}}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-2 \cdot c}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (* -2.0 c) (+ b (sqrt (+ (* b b) (* a (* c -4.0)))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / (b + sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((-2.0d0) * c) / (b + sqrt(((b * b) + (a * (c * (-4.0d0))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / (b + Math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-2.0 * c) / (b + math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(-2.0 * c) / Float64(b + sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(a * Float64(c * -4.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-2.0 * c) / (b + sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(-2.0 * c), $MachinePrecision] / N[(b + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(c * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 17.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 17.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 18.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{a \cdot 2}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot c\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 99.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-2 \cdot c}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.0% accurate, 4.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-2 \cdot c}{b \cdot 2 + \left(-2 \cdot c\right) \cdot \left(\frac{a}{b} + \frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (* -2.0 c)
  (+ (* b 2.0) (* (* -2.0 c) (+ (/ a b) (/ (* c (* a a)) (* b (* b b))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / ((b * 2.0) + ((-2.0 * c) * ((a / b) + ((c * (a * a)) / (b * (b * b))))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((-2.0d0) * c) / ((b * 2.0d0) + (((-2.0d0) * c) * ((a / b) + ((c * (a * a)) / (b * (b * b))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / ((b * 2.0) + ((-2.0 * c) * ((a / b) + ((c * (a * a)) / (b * (b * b))))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-2.0 * c) / ((b * 2.0) + ((-2.0 * c) * ((a / b) + ((c * (a * a)) / (b * (b * b))))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(-2.0 * c) / Float64(Float64(b * 2.0) + Float64(Float64(-2.0 * c) * Float64(Float64(a / b) + Float64(Float64(c * Float64(a * a)) / Float64(b * Float64(b * b)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-2.0 * c) / ((b * 2.0) + ((-2.0 * c) * ((a / b) + ((c * (a * a)) / (b * (b * b))))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(-2.0 * c), $MachinePrecision] / N[(N[(b * 2.0), $MachinePrecision] + N[(N[(-2.0 * c), $MachinePrecision] * N[(N[(a / b), $MachinePrecision] + N[(N[(c * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 17.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 17.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 18.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{a \cdot 2}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot c\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 99.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-2 \cdot c}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \]

10. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \color{blue}{\left(2 \cdot b + c \cdot \left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot b\right), \color{blue}{\left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot 2\right), \left(\color{blue}{c} \cdot \left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(\color{blue}{c} \cdot \left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

    4. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(c \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{a}{b} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    5. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(\left(c \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{a}{b} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(\left(-2 \cdot c\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{a}{b}} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(-2 \cdot c\right), \color{blue}{\left(\frac{a}{b} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot -2\right), \left(\color{blue}{\frac{a}{b}} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \left(\color{blue}{\frac{a}{b}} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

    10. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{a}{b}\right), \color{blue}{\left(\frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    11. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \left(\frac{\color{blue}{{a}^{2} \cdot c}}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left({a}^{2} \cdot c\right), \color{blue}{\left({b}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot {a}^{2}\right), \left({\color{blue}{b}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left({a}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{b}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. cube-mult N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left(b \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left(b \cdot {b}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\left({b}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    20. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    21. *-lowering-*.f64 97.4%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 97.4%

    \[\leadsto \frac{-2 \cdot c}{\color{blue}{b \cdot 2 + \left(c \cdot -2\right) \cdot \left(\frac{a}{b} + \frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)}} \]

13. Final simplification 97.4%

    \[\leadsto \frac{-2 \cdot c}{b \cdot 2 + \left(-2 \cdot c\right) \cdot \left(\frac{a}{b} + \frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.9% accurate, 4.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-2 \cdot c}{b + \left(b + \left(-2 \cdot c\right) \cdot \left(\frac{a}{b} + \frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/
  (* -2.0 c)
  (+ b (+ b (* (* -2.0 c) (+ (/ a b) (/ (* c (* a a)) (* b (* b b)))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / (b + (b + ((-2.0 * c) * ((a / b) + ((c * (a * a)) / (b * (b * b)))))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((-2.0d0) * c) / (b + (b + (((-2.0d0) * c) * ((a / b) + ((c * (a * a)) / (b * (b * b)))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / (b + (b + ((-2.0 * c) * ((a / b) + ((c * (a * a)) / (b * (b * b)))))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-2.0 * c) / (b + (b + ((-2.0 * c) * ((a / b) + ((c * (a * a)) / (b * (b * b)))))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(-2.0 * c) / Float64(b + Float64(b + Float64(Float64(-2.0 * c) * Float64(Float64(a / b) + Float64(Float64(c * Float64(a * a)) / Float64(b * Float64(b * b))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-2.0 * c) / (b + (b + ((-2.0 * c) * ((a / b) + ((c * (a * a)) / (b * (b * b)))))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(-2.0 * c), $MachinePrecision] / N[(b + N[(b + N[(N[(-2.0 * c), $MachinePrecision] * N[(N[(a / b), $MachinePrecision] + N[(N[(c * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 17.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 17.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 18.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{a \cdot 2}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot c\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 99.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-2 \cdot c}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \]

10. Taylor expanded in c around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(b + c \cdot \left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{a}{b} + -2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    2. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(c \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{a}{b} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\left(c \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{a}{b} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\left(-2 \cdot c\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{a}{b}} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\left(-2 \cdot c\right), \color{blue}{\left(\frac{a}{b} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot -2\right), \left(\color{blue}{\frac{a}{b}} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \left(\color{blue}{\frac{a}{b}} + \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{a}{b}\right), \color{blue}{\left(\frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \left(\frac{\color{blue}{{a}^{2} \cdot c}}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left({a}^{2} \cdot c\right), \color{blue}{\left({b}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(c \cdot {a}^{2}\right), \left({\color{blue}{b}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left({a}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{b}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. cube-mult N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left(b \cdot \color{blue}{\left(b \cdot b\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left(b \cdot {b}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{\left({b}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. *-lowering-*.f64 97.4%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, -2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(a, b\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 97.4%

    \[\leadsto \frac{-2 \cdot c}{b + \color{blue}{\left(b + \left(c \cdot -2\right) \cdot \left(\frac{a}{b} + \frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)}} \]

13. Final simplification 97.4%

    \[\leadsto \frac{-2 \cdot c}{b + \left(b + \left(-2 \cdot c\right) \cdot \left(\frac{a}{b} + \frac{c \cdot \left(a \cdot a\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 7: 95.4% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-2 \cdot c}{b \cdot 2 + \frac{-2 \cdot \left(c \cdot a\right)}{b}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (* -2.0 c) (+ (* b 2.0) (/ (* -2.0 (* c a)) b))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / ((b * 2.0) + ((-2.0 * (c * a)) / b));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((-2.0d0) * c) / ((b * 2.0d0) + (((-2.0d0) * (c * a)) / b))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-2.0 * c) / ((b * 2.0) + ((-2.0 * (c * a)) / b));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-2.0 * c) / ((b * 2.0) + ((-2.0 * (c * a)) / b))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(-2.0 * c) / Float64(Float64(b * 2.0) + Float64(Float64(-2.0 * Float64(c * a)) / b)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-2.0 * c) / ((b * 2.0) + ((-2.0 * (c * a)) / b));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(-2.0 * c), $MachinePrecision] / N[(N[(b * 2.0), $MachinePrecision] + N[(N[(-2.0 * N[(c * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 17.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 17.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 18.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{a \cdot 2}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-2 \cdot c\right)}, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 99.9%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{b}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-2 \cdot c}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} \]

10. Taylor expanded in a around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{a \cdot c}{b} + 2 \cdot b\right)}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \left(2 \cdot b + \color{blue}{-2 \cdot \frac{a \cdot c}{b}}\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \left(2 \cdot b + \frac{a \cdot c}{b} \cdot \color{blue}{-2}\right)\right) \]

    3. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \left(2 \cdot b + \left(a \cdot \frac{c}{b}\right) \cdot -2\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \left(2 \cdot b + a \cdot \color{blue}{\left(\frac{c}{b} \cdot -2\right)}\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \left(2 \cdot b + a \cdot \left(-2 \cdot \color{blue}{\frac{c}{b}}\right)\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(2 \cdot b\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot 2\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(a \cdot \left(\frac{c}{b} \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right) \]

    10. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(\left(a \cdot \frac{c}{b}\right) \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

    11. associate-/l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(\frac{a \cdot c}{b} \cdot -2\right)\right)\right) \]

    12. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(-2 \cdot \color{blue}{\frac{a \cdot c}{b}}\right)\right)\right) \]

    13. associate-*r/ N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{\color{blue}{b}}\right)\right)\right) \]

    14. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \left(a \cdot c\right)\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

    15. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -2\right), b\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot c\right), -2\right), b\right)\right)\right) \]

    17. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(c \cdot a\right), -2\right), b\right)\right)\right) \]

    18. *-lowering-*.f64 95.3%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, c\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, a\right), -2\right), b\right)\right)\right) \]

12. Simplified 95.3%

    \[\leadsto \frac{-2 \cdot c}{\color{blue}{b \cdot 2 + \frac{\left(c \cdot a\right) \cdot -2}{b}}} \]

13. Final simplification 95.3%

    \[\leadsto \frac{-2 \cdot c}{b \cdot 2 + \frac{-2 \cdot \left(c \cdot a\right)}{b}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 8: 95.2% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(0 - c\right) - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (- (- 0.0 c) (/ (* a (* c c)) (* b b))) b))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((0.0d0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(0.0 - c) - Float64(Float64(a * Float64(c * c)) / Float64(b * b))) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(0.0 - c), $MachinePrecision] - N[(N[(a * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 17.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 17.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{a \cdot 2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2 \cdot a}\right), \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)\right) \]

   5. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{a}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} - b\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{a}\right), \left(\sqrt{\color{blue}{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} - b\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} - b\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 17.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 17.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)} \]

7. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}}{b}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), \color{blue}{b}\right) \]

   2. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-1, c, -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{fma}\left(-1, c, \mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right)\right), b\right) \]

   4. fmm-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c - \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), b\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   6. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot {c}^{2}\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), b\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 95.1%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), b\right) \]

9. Simplified 95.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(-c\right) - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b}} \]

10. Final simplification 95.1%

    \[\leadsto \frac{\left(0 - c\right) - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 9: 90.3% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c}{0 - b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ c (- 0.0 b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c / (0.0 - b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c / (0.0d0 - b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c / (0.0 - b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return c / (0.0 - b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c / Float64(0.0 - b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c / (0.0 - b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c / N[(0.0 - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 17.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 17.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   2. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{1}{a \cdot 2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2 \cdot a}\right), \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)\right) \]

   5. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{a}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} - b\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{a}\right), \left(\sqrt{\color{blue}{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} - b\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} - b\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 17.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 17.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{-1 \cdot c}{\color{blue}{b}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), \color{blue}{b}\right) \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), b\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f64 90.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(c\right), b\right) \]

9. Simplified 90.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-c}{b}} \]

10. Final simplification 90.4%

    \[\leadsto \frac{c}{0 - b} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 10: 8.7% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{b}{0 - a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ b (- 0.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return b / (0.0 - a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = b / (0.0d0 - a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return b / (0.0 - a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return b / (0.0 - a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(b / Float64(0.0 - a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = b / (0.0 - a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(b / N[(0.0 - a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 17.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 17.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{b}{a}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{b}{a}\right) \]

   2. distribute-neg-frac2 N/A

      \[\leadsto \frac{b}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(a\right)}} \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \frac{b}{-1 \cdot \color{blue}{a}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \color{blue}{\left(-1 \cdot a\right)}\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \left(\mathsf{neg}\left(a\right)\right)\right) \]

   6. neg-lowering-neg.f64 8.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{neg.f64}\left(a\right)\right) \]

7. Simplified 8.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{b}{-a}} \]

8. Final simplification 8.6%

   \[\leadsto \frac{b}{0 - a} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 11: 1.6% accurate, 38.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{b}{a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ b a))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return b / a;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = b / a
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return b / a;
}

Python

def code(a, b, c):
	return b / a

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(b / a)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = b / a;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(b / a), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 17.6%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 17.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{a \cdot 2}} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2} \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}}{\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right) \cdot \frac{1}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 18.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{a \cdot 2}}{b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}} \]

7. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(b + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{b}\right)}\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{a \cdot c}{b}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{\color{blue}{b}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \left(a \cdot c\right)\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \left(a \cdot c\right)\right), b\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 15.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, c\right)\right), b\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 15.1%

   \[\leadsto \frac{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{a \cdot 2}}{b + \color{blue}{\left(b + \frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}\right)}} \]

10. Taylor expanded in b around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{b}{a}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 1.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \color{blue}{a}\right) \]

12. Simplified 1.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{b}{a}} \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024163 
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, wide range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 4.930380657631324e-32 a) (< a 2.028240960365167e+31)) (and (< 4.930380657631324e-32 b) (< b 2.028240960365167e+31))) (and (< 4.930380657631324e-32 c) (< c 2.028240960365167e+31)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))