Toniolo and Linder, Equation (10-)

Percentage Accurate: 36.1% → 97.8%

Time: 20.1s

Alternatives: 17

Speedup: 28.1×

• 39.3% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (t l k)
 :precision binary64
 (/
  2.0
  (*
   (* (* (/ (pow t 3.0) (* l l)) (sin k)) (tan k))
   (- (+ 1.0 (pow (/ k t) 2.0)) 1.0))))

C

double code(double t, double l, double k) {
	return 2.0 / ((((pow(t, 3.0) / (l * l)) * sin(k)) * tan(k)) * ((1.0 + pow((k / t), 2.0)) - 1.0));
}

Fortran

real(8) function code(t, l, k)
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: k
    code = 2.0d0 / (((((t ** 3.0d0) / (l * l)) * sin(k)) * tan(k)) * ((1.0d0 + ((k / t) ** 2.0d0)) - 1.0d0))
end function

Java

public static double code(double t, double l, double k) {
	return 2.0 / ((((Math.pow(t, 3.0) / (l * l)) * Math.sin(k)) * Math.tan(k)) * ((1.0 + Math.pow((k / t), 2.0)) - 1.0));
}

Python

def code(t, l, k):
	return 2.0 / ((((math.pow(t, 3.0) / (l * l)) * math.sin(k)) * math.tan(k)) * ((1.0 + math.pow((k / t), 2.0)) - 1.0))

Julia

function code(t, l, k)
	return Float64(2.0 / Float64(Float64(Float64(Float64((t ^ 3.0) / Float64(l * l)) * sin(k)) * tan(k)) * Float64(Float64(1.0 + (Float64(k / t) ^ 2.0)) - 1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(t, l, k)
	tmp = 2.0 / (((((t ^ 3.0) / (l * l)) * sin(k)) * tan(k)) * ((1.0 + ((k / t) ^ 2.0)) - 1.0));
end

Wolfram

code[t_, l_, k_] := N[(2.0 / N[(N[(N[(N[(N[Power[t, 3.0], $MachinePrecision] / N[(l * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sin[k], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Tan[k], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + N[Power[N[(k / t), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 36.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (t l k)
 :precision binary64
 (/
  2.0
  (*
   (* (* (/ (pow t 3.0) (* l l)) (sin k)) (tan k))
   (- (+ 1.0 (pow (/ k t) 2.0)) 1.0))))

C

double code(double t, double l, double k) {
	return 2.0 / ((((pow(t, 3.0) / (l * l)) * sin(k)) * tan(k)) * ((1.0 + pow((k / t), 2.0)) - 1.0));
}

Fortran

real(8) function code(t, l, k)
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: k
    code = 2.0d0 / (((((t ** 3.0d0) / (l * l)) * sin(k)) * tan(k)) * ((1.0d0 + ((k / t) ** 2.0d0)) - 1.0d0))
end function

Java

public static double code(double t, double l, double k) {
	return 2.0 / ((((Math.pow(t, 3.0) / (l * l)) * Math.sin(k)) * Math.tan(k)) * ((1.0 + Math.pow((k / t), 2.0)) - 1.0));
}

Python

def code(t, l, k):
	return 2.0 / ((((math.pow(t, 3.0) / (l * l)) * math.sin(k)) * math.tan(k)) * ((1.0 + math.pow((k / t), 2.0)) - 1.0))

Julia

function code(t, l, k)
	return Float64(2.0 / Float64(Float64(Float64(Float64((t ^ 3.0) / Float64(l * l)) * sin(k)) * tan(k)) * Float64(Float64(1.0 + (Float64(k / t) ^ 2.0)) - 1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(t, l, k)
	tmp = 2.0 / (((((t ^ 3.0) / (l * l)) * sin(k)) * tan(k)) * ((1.0 + ((k / t) ^ 2.0)) - 1.0));
end

Wolfram

code[t_, l_, k_] := N[(2.0 / N[(N[(N[(N[(N[Power[t, 3.0], $MachinePrecision] / N[(l * l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sin[k], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Tan[k], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + N[Power[N[(k / t), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{2}{\frac{\sin k \cdot \left(t \cdot \tan k\right)}{\frac{\ell}{k}}}}{\frac{k}{\ell}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (t l k)
 :precision binary64
 (/ (/ 2.0 (/ (* (sin k) (* t (tan k))) (/ l k))) (/ k l)))

C

double code(double t, double l, double k) {
	return (2.0 / ((sin(k) * (t * tan(k))) / (l / k))) / (k / l);
}

Fortran

real(8) function code(t, l, k)
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: k
    code = (2.0d0 / ((sin(k) * (t * tan(k))) / (l / k))) / (k / l)
end function

Java

public static double code(double t, double l, double k) {
	return (2.0 / ((Math.sin(k) * (t * Math.tan(k))) / (l / k))) / (k / l);
}

Python

def code(t, l, k):
	return (2.0 / ((math.sin(k) * (t * math.tan(k))) / (l / k))) / (k / l)

Julia

function code(t, l, k)
	return Float64(Float64(2.0 / Float64(Float64(sin(k) * Float64(t * tan(k))) / Float64(l / k))) / Float64(k / l))
end

MATLAB

function tmp = code(t, l, k)
	tmp = (2.0 / ((sin(k) * (t * tan(k))) / (l / k))) / (k / l);
end

Wolfram

code[t_, l_, k_] := N[(N[(2.0 / N[(N[(N[Sin[k], $MachinePrecision] * N[(t * N[Tan[k], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(l / k), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(k / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 34.5%

   \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in t around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{2} \cdot \left(t \cdot {\sin k}^{2}\right)}{{\ell}^{2} \cdot \cos k}\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell \cdot \ell}\right), \left(\frac{t \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{{k}^{2}}{\ell}}{\ell}\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t} \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{{\sin k}^{2} \cdot t}{\cos \color{blue}{k}}\right)\right)\right) \]

   10. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left({\sin k}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{t}{\cos k}}\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin k}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{\cos k}\right)}\right)\right)\right) \]

   12. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin k, 2\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

   13. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 82.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 82.6%

   \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k \cdot k}{\ell \cdot \ell}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell}\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(k\right)}, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 90.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), \color{blue}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 90.4%

   \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right)} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\frac{t}{\cos k} \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\frac{t}{\cos k} \cdot \left(\sin k \cdot \color{blue}{\sin k}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\left(\frac{t}{\cos k} \cdot \sin k\right) \cdot \color{blue}{\sin k}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{t}{\cos k} \cdot \sin k\right), \color{blue}{\sin k}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{t}{\cos k}\right), \sin k\right), \sin \color{blue}{k}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \cos k\right), \sin k\right), \sin k\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right), \sin k\right), \sin k\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(k\right)\right), \sin k\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 91.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(k\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(k\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 91.8%

   \[\leadsto \frac{2}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{t}{\cos k} \cdot \sin k\right) \cdot \sin k\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \frac{2}{\frac{k}{\ell} \cdot \color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \left(\left(\frac{t}{\cos k} \cdot \sin k\right) \cdot \sin k\right)\right)}} \]

    2. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\color{blue}{\frac{k}{\ell} \cdot \left(\left(\frac{t}{\cos k} \cdot \sin k\right) \cdot \sin k\right)}} \]

    3. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\frac{k}{\ell} \cdot \left(\frac{t}{\cos k} \cdot \color{blue}{\left(\sin k \cdot \sin k\right)}\right)} \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin k \cdot \sin k\right)}} \]

    5. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}}}{\color{blue}{\sin k \cdot \sin k}} \]

    6. sqr-sin-a N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}}}{\frac{1}{2} - \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)}} \]

    7. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)\right)}} \]

    8. div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{2}{\frac{k}{\ell}} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)\right)}} \]

    9. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \frac{2 \cdot \frac{1}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)\right)}}{\color{blue}{\frac{k}{\ell}}} \]

    10. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(2 \cdot \frac{1}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{k}{\ell}\right)}\right) \]

11. Applied egg-rr 97.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{2}{\frac{\sin k \cdot \left(t \cdot \tan k\right)}{\frac{\ell}{k}}}}{\frac{k}{\ell}}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \frac{\frac{\ell}{k}}{\frac{\sin k \cdot \left(t \cdot \tan k\right)}{\frac{\ell}{k}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (t l k)
 :precision binary64
 (* 2.0 (/ (/ l k) (/ (* (sin k) (* t (tan k))) (/ l k)))))

C

double code(double t, double l, double k) {
	return 2.0 * ((l / k) / ((sin(k) * (t * tan(k))) / (l / k)));
}

Fortran

real(8) function code(t, l, k)
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: k
    code = 2.0d0 * ((l / k) / ((sin(k) * (t * tan(k))) / (l / k)))
end function

Java

public static double code(double t, double l, double k) {
	return 2.0 * ((l / k) / ((Math.sin(k) * (t * Math.tan(k))) / (l / k)));
}

Python

def code(t, l, k):
	return 2.0 * ((l / k) / ((math.sin(k) * (t * math.tan(k))) / (l / k)))

Julia

function code(t, l, k)
	return Float64(2.0 * Float64(Float64(l / k) / Float64(Float64(sin(k) * Float64(t * tan(k))) / Float64(l / k))))
end

MATLAB

function tmp = code(t, l, k)
	tmp = 2.0 * ((l / k) / ((sin(k) * (t * tan(k))) / (l / k)));
end

Wolfram

code[t_, l_, k_] := N[(2.0 * N[(N[(l / k), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Sin[k], $MachinePrecision] * N[(t * N[Tan[k], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(l / k), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 34.5%

   \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in t around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{2} \cdot \left(t \cdot {\sin k}^{2}\right)}{{\ell}^{2} \cdot \cos k}\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell \cdot \ell}\right), \left(\frac{t \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{{k}^{2}}{\ell}}{\ell}\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t} \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{{\sin k}^{2} \cdot t}{\cos \color{blue}{k}}\right)\right)\right) \]

   10. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left({\sin k}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{t}{\cos k}}\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin k}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{\cos k}\right)}\right)\right)\right) \]

   12. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin k, 2\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

   13. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 82.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 82.6%

   \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k \cdot k}{\ell \cdot \ell}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell}\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(k\right)}, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 90.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), \color{blue}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 90.4%

   \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right)} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\frac{t}{\cos k} \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\frac{t}{\cos k} \cdot \left(\sin k \cdot \color{blue}{\sin k}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\left(\frac{t}{\cos k} \cdot \sin k\right) \cdot \color{blue}{\sin k}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{t}{\cos k} \cdot \sin k\right), \color{blue}{\sin k}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{t}{\cos k}\right), \sin k\right), \sin \color{blue}{k}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \cos k\right), \sin k\right), \sin k\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right), \sin k\right), \sin k\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(k\right)\right), \sin k\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 91.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(k\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(k\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 91.8%

   \[\leadsto \frac{2}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{t}{\cos k} \cdot \sin k\right) \cdot \sin k\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. clear-num N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right) \cdot \left(\left(\frac{t}{\cos k} \cdot \sin k\right) \cdot \sin k\right)}{2}}} \]

    2. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right) \cdot \left(\left(\frac{t}{\cos k} \cdot \sin k\right) \cdot \sin k\right)} \cdot \color{blue}{2} \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right) \cdot \left(\left(\frac{t}{\cos k} \cdot \sin k\right) \cdot \sin k\right)}\right), \color{blue}{2}\right) \]

11. Applied egg-rr 97.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\ell}{k}}{\frac{\sin k \cdot \left(t \cdot \tan k\right)}{\frac{\ell}{k}}} \cdot 2} \]

12. Final simplification 97.4%

    \[\leadsto 2 \cdot \frac{\frac{\ell}{k}}{\frac{\sin k \cdot \left(t \cdot \tan k\right)}{\frac{\ell}{k}}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 3: 94.3% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2}{k} \cdot \frac{\ell}{\frac{\sin k \cdot \left(t \cdot \tan k\right)}{\frac{\ell}{k}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (t l k)
 :precision binary64
 (* (/ 2.0 k) (/ l (/ (* (sin k) (* t (tan k))) (/ l k)))))

C

double code(double t, double l, double k) {
	return (2.0 / k) * (l / ((sin(k) * (t * tan(k))) / (l / k)));
}

Fortran

real(8) function code(t, l, k)
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: k
    code = (2.0d0 / k) * (l / ((sin(k) * (t * tan(k))) / (l / k)))
end function

Java

public static double code(double t, double l, double k) {
	return (2.0 / k) * (l / ((Math.sin(k) * (t * Math.tan(k))) / (l / k)));
}

Python

def code(t, l, k):
	return (2.0 / k) * (l / ((math.sin(k) * (t * math.tan(k))) / (l / k)))

Julia

function code(t, l, k)
	return Float64(Float64(2.0 / k) * Float64(l / Float64(Float64(sin(k) * Float64(t * tan(k))) / Float64(l / k))))
end

MATLAB

function tmp = code(t, l, k)
	tmp = (2.0 / k) * (l / ((sin(k) * (t * tan(k))) / (l / k)));
end

Wolfram

code[t_, l_, k_] := N[(N[(2.0 / k), $MachinePrecision] * N[(l / N[(N[(N[Sin[k], $MachinePrecision] * N[(t * N[Tan[k], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(l / k), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 34.5%

   \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in t around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{2} \cdot \left(t \cdot {\sin k}^{2}\right)}{{\ell}^{2} \cdot \cos k}\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell \cdot \ell}\right), \left(\frac{t \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

   4. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{{k}^{2}}{\ell}}{\ell}\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t} \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{{\sin k}^{2} \cdot t}{\cos \color{blue}{k}}\right)\right)\right) \]

   10. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left({\sin k}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{t}{\cos k}}\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin k}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{\cos k}\right)}\right)\right)\right) \]

   12. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin k, 2\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

   13. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

   14. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 82.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 82.6%

   \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k \cdot k}{\ell \cdot \ell}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell}\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(k\right)}, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 90.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), \color{blue}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 90.4%

   \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right)} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\frac{t}{\cos k} \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\frac{t}{\cos k} \cdot \left(\sin k \cdot \color{blue}{\sin k}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\left(\frac{t}{\cos k} \cdot \sin k\right) \cdot \color{blue}{\sin k}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{t}{\cos k} \cdot \sin k\right), \color{blue}{\sin k}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{t}{\cos k}\right), \sin k\right), \sin \color{blue}{k}\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \cos k\right), \sin k\right), \sin k\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right), \sin k\right), \sin k\right)\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(k\right)\right), \sin k\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f64 91.8%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(k\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(k\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 91.8%

   \[\leadsto \frac{2}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{t}{\cos k} \cdot \sin k\right) \cdot \sin k\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \frac{2}{\frac{k}{\ell} \cdot \color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \left(\left(\frac{t}{\cos k} \cdot \sin k\right) \cdot \sin k\right)\right)}} \]

    2. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\color{blue}{\frac{k}{\ell} \cdot \left(\left(\frac{t}{\cos k} \cdot \sin k\right) \cdot \sin k\right)}} \]

    3. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\frac{k}{\ell} \cdot \left(\frac{t}{\cos k} \cdot \color{blue}{\left(\sin k \cdot \sin k\right)}\right)} \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sin k \cdot \sin k\right)}} \]

    5. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}}}{\color{blue}{\sin k \cdot \sin k}} \]

    6. sqr-sin-a N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}}}{\frac{1}{2} - \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)}} \]

    7. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)\right)}} \]

    8. associate-/r/ N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{2}{k} \cdot \ell}{\color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)} \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)\right)} \]

    9. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \frac{2}{k} \cdot \color{blue}{\frac{\ell}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)\right)}} \]

    10. un-div-inv N/A

        \[\leadsto \frac{2}{k} \cdot \left(\ell \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)\right)}}\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{2}{k}\right), \color{blue}{\left(\ell \cdot \frac{1}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)\right)}\right)}\right) \]

11. Applied egg-rr 95.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{k} \cdot \frac{\ell}{\frac{\sin k \cdot \left(t \cdot \tan k\right)}{\frac{\ell}{k}}}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 4: 75.5% accurate, 3.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \frac{2}{\frac{k}{\ell}}\\ \mathbf{if}\;k \leq 1.6 \cdot 10^{-105}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\frac{t\_1}{\frac{k}{\ell}}}{k}}{k \cdot \left(t + t \cdot \left(\left(k \cdot k\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;k \leq 9.5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_1}{\left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot \left(\frac{t}{\ell} + k \cdot \left(k \cdot \frac{t \cdot 0.16666666666666666}{\ell}\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_1}{\frac{k \cdot t}{\ell} \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (t l k)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (/ 2.0 (/ k l))))
   (if (<= k 1.6e-105)
     (/
      (/ (/ t_1 (/ k l)) k)
      (* k (+ t (* t (* (* k k) 0.16666666666666666)))))
     (if (<= k 9.5e-7)
       (/
        t_1
        (*
         (* k (* k k))
         (+ (/ t l) (* k (* k (/ (* t 0.16666666666666666) l))))))
       (/ t_1 (* (/ (* k t) l) (- 0.5 (* 0.5 (cos (* 2.0 k))))))))))

C

double code(double t, double l, double k) {
	double t_1 = 2.0 / (k / l);
	double tmp;
	if (k <= 1.6e-105) {
		tmp = ((t_1 / (k / l)) / k) / (k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666))));
	} else if (k <= 9.5e-7) {
		tmp = t_1 / ((k * (k * k)) * ((t / l) + (k * (k * ((t * 0.16666666666666666) / l)))));
	} else {
		tmp = t_1 / (((k * t) / l) * (0.5 - (0.5 * cos((2.0 * k)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(t, l, k)
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: k
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = 2.0d0 / (k / l)
    if (k <= 1.6d-105) then
        tmp = ((t_1 / (k / l)) / k) / (k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666d0))))
    else if (k <= 9.5d-7) then
        tmp = t_1 / ((k * (k * k)) * ((t / l) + (k * (k * ((t * 0.16666666666666666d0) / l)))))
    else
        tmp = t_1 / (((k * t) / l) * (0.5d0 - (0.5d0 * cos((2.0d0 * k)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double t, double l, double k) {
	double t_1 = 2.0 / (k / l);
	double tmp;
	if (k <= 1.6e-105) {
		tmp = ((t_1 / (k / l)) / k) / (k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666))));
	} else if (k <= 9.5e-7) {
		tmp = t_1 / ((k * (k * k)) * ((t / l) + (k * (k * ((t * 0.16666666666666666) / l)))));
	} else {
		tmp = t_1 / (((k * t) / l) * (0.5 - (0.5 * Math.cos((2.0 * k)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(t, l, k):
	t_1 = 2.0 / (k / l)
	tmp = 0
	if k <= 1.6e-105:
		tmp = ((t_1 / (k / l)) / k) / (k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666))))
	elif k <= 9.5e-7:
		tmp = t_1 / ((k * (k * k)) * ((t / l) + (k * (k * ((t * 0.16666666666666666) / l)))))
	else:
		tmp = t_1 / (((k * t) / l) * (0.5 - (0.5 * math.cos((2.0 * k)))))
	return tmp

Julia

function code(t, l, k)
	t_1 = Float64(2.0 / Float64(k / l))
	tmp = 0.0
	if (k <= 1.6e-105)
		tmp = Float64(Float64(Float64(t_1 / Float64(k / l)) / k) / Float64(k * Float64(t + Float64(t * Float64(Float64(k * k) * 0.16666666666666666)))));
	elseif (k <= 9.5e-7)
		tmp = Float64(t_1 / Float64(Float64(k * Float64(k * k)) * Float64(Float64(t / l) + Float64(k * Float64(k * Float64(Float64(t * 0.16666666666666666) / l))))));
	else
		tmp = Float64(t_1 / Float64(Float64(Float64(k * t) / l) * Float64(0.5 - Float64(0.5 * cos(Float64(2.0 * k))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(t, l, k)
	t_1 = 2.0 / (k / l);
	tmp = 0.0;
	if (k <= 1.6e-105)
		tmp = ((t_1 / (k / l)) / k) / (k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666))));
	elseif (k <= 9.5e-7)
		tmp = t_1 / ((k * (k * k)) * ((t / l) + (k * (k * ((t * 0.16666666666666666) / l)))));
	else
		tmp = t_1 / (((k * t) / l) * (0.5 - (0.5 * cos((2.0 * k)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[t_, l_, k_] := Block[{t$95$1 = N[(2.0 / N[(k / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[k, 1.6e-105], N[(N[(N[(t$95$1 / N[(k / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / k), $MachinePrecision] / N[(k * N[(t + N[(t * N[(N[(k * k), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[k, 9.5e-7], N[(t$95$1 / N[(N[(k * N[(k * k), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(t / l), $MachinePrecision] + N[(k * N[(k * N[(N[(t * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 / N[(N[(N[(k * t), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision] * N[(0.5 - N[(0.5 * N[Cos[N[(2.0 * k), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if k < 1.59999999999999991e-105

   1. Initial program 40.1%

      \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in t around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{2} \cdot \left(t \cdot {\sin k}^{2}\right)}{{\ell}^{2} \cdot \cos k}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell \cdot \ell}\right), \left(\frac{t \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{{k}^{2}}{\ell}}{\ell}\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t} \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{{\sin k}^{2} \cdot t}{\cos \color{blue}{k}}\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left({\sin k}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{t}{\cos k}}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin k}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{\cos k}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin k, 2\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 85.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 85.6%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)}} \]

   6. Taylor expanded in k around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot \left(t + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \color{blue}{\left(t + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \left(\color{blue}{t} + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left(\color{blue}{t} + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left({k}^{2} \cdot \left(t \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} - \frac{-1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left({k}^{2} \cdot \left(t \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left(\left({k}^{2} \cdot t\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot t\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot t\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(t \cdot \color{blue}{{k}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(t, \color{blue}{\left({k}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(t, \left(k \cdot \color{blue}{k}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 77.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(k, \color{blue}{k}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 77.1%

      \[\leadsto \frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(t + 0.16666666666666666 \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}}{\color{blue}{\left(k \cdot k\right) \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)}} \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}}{k \cdot \color{blue}{\left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)}} \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}}{k}}{\color{blue}{k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}}{k}\right), \color{blue}{\left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}\right), k\right), \left(\color{blue}{k} \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{k \cdot k}{\ell \cdot \ell}}\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}}\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\frac{k}{\ell}}\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{k}{\ell}}\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \color{blue}{\left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \left(\left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \left(t \cdot \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(t, \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 80.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 80.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\frac{k}{\ell}}}{k}}{k \cdot \left(t + t \cdot \left(\left(k \cdot k\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]

   if 1.59999999999999991e-105 < k < 9.5000000000000001e-7

   1. Initial program 24.4%

      \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in t around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{2} \cdot \left(t \cdot {\sin k}^{2}\right)}{{\ell}^{2} \cdot \cos k}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell \cdot \ell}\right), \left(\frac{t \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{{k}^{2}}{\ell}}{\ell}\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t} \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{{\sin k}^{2} \cdot t}{\cos \color{blue}{k}}\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left({\sin k}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{t}{\cos k}}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin k}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{\cos k}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin k, 2\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 86.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 86.4%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k \cdot k}{\ell \cdot \ell}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell}\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(k\right)}, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 86.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), \color{blue}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 86.4%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right)} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{2}{\frac{k}{\ell} \cdot \color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)\right)}} \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\color{blue}{\frac{k}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)}} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{k}{\ell}}\right), \color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)\right)}\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{k}{\ell}} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\frac{k}{\color{blue}{\ell}} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\frac{k}{\ell} \cdot \left(\frac{t}{\cos k} \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right) \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right), \color{blue}{\left({\sin k}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell}\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right), \left({\color{blue}{\sin k}}^{2}\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right), \left({\sin \color{blue}{k}}^{2}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \cos k\right)\right), \left({\sin k}^{2}\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \left({\sin k}^{2}\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \left(\sin k \cdot \color{blue}{\sin k}\right)\right)\right) \]

      14. sqr-sin-a N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} - \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)}\right)\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\cos \left(2 \cdot k\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 59.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 59.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right) \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)\right)}} \]

   10. Taylor expanded in k around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \color{blue}{\left({k}^{3} \cdot \left({k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right) + \frac{t}{\ell}\right)\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{3}\right), \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right) + \frac{t}{\ell}\right)}\right)\right) \]

       2. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right), \left(\color{blue}{{k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)} + \frac{t}{\ell}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot {k}^{2}\right), \left({k}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)} + \frac{t}{\ell}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \left({k}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)} + \frac{t}{\ell}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \left(k \cdot k\right)\right), \left({k}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)} + \frac{t}{\ell}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \left({k}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)} + \frac{t}{\ell}\right)\right)\right) \]

       7. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \left(\frac{t}{\ell} + \color{blue}{{k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell}\right), \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \left(\color{blue}{{k}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell}} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \left(k \cdot \color{blue}{\left(k \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \color{blue}{\left(k \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. distribute-rgt-out-- N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \left(\frac{t}{\ell} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} - \frac{-1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. associate-*l/ N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \left(\frac{t \cdot \frac{1}{6}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \left(\frac{t \cdot \left(\frac{-1}{3} - \frac{-1}{2}\right)}{\ell}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. distribute-rgt-out-- N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t}{\ell}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       20. distribute-rgt-out-- N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{/.f64}\left(\left(t \cdot \left(\frac{-1}{3} - \frac{-1}{2}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       21. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{/.f64}\left(\left(t \cdot \frac{1}{6}\right), \ell\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       22. *-lowering-*.f64 99.8%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(t, \frac{1}{6}\right), \ell\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 99.8%

       \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\color{blue}{\left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot \left(\frac{t}{\ell} + k \cdot \left(k \cdot \frac{t \cdot 0.16666666666666666}{\ell}\right)\right)}} \]

   if 9.5000000000000001e-7 < k

   1. Initial program 23.1%

      \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in t around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{2} \cdot \left(t \cdot {\sin k}^{2}\right)}{{\ell}^{2} \cdot \cos k}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell \cdot \ell}\right), \left(\frac{t \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{{k}^{2}}{\ell}}{\ell}\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t} \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{{\sin k}^{2} \cdot t}{\cos \color{blue}{k}}\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left({\sin k}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{t}{\cos k}}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin k}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{\cos k}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin k, 2\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 71.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 71.6%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k \cdot k}{\ell \cdot \ell}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell}\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(k\right)}, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 93.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), \color{blue}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 93.5%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right)} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{2}{\frac{k}{\ell} \cdot \color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)\right)}} \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\color{blue}{\frac{k}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)}} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{k}{\ell}}\right), \color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)\right)}\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{k}{\ell}} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\frac{k}{\color{blue}{\ell}} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\frac{k}{\ell} \cdot \left(\frac{t}{\cos k} \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right) \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right), \color{blue}{\left({\sin k}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell}\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right), \left({\color{blue}{\sin k}}^{2}\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right), \left({\sin \color{blue}{k}}^{2}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \cos k\right)\right), \left({\sin k}^{2}\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \left({\sin k}^{2}\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \left(\sin k \cdot \color{blue}{\sin k}\right)\right)\right) \]

      14. sqr-sin-a N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} - \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)}\right)\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\cos \left(2 \cdot k\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 99.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right) \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)\right)}} \]

   10. Taylor expanded in k around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{k \cdot t}{\ell}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot t\right), \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 62.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, t\right), \ell\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 62.5%

       \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\color{blue}{\frac{k \cdot t}{\ell}} \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 5: 66.7% accurate, 8.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \frac{2}{\frac{k}{\ell}}\\ \mathbf{if}\;t \leq 1.7 \cdot 10^{+43}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_1}{k \cdot \left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(\frac{t}{\ell} + \left(k \cdot k\right) \cdot \left(\frac{t \cdot 0.16666666666666666}{\ell} + \left(k \cdot k\right) \cdot \left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot 0.044444444444444446 - \frac{t}{\ell} \cdot -0.08333333333333333\right) + \frac{t}{\ell} \cdot -0.041666666666666664\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\frac{t\_1}{\frac{k}{\ell}}}{k}}{k \cdot \left(t + t \cdot \left(\left(k \cdot k\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (t l k)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (/ 2.0 (/ k l))))
   (if (<= t 1.7e+43)
     (/
      t_1
      (*
       k
       (*
        (* k k)
        (+
         (/ t l)
         (*
          (* k k)
          (+
           (/ (* t 0.16666666666666666) l)
           (*
            (* k k)
            (+
             (-
              (* (/ t l) 0.044444444444444446)
              (* (/ t l) -0.08333333333333333))
             (* (/ t l) -0.041666666666666664)))))))))
     (/
      (/ (/ t_1 (/ k l)) k)
      (* k (+ t (* t (* (* k k) 0.16666666666666666))))))))

C

double code(double t, double l, double k) {
	double t_1 = 2.0 / (k / l);
	double tmp;
	if (t <= 1.7e+43) {
		tmp = t_1 / (k * ((k * k) * ((t / l) + ((k * k) * (((t * 0.16666666666666666) / l) + ((k * k) * ((((t / l) * 0.044444444444444446) - ((t / l) * -0.08333333333333333)) + ((t / l) * -0.041666666666666664))))))));
	} else {
		tmp = ((t_1 / (k / l)) / k) / (k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(t, l, k)
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: k
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = 2.0d0 / (k / l)
    if (t <= 1.7d+43) then
        tmp = t_1 / (k * ((k * k) * ((t / l) + ((k * k) * (((t * 0.16666666666666666d0) / l) + ((k * k) * ((((t / l) * 0.044444444444444446d0) - ((t / l) * (-0.08333333333333333d0))) + ((t / l) * (-0.041666666666666664d0)))))))))
    else
        tmp = ((t_1 / (k / l)) / k) / (k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666d0))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double t, double l, double k) {
	double t_1 = 2.0 / (k / l);
	double tmp;
	if (t <= 1.7e+43) {
		tmp = t_1 / (k * ((k * k) * ((t / l) + ((k * k) * (((t * 0.16666666666666666) / l) + ((k * k) * ((((t / l) * 0.044444444444444446) - ((t / l) * -0.08333333333333333)) + ((t / l) * -0.041666666666666664))))))));
	} else {
		tmp = ((t_1 / (k / l)) / k) / (k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(t, l, k):
	t_1 = 2.0 / (k / l)
	tmp = 0
	if t <= 1.7e+43:
		tmp = t_1 / (k * ((k * k) * ((t / l) + ((k * k) * (((t * 0.16666666666666666) / l) + ((k * k) * ((((t / l) * 0.044444444444444446) - ((t / l) * -0.08333333333333333)) + ((t / l) * -0.041666666666666664))))))))
	else:
		tmp = ((t_1 / (k / l)) / k) / (k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666))))
	return tmp

Julia

function code(t, l, k)
	t_1 = Float64(2.0 / Float64(k / l))
	tmp = 0.0
	if (t <= 1.7e+43)
		tmp = Float64(t_1 / Float64(k * Float64(Float64(k * k) * Float64(Float64(t / l) + Float64(Float64(k * k) * Float64(Float64(Float64(t * 0.16666666666666666) / l) + Float64(Float64(k * k) * Float64(Float64(Float64(Float64(t / l) * 0.044444444444444446) - Float64(Float64(t / l) * -0.08333333333333333)) + Float64(Float64(t / l) * -0.041666666666666664)))))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(t_1 / Float64(k / l)) / k) / Float64(k * Float64(t + Float64(t * Float64(Float64(k * k) * 0.16666666666666666)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(t, l, k)
	t_1 = 2.0 / (k / l);
	tmp = 0.0;
	if (t <= 1.7e+43)
		tmp = t_1 / (k * ((k * k) * ((t / l) + ((k * k) * (((t * 0.16666666666666666) / l) + ((k * k) * ((((t / l) * 0.044444444444444446) - ((t / l) * -0.08333333333333333)) + ((t / l) * -0.041666666666666664))))))));
	else
		tmp = ((t_1 / (k / l)) / k) / (k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[t_, l_, k_] := Block[{t$95$1 = N[(2.0 / N[(k / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t, 1.7e+43], N[(t$95$1 / N[(k * N[(N[(k * k), $MachinePrecision] * N[(N[(t / l), $MachinePrecision] + N[(N[(k * k), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision] + N[(N[(k * k), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(t / l), $MachinePrecision] * 0.044444444444444446), $MachinePrecision] - N[(N[(t / l), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(t / l), $MachinePrecision] * -0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(t$95$1 / N[(k / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / k), $MachinePrecision] / N[(k * N[(t + N[(t * N[(N[(k * k), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if t < 1.70000000000000006e43

   1. Initial program 38.0%

      \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in t around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{2} \cdot \left(t \cdot {\sin k}^{2}\right)}{{\ell}^{2} \cdot \cos k}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell \cdot \ell}\right), \left(\frac{t \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{{k}^{2}}{\ell}}{\ell}\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t} \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{{\sin k}^{2} \cdot t}{\cos \color{blue}{k}}\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left({\sin k}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{t}{\cos k}}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin k}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{\cos k}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin k, 2\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 80.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 80.6%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k \cdot k}{\ell \cdot \ell}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell}\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(k\right)}, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 90.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), \color{blue}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 90.0%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right)} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{2}{\frac{k}{\ell} \cdot \color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)\right)}} \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\color{blue}{\frac{k}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)}} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{k}{\ell}}\right), \color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)\right)}\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{k}{\ell}} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\frac{k}{\color{blue}{\ell}} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\frac{k}{\ell} \cdot \left(\frac{t}{\cos k} \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right) \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right), \color{blue}{\left({\sin k}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell}\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right), \left({\color{blue}{\sin k}}^{2}\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right), \left({\sin \color{blue}{k}}^{2}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \cos k\right)\right), \left({\sin k}^{2}\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \left({\sin k}^{2}\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \left(\sin k \cdot \color{blue}{\sin k}\right)\right)\right) \]

      14. sqr-sin-a N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} - \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)}\right)\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\cos \left(2 \cdot k\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 87.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 87.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right) \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)\right)}} \]

   10. Taylor expanded in k around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \color{blue}{\left({k}^{3} \cdot \left({k}^{2} \cdot \left(\left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} + {k}^{2} \cdot \left(\frac{2}{45} \cdot \frac{t}{\ell} - \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right) + \frac{1}{24} \cdot \frac{t}{\ell}\right)\right)\right) - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right) + \frac{t}{\ell}\right)\right)}\right) \]

   12. Simplified 67.5%

       \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\color{blue}{k \cdot \left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(\frac{t}{\ell} + \left(k \cdot k\right) \cdot \left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(\left(0.044444444444444446 \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{t}{\ell} \cdot -0.08333333333333333\right) + -0.041666666666666664 \cdot \frac{t}{\ell}\right) + \frac{t \cdot 0.16666666666666666}{\ell}\right)\right)\right)}} \]

   if 1.70000000000000006e43 < t

   1. Initial program 21.2%

      \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in t around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{2} \cdot \left(t \cdot {\sin k}^{2}\right)}{{\ell}^{2} \cdot \cos k}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell \cdot \ell}\right), \left(\frac{t \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{{k}^{2}}{\ell}}{\ell}\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t} \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{{\sin k}^{2} \cdot t}{\cos \color{blue}{k}}\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left({\sin k}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{t}{\cos k}}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin k}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{\cos k}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin k, 2\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 90.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.1%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)}} \]

   6. Taylor expanded in k around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot \left(t + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \color{blue}{\left(t + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \left(\color{blue}{t} + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left(\color{blue}{t} + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left({k}^{2} \cdot \left(t \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} - \frac{-1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left({k}^{2} \cdot \left(t \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left(\left({k}^{2} \cdot t\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot t\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot t\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(t \cdot \color{blue}{{k}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(t, \color{blue}{\left({k}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(t, \left(k \cdot \color{blue}{k}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 75.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(k, \color{blue}{k}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 75.8%

      \[\leadsto \frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(t + 0.16666666666666666 \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}}{\color{blue}{\left(k \cdot k\right) \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)}} \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}}{k \cdot \color{blue}{\left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)}} \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}}{k}}{\color{blue}{k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}}{k}\right), \color{blue}{\left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}\right), k\right), \left(\color{blue}{k} \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{k \cdot k}{\ell \cdot \ell}}\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}}\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\frac{k}{\ell}}\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{k}{\ell}}\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \color{blue}{\left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \left(\left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \left(t \cdot \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(t, \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 79.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 79.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\frac{k}{\ell}}}{k}}{k \cdot \left(t + t \cdot \left(\left(k \cdot k\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 70.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq 1.7 \cdot 10^{+43}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{k \cdot \left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(\frac{t}{\ell} + \left(k \cdot k\right) \cdot \left(\frac{t \cdot 0.16666666666666666}{\ell} + \left(k \cdot k\right) \cdot \left(\left(\frac{t}{\ell} \cdot 0.044444444444444446 - \frac{t}{\ell} \cdot -0.08333333333333333\right) + \frac{t}{\ell} \cdot -0.041666666666666664\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\frac{k}{\ell}}}{k}}{k \cdot \left(t + t \cdot \left(\left(k \cdot k\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 74.3% accurate, 14.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \frac{2}{\frac{k}{\ell}}\\ \mathbf{if}\;k \leq 1.6 \cdot 10^{-105}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\frac{t\_1}{\frac{k}{\ell}}}{k}}{k \cdot \left(t + t \cdot \left(\left(k \cdot k\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_1}{\left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot \left(\frac{t}{\ell} + k \cdot \left(k \cdot \frac{t \cdot 0.16666666666666666}{\ell}\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (t l k)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (/ 2.0 (/ k l))))
   (if (<= k 1.6e-105)
     (/
      (/ (/ t_1 (/ k l)) k)
      (* k (+ t (* t (* (* k k) 0.16666666666666666)))))
     (/
      t_1
      (*
       (* k (* k k))
       (+ (/ t l) (* k (* k (/ (* t 0.16666666666666666) l)))))))))

C

double code(double t, double l, double k) {
	double t_1 = 2.0 / (k / l);
	double tmp;
	if (k <= 1.6e-105) {
		tmp = ((t_1 / (k / l)) / k) / (k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666))));
	} else {
		tmp = t_1 / ((k * (k * k)) * ((t / l) + (k * (k * ((t * 0.16666666666666666) / l)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(t, l, k)
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: k
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = 2.0d0 / (k / l)
    if (k <= 1.6d-105) then
        tmp = ((t_1 / (k / l)) / k) / (k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666d0))))
    else
        tmp = t_1 / ((k * (k * k)) * ((t / l) + (k * (k * ((t * 0.16666666666666666d0) / l)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double t, double l, double k) {
	double t_1 = 2.0 / (k / l);
	double tmp;
	if (k <= 1.6e-105) {
		tmp = ((t_1 / (k / l)) / k) / (k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666))));
	} else {
		tmp = t_1 / ((k * (k * k)) * ((t / l) + (k * (k * ((t * 0.16666666666666666) / l)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(t, l, k):
	t_1 = 2.0 / (k / l)
	tmp = 0
	if k <= 1.6e-105:
		tmp = ((t_1 / (k / l)) / k) / (k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666))))
	else:
		tmp = t_1 / ((k * (k * k)) * ((t / l) + (k * (k * ((t * 0.16666666666666666) / l)))))
	return tmp

Julia

function code(t, l, k)
	t_1 = Float64(2.0 / Float64(k / l))
	tmp = 0.0
	if (k <= 1.6e-105)
		tmp = Float64(Float64(Float64(t_1 / Float64(k / l)) / k) / Float64(k * Float64(t + Float64(t * Float64(Float64(k * k) * 0.16666666666666666)))));
	else
		tmp = Float64(t_1 / Float64(Float64(k * Float64(k * k)) * Float64(Float64(t / l) + Float64(k * Float64(k * Float64(Float64(t * 0.16666666666666666) / l))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(t, l, k)
	t_1 = 2.0 / (k / l);
	tmp = 0.0;
	if (k <= 1.6e-105)
		tmp = ((t_1 / (k / l)) / k) / (k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666))));
	else
		tmp = t_1 / ((k * (k * k)) * ((t / l) + (k * (k * ((t * 0.16666666666666666) / l)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[t_, l_, k_] := Block[{t$95$1 = N[(2.0 / N[(k / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[k, 1.6e-105], N[(N[(N[(t$95$1 / N[(k / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / k), $MachinePrecision] / N[(k * N[(t + N[(t * N[(N[(k * k), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 / N[(N[(k * N[(k * k), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(t / l), $MachinePrecision] + N[(k * N[(k * N[(N[(t * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if k < 1.59999999999999991e-105

   1. Initial program 40.1%

      \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in t around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{2} \cdot \left(t \cdot {\sin k}^{2}\right)}{{\ell}^{2} \cdot \cos k}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell \cdot \ell}\right), \left(\frac{t \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{{k}^{2}}{\ell}}{\ell}\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t} \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{{\sin k}^{2} \cdot t}{\cos \color{blue}{k}}\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left({\sin k}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{t}{\cos k}}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin k}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{\cos k}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin k, 2\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 85.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 85.6%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)}} \]

   6. Taylor expanded in k around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot \left(t + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \color{blue}{\left(t + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \left(\color{blue}{t} + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left(\color{blue}{t} + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left({k}^{2} \cdot \left(t \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} - \frac{-1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left({k}^{2} \cdot \left(t \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left(\left({k}^{2} \cdot t\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot t\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot t\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(t \cdot \color{blue}{{k}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(t, \color{blue}{\left({k}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(t, \left(k \cdot \color{blue}{k}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 77.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(k, \color{blue}{k}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 77.1%

      \[\leadsto \frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(t + 0.16666666666666666 \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}}{\color{blue}{\left(k \cdot k\right) \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)}} \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}}{k \cdot \color{blue}{\left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)}} \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}}{k}}{\color{blue}{k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}}{k}\right), \color{blue}{\left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}\right), k\right), \left(\color{blue}{k} \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{k \cdot k}{\ell \cdot \ell}}\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}}\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\frac{k}{\ell}}\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{k}{\ell}}\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \color{blue}{\left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \left(\left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \left(t \cdot \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(t, \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 80.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 80.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\frac{k}{\ell}}}{k}}{k \cdot \left(t + t \cdot \left(\left(k \cdot k\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]

   if 1.59999999999999991e-105 < k

   1. Initial program 23.6%

      \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in t around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{2} \cdot \left(t \cdot {\sin k}^{2}\right)}{{\ell}^{2} \cdot \cos k}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell \cdot \ell}\right), \left(\frac{t \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{{k}^{2}}{\ell}}{\ell}\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t} \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{{\sin k}^{2} \cdot t}{\cos \color{blue}{k}}\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left({\sin k}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{t}{\cos k}}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin k}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{\cos k}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin k, 2\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 76.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 76.6%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k \cdot k}{\ell \cdot \ell}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell}\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(k\right)}, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 91.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), \color{blue}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 91.1%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right)} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{2}{\frac{k}{\ell} \cdot \color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)\right)}} \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\color{blue}{\frac{k}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)}} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{k}{\ell}}\right), \color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)\right)}\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{k}{\ell}} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\frac{k}{\color{blue}{\ell}} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\frac{k}{\ell} \cdot \left(\frac{t}{\cos k} \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right) \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right), \color{blue}{\left({\sin k}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell}\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right), \left({\color{blue}{\sin k}}^{2}\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right), \left({\sin \color{blue}{k}}^{2}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \cos k\right)\right), \left({\sin k}^{2}\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \left({\sin k}^{2}\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \left(\sin k \cdot \color{blue}{\sin k}\right)\right)\right) \]

      14. sqr-sin-a N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} - \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)}\right)\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\cos \left(2 \cdot k\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 86.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 86.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right) \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)\right)}} \]

   10. Taylor expanded in k around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \color{blue}{\left({k}^{3} \cdot \left({k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right) + \frac{t}{\ell}\right)\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{3}\right), \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right) + \frac{t}{\ell}\right)}\right)\right) \]

       2. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right), \left(\color{blue}{{k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)} + \frac{t}{\ell}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot {k}^{2}\right), \left({k}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)} + \frac{t}{\ell}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \left({k}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)} + \frac{t}{\ell}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \left(k \cdot k\right)\right), \left({k}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)} + \frac{t}{\ell}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \left({k}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)} + \frac{t}{\ell}\right)\right)\right) \]

       7. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \left(\frac{t}{\ell} + \color{blue}{{k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)}\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{t}{\ell}\right), \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \left(\color{blue}{{k}^{2}} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell}} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. associate-*l* N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \left(k \cdot \color{blue}{\left(k \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \color{blue}{\left(k \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{t}{\ell} - \frac{-1}{2} \cdot \frac{t}{\ell}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. distribute-rgt-out-- N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \left(\frac{t}{\ell} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} - \frac{-1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \left(\frac{t}{\ell} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. associate-*l/ N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \left(\frac{t \cdot \frac{1}{6}}{\color{blue}{\ell}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \left(\frac{t \cdot \left(\frac{-1}{3} - \frac{-1}{2}\right)}{\ell}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       18. distribute-rgt-out-- N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t}{\ell}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       19. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right), \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       20. distribute-rgt-out-- N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{/.f64}\left(\left(t \cdot \left(\frac{-1}{3} - \frac{-1}{2}\right)\right), \ell\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       21. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{/.f64}\left(\left(t \cdot \frac{1}{6}\right), \ell\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       22. *-lowering-*.f64 68.6%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(t, \frac{1}{6}\right), \ell\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 68.6%

       \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\color{blue}{\left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot \left(\frac{t}{\ell} + k \cdot \left(k \cdot \frac{t \cdot 0.16666666666666666}{\ell}\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 7: 74.0% accurate, 14.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \cdot \ell \leq 10^{+248}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\frac{k}{\ell}}}{k}}{k \cdot \left(t + t \cdot \left(\left(k \cdot k\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{2}{k \cdot k}}{\frac{k \cdot k}{\frac{\ell \cdot \ell}{t}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (t l k)
 :precision binary64
 (if (<= (* l l) 1e+248)
   (/
    (/ (/ (/ 2.0 (/ k l)) (/ k l)) k)
    (* k (+ t (* t (* (* k k) 0.16666666666666666)))))
   (/ (/ 2.0 (* k k)) (/ (* k k) (/ (* l l) t)))))

C

double code(double t, double l, double k) {
	double tmp;
	if ((l * l) <= 1e+248) {
		tmp = (((2.0 / (k / l)) / (k / l)) / k) / (k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666))));
	} else {
		tmp = (2.0 / (k * k)) / ((k * k) / ((l * l) / t));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(t, l, k)
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: k
    real(8) :: tmp
    if ((l * l) <= 1d+248) then
        tmp = (((2.0d0 / (k / l)) / (k / l)) / k) / (k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666d0))))
    else
        tmp = (2.0d0 / (k * k)) / ((k * k) / ((l * l) / t))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double t, double l, double k) {
	double tmp;
	if ((l * l) <= 1e+248) {
		tmp = (((2.0 / (k / l)) / (k / l)) / k) / (k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666))));
	} else {
		tmp = (2.0 / (k * k)) / ((k * k) / ((l * l) / t));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(t, l, k):
	tmp = 0
	if (l * l) <= 1e+248:
		tmp = (((2.0 / (k / l)) / (k / l)) / k) / (k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666))))
	else:
		tmp = (2.0 / (k * k)) / ((k * k) / ((l * l) / t))
	return tmp

Julia

function code(t, l, k)
	tmp = 0.0
	if (Float64(l * l) <= 1e+248)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(2.0 / Float64(k / l)) / Float64(k / l)) / k) / Float64(k * Float64(t + Float64(t * Float64(Float64(k * k) * 0.16666666666666666)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 / Float64(k * k)) / Float64(Float64(k * k) / Float64(Float64(l * l) / t)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(t, l, k)
	tmp = 0.0;
	if ((l * l) <= 1e+248)
		tmp = (((2.0 / (k / l)) / (k / l)) / k) / (k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666))));
	else
		tmp = (2.0 / (k * k)) / ((k * k) / ((l * l) / t));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[t_, l_, k_] := If[LessEqual[N[(l * l), $MachinePrecision], 1e+248], N[(N[(N[(N[(2.0 / N[(k / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(k / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / k), $MachinePrecision] / N[(k * N[(t + N[(t * N[(N[(k * k), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 / N[(k * k), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(k * k), $MachinePrecision] / N[(N[(l * l), $MachinePrecision] / t), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 l l) < 1.00000000000000005e248

   1. Initial program 30.7%

      \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in t around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{2} \cdot \left(t \cdot {\sin k}^{2}\right)}{{\ell}^{2} \cdot \cos k}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell \cdot \ell}\right), \left(\frac{t \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{{k}^{2}}{\ell}}{\ell}\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t} \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{{\sin k}^{2} \cdot t}{\cos \color{blue}{k}}\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left({\sin k}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{t}{\cos k}}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin k}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{\cos k}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin k, 2\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 85.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 85.0%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)}} \]

   6. Taylor expanded in k around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot \left(t + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \color{blue}{\left(t + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \left(\color{blue}{t} + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left(\color{blue}{t} + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left({k}^{2} \cdot \left(t \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} - \frac{-1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left({k}^{2} \cdot \left(t \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left(\left({k}^{2} \cdot t\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot t\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot t\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(t \cdot \color{blue}{{k}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(t, \color{blue}{\left({k}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(t, \left(k \cdot \color{blue}{k}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 76.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(k, \color{blue}{k}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 76.6%

      \[\leadsto \frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(t + 0.16666666666666666 \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}}{\color{blue}{\left(k \cdot k\right) \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)}} \]

      2. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}}{k \cdot \color{blue}{\left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)}} \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}}{k}}{\color{blue}{k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}}{k}\right), \color{blue}{\left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}\right), k\right), \left(\color{blue}{k} \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{k \cdot k}{\ell \cdot \ell}}\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}}\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\frac{k}{\ell}}\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{k}{\ell}}\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \color{blue}{\left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \left(\left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \left(t \cdot \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(t, \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 80.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 80.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\frac{k}{\ell}}}{k}}{k \cdot \left(t + t \cdot \left(\left(k \cdot k\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]

   if 1.00000000000000005e248 < (*.f64 l l)

   1. Initial program 43.2%

      \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in k around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{4} \cdot t}{{\ell}^{2}}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left({k}^{4} \cdot \color{blue}{\frac{t}{{\ell}^{2}}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{2} \cdot {k}^{2}\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \left({k}^{2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \left({k}^{2}\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left({k}^{2}\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left(k \cdot k\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\left({\ell}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \left(\ell \cdot \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 64.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 64.7%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{2}{\left(k \cdot k\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right)}} \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{2}{k \cdot k}}{\color{blue}{\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}}} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{k \cdot k}\right), \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right)}\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(k \cdot k\right)\right), \left(\color{blue}{\left(k \cdot k\right)} \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \left(\left(k \cdot \color{blue}{k}\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right)\right) \]

      6. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \left(\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell \cdot \ell}{t}}}\right)\right) \]

      7. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \left(\frac{k \cdot k}{\color{blue}{\frac{\ell \cdot \ell}{t}}}\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \color{blue}{\left(\frac{\ell \cdot \ell}{t}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left(\frac{\color{blue}{\ell \cdot \ell}}{t}\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), \color{blue}{t}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 69.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), t\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 69.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{2}{k \cdot k}}{\frac{k \cdot k}{\frac{\ell \cdot \ell}{t}}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 8: 72.7% accurate, 14.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \cdot \ell \leq 10^{-123}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{2}{\frac{k \cdot k}{\frac{\ell}{\frac{k}{\frac{\ell}{k}}}}}}{t + t \cdot \left(\left(k \cdot k\right) \cdot 0.16666666666666666\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{2}{k \cdot k}}{\frac{k \cdot k}{\frac{\ell \cdot \ell}{t}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (t l k)
 :precision binary64
 (if (<= (* l l) 1e-123)
   (/
    (/ 2.0 (/ (* k k) (/ l (/ k (/ l k)))))
    (+ t (* t (* (* k k) 0.16666666666666666))))
   (/ (/ 2.0 (* k k)) (/ (* k k) (/ (* l l) t)))))

C

double code(double t, double l, double k) {
	double tmp;
	if ((l * l) <= 1e-123) {
		tmp = (2.0 / ((k * k) / (l / (k / (l / k))))) / (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = (2.0 / (k * k)) / ((k * k) / ((l * l) / t));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(t, l, k)
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: k
    real(8) :: tmp
    if ((l * l) <= 1d-123) then
        tmp = (2.0d0 / ((k * k) / (l / (k / (l / k))))) / (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666d0)))
    else
        tmp = (2.0d0 / (k * k)) / ((k * k) / ((l * l) / t))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double t, double l, double k) {
	double tmp;
	if ((l * l) <= 1e-123) {
		tmp = (2.0 / ((k * k) / (l / (k / (l / k))))) / (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = (2.0 / (k * k)) / ((k * k) / ((l * l) / t));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(t, l, k):
	tmp = 0
	if (l * l) <= 1e-123:
		tmp = (2.0 / ((k * k) / (l / (k / (l / k))))) / (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666)))
	else:
		tmp = (2.0 / (k * k)) / ((k * k) / ((l * l) / t))
	return tmp

Julia

function code(t, l, k)
	tmp = 0.0
	if (Float64(l * l) <= 1e-123)
		tmp = Float64(Float64(2.0 / Float64(Float64(k * k) / Float64(l / Float64(k / Float64(l / k))))) / Float64(t + Float64(t * Float64(Float64(k * k) * 0.16666666666666666))));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 / Float64(k * k)) / Float64(Float64(k * k) / Float64(Float64(l * l) / t)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(t, l, k)
	tmp = 0.0;
	if ((l * l) <= 1e-123)
		tmp = (2.0 / ((k * k) / (l / (k / (l / k))))) / (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666)));
	else
		tmp = (2.0 / (k * k)) / ((k * k) / ((l * l) / t));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[t_, l_, k_] := If[LessEqual[N[(l * l), $MachinePrecision], 1e-123], N[(N[(2.0 / N[(N[(k * k), $MachinePrecision] / N[(l / N[(k / N[(l / k), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t + N[(t * N[(N[(k * k), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 / N[(k * k), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(k * k), $MachinePrecision] / N[(N[(l * l), $MachinePrecision] / t), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 l l) < 1.0000000000000001e-123

   1. Initial program 24.9%

      \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in t around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{2} \cdot \left(t \cdot {\sin k}^{2}\right)}{{\ell}^{2} \cdot \cos k}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell \cdot \ell}\right), \left(\frac{t \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{{k}^{2}}{\ell}}{\ell}\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t} \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{{\sin k}^{2} \cdot t}{\cos \color{blue}{k}}\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left({\sin k}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{t}{\cos k}}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin k}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{\cos k}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin k, 2\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 83.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 83.0%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)}} \]

   6. Taylor expanded in k around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot \left(t + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \color{blue}{\left(t + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \left(\color{blue}{t} + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left(\color{blue}{t} + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left({k}^{2} \cdot \left(t \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} - \frac{-1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left({k}^{2} \cdot \left(t \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left(\left({k}^{2} \cdot t\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot t\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot t\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(t \cdot \color{blue}{{k}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(t, \color{blue}{\left({k}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(t, \left(k \cdot \color{blue}{k}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 81.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(k, \color{blue}{k}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 81.0%

      \[\leadsto \frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(t + 0.16666666666666666 \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \frac{2}{\left(\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)}} \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \left(k \cdot k\right)}}{\color{blue}{t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)}} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \left(k \cdot k\right)}\right), \color{blue}{\left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)}\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right), \left(\color{blue}{t} + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}\right)\right), \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right) \]

      6. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{\frac{k \cdot k}{\ell}}}\right)\right), \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right) \]

      7. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{k \cdot k}{\frac{\ell}{\frac{k \cdot k}{\ell}}}\right)\right), \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \left(\frac{\ell}{\frac{k \cdot k}{\ell}}\right)\right)\right), \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left(\frac{\ell}{\frac{k \cdot k}{\ell}}\right)\right)\right), \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(\frac{k \cdot k}{\ell}\right)\right)\right)\right), \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right) \]

      11. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(k \cdot \frac{k}{\ell}\right)\right)\right)\right), \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right) \]

      12. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(k \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{k}}\right)\right)\right)\right), \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right) \]

      13. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(\frac{k}{\frac{\ell}{k}}\right)\right)\right)\right), \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(k, \left(\frac{\ell}{k}\right)\right)\right)\right)\right), \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(k, \mathsf{/.f64}\left(\ell, k\right)\right)\right)\right)\right), \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(k, \mathsf{/.f64}\left(\ell, k\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 86.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{2}{\frac{k \cdot k}{\frac{\ell}{\frac{k}{\frac{\ell}{k}}}}}}{t + t \cdot \left(\left(k \cdot k\right) \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   if 1.0000000000000001e-123 < (*.f64 l l)

   1. Initial program 40.3%

      \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in k around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{4} \cdot t}{{\ell}^{2}}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left({k}^{4} \cdot \color{blue}{\frac{t}{{\ell}^{2}}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{2} \cdot {k}^{2}\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \left({k}^{2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \left({k}^{2}\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left({k}^{2}\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left(k \cdot k\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\left({\ell}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \left(\ell \cdot \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 67.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 67.5%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{2}{\left(k \cdot k\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right)}} \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{2}{k \cdot k}}{\color{blue}{\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}}} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{k \cdot k}\right), \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right)}\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(k \cdot k\right)\right), \left(\color{blue}{\left(k \cdot k\right)} \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \left(\left(k \cdot \color{blue}{k}\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right)\right) \]

      6. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \left(\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell \cdot \ell}{t}}}\right)\right) \]

      7. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \left(\frac{k \cdot k}{\color{blue}{\frac{\ell \cdot \ell}{t}}}\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \color{blue}{\left(\frac{\ell \cdot \ell}{t}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left(\frac{\color{blue}{\ell \cdot \ell}}{t}\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), \color{blue}{t}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 70.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), t\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 70.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{2}{k \cdot k}}{\frac{k \cdot k}{\frac{\ell \cdot \ell}{t}}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 9: 70.3% accurate, 15.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq 6.4 \cdot 10^{-86}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{\frac{t}{\ell} \cdot \frac{k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)}{\ell}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{\left(k \cdot \left(t + t \cdot \left(\left(k \cdot k\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(k \cdot \frac{k}{\frac{\ell}{\frac{k}{\ell}}}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (t l k)
 :precision binary64
 (if (<= t 6.4e-86)
   (/ 2.0 (* (/ t l) (/ (* k (* k (* k k))) l)))
   (/
    2.0
    (*
     (* k (+ t (* t (* (* k k) 0.16666666666666666))))
     (* k (/ k (/ l (/ k l))))))))

C

double code(double t, double l, double k) {
	double tmp;
	if (t <= 6.4e-86) {
		tmp = 2.0 / ((t / l) * ((k * (k * (k * k))) / l));
	} else {
		tmp = 2.0 / ((k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666)))) * (k * (k / (l / (k / l)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(t, l, k)
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: k
    real(8) :: tmp
    if (t <= 6.4d-86) then
        tmp = 2.0d0 / ((t / l) * ((k * (k * (k * k))) / l))
    else
        tmp = 2.0d0 / ((k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666d0)))) * (k * (k / (l / (k / l)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double t, double l, double k) {
	double tmp;
	if (t <= 6.4e-86) {
		tmp = 2.0 / ((t / l) * ((k * (k * (k * k))) / l));
	} else {
		tmp = 2.0 / ((k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666)))) * (k * (k / (l / (k / l)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(t, l, k):
	tmp = 0
	if t <= 6.4e-86:
		tmp = 2.0 / ((t / l) * ((k * (k * (k * k))) / l))
	else:
		tmp = 2.0 / ((k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666)))) * (k * (k / (l / (k / l)))))
	return tmp

Julia

function code(t, l, k)
	tmp = 0.0
	if (t <= 6.4e-86)
		tmp = Float64(2.0 / Float64(Float64(t / l) * Float64(Float64(k * Float64(k * Float64(k * k))) / l)));
	else
		tmp = Float64(2.0 / Float64(Float64(k * Float64(t + Float64(t * Float64(Float64(k * k) * 0.16666666666666666)))) * Float64(k * Float64(k / Float64(l / Float64(k / l))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(t, l, k)
	tmp = 0.0;
	if (t <= 6.4e-86)
		tmp = 2.0 / ((t / l) * ((k * (k * (k * k))) / l));
	else
		tmp = 2.0 / ((k * (t + (t * ((k * k) * 0.16666666666666666)))) * (k * (k / (l / (k / l)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[t_, l_, k_] := If[LessEqual[t, 6.4e-86], N[(2.0 / N[(N[(t / l), $MachinePrecision] * N[(N[(k * N[(k * N[(k * k), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.0 / N[(N[(k * N[(t + N[(t * N[(N[(k * k), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(k * N[(k / N[(l / N[(k / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if t < 6.40000000000000011e-86

   1. Initial program 34.9%

      \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in k around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{4} \cdot t}{{\ell}^{2}}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left({k}^{4} \cdot \color{blue}{\frac{t}{{\ell}^{2}}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{2} \cdot {k}^{2}\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \left({k}^{2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \left({k}^{2}\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left({k}^{2}\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left(k \cdot k\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\left({\ell}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \left(\ell \cdot \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 65.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 65.5%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot t}{\color{blue}{\ell \cdot \ell}}\right)\right) \]

      2. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)}{\ell} \cdot \color{blue}{\frac{t}{\ell}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)}{\ell}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{\ell}\right)}\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{\ell}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right)\right) \]

      6. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot {k}^{3}\right), \ell\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \left({k}^{3}\right)\right), \ell\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right)\right) \]

      8. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \left(k \cdot k\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right)\right), \ell\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 72.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right)\right), \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 72.5%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)}{\ell} \cdot \frac{t}{\ell}}} \]

   if 6.40000000000000011e-86 < t

   1. Initial program 33.8%

      \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in t around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{2} \cdot \left(t \cdot {\sin k}^{2}\right)}{{\ell}^{2} \cdot \cos k}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell \cdot \ell}\right), \left(\frac{t \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{{k}^{2}}{\ell}}{\ell}\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t} \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{{\sin k}^{2} \cdot t}{\cos \color{blue}{k}}\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left({\sin k}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{t}{\cos k}}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin k}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{\cos k}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin k, 2\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 82.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 82.2%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)}} \]

   6. Taylor expanded in k around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot \left(t + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \color{blue}{\left(t + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \left(\color{blue}{t} + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left(\color{blue}{t} + {k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot t - \frac{-1}{2} \cdot t\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-out-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left({k}^{2} \cdot \left(t \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} - \frac{-1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left({k}^{2} \cdot \left(t \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left(\left({k}^{2} \cdot t\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot t\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot t\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \left(t \cdot \color{blue}{{k}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(t, \color{blue}{\left({k}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(t, \left(k \cdot \color{blue}{k}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 67.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(k, \color{blue}{k}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 67.9%

      \[\leadsto \frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(t + 0.16666666666666666 \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \left(k \cdot \color{blue}{\left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\left(\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot k\right) \cdot \color{blue}{\left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot k\right), \color{blue}{\left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}\right), k\right), \left(\color{blue}{k} \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k \cdot k}{\ell \cdot \ell}\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{1}{\frac{\ell}{k}}\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k \cdot 1}{\ell \cdot \frac{\ell}{k}}\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell \cdot \frac{\ell}{k}}\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \left(\ell \cdot \frac{\ell}{k}\right)\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \left(\ell \cdot \frac{1}{\frac{k}{\ell}}\right)\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \left(\frac{\ell}{\frac{k}{\ell}}\right)\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(\frac{k}{\ell}\right)\right)\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right)\right), k\right), \left(k \cdot \left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \color{blue}{\left(t + \frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \left(\left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \left(t \cdot \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(t, \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \color{blue}{\frac{1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      21. *-lowering-*.f64 69.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right)\right), k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{+.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 69.8%

       \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\left(\frac{k}{\frac{\ell}{\frac{k}{\ell}}} \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot \left(t + t \cdot \left(\left(k \cdot k\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 71.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq 6.4 \cdot 10^{-86}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{\frac{t}{\ell} \cdot \frac{k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)}{\ell}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{\left(k \cdot \left(t + t \cdot \left(\left(k \cdot k\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(k \cdot \frac{k}{\frac{\ell}{\frac{k}{\ell}}}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 71.6% accurate, 19.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\ell \cdot \ell \leq 10^{-139}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\frac{k \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)}{\ell}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{2}{k \cdot k}}{\frac{k \cdot k}{\frac{\ell \cdot \ell}{t}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (t l k)
 :precision binary64
 (if (<= (* l l) 1e-139)
   (/ (/ 2.0 (/ k l)) (/ (* k (* t (* k k))) l))
   (/ (/ 2.0 (* k k)) (/ (* k k) (/ (* l l) t)))))

C

double code(double t, double l, double k) {
	double tmp;
	if ((l * l) <= 1e-139) {
		tmp = (2.0 / (k / l)) / ((k * (t * (k * k))) / l);
	} else {
		tmp = (2.0 / (k * k)) / ((k * k) / ((l * l) / t));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(t, l, k)
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: k
    real(8) :: tmp
    if ((l * l) <= 1d-139) then
        tmp = (2.0d0 / (k / l)) / ((k * (t * (k * k))) / l)
    else
        tmp = (2.0d0 / (k * k)) / ((k * k) / ((l * l) / t))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double t, double l, double k) {
	double tmp;
	if ((l * l) <= 1e-139) {
		tmp = (2.0 / (k / l)) / ((k * (t * (k * k))) / l);
	} else {
		tmp = (2.0 / (k * k)) / ((k * k) / ((l * l) / t));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(t, l, k):
	tmp = 0
	if (l * l) <= 1e-139:
		tmp = (2.0 / (k / l)) / ((k * (t * (k * k))) / l)
	else:
		tmp = (2.0 / (k * k)) / ((k * k) / ((l * l) / t))
	return tmp

Julia

function code(t, l, k)
	tmp = 0.0
	if (Float64(l * l) <= 1e-139)
		tmp = Float64(Float64(2.0 / Float64(k / l)) / Float64(Float64(k * Float64(t * Float64(k * k))) / l));
	else
		tmp = Float64(Float64(2.0 / Float64(k * k)) / Float64(Float64(k * k) / Float64(Float64(l * l) / t)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(t, l, k)
	tmp = 0.0;
	if ((l * l) <= 1e-139)
		tmp = (2.0 / (k / l)) / ((k * (t * (k * k))) / l);
	else
		tmp = (2.0 / (k * k)) / ((k * k) / ((l * l) / t));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[t_, l_, k_] := If[LessEqual[N[(l * l), $MachinePrecision], 1e-139], N[(N[(2.0 / N[(k / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(k * N[(t * N[(k * k), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(2.0 / N[(k * k), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(k * k), $MachinePrecision] / N[(N[(l * l), $MachinePrecision] / t), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f64 l l) < 1.00000000000000003e-139

   1. Initial program 24.2%

      \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in t around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{2} \cdot \left(t \cdot {\sin k}^{2}\right)}{{\ell}^{2} \cdot \cos k}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell \cdot \ell}\right), \left(\frac{t \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{{k}^{2}}{\ell}}{\ell}\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t} \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{{\sin k}^{2} \cdot t}{\cos \color{blue}{k}}\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left({\sin k}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{t}{\cos k}}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin k}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{\cos k}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin k, 2\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 81.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 81.9%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k \cdot k}{\ell \cdot \ell}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell}\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right)}, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sin.f64}\left(k\right)}, 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 81.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), \color{blue}{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 81.8%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{k}{\ell}\right)} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{2}{\frac{k}{\ell} \cdot \color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)\right)}} \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\color{blue}{\frac{k}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)}} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\frac{k}{\ell}}\right), \color{blue}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)\right)}\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{k}{\ell}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{k}{\ell}} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\frac{k}{\color{blue}{\ell}} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\frac{k}{\ell} \cdot \left(\frac{t}{\cos k} \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \left(\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right) \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right), \color{blue}{\left({\sin k}^{2}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{k}{\ell}\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right), \left({\color{blue}{\sin k}}^{2}\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right), \left({\sin \color{blue}{k}}^{2}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \cos k\right)\right), \left({\sin k}^{2}\right)\right)\right) \]

      12. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \left({\sin k}^{2}\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \left(\sin k \cdot \color{blue}{\sin k}\right)\right)\right) \]

      14. sqr-sin-a N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} - \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)}\right)\right)\right) \]

      15. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\cos \left(2 \cdot k\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 73.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, k\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 73.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\left(\frac{k}{\ell} \cdot \frac{t}{\cos k}\right) \cdot \left(0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot k\right)\right)}} \]

   10. Taylor expanded in k around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{{k}^{3} \cdot t}{\ell}\right)}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left({k}^{3} \cdot t\right), \color{blue}{\ell}\right)\right) \]

       2. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot t\right), \ell\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(k \cdot {k}^{2}\right) \cdot t\right), \ell\right)\right) \]

       4. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot \left({k}^{2} \cdot t\right)\right), \ell\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \left({k}^{2} \cdot t\right)\right), \ell\right)\right) \]

       6. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \left(t \cdot {k}^{2}\right)\right), \ell\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(t, \left({k}^{2}\right)\right)\right), \ell\right)\right) \]

       8. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(t, \left(k \cdot k\right)\right)\right), \ell\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 81.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(k, \ell\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right)\right), \ell\right)\right) \]

   12. Simplified 81.6%

       \[\leadsto \frac{\frac{2}{\frac{k}{\ell}}}{\color{blue}{\frac{k \cdot \left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)}{\ell}}} \]

   if 1.00000000000000003e-139 < (*.f64 l l)

   1. Initial program 40.1%

      \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in k around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{4} \cdot t}{{\ell}^{2}}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left({k}^{4} \cdot \color{blue}{\frac{t}{{\ell}^{2}}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{2} \cdot {k}^{2}\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \left({k}^{2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \left({k}^{2}\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left({k}^{2}\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left(k \cdot k\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\left({\ell}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \left(\ell \cdot \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 68.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 68.1%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \frac{2}{\left(k \cdot k\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right)}} \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{2}{k \cdot k}}{\color{blue}{\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}}} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{k \cdot k}\right), \color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right)}\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(k \cdot k\right)\right), \left(\color{blue}{\left(k \cdot k\right)} \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \left(\left(k \cdot \color{blue}{k}\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}\right)\right) \]

      6. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \left(\left(k \cdot k\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\ell \cdot \ell}{t}}}\right)\right) \]

      7. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \left(\frac{k \cdot k}{\color{blue}{\frac{\ell \cdot \ell}{t}}}\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \color{blue}{\left(\frac{\ell \cdot \ell}{t}\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left(\frac{\color{blue}{\ell \cdot \ell}}{t}\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), \color{blue}{t}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 71.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), t\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 71.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{2}{k \cdot k}}{\frac{k \cdot k}{\frac{\ell \cdot \ell}{t}}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 11: 71.1% accurate, 21.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq 11600:\\ \;\;\;\;\ell \cdot \frac{\frac{2}{k} \cdot \frac{\ell}{t}}{k \cdot \left(k \cdot k\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{\left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot \frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (t l k)
 :precision binary64
 (if (<= t 11600.0)
   (* l (/ (* (/ 2.0 k) (/ l t)) (* k (* k k))))
   (/ 2.0 (* (* t (* k k)) (/ (/ (* k k) l) l)))))

C

double code(double t, double l, double k) {
	double tmp;
	if (t <= 11600.0) {
		tmp = l * (((2.0 / k) * (l / t)) / (k * (k * k)));
	} else {
		tmp = 2.0 / ((t * (k * k)) * (((k * k) / l) / l));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(t, l, k)
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: k
    real(8) :: tmp
    if (t <= 11600.0d0) then
        tmp = l * (((2.0d0 / k) * (l / t)) / (k * (k * k)))
    else
        tmp = 2.0d0 / ((t * (k * k)) * (((k * k) / l) / l))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double t, double l, double k) {
	double tmp;
	if (t <= 11600.0) {
		tmp = l * (((2.0 / k) * (l / t)) / (k * (k * k)));
	} else {
		tmp = 2.0 / ((t * (k * k)) * (((k * k) / l) / l));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(t, l, k):
	tmp = 0
	if t <= 11600.0:
		tmp = l * (((2.0 / k) * (l / t)) / (k * (k * k)))
	else:
		tmp = 2.0 / ((t * (k * k)) * (((k * k) / l) / l))
	return tmp

Julia

function code(t, l, k)
	tmp = 0.0
	if (t <= 11600.0)
		tmp = Float64(l * Float64(Float64(Float64(2.0 / k) * Float64(l / t)) / Float64(k * Float64(k * k))));
	else
		tmp = Float64(2.0 / Float64(Float64(t * Float64(k * k)) * Float64(Float64(Float64(k * k) / l) / l)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(t, l, k)
	tmp = 0.0;
	if (t <= 11600.0)
		tmp = l * (((2.0 / k) * (l / t)) / (k * (k * k)));
	else
		tmp = 2.0 / ((t * (k * k)) * (((k * k) / l) / l));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[t_, l_, k_] := If[LessEqual[t, 11600.0], N[(l * N[(N[(N[(2.0 / k), $MachinePrecision] * N[(l / t), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(k * N[(k * k), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(2.0 / N[(N[(t * N[(k * k), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(k * k), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision] / l), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if t < 11600

   1. Initial program 36.8%

      \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in k around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{4} \cdot t}{{\ell}^{2}}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left({k}^{4} \cdot \color{blue}{\frac{t}{{\ell}^{2}}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)}\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{2} \cdot {k}^{2}\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \left({k}^{2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \left({k}^{2}\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left({k}^{2}\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left(k \cdot k\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\left({\ell}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \left(\ell \cdot \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 62.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 62.7%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{2}{\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)}}{\color{blue}{\frac{t}{\ell \cdot \ell}}} \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{2}{\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)}}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\color{blue}{\ell}}} \]

      3. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{2}{\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)}}{\frac{t}{\ell}} \cdot \color{blue}{\ell} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{2}{\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)}}{\frac{t}{\ell}}\right), \color{blue}{\ell}\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)}\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

      8. cube-unmult N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(k \cdot {k}^{3}\right)\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, \left({k}^{3}\right)\right)\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

      10. cube-unmult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right)\right)\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

      13. /-lowering-/.f64 69.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right)\right), \ell\right) \]

   7. Applied egg-rr 69.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{2}{k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)}}{\frac{t}{\ell}} \cdot \ell} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-inv N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{2}{k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)} \cdot \frac{1}{\frac{t}{\ell}}\right), \ell\right) \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{2}{k}}{k \cdot \left(k \cdot k\right)} \cdot \frac{1}{\frac{t}{\ell}}\right), \ell\right) \]

      3. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{2}{k}}{k \cdot \left(k \cdot k\right)} \cdot \frac{\ell}{t}\right), \ell\right) \]

      4. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{2}{k} \cdot \frac{\ell}{t}}{k \cdot \left(k \cdot k\right)}\right), \ell\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{k} \cdot \frac{\ell}{t}\right), \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right), \ell\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{2}{k}\right), \left(\frac{\ell}{t}\right)\right), \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right), \ell\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, k\right), \left(\frac{\ell}{t}\right)\right), \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right), \ell\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, k\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, t\right)\right), \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right), \ell\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, k\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \left(k \cdot k\right)\right)\right), \ell\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 70.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, k\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, t\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right)\right), \ell\right) \]

   9. Applied egg-rr 70.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{2}{k} \cdot \frac{\ell}{t}}{k \cdot \left(k \cdot k\right)}} \cdot \ell \]

   if 11600 < t

   1. Initial program 27.4%

      \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in t around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{2} \cdot \left(t \cdot {\sin k}^{2}\right)}{{\ell}^{2} \cdot \cos k}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{{\ell}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell \cdot \ell}\right), \left(\frac{t \cdot \color{blue}{{\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{{k}^{2}}{\ell}}{\ell}\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{{k}^{2}}{\ell}\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t \cdot {\sin k}^{2}}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{\color{blue}{t} \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{t \cdot {\sin k}^{2}}{\cos k}\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(\frac{{\sin k}^{2} \cdot t}{\cos \color{blue}{k}}\right)\right)\right) \]

      10. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left({\sin k}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{t}{\cos k}}\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\sin k}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{\cos k}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin k, 2\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \left(\frac{t}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\cos k}\right)\right)\right)\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 88.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(k\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{cos.f64}\left(k\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.6%

      \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \left({\sin k}^{2} \cdot \frac{t}{\cos k}\right)}} \]

   6. Taylor expanded in k around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \color{blue}{\left({k}^{2} \cdot t\right)}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \left(t \cdot \color{blue}{{k}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \color{blue}{\left({k}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \left(k \cdot \color{blue}{k}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 76.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \ell\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(k, \color{blue}{k}\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 76.8%

      \[\leadsto \frac{2}{\frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell} \cdot \color{blue}{\left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 72.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq 11600:\\ \;\;\;\;\ell \cdot \frac{\frac{2}{k} \cdot \frac{\ell}{t}}{k \cdot \left(k \cdot k\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{2}{\left(t \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot \frac{\frac{k \cdot k}{\ell}}{\ell}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 22.6% accurate, 26.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{t}{\ell \cdot \left(\ell \cdot -0.11666666666666667\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t \cdot \left(-0.11666666666666667 \cdot \left(\ell \cdot \frac{\ell}{t \cdot t}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (t l k)
 :precision binary64
 (if (<= t 1e-6)
   (/ 1.0 (/ t (* l (* l -0.11666666666666667))))
   (* t (* -0.11666666666666667 (* l (/ l (* t t)))))))

C

double code(double t, double l, double k) {
	double tmp;
	if (t <= 1e-6) {
		tmp = 1.0 / (t / (l * (l * -0.11666666666666667)));
	} else {
		tmp = t * (-0.11666666666666667 * (l * (l / (t * t))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(t, l, k)
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: k
    real(8) :: tmp
    if (t <= 1d-6) then
        tmp = 1.0d0 / (t / (l * (l * (-0.11666666666666667d0))))
    else
        tmp = t * ((-0.11666666666666667d0) * (l * (l / (t * t))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double t, double l, double k) {
	double tmp;
	if (t <= 1e-6) {
		tmp = 1.0 / (t / (l * (l * -0.11666666666666667)));
	} else {
		tmp = t * (-0.11666666666666667 * (l * (l / (t * t))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(t, l, k):
	tmp = 0
	if t <= 1e-6:
		tmp = 1.0 / (t / (l * (l * -0.11666666666666667)))
	else:
		tmp = t * (-0.11666666666666667 * (l * (l / (t * t))))
	return tmp

Julia

function code(t, l, k)
	tmp = 0.0
	if (t <= 1e-6)
		tmp = Float64(1.0 / Float64(t / Float64(l * Float64(l * -0.11666666666666667))));
	else
		tmp = Float64(t * Float64(-0.11666666666666667 * Float64(l * Float64(l / Float64(t * t)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(t, l, k)
	tmp = 0.0;
	if (t <= 1e-6)
		tmp = 1.0 / (t / (l * (l * -0.11666666666666667)));
	else
		tmp = t * (-0.11666666666666667 * (l * (l / (t * t))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[t_, l_, k_] := If[LessEqual[t, 1e-6], N[(1.0 / N[(t / N[(l * N[(l * -0.11666666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t * N[(-0.11666666666666667 * N[(l * N[(l / N[(t * t), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if t < 9.99999999999999955e-7

   1. Initial program 36.9%

      \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 62.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{2}{\sin k} \cdot \frac{\frac{\ell}{t}}{\frac{t \cdot t}{\ell}}}{k \cdot \tan k}}{\frac{k}{t}} \cdot t} \]

   5. Taylor expanded in k around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \frac{{\ell}^{2}}{{t}^{3}} + {k}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \left({k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{36} \cdot \frac{{\ell}^{2}}{{t}^{3}} + \frac{31}{360} \cdot \frac{{\ell}^{2}}{{t}^{3}}\right)\right) + \frac{-1}{3} \cdot \frac{{\ell}^{2}}{{t}^{3}}\right)}{{k}^{3}}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(k, t\right)\right), t\right) \]

   7. Simplified 8.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{\frac{2 \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}{t}}{t \cdot t} + \left(k \cdot k\right) \cdot \left(\frac{\frac{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot -0.3333333333333333}{t}}{t \cdot t} + \left(k \cdot k\right) \cdot \left(\frac{\ell \cdot \ell}{t \cdot \left(t \cdot t\right)} \cdot -0.11666666666666667\right)\right)}{k \cdot \left(k \cdot k\right)}}}{\frac{k}{t}} \cdot t \]

   8. Taylor expanded in k around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-7}{60} \cdot \frac{{\ell}^{2}}{t}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{-7}{60} \cdot {\ell}^{2}}{\color{blue}{t}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-7}{60} \cdot {\ell}^{2}\right), \color{blue}{t}\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\ell}^{2} \cdot \frac{-7}{60}\right), t\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\ell}^{2}\right), \frac{-7}{60}\right), t\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), \frac{-7}{60}\right), t\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 13.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \frac{-7}{60}\right), t\right) \]

   10. Simplified 13.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot -0.11666666666666667}{t}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. clear-num N/A

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{t}{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \frac{-7}{60}}}} \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{t}{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \frac{-7}{60}}\right)}\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\left(\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \frac{-7}{60}\right)}\right)\right) \]

       4. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(t, \left(\ell \cdot \color{blue}{\left(\ell \cdot \frac{-7}{60}\right)}\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(\ell \cdot \frac{-7}{60}\right)}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 13.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\frac{-7}{60}}\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 13.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{t}{\ell \cdot \left(\ell \cdot -0.11666666666666667\right)}}} \]

   if 9.99999999999999955e-7 < t

   1. Initial program 27.8%

      \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
   2. Add Preprocessing

   4. Applied egg-rr 59.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{2}{\sin k} \cdot \frac{\frac{\ell}{t}}{\frac{t \cdot t}{\ell}}}{k \cdot \tan k}}{\frac{k}{t}} \cdot t} \]

   5. Taylor expanded in k around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \frac{{\ell}^{2}}{{t}^{3}} + {k}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \left({k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{36} \cdot \frac{{\ell}^{2}}{{t}^{3}} + \frac{31}{360} \cdot \frac{{\ell}^{2}}{{t}^{3}}\right)\right) + \frac{-1}{3} \cdot \frac{{\ell}^{2}}{{t}^{3}}\right)}{{k}^{3}}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(k, t\right)\right), t\right) \]

   7. Simplified 23.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{\frac{2 \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}{t}}{t \cdot t} + \left(k \cdot k\right) \cdot \left(\frac{\frac{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot -0.3333333333333333}{t}}{t \cdot t} + \left(k \cdot k\right) \cdot \left(\frac{\ell \cdot \ell}{t \cdot \left(t \cdot t\right)} \cdot -0.11666666666666667\right)\right)}{k \cdot \left(k \cdot k\right)}}}{\frac{k}{t}} \cdot t \]

   8. Taylor expanded in k around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-7}{60} \cdot \frac{{\ell}^{2}}{{t}^{2}}\right)}, t\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-7}{60}, \left(\frac{{\ell}^{2}}{{t}^{2}}\right)\right), t\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-7}{60}, \left(\frac{\ell \cdot \ell}{{t}^{2}}\right)\right), t\right) \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-7}{60}, \left(\ell \cdot \frac{\ell}{{t}^{2}}\right)\right), t\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-7}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \left(\frac{\ell}{{t}^{2}}\right)\right)\right), t\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-7}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left({t}^{2}\right)\right)\right)\right), t\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-7}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\ell, \left(t \cdot t\right)\right)\right)\right), t\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 20.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-7}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{/.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(t, t\right)\right)\right)\right), t\right) \]

   10. Simplified 20.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.11666666666666667 \cdot \left(\ell \cdot \frac{\ell}{t \cdot t}\right)\right)} \cdot t \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 15.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{t}{\ell \cdot \left(\ell \cdot -0.11666666666666667\right)}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t \cdot \left(-0.11666666666666667 \cdot \left(\ell \cdot \frac{\ell}{t \cdot t}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 70.5% accurate, 28.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \ell \cdot \frac{\ell \cdot \frac{2}{k}}{t \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (t l k)
 :precision binary64
 (* l (/ (* l (/ 2.0 k)) (* t (* k (* k k))))))

C

double code(double t, double l, double k) {
	return l * ((l * (2.0 / k)) / (t * (k * (k * k))));
}

Fortran

real(8) function code(t, l, k)
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: k
    code = l * ((l * (2.0d0 / k)) / (t * (k * (k * k))))
end function

Java

public static double code(double t, double l, double k) {
	return l * ((l * (2.0 / k)) / (t * (k * (k * k))));
}

Python

def code(t, l, k):
	return l * ((l * (2.0 / k)) / (t * (k * (k * k))))

Julia

function code(t, l, k)
	return Float64(l * Float64(Float64(l * Float64(2.0 / k)) / Float64(t * Float64(k * Float64(k * k)))))
end

MATLAB

function tmp = code(t, l, k)
	tmp = l * ((l * (2.0 / k)) / (t * (k * (k * k))));
end

Wolfram

code[t_, l_, k_] := N[(l * N[(N[(l * N[(2.0 / k), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t * N[(k * N[(k * k), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 34.5%

   \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in k around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{4} \cdot t}{{\ell}^{2}}\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left({k}^{4} \cdot \color{blue}{\frac{t}{{\ell}^{2}}}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

   4. pow-sqr N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{2} \cdot {k}^{2}\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \left({k}^{2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \left({k}^{2}\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left({k}^{2}\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left(k \cdot k\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\left({\ell}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \left(\ell \cdot \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 63.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 63.0%

   \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{2}{\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)}}{\color{blue}{\frac{t}{\ell \cdot \ell}}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{2}{\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)}}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\color{blue}{\ell}}} \]

   3. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{2}{\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)}}{\frac{t}{\ell}} \cdot \color{blue}{\ell} \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{2}{\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)}}{\frac{t}{\ell}}\right), \color{blue}{\ell}\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)}\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

   8. cube-unmult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(k \cdot {k}^{3}\right)\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, \left({k}^{3}\right)\right)\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

   10. cube-unmult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right)\right)\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 68.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right)\right), \ell\right) \]

7. Applied egg-rr 68.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{2}{k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)}}{\frac{t}{\ell}} \cdot \ell} \]
8. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{2}{k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)} \cdot \frac{1}{\frac{t}{\ell}}\right), \ell\right) \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{2}{k}}{k \cdot \left(k \cdot k\right)} \cdot \frac{1}{\frac{t}{\ell}}\right), \ell\right) \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{2}{k}}{k \cdot \left(k \cdot k\right)} \cdot \frac{\ell}{t}\right), \ell\right) \]

   4. frac-times N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{2}{k} \cdot \ell}{\left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot t}\right), \ell\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{k} \cdot \ell\right), \left(\left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot t\right)\right), \ell\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{2}{k}\right), \ell\right), \left(\left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot t\right)\right), \ell\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, k\right), \ell\right), \left(\left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot t\right)\right), \ell\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, k\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right), t\right)\right), \ell\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, k\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \left(k \cdot k\right)\right), t\right)\right), \ell\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 71.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, k\right), \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), t\right)\right), \ell\right) \]

9. Applied egg-rr 71.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{2}{k} \cdot \ell}{\left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot t}} \cdot \ell \]

10. Final simplification 71.5%

    \[\leadsto \ell \cdot \frac{\ell \cdot \frac{2}{k}}{t \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 14: 68.2% accurate, 28.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\ell}{t} \cdot \frac{2 \cdot \ell}{k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (t l k)
 :precision binary64
 (* (/ l t) (/ (* 2.0 l) (* k (* k (* k k))))))

C

double code(double t, double l, double k) {
	return (l / t) * ((2.0 * l) / (k * (k * (k * k))));
}

Fortran

real(8) function code(t, l, k)
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: k
    code = (l / t) * ((2.0d0 * l) / (k * (k * (k * k))))
end function

Java

public static double code(double t, double l, double k) {
	return (l / t) * ((2.0 * l) / (k * (k * (k * k))));
}

Python

def code(t, l, k):
	return (l / t) * ((2.0 * l) / (k * (k * (k * k))))

Julia

function code(t, l, k)
	return Float64(Float64(l / t) * Float64(Float64(2.0 * l) / Float64(k * Float64(k * Float64(k * k)))))
end

MATLAB

function tmp = code(t, l, k)
	tmp = (l / t) * ((2.0 * l) / (k * (k * (k * k))));
end

Wolfram

code[t_, l_, k_] := N[(N[(l / t), $MachinePrecision] * N[(N[(2.0 * l), $MachinePrecision] / N[(k * N[(k * N[(k * k), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 34.5%

   \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in k around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\frac{{k}^{4} \cdot t}{{\ell}^{2}}\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \left({k}^{4} \cdot \color{blue}{\frac{t}{{\ell}^{2}}}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)}\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

   4. pow-sqr N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{2} \cdot {k}^{2}\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({k}^{2}\right), \left({k}^{2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{t}}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(k \cdot k\right), \left({k}^{2}\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left({k}^{2}\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \left(k \cdot k\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \left(\frac{t}{{\ell}^{2}}\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\left({\ell}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \left(\ell \cdot \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 63.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(k, k\right), \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\ell}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 63.0%

   \[\leadsto \frac{2}{\color{blue}{\left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)\right) \cdot \frac{t}{\ell \cdot \ell}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{2}{\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)}}{\color{blue}{\frac{t}{\ell \cdot \ell}}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{2}{\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)}}{\frac{\frac{t}{\ell}}{\color{blue}{\ell}}} \]

   3. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{2}{\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)}}{\frac{t}{\ell}} \cdot \color{blue}{\ell} \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{2}{\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)}}{\frac{t}{\ell}}\right), \color{blue}{\ell}\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{2}{\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)}\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(\left(k \cdot k\right) \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

   8. cube-unmult N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \left(k \cdot {k}^{3}\right)\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, \left({k}^{3}\right)\right)\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

   10. cube-unmult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right)\right)\right), \left(\frac{t}{\ell}\right)\right), \ell\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 68.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(t, \ell\right)\right), \ell\right) \]

7. Applied egg-rr 68.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{2}{k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)}}{\frac{t}{\ell}} \cdot \ell} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{2}{k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)} \cdot \ell}{\color{blue}{\frac{t}{\ell}}} \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \left(\frac{2}{k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)} \cdot \ell\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{t}{\ell}}} \]

   3. clear-num N/A

      \[\leadsto \left(\frac{2}{k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)} \cdot \ell\right) \cdot \frac{\ell}{\color{blue}{t}} \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{2}{k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)} \cdot \ell\right), \color{blue}{\left(\frac{\ell}{t}\right)}\right) \]

   5. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{2 \cdot \ell}{k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)}\right), \left(\frac{\color{blue}{\ell}}{t}\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(2 \cdot \ell\right), \left(k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\ell}}{t}\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \ell\right), \left(k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\ell}{t}\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\ell}{t}\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \left(k \cdot k\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\ell}{t}\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\ell}{t}\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 70.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \ell\right), \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, \mathsf{*.f64}\left(k, k\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\ell, \color{blue}{t}\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 70.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{2 \cdot \ell}{k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)} \cdot \frac{\ell}{t}} \]

10. Final simplification 70.0%

    \[\leadsto \frac{\ell}{t} \cdot \frac{2 \cdot \ell}{k \cdot \left(k \cdot \left(k \cdot k\right)\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 15: 20.7% accurate, 46.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{\frac{t}{\ell \cdot \left(\ell \cdot -0.11666666666666667\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (t l k)
 :precision binary64
 (/ 1.0 (/ t (* l (* l -0.11666666666666667)))))

C

double code(double t, double l, double k) {
	return 1.0 / (t / (l * (l * -0.11666666666666667)));
}

Fortran

real(8) function code(t, l, k)
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: k
    code = 1.0d0 / (t / (l * (l * (-0.11666666666666667d0))))
end function

Java

public static double code(double t, double l, double k) {
	return 1.0 / (t / (l * (l * -0.11666666666666667)));
}

Python

def code(t, l, k):
	return 1.0 / (t / (l * (l * -0.11666666666666667)))

Julia

function code(t, l, k)
	return Float64(1.0 / Float64(t / Float64(l * Float64(l * -0.11666666666666667))))
end

MATLAB

function tmp = code(t, l, k)
	tmp = 1.0 / (t / (l * (l * -0.11666666666666667)));
end

Wolfram

code[t_, l_, k_] := N[(1.0 / N[(t / N[(l * N[(l * -0.11666666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 34.5%

   \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 61.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{2}{\sin k} \cdot \frac{\frac{\ell}{t}}{\frac{t \cdot t}{\ell}}}{k \cdot \tan k}}{\frac{k}{t}} \cdot t} \]

5. Taylor expanded in k around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \frac{{\ell}^{2}}{{t}^{3}} + {k}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \left({k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{36} \cdot \frac{{\ell}^{2}}{{t}^{3}} + \frac{31}{360} \cdot \frac{{\ell}^{2}}{{t}^{3}}\right)\right) + \frac{-1}{3} \cdot \frac{{\ell}^{2}}{{t}^{3}}\right)}{{k}^{3}}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(k, t\right)\right), t\right) \]

7. Simplified 12.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{\frac{2 \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}{t}}{t \cdot t} + \left(k \cdot k\right) \cdot \left(\frac{\frac{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot -0.3333333333333333}{t}}{t \cdot t} + \left(k \cdot k\right) \cdot \left(\frac{\ell \cdot \ell}{t \cdot \left(t \cdot t\right)} \cdot -0.11666666666666667\right)\right)}{k \cdot \left(k \cdot k\right)}}}{\frac{k}{t}} \cdot t \]

8. Taylor expanded in k around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-7}{60} \cdot \frac{{\ell}^{2}}{t}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-7}{60} \cdot {\ell}^{2}}{\color{blue}{t}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-7}{60} \cdot {\ell}^{2}\right), \color{blue}{t}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\ell}^{2} \cdot \frac{-7}{60}\right), t\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\ell}^{2}\right), \frac{-7}{60}\right), t\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), \frac{-7}{60}\right), t\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 14.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \frac{-7}{60}\right), t\right) \]

10. Simplified 14.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot -0.11666666666666667}{t}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. clear-num N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{t}{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \frac{-7}{60}}}} \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{t}{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \frac{-7}{60}}\right)}\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(t, \color{blue}{\left(\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \frac{-7}{60}\right)}\right)\right) \]

    4. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(t, \left(\ell \cdot \color{blue}{\left(\ell \cdot \frac{-7}{60}\right)}\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\left(\ell \cdot \frac{-7}{60}\right)}\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 14.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(t, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \mathsf{*.f64}\left(\ell, \color{blue}{\frac{-7}{60}}\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 14.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{t}{\ell \cdot \left(\ell \cdot -0.11666666666666667\right)}}} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 16: 20.6% accurate, 60.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\ell \cdot \left(\ell \cdot -0.11666666666666667\right)}{t} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (t l k) :precision binary64 (/ (* l (* l -0.11666666666666667)) t))

C

double code(double t, double l, double k) {
	return (l * (l * -0.11666666666666667)) / t;
}

Fortran

real(8) function code(t, l, k)
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: k
    code = (l * (l * (-0.11666666666666667d0))) / t
end function

Java

public static double code(double t, double l, double k) {
	return (l * (l * -0.11666666666666667)) / t;
}

Python

def code(t, l, k):
	return (l * (l * -0.11666666666666667)) / t

Julia

function code(t, l, k)
	return Float64(Float64(l * Float64(l * -0.11666666666666667)) / t)
end

MATLAB

function tmp = code(t, l, k)
	tmp = (l * (l * -0.11666666666666667)) / t;
end

Wolfram

code[t_, l_, k_] := N[(N[(l * N[(l * -0.11666666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 34.5%

   \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 61.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{2}{\sin k} \cdot \frac{\frac{\ell}{t}}{\frac{t \cdot t}{\ell}}}{k \cdot \tan k}}{\frac{k}{t}} \cdot t} \]

5. Taylor expanded in k around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \frac{{\ell}^{2}}{{t}^{3}} + {k}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \left({k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{36} \cdot \frac{{\ell}^{2}}{{t}^{3}} + \frac{31}{360} \cdot \frac{{\ell}^{2}}{{t}^{3}}\right)\right) + \frac{-1}{3} \cdot \frac{{\ell}^{2}}{{t}^{3}}\right)}{{k}^{3}}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(k, t\right)\right), t\right) \]

7. Simplified 12.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{\frac{2 \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}{t}}{t \cdot t} + \left(k \cdot k\right) \cdot \left(\frac{\frac{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot -0.3333333333333333}{t}}{t \cdot t} + \left(k \cdot k\right) \cdot \left(\frac{\ell \cdot \ell}{t \cdot \left(t \cdot t\right)} \cdot -0.11666666666666667\right)\right)}{k \cdot \left(k \cdot k\right)}}}{\frac{k}{t}} \cdot t \]

8. Taylor expanded in k around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-7}{60} \cdot \frac{{\ell}^{2}}{t}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-7}{60} \cdot {\ell}^{2}}{\color{blue}{t}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-7}{60} \cdot {\ell}^{2}\right), \color{blue}{t}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\ell}^{2} \cdot \frac{-7}{60}\right), t\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\ell}^{2}\right), \frac{-7}{60}\right), t\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), \frac{-7}{60}\right), t\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 14.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \frac{-7}{60}\right), t\right) \]

10. Simplified 14.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot -0.11666666666666667}{t}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \left(\ell \cdot \frac{-7}{60}\right)\right), t\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\ell \cdot \frac{-7}{60}\right) \cdot \ell\right), t\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\ell \cdot \frac{-7}{60}\right), \ell\right), t\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 14.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \frac{-7}{60}\right), \ell\right), t\right) \]

12. Applied egg-rr 14.4%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\ell \cdot -0.11666666666666667\right) \cdot \ell}}{t} \]

13. Final simplification 14.4%

    \[\leadsto \frac{\ell \cdot \left(\ell \cdot -0.11666666666666667\right)}{t} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 17: 20.6% accurate, 60.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\ell \cdot \ell}{t} \cdot -0.11666666666666667 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (t l k) :precision binary64 (* (/ (* l l) t) -0.11666666666666667))

C

double code(double t, double l, double k) {
	return ((l * l) / t) * -0.11666666666666667;
}

Fortran

real(8) function code(t, l, k)
    real(8), intent (in) :: t
    real(8), intent (in) :: l
    real(8), intent (in) :: k
    code = ((l * l) / t) * (-0.11666666666666667d0)
end function

Java

public static double code(double t, double l, double k) {
	return ((l * l) / t) * -0.11666666666666667;
}

Python

def code(t, l, k):
	return ((l * l) / t) * -0.11666666666666667

Julia

function code(t, l, k)
	return Float64(Float64(Float64(l * l) / t) * -0.11666666666666667)
end

MATLAB

function tmp = code(t, l, k)
	tmp = ((l * l) / t) * -0.11666666666666667;
end

Wolfram

code[t_, l_, k_] := N[(N[(N[(l * l), $MachinePrecision] / t), $MachinePrecision] * -0.11666666666666667), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 34.5%

   \[\frac{2}{\left(\left(\frac{{t}^{3}}{\ell \cdot \ell} \cdot \sin k\right) \cdot \tan k\right) \cdot \left(\left(1 + {\left(\frac{k}{t}\right)}^{2}\right) - 1\right)} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 61.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{2}{\sin k} \cdot \frac{\frac{\ell}{t}}{\frac{t \cdot t}{\ell}}}{k \cdot \tan k}}{\frac{k}{t}} \cdot t} \]

5. Taylor expanded in k around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{2 \cdot \frac{{\ell}^{2}}{{t}^{3}} + {k}^{2} \cdot \left(-2 \cdot \left({k}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{36} \cdot \frac{{\ell}^{2}}{{t}^{3}} + \frac{31}{360} \cdot \frac{{\ell}^{2}}{{t}^{3}}\right)\right) + \frac{-1}{3} \cdot \frac{{\ell}^{2}}{{t}^{3}}\right)}{{k}^{3}}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(k, t\right)\right), t\right) \]

7. Simplified 12.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{\frac{2 \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)}{t}}{t \cdot t} + \left(k \cdot k\right) \cdot \left(\frac{\frac{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot -0.3333333333333333}{t}}{t \cdot t} + \left(k \cdot k\right) \cdot \left(\frac{\ell \cdot \ell}{t \cdot \left(t \cdot t\right)} \cdot -0.11666666666666667\right)\right)}{k \cdot \left(k \cdot k\right)}}}{\frac{k}{t}} \cdot t \]

8. Taylor expanded in k around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-7}{60} \cdot \frac{{\ell}^{2}}{t}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{-7}{60} \cdot {\ell}^{2}}{\color{blue}{t}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-7}{60} \cdot {\ell}^{2}\right), \color{blue}{t}\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\ell}^{2} \cdot \frac{-7}{60}\right), t\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\ell}^{2}\right), \frac{-7}{60}\right), t\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), \frac{-7}{60}\right), t\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 14.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), \frac{-7}{60}\right), t\right) \]

10. Simplified 14.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot -0.11666666666666667}{t}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. div-inv N/A

       \[\leadsto \left(\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \frac{-7}{60}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{t}} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(\frac{-7}{60} \cdot \left(\ell \cdot \ell\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{1}}{t} \]

    3. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \frac{-7}{60} \cdot \color{blue}{\left(\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \frac{1}{t}\right)} \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-7}{60}, \color{blue}{\left(\left(\ell \cdot \ell\right) \cdot \frac{1}{t}\right)}\right) \]

    5. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-7}{60}, \left(\frac{\ell \cdot \ell}{\color{blue}{t}}\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-7}{60}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\ell \cdot \ell\right), \color{blue}{t}\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 14.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-7}{60}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\ell, \ell\right), t\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 14.4%

    \[\leadsto \color{blue}{-0.11666666666666667 \cdot \frac{\ell \cdot \ell}{t}} \]

13. Final simplification 14.4%

    \[\leadsto \frac{\ell \cdot \ell}{t} \cdot -0.11666666666666667 \]
14. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (t l k)
  :name "Toniolo and Linder, Equation (10-)"
  :precision binary64
  (/ 2.0 (* (* (* (/ (pow t 3.0) (* l l)) (sin k)) (tan k)) (- (+ 1.0 (pow (/ k t) 2.0)) 1.0))))