expfmod (used to be hard to sample)

Percentage Accurate: 6.7% → 62.3%

Time: 21.2s

Alternatives: 10

Speedup: 5.0×

• could not determine a ground truth

  1. x = -5.236114818322785e+245

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (fmod (exp x) (sqrt (cos x))) (exp (- x))))

C

double code(double x) {
	return fmod(exp(x), sqrt(cos(x))) * exp(-x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = mod(exp(x), sqrt(cos(x))) * exp(-x)
end function

Python

def code(x):
	return math.fmod(math.exp(x), math.sqrt(math.cos(x))) * math.exp(-x)

Julia

function code(x)
	return Float64(rem(exp(x), sqrt(cos(x))) * exp(Float64(-x)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[Sqrt[N[Cos[x], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] * N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 6.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (fmod (exp x) (sqrt (cos x))) (exp (- x))))

C

double code(double x) {
	return fmod(exp(x), sqrt(cos(x))) * exp(-x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = mod(exp(x), sqrt(cos(x))) * exp(-x)
end function

Python

def code(x):
	return math.fmod(math.exp(x), math.sqrt(math.cos(x))) * math.exp(-x)

Julia

function code(x)
	return Float64(rem(exp(x), sqrt(cos(x))) * exp(Float64(-x)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[Sqrt[N[Cos[x], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] * N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 62.3% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\frac{-0.25}{\sqrt{0.041666666666666664}}\right)\right)}{e^{x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(1 \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -2e-310)
   (/ (fmod (exp x) (/ -0.25 (sqrt 0.041666666666666664))) (exp x))
   (/ (fmod 1.0 (sqrt (cos x))) (exp x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -2e-310) {
		tmp = fmod(exp(x), (-0.25 / sqrt(0.041666666666666664))) / exp(x);
	} else {
		tmp = fmod(1.0, sqrt(cos(x))) / exp(x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-2d-310)) then
        tmp = mod(exp(x), ((-0.25d0) / sqrt(0.041666666666666664d0))) / exp(x)
    else
        tmp = mod(1.0d0, sqrt(cos(x))) / exp(x)
    end if
    code = tmp
end function

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -2e-310:
		tmp = math.fmod(math.exp(x), (-0.25 / math.sqrt(0.041666666666666664))) / math.exp(x)
	else:
		tmp = math.fmod(1.0, math.sqrt(math.cos(x))) / math.exp(x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -2e-310)
		tmp = Float64(rem(exp(x), Float64(-0.25 / sqrt(0.041666666666666664))) / exp(x));
	else
		tmp = Float64(rem(1.0, sqrt(cos(x))) / exp(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -2e-310], N[(N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[(-0.25 / N[Sqrt[0.041666666666666664], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] / N[Exp[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[With[{TMP1 = 1.0, TMP2 = N[Sqrt[N[Cos[x], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] / N[Exp[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.999999999999994e-310

   1. Initial program 5.7%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 5.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 5.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{1}{24} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\left(\frac{1}{24} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 5.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   7. Simplified 5.7%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)}}\right)\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{24}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}} - \frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}} - \frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right), \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \left(\frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      10. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      12. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({x}^{2}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      17. sqrt-lowering-sqrt.f64 51.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   10. Simplified 51.8%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\sqrt{0.041666666666666664} - \frac{\frac{0.25}{x \cdot x}}{\sqrt{0.041666666666666664}}\right)\right)}\right)}{e^{x}} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{4}}{\sqrt{\frac{1}{24}}}\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 98.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   13. Simplified 98.2%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(\frac{-0.25}{\sqrt{0.041666666666666664}}\right)}\right)}{e^{x}} \]

   if -1.999999999999994e-310 < x

   1. Initial program 6.8%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 6.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 6.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 27.3%

      \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{1} \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 2: 61.5% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\frac{-0.25}{\sqrt{0.041666666666666664}}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(1 \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -2e-310)
   (fmod (exp x) (/ -0.25 (sqrt 0.041666666666666664)))
   (/ (fmod 1.0 (sqrt (cos x))) (exp x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -2e-310) {
		tmp = fmod(exp(x), (-0.25 / sqrt(0.041666666666666664)));
	} else {
		tmp = fmod(1.0, sqrt(cos(x))) / exp(x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-2d-310)) then
        tmp = mod(exp(x), ((-0.25d0) / sqrt(0.041666666666666664d0)))
    else
        tmp = mod(1.0d0, sqrt(cos(x))) / exp(x)
    end if
    code = tmp
end function

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -2e-310:
		tmp = math.fmod(math.exp(x), (-0.25 / math.sqrt(0.041666666666666664)))
	else:
		tmp = math.fmod(1.0, math.sqrt(math.cos(x))) / math.exp(x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -2e-310)
		tmp = rem(exp(x), Float64(-0.25 / sqrt(0.041666666666666664)));
	else
		tmp = Float64(rem(1.0, sqrt(cos(x))) / exp(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -2e-310], N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[(-0.25 / N[Sqrt[0.041666666666666664], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision], N[(N[With[{TMP1 = 1.0, TMP2 = N[Sqrt[N[Cos[x], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] / N[Exp[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.999999999999994e-310

   1. Initial program 5.7%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 5.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 5.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{1}{24} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\left(\frac{1}{24} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 5.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   7. Simplified 5.7%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)}}\right)\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{24}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}} - \frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}} - \frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right), \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \left(\frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      10. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      12. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({x}^{2}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      17. sqrt-lowering-sqrt.f64 51.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   10. Simplified 51.8%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\sqrt{0.041666666666666664} - \frac{\frac{0.25}{x \cdot x}}{\sqrt{0.041666666666666664}}\right)\right)}\right)}{e^{x}} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{4}}{\sqrt{\frac{1}{24}}}\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 98.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   13. Simplified 98.2%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(\frac{-0.25}{\sqrt{0.041666666666666664}}\right)}\right)}{e^{x}} \]

   14. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\frac{\frac{-1}{4}}{\sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)} \]
   15. Step-by-step derivation

       1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{4}}{\sqrt{\frac{1}{24}}}\right)}\right) \]

       2. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{-1}{4}}}{\sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)}\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 97.4%

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 97.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\frac{-0.25}{\sqrt{0.041666666666666664}}\right)\right)} \]

   if -1.999999999999994e-310 < x

   1. Initial program 6.8%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 6.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 6.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 27.3%

      \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{1} \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 3: 61.3% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2 \cdot 10^{-310}:\\ \;\;\;\;\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\frac{-0.25}{\sqrt{0.041666666666666664}}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 \bmod 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -2e-310)
   (fmod (exp x) (/ -0.25 (sqrt 0.041666666666666664)))
   (fmod 1.0 1.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -2e-310) {
		tmp = fmod(exp(x), (-0.25 / sqrt(0.041666666666666664)));
	} else {
		tmp = fmod(1.0, 1.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-2d-310)) then
        tmp = mod(exp(x), ((-0.25d0) / sqrt(0.041666666666666664d0)))
    else
        tmp = mod(1.0d0, 1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -2e-310:
		tmp = math.fmod(math.exp(x), (-0.25 / math.sqrt(0.041666666666666664)))
	else:
		tmp = math.fmod(1.0, 1.0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -2e-310)
		tmp = rem(exp(x), Float64(-0.25 / sqrt(0.041666666666666664)));
	else
		tmp = rem(1.0, 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -2e-310], N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[(-0.25 / N[Sqrt[0.041666666666666664], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision], N[With[{TMP1 = 1.0, TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.999999999999994e-310

   1. Initial program 5.7%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 5.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 5.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{1}{24} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{1}{24} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\left(\frac{1}{24} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{24} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 5.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   7. Simplified 5.7%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)}}\right)\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{24}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}} - \frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}} - \frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      6. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right), \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \left(\frac{\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \left(\frac{\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      10. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      12. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({x}^{2}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      17. sqrt-lowering-sqrt.f64 51.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   10. Simplified 51.8%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\sqrt{0.041666666666666664} - \frac{\frac{0.25}{x \cdot x}}{\sqrt{0.041666666666666664}}\right)\right)}\right)}{e^{x}} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{4}}{\sqrt{\frac{1}{24}}}\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 98.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   13. Simplified 98.2%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(\frac{-0.25}{\sqrt{0.041666666666666664}}\right)}\right)}{e^{x}} \]

   14. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\frac{\frac{-1}{4}}{\sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right)} \]
   15. Step-by-step derivation

       1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{4}}{\sqrt{\frac{1}{24}}}\right)}\right) \]

       2. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{-1}{4}}}{\sqrt{\frac{1}{24}}}\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{24}}\right)}\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 97.4%

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{24}\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 97.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\frac{-0.25}{\sqrt{0.041666666666666664}}\right)\right)} \]

   if -1.999999999999994e-310 < x

   1. Initial program 6.8%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 6.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 6.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 5.6%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{1}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 5.6%

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right) \]

   10. Simplified 5.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{1}, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 27.1%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{1} \bmod 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 4: 34.0% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{0.25}{x \cdot x} + 0.010416666666666666\\ t_1 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_2 := x \cdot t\_1\\ t_3 := 1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)\\ t_4 := \frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{t\_2}\\ t_5 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ t_6 := \frac{t\_0}{x \cdot x}\\ \mathbf{if}\;x \leq -5.6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{t\_3}{\left(t\_3 \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq -2.1 \cdot 10^{-39}:\\ \;\;\;\;\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\frac{t\_5 \cdot \left(-3.589164409454304 \cdot 10^{-8} + \frac{\left(-0.010416666666666666 + \frac{-0.25}{x \cdot x}\right) \cdot \left(t\_0 \cdot t\_0\right)}{t\_5}\right)}{1.0880835262345679 \cdot 10^{-5} + t\_6 \cdot \left(t\_6 + -0.003298611111111111\right)}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq -1.16 \cdot 10^{-54}:\\ \;\;\;\;\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\frac{\left(1.0880835262345679 \cdot 10^{-5} - t\_4 \cdot t\_4\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot t\_2\right)}{-0.003298611111111111 + t\_4}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq -1.35 \cdot 10^{-108}:\\ \;\;\;\;\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(t\_1 \cdot \left(t\_1 \cdot \left(-0.003298611111111111 - t\_4\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 \bmod 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (/ 0.25 (* x x)) 0.010416666666666666))
        (t_1 (* x (* x x)))
        (t_2 (* x t_1))
        (t_3 (+ 1.0 (* x (+ 1.0 (* x 0.5)))))
        (t_4 (+ (/ 0.010416666666666666 (* x x)) (/ 0.25 t_2)))
        (t_5 (* (* x x) (* (* x x) (* x x))))
        (t_6 (/ t_0 (* x x))))
   (if (<= x -5.6e-17)
     (/
      1.0
      (/
       t_3
       (fmod
        t_3
        (+ 1.0 (* x (* x (+ -0.25 (* (* x x) -0.010416666666666666))))))))
     (if (<= x -2.1e-39)
       (fmod
        (exp x)
        (/
         (*
          t_5
          (+
           -3.589164409454304e-8
           (/
            (* (+ -0.010416666666666666 (/ -0.25 (* x x))) (* t_0 t_0))
            t_5)))
         (+ 1.0880835262345679e-5 (* t_6 (+ t_6 -0.003298611111111111)))))
       (if (<= x -1.16e-54)
         (fmod
          (exp x)
          (/
           (* (- 1.0880835262345679e-5 (* t_4 t_4)) (* (* x x) t_2))
           (+ -0.003298611111111111 t_4)))
         (if (<= x -1.35e-108)
           (fmod (exp x) (* t_1 (* t_1 (- -0.003298611111111111 t_4))))
           (fmod 1.0 1.0)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (0.25 / (x * x)) + 0.010416666666666666;
	double t_1 = x * (x * x);
	double t_2 = x * t_1;
	double t_3 = 1.0 + (x * (1.0 + (x * 0.5)));
	double t_4 = (0.010416666666666666 / (x * x)) + (0.25 / t_2);
	double t_5 = (x * x) * ((x * x) * (x * x));
	double t_6 = t_0 / (x * x);
	double tmp;
	if (x <= -5.6e-17) {
		tmp = 1.0 / (t_3 / fmod(t_3, (1.0 + (x * (x * (-0.25 + ((x * x) * -0.010416666666666666)))))));
	} else if (x <= -2.1e-39) {
		tmp = fmod(exp(x), ((t_5 * (-3.589164409454304e-8 + (((-0.010416666666666666 + (-0.25 / (x * x))) * (t_0 * t_0)) / t_5))) / (1.0880835262345679e-5 + (t_6 * (t_6 + -0.003298611111111111)))));
	} else if (x <= -1.16e-54) {
		tmp = fmod(exp(x), (((1.0880835262345679e-5 - (t_4 * t_4)) * ((x * x) * t_2)) / (-0.003298611111111111 + t_4)));
	} else if (x <= -1.35e-108) {
		tmp = fmod(exp(x), (t_1 * (t_1 * (-0.003298611111111111 - t_4))));
	} else {
		tmp = fmod(1.0, 1.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: t_6
    real(8) :: tmp
    t_0 = (0.25d0 / (x * x)) + 0.010416666666666666d0
    t_1 = x * (x * x)
    t_2 = x * t_1
    t_3 = 1.0d0 + (x * (1.0d0 + (x * 0.5d0)))
    t_4 = (0.010416666666666666d0 / (x * x)) + (0.25d0 / t_2)
    t_5 = (x * x) * ((x * x) * (x * x))
    t_6 = t_0 / (x * x)
    if (x <= (-5.6d-17)) then
        tmp = 1.0d0 / (t_3 / mod(t_3, (1.0d0 + (x * (x * ((-0.25d0) + ((x * x) * (-0.010416666666666666d0))))))))
    else if (x <= (-2.1d-39)) then
        tmp = mod(exp(x), ((t_5 * ((-3.589164409454304d-8) + ((((-0.010416666666666666d0) + ((-0.25d0) / (x * x))) * (t_0 * t_0)) / t_5))) / (1.0880835262345679d-5 + (t_6 * (t_6 + (-0.003298611111111111d0))))))
    else if (x <= (-1.16d-54)) then
        tmp = mod(exp(x), (((1.0880835262345679d-5 - (t_4 * t_4)) * ((x * x) * t_2)) / ((-0.003298611111111111d0) + t_4)))
    else if (x <= (-1.35d-108)) then
        tmp = mod(exp(x), (t_1 * (t_1 * ((-0.003298611111111111d0) - t_4))))
    else
        tmp = mod(1.0d0, 1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Python

def code(x):
	t_0 = (0.25 / (x * x)) + 0.010416666666666666
	t_1 = x * (x * x)
	t_2 = x * t_1
	t_3 = 1.0 + (x * (1.0 + (x * 0.5)))
	t_4 = (0.010416666666666666 / (x * x)) + (0.25 / t_2)
	t_5 = (x * x) * ((x * x) * (x * x))
	t_6 = t_0 / (x * x)
	tmp = 0
	if x <= -5.6e-17:
		tmp = 1.0 / (t_3 / math.fmod(t_3, (1.0 + (x * (x * (-0.25 + ((x * x) * -0.010416666666666666)))))))
	elif x <= -2.1e-39:
		tmp = math.fmod(math.exp(x), ((t_5 * (-3.589164409454304e-8 + (((-0.010416666666666666 + (-0.25 / (x * x))) * (t_0 * t_0)) / t_5))) / (1.0880835262345679e-5 + (t_6 * (t_6 + -0.003298611111111111)))))
	elif x <= -1.16e-54:
		tmp = math.fmod(math.exp(x), (((1.0880835262345679e-5 - (t_4 * t_4)) * ((x * x) * t_2)) / (-0.003298611111111111 + t_4)))
	elif x <= -1.35e-108:
		tmp = math.fmod(math.exp(x), (t_1 * (t_1 * (-0.003298611111111111 - t_4))))
	else:
		tmp = math.fmod(1.0, 1.0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(0.25 / Float64(x * x)) + 0.010416666666666666)
	t_1 = Float64(x * Float64(x * x))
	t_2 = Float64(x * t_1)
	t_3 = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * 0.5))))
	t_4 = Float64(Float64(0.010416666666666666 / Float64(x * x)) + Float64(0.25 / t_2))
	t_5 = Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x)))
	t_6 = Float64(t_0 / Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (x <= -5.6e-17)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(t_3 / rem(t_3, Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(-0.25 + Float64(Float64(x * x) * -0.010416666666666666))))))));
	elseif (x <= -2.1e-39)
		tmp = rem(exp(x), Float64(Float64(t_5 * Float64(-3.589164409454304e-8 + Float64(Float64(Float64(-0.010416666666666666 + Float64(-0.25 / Float64(x * x))) * Float64(t_0 * t_0)) / t_5))) / Float64(1.0880835262345679e-5 + Float64(t_6 * Float64(t_6 + -0.003298611111111111)))));
	elseif (x <= -1.16e-54)
		tmp = rem(exp(x), Float64(Float64(Float64(1.0880835262345679e-5 - Float64(t_4 * t_4)) * Float64(Float64(x * x) * t_2)) / Float64(-0.003298611111111111 + t_4)));
	elseif (x <= -1.35e-108)
		tmp = rem(exp(x), Float64(t_1 * Float64(t_1 * Float64(-0.003298611111111111 - t_4))));
	else
		tmp = rem(1.0, 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(0.25 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.010416666666666666), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(x * t$95$1), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(1.0 + N[(x * N[(1.0 + N[(x * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(0.010416666666666666 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.25 / t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[(t$95$0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -5.6e-17], N[(1.0 / N[(t$95$3 / N[With[{TMP1 = t$95$3, TMP2 = N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(-0.25 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.010416666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, -2.1e-39], N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[(N[(t$95$5 * N[(-3.589164409454304e-8 + N[(N[(N[(-0.010416666666666666 + N[(-0.25 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0880835262345679e-5 + N[(t$95$6 * N[(t$95$6 + -0.003298611111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision], If[LessEqual[x, -1.16e-54], N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[(N[(N[(1.0880835262345679e-5 - N[(t$95$4 * t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(-0.003298611111111111 + t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision], If[LessEqual[x, -1.35e-108], N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[(t$95$1 * N[(t$95$1 * N[(-0.003298611111111111 - t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision], N[With[{TMP1 = 1.0, TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]]]]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if x < -5.5999999999999998e-17

   1. Initial program 60.0%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 60.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 60.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{x}}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{e^{x}}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}\right)}\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\color{blue}{\left(e^{x}\right)} \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)\right)\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\cos x}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\cos x}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({\cos x}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\cos x, \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 60.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 60.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{x}}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left({\cos x}^{0.5}\right)\right)}}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{4} + \color{blue}{\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{96}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{96}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 60.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 60.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{x}}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)}\right)}} \]

   10. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)}, \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(x\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 48.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 48.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)}}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)}} \]

   13. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x + 1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2} + 1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. rgt-mult-inverse N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2} + x \cdot \frac{1}{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. distribute-lft-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2} + x \cdot \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x + x \cdot \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. rgt-mult-inverse N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x + 1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)}{\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)\right)} \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)}} \]

   if -5.5999999999999998e-17 < x < -2.09999999999999993e-39

   1. Initial program 3.1%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 3.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 3.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{4} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} + \frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      20. *-lowering-*.f64 3.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   7. Simplified 3.1%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.010416666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.003298611111111111\right)\right)\right)\right)}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{6}\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \frac{-19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      7. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      11. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 6.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   10. Simplified 6.8%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-0.003298611111111111 - \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right)}\right)}{e^{x}} \]

   12. Applied egg-rr 76.9%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(\frac{\left(-3.589164409454304 \cdot 10^{-8} + \frac{\left(-0.010416666666666666 + \frac{-0.25}{x \cdot x}\right) \cdot \left(\left(\frac{0.25}{x \cdot x} + 0.010416666666666666\right) \cdot \left(\frac{0.25}{x \cdot x} + 0.010416666666666666\right)\right)}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}{1.0880835262345679 \cdot 10^{-5} + \frac{\frac{0.25}{x \cdot x} + 0.010416666666666666}{x \cdot x} \cdot \left(-0.003298611111111111 + \frac{\frac{0.25}{x \cdot x} + 0.010416666666666666}{x \cdot x}\right)}\right)}\right)}{e^{x}} \]

   13. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-6859}{191102976000}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \frac{1}{96}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \frac{1}{96}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{361}{33177600}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \frac{1}{96}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \frac{1}{96}\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   14. Step-by-step derivation

   15. Simplified 76.9%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\frac{\left(-3.589164409454304 \cdot 10^{-8} + \frac{\left(-0.010416666666666666 + \frac{-0.25}{x \cdot x}\right) \cdot \left(\left(\frac{0.25}{x \cdot x} + 0.010416666666666666\right) \cdot \left(\frac{0.25}{x \cdot x} + 0.010416666666666666\right)\right)}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}{1.0880835262345679 \cdot 10^{-5} + \frac{\frac{0.25}{x \cdot x} + 0.010416666666666666}{x \cdot x} \cdot \left(-0.003298611111111111 + \frac{\frac{0.25}{x \cdot x} + 0.010416666666666666}{x \cdot x}\right)}\right)\right)}{\color{blue}{1}} \]

   if -2.09999999999999993e-39 < x < -1.16e-54

   1. Initial program 3.1%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 3.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 3.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{4} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} + \frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      20. *-lowering-*.f64 3.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   7. Simplified 3.1%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.010416666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.003298611111111111\right)\right)\right)\right)}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{6}\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \frac{-19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      7. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      11. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 5.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   10. Simplified 5.7%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-0.003298611111111111 - \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right)}\right)}{e^{x}} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(-1 \cdot \left({x}^{6} \cdot \left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left({x}^{6} \cdot \left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

       2. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \left({x}^{6} \cdot \left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\mathsf{neg}\left({x}^{6} \cdot \left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({x}^{6} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       5. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({x}^{6} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({x}^{6} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({x}^{6} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{6}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       9. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 5.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left({x}^{6} \cdot \left(-0.003298611111111111 - \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right) \cdot \color{blue}{{x}^{6}}\right)\right) \]

       2. flip-- N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}{\frac{-19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)} \cdot {\color{blue}{x}}^{6}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}{\frac{-19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)} \cdot {x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{3}\right)}\right)\right) \]

       4. pow-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}{\frac{-19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{\color{blue}{3}}\right)\right) \]

       5. pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}{\frac{-19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)} \cdot {\left(x \cdot x\right)}^{3}\right)\right) \]

       6. cube-unmult N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}{\frac{-19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       7. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\left(\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}{\color{blue}{\frac{-19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}}\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right)}\right)\right) \]

   15. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(\frac{\left(1.0880835262345679 \cdot 10^{-5} - \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) \cdot \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}{-0.003298611111111111 + \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)}\right)}\right) \]

   if -1.16e-54 < x < -1.35000000000000002e-108

   1. Initial program 3.1%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 3.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 3.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{4} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} + \frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      20. *-lowering-*.f64 3.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   7. Simplified 3.1%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.010416666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.003298611111111111\right)\right)\right)\right)}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{6}\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \frac{-19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      7. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      11. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 0.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   10. Simplified 0.0%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-0.003298611111111111 - \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right)}\right)}{e^{x}} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(-1 \cdot \left({x}^{6} \cdot \left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left({x}^{6} \cdot \left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

       2. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \left({x}^{6} \cdot \left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\mathsf{neg}\left({x}^{6} \cdot \left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({x}^{6} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       5. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({x}^{6} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({x}^{6} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({x}^{6} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{6}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       9. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 0.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left({x}^{6} \cdot \left(-0.003298611111111111 - \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right) \cdot \color{blue}{{x}^{6}}\right)\right) \]

       2. sqr-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right) \cdot \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)} \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\left(\frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right) \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right) \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right), \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)}\right)\right) \]

   15. Applied egg-rr 52.5%

       \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(\left(\left(-0.003298611111111111 - \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}\right) \]

   if -1.35000000000000002e-108 < x

   1. Initial program 5.5%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 5.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 5.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 4.8%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{1}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 4.7%

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right) \]

   10. Simplified 4.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{1}, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 19.0%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{1} \bmod 1\right) \]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 26.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5.6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)}{\left(\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)\right) \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq -2.1 \cdot 10^{-39}:\\ \;\;\;\;\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(-3.589164409454304 \cdot 10^{-8} + \frac{\left(-0.010416666666666666 + \frac{-0.25}{x \cdot x}\right) \cdot \left(\left(\frac{0.25}{x \cdot x} + 0.010416666666666666\right) \cdot \left(\frac{0.25}{x \cdot x} + 0.010416666666666666\right)\right)}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)}{1.0880835262345679 \cdot 10^{-5} + \frac{\frac{0.25}{x \cdot x} + 0.010416666666666666}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{\frac{0.25}{x \cdot x} + 0.010416666666666666}{x \cdot x} + -0.003298611111111111\right)}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq -1.16 \cdot 10^{-54}:\\ \;\;\;\;\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\frac{\left(1.0880835262345679 \cdot 10^{-5} - \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) \cdot \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}{-0.003298611111111111 + \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq -1.35 \cdot 10^{-108}:\\ \;\;\;\;\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(-0.003298611111111111 - \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 \bmod 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 32.5% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_1 := x \cdot t\_0\\ t_2 := \frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{t\_1}\\ t_3 := 1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -5.6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{t\_3}{\left(t\_3 \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq -1.16 \cdot 10^{-54}:\\ \;\;\;\;\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\frac{\left(1.0880835262345679 \cdot 10^{-5} - t\_2 \cdot t\_2\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot t\_1\right)}{-0.003298611111111111 + t\_2}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq -1.35 \cdot 10^{-108}:\\ \;\;\;\;\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(t\_0 \cdot \left(t\_0 \cdot \left(-0.003298611111111111 - t\_2\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 \bmod 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x x)))
        (t_1 (* x t_0))
        (t_2 (+ (/ 0.010416666666666666 (* x x)) (/ 0.25 t_1)))
        (t_3 (+ 1.0 (* x (+ 1.0 (* x 0.5))))))
   (if (<= x -5.6e-17)
     (/
      1.0
      (/
       t_3
       (fmod
        t_3
        (+ 1.0 (* x (* x (+ -0.25 (* (* x x) -0.010416666666666666))))))))
     (if (<= x -1.16e-54)
       (fmod
        (exp x)
        (/
         (* (- 1.0880835262345679e-5 (* t_2 t_2)) (* (* x x) t_1))
         (+ -0.003298611111111111 t_2)))
       (if (<= x -1.35e-108)
         (fmod (exp x) (* t_0 (* t_0 (- -0.003298611111111111 t_2))))
         (fmod 1.0 1.0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * x);
	double t_1 = x * t_0;
	double t_2 = (0.010416666666666666 / (x * x)) + (0.25 / t_1);
	double t_3 = 1.0 + (x * (1.0 + (x * 0.5)));
	double tmp;
	if (x <= -5.6e-17) {
		tmp = 1.0 / (t_3 / fmod(t_3, (1.0 + (x * (x * (-0.25 + ((x * x) * -0.010416666666666666)))))));
	} else if (x <= -1.16e-54) {
		tmp = fmod(exp(x), (((1.0880835262345679e-5 - (t_2 * t_2)) * ((x * x) * t_1)) / (-0.003298611111111111 + t_2)));
	} else if (x <= -1.35e-108) {
		tmp = fmod(exp(x), (t_0 * (t_0 * (-0.003298611111111111 - t_2))));
	} else {
		tmp = fmod(1.0, 1.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = x * (x * x)
    t_1 = x * t_0
    t_2 = (0.010416666666666666d0 / (x * x)) + (0.25d0 / t_1)
    t_3 = 1.0d0 + (x * (1.0d0 + (x * 0.5d0)))
    if (x <= (-5.6d-17)) then
        tmp = 1.0d0 / (t_3 / mod(t_3, (1.0d0 + (x * (x * ((-0.25d0) + ((x * x) * (-0.010416666666666666d0))))))))
    else if (x <= (-1.16d-54)) then
        tmp = mod(exp(x), (((1.0880835262345679d-5 - (t_2 * t_2)) * ((x * x) * t_1)) / ((-0.003298611111111111d0) + t_2)))
    else if (x <= (-1.35d-108)) then
        tmp = mod(exp(x), (t_0 * (t_0 * ((-0.003298611111111111d0) - t_2))))
    else
        tmp = mod(1.0d0, 1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Python

def code(x):
	t_0 = x * (x * x)
	t_1 = x * t_0
	t_2 = (0.010416666666666666 / (x * x)) + (0.25 / t_1)
	t_3 = 1.0 + (x * (1.0 + (x * 0.5)))
	tmp = 0
	if x <= -5.6e-17:
		tmp = 1.0 / (t_3 / math.fmod(t_3, (1.0 + (x * (x * (-0.25 + ((x * x) * -0.010416666666666666)))))))
	elif x <= -1.16e-54:
		tmp = math.fmod(math.exp(x), (((1.0880835262345679e-5 - (t_2 * t_2)) * ((x * x) * t_1)) / (-0.003298611111111111 + t_2)))
	elif x <= -1.35e-108:
		tmp = math.fmod(math.exp(x), (t_0 * (t_0 * (-0.003298611111111111 - t_2))))
	else:
		tmp = math.fmod(1.0, 1.0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * x))
	t_1 = Float64(x * t_0)
	t_2 = Float64(Float64(0.010416666666666666 / Float64(x * x)) + Float64(0.25 / t_1))
	t_3 = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * 0.5))))
	tmp = 0.0
	if (x <= -5.6e-17)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(t_3 / rem(t_3, Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(-0.25 + Float64(Float64(x * x) * -0.010416666666666666))))))));
	elseif (x <= -1.16e-54)
		tmp = rem(exp(x), Float64(Float64(Float64(1.0880835262345679e-5 - Float64(t_2 * t_2)) * Float64(Float64(x * x) * t_1)) / Float64(-0.003298611111111111 + t_2)));
	elseif (x <= -1.35e-108)
		tmp = rem(exp(x), Float64(t_0 * Float64(t_0 * Float64(-0.003298611111111111 - t_2))));
	else
		tmp = rem(1.0, 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(x * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(0.010416666666666666 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.25 / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(1.0 + N[(x * N[(1.0 + N[(x * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -5.6e-17], N[(1.0 / N[(t$95$3 / N[With[{TMP1 = t$95$3, TMP2 = N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(-0.25 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.010416666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, -1.16e-54], N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[(N[(N[(1.0880835262345679e-5 - N[(t$95$2 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(-0.003298611111111111 + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision], If[LessEqual[x, -1.35e-108], N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[(t$95$0 * N[(t$95$0 * N[(-0.003298611111111111 - t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision], N[With[{TMP1 = 1.0, TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if x < -5.5999999999999998e-17

   1. Initial program 60.0%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 60.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 60.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{x}}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{e^{x}}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}\right)}\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\color{blue}{\left(e^{x}\right)} \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)\right)\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\cos x}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\cos x}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({\cos x}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\cos x, \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 60.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 60.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{x}}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left({\cos x}^{0.5}\right)\right)}}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{4} + \color{blue}{\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{96}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{96}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 60.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 60.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{x}}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)}\right)}} \]

   10. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)}, \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(x\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 48.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 48.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)}}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)}} \]

   13. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x + 1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2} + 1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. rgt-mult-inverse N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2} + x \cdot \frac{1}{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. distribute-lft-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2} + x \cdot \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x + x \cdot \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. rgt-mult-inverse N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x + 1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)}{\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)\right)} \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)}} \]

   if -5.5999999999999998e-17 < x < -1.16e-54

   1. Initial program 3.1%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 3.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 3.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{4} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} + \frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      20. *-lowering-*.f64 3.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   7. Simplified 3.1%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.010416666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.003298611111111111\right)\right)\right)\right)}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{6}\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \frac{-19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      7. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      11. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 6.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   10. Simplified 6.3%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-0.003298611111111111 - \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right)}\right)}{e^{x}} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(-1 \cdot \left({x}^{6} \cdot \left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left({x}^{6} \cdot \left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

       2. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \left({x}^{6} \cdot \left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\mathsf{neg}\left({x}^{6} \cdot \left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({x}^{6} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       5. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({x}^{6} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({x}^{6} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({x}^{6} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{6}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       9. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 6.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left({x}^{6} \cdot \left(-0.003298611111111111 - \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right) \cdot \color{blue}{{x}^{6}}\right)\right) \]

       2. flip-- N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}{\frac{-19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)} \cdot {\color{blue}{x}}^{6}\right)\right) \]

       3. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}{\frac{-19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)} \cdot {x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{3}\right)}\right)\right) \]

       4. pow-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}{\frac{-19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{\color{blue}{3}}\right)\right) \]

       5. pow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}{\frac{-19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)} \cdot {\left(x \cdot x\right)}^{3}\right)\right) \]

       6. cube-unmult N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}{\frac{-19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       7. associate-*l/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\frac{\left(\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}{\color{blue}{\frac{-19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}}\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{-19}{5760} \cdot \frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right)}\right)\right) \]

   15. Applied egg-rr 46.7%

       \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(\frac{\left(1.0880835262345679 \cdot 10^{-5} - \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) \cdot \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}{-0.003298611111111111 + \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)}\right)}\right) \]

   if -1.16e-54 < x < -1.35000000000000002e-108

   1. Initial program 3.1%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 3.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 3.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{4} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} + \frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      20. *-lowering-*.f64 3.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   7. Simplified 3.1%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.010416666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.003298611111111111\right)\right)\right)\right)}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{6}\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \frac{-19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      7. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      11. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 0.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   10. Simplified 0.0%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-0.003298611111111111 - \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right)}\right)}{e^{x}} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(-1 \cdot \left({x}^{6} \cdot \left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left({x}^{6} \cdot \left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

       2. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \left({x}^{6} \cdot \left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\mathsf{neg}\left({x}^{6} \cdot \left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({x}^{6} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       5. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({x}^{6} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({x}^{6} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({x}^{6} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{6}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       9. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 0.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left({x}^{6} \cdot \left(-0.003298611111111111 - \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right) \cdot \color{blue}{{x}^{6}}\right)\right) \]

       2. sqr-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right) \cdot \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)} \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\left(\frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right) \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right) \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right), \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)}\right)\right) \]

   15. Applied egg-rr 52.5%

       \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(\left(\left(-0.003298611111111111 - \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}\right) \]

   if -1.35000000000000002e-108 < x

   1. Initial program 5.5%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 5.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 5.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 4.8%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{1}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 4.7%

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right) \]

   10. Simplified 4.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{1}, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 19.0%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{1} \bmod 1\right) \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 24.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5.6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)}{\left(\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)\right) \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq -1.16 \cdot 10^{-54}:\\ \;\;\;\;\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\frac{\left(1.0880835262345679 \cdot 10^{-5} - \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) \cdot \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}{-0.003298611111111111 + \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq -1.35 \cdot 10^{-108}:\\ \;\;\;\;\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(-0.003298611111111111 - \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 \bmod 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 30.7% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)\\ t_1 := x \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -5.6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{t\_0}{\left(t\_0 \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq -1.35 \cdot 10^{-108}:\\ \;\;\;\;\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(t\_1 \cdot \left(t\_1 \cdot \left(-0.003298611111111111 - \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{x \cdot t\_1}\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 \bmod 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 1.0 (* x (+ 1.0 (* x 0.5))))) (t_1 (* x (* x x))))
   (if (<= x -5.6e-17)
     (/
      1.0
      (/
       t_0
       (fmod
        t_0
        (+ 1.0 (* x (* x (+ -0.25 (* (* x x) -0.010416666666666666))))))))
     (if (<= x -1.35e-108)
       (fmod
        (exp x)
        (*
         t_1
         (*
          t_1
          (-
           -0.003298611111111111
           (+ (/ 0.010416666666666666 (* x x)) (/ 0.25 (* x t_1)))))))
       (fmod 1.0 1.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 + (x * (1.0 + (x * 0.5)));
	double t_1 = x * (x * x);
	double tmp;
	if (x <= -5.6e-17) {
		tmp = 1.0 / (t_0 / fmod(t_0, (1.0 + (x * (x * (-0.25 + ((x * x) * -0.010416666666666666)))))));
	} else if (x <= -1.35e-108) {
		tmp = fmod(exp(x), (t_1 * (t_1 * (-0.003298611111111111 - ((0.010416666666666666 / (x * x)) + (0.25 / (x * t_1)))))));
	} else {
		tmp = fmod(1.0, 1.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = 1.0d0 + (x * (1.0d0 + (x * 0.5d0)))
    t_1 = x * (x * x)
    if (x <= (-5.6d-17)) then
        tmp = 1.0d0 / (t_0 / mod(t_0, (1.0d0 + (x * (x * ((-0.25d0) + ((x * x) * (-0.010416666666666666d0))))))))
    else if (x <= (-1.35d-108)) then
        tmp = mod(exp(x), (t_1 * (t_1 * ((-0.003298611111111111d0) - ((0.010416666666666666d0 / (x * x)) + (0.25d0 / (x * t_1)))))))
    else
        tmp = mod(1.0d0, 1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 + (x * (1.0 + (x * 0.5)))
	t_1 = x * (x * x)
	tmp = 0
	if x <= -5.6e-17:
		tmp = 1.0 / (t_0 / math.fmod(t_0, (1.0 + (x * (x * (-0.25 + ((x * x) * -0.010416666666666666)))))))
	elif x <= -1.35e-108:
		tmp = math.fmod(math.exp(x), (t_1 * (t_1 * (-0.003298611111111111 - ((0.010416666666666666 / (x * x)) + (0.25 / (x * t_1)))))))
	else:
		tmp = math.fmod(1.0, 1.0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * 0.5))))
	t_1 = Float64(x * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (x <= -5.6e-17)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(t_0 / rem(t_0, Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(-0.25 + Float64(Float64(x * x) * -0.010416666666666666))))))));
	elseif (x <= -1.35e-108)
		tmp = rem(exp(x), Float64(t_1 * Float64(t_1 * Float64(-0.003298611111111111 - Float64(Float64(0.010416666666666666 / Float64(x * x)) + Float64(0.25 / Float64(x * t_1)))))));
	else
		tmp = rem(1.0, 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 + N[(x * N[(1.0 + N[(x * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -5.6e-17], N[(1.0 / N[(t$95$0 / N[With[{TMP1 = t$95$0, TMP2 = N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(-0.25 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.010416666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, -1.35e-108], N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[(t$95$1 * N[(t$95$1 * N[(-0.003298611111111111 - N[(N[(0.010416666666666666 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.25 / N[(x * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision], N[With[{TMP1 = 1.0, TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -5.5999999999999998e-17

   1. Initial program 60.0%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 60.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 60.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{x}}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{e^{x}}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}\right)}\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\color{blue}{\left(e^{x}\right)} \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)\right)\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\cos x}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\cos x}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({\cos x}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\cos x, \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 60.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 60.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{x}}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left({\cos x}^{0.5}\right)\right)}}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{4} + \color{blue}{\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{96}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{96}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 60.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 60.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{x}}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)}\right)}} \]

   10. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)}, \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(x\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 48.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 48.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)}}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)}} \]

   13. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x + 1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2} + 1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. rgt-mult-inverse N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2} + x \cdot \frac{1}{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. distribute-lft-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2} + x \cdot \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x + x \cdot \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. rgt-mult-inverse N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x + 1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)}{\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)\right)} \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)}} \]

   if -5.5999999999999998e-17 < x < -1.35000000000000002e-108

   1. Initial program 3.1%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 3.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 3.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{4} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} + \frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      20. *-lowering-*.f64 3.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   7. Simplified 3.1%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.010416666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.003298611111111111\right)\right)\right)\right)}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{6}\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} - \frac{19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(-1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}} + \frac{-19}{5760}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + -1 \cdot \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      6. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      7. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\frac{-19}{5760} - \frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \left(\frac{\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      11. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 2.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{-19}{5760}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{96}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   10. Simplified 2.6%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left({x}^{6} \cdot \left(-0.003298611111111111 - \frac{0.010416666666666666 + \frac{0.25}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)\right)}\right)}{e^{x}} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(-1 \cdot \left({x}^{6} \cdot \left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \left({x}^{6} \cdot \left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

       2. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \left({x}^{6} \cdot \left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\mathsf{neg}\left({x}^{6} \cdot \left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({x}^{6} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       5. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({x}^{6} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({x}^{6} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({x}^{6} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{6}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       9. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, 6\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\left(\frac{19}{5760} + \left(\frac{\frac{1}{4}}{{x}^{4}} + \frac{1}{96} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 2.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left({x}^{6} \cdot \left(-0.003298611111111111 - \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right) \cdot \color{blue}{{x}^{6}}\right)\right) \]

       2. sqr-pow N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right) \cdot \left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)} \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}}\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\left(\left(\frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right) \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{-19}{5760} - \left(\frac{\frac{1}{96}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)\right) \cdot {x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right), \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{6}{2}\right)}\right)}\right)\right) \]

   15. Applied egg-rr 33.5%

       \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(\left(\left(-0.003298611111111111 - \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}\right) \]

   if -1.35000000000000002e-108 < x

   1. Initial program 5.5%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 5.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 5.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 4.8%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{1}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 4.7%

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right) \]

   10. Simplified 4.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{1}, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 19.0%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{1} \bmod 1\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 22.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5.6 \cdot 10^{-17}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)}{\left(\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)\right) \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq -1.35 \cdot 10^{-108}:\\ \;\;\;\;\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(-0.003298611111111111 - \left(\frac{0.010416666666666666}{x \cdot x} + \frac{0.25}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 \bmod 1\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 27.8% accurate, 3.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 0.2:\\ \;\;\;\;\frac{\left(t\_0 \bmod \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.010416666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.003298611111111111\right)\right)\right)\right)\right)}{t\_0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 \bmod 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 1.0 (* x (+ 1.0 (* x 0.5))))))
   (if (<= x 0.2)
     (/
      (fmod
       t_0
       (+
        1.0
        (*
         (* x x)
         (+
          -0.25
          (*
           x
           (*
            x
            (+ -0.010416666666666666 (* (* x x) -0.003298611111111111))))))))
      t_0)
     (fmod 1.0 1.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 + (x * (1.0 + (x * 0.5)));
	double tmp;
	if (x <= 0.2) {
		tmp = fmod(t_0, (1.0 + ((x * x) * (-0.25 + (x * (x * (-0.010416666666666666 + ((x * x) * -0.003298611111111111)))))))) / t_0;
	} else {
		tmp = fmod(1.0, 1.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 1.0d0 + (x * (1.0d0 + (x * 0.5d0)))
    if (x <= 0.2d0) then
        tmp = mod(t_0, (1.0d0 + ((x * x) * ((-0.25d0) + (x * (x * ((-0.010416666666666666d0) + ((x * x) * (-0.003298611111111111d0))))))))) / t_0
    else
        tmp = mod(1.0d0, 1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 + (x * (1.0 + (x * 0.5)))
	tmp = 0
	if x <= 0.2:
		tmp = math.fmod(t_0, (1.0 + ((x * x) * (-0.25 + (x * (x * (-0.010416666666666666 + ((x * x) * -0.003298611111111111)))))))) / t_0
	else:
		tmp = math.fmod(1.0, 1.0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * 0.5))))
	tmp = 0.0
	if (x <= 0.2)
		tmp = Float64(rem(t_0, Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(-0.25 + Float64(x * Float64(x * Float64(-0.010416666666666666 + Float64(Float64(x * x) * -0.003298611111111111)))))))) / t_0);
	else
		tmp = rem(1.0, 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 + N[(x * N[(1.0 + N[(x * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 0.2], N[(N[With[{TMP1 = t$95$0, TMP2 = N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.25 + N[(x * N[(x * N[(-0.010416666666666666 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.003298611111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] / t$95$0), $MachinePrecision], N[With[{TMP1 = 1.0, TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 0.20000000000000001

   1. Initial program 7.2%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 7.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 7.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right) + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{4} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      13. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      14. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      15. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} + \frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left(\frac{-19}{5760} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \left({x}^{2} \cdot \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

      20. *-lowering-*.f64 7.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   7. Simplified 7.1%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.010416666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.003298611111111111\right)\right)\right)\right)}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 6.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 6.6%

       \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.010416666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.003298611111111111\right)\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)}} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 7.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{96}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-19}{5760}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 7.6%

       \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)\right)} \bmod \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.25 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.010416666666666666 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.003298611111111111\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)} \]

   if 0.20000000000000001 < x

   1. Initial program 0.0%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 0.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 0.0%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{1}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 0.0%

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right) \]

   10. Simplified 0.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{1}, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{1} \bmod 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 8: 27.8% accurate, 3.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 0.2:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{t\_0}{\left(t\_0 \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 \bmod 1\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 1.0 (* x (+ 1.0 (* x 0.5))))))
   (if (<= x 0.2)
     (/
      1.0
      (/
       t_0
       (fmod
        t_0
        (+ 1.0 (* x (* x (+ -0.25 (* (* x x) -0.010416666666666666))))))))
     (fmod 1.0 1.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 + (x * (1.0 + (x * 0.5)));
	double tmp;
	if (x <= 0.2) {
		tmp = 1.0 / (t_0 / fmod(t_0, (1.0 + (x * (x * (-0.25 + ((x * x) * -0.010416666666666666)))))));
	} else {
		tmp = fmod(1.0, 1.0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 1.0d0 + (x * (1.0d0 + (x * 0.5d0)))
    if (x <= 0.2d0) then
        tmp = 1.0d0 / (t_0 / mod(t_0, (1.0d0 + (x * (x * ((-0.25d0) + ((x * x) * (-0.010416666666666666d0))))))))
    else
        tmp = mod(1.0d0, 1.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 + (x * (1.0 + (x * 0.5)))
	tmp = 0
	if x <= 0.2:
		tmp = 1.0 / (t_0 / math.fmod(t_0, (1.0 + (x * (x * (-0.25 + ((x * x) * -0.010416666666666666)))))))
	else:
		tmp = math.fmod(1.0, 1.0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 + Float64(x * Float64(1.0 + Float64(x * 0.5))))
	tmp = 0.0
	if (x <= 0.2)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(t_0 / rem(t_0, Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(-0.25 + Float64(Float64(x * x) * -0.010416666666666666))))))));
	else
		tmp = rem(1.0, 1.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 + N[(x * N[(1.0 + N[(x * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 0.2], N[(1.0 / N[(t$95$0 / N[With[{TMP1 = t$95$0, TMP2 = N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(-0.25 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.010416666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[With[{TMP1 = 1.0, TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 0.20000000000000001

   1. Initial program 7.2%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 7.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 7.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{x}}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{e^{x}}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}\right)}\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}\right)\right) \]

      4. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\color{blue}{\left(e^{x}\right)} \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)\right)\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{\cos x}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{\cos x}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. pow1/2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left({\cos x}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\cos x, \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. cos-lowering-cos.f64 7.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 7.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{e^{x}}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left({\cos x}^{0.5}\right)\right)}}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2}} - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} - \frac{1}{4}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2} + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{4} + \color{blue}{\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{96} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{96}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{96}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 7.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 7.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{e^{x}}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)}\right)}} \]

   10. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)}, \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(x\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 6.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 6.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)}}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)}} \]

   13. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x + 1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2} + 1\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. rgt-mult-inverse N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2} + x \cdot \frac{1}{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. distribute-lft-in N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2} + x \cdot \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x + x \cdot \frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. rgt-mult-inverse N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot x + 1\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. *-lowering-*.f64 7.6%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{-1}{96}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 7.6%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)}{\left(\color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(1 + x \cdot 0.5\right)\right)} \bmod \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.25 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.010416666666666666\right)\right)\right)\right)}} \]

   if 0.20000000000000001 < x

   1. Initial program 0.0%

      \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-neg N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      2. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

      3. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

      5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 0.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. Simplified 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 0.0%

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{1}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 0.0%

         \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right) \]

   10. Simplified 0.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]

   11. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{1}, 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{1} \bmod 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 9: 25.5% accurate, 4.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(x + 1\right) \bmod 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (fmod (+ x 1.0) 1.0))

C

double code(double x) {
	return fmod((x + 1.0), 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = mod((x + 1.0d0), 1.0d0)
end function

Python

def code(x):
	return math.fmod((x + 1.0), 1.0)

Julia

function code(x)
	return rem(Float64(x + 1.0), 1.0)
end

Wolfram

code[x_] := N[With[{TMP1 = N[(x + 1.0), $MachinePrecision], TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.3%

   \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. exp-neg N/A

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

   3. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

   5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

   9. exp-lowering-exp.f64 6.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

3. Simplified 6.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 5.6%

   \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{1}\right) \]

   2. exp-lowering-exp.f64 5.2%

      \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right) \]

10. Simplified 5.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + x\right)}, 1\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(x + 1\right), 1\right) \]

    2. +-lowering-+.f64 17.0%

       \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), 1\right) \]

13. Simplified 17.0%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} \bmod 1\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 10: 24.4% accurate, 5.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 \bmod 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (fmod 1.0 1.0))

C

double code(double x) {
	return fmod(1.0, 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = mod(1.0d0, 1.0d0)
end function

Python

def code(x):
	return math.fmod(1.0, 1.0)

Julia

function code(x)
	return rem(1.0, 1.0)
end

Wolfram

code[x_] := N[With[{TMP1 = 1.0, TMP2 = 1.0}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.3%

   \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. exp-neg N/A

      \[\leadsto \left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{e^{x}}} \]

   3. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{\color{blue}{x}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{x}\right)}\right) \]

   5. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\cos x}\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\cos x\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \left(e^{x}\right)\right) \]

   9. exp-lowering-exp.f64 6.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]

3. Simplified 6.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), \color{blue}{1}\right), \mathsf{exp.f64}\left(x\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 5.6%

   \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{1}\right)}{e^{x}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. fmod-lowering-fmod.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\left(e^{x}\right), \color{blue}{1}\right) \]

   2. exp-lowering-exp.f64 5.2%

      \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), 1\right) \]

10. Simplified 5.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(e^{x}\right) \bmod 1\right)} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{fmod.f64}\left(\color{blue}{1}, 1\right) \]
12. Step-by-step derivation

13. Simplified 16.6%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{1} \bmod 1\right) \]
14. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (x)
  :name "expfmod (used to be hard to sample)"
  :precision binary64
  (* (fmod (exp x) (sqrt (cos x))) (exp (- x))))