Quadratic roots, medium range

Percentage Accurate: 31.2% → 99.4%

Time: 18.2s

Alternatives: 15

Speedup: 23.2×

Specification

\[\left(\left(1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} < a \land a < 9007199254740992\right) \land \left(1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} < b \land b < 9007199254740992\right)\right) \land \left(1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} < c \land c < 9007199254740992\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 31.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0d0 * a) * c)))) / (2.0d0 * a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (-b + Math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (-b + math.sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(-b) + sqrt(Float64(Float64(b * b) - Float64(Float64(4.0 * a) * c)))) / Float64(2.0 * a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (-b + sqrt(((b * b) - ((4.0 * a) * c)))) / (2.0 * a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[((-b) + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] - N[(N[(4.0 * a), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.4% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(a \cdot -4\right) \cdot c\\ \frac{t\_0}{2 \cdot \left(a \cdot \sqrt{t\_0 + b \cdot b} + a \cdot b\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* a -4.0) c)))
   (/ t_0 (* 2.0 (+ (* a (sqrt (+ t_0 (* b b)))) (* a b))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = (a * -4.0) * c;
	return t_0 / (2.0 * ((a * sqrt((t_0 + (b * b)))) + (a * b)));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    real(8) :: t_0
    t_0 = (a * (-4.0d0)) * c
    code = t_0 / (2.0d0 * ((a * sqrt((t_0 + (b * b)))) + (a * b)))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	double t_0 = (a * -4.0) * c;
	return t_0 / (2.0 * ((a * Math.sqrt((t_0 + (b * b)))) + (a * b)));
}

Python

def code(a, b, c):
	t_0 = (a * -4.0) * c
	return t_0 / (2.0 * ((a * math.sqrt((t_0 + (b * b)))) + (a * b)))

Julia

function code(a, b, c)
	t_0 = Float64(Float64(a * -4.0) * c)
	return Float64(t_0 / Float64(2.0 * Float64(Float64(a * sqrt(Float64(t_0 + Float64(b * b)))) + Float64(a * b))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	t_0 = (a * -4.0) * c;
	tmp = t_0 / (2.0 * ((a * sqrt((t_0 + (b * b)))) + (a * b)));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(a * -4.0), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 / N[(2.0 * N[(N[(a * N[Sqrt[N[(t$95$0 + N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(a * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 30.1%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 30.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}}{\color{blue}{a} \cdot 2} \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right), \color{blue}{\left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)}\right) \]

   4. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right) - b \cdot b\right), \left(\left(\color{blue}{a} \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   5. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot 2\right)} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot 2\right)} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\left(\color{blue}{a} \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot \color{blue}{2}\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 31.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{2 \cdot \left(a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-4 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-4 \cdot a\right) \cdot c\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-4 \cdot a\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(a \cdot -4\right) \cdot c}}{2 \cdot \left(a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \left(a \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right) \]

    2. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot a + \color{blue}{b \cdot a}\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot a\right), \color{blue}{\left(b \cdot a\right)}\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \left(\color{blue}{b} \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right), \left(\color{blue}{b} \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    6. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(\sqrt{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}\right)\right), \left(b \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right), \left(b \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    8. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(-4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    12. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(a \cdot -4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot -4\right), c\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right)\right)\right)\right), \left(a \cdot \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 99.4%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.4%

    \[\leadsto \frac{\left(a \cdot -4\right) \cdot c}{2 \cdot \color{blue}{\left(a \cdot \sqrt{b \cdot b + \left(a \cdot -4\right) \cdot c} + a \cdot b\right)}} \]

12. Final simplification 99.4%

    \[\leadsto \frac{\left(a \cdot -4\right) \cdot c}{2 \cdot \left(a \cdot \sqrt{\left(a \cdot -4\right) \cdot c + b \cdot b} + a \cdot b\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot -2}{a \cdot \left(b + \sqrt{\left(a \cdot -4\right) \cdot c + b \cdot b}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (* (* a c) -2.0) (* a (+ b (sqrt (+ (* (* a -4.0) c) (* b b)))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((a * c) * -2.0) / (a * (b + sqrt((((a * -4.0) * c) + (b * b)))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((a * c) * (-2.0d0)) / (a * (b + sqrt((((a * (-4.0d0)) * c) + (b * b)))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((a * c) * -2.0) / (a * (b + Math.sqrt((((a * -4.0) * c) + (b * b)))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((a * c) * -2.0) / (a * (b + math.sqrt((((a * -4.0) * c) + (b * b)))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(a * c) * -2.0) / Float64(a * Float64(b + sqrt(Float64(Float64(Float64(a * -4.0) * c) + Float64(b * b))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((a * c) * -2.0) / (a * (b + sqrt((((a * -4.0) * c) + (b * b)))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(a * c), $MachinePrecision] * -2.0), $MachinePrecision] / N[(a * N[(b + N[Sqrt[N[(N[(N[(a * -4.0), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision] + N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 30.1%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 30.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}}{\color{blue}{a} \cdot 2} \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right), \color{blue}{\left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)}\right) \]

   4. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right) - b \cdot b\right), \left(\left(\color{blue}{a} \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   5. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot 2\right)} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot 2\right)} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\left(\color{blue}{a} \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot \color{blue}{2}\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 31.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{2 \cdot \left(a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-4 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-4 \cdot a\right) \cdot c\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-4 \cdot a\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(a \cdot -4\right) \cdot c}}{2 \cdot \left(a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(a \cdot -4\right) \cdot c}{2}}{\color{blue}{a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}} \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(a \cdot -4\right) \cdot c}{2}\right), \color{blue}{\left(a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)}\right) \]

    3. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{a \cdot \left(-4 \cdot c\right)}{2}\right), \left(a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{a \cdot \left(c \cdot -4\right)}{2}\right), \left(a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right) \]

    5. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(a \cdot c\right) \cdot -4}{2}\right), \left(a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right) \]

    6. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot \frac{-4}{2}\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right) \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -2\right), \left(a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot c\right), -2\right), \left(\color{blue}{a} \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -2\right), \left(a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{\left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \color{blue}{\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}\right)\right)\right) \]

    12. rem-square-sqrt N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \left(\sqrt{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}\right)\right)\right)\right) \]

    13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. rem-square-sqrt N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(-4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    18. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(a \cdot -4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    19. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, c\right), -2\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot -4\right), c\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(a \cdot c\right) \cdot -2}{a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + \left(a \cdot -4\right) \cdot c}\right)}} \]

12. Final simplification 99.4%

    \[\leadsto \frac{\left(a \cdot c\right) \cdot -2}{a \cdot \left(b + \sqrt{\left(a \cdot -4\right) \cdot c + b \cdot b}\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{c}{a}}{b + \sqrt{b \cdot b + -4 \cdot \left(a \cdot c\right)}} \cdot \left(a \cdot -2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (* (/ (/ c a) (+ b (sqrt (+ (* b b) (* -4.0 (* a c)))))) (* a -2.0)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((c / a) / (b + sqrt(((b * b) + (-4.0 * (a * c)))))) * (a * -2.0);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((c / a) / (b + sqrt(((b * b) + ((-4.0d0) * (a * c)))))) * (a * (-2.0d0))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((c / a) / (b + Math.sqrt(((b * b) + (-4.0 * (a * c)))))) * (a * -2.0);
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((c / a) / (b + math.sqrt(((b * b) + (-4.0 * (a * c)))))) * (a * -2.0)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(c / a) / Float64(b + sqrt(Float64(Float64(b * b) + Float64(-4.0 * Float64(a * c)))))) * Float64(a * -2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((c / a) / (b + sqrt(((b * b) + (-4.0 * (a * c)))))) * (a * -2.0);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(c / a), $MachinePrecision] / N[(b + N[Sqrt[N[(N[(b * b), $MachinePrecision] + N[(-4.0 * N[(a * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(a * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 30.1%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 30.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}}{\color{blue}{a} \cdot 2} \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right), \color{blue}{\left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)}\right) \]

   4. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right) - b \cdot b\right), \left(\left(\color{blue}{a} \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   5. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot 2\right)} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot 2\right)} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\left(\color{blue}{a} \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot \color{blue}{2}\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 31.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{2 \cdot \left(a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-4 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-4 \cdot a\right) \cdot c\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-4 \cdot a\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(a \cdot -4\right) \cdot c}}{2 \cdot \left(a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \left(a \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right) \]

    2. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot a + \color{blue}{b \cdot a}\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot a\right), \color{blue}{\left(b \cdot a\right)}\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\left(a \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \left(\color{blue}{b} \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right), \left(\color{blue}{b} \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    6. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(\sqrt{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}\right)\right), \left(b \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)\right), \left(b \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    8. rem-square-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(-4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    12. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\left(a \cdot -4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot -4\right), c\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right)\right)\right)\right), \left(b \cdot a\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right)\right)\right)\right), \left(a \cdot \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 99.4%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \color{blue}{b}\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 99.4%

    \[\leadsto \frac{\left(a \cdot -4\right) \cdot c}{2 \cdot \color{blue}{\left(a \cdot \sqrt{b \cdot b + \left(a \cdot -4\right) \cdot c} + a \cdot b\right)}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. times-frac N/A

       \[\leadsto \frac{a \cdot -4}{2} \cdot \color{blue}{\frac{c}{a \cdot \sqrt{b \cdot b + \left(a \cdot -4\right) \cdot c} + a \cdot b}} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{c}{a \cdot \sqrt{b \cdot b + \left(a \cdot -4\right) \cdot c} + a \cdot b} \cdot \color{blue}{\frac{a \cdot -4}{2}} \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{c}{a \cdot \sqrt{b \cdot b + \left(a \cdot -4\right) \cdot c} + a \cdot b}\right), \color{blue}{\left(\frac{a \cdot -4}{2}\right)}\right) \]

13. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{c}{a}}{b + \sqrt{-4 \cdot \left(a \cdot c\right) + b \cdot b}} \cdot \left(a \cdot -2\right)} \]

14. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto \frac{\frac{c}{a}}{b + \sqrt{b \cdot b + -4 \cdot \left(a \cdot c\right)}} \cdot \left(a \cdot -2\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(a \cdot -2\right) \cdot \frac{c}{a \cdot \left(b + \sqrt{\left(a \cdot -4\right) \cdot c + b \cdot b}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (* (* a -2.0) (/ c (* a (+ b (sqrt (+ (* (* a -4.0) c) (* b b))))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (a * -2.0) * (c / (a * (b + sqrt((((a * -4.0) * c) + (b * b))))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = (a * (-2.0d0)) * (c / (a * (b + sqrt((((a * (-4.0d0)) * c) + (b * b))))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (a * -2.0) * (c / (a * (b + Math.sqrt((((a * -4.0) * c) + (b * b))))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return (a * -2.0) * (c / (a * (b + math.sqrt((((a * -4.0) * c) + (b * b))))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(a * -2.0) * Float64(c / Float64(a * Float64(b + sqrt(Float64(Float64(Float64(a * -4.0) * c) + Float64(b * b)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (a * -2.0) * (c / (a * (b + sqrt((((a * -4.0) * c) + (b * b))))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(a * -2.0), $MachinePrecision] * N[(c / N[(a * N[(b + N[Sqrt[N[(N[(N[(a * -4.0), $MachinePrecision] * c), $MachinePrecision] + N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 30.1%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 30.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b}}{\color{blue}{a} \cdot 2} \]

   2. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b}{\color{blue}{\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b \cdot b\right), \color{blue}{\left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)}\right) \]

   4. rem-square-sqrt N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right) - b \cdot b\right), \left(\left(\color{blue}{a} \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   5. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot 2\right)} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\color{blue}{\left(a \cdot 2\right)} \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)\right), \left(\left(\color{blue}{a} \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot \color{blue}{2}\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), \left(\left(a \cdot 2\right) \cdot \left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} + b\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 31.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{b \cdot b + \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right) - b \cdot b\right)}{2 \cdot \left(a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)}} \]

7. Taylor expanded in b around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(-4 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-4 \cdot a\right) \cdot c\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-4 \cdot a\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(a \cdot -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, -4\right), c\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{+.f64}\left(b, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(a \cdot -4\right) \cdot c}}{2 \cdot \left(a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. times-frac N/A

       \[\leadsto \frac{a \cdot -4}{2} \cdot \color{blue}{\frac{c}{a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{c}{a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)} \cdot \color{blue}{\frac{a \cdot -4}{2}} \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{c}{a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{a \cdot -4}{2}\right)}\right) \]

11. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{c}{a \cdot \left(b + \sqrt{b \cdot b + \left(a \cdot -4\right) \cdot c}\right)} \cdot \left(a \cdot -2\right)} \]

12. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto \left(a \cdot -2\right) \cdot \frac{c}{a \cdot \left(b + \sqrt{\left(a \cdot -4\right) \cdot c + b \cdot b}\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 5: 93.7% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{b \cdot b} - a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{c}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (-
  (/
   (- (/ (* (* -2.0 (* a a)) (* c (* c c))) (* b b)) (* a (* c c)))
   (* b (* b b)))
  (/ c b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return (((((-2.0 * (a * a)) * (c * (c * c))) / (b * b)) - (a * (c * c))) / (b * (b * b))) - (c / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((((((-2.0d0) * (a * a)) * (c * (c * c))) / (b * b)) - (a * (c * c))) / (b * (b * b))) - (c / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return (((((-2.0 * (a * a)) * (c * (c * c))) / (b * b)) - (a * (c * c))) / (b * (b * b))) - (c / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return (((((-2.0 * (a * a)) * (c * (c * c))) / (b * b)) - (a * (c * c))) / (b * (b * b))) - (c / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-2.0 * Float64(a * a)) * Float64(c * Float64(c * c))) / Float64(b * b)) - Float64(a * Float64(c * c))) / Float64(b * Float64(b * b))) - Float64(c / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = (((((-2.0 * (a * a)) * (c * (c * c))) / (b * b)) - (a * (c * c))) / (b * (b * b))) - (c / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(N[(N[(N[(-2.0 * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(c * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(a * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 30.1%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 30.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b} + a \cdot \left(-1 \cdot \frac{{c}^{2}}{{b}^{3}} + a \cdot \left(-2 \cdot \frac{{c}^{3}}{{b}^{5}} + \frac{-1}{4} \cdot \frac{a \cdot \left(4 \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} + 16 \cdot \frac{{c}^{4}}{{b}^{6}}\right)}{b}\right)\right)} \]

7. Simplified 95.4%

   \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(a \cdot \left(\frac{\left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right) \cdot -2}{{b}^{5}} + \frac{-0.25 \cdot \left(\frac{{c}^{4}}{{b}^{6}} \cdot \left(20 \cdot a\right)\right)}{b}\right) - \frac{c \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) - \frac{c}{b}} \]

8. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{2}} + -1 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)}{{b}^{3}}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(c, b\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{3}}{{b}^{2}} + -1 \cdot \left(a \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{c}, b\right)\right) \]

10. Simplified 94.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot \left(c \cdot c\right)\right)}{b \cdot b} - a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}} - \frac{c}{b} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 6: 93.4% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \left(\frac{\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b} - a \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{-1}{b}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (*
  c
  (+
   (/ (- (/ (* (* -2.0 (* a a)) (* c c)) (* b b)) (* a c)) (* b (* b b)))
   (/ -1.0 b))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((((((-2.0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b)) - (a * c)) / (b * (b * b))) + (-1.0 / b));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * (((((((-2.0d0) * (a * a)) * (c * c)) / (b * b)) - (a * c)) / (b * (b * b))) + ((-1.0d0) / b))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((((((-2.0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b)) - (a * c)) / (b * (b * b))) + (-1.0 / b));
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * ((((((-2.0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b)) - (a * c)) / (b * (b * b))) + (-1.0 / b))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-2.0 * Float64(a * a)) * Float64(c * c)) / Float64(b * b)) - Float64(a * c)) / Float64(b * Float64(b * b))) + Float64(-1.0 / b)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * ((((((-2.0 * (a * a)) * (c * c)) / (b * b)) - (a * c)) / (b * (b * b))) + (-1.0 / b));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(N[(N[(N[(N[(N[(-2.0 * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(a * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-1.0 / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 30.1%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 30.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + -1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) - \frac{1}{b}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + -1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) - \frac{1}{b}\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + -1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + -1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 94.0%

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{{b}^{5}} - \frac{a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) + \frac{-1}{b}\right)} \]

8. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + -1 \cdot \left(a \cdot c\right)}{{b}^{3}}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + -1 \cdot \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{-1}, b\right)\right)\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot c\right)\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}} - a \cdot c\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{-2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {c}^{2}\right)}{{b}^{2}}\right), \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-2 \cdot {a}^{2}\right) \cdot {c}^{2}\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(-2 \cdot {a}^{2}\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \left({a}^{2}\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \left(a \cdot a\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \left(c \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right), \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(a \cdot c\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \left(c \cdot a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left({b}^{3}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   18. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   19. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   20. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(c, a\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

10. Simplified 94.0%

    \[\leadsto c \cdot \left(\color{blue}{\frac{\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b} - c \cdot a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}} + \frac{-1}{b}\right) \]

11. Final simplification 94.0%

    \[\leadsto c \cdot \left(\frac{\frac{\left(-2 \cdot \left(a \cdot a\right)\right) \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b} - a \cdot c}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} + \frac{-1}{b}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 93.7% accurate, 4.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(c \cdot c\right) \cdot \frac{-2 \cdot \frac{\frac{a \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}}{b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{c}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (-
  (* (* c c) (/ (- (* -2.0 (/ (/ (* a (* a c)) b) b)) a) (* b (* b b))))
  (/ c b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((c * c) * (((-2.0 * (((a * (a * c)) / b) / b)) - a) / (b * (b * b)))) - (c / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((c * c) * ((((-2.0d0) * (((a * (a * c)) / b) / b)) - a) / (b * (b * b)))) - (c / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((c * c) * (((-2.0 * (((a * (a * c)) / b) / b)) - a) / (b * (b * b)))) - (c / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((c * c) * (((-2.0 * (((a * (a * c)) / b) / b)) - a) / (b * (b * b)))) - (c / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(c * c) * Float64(Float64(Float64(-2.0 * Float64(Float64(Float64(a * Float64(a * c)) / b) / b)) - a) / Float64(b * Float64(b * b)))) - Float64(c / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((c * c) * (((-2.0 * (((a * (a * c)) / b) / b)) - a) / (b * (b * b)))) - (c / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(c * c), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.0 * N[(N[(N[(a * N[(a * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - a), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(c / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 30.1%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 30.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + -1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) - \frac{1}{b}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + -1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) - \frac{1}{b}\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + -1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + -1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 94.0%

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{{b}^{5}} - \frac{a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) + \frac{-1}{b}\right)} \]

8. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}} - a}{{b}^{3}}\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}} - a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}}\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{-2 \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)}{{b}^{2}}\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \left({a}^{2} \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \left(c \cdot {a}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, \left({a}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot a\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   12. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 94.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

10. Simplified 94.0%

    \[\leadsto c \cdot \left(c \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}} + \frac{-1}{b}\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto c \cdot \left(\frac{-1}{b} + \color{blue}{c \cdot \frac{\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}}\right) \]

    2. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \frac{-1}{b} \cdot c + \color{blue}{\left(c \cdot \frac{\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \cdot c} \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto c \cdot \frac{-1}{b} + \color{blue}{\left(c \cdot \frac{\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)} \cdot c \]

    4. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \frac{-1}{b}\right), \color{blue}{\left(\left(c \cdot \frac{\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \cdot c\right)}\right) \]

    5. frac-2neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \frac{\mathsf{neg}\left(-1\right)}{\mathsf{neg}\left(b\right)}\right), \left(\left(c \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}}\right) \cdot c\right)\right) \]

    6. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \frac{1}{\mathsf{neg}\left(b\right)}\right), \left(\left(c \cdot \frac{\color{blue}{\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} - a}}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \cdot c\right)\right) \]

    7. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{c}{\mathsf{neg}\left(b\right)}\right), \left(\color{blue}{\left(c \cdot \frac{\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)} \cdot c\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\left(c \cdot \frac{\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)} \cdot c\right)\right) \]

    9. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \left(0 - b\right)\right), \left(\left(c \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}}\right) \cdot c\right)\right) \]

    10. --lowering--.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(0, b\right)\right), \left(\left(c \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}}\right) \cdot c\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(0, b\right)\right), \left(\left(\frac{\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot c\right) \cdot c\right)\right) \]

    12. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(0, b\right)\right), \left(\frac{\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot \color{blue}{\left(c \cdot c\right)}\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(c, \mathsf{\_.f64}\left(0, b\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right), \color{blue}{\left(c \cdot c\right)}\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 94.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{c}{0 - b} + \frac{-2 \cdot \frac{\frac{a \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}}{b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} \cdot \left(c \cdot c\right)} \]

13. Final simplification 94.3%

    \[\leadsto \left(c \cdot c\right) \cdot \frac{-2 \cdot \frac{\frac{a \cdot \left(a \cdot c\right)}{b}}{b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)} - \frac{c}{b} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 8: 93.4% accurate, 4.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \left(\frac{-1}{b} + c \cdot \frac{\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (*
  c
  (+
   (/ -1.0 b)
   (* c (/ (- (/ (* -2.0 (* c (* a a))) (* b b)) a) (* b (* b b)))))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((-1.0 / b) + (c * ((((-2.0 * (c * (a * a))) / (b * b)) - a) / (b * (b * b)))));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * (((-1.0d0) / b) + (c * (((((-2.0d0) * (c * (a * a))) / (b * b)) - a) / (b * (b * b)))))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((-1.0 / b) + (c * ((((-2.0 * (c * (a * a))) / (b * b)) - a) / (b * (b * b)))));
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * ((-1.0 / b) + (c * ((((-2.0 * (c * (a * a))) / (b * b)) - a) / (b * (b * b)))))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(Float64(-1.0 / b) + Float64(c * Float64(Float64(Float64(Float64(-2.0 * Float64(c * Float64(a * a))) / Float64(b * b)) - a) / Float64(b * Float64(b * b))))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * ((-1.0 / b) + (c * ((((-2.0 * (c * (a * a))) / (b * b)) - a) / (b * (b * b)))));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(N[(-1.0 / b), $MachinePrecision] + N[(c * N[(N[(N[(N[(-2.0 * N[(c * N[(a * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - a), $MachinePrecision] / N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 30.1%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 30.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + -1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) - \frac{1}{b}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + -1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) - \frac{1}{b}\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + -1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + -1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 94.0%

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{{b}^{5}} - \frac{a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) + \frac{-1}{b}\right)} \]

8. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}} - a}{{b}^{3}}\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}} - a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   2. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{2}}\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{-2 \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)}{{b}^{2}}\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-2 \cdot \left({a}^{2} \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \left({a}^{2} \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \left(c \cdot {a}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, \left({a}^{2}\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(a \cdot a\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \left({b}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   12. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \left(b \cdot {b}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left({b}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \left(b \cdot b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 94.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right), a\right), \mathsf{*.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(-1, b\right)\right)\right) \]

10. Simplified 94.0%

    \[\leadsto c \cdot \left(c \cdot \color{blue}{\frac{\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}} + \frac{-1}{b}\right) \]

11. Final simplification 94.0%

    \[\leadsto c \cdot \left(\frac{-1}{b} + c \cdot \frac{\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{b \cdot b} - a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 9: 90.6% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(0 - c\right) - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (/ (- (- 0.0 c) (/ (* a (* c c)) (* b b))) b))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = ((0.0d0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b;
}

Python

def code(a, b, c):
	return ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(Float64(Float64(0.0 - c) - Float64(Float64(a * Float64(c * c)) / Float64(b * b))) / b)
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = ((0.0 - c) - ((a * (c * c)) / (b * b))) / b;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(N[(N[(0.0 - c), $MachinePrecision] - N[(N[(a * N[(c * c), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 30.1%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 30.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c + -1 \cdot \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), \color{blue}{b}\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right)\right), b\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(-1 \cdot c - \frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right), b\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(-1 \cdot c\right), \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(c\right)\right), \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   6. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(0 - c\right), \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, c\right), \left(\frac{a \cdot {c}^{2}}{{b}^{2}}\right)\right), b\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, c\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(a \cdot {c}^{2}\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left({c}^{2}\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left({b}^{2}\right)\right)\right), b\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \left(b \cdot b\right)\right)\right), b\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 91.8%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, c\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, c\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(b, b\right)\right)\right), b\right) \]

7. Simplified 91.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0 - c\right) - \frac{a \cdot \left(c \cdot c\right)}{b \cdot b}}{b}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 10: 90.3% accurate, 7.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \left(\frac{-1}{b} - \frac{c}{\frac{b \cdot \left(b \cdot b\right)}{a}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c)
 :precision binary64
 (* c (- (/ -1.0 b) (/ c (/ (* b (* b b)) a)))))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((-1.0 / b) - (c / ((b * (b * b)) / a)));
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * (((-1.0d0) / b) - (c / ((b * (b * b)) / a)))
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((-1.0 / b) - (c / ((b * (b * b)) / a)));
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * ((-1.0 / b) - (c / ((b * (b * b)) / a)))

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(Float64(-1.0 / b) - Float64(c / Float64(Float64(b * Float64(b * b)) / a))))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * ((-1.0 / b) - (c / ((b * (b * b)) / a)));
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(N[(-1.0 / b), $MachinePrecision] - N[(c / N[(N[(b * N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 30.1%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 30.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(-1 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{3}} - \frac{1}{b}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(-1 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{3}} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{b}\right)\right)}\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(\frac{-1 \cdot \left(a \cdot c\right)}{{b}^{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{b}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(\frac{\left(-1 \cdot a\right) \cdot c}{{b}^{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\color{blue}{1}}{b}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(\frac{-1 \cdot a}{{b}^{3}} \cdot c + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{b}}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(\left(-1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\color{blue}{1}}{b}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{b}\right)\right)\right)}\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{b}\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c}\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{b}\right)\right), \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c\right)}\right)\right) \]

   9. distribute-neg-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{b}\right), \left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right)} \cdot c\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{b}\right), \left(\left(\color{blue}{-1} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right)} \cdot c\right)\right)\right) \]

   12. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \left(\frac{-1 \cdot a}{{b}^{3}} \cdot c\right)\right)\right) \]

   13. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \left(\frac{\left(-1 \cdot a\right) \cdot c}{\color{blue}{{b}^{3}}}\right)\right)\right) \]

   14. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \left(\frac{-1 \cdot \left(a \cdot c\right)}{{\color{blue}{b}}^{3}}\right)\right)\right) \]

   15. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \left(-1 \cdot \color{blue}{\frac{a \cdot c}{{b}^{3}}}\right)\right)\right) \]

   16. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

   17. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \left(0 - \color{blue}{\frac{a \cdot c}{{b}^{3}}}\right)\right)\right) \]

   18. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{a \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right) \]

   19. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\frac{c \cdot a}{{\color{blue}{b}}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

   20. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(c \cdot \color{blue}{\frac{a}{{b}^{3}}}\right)\right)\right)\right) \]

   21. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{a}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   22. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left({b}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 91.4%

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(\frac{-1}{b} + \left(0 - c \cdot \frac{a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)} \]

9. Applied egg-rr 91.4%

   \[\leadsto c \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{b} - \frac{c}{\frac{b \cdot \left(b \cdot b\right)}{a}}\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 11: 90.3% accurate, 8.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \frac{-1 - \frac{a \cdot c}{b \cdot b}}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (* c (/ (- -1.0 (/ (* a c) (* b b))) b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((-1.0 - ((a * c) / (b * b))) / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * (((-1.0d0) - ((a * c) / (b * b))) / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * ((-1.0 - ((a * c) / (b * b))) / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * ((-1.0 - ((a * c) / (b * b))) / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(Float64(-1.0 - Float64(Float64(a * c) / Float64(b * b))) / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * ((-1.0 - ((a * c) / (b * b))) / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(N[(-1.0 - N[(N[(a * c), $MachinePrecision] / N[(b * b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 30.1%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 30.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(-1 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{3}} - \frac{1}{b}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. sub-neg N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(-1 \cdot \frac{a \cdot c}{{b}^{3}} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{b}\right)\right)}\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(\frac{-1 \cdot \left(a \cdot c\right)}{{b}^{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{b}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(\frac{\left(-1 \cdot a\right) \cdot c}{{b}^{3}} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\color{blue}{1}}{b}\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(\frac{-1 \cdot a}{{b}^{3}} \cdot c + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{1}{b}}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto c \cdot \left(\left(-1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{\color{blue}{1}}{b}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{b}\right)\right)\right)}\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{b}\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c}\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{b}\right)\right), \color{blue}{\left(\left(-1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c\right)}\right)\right) \]

   9. distribute-neg-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{b}\right), \left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right)} \cdot c\right)\right)\right) \]

   10. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{b}\right), \left(\left(\color{blue}{-1} \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) \cdot c\right)\right)\right) \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right)} \cdot c\right)\right)\right) \]

   12. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \left(\frac{-1 \cdot a}{{b}^{3}} \cdot c\right)\right)\right) \]

   13. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \left(\frac{\left(-1 \cdot a\right) \cdot c}{\color{blue}{{b}^{3}}}\right)\right)\right) \]

   14. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \left(\frac{-1 \cdot \left(a \cdot c\right)}{{\color{blue}{b}}^{3}}\right)\right)\right) \]

   15. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \left(-1 \cdot \color{blue}{\frac{a \cdot c}{{b}^{3}}}\right)\right)\right) \]

   16. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{a \cdot c}{{b}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

   17. neg-sub0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \left(0 - \color{blue}{\frac{a \cdot c}{{b}^{3}}}\right)\right)\right) \]

   18. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{a \cdot c}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right) \]

   19. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(\frac{c \cdot a}{{\color{blue}{b}}^{3}}\right)\right)\right)\right) \]

   20. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \left(c \cdot \color{blue}{\frac{a}{{b}^{3}}}\right)\right)\right)\right) \]

   21. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{a}{{b}^{3}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   22. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-1, b\right), \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(a, \color{blue}{\left({b}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 91.4%

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(\frac{-1}{b} + \left(0 - c \cdot \frac{a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right)\right)} \]

9. Applied egg-rr 91.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1 - \frac{a \cdot c}{b \cdot b}}{b} \cdot c} \]

10. Final simplification 91.4%

    \[\leadsto c \cdot \frac{-1 - \frac{a \cdot c}{b \cdot b}}{b} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 12: 81.4% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{c}{0 - b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ c (- 0.0 b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c / (0.0 - b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c / (0.0d0 - b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c / (0.0 - b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return c / (0.0 - b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c / Float64(0.0 - b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c / (0.0 - b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c / N[(0.0 - b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 30.1%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 30.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{c}{b}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{c}{b}\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{\frac{c}{b}} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{c}{b}\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 82.4%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(c, \color{blue}{b}\right)\right) \]

7. Simplified 82.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - \frac{c}{b}} \]

8. Final simplification 82.4%

   \[\leadsto \frac{c}{0 - b} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 13: 81.2% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ c \cdot \frac{-1}{b} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (* c (/ -1.0 b)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-1.0 / b);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = c * ((-1.0d0) / b)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return c * (-1.0 / b);
}

Python

def code(a, b, c):
	return c * (-1.0 / b)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(c * Float64(-1.0 / b))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = c * (-1.0 / b);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(c * N[(-1.0 / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 30.1%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 30.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + -1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) - \frac{1}{b}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + -1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) - \frac{1}{b}\right)}\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + -1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{+.f64}\left(\left(c \cdot \left(-2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot c}{{b}^{5}} + -1 \cdot \frac{a}{{b}^{3}}\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{b}\right)\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 94.0%

   \[\leadsto \color{blue}{c \cdot \left(c \cdot \left(\frac{-2 \cdot \left(c \cdot \left(a \cdot a\right)\right)}{{b}^{5}} - \frac{a}{b \cdot \left(b \cdot b\right)}\right) + \frac{-1}{b}\right)} \]

8. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \color{blue}{\left(\frac{-1}{b}\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 82.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(c, \mathsf{/.f64}\left(-1, \color{blue}{b}\right)\right) \]

10. Simplified 82.2%

    \[\leadsto c \cdot \color{blue}{\frac{-1}{b}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 14: 10.1% accurate, 23.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{b}{0 - a} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 (/ b (- 0.0 a)))

C

double code(double a, double b, double c) {
	return b / (0.0 - a);
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = b / (0.0d0 - a)
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return b / (0.0 - a);
}

Python

def code(a, b, c):
	return b / (0.0 - a)

Julia

function code(a, b, c)
	return Float64(b / Float64(0.0 - a))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = b / (0.0 - a);
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := N[(b / N[(0.0 - a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 30.1%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 30.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around -inf

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{b}{a}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\frac{b}{a}\right) \]

   2. distribute-neg-frac2 N/A

      \[\leadsto \frac{b}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(a\right)}} \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \frac{b}{-1 \cdot \color{blue}{a}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \color{blue}{\left(-1 \cdot a\right)}\right) \]

   5. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \left(\mathsf{neg}\left(a\right)\right)\right) \]

   6. neg-lowering-neg.f64 10.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{neg.f64}\left(a\right)\right) \]

7. Simplified 10.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{b}{-a}} \]

8. Final simplification 10.1%

   \[\leadsto \frac{b}{0 - a} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 15: 3.2% accurate, 116.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b c) :precision binary64 0.0)

C

double code(double a, double b, double c) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(a, b, c)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: b
    real(8), intent (in) :: c
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double a, double b, double c) {
	return 0.0;
}

Python

def code(a, b, c):
	return 0.0

Julia

function code(a, b, c)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, c)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[a_, b_, c_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 30.1%

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a} \]
2. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), \color{blue}{\left(2 \cdot a\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} + \left(\mathsf{neg}\left(b\right)\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c} - b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   4. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}\right), b\right), \left(\color{blue}{2} \cdot a\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(4 \cdot a\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(\left(a \cdot 4\right) \cdot c\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot \left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   11. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot c\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(c \cdot 4\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   14. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right)\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(2 \cdot a\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), b\right), \left(a \cdot \color{blue}{2}\right)\right) \]

3. Simplified 30.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} - b}{a \cdot 2}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}}{a \cdot 2} - \color{blue}{\frac{b}{a \cdot 2}} \]

   2. div-inv N/A

      \[\leadsto \sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)} \cdot \frac{1}{a \cdot 2} - \frac{\color{blue}{b}}{a \cdot 2} \]

   3. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}, \color{blue}{\frac{1}{a \cdot 2}}, \mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right) \]

   4. fma-lowering-fma.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{a \cdot 2}\right)}, \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{a \cdot 2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{a \cdot 2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{a \cdot 2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \left(c \cdot -4\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{a \cdot 2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{a \cdot 2}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2 \cdot \color{blue}{a}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right) \]

   11. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\color{blue}{a}}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right) \]

   12. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{a}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right) \]

   13. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{a}\right), \left(\mathsf{neg}\left(\frac{b}{a \cdot 2}\right)\right)\right) \]

   14. distribute-neg-frac2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \left(\frac{b}{\mathsf{neg}\left(a \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \left(\mathsf{neg}\left(a \cdot 2\right)\right)\right)\right) \]

   16. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \left(a \cdot \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. metadata-eval 31.6%

       \[\leadsto \mathsf{fma.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, \mathsf{*.f64}\left(c, -4\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, a\right), \mathsf{/.f64}\left(b, \mathsf{*.f64}\left(a, -2\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 31.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{b \cdot b + a \cdot \left(c \cdot -4\right)}, \frac{0.5}{a}, \frac{b}{a \cdot -2}\right)} \]

7. Taylor expanded in c around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot \frac{b}{a} + \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{a}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \frac{b}{a} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} + \frac{1}{2}\right)} \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{b}{a} \cdot 0 \]

   3. mul0-rgt 3.2%

      \[\leadsto 0 \]

9. Simplified 3.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]
10. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, medium range"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (< 1.1102230246251565e-16 a) (< a 9007199254740992.0)) (and (< 1.1102230246251565e-16 b) (< b 9007199254740992.0))) (and (< 1.1102230246251565e-16 c) (< c 9007199254740992.0)))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4.0 a) c)))) (* 2.0 a)))