Quadratic roots, full range

Percentage Accurate: 52.5% → 85.2%

Time: 13.3s

Alternatives: 11

Speedup: 11.6×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 52.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 85.2% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -7.2 \cdot 10^{+94}:\\ \;\;\;\;0 - \frac{b}{a}\\ \mathbf{elif}\;b \leq 1.4 \cdot 10^{-76}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{\left(\frac{-0.5}{\frac{c}{b}} + \frac{a \cdot 0.5}{b}\right) \cdot \left(a \cdot \frac{1}{a}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b -7.2e+94)
   (- 0.0 (/ b a))
   (if (<= b 1.4e-76)
     (/ (- (sqrt (+ (* b b) (* a (* c -4.0)))) b) (* a 2.0))
     (/ 0.5 (* (+ (/ -0.5 (/ c b)) (/ (* a 0.5) b)) (* a (/ 1.0 a)))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -7.2e+94) {
		tmp = 0.0 - (b / a);
	} else if (b <= 1.4e-76) {
		tmp = (sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b) / (a * 2.0);
	} else {
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= (-7.2d+94)) then
        tmp = 0.0d0 - (b / a)
    else if (b <= 1.4d-76) then
        tmp = (sqrt(((b * b) + (a * (c * (-4.0d0))))) - b) / (a * 2.0d0)
    else
        tmp = 0.5d0 / ((((-0.5d0) / (c / b)) + ((a * 0.5d0) / b)) * (a * (1.0d0 / a)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -7.2e+94) {
		tmp = 0.0 - (b / a);
	} else if (b <= 1.4e-76) {
		tmp = (Math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b) / (a * 2.0);
	} else {
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= -7.2e+94:
		tmp = 0.0 - (b / a)
	elif b <= 1.4e-76:
		tmp = (math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b) / (a * 2.0)
	else:
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)))
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= -7.2e+94)
		tmp = Float64(0.0 - Float64(b / a));
	elseif (b <= 1.4e-76)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(a * Float64(c * -4.0)))) - b) / Float64(a * 2.0));
	else
		tmp = Float64(0.5 / Float64(Float64(Float64(-0.5 / Float64(c / b)) + Float64(Float64(a * 0.5) / b)) * Float64(a * Float64(1.0 / a))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= -7.2e+94)
		tmp = 0.0 - (b / a);
	elseif (b <= 1.4e-76)
		tmp = (sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b) / (a * 2.0);
	else
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, -7.2e+94], N[(0.0 - N[(b / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[b, 1.4e-76], N[(N[(N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(c * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - b), $MachinePrecision] / N[(a * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 / N[(N[(N[(-0.5 / N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(a * 0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(a * N[(1.0 / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if b < -7.19999999999999985e94

   1. Initial program 53.9%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 53.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{b}{a}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{b}{a}\right) \]

      2. distribute-neg-frac2 N/A

         \[\leadsto \frac{b}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(a\right)}} \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \frac{b}{-1 \cdot \color{blue}{a}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \color{blue}{\left(-1 \cdot a\right)}\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \left(\mathsf{neg}\left(a\right)\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f64 95.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{neg.f64}\left(a\right)\right) \]

   7. Simplified 95.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{b}{-a}} \]

   if -7.19999999999999985e94 < b < 1.40000000000000005e-76

   1. Initial program 83.1%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 83.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing

   if 1.40000000000000005e-76 < b

   1. Initial program 15.2%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 15.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}{\color{blue}{2}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}}{2} \]

      3. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot \frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right)}\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 15.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 15.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}}\right)\right) \]

      2. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b} \cdot \color{blue}{a}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right), \color{blue}{a}\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)\right), a\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(-4 \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(a \cdot -4\right) \cdot c\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot -4\right), c\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 15.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 15.2%

      \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + \left(a \cdot -4\right) \cdot c} - b} \cdot a}} \]

   9. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}}{a}\right)}, a\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right), a\right), a\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \frac{a}{b}\right), a\right), a\right)\right) \]

       3. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{b}{c}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       7. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \frac{a}{b}\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       8. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       9. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot a}{b}\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot a\right), b\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 74.7%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

   11. Simplified 74.7%

       \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\frac{-0.5 \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot 0.5}{b}}{a}} \cdot a} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right) \cdot \frac{1}{a}\right) \cdot a\right)\right) \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{a} \cdot a\right)}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{a} \cdot a\right)}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c}\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{a}} \cdot a\right)\right)\right) \]

       5. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{c}{b}}\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       6. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{\frac{c}{b}}\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{c}{b}\right)\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{a}} \cdot a\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{a}\right), \color{blue}{a}\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 84.9%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), a\right)\right)\right) \]

   13. Applied egg-rr 84.9%

       \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\left(\frac{-0.5}{\frac{c}{b}} + \frac{a \cdot 0.5}{b}\right) \cdot \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 87.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -7.2 \cdot 10^{+94}:\\ \;\;\;\;0 - \frac{b}{a}\\ \mathbf{elif}\;b \leq 1.4 \cdot 10^{-76}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{\left(\frac{-0.5}{\frac{c}{b}} + \frac{a \cdot 0.5}{b}\right) \cdot \left(a \cdot \frac{1}{a}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 85.0% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -2.5 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;0 - \frac{b}{a}\\ \mathbf{elif}\;b \leq 9.5 \cdot 10^{-77}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{\left(\frac{-0.5}{\frac{c}{b}} + \frac{a \cdot 0.5}{b}\right) \cdot \left(a \cdot \frac{1}{a}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b -2.5e+77)
   (- 0.0 (/ b a))
   (if (<= b 9.5e-77)
     (/ 0.5 (/ a (- (sqrt (+ (* b b) (* a (* c -4.0)))) b)))
     (/ 0.5 (* (+ (/ -0.5 (/ c b)) (/ (* a 0.5) b)) (* a (/ 1.0 a)))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -2.5e+77) {
		tmp = 0.0 - (b / a);
	} else if (b <= 9.5e-77) {
		tmp = 0.5 / (a / (sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b));
	} else {
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= (-2.5d+77)) then
        tmp = 0.0d0 - (b / a)
    else if (b <= 9.5d-77) then
        tmp = 0.5d0 / (a / (sqrt(((b * b) + (a * (c * (-4.0d0))))) - b))
    else
        tmp = 0.5d0 / ((((-0.5d0) / (c / b)) + ((a * 0.5d0) / b)) * (a * (1.0d0 / a)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -2.5e+77) {
		tmp = 0.0 - (b / a);
	} else if (b <= 9.5e-77) {
		tmp = 0.5 / (a / (Math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b));
	} else {
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= -2.5e+77:
		tmp = 0.0 - (b / a)
	elif b <= 9.5e-77:
		tmp = 0.5 / (a / (math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b))
	else:
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)))
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= -2.5e+77)
		tmp = Float64(0.0 - Float64(b / a));
	elseif (b <= 9.5e-77)
		tmp = Float64(0.5 / Float64(a / Float64(sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(a * Float64(c * -4.0)))) - b)));
	else
		tmp = Float64(0.5 / Float64(Float64(Float64(-0.5 / Float64(c / b)) + Float64(Float64(a * 0.5) / b)) * Float64(a * Float64(1.0 / a))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= -2.5e+77)
		tmp = 0.0 - (b / a);
	elseif (b <= 9.5e-77)
		tmp = 0.5 / (a / (sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b));
	else
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, -2.5e+77], N[(0.0 - N[(b / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[b, 9.5e-77], N[(0.5 / N[(a / N[(N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(c * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 / N[(N[(N[(-0.5 / N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(a * 0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(a * N[(1.0 / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if b < -2.50000000000000002e77

   1. Initial program 55.9%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 55.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{b}{a}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{b}{a}\right) \]

      2. distribute-neg-frac2 N/A

         \[\leadsto \frac{b}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(a\right)}} \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \frac{b}{-1 \cdot \color{blue}{a}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \color{blue}{\left(-1 \cdot a\right)}\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \left(\mathsf{neg}\left(a\right)\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f64 95.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{neg.f64}\left(a\right)\right) \]

   7. Simplified 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{b}{-a}} \]

   if -2.50000000000000002e77 < b < 9.5000000000000005e-77

   1. Initial program 82.5%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 82.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}{\color{blue}{2}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}}{2} \]

      3. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot \frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right)}\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 82.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 82.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   if 9.5000000000000005e-77 < b

   1. Initial program 15.2%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 15.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}{\color{blue}{2}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}}{2} \]

      3. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot \frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right)}\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 15.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 15.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}}\right)\right) \]

      2. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b} \cdot \color{blue}{a}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right), \color{blue}{a}\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)\right), a\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(-4 \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(a \cdot -4\right) \cdot c\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot -4\right), c\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 15.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 15.2%

      \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + \left(a \cdot -4\right) \cdot c} - b} \cdot a}} \]

   9. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}}{a}\right)}, a\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right), a\right), a\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \frac{a}{b}\right), a\right), a\right)\right) \]

       3. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{b}{c}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       7. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \frac{a}{b}\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       8. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       9. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot a}{b}\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot a\right), b\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 74.7%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

   11. Simplified 74.7%

       \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\frac{-0.5 \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot 0.5}{b}}{a}} \cdot a} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right) \cdot \frac{1}{a}\right) \cdot a\right)\right) \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{a} \cdot a\right)}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{a} \cdot a\right)}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c}\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{a}} \cdot a\right)\right)\right) \]

       5. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{c}{b}}\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       6. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{\frac{c}{b}}\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{c}{b}\right)\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{a}} \cdot a\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{a}\right), \color{blue}{a}\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 84.9%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), a\right)\right)\right) \]

   13. Applied egg-rr 84.9%

       \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\left(\frac{-0.5}{\frac{c}{b}} + \frac{a \cdot 0.5}{b}\right) \cdot \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 87.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -2.5 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;0 - \frac{b}{a}\\ \mathbf{elif}\;b \leq 9.5 \cdot 10^{-77}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{\left(\frac{-0.5}{\frac{c}{b}} + \frac{a \cdot 0.5}{b}\right) \cdot \left(a \cdot \frac{1}{a}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 85.0% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -2.5 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;0 - \frac{b}{a}\\ \mathbf{elif}\;b \leq 6.5 \cdot 10^{-76}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \frac{0.5}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{\left(\frac{-0.5}{\frac{c}{b}} + \frac{a \cdot 0.5}{b}\right) \cdot \left(a \cdot \frac{1}{a}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b -2.5e+77)
   (- 0.0 (/ b a))
   (if (<= b 6.5e-76)
     (* (- (sqrt (+ (* b b) (* a (* c -4.0)))) b) (/ 0.5 a))
     (/ 0.5 (* (+ (/ -0.5 (/ c b)) (/ (* a 0.5) b)) (* a (/ 1.0 a)))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -2.5e+77) {
		tmp = 0.0 - (b / a);
	} else if (b <= 6.5e-76) {
		tmp = (sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b) * (0.5 / a);
	} else {
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= (-2.5d+77)) then
        tmp = 0.0d0 - (b / a)
    else if (b <= 6.5d-76) then
        tmp = (sqrt(((b * b) + (a * (c * (-4.0d0))))) - b) * (0.5d0 / a)
    else
        tmp = 0.5d0 / ((((-0.5d0) / (c / b)) + ((a * 0.5d0) / b)) * (a * (1.0d0 / a)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -2.5e+77) {
		tmp = 0.0 - (b / a);
	} else if (b <= 6.5e-76) {
		tmp = (Math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b) * (0.5 / a);
	} else {
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= -2.5e+77:
		tmp = 0.0 - (b / a)
	elif b <= 6.5e-76:
		tmp = (math.sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b) * (0.5 / a)
	else:
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)))
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= -2.5e+77)
		tmp = Float64(0.0 - Float64(b / a));
	elseif (b <= 6.5e-76)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(a * Float64(c * -4.0)))) - b) * Float64(0.5 / a));
	else
		tmp = Float64(0.5 / Float64(Float64(Float64(-0.5 / Float64(c / b)) + Float64(Float64(a * 0.5) / b)) * Float64(a * Float64(1.0 / a))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= -2.5e+77)
		tmp = 0.0 - (b / a);
	elseif (b <= 6.5e-76)
		tmp = (sqrt(((b * b) + (a * (c * -4.0)))) - b) * (0.5 / a);
	else
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, -2.5e+77], N[(0.0 - N[(b / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[b, 6.5e-76], N[(N[(N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(a * N[(c * -4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - b), $MachinePrecision] * N[(0.5 / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 / N[(N[(N[(-0.5 / N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(a * 0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(a * N[(1.0 / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if b < -2.50000000000000002e77

   1. Initial program 55.9%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 55.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{b}{a}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{b}{a}\right) \]

      2. distribute-neg-frac2 N/A

         \[\leadsto \frac{b}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(a\right)}} \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \frac{b}{-1 \cdot \color{blue}{a}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \color{blue}{\left(-1 \cdot a\right)}\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \left(\mathsf{neg}\left(a\right)\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f64 95.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{neg.f64}\left(a\right)\right) \]

   7. Simplified 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{b}{-a}} \]

   if -2.50000000000000002e77 < b < 6.5e-76

   1. Initial program 82.5%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 82.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{a \cdot 2}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      2. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{a \cdot 2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2 \cdot a}\right), \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)\right) \]

      5. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{a}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} - b\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{a}\right), \left(\sqrt{\color{blue}{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} - b\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} - b\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 82.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 82.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)} \]

   if 6.5e-76 < b

   1. Initial program 15.2%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 15.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}{\color{blue}{2}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}}{2} \]

      3. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot \frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right)}\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 15.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 15.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}}\right)\right) \]

      2. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b} \cdot \color{blue}{a}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right), \color{blue}{a}\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)\right), a\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(-4 \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(a \cdot -4\right) \cdot c\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot -4\right), c\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 15.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 15.2%

      \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + \left(a \cdot -4\right) \cdot c} - b} \cdot a}} \]

   9. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}}{a}\right)}, a\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right), a\right), a\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \frac{a}{b}\right), a\right), a\right)\right) \]

       3. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{b}{c}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       7. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \frac{a}{b}\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       8. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       9. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot a}{b}\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot a\right), b\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 74.7%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

   11. Simplified 74.7%

       \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\frac{-0.5 \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot 0.5}{b}}{a}} \cdot a} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right) \cdot \frac{1}{a}\right) \cdot a\right)\right) \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{a} \cdot a\right)}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{a} \cdot a\right)}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c}\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{a}} \cdot a\right)\right)\right) \]

       5. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{c}{b}}\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       6. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{\frac{c}{b}}\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{c}{b}\right)\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{a}} \cdot a\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{a}\right), \color{blue}{a}\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 84.9%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), a\right)\right)\right) \]

   13. Applied egg-rr 84.9%

       \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\left(\frac{-0.5}{\frac{c}{b}} + \frac{a \cdot 0.5}{b}\right) \cdot \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 86.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -2.5 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;0 - \frac{b}{a}\\ \mathbf{elif}\;b \leq 6.5 \cdot 10^{-76}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \cdot \frac{0.5}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{\left(\frac{-0.5}{\frac{c}{b}} + \frac{a \cdot 0.5}{b}\right) \cdot \left(a \cdot \frac{1}{a}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 79.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -0.0042:\\ \;\;\;\;\frac{c}{b} - \frac{b}{a}\\ \mathbf{elif}\;b \leq 8.2 \cdot 10^{-132}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{-4 \cdot \left(a \cdot c\right)} - b}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{\left(\frac{-0.5}{\frac{c}{b}} + \frac{a \cdot 0.5}{b}\right) \cdot \left(a \cdot \frac{1}{a}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b -0.0042)
   (- (/ c b) (/ b a))
   (if (<= b 8.2e-132)
     (/ 0.5 (/ a (- (sqrt (* -4.0 (* a c))) b)))
     (/ 0.5 (* (+ (/ -0.5 (/ c b)) (/ (* a 0.5) b)) (* a (/ 1.0 a)))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -0.0042) {
		tmp = (c / b) - (b / a);
	} else if (b <= 8.2e-132) {
		tmp = 0.5 / (a / (sqrt((-4.0 * (a * c))) - b));
	} else {
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= (-0.0042d0)) then
        tmp = (c / b) - (b / a)
    else if (b <= 8.2d-132) then
        tmp = 0.5d0 / (a / (sqrt(((-4.0d0) * (a * c))) - b))
    else
        tmp = 0.5d0 / ((((-0.5d0) / (c / b)) + ((a * 0.5d0) / b)) * (a * (1.0d0 / a)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -0.0042) {
		tmp = (c / b) - (b / a);
	} else if (b <= 8.2e-132) {
		tmp = 0.5 / (a / (Math.sqrt((-4.0 * (a * c))) - b));
	} else {
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= -0.0042:
		tmp = (c / b) - (b / a)
	elif b <= 8.2e-132:
		tmp = 0.5 / (a / (math.sqrt((-4.0 * (a * c))) - b))
	else:
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)))
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= -0.0042)
		tmp = Float64(Float64(c / b) - Float64(b / a));
	elseif (b <= 8.2e-132)
		tmp = Float64(0.5 / Float64(a / Float64(sqrt(Float64(-4.0 * Float64(a * c))) - b)));
	else
		tmp = Float64(0.5 / Float64(Float64(Float64(-0.5 / Float64(c / b)) + Float64(Float64(a * 0.5) / b)) * Float64(a * Float64(1.0 / a))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= -0.0042)
		tmp = (c / b) - (b / a);
	elseif (b <= 8.2e-132)
		tmp = 0.5 / (a / (sqrt((-4.0 * (a * c))) - b));
	else
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, -0.0042], N[(N[(c / b), $MachinePrecision] - N[(b / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[b, 8.2e-132], N[(0.5 / N[(a / N[(N[Sqrt[N[(-4.0 * N[(a * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 / N[(N[(N[(-0.5 / N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(a * 0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(a * N[(1.0 / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if b < -0.00419999999999999974

   1. Initial program 63.3%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 63.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(b \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot b\right) \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 2\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(b \cdot -1\right) \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \left(-1 \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(-1 \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(-2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      7. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{b \cdot b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      9. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{\left(-2 \cdot a\right) \cdot c}{b}}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      11. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left(-2 \cdot a\right) \cdot \frac{c}{b}}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left(a \cdot -2\right) \cdot \frac{c}{b}}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{a \cdot \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{c}{b} \cdot -2\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{c}{b}\right), -2\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      18. /-lowering-/.f64 92.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), -2\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 92.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{b \cdot \left(-1 \cdot \left(2 + \frac{a \cdot \left(\frac{c}{b} \cdot -2\right)}{b}\right)\right)}}{a \cdot 2} \]

   8. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{b}{a} + \frac{c}{b}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{c}{b} + \color{blue}{-1 \cdot \frac{b}{a}} \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \frac{c}{b} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a}\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{c}{b} - \color{blue}{\frac{b}{a}} \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{c}{b}\right), \color{blue}{\left(\frac{b}{a}\right)}\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \left(\frac{\color{blue}{b}}{a}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 92.2%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   10. Simplified 92.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{c}{b} - \frac{b}{a}} \]

   if -0.00419999999999999974 < b < 8.20000000000000013e-132

   1. Initial program 85.8%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 85.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}{\color{blue}{2}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}}{2} \]

      3. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot \frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right)}\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 85.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 85.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   7. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(-4 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}\right), b\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \left(a \cdot c\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \left(c \cdot a\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 72.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 72.1%

      \[\leadsto \frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{\color{blue}{-4 \cdot \left(c \cdot a\right)}} - b}} \]

   if 8.20000000000000013e-132 < b

   1. Initial program 18.5%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 18.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}{\color{blue}{2}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}}{2} \]

      3. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot \frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right)}\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 18.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 18.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}}\right)\right) \]

      2. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b} \cdot \color{blue}{a}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right), \color{blue}{a}\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)\right), a\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(-4 \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(a \cdot -4\right) \cdot c\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot -4\right), c\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 18.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 18.4%

      \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + \left(a \cdot -4\right) \cdot c} - b} \cdot a}} \]

   9. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}}{a}\right)}, a\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right), a\right), a\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \frac{a}{b}\right), a\right), a\right)\right) \]

       3. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{b}{c}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       7. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \frac{a}{b}\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       8. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       9. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot a}{b}\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot a\right), b\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 69.7%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

   11. Simplified 69.7%

       \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\frac{-0.5 \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot 0.5}{b}}{a}} \cdot a} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right) \cdot \frac{1}{a}\right) \cdot a\right)\right) \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{a} \cdot a\right)}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{a} \cdot a\right)}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c}\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{a}} \cdot a\right)\right)\right) \]

       5. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{c}{b}}\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       6. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{\frac{c}{b}}\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{c}{b}\right)\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{a}} \cdot a\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{a}\right), \color{blue}{a}\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 79.7%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), a\right)\right)\right) \]

   13. Applied egg-rr 79.7%

       \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\left(\frac{-0.5}{\frac{c}{b}} + \frac{a \cdot 0.5}{b}\right) \cdot \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 81.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -0.0042:\\ \;\;\;\;\frac{c}{b} - \frac{b}{a}\\ \mathbf{elif}\;b \leq 8.2 \cdot 10^{-132}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{-4 \cdot \left(a \cdot c\right)} - b}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{\left(\frac{-0.5}{\frac{c}{b}} + \frac{a \cdot 0.5}{b}\right) \cdot \left(a \cdot \frac{1}{a}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 79.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -3.1 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\frac{c}{b} - \frac{b}{a}\\ \mathbf{elif}\;b \leq 9.5 \cdot 10^{-131}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{a} \cdot \left(\sqrt{-4 \cdot \left(a \cdot c\right)} - b\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{\left(\frac{-0.5}{\frac{c}{b}} + \frac{a \cdot 0.5}{b}\right) \cdot \left(a \cdot \frac{1}{a}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b -3.1e-10)
   (- (/ c b) (/ b a))
   (if (<= b 9.5e-131)
     (* (/ 0.5 a) (- (sqrt (* -4.0 (* a c))) b))
     (/ 0.5 (* (+ (/ -0.5 (/ c b)) (/ (* a 0.5) b)) (* a (/ 1.0 a)))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -3.1e-10) {
		tmp = (c / b) - (b / a);
	} else if (b <= 9.5e-131) {
		tmp = (0.5 / a) * (sqrt((-4.0 * (a * c))) - b);
	} else {
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= (-3.1d-10)) then
        tmp = (c / b) - (b / a)
    else if (b <= 9.5d-131) then
        tmp = (0.5d0 / a) * (sqrt(((-4.0d0) * (a * c))) - b)
    else
        tmp = 0.5d0 / ((((-0.5d0) / (c / b)) + ((a * 0.5d0) / b)) * (a * (1.0d0 / a)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -3.1e-10) {
		tmp = (c / b) - (b / a);
	} else if (b <= 9.5e-131) {
		tmp = (0.5 / a) * (Math.sqrt((-4.0 * (a * c))) - b);
	} else {
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= -3.1e-10:
		tmp = (c / b) - (b / a)
	elif b <= 9.5e-131:
		tmp = (0.5 / a) * (math.sqrt((-4.0 * (a * c))) - b)
	else:
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)))
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= -3.1e-10)
		tmp = Float64(Float64(c / b) - Float64(b / a));
	elseif (b <= 9.5e-131)
		tmp = Float64(Float64(0.5 / a) * Float64(sqrt(Float64(-4.0 * Float64(a * c))) - b));
	else
		tmp = Float64(0.5 / Float64(Float64(Float64(-0.5 / Float64(c / b)) + Float64(Float64(a * 0.5) / b)) * Float64(a * Float64(1.0 / a))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= -3.1e-10)
		tmp = (c / b) - (b / a);
	elseif (b <= 9.5e-131)
		tmp = (0.5 / a) * (sqrt((-4.0 * (a * c))) - b);
	else
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, -3.1e-10], N[(N[(c / b), $MachinePrecision] - N[(b / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[b, 9.5e-131], N[(N[(0.5 / a), $MachinePrecision] * N[(N[Sqrt[N[(-4.0 * N[(a * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 / N[(N[(N[(-0.5 / N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(a * 0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(a * N[(1.0 / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if b < -3.10000000000000015e-10

   1. Initial program 63.3%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 63.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(b \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot b\right) \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 2\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(b \cdot -1\right) \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \left(-1 \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(-1 \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(-2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      7. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{b \cdot b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      9. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{\left(-2 \cdot a\right) \cdot c}{b}}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      11. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left(-2 \cdot a\right) \cdot \frac{c}{b}}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left(a \cdot -2\right) \cdot \frac{c}{b}}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{a \cdot \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{c}{b} \cdot -2\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{c}{b}\right), -2\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      18. /-lowering-/.f64 92.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), -2\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 92.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{b \cdot \left(-1 \cdot \left(2 + \frac{a \cdot \left(\frac{c}{b} \cdot -2\right)}{b}\right)\right)}}{a \cdot 2} \]

   8. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{b}{a} + \frac{c}{b}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{c}{b} + \color{blue}{-1 \cdot \frac{b}{a}} \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \frac{c}{b} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a}\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{c}{b} - \color{blue}{\frac{b}{a}} \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{c}{b}\right), \color{blue}{\left(\frac{b}{a}\right)}\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \left(\frac{\color{blue}{b}}{a}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 92.2%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   10. Simplified 92.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{c}{b} - \frac{b}{a}} \]

   if -3.10000000000000015e-10 < b < 9.4999999999999996e-131

   1. Initial program 85.8%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 85.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}{\color{blue}{2}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}}{2} \]

      3. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot \frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right)}\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 85.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 85.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{a} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)} \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{a} \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} - b\right) \]

      3. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{1}{2 \cdot a} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} - b\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{1}{a \cdot 2} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{a \cdot 2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2 \cdot a}\right), \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)\right) \]

      7. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{a}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} - b\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{a}\right), \left(\sqrt{\color{blue}{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} - b\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \left(\color{blue}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}} - b\right)\right) \]

      10. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(-4 \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      15. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(a \cdot -4\right) \cdot c\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot -4\right), c\right)\right)\right), b\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 85.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right)\right)\right), b\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 85.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{a} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + \left(a \cdot -4\right) \cdot c} - b\right)} \]

   9. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left(-4 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}\right), b\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \left(a \cdot c\right)\right)\right), b\right)\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \left(c \cdot a\right)\right)\right), b\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 72.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-4, \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right)\right), b\right)\right) \]

   11. Simplified 72.0%

       \[\leadsto \frac{0.5}{a} \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{-4 \cdot \left(c \cdot a\right)}} - b\right) \]

   if 9.4999999999999996e-131 < b

   1. Initial program 18.5%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 18.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}{\color{blue}{2}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}}{2} \]

      3. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot \frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right)}\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 18.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 18.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}}\right)\right) \]

      2. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b} \cdot \color{blue}{a}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right), \color{blue}{a}\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)\right), a\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(-4 \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(a \cdot -4\right) \cdot c\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot -4\right), c\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 18.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 18.4%

      \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + \left(a \cdot -4\right) \cdot c} - b} \cdot a}} \]

   9. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}}{a}\right)}, a\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right), a\right), a\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \frac{a}{b}\right), a\right), a\right)\right) \]

       3. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{b}{c}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       7. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \frac{a}{b}\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       8. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       9. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot a}{b}\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot a\right), b\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 69.7%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

   11. Simplified 69.7%

       \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\frac{-0.5 \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot 0.5}{b}}{a}} \cdot a} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right) \cdot \frac{1}{a}\right) \cdot a\right)\right) \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{a} \cdot a\right)}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{a} \cdot a\right)}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c}\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{a}} \cdot a\right)\right)\right) \]

       5. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{c}{b}}\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       6. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{\frac{c}{b}}\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{c}{b}\right)\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{a}} \cdot a\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{a}\right), \color{blue}{a}\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 79.7%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), a\right)\right)\right) \]

   13. Applied egg-rr 79.7%

       \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\left(\frac{-0.5}{\frac{c}{b}} + \frac{a \cdot 0.5}{b}\right) \cdot \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 81.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -3.1 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;\frac{c}{b} - \frac{b}{a}\\ \mathbf{elif}\;b \leq 9.5 \cdot 10^{-131}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{a} \cdot \left(\sqrt{-4 \cdot \left(a \cdot c\right)} - b\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{\left(\frac{-0.5}{\frac{c}{b}} + \frac{a \cdot 0.5}{b}\right) \cdot \left(a \cdot \frac{1}{a}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 67.0% accurate, 4.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -6.4 \cdot 10^{-301}:\\ \;\;\;\;\frac{c}{b} - \frac{b}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{\left(\frac{-0.5}{\frac{c}{b}} + \frac{a \cdot 0.5}{b}\right) \cdot \left(a \cdot \frac{1}{a}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b -6.4e-301)
   (- (/ c b) (/ b a))
   (/ 0.5 (* (+ (/ -0.5 (/ c b)) (/ (* a 0.5) b)) (* a (/ 1.0 a))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -6.4e-301) {
		tmp = (c / b) - (b / a);
	} else {
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= (-6.4d-301)) then
        tmp = (c / b) - (b / a)
    else
        tmp = 0.5d0 / ((((-0.5d0) / (c / b)) + ((a * 0.5d0) / b)) * (a * (1.0d0 / a)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -6.4e-301) {
		tmp = (c / b) - (b / a);
	} else {
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= -6.4e-301:
		tmp = (c / b) - (b / a)
	else:
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)))
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= -6.4e-301)
		tmp = Float64(Float64(c / b) - Float64(b / a));
	else
		tmp = Float64(0.5 / Float64(Float64(Float64(-0.5 / Float64(c / b)) + Float64(Float64(a * 0.5) / b)) * Float64(a * Float64(1.0 / a))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= -6.4e-301)
		tmp = (c / b) - (b / a);
	else
		tmp = 0.5 / (((-0.5 / (c / b)) + ((a * 0.5) / b)) * (a * (1.0 / a)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, -6.4e-301], N[(N[(c / b), $MachinePrecision] - N[(b / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 / N[(N[(N[(-0.5 / N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(a * 0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(a * N[(1.0 / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < -6.3999999999999998e-301

   1. Initial program 74.4%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 74.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(b \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot b\right) \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 2\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(b \cdot -1\right) \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \left(-1 \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(-1 \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(-2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      7. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{b \cdot b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      9. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{\left(-2 \cdot a\right) \cdot c}{b}}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      11. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left(-2 \cdot a\right) \cdot \frac{c}{b}}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left(a \cdot -2\right) \cdot \frac{c}{b}}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{a \cdot \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{c}{b} \cdot -2\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{c}{b}\right), -2\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      18. /-lowering-/.f64 69.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), -2\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 69.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{b \cdot \left(-1 \cdot \left(2 + \frac{a \cdot \left(\frac{c}{b} \cdot -2\right)}{b}\right)\right)}}{a \cdot 2} \]

   8. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{b}{a} + \frac{c}{b}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{c}{b} + \color{blue}{-1 \cdot \frac{b}{a}} \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \frac{c}{b} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a}\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{c}{b} - \color{blue}{\frac{b}{a}} \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{c}{b}\right), \color{blue}{\left(\frac{b}{a}\right)}\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \left(\frac{\color{blue}{b}}{a}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 69.5%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   10. Simplified 69.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{c}{b} - \frac{b}{a}} \]

   if -6.3999999999999998e-301 < b

   1. Initial program 27.2%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 27.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}{\color{blue}{2}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}}{2} \]

      3. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot \frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right)}\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 27.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 27.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}}\right)\right) \]

      2. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b} \cdot \color{blue}{a}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right), \color{blue}{a}\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)\right), a\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(-4 \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(a \cdot -4\right) \cdot c\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot -4\right), c\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 27.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right)\right)\right), b\right)\right), a\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 27.2%

      \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt{b \cdot b + \left(a \cdot -4\right) \cdot c} - b} \cdot a}} \]

   9. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}}{a}\right)}, a\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right), a\right), a\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \frac{a}{b}\right), a\right), a\right)\right) \]

       3. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{b}{c}\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       7. distribute-lft-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \frac{a}{b}\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       8. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       9. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot a}{b}\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       10. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot a\right), b\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 59.9%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(b, c\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), a\right), a\right)\right) \]

   11. Simplified 59.9%

       \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\frac{-0.5 \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot 0.5}{b}}{a}} \cdot a} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right) \cdot \frac{1}{a}\right) \cdot a\right)\right) \]

       2. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{a} \cdot a\right)}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{a} \cdot a\right)}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c}\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{a}} \cdot a\right)\right)\right) \]

       5. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{c}{b}}\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       6. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{\frac{c}{b}}\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{c}{b}\right)\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \left(\frac{a \cdot \frac{1}{2}}{b}\right)\right), \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{a}} \cdot a\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{a}\right), \color{blue}{a}\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 68.1%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, a\right), a\right)\right)\right) \]

   13. Applied egg-rr 68.1%

       \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\left(\frac{-0.5}{\frac{c}{b}} + \frac{a \cdot 0.5}{b}\right) \cdot \left(\frac{1}{a} \cdot a\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 68.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -6.4 \cdot 10^{-301}:\\ \;\;\;\;\frac{c}{b} - \frac{b}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{\left(\frac{-0.5}{\frac{c}{b}} + \frac{a \cdot 0.5}{b}\right) \cdot \left(a \cdot \frac{1}{a}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 66.9% accurate, 6.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -6.4 \cdot 10^{-301}:\\ \;\;\;\;\frac{c}{b} - \frac{b}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{\frac{a \cdot 0.5}{b} + \frac{b \cdot -0.5}{c}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b -6.4e-301)
   (- (/ c b) (/ b a))
   (/ 0.5 (+ (/ (* a 0.5) b) (/ (* b -0.5) c)))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -6.4e-301) {
		tmp = (c / b) - (b / a);
	} else {
		tmp = 0.5 / (((a * 0.5) / b) + ((b * -0.5) / c));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= (-6.4d-301)) then
        tmp = (c / b) - (b / a)
    else
        tmp = 0.5d0 / (((a * 0.5d0) / b) + ((b * (-0.5d0)) / c))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -6.4e-301) {
		tmp = (c / b) - (b / a);
	} else {
		tmp = 0.5 / (((a * 0.5) / b) + ((b * -0.5) / c));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= -6.4e-301:
		tmp = (c / b) - (b / a)
	else:
		tmp = 0.5 / (((a * 0.5) / b) + ((b * -0.5) / c))
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= -6.4e-301)
		tmp = Float64(Float64(c / b) - Float64(b / a));
	else
		tmp = Float64(0.5 / Float64(Float64(Float64(a * 0.5) / b) + Float64(Float64(b * -0.5) / c)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= -6.4e-301)
		tmp = (c / b) - (b / a);
	else
		tmp = 0.5 / (((a * 0.5) / b) + ((b * -0.5) / c));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, -6.4e-301], N[(N[(c / b), $MachinePrecision] - N[(b / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.5 / N[(N[(N[(a * 0.5), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision] + N[(N[(b * -0.5), $MachinePrecision] / c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < -6.3999999999999998e-301

   1. Initial program 74.4%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 74.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(b \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot b\right) \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 2\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(b \cdot -1\right) \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \left(-1 \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(-1 \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(-2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      7. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{b \cdot b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      9. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{\left(-2 \cdot a\right) \cdot c}{b}}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      11. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left(-2 \cdot a\right) \cdot \frac{c}{b}}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left(a \cdot -2\right) \cdot \frac{c}{b}}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{a \cdot \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{c}{b} \cdot -2\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{c}{b}\right), -2\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      18. /-lowering-/.f64 69.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), -2\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 69.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{b \cdot \left(-1 \cdot \left(2 + \frac{a \cdot \left(\frac{c}{b} \cdot -2\right)}{b}\right)\right)}}{a \cdot 2} \]

   8. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{b}{a} + \frac{c}{b}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{c}{b} + \color{blue}{-1 \cdot \frac{b}{a}} \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \frac{c}{b} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a}\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{c}{b} - \color{blue}{\frac{b}{a}} \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{c}{b}\right), \color{blue}{\left(\frac{b}{a}\right)}\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \left(\frac{\color{blue}{b}}{a}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 69.5%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   10. Simplified 69.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{c}{b} - \frac{b}{a}} \]

   if -6.3999999999999998e-301 < b

   1. Initial program 27.2%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 27.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a}}{\color{blue}{2}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}}{2} \]

      3. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot \frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      4. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\color{blue}{a}}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}} \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}\right)}\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b\right)}\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 27.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(a, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 27.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5}{\frac{a}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}}} \]

   7. Taylor expanded in a around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{a}}{b}\right)\right) \]

      2. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{c}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot b}{c}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}}\right)\right)\right)\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot b\right), c\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{a}{b}}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \frac{-1}{2}\right), c\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{-1}{2}} \cdot \frac{a}{b}\right)\right)\right)\right) \]

      8. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{a}{b}}\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\color{blue}{a}}{b}\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot a}{\color{blue}{b}}\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot a\right), \color{blue}{b}\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \frac{1}{2}\right), b\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 68.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \frac{-1}{2}\right), c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \frac{1}{2}\right), b\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 68.1%

      \[\leadsto \frac{0.5}{\color{blue}{\frac{b \cdot -0.5}{c} + \frac{a \cdot 0.5}{b}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 68.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -6.4 \cdot 10^{-301}:\\ \;\;\;\;\frac{c}{b} - \frac{b}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.5}{\frac{a \cdot 0.5}{b} + \frac{b \cdot -0.5}{c}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 67.2% accurate, 9.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -1 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;\frac{c}{b} - \frac{b}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0 - \frac{c}{b}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b -1e-309) (- (/ c b) (/ b a)) (- 0.0 (/ c b))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -1e-309) {
		tmp = (c / b) - (b / a);
	} else {
		tmp = 0.0 - (c / b);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= (-1d-309)) then
        tmp = (c / b) - (b / a)
    else
        tmp = 0.0d0 - (c / b)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -1e-309) {
		tmp = (c / b) - (b / a);
	} else {
		tmp = 0.0 - (c / b);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= -1e-309:
		tmp = (c / b) - (b / a)
	else:
		tmp = 0.0 - (c / b)
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= -1e-309)
		tmp = Float64(Float64(c / b) - Float64(b / a));
	else
		tmp = Float64(0.0 - Float64(c / b));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= -1e-309)
		tmp = (c / b) - (b / a);
	else
		tmp = 0.0 - (c / b);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, -1e-309], N[(N[(c / b), $MachinePrecision] - N[(b / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.0 - N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < -1.000000000000002e-309

   1. Initial program 74.9%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 74.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \left(b \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot b\right) \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 2\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(b \cdot -1\right) \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot \left(-1 \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 2\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \left(-1 \cdot \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{a}, 2\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \left(2 + -2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(-2 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      7. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{{b}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{b \cdot b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      9. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{-2 \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\frac{\left(-2 \cdot a\right) \cdot c}{b}}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      11. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left(-2 \cdot a\right) \cdot \frac{c}{b}}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{\left(a \cdot -2\right) \cdot \frac{c}{b}}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \left(\frac{a \cdot \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)}{b}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(-2 \cdot \frac{c}{b}\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(\frac{c}{b} \cdot -2\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{c}{b}\right), -2\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      18. /-lowering-/.f64 67.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(-1, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), -2\right)\right), b\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 67.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{b \cdot \left(-1 \cdot \left(2 + \frac{a \cdot \left(\frac{c}{b} \cdot -2\right)}{b}\right)\right)}}{a \cdot 2} \]

   8. Taylor expanded in a around inf

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{b}{a} + \frac{c}{b}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{c}{b} + \color{blue}{-1 \cdot \frac{b}{a}} \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \frac{c}{b} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a}\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \frac{c}{b} - \color{blue}{\frac{b}{a}} \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{c}{b}\right), \color{blue}{\left(\frac{b}{a}\right)}\right) \]

      5. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \left(\frac{\color{blue}{b}}{a}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 68.0%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, b\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \color{blue}{a}\right)\right) \]

   10. Simplified 68.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{c}{b} - \frac{b}{a}} \]

   if -1.000000000000002e-309 < b

   1. Initial program 25.5%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 25.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{c}{b}\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{\frac{c}{b}} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{c}{b}\right)}\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 69.4%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, \color{blue}{b}\right)\right) \]

   7. Simplified 69.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - \frac{c}{b}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 9: 67.0% accurate, 11.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 1.28 \cdot 10^{-285}:\\ \;\;\;\;0 - \frac{b}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0 - \frac{c}{b}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (if (<= b 1.28e-285) (- 0.0 (/ b a)) (- 0.0 (/ c b))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= 1.28e-285) {
		tmp = 0.0 - (b / a);
	} else {
		tmp = 0.0 - (c / b);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= 1.28d-285) then
        tmp = 0.0d0 - (b / a)
    else
        tmp = 0.0d0 - (c / b)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= 1.28e-285) {
		tmp = 0.0 - (b / a);
	} else {
		tmp = 0.0 - (c / b);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= 1.28e-285:
		tmp = 0.0 - (b / a)
	else:
		tmp = 0.0 - (c / b)
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= 1.28e-285)
		tmp = Float64(0.0 - Float64(b / a));
	else
		tmp = Float64(0.0 - Float64(c / b));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= 1.28e-285)
		tmp = 0.0 - (b / a);
	else
		tmp = 0.0 - (c / b);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, 1.28e-285], N[(0.0 - N[(b / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.0 - N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 1.28000000000000003e-285

   1. Initial program 73.9%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 73.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{b}{a}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{b}{a}\right) \]

      2. distribute-neg-frac2 N/A

         \[\leadsto \frac{b}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(a\right)}} \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \frac{b}{-1 \cdot \color{blue}{a}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \color{blue}{\left(-1 \cdot a\right)}\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \left(\mathsf{neg}\left(a\right)\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f64 67.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{neg.f64}\left(a\right)\right) \]

   7. Simplified 67.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{b}{-a}} \]

   if 1.28000000000000003e-285 < b

   1. Initial program 25.8%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 25.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{c}{b}\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{\frac{c}{b}} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{c}{b}\right)}\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 70.5%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, \color{blue}{b}\right)\right) \]

   7. Simplified 70.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - \frac{c}{b}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 68.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq 1.28 \cdot 10^{-285}:\\ \;\;\;\;0 - \frac{b}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0 - \frac{c}{b}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 43.2% accurate, 11.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -3.35 \cdot 10^{-304}:\\ \;\;\;\;0 - \frac{b}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (if (<= b -3.35e-304) (- 0.0 (/ b a)) 0.0))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -3.35e-304) {
		tmp = 0.0 - (b / a);
	} else {
		tmp = 0.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: tmp
    if (b <= (-3.35d-304)) then
        tmp = 0.0d0 - (b / a)
    else
        tmp = 0.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (b <= -3.35e-304) {
		tmp = 0.0 - (b / a);
	} else {
		tmp = 0.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, b, c):
	tmp = 0
	if b <= -3.35e-304:
		tmp = 0.0 - (b / a)
	else:
		tmp = 0.0
	return tmp

Julia

function code(a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (b <= -3.35e-304)
		tmp = Float64(0.0 - Float64(b / a));
	else
		tmp = 0.0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
	if (b <= -3.35e-304)
		tmp = 0.0 - (b / a);
	else
		tmp = 0.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := If[LessEqual[b, -3.35e-304], N[(0.0 - N[(b / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.0]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < -3.3500000000000002e-304

   1. Initial program 74.8%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 74.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around -inf

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{b}{a}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{b}{a}\right) \]

      2. distribute-neg-frac2 N/A

         \[\leadsto \frac{b}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(a\right)}} \]

      3. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \frac{b}{-1 \cdot \color{blue}{a}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \color{blue}{\left(-1 \cdot a\right)}\right) \]

      5. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \left(\mathsf{neg}\left(a\right)\right)\right) \]

      6. neg-lowering-neg.f64 68.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{neg.f64}\left(a\right)\right) \]

   7. Simplified 68.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{b}{-a}} \]

   if -3.3500000000000002e-304 < b

   1. Initial program 26.1%

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      3. unsub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      14. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      16. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

   3. Simplified 26.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left({b}^{2}\right)}\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 6.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   7. Simplified 6.3%

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{b \cdot b}} - b}{a \cdot 2} \]

   8. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \color{blue}{0} \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 17.4%

       \[\leadsto \color{blue}{0} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 43.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \leq -3.35 \cdot 10^{-304}:\\ \;\;\;\;0 - \frac{b}{a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 10.8% accurate, 116.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 0.0)

C

double code(double a, double b, double c) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return 0.0;
}

Python

def code(a, b, c):
	return 0.0

Julia

function code(a, b, c)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 51.2%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 51.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\left({b}^{2}\right)}\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 27.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, 2\right)\right) \]

7. Simplified 27.3%

   \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{b \cdot b}} - b}{a \cdot 2} \]

8. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 9.8%

    \[\leadsto \color{blue}{0} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, full range"
  :precision binary64
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))