GTR1 distribution

Percentage Accurate: 98.5% → 98.3%

Time: 10.3s

Alternatives: 15

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(0 \leq cosTheta \land cosTheta \leq 1\right) \land \left(0.0001 \leq \alpha \land \alpha \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \alpha \cdot \alpha - 1\\ \frac{t\_0}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(t\_0 \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta alpha)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (- (* alpha alpha) 1.0)))
   (/
    t_0
    (* (* PI (log (* alpha alpha))) (+ 1.0 (* (* t_0 cosTheta) cosTheta))))))

C

float code(float cosTheta, float alpha) {
	float t_0 = (alpha * alpha) - 1.0f;
	return t_0 / ((((float) M_PI) * logf((alpha * alpha))) * (1.0f + ((t_0 * cosTheta) * cosTheta)));
}

Julia

function code(cosTheta, alpha)
	t_0 = Float32(Float32(alpha * alpha) - Float32(1.0))
	return Float32(t_0 / Float32(Float32(Float32(pi) * log(Float32(alpha * alpha))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(t_0 * cosTheta) * cosTheta))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, alpha)
	t_0 = (alpha * alpha) - single(1.0);
	tmp = t_0 / ((single(pi) * log((alpha * alpha))) * (single(1.0) + ((t_0 * cosTheta) * cosTheta)));
end

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \alpha \cdot \alpha - 1\\ \frac{t\_0}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(t\_0 \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta alpha)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (- (* alpha alpha) 1.0)))
   (/
    t_0
    (* (* PI (log (* alpha alpha))) (+ 1.0 (* (* t_0 cosTheta) cosTheta))))))

C

float code(float cosTheta, float alpha) {
	float t_0 = (alpha * alpha) - 1.0f;
	return t_0 / ((((float) M_PI) * logf((alpha * alpha))) * (1.0f + ((t_0 * cosTheta) * cosTheta)));
}

Julia

function code(cosTheta, alpha)
	t_0 = Float32(Float32(alpha * alpha) - Float32(1.0))
	return Float32(t_0 / Float32(Float32(Float32(pi) * log(Float32(alpha * alpha))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(t_0 * cosTheta) * cosTheta))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, alpha)
	t_0 = (alpha * alpha) - single(1.0);
	tmp = t_0 / ((single(pi) * log((alpha * alpha))) * (single(1.0) + ((t_0 * cosTheta) * cosTheta)));
end

Alternative 1: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \alpha \cdot \alpha + -1\\ \frac{\frac{t\_0}{\pi}}{\left(\log \alpha \cdot 2\right) \cdot \left(1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot t\_0\right)\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta alpha)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (* alpha alpha) -1.0)))
   (/
    (/ t_0 PI)
    (* (* (log alpha) 2.0) (+ 1.0 (* cosTheta (* cosTheta t_0)))))))

C

float code(float cosTheta, float alpha) {
	float t_0 = (alpha * alpha) + -1.0f;
	return (t_0 / ((float) M_PI)) / ((logf(alpha) * 2.0f) * (1.0f + (cosTheta * (cosTheta * t_0))));
}

Julia

function code(cosTheta, alpha)
	t_0 = Float32(Float32(alpha * alpha) + Float32(-1.0))
	return Float32(Float32(t_0 / Float32(pi)) / Float32(Float32(log(alpha) * Float32(2.0)) * Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(cosTheta * t_0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, alpha)
	t_0 = (alpha * alpha) + single(-1.0);
	tmp = (t_0 / single(pi)) / ((log(alpha) * single(2.0)) * (single(1.0) + (cosTheta * (cosTheta * t_0))));
end

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \color{blue}{\left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \color{blue}{\left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \left(\color{blue}{\alpha} \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \left(\alpha \cdot \color{blue}{\alpha}\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}\right)\right) \]

   11. log-lowering-log.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right) \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha + -1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

   2. difference-of-sqr--1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\left(\alpha + 1\right) \cdot \left(\alpha - 1\right)\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   3. difference-of-sqr-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

   5. difference-of-sqr-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\left(\alpha + 1\right) \cdot \left(\alpha - 1\right)\right) \cdot cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   6. difference-of-sqr--1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha + -1\right) \cdot cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(cosTheta \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right) \cdot cosTheta}\right)} \]

7. Taylor expanded in alpha around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \log \alpha\right)}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\log \alpha \cdot 2\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\log \alpha, 2\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   3. log-lowering-log.f32 98.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\alpha\right), 2\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\color{blue}{\left(\log \alpha \cdot 2\right)} \cdot \left(1 + \left(cosTheta \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right) \cdot cosTheta\right)} \]

10. Final simplification 98.4%

    \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\left(\log \alpha \cdot 2\right) \cdot \left(1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \alpha \cdot \alpha + -1\\ \frac{\frac{t\_0}{\pi}}{\left(1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot t\_0\right)\right) \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta alpha)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (* alpha alpha) -1.0)))
   (/
    (/ t_0 PI)
    (* (+ 1.0 (* cosTheta (* cosTheta t_0))) (log (* alpha alpha))))))

C

float code(float cosTheta, float alpha) {
	float t_0 = (alpha * alpha) + -1.0f;
	return (t_0 / ((float) M_PI)) / ((1.0f + (cosTheta * (cosTheta * t_0))) * logf((alpha * alpha)));
}

Julia

function code(cosTheta, alpha)
	t_0 = Float32(Float32(alpha * alpha) + Float32(-1.0))
	return Float32(Float32(t_0 / Float32(pi)) / Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(cosTheta * t_0))) * log(Float32(alpha * alpha))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, alpha)
	t_0 = (alpha * alpha) + single(-1.0);
	tmp = (t_0 / single(pi)) / ((single(1.0) + (cosTheta * (cosTheta * t_0))) * log((alpha * alpha)));
end

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \color{blue}{\left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \color{blue}{\left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \left(\color{blue}{\alpha} \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \left(\alpha \cdot \color{blue}{\alpha}\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}\right)\right) \]

   11. log-lowering-log.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right) \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha + -1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

   2. difference-of-sqr--1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\left(\alpha + 1\right) \cdot \left(\alpha - 1\right)\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   3. difference-of-sqr-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

   5. difference-of-sqr-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\left(\alpha + 1\right) \cdot \left(\alpha - 1\right)\right) \cdot cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   6. difference-of-sqr--1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha + -1\right) \cdot cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(cosTheta \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right) \cdot cosTheta}\right)} \]

7. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\left(1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right)\right) \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \alpha \cdot \alpha + -1\\ \frac{t\_0}{\left(1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot t\_0\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta alpha)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (* alpha alpha) -1.0)))
   (/
    t_0
    (* (+ 1.0 (* cosTheta (* cosTheta t_0))) (* PI (log (* alpha alpha)))))))

C

float code(float cosTheta, float alpha) {
	float t_0 = (alpha * alpha) + -1.0f;
	return t_0 / ((1.0f + (cosTheta * (cosTheta * t_0))) * (((float) M_PI) * logf((alpha * alpha))));
}

Julia

function code(cosTheta, alpha)
	t_0 = Float32(Float32(alpha * alpha) + Float32(-1.0))
	return Float32(t_0 / Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * Float32(cosTheta * t_0))) * Float32(Float32(pi) * log(Float32(alpha * alpha)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, alpha)
	t_0 = (alpha * alpha) + single(-1.0);
	tmp = t_0 / ((single(1.0) + (cosTheta * (cosTheta * t_0))) * (single(pi) * log((alpha * alpha))));
end

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\left(1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.3% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\left(\log \alpha \cdot 2\right) \cdot \left(1 - cosTheta \cdot cosTheta\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta alpha)
 :precision binary32
 (/
  (/ (+ (* alpha alpha) -1.0) PI)
  (* (* (log alpha) 2.0) (- 1.0 (* cosTheta cosTheta)))))

C

float code(float cosTheta, float alpha) {
	return (((alpha * alpha) + -1.0f) / ((float) M_PI)) / ((logf(alpha) * 2.0f) * (1.0f - (cosTheta * cosTheta)));
}

Julia

function code(cosTheta, alpha)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(alpha * alpha) + Float32(-1.0)) / Float32(pi)) / Float32(Float32(log(alpha) * Float32(2.0)) * Float32(Float32(1.0) - Float32(cosTheta * cosTheta))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, alpha)
	tmp = (((alpha * alpha) + single(-1.0)) / single(pi)) / ((log(alpha) * single(2.0)) * (single(1.0) - (cosTheta * cosTheta)));
end

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \color{blue}{\left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \color{blue}{\left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \left(\color{blue}{\alpha} \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \left(\alpha \cdot \color{blue}{\alpha}\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}\right)\right) \]

   11. log-lowering-log.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right) \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha + -1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

   2. difference-of-sqr--1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\left(\alpha + 1\right) \cdot \left(\alpha - 1\right)\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   3. difference-of-sqr-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

   5. difference-of-sqr-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\left(\alpha + 1\right) \cdot \left(\alpha - 1\right)\right) \cdot cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   6. difference-of-sqr--1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha + -1\right) \cdot cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(cosTheta \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right) \cdot cosTheta}\right)} \]

7. Taylor expanded in alpha around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \log \alpha\right)}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\log \alpha \cdot 2\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\log \alpha, 2\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   3. log-lowering-log.f32 98.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\alpha\right), 2\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\color{blue}{\left(\log \alpha \cdot 2\right)} \cdot \left(1 + \left(cosTheta \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right) \cdot cosTheta\right)} \]

10. Taylor expanded in alpha around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\alpha\right), 2\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot cosTheta\right)}, cosTheta\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\alpha\right), 2\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

    2. neg-lowering-neg.f32 97.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\alpha\right), 2\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 97.3%

    \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\left(\log \alpha \cdot 2\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(-cosTheta\right)} \cdot cosTheta\right)} \]

13. Final simplification 97.3%

    \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\left(\log \alpha \cdot 2\right) \cdot \left(1 - cosTheta \cdot cosTheta\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.4% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 - cosTheta \cdot cosTheta\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta alpha)
 :precision binary32
 (/
  (/ (+ (* alpha alpha) -1.0) PI)
  (* (log (* alpha alpha)) (- 1.0 (* cosTheta cosTheta)))))

C

float code(float cosTheta, float alpha) {
	return (((alpha * alpha) + -1.0f) / ((float) M_PI)) / (logf((alpha * alpha)) * (1.0f - (cosTheta * cosTheta)));
}

Julia

function code(cosTheta, alpha)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(alpha * alpha) + Float32(-1.0)) / Float32(pi)) / Float32(log(Float32(alpha * alpha)) * Float32(Float32(1.0) - Float32(cosTheta * cosTheta))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, alpha)
	tmp = (((alpha * alpha) + single(-1.0)) / single(pi)) / (log((alpha * alpha)) * (single(1.0) - (cosTheta * cosTheta)));
end

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \color{blue}{\left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \color{blue}{\left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \left(\color{blue}{\alpha} \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \left(\alpha \cdot \color{blue}{\alpha}\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}\right)\right) \]

   11. log-lowering-log.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right) \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha + -1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

   2. difference-of-sqr--1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\left(\alpha + 1\right) \cdot \left(\alpha - 1\right)\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   3. difference-of-sqr-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

   5. difference-of-sqr-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\left(\alpha + 1\right) \cdot \left(\alpha - 1\right)\right) \cdot cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   6. difference-of-sqr--1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha + -1\right) \cdot cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(cosTheta \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right) \cdot cosTheta}\right)} \]

7. Taylor expanded in alpha around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot cosTheta\right)}, cosTheta\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f32 97.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 97.3%

   \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(-cosTheta\right)} \cdot cosTheta\right)} \]

10. Final simplification 97.3%

    \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 - cosTheta \cdot cosTheta\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 - cosTheta \cdot cosTheta\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta alpha)
 :precision binary32
 (/
  (+ (* alpha alpha) -1.0)
  (* (* PI (log (* alpha alpha))) (- 1.0 (* cosTheta cosTheta)))))

C

float code(float cosTheta, float alpha) {
	return ((alpha * alpha) + -1.0f) / ((((float) M_PI) * logf((alpha * alpha))) * (1.0f - (cosTheta * cosTheta)));
}

Julia

function code(cosTheta, alpha)
	return Float32(Float32(Float32(alpha * alpha) + Float32(-1.0)) / Float32(Float32(Float32(pi) * log(Float32(alpha * alpha))) * Float32(Float32(1.0) - Float32(cosTheta * cosTheta))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, alpha)
	tmp = ((alpha * alpha) + single(-1.0)) / ((single(pi) * log((alpha * alpha))) * (single(1.0) - (cosTheta * cosTheta)));
end

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in alpha around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot cosTheta\right)}, cosTheta\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f32 97.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.3%

   \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(-cosTheta\right)} \cdot cosTheta\right)} \]

6. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left({cosTheta}^{2} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)\right)\right) + \mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)\right)}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \left(\left(-1 \cdot {cosTheta}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)\right) + \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \left(\left(-1 \cdot {cosTheta}^{2} + 1\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \left(\left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left({cosTheta}^{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - {cosTheta}^{2}\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({cosTheta}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\log \left({\alpha}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \log \color{blue}{\left({\alpha}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   12. log-lowering-log.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\left({\alpha}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 97.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 97.3%

   \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\color{blue}{\left(1 - cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)}} \]

9. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 - cosTheta \cdot cosTheta\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 7: 97.4% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\left(\log \alpha \cdot \left(1 - cosTheta \cdot cosTheta\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot 2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta alpha)
 :precision binary32
 (/
  (+ (* alpha alpha) -1.0)
  (* (* (log alpha) (- 1.0 (* cosTheta cosTheta))) (* PI 2.0))))

C

float code(float cosTheta, float alpha) {
	return ((alpha * alpha) + -1.0f) / ((logf(alpha) * (1.0f - (cosTheta * cosTheta))) * (((float) M_PI) * 2.0f));
}

Julia

function code(cosTheta, alpha)
	return Float32(Float32(Float32(alpha * alpha) + Float32(-1.0)) / Float32(Float32(log(alpha) * Float32(Float32(1.0) - Float32(cosTheta * cosTheta))) * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, alpha)
	tmp = ((alpha * alpha) + single(-1.0)) / ((log(alpha) * (single(1.0) - (cosTheta * cosTheta))) * (single(pi) * single(2.0)));
end

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in alpha around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\log \alpha \cdot \left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \alpha \cdot \left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \left(\left(\log \alpha \cdot \left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\log \alpha \cdot \left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\log \alpha, \left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. log-lowering-log.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\alpha\right), \left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\alpha\right), \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left({cosTheta}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\alpha\right), \left(1 - {cosTheta}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left({cosTheta}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right), \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 97.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\alpha\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), 2\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.3%

   \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\color{blue}{\left(\log \alpha \cdot \left(1 - cosTheta \cdot cosTheta\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot 2\right)}} \]

6. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\left(\log \alpha \cdot \left(1 - cosTheta \cdot cosTheta\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot 2\right)} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 8: 96.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\log \alpha \cdot 2} \cdot \left(1 + cosTheta \cdot cosTheta\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta alpha)
 :precision binary32
 (*
  (/ (/ (+ (* alpha alpha) -1.0) PI) (* (log alpha) 2.0))
  (+ 1.0 (* cosTheta cosTheta))))

C

float code(float cosTheta, float alpha) {
	return ((((alpha * alpha) + -1.0f) / ((float) M_PI)) / (logf(alpha) * 2.0f)) * (1.0f + (cosTheta * cosTheta));
}

Julia

function code(cosTheta, alpha)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(alpha * alpha) + Float32(-1.0)) / Float32(pi)) / Float32(log(alpha) * Float32(2.0))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * cosTheta)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, alpha)
	tmp = ((((alpha * alpha) + single(-1.0)) / single(pi)) / (log(alpha) * single(2.0))) * (single(1.0) + (cosTheta * cosTheta));
end

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in alpha around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot cosTheta\right)}, cosTheta\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f32 97.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.3%

   \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(-cosTheta\right)} \cdot cosTheta\right)} \]

6. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{{cosTheta}^{2} \cdot \left({\alpha}^{2} - 1\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)} + \frac{{\alpha}^{2}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}\right) - \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \frac{{cosTheta}^{2} \cdot \left({\alpha}^{2} - 1\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)} + \color{blue}{\left(\frac{{\alpha}^{2}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)} - \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}\right)} \]

   2. associate-/l* N/A

      \[\leadsto {cosTheta}^{2} \cdot \frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)} + \left(\color{blue}{\frac{{\alpha}^{2}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}} - \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}\right) \]

   3. div-sub N/A

      \[\leadsto {cosTheta}^{2} \cdot \frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)} + \frac{{\alpha}^{2} - 1}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}} \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto {cosTheta}^{2} \cdot \frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)} + 1 \cdot \color{blue}{\frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}} \]

   5. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)} \cdot \color{blue}{\left({cosTheta}^{2} + 1\right)} \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}\right), \color{blue}{\left({cosTheta}^{2} + 1\right)}\right) \]

8. Simplified 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-1 + \alpha \cdot \alpha}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta + 1\right)} \]

9. Taylor expanded in alpha around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \log \alpha\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), 1\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\log \alpha \cdot 2\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{cosTheta}\right), 1\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\log \alpha, 2\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{cosTheta}\right), 1\right)\right) \]

    3. log-lowering-log.f32 96.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\alpha\right), 2\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), 1\right)\right) \]

11. Simplified 96.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{-1 + \alpha \cdot \alpha}{\pi}}{\color{blue}{\log \alpha \cdot 2}} \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta + 1\right) \]

12. Final simplification 96.5%

    \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\log \alpha \cdot 2} \cdot \left(1 + cosTheta \cdot cosTheta\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 9: 96.6% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta alpha)
 :precision binary32
 (*
  (+ 1.0 (* cosTheta cosTheta))
  (/ (/ (+ (* alpha alpha) -1.0) PI) (log (* alpha alpha)))))

C

float code(float cosTheta, float alpha) {
	return (1.0f + (cosTheta * cosTheta)) * ((((alpha * alpha) + -1.0f) / ((float) M_PI)) / logf((alpha * alpha)));
}

Julia

function code(cosTheta, alpha)
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * cosTheta)) * Float32(Float32(Float32(Float32(alpha * alpha) + Float32(-1.0)) / Float32(pi)) / log(Float32(alpha * alpha))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, alpha)
	tmp = (single(1.0) + (cosTheta * cosTheta)) * ((((alpha * alpha) + single(-1.0)) / single(pi)) / log((alpha * alpha)));
end

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in alpha around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot cosTheta\right)}, cosTheta\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f32 97.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.3%

   \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(-cosTheta\right)} \cdot cosTheta\right)} \]

6. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{{cosTheta}^{2} \cdot \left({\alpha}^{2} - 1\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)} + \frac{{\alpha}^{2}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}\right) - \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \frac{{cosTheta}^{2} \cdot \left({\alpha}^{2} - 1\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)} + \color{blue}{\left(\frac{{\alpha}^{2}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)} - \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}\right)} \]

   2. associate-/l* N/A

      \[\leadsto {cosTheta}^{2} \cdot \frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)} + \left(\color{blue}{\frac{{\alpha}^{2}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}} - \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}\right) \]

   3. div-sub N/A

      \[\leadsto {cosTheta}^{2} \cdot \frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)} + \frac{{\alpha}^{2} - 1}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}} \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto {cosTheta}^{2} \cdot \frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)} + 1 \cdot \color{blue}{\frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}} \]

   5. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)} \cdot \color{blue}{\left({cosTheta}^{2} + 1\right)} \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}\right), \color{blue}{\left({cosTheta}^{2} + 1\right)}\right) \]

8. Simplified 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-1 + \alpha \cdot \alpha}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta + 1\right)} \]

9. Final simplification 96.5%

   \[\leadsto \left(1 + cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 10: 95.2% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{-1 + \alpha \cdot \left(1 + \left(\alpha + -1\right)\right)}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta alpha)
 :precision binary32
 (/ (/ (+ -1.0 (* alpha (+ 1.0 (+ alpha -1.0)))) PI) (log (* alpha alpha))))

C

float code(float cosTheta, float alpha) {
	return ((-1.0f + (alpha * (1.0f + (alpha + -1.0f)))) / ((float) M_PI)) / logf((alpha * alpha));
}

Julia

function code(cosTheta, alpha)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(-1.0) + Float32(alpha * Float32(Float32(1.0) + Float32(alpha + Float32(-1.0))))) / Float32(pi)) / log(Float32(alpha * alpha)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, alpha)
	tmp = ((single(-1.0) + (alpha * (single(1.0) + (alpha + single(-1.0))))) / single(pi)) / log((alpha * alpha));
end

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. difference-of-sqr-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\alpha + 1\right) \cdot \left(\alpha - 1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\alpha - 1\right) \cdot \left(\alpha + 1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   3. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\alpha - 1\right) \cdot \alpha + \left(\alpha - 1\right) \cdot 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\alpha - 1\right) \cdot \alpha\right), \left(\left(\alpha - 1\right) \cdot 1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha - 1\right), \alpha\right), \left(\left(\alpha - 1\right) \cdot 1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \alpha\right), \left(\left(\alpha - 1\right) \cdot 1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha + -1\right), \alpha\right), \left(\left(\alpha - 1\right) \cdot 1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\alpha, -1\right), \alpha\right), \left(\left(\alpha - 1\right) \cdot 1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\alpha, -1\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha - 1\right), 1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\alpha, -1\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), 1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\alpha, -1\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha + -1\right), 1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \color{blue}{\alpha}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\alpha, -1\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\alpha, -1\right), 1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\alpha + -1\right) \cdot \alpha + \left(\alpha + -1\right) \cdot 1}}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \]

5. Taylor expanded in alpha around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\alpha, -1\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\alpha, -1\right), 1\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{-1}, cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 97.3%

   \[\leadsto \frac{\left(\alpha + -1\right) \cdot \alpha + \left(\alpha + -1\right) \cdot 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\color{blue}{-1} \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \]

8. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\alpha + \alpha \cdot \left(\alpha - 1\right)\right) - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\left(\alpha + \alpha \cdot \left(\alpha - 1\right)\right) - 1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\log \left({\alpha}^{2}\right)}} \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\left(\alpha + \alpha \cdot \left(\alpha - 1\right)\right) - 1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\log \left({\alpha}^{2}\right)}\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\alpha + \alpha \cdot \left(\alpha - 1\right)\right) - 1\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \log \color{blue}{\left({\alpha}^{2}\right)}\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\alpha + \alpha \cdot \left(\alpha - 1\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \log \left({\color{blue}{\alpha}}^{2}\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\alpha + \alpha \cdot \left(\alpha - 1\right)\right) + -1\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \log \left({\alpha}^{2}\right)\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(-1 + \left(\alpha + \alpha \cdot \left(\alpha - 1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \log \left({\color{blue}{\alpha}}^{2}\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \left(\alpha + \alpha \cdot \left(\alpha - 1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \log \left({\color{blue}{\alpha}}^{2}\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \left(\alpha + \left(\alpha - 1\right) \cdot \alpha\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \log \left({\alpha}^{2}\right)\right) \]

   9. distribute-rgt1-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \left(\left(\left(\alpha - 1\right) + 1\right) \cdot \alpha\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \log \left({\alpha}^{2}\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\alpha - 1\right) + 1\right), \alpha\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \log \left({\alpha}^{2}\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\alpha - 1\right), 1\right), \alpha\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \log \left({\alpha}^{2}\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\alpha + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), 1\right), \alpha\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \log \left({\alpha}^{2}\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\alpha + -1\right), 1\right), \alpha\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \log \left({\alpha}^{2}\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\alpha, -1\right), 1\right), \alpha\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \log \left({\alpha}^{2}\right)\right) \]

   15. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\alpha, -1\right), 1\right), \alpha\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \log \left({\alpha}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

   16. log-lowering-log.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\alpha, -1\right), 1\right), \alpha\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\left({\alpha}^{2}\right)\right)\right) \]

   17. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\alpha, -1\right), 1\right), \alpha\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f32 95.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\alpha, -1\right), 1\right), \alpha\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right) \]

10. Simplified 95.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-1 + \left(\left(\alpha + -1\right) + 1\right) \cdot \alpha}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right)}} \]

11. Final simplification 95.2%

    \[\leadsto \frac{\frac{-1 + \alpha \cdot \left(1 + \left(\alpha + -1\right)\right)}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 11: 95.1% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi} \cdot 0.5}{\log \alpha} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta alpha)
 :precision binary32
 (/ (* (/ (+ (* alpha alpha) -1.0) PI) 0.5) (log alpha)))

C

float code(float cosTheta, float alpha) {
	return ((((alpha * alpha) + -1.0f) / ((float) M_PI)) * 0.5f) / logf(alpha);
}

Julia

function code(cosTheta, alpha)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(alpha * alpha) + Float32(-1.0)) / Float32(pi)) * Float32(0.5)) / log(alpha))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, alpha)
	tmp = ((((alpha * alpha) + single(-1.0)) / single(pi)) * single(0.5)) / log(alpha);
end

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \color{blue}{\left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \color{blue}{\left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \left(\color{blue}{\alpha} \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \left(\alpha \cdot \color{blue}{\alpha}\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}\right)\right) \]

   11. log-lowering-log.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right) \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha + -1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

   2. difference-of-sqr--1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\left(\alpha + 1\right) \cdot \left(\alpha - 1\right)\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   3. difference-of-sqr-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

   5. difference-of-sqr-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\left(\alpha + 1\right) \cdot \left(\alpha - 1\right)\right) \cdot cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   6. difference-of-sqr--1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha + -1\right) \cdot cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(cosTheta \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right) \cdot cosTheta}\right)} \]

7. Taylor expanded in alpha around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \log \alpha\right)}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\log \alpha \cdot 2\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\log \alpha, 2\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   3. log-lowering-log.f32 98.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\alpha\right), 2\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\color{blue}{\left(\log \alpha \cdot 2\right)} \cdot \left(1 + \left(cosTheta \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right) \cdot cosTheta\right)} \]

10. Taylor expanded in cosTheta around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \alpha}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\log \alpha}} \]

    2. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\log \alpha}} \]

    3. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\log \alpha}\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \log \color{blue}{\alpha}\right) \]

    5. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\left({\alpha}^{2} - 1\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \log \alpha\right) \]

    6. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\left({\alpha}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \log \alpha\right) \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\left({\alpha}^{2} + -1\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \log \alpha\right) \]

    8. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\left(-1 + {\alpha}^{2}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \log \alpha\right) \]

    9. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \left({\alpha}^{2}\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \log \alpha\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \log \alpha\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \log \alpha\right) \]

    12. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \log \alpha\right) \]

    13. log-lowering-log.f32 95.1%

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\alpha\right)\right) \]

12. Simplified 95.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \frac{-1 + \alpha \cdot \alpha}{\pi}}{\log \alpha}} \]

13. Final simplification 95.1%

    \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi} \cdot 0.5}{\log \alpha} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 12: 66.6% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{-0.5}{\left(1 - cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \left(\pi \cdot \log \alpha\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta alpha)
 :precision binary32
 (/ -0.5 (* (- 1.0 (* cosTheta cosTheta)) (* PI (log alpha)))))

C

float code(float cosTheta, float alpha) {
	return -0.5f / ((1.0f - (cosTheta * cosTheta)) * (((float) M_PI) * logf(alpha)));
}

Julia

function code(cosTheta, alpha)
	return Float32(Float32(-0.5) / Float32(Float32(Float32(1.0) - Float32(cosTheta * cosTheta)) * Float32(Float32(pi) * log(alpha))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, alpha)
	tmp = single(-0.5) / ((single(1.0) - (cosTheta * cosTheta)) * (single(pi) * log(alpha)));
end

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \color{blue}{\left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \color{blue}{\left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \left(\color{blue}{\alpha} \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \left(\alpha \cdot \color{blue}{\alpha}\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}\right)\right) \]

   11. log-lowering-log.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right) \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right) - -1 \cdot -1}{\alpha \cdot \alpha - -1}\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right) - 1}{\alpha \cdot \alpha - -1}\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right) - 1}{\alpha \cdot \alpha + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)}\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \color{blue}{\alpha}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right) - 1}{\alpha \cdot \alpha + 1}\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. div-sub N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)}{\alpha \cdot \alpha + 1} - \frac{1}{\alpha \cdot \alpha + 1}\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. flip-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)}{\alpha \cdot \alpha + 1} \cdot \frac{\left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)}{\alpha \cdot \alpha + 1} - \frac{1}{\alpha \cdot \alpha + 1} \cdot \frac{1}{\alpha \cdot \alpha + 1}}{\frac{\left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)}{\alpha \cdot \alpha + 1} + \frac{1}{\alpha \cdot \alpha + 1}}\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)}{\alpha \cdot \alpha + 1} \cdot \frac{\left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)}{\alpha \cdot \alpha + 1} - \frac{1}{\alpha \cdot \alpha + 1} \cdot \frac{1}{\alpha \cdot \alpha + 1}\right), \left(\frac{\left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)}{\alpha \cdot \alpha + 1} + \frac{1}{\alpha \cdot \alpha + 1}\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.3%

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\frac{\frac{\alpha \cdot \left(\alpha \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)}{\alpha \cdot \alpha + 1} \cdot \frac{\alpha \cdot \left(\alpha \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)}{\alpha \cdot \alpha + 1} - \frac{1}{\alpha \cdot \alpha + 1} \cdot \frac{1}{\alpha \cdot \alpha + 1}}{\frac{\alpha \cdot \left(\alpha \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)}{\alpha \cdot \alpha + 1} + \frac{1}{\alpha \cdot \alpha + 1}}}}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right) \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)} \]

7. Taylor expanded in alpha around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-1}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\log \alpha \cdot \left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\log \alpha \cdot \left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(\left(\log \alpha \cdot \left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(\left(\left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right) \cdot \log \alpha\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(\left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \alpha \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(\left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\log \alpha}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \alpha\right)}\right)\right) \]

   7. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left({cosTheta}^{2}\right)\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \alpha\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - {cosTheta}^{2}\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \log \alpha\right)\right)\right) \]

   9. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left({cosTheta}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \log \alpha\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \alpha\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \alpha\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\log \alpha}\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \log \color{blue}{\alpha}\right)\right)\right) \]

   14. log-lowering-log.f32 66.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\alpha\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 66.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-0.5}{\left(1 - cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \left(\pi \cdot \log \alpha\right)}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 13: 66.0% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \frac{\frac{-0.5}{\pi}}{\log \alpha} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta alpha)
 :precision binary32
 (* (+ 1.0 (* cosTheta cosTheta)) (/ (/ -0.5 PI) (log alpha))))

C

float code(float cosTheta, float alpha) {
	return (1.0f + (cosTheta * cosTheta)) * ((-0.5f / ((float) M_PI)) / logf(alpha));
}

Julia

function code(cosTheta, alpha)
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(cosTheta * cosTheta)) * Float32(Float32(Float32(-0.5) / Float32(pi)) / log(alpha)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, alpha)
	tmp = (single(1.0) + (cosTheta * cosTheta)) * ((single(-0.5) / single(pi)) / log(alpha));
end

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in alpha around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot cosTheta\right)}, cosTheta\right)\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(cosTheta\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f32 97.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.3%

   \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(-cosTheta\right)} \cdot cosTheta\right)} \]

6. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{{cosTheta}^{2} \cdot \left({\alpha}^{2} - 1\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)} + \frac{{\alpha}^{2}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}\right) - \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \frac{{cosTheta}^{2} \cdot \left({\alpha}^{2} - 1\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)} + \color{blue}{\left(\frac{{\alpha}^{2}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)} - \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}\right)} \]

   2. associate-/l* N/A

      \[\leadsto {cosTheta}^{2} \cdot \frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)} + \left(\color{blue}{\frac{{\alpha}^{2}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}} - \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}\right) \]

   3. div-sub N/A

      \[\leadsto {cosTheta}^{2} \cdot \frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)} + \frac{{\alpha}^{2} - 1}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}} \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto {cosTheta}^{2} \cdot \frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)} + 1 \cdot \color{blue}{\frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}} \]

   5. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)} \cdot \color{blue}{\left({cosTheta}^{2} + 1\right)} \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left({\alpha}^{2}\right)}\right), \color{blue}{\left({cosTheta}^{2} + 1\right)}\right) \]

8. Simplified 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-1 + \alpha \cdot \alpha}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta + 1\right)} \]

9. Taylor expanded in alpha around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \alpha}\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), 1\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\frac{\frac{-1}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\log \alpha}\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)}, 1\right)\right) \]

    2. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \log \alpha\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right)}, 1\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \log \alpha\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{cosTheta}, cosTheta\right), 1\right)\right) \]

    4. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \log \alpha\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, cosTheta\right), 1\right)\right) \]

    5. log-lowering-log.f32 66.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \color{blue}{cosTheta}\right), 1\right)\right) \]

11. Simplified 66.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.5}{\pi}}{\log \alpha}} \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta + 1\right) \]

12. Final simplification 66.1%

    \[\leadsto \left(1 + cosTheta \cdot cosTheta\right) \cdot \frac{\frac{-0.5}{\pi}}{\log \alpha} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 14: 65.4% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{-0.5}{\pi}}{\log \alpha} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta alpha) :precision binary32 (/ (/ -0.5 PI) (log alpha)))

C

float code(float cosTheta, float alpha) {
	return (-0.5f / ((float) M_PI)) / logf(alpha);
}

Julia

function code(cosTheta, alpha)
	return Float32(Float32(Float32(-0.5) / Float32(pi)) / log(alpha))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, alpha)
	tmp = (single(-0.5) / single(pi)) / log(alpha);
end

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \color{blue}{\left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \color{blue}{\left(\alpha \cdot \alpha\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \left(\color{blue}{\alpha} \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\log \left(\alpha \cdot \color{blue}{\alpha}\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right), \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}\right)\right) \]

   11. log-lowering-log.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \left(\color{blue}{1} + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right), \color{blue}{\left(cosTheta \cdot cosTheta\right)}\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right) \cdot \left(cosTheta \cdot cosTheta\right)\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha + -1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

   2. difference-of-sqr--1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\left(\alpha + 1\right) \cdot \left(\alpha - 1\right)\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   3. difference-of-sqr-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right), \color{blue}{cosTheta}\right)\right)\right)\right) \]

   5. difference-of-sqr-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\left(\alpha + 1\right) \cdot \left(\alpha - 1\right)\right) \cdot cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   6. difference-of-sqr--1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\alpha \cdot \alpha + -1\right) \cdot cosTheta\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(cosTheta \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 98.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(cosTheta \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right) \cdot cosTheta}\right)} \]

7. Taylor expanded in alpha around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot \log \alpha\right)}, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\log \alpha \cdot 2\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\log \alpha, 2\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

   3. log-lowering-log.f32 98.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\alpha\right), 2\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(cosTheta, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), -1\right)\right), cosTheta\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{\color{blue}{\left(\log \alpha \cdot 2\right)} \cdot \left(1 + \left(cosTheta \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right) \cdot cosTheta\right)} \]

10. Taylor expanded in alpha around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-1}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\log \alpha \cdot \left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right)}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{-1}{2}}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right)}} \]

    2. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{-1}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \alpha}}{\color{blue}{1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}}} \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \alpha}}{1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}} \]

    4. distribute-neg-frac N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \alpha}\right)}{\color{blue}{1} + -1 \cdot {cosTheta}^{2}} \]

    5. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \alpha}\right)}{1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}} \]

    6. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \alpha}\right)}{1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}} \]

    7. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \alpha}\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right)}\right) \]

    8. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \alpha}\right)\right), \left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \alpha}\right)\right), \left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right) \]

    10. distribute-neg-frac N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \alpha}\right), \left(\color{blue}{1} + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right) \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \alpha}\right), \left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right) \]

    12. associate-/r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\frac{-1}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\log \alpha}\right), \left(\color{blue}{1} + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right) \]

    13. /-lowering-/.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \log \alpha\right), \left(\color{blue}{1} + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right) \]

    14. /-lowering-/.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \log \alpha\right), \left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right) \]

    15. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \log \alpha\right), \left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right) \]

    16. log-lowering-log.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\alpha\right)\right), \left(1 + -1 \cdot {cosTheta}^{2}\right)\right) \]

    17. mul-1-neg N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\alpha\right)\right), \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left({cosTheta}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 66.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{-0.5}{\pi}}{\log \alpha}}{1 - cosTheta \cdot cosTheta}} \]

13. Taylor expanded in cosTheta around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-1}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \alpha}} \]
14. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{-1}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\log \alpha}} \]

    2. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\log \alpha}\right) \]

    3. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \log \color{blue}{\alpha}\right) \]

    4. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \log \alpha\right) \]

    5. log-lowering-log.f32 65.5%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\alpha\right)\right) \]

15. Simplified 65.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-0.5}{\pi}}{\log \alpha}} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 15: -0.0% accurate, 17.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{-1}{\pi}}{\frac{0}{0}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta alpha) :precision binary32 (/ (/ -1.0 PI) (/ 0.0 0.0)))

C

float code(float cosTheta, float alpha) {
	return (-1.0f / ((float) M_PI)) / (0.0f / 0.0f);
}

Julia

function code(cosTheta, alpha)
	return Float32(Float32(Float32(-1.0) / Float32(pi)) / Float32(Float32(0.0) / Float32(0.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta, alpha)
	tmp = (single(-1.0) / single(pi)) / (single(0.0) / single(0.0));
end

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. difference-of-sqr-1 N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\alpha + 1\right) \cdot \left(\alpha - 1\right)}{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \]

   2. difference-of-sqr--1 N/A

      \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \]

   3. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)}}{\color{blue}{1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta}} \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right)}}{\color{blue}{1} + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta} \]

   5. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right) \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)}} \]

   6. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta}}{\color{blue}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right)}} \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta}\right), \color{blue}{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr -0.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\alpha \cdot \alpha + -1}{\pi}}{1 + cosTheta \cdot \left(cosTheta \cdot \left(\alpha \cdot \alpha + -1\right)\right)}}{\frac{0}{0}}} \]

5. Taylor expanded in cosTheta around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{{\alpha}^{2} - 1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(0, 0\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({\alpha}^{2} - 1\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{0}, 0\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({\alpha}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(0, 0\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({\alpha}^{2} + -1\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(0, 0\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(-1 + {\alpha}^{2}\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(0, 0\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \left({\alpha}^{2}\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(0, 0\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(0, 0\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(0, 0\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 -0.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(0, 0\right)\right) \]

7. Simplified -0.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-1 + \alpha \cdot \alpha}{\pi}}}{\frac{0}{0}} \]

8. Taylor expanded in alpha around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(0, 0\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-1, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{0}, 0\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 -0.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(0, 0\right)\right) \]

10. Simplified -0.0%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-1}{\pi}}}{\frac{0}{0}} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024163 
(FPCore (cosTheta alpha)
  :name "GTR1 distribution"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 0.0 cosTheta) (<= cosTheta 1.0)) (and (<= 0.0001 alpha) (<= alpha 1.0)))
  (/ (- (* alpha alpha) 1.0) (* (* PI (log (* alpha alpha))) (+ 1.0 (* (* (- (* alpha alpha) 1.0) cosTheta) cosTheta)))))