HairBSDF, gamma for a refracted ray

Percentage Accurate: 91.9% → 98.3%

Time: 13.7s

Alternatives: 5

Speedup: 3.1×

Specification

\[\left(\left(-1 \leq sinTheta\_O \land sinTheta\_O \leq 1\right) \land \left(-1 \leq h \land h \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq eta \land eta \leq 10\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin
  (/
   h
   (sqrt
    (-
     (* eta eta)
     (/
      (* sinTheta_O sinTheta_O)
      (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / sqrtf(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrtf((1.0f - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sintheta_o * sintheta_o) / sqrt((1.0e0 - (sintheta_o * sintheta_o))))))))
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / sqrt(Float32(Float32(eta * eta) - Float32(Float32(sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(sinTheta_O * sinTheta_O))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt((single(1.0) - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
end

Initial Program: 91.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin
  (/
   h
   (sqrt
    (-
     (* eta eta)
     (/
      (* sinTheta_O sinTheta_O)
      (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / sqrtf(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrtf((1.0f - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sintheta_o * sintheta_o) / sqrt((1.0e0 - (sintheta_o * sintheta_o))))))))
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / sqrt(Float32(Float32(eta * eta) - Float32(Float32(sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(sinTheta_O * sinTheta_O))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt((single(1.0) - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
end

Alternative 1: 98.3% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{\left(eta + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{-0.125}{\frac{eta}{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}}\right) + sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \frac{-0.5}{eta}\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin
  (/
   h
   (+
    (+
     eta
     (*
      (* sinTheta_O sinTheta_O)
      (/ -0.125 (/ eta (/ (/ (* sinTheta_O sinTheta_O) eta) eta)))))
    (* sinTheta_O (* sinTheta_O (/ -0.5 eta)))))))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / ((eta + ((sinTheta_O * sinTheta_O) * (-0.125f / (eta / (((sinTheta_O * sinTheta_O) / eta) / eta))))) + (sinTheta_O * (sinTheta_O * (-0.5f / eta))))));
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / ((eta + ((sintheta_o * sintheta_o) * ((-0.125e0) / (eta / (((sintheta_o * sintheta_o) / eta) / eta))))) + (sintheta_o * (sintheta_o * ((-0.5e0) / eta))))))
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / Float32(Float32(eta + Float32(Float32(sinTheta_O * sinTheta_O) * Float32(Float32(-0.125) / Float32(eta / Float32(Float32(Float32(sinTheta_O * sinTheta_O) / eta) / eta))))) + Float32(sinTheta_O * Float32(sinTheta_O * Float32(Float32(-0.5) / eta))))))
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / ((eta + ((sinTheta_O * sinTheta_O) * (single(-0.125) / (eta / (((sinTheta_O * sinTheta_O) / eta) / eta))))) + (sinTheta_O * (sinTheta_O * (single(-0.5) / eta))))));
end

Derivation

1. Initial program 91.0%

   \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in sinTheta_O around 0

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \color{blue}{\left(eta + {sinTheta\_O}^{2} \cdot \left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{eta}^{2}}}{{eta}^{2}}\right)}{eta} + \frac{-1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{eta}^{2}}}{eta}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{eta}\right)\right)}\right)\right) \]

5. Simplified 59.9%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\color{blue}{eta + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(\frac{\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(0.375 + \frac{0.25 + 0.5 \cdot \frac{0.25}{eta \cdot eta}}{eta \cdot eta}\right)}{eta} + \frac{0.5 + \frac{0.25}{eta \cdot eta}}{eta}\right)\right) + \frac{-0.5}{eta}\right)}}\right) \]

6. Taylor expanded in eta around inf

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2}\right)}, eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right)\right)\right), eta\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \frac{3}{8}\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right)\right)\right), eta\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({sinTheta\_O}^{2}\right), \frac{3}{8}\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right)\right)\right), eta\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right), \frac{3}{8}\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right)\right)\right), eta\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 72.2%

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \frac{3}{8}\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right)\right)\right), eta\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 72.2%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot 0.375}}{eta} + \frac{0.5 + \frac{0.25}{eta \cdot eta}}{eta}\right)\right) + \frac{-0.5}{eta}\right)}\right) \]

9. Taylor expanded in eta around 0

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2}}{{eta}^{3}}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{{eta}^{3}}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. unpow3 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{\left(eta \cdot eta\right) \cdot eta}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{{eta}^{2} \cdot eta}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{{eta}^{2}}}{eta}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{{eta}^{2}}\right), eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{eta \cdot eta}\right), eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{eta}}{eta}\right), eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{eta}\right), eta\right), eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({sinTheta\_O}^{2}\right), eta\right), eta\right), eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right), eta\right), eta\right), eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 98.7%

        \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), eta\right), eta\right), eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 98.7%

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(\color{blue}{-0.125 \cdot \frac{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}{eta}} + \frac{-0.5}{eta}\right)}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \left(eta + \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}{eta}\right) + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right)\right)\right)\right) \]

    2. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \left(\left(eta + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}{eta}\right)\right) + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right)\right)\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \left(\left(eta + \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}{eta}\right) \cdot \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)\right) + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(\left(eta + \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}{eta}\right) \cdot \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)\right), \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right)\right)\right)\right) \]

13. Applied egg-rr 98.8%

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\color{blue}{\left(eta + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{-0.125}{\frac{eta}{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}}\right) + sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \frac{-0.5}{eta}\right)}}\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.3% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \left(\frac{-0.125}{\frac{eta}{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}} + \frac{-0.5}{eta}\right)\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin
  (/
   h
   (+
    eta
    (*
     sinTheta_O
     (*
      sinTheta_O
      (+
       (/ -0.125 (/ eta (/ (/ (* sinTheta_O sinTheta_O) eta) eta)))
       (/ -0.5 eta))))))))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / (eta + (sinTheta_O * (sinTheta_O * ((-0.125f / (eta / (((sinTheta_O * sinTheta_O) / eta) / eta))) + (-0.5f / eta)))))));
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / (eta + (sintheta_o * (sintheta_o * (((-0.125e0) / (eta / (((sintheta_o * sintheta_o) / eta) / eta))) + ((-0.5e0) / eta)))))))
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / Float32(eta + Float32(sinTheta_O * Float32(sinTheta_O * Float32(Float32(Float32(-0.125) / Float32(eta / Float32(Float32(Float32(sinTheta_O * sinTheta_O) / eta) / eta))) + Float32(Float32(-0.5) / eta)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / (eta + (sinTheta_O * (sinTheta_O * ((single(-0.125) / (eta / (((sinTheta_O * sinTheta_O) / eta) / eta))) + (single(-0.5) / eta)))))));
end

Derivation

1. Initial program 91.0%

   \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in sinTheta_O around 0

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \color{blue}{\left(eta + {sinTheta\_O}^{2} \cdot \left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{eta}^{2}}}{{eta}^{2}}\right)}{eta} + \frac{-1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{eta}^{2}}}{eta}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{eta}\right)\right)}\right)\right) \]

5. Simplified 59.9%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\color{blue}{eta + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(\frac{\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(0.375 + \frac{0.25 + 0.5 \cdot \frac{0.25}{eta \cdot eta}}{eta \cdot eta}\right)}{eta} + \frac{0.5 + \frac{0.25}{eta \cdot eta}}{eta}\right)\right) + \frac{-0.5}{eta}\right)}}\right) \]

6. Taylor expanded in eta around inf

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2}\right)}, eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right)\right)\right), eta\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \frac{3}{8}\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right)\right)\right), eta\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({sinTheta\_O}^{2}\right), \frac{3}{8}\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right)\right)\right), eta\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right), \frac{3}{8}\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right)\right)\right), eta\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 72.2%

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \frac{3}{8}\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right)\right)\right), eta\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 72.2%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot 0.375}}{eta} + \frac{0.5 + \frac{0.25}{eta \cdot eta}}{eta}\right)\right) + \frac{-0.5}{eta}\right)}\right) \]

9. Taylor expanded in eta around 0

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2}}{{eta}^{3}}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{{eta}^{3}}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. unpow3 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{\left(eta \cdot eta\right) \cdot eta}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{{eta}^{2} \cdot eta}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{{eta}^{2}}}{eta}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{{eta}^{2}}\right), eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{eta \cdot eta}\right), eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{eta}}{eta}\right), eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{eta}\right), eta\right), eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({sinTheta\_O}^{2}\right), eta\right), eta\right), eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right), eta\right), eta\right), eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 98.7%

        \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), eta\right), eta\right), eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 98.7%

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(\color{blue}{-0.125 \cdot \frac{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}{eta}} + \frac{-0.5}{eta}\right)}\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \left(sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}{eta} + \frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \left(\left(sinTheta\_O \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}{eta} + \frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right)\right) \cdot sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\left(sinTheta\_O \cdot \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}{eta} + \frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right)\right), sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}{eta} + \frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right)\right), sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}{eta}\right), \left(\frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right)\right)\right), sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

    6. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{eta}{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}}\right), \left(\frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right)\right)\right), sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

    7. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\frac{-1}{8}}{\frac{eta}{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}}\right), \left(\frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right)\right)\right), sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{eta}{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right)\right)\right), sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

    9. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(eta, \left(\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right)\right)\right), sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

    10. /-lowering-/.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(eta, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}\right), eta\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right)\right)\right), sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

    11. /-lowering-/.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(eta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right), eta\right), eta\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right)\right)\right), sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(eta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), eta\right), eta\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right)\right)\right), sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

    13. /-lowering-/.f32 98.8%

        \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(eta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), eta\right), eta\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right), sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

13. Applied egg-rr 98.8%

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + \color{blue}{\left(sinTheta\_O \cdot \left(\frac{-0.125}{\frac{eta}{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}} + \frac{-0.5}{eta}\right)\right) \cdot sinTheta\_O}}\right) \]

14. Final simplification 98.8%

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \left(\frac{-0.125}{\frac{eta}{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}} + \frac{-0.5}{eta}\right)\right)}\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.7% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(\frac{-0.5}{eta} + -0.125 \cdot \frac{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}{eta}\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin
  (/
   h
   (+
    eta
    (*
     (* sinTheta_O sinTheta_O)
     (+
      (/ -0.5 eta)
      (* -0.125 (/ (/ (/ (* sinTheta_O sinTheta_O) eta) eta) eta))))))))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / (eta + ((sinTheta_O * sinTheta_O) * ((-0.5f / eta) + (-0.125f * ((((sinTheta_O * sinTheta_O) / eta) / eta) / eta)))))));
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / (eta + ((sintheta_o * sintheta_o) * (((-0.5e0) / eta) + ((-0.125e0) * ((((sintheta_o * sintheta_o) / eta) / eta) / eta)))))))
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / Float32(eta + Float32(Float32(sinTheta_O * sinTheta_O) * Float32(Float32(Float32(-0.5) / eta) + Float32(Float32(-0.125) * Float32(Float32(Float32(Float32(sinTheta_O * sinTheta_O) / eta) / eta) / eta)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / (eta + ((sinTheta_O * sinTheta_O) * ((single(-0.5) / eta) + (single(-0.125) * ((((sinTheta_O * sinTheta_O) / eta) / eta) / eta)))))));
end

Derivation

1. Initial program 91.0%

   \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in sinTheta_O around 0

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \color{blue}{\left(eta + {sinTheta\_O}^{2} \cdot \left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2} \cdot \left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{eta}^{2}}}{{eta}^{2}}\right)}{eta} + \frac{-1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{eta}^{2}}}{eta}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{eta}\right)\right)}\right)\right) \]

5. Simplified 59.9%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\color{blue}{eta + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(\frac{\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(0.375 + \frac{0.25 + 0.5 \cdot \frac{0.25}{eta \cdot eta}}{eta \cdot eta}\right)}{eta} + \frac{0.5 + \frac{0.25}{eta \cdot eta}}{eta}\right)\right) + \frac{-0.5}{eta}\right)}}\right) \]

6. Taylor expanded in eta around inf

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{3}{8} \cdot {sinTheta\_O}^{2}\right)}, eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right)\right)\right), eta\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \frac{3}{8}\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right)\right)\right), eta\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({sinTheta\_O}^{2}\right), \frac{3}{8}\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right)\right)\right), eta\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right), \frac{3}{8}\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right)\right)\right), eta\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 72.2%

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \frac{3}{8}\right), eta\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right)\right)\right), eta\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 72.2%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(\frac{\color{blue}{\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot 0.375}}{eta} + \frac{0.5 + \frac{0.25}{eta \cdot eta}}{eta}\right)\right) + \frac{-0.5}{eta}\right)}\right) \]

9. Taylor expanded in eta around 0

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2}}{{eta}^{3}}\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{{eta}^{3}}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. unpow3 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{\left(eta \cdot eta\right) \cdot eta}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{{eta}^{2} \cdot eta}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \left(\frac{\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{{eta}^{2}}}{eta}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{{eta}^{2}}\right), eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{eta \cdot eta}\right), eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{eta}}{eta}\right), eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{{sinTheta\_O}^{2}}{eta}\right), eta\right), eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left({sinTheta\_O}^{2}\right), eta\right), eta\right), eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right), eta\right), eta\right), eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 98.7%

        \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right), eta\right), eta\right), eta\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 98.7%

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(\color{blue}{-0.125 \cdot \frac{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}{eta}} + \frac{-0.5}{eta}\right)}\right) \]

12. Final simplification 98.7%

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \left(\frac{-0.5}{eta} + -0.125 \cdot \frac{\frac{\frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{eta}}{eta}}{eta}\right)}\right) \]
13. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.7% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \frac{-0.5}{eta}\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin (/ h (+ eta (* sinTheta_O (* sinTheta_O (/ -0.5 eta)))))))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / (eta + (sinTheta_O * (sinTheta_O * (-0.5f / eta))))));
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / (eta + (sintheta_o * (sintheta_o * ((-0.5e0) / eta))))))
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / Float32(eta + Float32(sinTheta_O * Float32(sinTheta_O * Float32(Float32(-0.5) / eta))))))
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / (eta + (sinTheta_O * (sinTheta_O * (single(-0.5) / eta))))));
end

Derivation

1. Initial program 91.0%

   \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in sinTheta_O around 0

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \color{blue}{\left(eta + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2}}{eta}\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2}}{eta}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot {sinTheta\_O}^{2}}{eta}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {sinTheta\_O}^{2}\right), eta\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{/.f32}\left(\left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \frac{-1}{2}\right), eta\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{-1}{2}\right), eta\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{/.f32}\left(\left(sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \frac{-1}{2}\right)\right), eta\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \left(sinTheta\_O \cdot \frac{-1}{2}\right)\right), eta\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 98.4%

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \frac{-1}{2}\right)\right), eta\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\color{blue}{eta + \frac{sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot -0.5\right)}{eta}}}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \left(\frac{\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{-1}{2}}{eta}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \left(\frac{\frac{-1}{2}}{eta} \cdot \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{eta} \cdot sinTheta\_O\right) \cdot sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{eta} \cdot sinTheta\_O\right), sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right), sinTheta\_O\right), sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right), sinTheta\_O\right), sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + \color{blue}{\left(\frac{-0.5}{eta} \cdot sinTheta\_O\right) \cdot sinTheta\_O}}\right) \]

8. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \frac{-0.5}{eta}\right)}\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 95.2% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta) :precision binary32 (asin (/ h eta)))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / eta));
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / eta))
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / eta))
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / eta));
end

Derivation

1. Initial program 91.0%

   \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eta around inf

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{h}{eta}\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, eta\right)\right) \]

5. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\frac{h}{eta}\right)} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024163 
(FPCore (sinTheta_O h eta)
  :name "HairBSDF, gamma for a refracted ray"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= -1.0 sinTheta_O) (<= sinTheta_O 1.0)) (and (<= -1.0 h) (<= h 1.0))) (and (<= 0.0 eta) (<= eta 10.0)))
  (asin (/ h (sqrt (- (* eta eta) (/ (* sinTheta_O sinTheta_O) (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))