raw-angle from scale-rotated-ellipse

Percentage Accurate: 14.1% → 54.0%

Time: 54.9s

Alternatives: 16

Speedup: 26.0×

• could not determine a ground truth

  1. a = 8.878740991589676e-148
  2. b = -3.0462178309756216e+194
  3. angle = -1.814846852008922e+118
  4. x-scale = 2.3632024860417064e-272
  5. y-scale = 3.2872293807378094e+76

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{angle}{180} \cdot \pi\\ t_1 := \cos t\_0\\ t_2 := \sin t\_0\\ t_3 := \frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot t\_2\right) \cdot t\_1}{x-scale}}{y-scale}\\ t_4 := \frac{\frac{{\left(a \cdot t\_1\right)}^{2} + {\left(b \cdot t\_2\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\\ t_5 := \frac{\frac{{\left(a \cdot t\_2\right)}^{2} + {\left(b \cdot t\_1\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\\ 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(t\_4 - t\_5\right) - \sqrt{{\left(t\_5 - t\_4\right)}^{2} + {t\_3}^{2}}}{t\_3}\right)}{\pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (/ angle 180.0) PI))
        (t_1 (cos t_0))
        (t_2 (sin t_0))
        (t_3
         (/
          (/ (* (* (* 2.0 (- (pow b 2.0) (pow a 2.0))) t_2) t_1) x-scale)
          y-scale))
        (t_4
         (/ (/ (+ (pow (* a t_1) 2.0) (pow (* b t_2) 2.0)) y-scale) y-scale))
        (t_5
         (/ (/ (+ (pow (* a t_2) 2.0) (pow (* b t_1) 2.0)) x-scale) x-scale)))
   (*
    180.0
    (/
     (atan
      (/ (- (- t_4 t_5) (sqrt (+ (pow (- t_5 t_4) 2.0) (pow t_3 2.0)))) t_3))
     PI))))

C

double code(double a, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = (angle / 180.0) * ((double) M_PI);
	double t_1 = cos(t_0);
	double t_2 = sin(t_0);
	double t_3 = ((((2.0 * (pow(b, 2.0) - pow(a, 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale;
	double t_4 = ((pow((a * t_1), 2.0) + pow((b * t_2), 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale;
	double t_5 = ((pow((a * t_2), 2.0) + pow((b * t_1), 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale;
	return 180.0 * (atan((((t_4 - t_5) - sqrt((pow((t_5 - t_4), 2.0) + pow(t_3, 2.0)))) / t_3)) / ((double) M_PI));
}

Java

public static double code(double a, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = (angle / 180.0) * Math.PI;
	double t_1 = Math.cos(t_0);
	double t_2 = Math.sin(t_0);
	double t_3 = ((((2.0 * (Math.pow(b, 2.0) - Math.pow(a, 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale;
	double t_4 = ((Math.pow((a * t_1), 2.0) + Math.pow((b * t_2), 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale;
	double t_5 = ((Math.pow((a * t_2), 2.0) + Math.pow((b * t_1), 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale;
	return 180.0 * (Math.atan((((t_4 - t_5) - Math.sqrt((Math.pow((t_5 - t_4), 2.0) + Math.pow(t_3, 2.0)))) / t_3)) / Math.PI);
}

Python

def code(a, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = (angle / 180.0) * math.pi
	t_1 = math.cos(t_0)
	t_2 = math.sin(t_0)
	t_3 = ((((2.0 * (math.pow(b, 2.0) - math.pow(a, 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale
	t_4 = ((math.pow((a * t_1), 2.0) + math.pow((b * t_2), 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale
	t_5 = ((math.pow((a * t_2), 2.0) + math.pow((b * t_1), 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale
	return 180.0 * (math.atan((((t_4 - t_5) - math.sqrt((math.pow((t_5 - t_4), 2.0) + math.pow(t_3, 2.0)))) / t_3)) / math.pi)

Julia

function code(a, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(Float64(angle / 180.0) * pi)
	t_1 = cos(t_0)
	t_2 = sin(t_0)
	t_3 = Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(2.0 * Float64((b ^ 2.0) - (a ^ 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale)
	t_4 = Float64(Float64(Float64((Float64(a * t_1) ^ 2.0) + (Float64(b * t_2) ^ 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale)
	t_5 = Float64(Float64(Float64((Float64(a * t_2) ^ 2.0) + (Float64(b * t_1) ^ 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale)
	return Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(Float64(Float64(t_4 - t_5) - sqrt(Float64((Float64(t_5 - t_4) ^ 2.0) + (t_3 ^ 2.0)))) / t_3)) / pi))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = (angle / 180.0) * pi;
	t_1 = cos(t_0);
	t_2 = sin(t_0);
	t_3 = ((((2.0 * ((b ^ 2.0) - (a ^ 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale;
	t_4 = ((((a * t_1) ^ 2.0) + ((b * t_2) ^ 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale;
	t_5 = ((((a * t_2) ^ 2.0) + ((b * t_1) ^ 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale;
	tmp = 180.0 * (atan((((t_4 - t_5) - sqrt((((t_5 - t_4) ^ 2.0) + (t_3 ^ 2.0)))) / t_3)) / pi);
end

Wolfram

code[a_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(angle / 180.0), $MachinePrecision] * Pi), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(N[(N[(N[(2.0 * N[(N[Power[b, 2.0], $MachinePrecision] - N[Power[a, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision] / y$45$scale), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(N[(N[Power[N[(a * t$95$1), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[N[(b * t$95$2), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / y$45$scale), $MachinePrecision] / y$45$scale), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[(N[(N[Power[N[(a * t$95$2), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[N[(b * t$95$1), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision]}, N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(N[(N[(t$95$4 - t$95$5), $MachinePrecision] - N[Sqrt[N[(N[Power[N[(t$95$5 - t$95$4), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[t$95$3, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$3), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Initial Program: 14.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{angle}{180} \cdot \pi\\ t_1 := \cos t\_0\\ t_2 := \sin t\_0\\ t_3 := \frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot t\_2\right) \cdot t\_1}{x-scale}}{y-scale}\\ t_4 := \frac{\frac{{\left(a \cdot t\_1\right)}^{2} + {\left(b \cdot t\_2\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\\ t_5 := \frac{\frac{{\left(a \cdot t\_2\right)}^{2} + {\left(b \cdot t\_1\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\\ 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(t\_4 - t\_5\right) - \sqrt{{\left(t\_5 - t\_4\right)}^{2} + {t\_3}^{2}}}{t\_3}\right)}{\pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (/ angle 180.0) PI))
        (t_1 (cos t_0))
        (t_2 (sin t_0))
        (t_3
         (/
          (/ (* (* (* 2.0 (- (pow b 2.0) (pow a 2.0))) t_2) t_1) x-scale)
          y-scale))
        (t_4
         (/ (/ (+ (pow (* a t_1) 2.0) (pow (* b t_2) 2.0)) y-scale) y-scale))
        (t_5
         (/ (/ (+ (pow (* a t_2) 2.0) (pow (* b t_1) 2.0)) x-scale) x-scale)))
   (*
    180.0
    (/
     (atan
      (/ (- (- t_4 t_5) (sqrt (+ (pow (- t_5 t_4) 2.0) (pow t_3 2.0)))) t_3))
     PI))))

C

double code(double a, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = (angle / 180.0) * ((double) M_PI);
	double t_1 = cos(t_0);
	double t_2 = sin(t_0);
	double t_3 = ((((2.0 * (pow(b, 2.0) - pow(a, 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale;
	double t_4 = ((pow((a * t_1), 2.0) + pow((b * t_2), 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale;
	double t_5 = ((pow((a * t_2), 2.0) + pow((b * t_1), 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale;
	return 180.0 * (atan((((t_4 - t_5) - sqrt((pow((t_5 - t_4), 2.0) + pow(t_3, 2.0)))) / t_3)) / ((double) M_PI));
}

Java

public static double code(double a, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = (angle / 180.0) * Math.PI;
	double t_1 = Math.cos(t_0);
	double t_2 = Math.sin(t_0);
	double t_3 = ((((2.0 * (Math.pow(b, 2.0) - Math.pow(a, 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale;
	double t_4 = ((Math.pow((a * t_1), 2.0) + Math.pow((b * t_2), 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale;
	double t_5 = ((Math.pow((a * t_2), 2.0) + Math.pow((b * t_1), 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale;
	return 180.0 * (Math.atan((((t_4 - t_5) - Math.sqrt((Math.pow((t_5 - t_4), 2.0) + Math.pow(t_3, 2.0)))) / t_3)) / Math.PI);
}

Python

def code(a, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = (angle / 180.0) * math.pi
	t_1 = math.cos(t_0)
	t_2 = math.sin(t_0)
	t_3 = ((((2.0 * (math.pow(b, 2.0) - math.pow(a, 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale
	t_4 = ((math.pow((a * t_1), 2.0) + math.pow((b * t_2), 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale
	t_5 = ((math.pow((a * t_2), 2.0) + math.pow((b * t_1), 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale
	return 180.0 * (math.atan((((t_4 - t_5) - math.sqrt((math.pow((t_5 - t_4), 2.0) + math.pow(t_3, 2.0)))) / t_3)) / math.pi)

Julia

function code(a, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(Float64(angle / 180.0) * pi)
	t_1 = cos(t_0)
	t_2 = sin(t_0)
	t_3 = Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(2.0 * Float64((b ^ 2.0) - (a ^ 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale)
	t_4 = Float64(Float64(Float64((Float64(a * t_1) ^ 2.0) + (Float64(b * t_2) ^ 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale)
	t_5 = Float64(Float64(Float64((Float64(a * t_2) ^ 2.0) + (Float64(b * t_1) ^ 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale)
	return Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(Float64(Float64(t_4 - t_5) - sqrt(Float64((Float64(t_5 - t_4) ^ 2.0) + (t_3 ^ 2.0)))) / t_3)) / pi))
end

MATLAB

function tmp = code(a, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = (angle / 180.0) * pi;
	t_1 = cos(t_0);
	t_2 = sin(t_0);
	t_3 = ((((2.0 * ((b ^ 2.0) - (a ^ 2.0))) * t_2) * t_1) / x_45_scale) / y_45_scale;
	t_4 = ((((a * t_1) ^ 2.0) + ((b * t_2) ^ 2.0)) / y_45_scale) / y_45_scale;
	t_5 = ((((a * t_2) ^ 2.0) + ((b * t_1) ^ 2.0)) / x_45_scale) / x_45_scale;
	tmp = 180.0 * (atan((((t_4 - t_5) - sqrt((((t_5 - t_4) ^ 2.0) + (t_3 ^ 2.0)))) / t_3)) / pi);
end

Wolfram

code[a_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(angle / 180.0), $MachinePrecision] * Pi), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(N[(N[(N[(2.0 * N[(N[Power[b, 2.0], $MachinePrecision] - N[Power[a, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision] / y$45$scale), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(N[(N[Power[N[(a * t$95$1), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[N[(b * t$95$2), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / y$45$scale), $MachinePrecision] / y$45$scale), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[(N[(N[Power[N[(a * t$95$2), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[N[(b * t$95$1), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision]}, N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(N[(N[(t$95$4 - t$95$5), $MachinePrecision] - N[Sqrt[N[(N[Power[N[(t$95$5 - t$95$4), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[t$95$3, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$3), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Alternative 1: 54.0% accurate, 6.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\\ t_1 := \sin t\_0\\ t_2 := 0.5 \cdot \left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)\\ \mathbf{if}\;a\_m \leq 3.9 \cdot 10^{-212}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{t\_2}{\cos \left(\left(0.005555555555555556 \cdot angle\right) \cdot \pi\right) \cdot t\_1}\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;a\_m \leq 2.7 \cdot 10^{+123}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{t\_2}{{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(t\_0 \cdot 2\right)\right)}^{0.5} \cdot \sin \left(angle \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot t\_1}{x-scale \cdot \cos t\_0}\right)}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.005555555555555556 (* angle PI)))
        (t_1 (sin t_0))
        (t_2 (* 0.5 (* -2.0 (/ y-scale x-scale)))))
   (if (<= a_m 3.9e-212)
     (/
      (*
       180.0
       (atan (/ t_2 (* (cos (* (* 0.005555555555555556 angle) PI)) t_1))))
      PI)
     (if (<= a_m 2.7e+123)
       (/
        (*
         180.0
         (atan
          (/
           t_2
           (*
            (pow (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* t_0 2.0)))) 0.5)
            (sin (* angle (* 0.005555555555555556 PI)))))))
        PI)
       (/ (* 180.0 (atan (/ (* y-scale t_1) (* x-scale (cos t_0))))) PI)))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI));
	double t_1 = sin(t_0);
	double t_2 = 0.5 * (-2.0 * (y_45_scale / x_45_scale));
	double tmp;
	if (a_m <= 3.9e-212) {
		tmp = (180.0 * atan((t_2 / (cos(((0.005555555555555556 * angle) * ((double) M_PI))) * t_1)))) / ((double) M_PI);
	} else if (a_m <= 2.7e+123) {
		tmp = (180.0 * atan((t_2 / (pow((0.5 + (0.5 * cos((t_0 * 2.0)))), 0.5) * sin((angle * (0.005555555555555556 * ((double) M_PI)))))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_1) / (x_45_scale * cos(t_0))))) / ((double) M_PI);
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * Math.PI);
	double t_1 = Math.sin(t_0);
	double t_2 = 0.5 * (-2.0 * (y_45_scale / x_45_scale));
	double tmp;
	if (a_m <= 3.9e-212) {
		tmp = (180.0 * Math.atan((t_2 / (Math.cos(((0.005555555555555556 * angle) * Math.PI)) * t_1)))) / Math.PI;
	} else if (a_m <= 2.7e+123) {
		tmp = (180.0 * Math.atan((t_2 / (Math.pow((0.5 + (0.5 * Math.cos((t_0 * 2.0)))), 0.5) * Math.sin((angle * (0.005555555555555556 * Math.PI))))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale * t_1) / (x_45_scale * Math.cos(t_0))))) / Math.PI;
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * math.pi)
	t_1 = math.sin(t_0)
	t_2 = 0.5 * (-2.0 * (y_45_scale / x_45_scale))
	tmp = 0
	if a_m <= 3.9e-212:
		tmp = (180.0 * math.atan((t_2 / (math.cos(((0.005555555555555556 * angle) * math.pi)) * t_1)))) / math.pi
	elif a_m <= 2.7e+123:
		tmp = (180.0 * math.atan((t_2 / (math.pow((0.5 + (0.5 * math.cos((t_0 * 2.0)))), 0.5) * math.sin((angle * (0.005555555555555556 * math.pi))))))) / math.pi
	else:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale * t_1) / (x_45_scale * math.cos(t_0))))) / math.pi
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi))
	t_1 = sin(t_0)
	t_2 = Float64(0.5 * Float64(-2.0 * Float64(y_45_scale / x_45_scale)))
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 3.9e-212)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(t_2 / Float64(cos(Float64(Float64(0.005555555555555556 * angle) * pi)) * t_1)))) / pi);
	elseif (a_m <= 2.7e+123)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(t_2 / Float64((Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(t_0 * 2.0)))) ^ 0.5) * sin(Float64(angle * Float64(0.005555555555555556 * pi))))))) / pi);
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale * t_1) / Float64(x_45_scale * cos(t_0))))) / pi);
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * pi);
	t_1 = sin(t_0);
	t_2 = 0.5 * (-2.0 * (y_45_scale / x_45_scale));
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 3.9e-212)
		tmp = (180.0 * atan((t_2 / (cos(((0.005555555555555556 * angle) * pi)) * t_1)))) / pi;
	elseif (a_m <= 2.7e+123)
		tmp = (180.0 * atan((t_2 / (((0.5 + (0.5 * cos((t_0 * 2.0)))) ^ 0.5) * sin((angle * (0.005555555555555556 * pi))))))) / pi;
	else
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_1) / (x_45_scale * cos(t_0))))) / pi;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 * N[(-2.0 * N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[a$95$m, 3.9e-212], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(t$95$2 / N[(N[Cos[N[(N[(0.005555555555555556 * angle), $MachinePrecision] * Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], If[LessEqual[a$95$m, 2.7e+123], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(t$95$2 / N[(N[Power[N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(t$95$0 * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(angle * N[(0.005555555555555556 * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * t$95$1), $MachinePrecision] / N[(x$45$scale * N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if a < 3.9e-212

   1. Initial program 21.0%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 19.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 32.2%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \left(\frac{y-scale}{x-scale}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 56.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 56.7%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0.5 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot angle\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. PI-lowering-PI.f64 57.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, angle\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 57.8%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0.5 \cdot \left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}{\cos \color{blue}{\left(\left(0.005555555555555556 \cdot angle\right) \cdot \pi\right)} \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi} \]

   if 3.9e-212 < a < 2.70000000000000013e123

   1. Initial program 18.7%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 20.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 23.8%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \left(\frac{y-scale}{x-scale}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 52.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 52.1%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0.5 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. unpow1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. pow-prod-up N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. pow-prod-down N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 62.7%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0.5 \cdot \left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}{\color{blue}{{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}^{0.5}} \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot angle\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot angle\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), angle\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{PI}\left(\right)\right), angle\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. PI-lowering-PI.f64 62.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), angle\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   14. Applied egg-rr 62.8%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0.5 \cdot \left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}{{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(0.005555555555555556 \cdot \pi\right) \cdot angle\right)}}\right)}{\pi} \]

   if 2.70000000000000013e123 < a

   1. Initial program 0.3%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 0.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y-scale around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} + 2 \cdot \frac{{b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 5.5%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right)}{x-scale \cdot x-scale} + \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(b + a\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 59.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 59.4%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 59.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 3.9 \cdot 10^{-212}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0.5 \cdot \left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}{\cos \left(\left(0.005555555555555556 \cdot angle\right) \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;a \leq 2.7 \cdot 10^{+123}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0.5 \cdot \left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}{{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot 2\right)\right)}^{0.5} \cdot \sin \left(angle \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 55.9% accurate, 6.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\\ t_1 := \sin t\_0\\ \mathbf{if}\;a\_m \leq 1.8 \cdot 10^{-59}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{-1}{\tan t\_0}\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;a\_m \leq 6.5:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot {\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(t\_0 \cdot 2\right)\right)}^{0.5}}{t\_1 \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot t\_1}{x-scale \cdot \cos t\_0}\right)}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.005555555555555556 (* angle PI))) (t_1 (sin t_0)))
   (if (<= a_m 1.8e-59)
     (/ (* 180.0 (atan (* (/ y-scale x-scale) (/ -1.0 (tan t_0))))) PI)
     (if (<= a_m 6.5)
       (/
        (*
         180.0
         (atan
          (/
           (* y-scale (pow (+ 0.5 (* 0.5 (cos (* t_0 2.0)))) 0.5))
           (* t_1 (- 0.0 x-scale)))))
        PI)
       (/ (* 180.0 (atan (/ (* y-scale t_1) (* x-scale (cos t_0))))) PI)))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI));
	double t_1 = sin(t_0);
	double tmp;
	if (a_m <= 1.8e-59) {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / tan(t_0))))) / ((double) M_PI);
	} else if (a_m <= 6.5) {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * pow((0.5 + (0.5 * cos((t_0 * 2.0)))), 0.5)) / (t_1 * (0.0 - x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_1) / (x_45_scale * cos(t_0))))) / ((double) M_PI);
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * Math.PI);
	double t_1 = Math.sin(t_0);
	double tmp;
	if (a_m <= 1.8e-59) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / Math.tan(t_0))))) / Math.PI;
	} else if (a_m <= 6.5) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale * Math.pow((0.5 + (0.5 * Math.cos((t_0 * 2.0)))), 0.5)) / (t_1 * (0.0 - x_45_scale))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale * t_1) / (x_45_scale * Math.cos(t_0))))) / Math.PI;
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * math.pi)
	t_1 = math.sin(t_0)
	tmp = 0
	if a_m <= 1.8e-59:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / math.tan(t_0))))) / math.pi
	elif a_m <= 6.5:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale * math.pow((0.5 + (0.5 * math.cos((t_0 * 2.0)))), 0.5)) / (t_1 * (0.0 - x_45_scale))))) / math.pi
	else:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale * t_1) / (x_45_scale * math.cos(t_0))))) / math.pi
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi))
	t_1 = sin(t_0)
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 1.8e-59)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale / x_45_scale) * Float64(-1.0 / tan(t_0))))) / pi);
	elseif (a_m <= 6.5)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale * (Float64(0.5 + Float64(0.5 * cos(Float64(t_0 * 2.0)))) ^ 0.5)) / Float64(t_1 * Float64(0.0 - x_45_scale))))) / pi);
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale * t_1) / Float64(x_45_scale * cos(t_0))))) / pi);
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * pi);
	t_1 = sin(t_0);
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 1.8e-59)
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / tan(t_0))))) / pi;
	elseif (a_m <= 6.5)
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * ((0.5 + (0.5 * cos((t_0 * 2.0)))) ^ 0.5)) / (t_1 * (0.0 - x_45_scale))))) / pi;
	else
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_1) / (x_45_scale * cos(t_0))))) / pi;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[a$95$m, 1.8e-59], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision] * N[(-1.0 / N[Tan[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], If[LessEqual[a$95$m, 6.5], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * N[Power[N[(0.5 + N[(0.5 * N[Cos[N[(t$95$0 * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$1 * N[(0.0 - x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * t$95$1), $MachinePrecision] / N[(x$45$scale * N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if a < 1.8e-59

   1. Initial program 20.1%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 18.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 30.9%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 57.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 57.1%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale}\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. quot-tan N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \tan \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. tan-lowering-tan.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 58.6%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 58.6%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\color{blue}{\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}}\right)}{\pi} \]

   if 1.8e-59 < a < 6.5

   1. Initial program 9.7%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 27.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 28.5%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 39.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 39.0%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. unpow1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{1}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. pow-prod-up N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. pow-prod-down N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \left({\left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \left({\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{pow.f64}\left(\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 74.7%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\frac{y-scale \cdot \color{blue}{{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}^{0.5}}}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi} \]

   if 6.5 < a

   1. Initial program 9.2%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 7.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y-scale around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} + 2 \cdot \frac{{b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 17.8%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right)}{x-scale \cdot x-scale} + \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(b + a\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 57.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 57.6%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 59.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 1.8 \cdot 10^{-59}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{-1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;a \leq 6.5:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot {\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot 2\right)\right)}^{0.5}}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 55.9% accurate, 8.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\\ t_1 := \sin t\_0\\ \mathbf{if}\;a\_m \leq 6.3 \cdot 10^{-47}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{-1}{\tan t\_0}\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;a\_m \leq 6.5:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{t\_1 \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot t\_1}{x-scale \cdot \cos t\_0}\right)}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.005555555555555556 (* angle PI))) (t_1 (sin t_0)))
   (if (<= a_m 6.3e-47)
     (/ (* 180.0 (atan (* (/ y-scale x-scale) (/ -1.0 (tan t_0))))) PI)
     (if (<= a_m 6.5)
       (/ (* 180.0 (atan (/ y-scale (* t_1 (- 0.0 x-scale))))) PI)
       (/ (* 180.0 (atan (/ (* y-scale t_1) (* x-scale (cos t_0))))) PI)))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI));
	double t_1 = sin(t_0);
	double tmp;
	if (a_m <= 6.3e-47) {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / tan(t_0))))) / ((double) M_PI);
	} else if (a_m <= 6.5) {
		tmp = (180.0 * atan((y_45_scale / (t_1 * (0.0 - x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_1) / (x_45_scale * cos(t_0))))) / ((double) M_PI);
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * Math.PI);
	double t_1 = Math.sin(t_0);
	double tmp;
	if (a_m <= 6.3e-47) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / Math.tan(t_0))))) / Math.PI;
	} else if (a_m <= 6.5) {
		tmp = (180.0 * Math.atan((y_45_scale / (t_1 * (0.0 - x_45_scale))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale * t_1) / (x_45_scale * Math.cos(t_0))))) / Math.PI;
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * math.pi)
	t_1 = math.sin(t_0)
	tmp = 0
	if a_m <= 6.3e-47:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / math.tan(t_0))))) / math.pi
	elif a_m <= 6.5:
		tmp = (180.0 * math.atan((y_45_scale / (t_1 * (0.0 - x_45_scale))))) / math.pi
	else:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale * t_1) / (x_45_scale * math.cos(t_0))))) / math.pi
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi))
	t_1 = sin(t_0)
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 6.3e-47)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale / x_45_scale) * Float64(-1.0 / tan(t_0))))) / pi);
	elseif (a_m <= 6.5)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(y_45_scale / Float64(t_1 * Float64(0.0 - x_45_scale))))) / pi);
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale * t_1) / Float64(x_45_scale * cos(t_0))))) / pi);
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * pi);
	t_1 = sin(t_0);
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 6.3e-47)
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / tan(t_0))))) / pi;
	elseif (a_m <= 6.5)
		tmp = (180.0 * atan((y_45_scale / (t_1 * (0.0 - x_45_scale))))) / pi;
	else
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale * t_1) / (x_45_scale * cos(t_0))))) / pi;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[a$95$m, 6.3e-47], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision] * N[(-1.0 / N[Tan[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], If[LessEqual[a$95$m, 6.5], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(y$45$scale / N[(t$95$1 * N[(0.0 - x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * t$95$1), $MachinePrecision] / N[(x$45$scale * N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if a < 6.3000000000000002e-47

   1. Initial program 20.0%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 18.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 30.7%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 56.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 56.8%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale}\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. quot-tan N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \tan \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. tan-lowering-tan.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 58.3%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 58.3%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\color{blue}{\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}}\right)}{\pi} \]

   if 6.3000000000000002e-47 < a < 6.5

   1. Initial program 10.6%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 30.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 31.3%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 42.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 42.5%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   11. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \color{blue}{1}\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 81.8%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\frac{y-scale \cdot \color{blue}{1}}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi} \]

   if 6.5 < a

   1. Initial program 9.2%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 7.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y-scale around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} + 2 \cdot \frac{{b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(a + b\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 17.8%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right)}{x-scale \cdot x-scale} + \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(b + a\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 57.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 57.6%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 59.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 6.3 \cdot 10^{-47}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{-1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;a \leq 6.5:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 55.9% accurate, 8.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\\ t_1 := \sin t\_0\\ \mathbf{if}\;a\_m \leq 7.5 \cdot 10^{-52}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{-1}{\tan t\_0}\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;a\_m \leq 6.5:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{t\_1 \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot t\_1}{x-scale \cdot \cos t\_0}\right)}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.005555555555555556 (* angle PI))) (t_1 (sin t_0)))
   (if (<= a_m 7.5e-52)
     (/ (* 180.0 (atan (* (/ y-scale x-scale) (/ -1.0 (tan t_0))))) PI)
     (if (<= a_m 6.5)
       (/ (* 180.0 (atan (/ y-scale (* t_1 (- 0.0 x-scale))))) PI)
       (* 180.0 (/ (atan (/ (* y-scale t_1) (* x-scale (cos t_0)))) PI))))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI));
	double t_1 = sin(t_0);
	double tmp;
	if (a_m <= 7.5e-52) {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / tan(t_0))))) / ((double) M_PI);
	} else if (a_m <= 6.5) {
		tmp = (180.0 * atan((y_45_scale / (t_1 * (0.0 - x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = 180.0 * (atan(((y_45_scale * t_1) / (x_45_scale * cos(t_0)))) / ((double) M_PI));
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * Math.PI);
	double t_1 = Math.sin(t_0);
	double tmp;
	if (a_m <= 7.5e-52) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / Math.tan(t_0))))) / Math.PI;
	} else if (a_m <= 6.5) {
		tmp = (180.0 * Math.atan((y_45_scale / (t_1 * (0.0 - x_45_scale))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = 180.0 * (Math.atan(((y_45_scale * t_1) / (x_45_scale * Math.cos(t_0)))) / Math.PI);
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * math.pi)
	t_1 = math.sin(t_0)
	tmp = 0
	if a_m <= 7.5e-52:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / math.tan(t_0))))) / math.pi
	elif a_m <= 6.5:
		tmp = (180.0 * math.atan((y_45_scale / (t_1 * (0.0 - x_45_scale))))) / math.pi
	else:
		tmp = 180.0 * (math.atan(((y_45_scale * t_1) / (x_45_scale * math.cos(t_0)))) / math.pi)
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi))
	t_1 = sin(t_0)
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 7.5e-52)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale / x_45_scale) * Float64(-1.0 / tan(t_0))))) / pi);
	elseif (a_m <= 6.5)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(y_45_scale / Float64(t_1 * Float64(0.0 - x_45_scale))))) / pi);
	else
		tmp = Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(Float64(y_45_scale * t_1) / Float64(x_45_scale * cos(t_0)))) / pi));
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * pi);
	t_1 = sin(t_0);
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 7.5e-52)
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / tan(t_0))))) / pi;
	elseif (a_m <= 6.5)
		tmp = (180.0 * atan((y_45_scale / (t_1 * (0.0 - x_45_scale))))) / pi;
	else
		tmp = 180.0 * (atan(((y_45_scale * t_1) / (x_45_scale * cos(t_0)))) / pi);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[a$95$m, 7.5e-52], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision] * N[(-1.0 / N[Tan[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], If[LessEqual[a$95$m, 6.5], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(y$45$scale / N[(t$95$1 * N[(0.0 - x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * t$95$1), $MachinePrecision] / N[(x$45$scale * N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if a < 7.50000000000000006e-52

   1. Initial program 20.0%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 18.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 30.7%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 56.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 56.8%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale}\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. quot-tan N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \tan \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. tan-lowering-tan.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 58.3%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 58.3%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\color{blue}{\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}}\right)}{\pi} \]

   if 7.50000000000000006e-52 < a < 6.5

   1. Initial program 10.6%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 30.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 31.3%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 42.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 42.5%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   11. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \color{blue}{1}\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 81.8%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\frac{y-scale \cdot \color{blue}{1}}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi} \]

   if 6.5 < a

   1. Initial program 9.2%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({a}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right) + 2 \cdot \left({b}^{2} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 19.9%

      \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-0.5 \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(b \cdot b\right) + {\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \left(\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   6. Taylor expanded in b around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(\left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \sin \left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      9. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(\left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      15. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      16. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \cos \left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      17. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(angle \cdot \left(\frac{1}{180} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      18. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{180}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 57.5%

      \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 59.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 7.5 \cdot 10^{-52}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{-1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;a \leq 6.5:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 45.1% accurate, 13.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\\ t_1 := \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{\sin t\_0 \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{if}\;y-scale \leq -6 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \mathbf{elif}\;y-scale \leq 8.2 \cdot 10^{+198}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{-1}{\tan t\_0}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.005555555555555556 (* angle PI)))
        (t_1
         (/ (* 180.0 (atan (/ y-scale (* (sin t_0) (- 0.0 x-scale))))) PI)))
   (if (<= y-scale -6e-8)
     t_1
     (if (<= y-scale 8.2e+198)
       (/ (* 180.0 (atan (* (/ y-scale x-scale) (/ -1.0 (tan t_0))))) PI)
       t_1))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI));
	double t_1 = (180.0 * atan((y_45_scale / (sin(t_0) * (0.0 - x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	double tmp;
	if (y_45_scale <= -6e-8) {
		tmp = t_1;
	} else if (y_45_scale <= 8.2e+198) {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / tan(t_0))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * Math.PI);
	double t_1 = (180.0 * Math.atan((y_45_scale / (Math.sin(t_0) * (0.0 - x_45_scale))))) / Math.PI;
	double tmp;
	if (y_45_scale <= -6e-8) {
		tmp = t_1;
	} else if (y_45_scale <= 8.2e+198) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / Math.tan(t_0))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * math.pi)
	t_1 = (180.0 * math.atan((y_45_scale / (math.sin(t_0) * (0.0 - x_45_scale))))) / math.pi
	tmp = 0
	if y_45_scale <= -6e-8:
		tmp = t_1
	elif y_45_scale <= 8.2e+198:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / math.tan(t_0))))) / math.pi
	else:
		tmp = t_1
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi))
	t_1 = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(y_45_scale / Float64(sin(t_0) * Float64(0.0 - x_45_scale))))) / pi)
	tmp = 0.0
	if (y_45_scale <= -6e-8)
		tmp = t_1;
	elseif (y_45_scale <= 8.2e+198)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale / x_45_scale) * Float64(-1.0 / tan(t_0))))) / pi);
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * pi);
	t_1 = (180.0 * atan((y_45_scale / (sin(t_0) * (0.0 - x_45_scale))))) / pi;
	tmp = 0.0;
	if (y_45_scale <= -6e-8)
		tmp = t_1;
	elseif (y_45_scale <= 8.2e+198)
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / tan(t_0))))) / pi;
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(y$45$scale / N[(N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision] * N[(0.0 - x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$45$scale, -6e-8], t$95$1, If[LessEqual[y$45$scale, 8.2e+198], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision] * N[(-1.0 / N[Tan[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], t$95$1]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y-scale < -5.99999999999999946e-8 or 8.2000000000000003e198 < y-scale

   1. Initial program 26.8%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 27.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 35.2%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 52.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 52.9%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   11. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \color{blue}{1}\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 64.0%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\frac{y-scale \cdot \color{blue}{1}}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi} \]

   if -5.99999999999999946e-8 < y-scale < 8.2000000000000003e198

   1. Initial program 10.9%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 9.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 23.1%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 47.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 47.7%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale}\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. quot-tan N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \tan \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. tan-lowering-tan.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 50.4%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 50.4%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\color{blue}{\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}}\right)}{\pi} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 55.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y-scale \leq -6 \cdot 10^{-8}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;y-scale \leq 8.2 \cdot 10^{+198}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{-1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(0 - x-scale\right)}\right)}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 45.3% accurate, 13.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;a\_m \leq 2.2 \cdot 10^{-52}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{-1}{\tan t\_0}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0.5 \cdot \left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}{\sin t\_0}\right)}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.005555555555555556 (* angle PI))))
   (if (<= a_m 2.2e-52)
     (/ (* 180.0 (atan (* (/ y-scale x-scale) (/ -1.0 (tan t_0))))) PI)
     (/
      (* 180.0 (atan (/ (* 0.5 (* -2.0 (/ y-scale x-scale))) (sin t_0))))
      PI))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI));
	double tmp;
	if (a_m <= 2.2e-52) {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / tan(t_0))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = (180.0 * atan(((0.5 * (-2.0 * (y_45_scale / x_45_scale))) / sin(t_0)))) / ((double) M_PI);
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * Math.PI);
	double tmp;
	if (a_m <= 2.2e-52) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / Math.tan(t_0))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((0.5 * (-2.0 * (y_45_scale / x_45_scale))) / Math.sin(t_0)))) / Math.PI;
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * math.pi)
	tmp = 0
	if a_m <= 2.2e-52:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / math.tan(t_0))))) / math.pi
	else:
		tmp = (180.0 * math.atan(((0.5 * (-2.0 * (y_45_scale / x_45_scale))) / math.sin(t_0)))) / math.pi
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi))
	tmp = 0.0
	if (a_m <= 2.2e-52)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale / x_45_scale) * Float64(-1.0 / tan(t_0))))) / pi);
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(0.5 * Float64(-2.0 * Float64(y_45_scale / x_45_scale))) / sin(t_0)))) / pi);
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = 0.005555555555555556 * (angle * pi);
	tmp = 0.0;
	if (a_m <= 2.2e-52)
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / tan(t_0))))) / pi;
	else
		tmp = (180.0 * atan(((0.5 * (-2.0 * (y_45_scale / x_45_scale))) / sin(t_0)))) / pi;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[a$95$m, 2.2e-52], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision] * N[(-1.0 / N[Tan[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(0.5 * N[(-2.0 * N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < 2.20000000000000009e-52

   1. Initial program 20.1%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 18.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 30.9%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 57.1%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 57.1%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale}\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. quot-tan N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \tan \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. tan-lowering-tan.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 58.6%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 58.6%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\color{blue}{\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}}\right)}{\pi} \]

   if 2.20000000000000009e-52 < a

   1. Initial program 9.3%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 10.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 19.6%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \left(\frac{y-scale}{x-scale}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 31.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 31.2%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0.5 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi} \]

   11. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 45.9%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0.5 \cdot \left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}{\color{blue}{1} \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 55.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \leq 2.2 \cdot 10^{-52}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{-1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0.5 \cdot \left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 44.0% accurate, 13.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;angle \leq -1.62 \cdot 10^{+208}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(y-scale \cdot \left(\frac{\left(-32400 \cdot \left(angle \cdot angle\right)\right) \cdot \frac{\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 5.7155921353452215 \cdot 10^{-8}\right)}{\pi \cdot \pi} + \frac{180}{\pi}}{angle} \cdot \frac{-1}{x-scale}\right)\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{-1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (if (<= angle -1.62e+208)
   (/
    (*
     180.0
     (atan
      (*
       y-scale
       (*
        (/
         (+
          (*
           (* -32400.0 (* angle angle))
           (/ (* PI (* (* PI PI) 5.7155921353452215e-8)) (* PI PI)))
          (/ 180.0 PI))
         angle)
        (/ -1.0 x-scale)))))
    PI)
   (/
    (*
     180.0
     (atan
      (*
       (/ y-scale x-scale)
       (/ -1.0 (tan (* 0.005555555555555556 (* angle PI)))))))
    PI)))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (angle <= -1.62e+208) {
		tmp = (180.0 * atan((y_45_scale * (((((-32400.0 * (angle * angle)) * ((((double) M_PI) * ((((double) M_PI) * ((double) M_PI)) * 5.7155921353452215e-8)) / (((double) M_PI) * ((double) M_PI)))) + (180.0 / ((double) M_PI))) / angle) * (-1.0 / x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / tan((0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI)))))))) / ((double) M_PI);
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (angle <= -1.62e+208) {
		tmp = (180.0 * Math.atan((y_45_scale * (((((-32400.0 * (angle * angle)) * ((Math.PI * ((Math.PI * Math.PI) * 5.7155921353452215e-8)) / (Math.PI * Math.PI))) + (180.0 / Math.PI)) / angle) * (-1.0 / x_45_scale))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / Math.tan((0.005555555555555556 * (angle * Math.PI))))))) / Math.PI;
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	tmp = 0
	if angle <= -1.62e+208:
		tmp = (180.0 * math.atan((y_45_scale * (((((-32400.0 * (angle * angle)) * ((math.pi * ((math.pi * math.pi) * 5.7155921353452215e-8)) / (math.pi * math.pi))) + (180.0 / math.pi)) / angle) * (-1.0 / x_45_scale))))) / math.pi
	else:
		tmp = (180.0 * math.atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / math.tan((0.005555555555555556 * (angle * math.pi))))))) / math.pi
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0
	if (angle <= -1.62e+208)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(y_45_scale * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-32400.0 * Float64(angle * angle)) * Float64(Float64(pi * Float64(Float64(pi * pi) * 5.7155921353452215e-8)) / Float64(pi * pi))) + Float64(180.0 / pi)) / angle) * Float64(-1.0 / x_45_scale))))) / pi);
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(y_45_scale / x_45_scale) * Float64(-1.0 / tan(Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi))))))) / pi);
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0;
	if (angle <= -1.62e+208)
		tmp = (180.0 * atan((y_45_scale * (((((-32400.0 * (angle * angle)) * ((pi * ((pi * pi) * 5.7155921353452215e-8)) / (pi * pi))) + (180.0 / pi)) / angle) * (-1.0 / x_45_scale))))) / pi;
	else
		tmp = (180.0 * atan(((y_45_scale / x_45_scale) * (-1.0 / tan((0.005555555555555556 * (angle * pi))))))) / pi;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := If[LessEqual[angle, -1.62e+208], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(y$45$scale * N[(N[(N[(N[(N[(-32400.0 * N[(angle * angle), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(Pi * N[(N[(Pi * Pi), $MachinePrecision] * 5.7155921353452215e-8), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(180.0 / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / angle), $MachinePrecision] * N[(-1.0 / x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision] * N[(-1.0 / N[Tan[N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if angle < -1.62e208

   1. Initial program 9.4%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 22.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 18.1%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 28.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 28.9%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\left(y-scale \cdot \frac{1}{x-scale}\right) \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(y-scale \cdot \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{x-scale}\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. quot-tan N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \tan \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. tan-lowering-tan.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       13. PI-lowering-PI.f64 28.9%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 28.9%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\color{blue}{y-scale \cdot \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \frac{1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}\right)}{\pi} \]

   13. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \color{blue}{\left(\frac{-32400 \cdot \frac{{angle}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{34992000} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} - \frac{-1}{11664000} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}} + 180 \cdot \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{angle}\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(-32400 \cdot \frac{{angle}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{34992000} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} - \frac{-1}{11664000} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}} + 180 \cdot \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), angle\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   15. Simplified 49.4%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-y-scale \cdot \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \color{blue}{\frac{\left(-32400 \cdot \left(angle \cdot angle\right)\right) \cdot \frac{\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 5.7155921353452215 \cdot 10^{-8}\right)}{\pi \cdot \pi} + \frac{180}{\pi}}{angle}}\right)\right)}{\pi} \]

   if -1.62e208 < angle

   1. Initial program 18.0%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 15.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 28.9%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 51.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 51.8%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale}\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. quot-tan N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \tan \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. tan-lowering-tan.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. PI-lowering-PI.f64 53.6%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 53.6%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\color{blue}{\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}}\right)}{\pi} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 53.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;angle \leq -1.62 \cdot 10^{+208}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(y-scale \cdot \left(\frac{\left(-32400 \cdot \left(angle \cdot angle\right)\right) \cdot \frac{\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 5.7155921353452215 \cdot 10^{-8}\right)}{\pi \cdot \pi} + \frac{180}{\pi}}{angle} \cdot \frac{-1}{x-scale}\right)\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{-1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 44.0% accurate, 13.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;angle \leq -1.62 \cdot 10^{+208}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(y-scale \cdot \left(\frac{\left(-32400 \cdot \left(angle \cdot angle\right)\right) \cdot \frac{\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 5.7155921353452215 \cdot 10^{-8}\right)}{\pi \cdot \pi} + \frac{180}{\pi}}{angle} \cdot \frac{-1}{x-scale}\right)\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180}{\pi} \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0 - \frac{y-scale}{x-scale}}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (if (<= angle -1.62e+208)
   (/
    (*
     180.0
     (atan
      (*
       y-scale
       (*
        (/
         (+
          (*
           (* -32400.0 (* angle angle))
           (/ (* PI (* (* PI PI) 5.7155921353452215e-8)) (* PI PI)))
          (/ 180.0 PI))
         angle)
        (/ -1.0 x-scale)))))
    PI)
   (*
    (/ 180.0 PI)
    (atan
     (/
      (- 0.0 (/ y-scale x-scale))
      (tan (* 0.005555555555555556 (* angle PI))))))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (angle <= -1.62e+208) {
		tmp = (180.0 * atan((y_45_scale * (((((-32400.0 * (angle * angle)) * ((((double) M_PI) * ((((double) M_PI) * ((double) M_PI)) * 5.7155921353452215e-8)) / (((double) M_PI) * ((double) M_PI)))) + (180.0 / ((double) M_PI))) / angle) * (-1.0 / x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = (180.0 / ((double) M_PI)) * atan(((0.0 - (y_45_scale / x_45_scale)) / tan((0.005555555555555556 * (angle * ((double) M_PI))))));
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double tmp;
	if (angle <= -1.62e+208) {
		tmp = (180.0 * Math.atan((y_45_scale * (((((-32400.0 * (angle * angle)) * ((Math.PI * ((Math.PI * Math.PI) * 5.7155921353452215e-8)) / (Math.PI * Math.PI))) + (180.0 / Math.PI)) / angle) * (-1.0 / x_45_scale))))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = (180.0 / Math.PI) * Math.atan(((0.0 - (y_45_scale / x_45_scale)) / Math.tan((0.005555555555555556 * (angle * Math.PI)))));
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	tmp = 0
	if angle <= -1.62e+208:
		tmp = (180.0 * math.atan((y_45_scale * (((((-32400.0 * (angle * angle)) * ((math.pi * ((math.pi * math.pi) * 5.7155921353452215e-8)) / (math.pi * math.pi))) + (180.0 / math.pi)) / angle) * (-1.0 / x_45_scale))))) / math.pi
	else:
		tmp = (180.0 / math.pi) * math.atan(((0.0 - (y_45_scale / x_45_scale)) / math.tan((0.005555555555555556 * (angle * math.pi)))))
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0
	if (angle <= -1.62e+208)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(y_45_scale * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-32400.0 * Float64(angle * angle)) * Float64(Float64(pi * Float64(Float64(pi * pi) * 5.7155921353452215e-8)) / Float64(pi * pi))) + Float64(180.0 / pi)) / angle) * Float64(-1.0 / x_45_scale))))) / pi);
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 / pi) * atan(Float64(Float64(0.0 - Float64(y_45_scale / x_45_scale)) / tan(Float64(0.005555555555555556 * Float64(angle * pi))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 0.0;
	if (angle <= -1.62e+208)
		tmp = (180.0 * atan((y_45_scale * (((((-32400.0 * (angle * angle)) * ((pi * ((pi * pi) * 5.7155921353452215e-8)) / (pi * pi))) + (180.0 / pi)) / angle) * (-1.0 / x_45_scale))))) / pi;
	else
		tmp = (180.0 / pi) * atan(((0.0 - (y_45_scale / x_45_scale)) / tan((0.005555555555555556 * (angle * pi)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := If[LessEqual[angle, -1.62e+208], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(y$45$scale * N[(N[(N[(N[(N[(-32400.0 * N[(angle * angle), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(Pi * N[(N[(Pi * Pi), $MachinePrecision] * 5.7155921353452215e-8), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(180.0 / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / angle), $MachinePrecision] * N[(-1.0 / x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 / Pi), $MachinePrecision] * N[ArcTan[N[(N[(0.0 - N[(y$45$scale / x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[N[(0.005555555555555556 * N[(angle * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if angle < -1.62e208

   1. Initial program 9.4%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 22.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 18.1%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 28.9%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 28.9%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\left(y-scale \cdot \frac{1}{x-scale}\right) \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(y-scale \cdot \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{x-scale}\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. quot-tan N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \tan \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. tan-lowering-tan.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       13. PI-lowering-PI.f64 28.9%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 28.9%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\color{blue}{y-scale \cdot \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \frac{1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}\right)}{\pi} \]

   13. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \color{blue}{\left(\frac{-32400 \cdot \frac{{angle}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{34992000} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} - \frac{-1}{11664000} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}} + 180 \cdot \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{angle}\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(-32400 \cdot \frac{{angle}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{34992000} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} - \frac{-1}{11664000} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}} + 180 \cdot \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), angle\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   15. Simplified 49.4%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-y-scale \cdot \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \color{blue}{\frac{\left(-32400 \cdot \left(angle \cdot angle\right)\right) \cdot \frac{\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 5.7155921353452215 \cdot 10^{-8}\right)}{\pi \cdot \pi} + \frac{180}{\pi}}{angle}}\right)\right)}{\pi} \]

   if -1.62e208 < angle

   1. Initial program 18.0%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 15.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 28.9%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 51.8%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 51.8%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\left(y-scale \cdot \frac{1}{x-scale}\right) \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(y-scale \cdot \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{x-scale}\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. quot-tan N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \tan \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. tan-lowering-tan.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       13. PI-lowering-PI.f64 51.8%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 51.8%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\color{blue}{y-scale \cdot \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \frac{1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}\right)}{\pi} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \frac{\tan^{-1} \left(\mathsf{neg}\left(y-scale \cdot \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \frac{1}{\tan \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \cdot 180}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

       2. associate-/l* N/A

          \[\leadsto \tan^{-1} \left(\mathsf{neg}\left(y-scale \cdot \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \frac{1}{\tan \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1} \left(\mathsf{neg}\left(y-scale \cdot \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \frac{1}{\tan \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{180}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)}\right) \]

   14. Applied egg-rr 53.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\tan^{-1} \left(\frac{-\frac{y-scale}{x-scale}}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right) \cdot \frac{180}{\pi}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 53.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;angle \leq -1.62 \cdot 10^{+208}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(y-scale \cdot \left(\frac{\left(-32400 \cdot \left(angle \cdot angle\right)\right) \cdot \frac{\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 5.7155921353452215 \cdot 10^{-8}\right)}{\pi \cdot \pi} + \frac{180}{\pi}}{angle} \cdot \frac{-1}{x-scale}\right)\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180}{\pi} \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0 - \frac{y-scale}{x-scale}}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 39.1% accurate, 19.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(y-scale \cdot \left(\frac{\left(-32400 \cdot \left(angle \cdot angle\right)\right) \cdot \frac{\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 5.7155921353452215 \cdot 10^{-8}\right)}{\pi \cdot \pi} + \frac{180}{\pi}}{angle} \cdot \frac{-1}{x-scale}\right)\right)}{\pi}\\ \mathbf{if}\;y-scale \leq -7.2 \cdot 10^{+141}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \pi} - \left(angle \cdot angle\right) \cdot \frac{\left(y-scale \cdot \pi\right) \cdot 0.003703703703703704}{x-scale}}{angle}\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;y-scale \leq -7.2 \cdot 10^{-146}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;y-scale \leq 2.8 \cdot 10^{-306}:\\ \;\;\;\;180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{-180}{angle} \cdot \left(\frac{b}{x-scale} \cdot \frac{y-scale \cdot b}{\left(\pi \cdot \left(a\_m + b\right)\right) \cdot \left(b - a\_m\right)}\right)\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (/
          (*
           180.0
           (atan
            (*
             y-scale
             (*
              (/
               (+
                (*
                 (* -32400.0 (* angle angle))
                 (/ (* PI (* (* PI PI) 5.7155921353452215e-8)) (* PI PI)))
                (/ 180.0 PI))
               angle)
              (/ -1.0 x-scale)))))
          PI)))
   (if (<= y-scale -7.2e+141)
     (/
      (*
       180.0
       (atan
        (/
         (-
          (* -180.0 (/ y-scale (* x-scale PI)))
          (*
           (* angle angle)
           (/ (* (* y-scale PI) 0.003703703703703704) x-scale)))
         angle)))
      PI)
     (if (<= y-scale -7.2e-146)
       t_0
       (if (<= y-scale 2.8e-306)
         (*
          180.0
          (/
           (atan
            (*
             (/ -180.0 angle)
             (*
              (/ b x-scale)
              (/ (* y-scale b) (* (* PI (+ a_m b)) (- b a_m))))))
           PI))
         t_0)))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = (180.0 * atan((y_45_scale * (((((-32400.0 * (angle * angle)) * ((((double) M_PI) * ((((double) M_PI) * ((double) M_PI)) * 5.7155921353452215e-8)) / (((double) M_PI) * ((double) M_PI)))) + (180.0 / ((double) M_PI))) / angle) * (-1.0 / x_45_scale))))) / ((double) M_PI);
	double tmp;
	if (y_45_scale <= -7.2e+141) {
		tmp = (180.0 * atan((((-180.0 * (y_45_scale / (x_45_scale * ((double) M_PI)))) - ((angle * angle) * (((y_45_scale * ((double) M_PI)) * 0.003703703703703704) / x_45_scale))) / angle))) / ((double) M_PI);
	} else if (y_45_scale <= -7.2e-146) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_45_scale <= 2.8e-306) {
		tmp = 180.0 * (atan(((-180.0 / angle) * ((b / x_45_scale) * ((y_45_scale * b) / ((((double) M_PI) * (a_m + b)) * (b - a_m)))))) / ((double) M_PI));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = (180.0 * Math.atan((y_45_scale * (((((-32400.0 * (angle * angle)) * ((Math.PI * ((Math.PI * Math.PI) * 5.7155921353452215e-8)) / (Math.PI * Math.PI))) + (180.0 / Math.PI)) / angle) * (-1.0 / x_45_scale))))) / Math.PI;
	double tmp;
	if (y_45_scale <= -7.2e+141) {
		tmp = (180.0 * Math.atan((((-180.0 * (y_45_scale / (x_45_scale * Math.PI))) - ((angle * angle) * (((y_45_scale * Math.PI) * 0.003703703703703704) / x_45_scale))) / angle))) / Math.PI;
	} else if (y_45_scale <= -7.2e-146) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_45_scale <= 2.8e-306) {
		tmp = 180.0 * (Math.atan(((-180.0 / angle) * ((b / x_45_scale) * ((y_45_scale * b) / ((Math.PI * (a_m + b)) * (b - a_m)))))) / Math.PI);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = (180.0 * math.atan((y_45_scale * (((((-32400.0 * (angle * angle)) * ((math.pi * ((math.pi * math.pi) * 5.7155921353452215e-8)) / (math.pi * math.pi))) + (180.0 / math.pi)) / angle) * (-1.0 / x_45_scale))))) / math.pi
	tmp = 0
	if y_45_scale <= -7.2e+141:
		tmp = (180.0 * math.atan((((-180.0 * (y_45_scale / (x_45_scale * math.pi))) - ((angle * angle) * (((y_45_scale * math.pi) * 0.003703703703703704) / x_45_scale))) / angle))) / math.pi
	elif y_45_scale <= -7.2e-146:
		tmp = t_0
	elif y_45_scale <= 2.8e-306:
		tmp = 180.0 * (math.atan(((-180.0 / angle) * ((b / x_45_scale) * ((y_45_scale * b) / ((math.pi * (a_m + b)) * (b - a_m)))))) / math.pi)
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(y_45_scale * Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(-32400.0 * Float64(angle * angle)) * Float64(Float64(pi * Float64(Float64(pi * pi) * 5.7155921353452215e-8)) / Float64(pi * pi))) + Float64(180.0 / pi)) / angle) * Float64(-1.0 / x_45_scale))))) / pi)
	tmp = 0.0
	if (y_45_scale <= -7.2e+141)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(Float64(-180.0 * Float64(y_45_scale / Float64(x_45_scale * pi))) - Float64(Float64(angle * angle) * Float64(Float64(Float64(y_45_scale * pi) * 0.003703703703703704) / x_45_scale))) / angle))) / pi);
	elseif (y_45_scale <= -7.2e-146)
		tmp = t_0;
	elseif (y_45_scale <= 2.8e-306)
		tmp = Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(Float64(-180.0 / angle) * Float64(Float64(b / x_45_scale) * Float64(Float64(y_45_scale * b) / Float64(Float64(pi * Float64(a_m + b)) * Float64(b - a_m)))))) / pi));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = (180.0 * atan((y_45_scale * (((((-32400.0 * (angle * angle)) * ((pi * ((pi * pi) * 5.7155921353452215e-8)) / (pi * pi))) + (180.0 / pi)) / angle) * (-1.0 / x_45_scale))))) / pi;
	tmp = 0.0;
	if (y_45_scale <= -7.2e+141)
		tmp = (180.0 * atan((((-180.0 * (y_45_scale / (x_45_scale * pi))) - ((angle * angle) * (((y_45_scale * pi) * 0.003703703703703704) / x_45_scale))) / angle))) / pi;
	elseif (y_45_scale <= -7.2e-146)
		tmp = t_0;
	elseif (y_45_scale <= 2.8e-306)
		tmp = 180.0 * (atan(((-180.0 / angle) * ((b / x_45_scale) * ((y_45_scale * b) / ((pi * (a_m + b)) * (b - a_m)))))) / pi);
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(y$45$scale * N[(N[(N[(N[(N[(-32400.0 * N[(angle * angle), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(Pi * N[(N[(Pi * Pi), $MachinePrecision] * 5.7155921353452215e-8), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(180.0 / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / angle), $MachinePrecision] * N[(-1.0 / x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$45$scale, -7.2e+141], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(N[(-180.0 * N[(y$45$scale / N[(x$45$scale * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(angle * angle), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(y$45$scale * Pi), $MachinePrecision] * 0.003703703703703704), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / angle), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$45$scale, -7.2e-146], t$95$0, If[LessEqual[y$45$scale, 2.8e-306], N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(N[(-180.0 / angle), $MachinePrecision] * N[(N[(b / x$45$scale), $MachinePrecision] * N[(N[(y$45$scale * b), $MachinePrecision] / N[(N[(Pi * N[(a$95$m + b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(b - a$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y-scale < -7.2000000000000003e141

   1. Initial program 20.4%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 20.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 37.5%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \left(\frac{y-scale}{x-scale}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 57.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 57.8%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0.5 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. unpow1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. pow-prod-up N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. pow-prod-down N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 69.1%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0.5 \cdot \left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}{\color{blue}{{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}^{0.5}} \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi} \]

   13. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + -1 \cdot \left({angle}^{2} \cdot \left(\frac{1}{1080} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale} + \frac{1}{360} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)\right)}{angle}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left({angle}^{2} \cdot \left(\frac{1}{1080} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale} + \frac{1}{360} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)\right) + -180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{angle}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left(\left(\frac{1}{1080} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale} + \frac{1}{360} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right) \cdot {angle}^{2}\right) + -180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{angle}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\left(-1 \cdot \left(\frac{1}{1080} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale} + \frac{1}{360} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)\right) \cdot {angle}^{2} + -180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{angle}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot \left(\frac{1}{1080} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale} + \frac{1}{360} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)\right) \cdot {angle}^{2} + -180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), angle\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   15. Simplified 63.2%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \pi} - \left(angle \cdot angle\right) \cdot \frac{\left(y-scale \cdot \pi\right) \cdot 0.003703703703703704}{x-scale}}{angle}\right)}}{\pi} \]

   if -7.2000000000000003e141 < y-scale < -7.19999999999999957e-146 or 2.8000000000000001e-306 < y-scale

   1. Initial program 19.5%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 18.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 30.8%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 52.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 52.3%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\left(y-scale \cdot \frac{1}{x-scale}\right) \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(y-scale \cdot \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{x-scale}\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. quot-tan N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \tan \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. tan-lowering-tan.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       13. PI-lowering-PI.f64 52.3%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 52.3%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\color{blue}{y-scale \cdot \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \frac{1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}\right)}{\pi} \]

   13. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \color{blue}{\left(\frac{-32400 \cdot \frac{{angle}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{34992000} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} - \frac{-1}{11664000} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}} + 180 \cdot \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}{angle}\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(-32400 \cdot \frac{{angle}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{34992000} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} - \frac{-1}{11664000} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}} + 180 \cdot \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right), angle\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   15. Simplified 48.7%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-y-scale \cdot \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \color{blue}{\frac{\left(-32400 \cdot \left(angle \cdot angle\right)\right) \cdot \frac{\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 5.7155921353452215 \cdot 10^{-8}\right)}{\pi \cdot \pi} + \frac{180}{\pi}}{angle}}\right)\right)}{\pi} \]

   if -7.19999999999999957e-146 < y-scale < 2.8000000000000001e-306

   1. Initial program 0.2%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(90 \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 0.8%

      \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{a \cdot a}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\left(angle \cdot \pi\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)}}{\pi} \]

   6. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{{b}^{2} \cdot y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot \left({b}^{2} \cdot y-scale\right)}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-180 \cdot \left({b}^{2} \cdot y-scale\right)\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \left({b}^{2} \cdot y-scale\right)\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(\left({b}^{2}\right), y-scale\right)\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(\left(b \cdot b\right), y-scale\right)\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), y-scale\right)\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), y-scale\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(x-scale \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), y-scale\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(\left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), y-scale\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), y-scale\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), y-scale\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), y-scale\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left({b}^{2}\right), \left({a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), y-scale\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(b \cdot b\right), \left({a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), y-scale\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left({a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), y-scale\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \left(a \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 23.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), y-scale\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(b, b\right), \mathsf{*.f64}\left(a, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 23.2%

      \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-180 \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot y-scale\right)}{angle \cdot \left(\left(x-scale \cdot \pi\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-180}{angle} \cdot \frac{\left(b \cdot b\right) \cdot y-scale}{\left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{-180}{angle}\right), \left(\frac{\left(b \cdot b\right) \cdot y-scale}{\left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-180, angle\right), \left(\frac{\left(b \cdot b\right) \cdot y-scale}{\left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-180, angle\right), \left(\frac{b \cdot \left(b \cdot y-scale\right)}{\left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-180, angle\right), \left(\frac{b \cdot \left(b \cdot y-scale\right)}{x-scale \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      6. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-180, angle\right), \left(\frac{b}{x-scale} \cdot \frac{b \cdot y-scale}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-180, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{b}{x-scale}\right), \left(\frac{b \cdot y-scale}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-180, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(b, x-scale\right), \left(\frac{b \cdot y-scale}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-180, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(b, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(b \cdot y-scale\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-180, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(b, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot b\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-180, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(b, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, b\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      12. difference-of-squares N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-180, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(b, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, b\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\left(b + a\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-180, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(b, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, b\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(b + a\right)\right) \cdot \left(b - a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-180, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(b, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(b + a\right)\right), \left(b - a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-180, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(b, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(b + a\right)\right), \left(b - a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      16. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-180, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(b, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(b + a\right)\right), \left(b - a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-180, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(b, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{+.f64}\left(b, a\right)\right), \left(b - a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

      18. --lowering--.f64 40.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(-180, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(b, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, b\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{+.f64}\left(b, a\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(b, a\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 40.0%

       \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-180}{angle} \cdot \left(\frac{b}{x-scale} \cdot \frac{y-scale \cdot b}{\left(\pi \cdot \left(b + a\right)\right) \cdot \left(b - a\right)}\right)\right)}}{\pi} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 49.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y-scale \leq -7.2 \cdot 10^{+141}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \pi} - \left(angle \cdot angle\right) \cdot \frac{\left(y-scale \cdot \pi\right) \cdot 0.003703703703703704}{x-scale}}{angle}\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;y-scale \leq -7.2 \cdot 10^{-146}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(y-scale \cdot \left(\frac{\left(-32400 \cdot \left(angle \cdot angle\right)\right) \cdot \frac{\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 5.7155921353452215 \cdot 10^{-8}\right)}{\pi \cdot \pi} + \frac{180}{\pi}}{angle} \cdot \frac{-1}{x-scale}\right)\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;y-scale \leq 2.8 \cdot 10^{-306}:\\ \;\;\;\;180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{-180}{angle} \cdot \left(\frac{b}{x-scale} \cdot \frac{y-scale \cdot b}{\left(\pi \cdot \left(a + b\right)\right) \cdot \left(b - a\right)}\right)\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(y-scale \cdot \left(\frac{\left(-32400 \cdot \left(angle \cdot angle\right)\right) \cdot \frac{\pi \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot 5.7155921353452215 \cdot 10^{-8}\right)}{\pi \cdot \pi} + \frac{180}{\pi}}{angle} \cdot \frac{-1}{x-scale}\right)\right)}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 38.9% accurate, 21.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{y-scale}{x-scale \cdot \pi}\\ \mathbf{if}\;y-scale \leq -4.5 \cdot 10^{+130}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{180}{angle}}{x-scale \cdot \pi} \cdot \left(0 - y-scale\right)\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;y-scale \leq 5.8 \cdot 10^{+80}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(angle \cdot angle\right) \cdot \left(\frac{y-scale \cdot \pi}{x-scale} \cdot \left(0 - -0.001851851851851852\right)\right) - 180 \cdot t\_0}{angle}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-180 \cdot t\_0 - \left(angle \cdot angle\right) \cdot \frac{\left(y-scale \cdot \pi\right) \cdot 0.003703703703703704}{x-scale}}{angle}\right)}{\pi}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ y-scale (* x-scale PI))))
   (if (<= y-scale -4.5e+130)
     (/
      (* 180.0 (atan (* (/ (/ 180.0 angle) (* x-scale PI)) (- 0.0 y-scale))))
      PI)
     (if (<= y-scale 5.8e+80)
       (/
        (*
         180.0
         (atan
          (/
           (-
            (*
             (* angle angle)
             (* (/ (* y-scale PI) x-scale) (- 0.0 -0.001851851851851852)))
            (* 180.0 t_0))
           angle)))
        PI)
       (/
        (*
         180.0
         (atan
          (/
           (-
            (* -180.0 t_0)
            (*
             (* angle angle)
             (/ (* (* y-scale PI) 0.003703703703703704) x-scale)))
           angle)))
        PI)))))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = y_45_scale / (x_45_scale * ((double) M_PI));
	double tmp;
	if (y_45_scale <= -4.5e+130) {
		tmp = (180.0 * atan((((180.0 / angle) / (x_45_scale * ((double) M_PI))) * (0.0 - y_45_scale)))) / ((double) M_PI);
	} else if (y_45_scale <= 5.8e+80) {
		tmp = (180.0 * atan(((((angle * angle) * (((y_45_scale * ((double) M_PI)) / x_45_scale) * (0.0 - -0.001851851851851852))) - (180.0 * t_0)) / angle))) / ((double) M_PI);
	} else {
		tmp = (180.0 * atan((((-180.0 * t_0) - ((angle * angle) * (((y_45_scale * ((double) M_PI)) * 0.003703703703703704) / x_45_scale))) / angle))) / ((double) M_PI);
	}
	return tmp;
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	double t_0 = y_45_scale / (x_45_scale * Math.PI);
	double tmp;
	if (y_45_scale <= -4.5e+130) {
		tmp = (180.0 * Math.atan((((180.0 / angle) / (x_45_scale * Math.PI)) * (0.0 - y_45_scale)))) / Math.PI;
	} else if (y_45_scale <= 5.8e+80) {
		tmp = (180.0 * Math.atan(((((angle * angle) * (((y_45_scale * Math.PI) / x_45_scale) * (0.0 - -0.001851851851851852))) - (180.0 * t_0)) / angle))) / Math.PI;
	} else {
		tmp = (180.0 * Math.atan((((-180.0 * t_0) - ((angle * angle) * (((y_45_scale * Math.PI) * 0.003703703703703704) / x_45_scale))) / angle))) / Math.PI;
	}
	return tmp;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	t_0 = y_45_scale / (x_45_scale * math.pi)
	tmp = 0
	if y_45_scale <= -4.5e+130:
		tmp = (180.0 * math.atan((((180.0 / angle) / (x_45_scale * math.pi)) * (0.0 - y_45_scale)))) / math.pi
	elif y_45_scale <= 5.8e+80:
		tmp = (180.0 * math.atan(((((angle * angle) * (((y_45_scale * math.pi) / x_45_scale) * (0.0 - -0.001851851851851852))) - (180.0 * t_0)) / angle))) / math.pi
	else:
		tmp = (180.0 * math.atan((((-180.0 * t_0) - ((angle * angle) * (((y_45_scale * math.pi) * 0.003703703703703704) / x_45_scale))) / angle))) / math.pi
	return tmp

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = Float64(y_45_scale / Float64(x_45_scale * pi))
	tmp = 0.0
	if (y_45_scale <= -4.5e+130)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(Float64(180.0 / angle) / Float64(x_45_scale * pi)) * Float64(0.0 - y_45_scale)))) / pi);
	elseif (y_45_scale <= 5.8e+80)
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(Float64(Float64(angle * angle) * Float64(Float64(Float64(y_45_scale * pi) / x_45_scale) * Float64(0.0 - -0.001851851851851852))) - Float64(180.0 * t_0)) / angle))) / pi);
	else
		tmp = Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(Float64(-180.0 * t_0) - Float64(Float64(angle * angle) * Float64(Float64(Float64(y_45_scale * pi) * 0.003703703703703704) / x_45_scale))) / angle))) / pi);
	end
	return tmp
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp_2 = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	t_0 = y_45_scale / (x_45_scale * pi);
	tmp = 0.0;
	if (y_45_scale <= -4.5e+130)
		tmp = (180.0 * atan((((180.0 / angle) / (x_45_scale * pi)) * (0.0 - y_45_scale)))) / pi;
	elseif (y_45_scale <= 5.8e+80)
		tmp = (180.0 * atan(((((angle * angle) * (((y_45_scale * pi) / x_45_scale) * (0.0 - -0.001851851851851852))) - (180.0 * t_0)) / angle))) / pi;
	else
		tmp = (180.0 * atan((((-180.0 * t_0) - ((angle * angle) * (((y_45_scale * pi) * 0.003703703703703704) / x_45_scale))) / angle))) / pi;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := Block[{t$95$0 = N[(y$45$scale / N[(x$45$scale * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$45$scale, -4.5e+130], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(N[(180.0 / angle), $MachinePrecision] / N[(x$45$scale * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$45$scale, 5.8e+80], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(N[(N[(angle * angle), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(y$45$scale * Pi), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision] * N[(0.0 - -0.001851851851851852), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(180.0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / angle), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision], N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(N[(-180.0 * t$95$0), $MachinePrecision] - N[(N[(angle * angle), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(y$45$scale * Pi), $MachinePrecision] * 0.003703703703703704), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / angle), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y-scale < -4.50000000000000039e130

   1. Initial program 22.7%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 22.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 36.5%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 59.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 59.0%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. times-frac N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\left(y-scale \cdot \frac{1}{x-scale}\right) \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(y-scale \cdot \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{x-scale}\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       7. clear-num N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       9. quot-tan N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \tan \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       10. tan-lowering-tan.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       13. PI-lowering-PI.f64 59.0%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 59.0%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\color{blue}{y-scale \cdot \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \frac{1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}\right)}{\pi} \]

   13. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \color{blue}{\left(\frac{180}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \left(\frac{\frac{180}{angle}}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{180}{angle}\right), \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(180, angle\right), \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(180, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. PI-lowering-PI.f64 62.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(180, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   15. Simplified 62.3%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-y-scale \cdot \color{blue}{\frac{\frac{180}{angle}}{x-scale \cdot \pi}}\right)}{\pi} \]

   if -4.50000000000000039e130 < y-scale < 5.79999999999999971e80

   1. Initial program 11.7%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 9.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 22.4%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in x-scale around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      5. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      10. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f64 45.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 45.5%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   11. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + {angle}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{360} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale} - \frac{-1}{1080} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)}{angle}\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + {angle}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{360} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale} - \frac{-1}{1080} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)\right), angle\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   13. Simplified 41.5%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\color{blue}{\frac{180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \pi} + \left(angle \cdot angle\right) \cdot \left(\frac{y-scale \cdot \pi}{x-scale} \cdot -0.001851851851851852\right)}{angle}}\right)}{\pi} \]

   if 5.79999999999999971e80 < y-scale

   1. Initial program 29.0%

      \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

   3. Simplified 30.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in b around inf

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. Simplified 37.6%

      \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

   8. Taylor expanded in angle around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \left(\frac{y-scale}{x-scale}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 55.8%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. Simplified 55.8%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0.5 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. unpow1 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. pow-prod-up N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. pow-prod-down N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       6. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 60.4%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0.5 \cdot \left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}{\color{blue}{{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}^{0.5}} \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi} \]

   13. Taylor expanded in angle around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + -1 \cdot \left({angle}^{2} \cdot \left(\frac{1}{1080} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale} + \frac{1}{360} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)\right)}{angle}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left({angle}^{2} \cdot \left(\frac{1}{1080} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale} + \frac{1}{360} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)\right) + -180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{angle}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left(\left(\frac{1}{1080} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale} + \frac{1}{360} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right) \cdot {angle}^{2}\right) + -180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{angle}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       3. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\left(-1 \cdot \left(\frac{1}{1080} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale} + \frac{1}{360} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)\right) \cdot {angle}^{2} + -180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{angle}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot \left(\frac{1}{1080} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale} + \frac{1}{360} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)\right) \cdot {angle}^{2} + -180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), angle\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   15. Simplified 55.2%

       \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \pi} - \left(angle \cdot angle\right) \cdot \frac{\left(y-scale \cdot \pi\right) \cdot 0.003703703703703704}{x-scale}}{angle}\right)}}{\pi} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 47.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y-scale \leq -4.5 \cdot 10^{+130}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{180}{angle}}{x-scale \cdot \pi} \cdot \left(0 - y-scale\right)\right)}{\pi}\\ \mathbf{elif}\;y-scale \leq 5.8 \cdot 10^{+80}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(angle \cdot angle\right) \cdot \left(\frac{y-scale \cdot \pi}{x-scale} \cdot \left(0 - -0.001851851851851852\right)\right) - 180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \pi}}{angle}\right)}{\pi}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \pi} - \left(angle \cdot angle\right) \cdot \frac{\left(y-scale \cdot \pi\right) \cdot 0.003703703703703704}{x-scale}}{angle}\right)}{\pi}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 39.4% accurate, 23.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{-180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \pi} - \left(angle \cdot angle\right) \cdot \frac{\left(y-scale \cdot \pi\right) \cdot 0.003703703703703704}{x-scale}}{angle}\right)}{\pi} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (/
  (*
   180.0
   (atan
    (/
     (-
      (* -180.0 (/ y-scale (* x-scale PI)))
      (* (* angle angle) (/ (* (* y-scale PI) 0.003703703703703704) x-scale)))
     angle)))
  PI))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return (180.0 * atan((((-180.0 * (y_45_scale / (x_45_scale * ((double) M_PI)))) - ((angle * angle) * (((y_45_scale * ((double) M_PI)) * 0.003703703703703704) / x_45_scale))) / angle))) / ((double) M_PI);
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return (180.0 * Math.atan((((-180.0 * (y_45_scale / (x_45_scale * Math.PI))) - ((angle * angle) * (((y_45_scale * Math.PI) * 0.003703703703703704) / x_45_scale))) / angle))) / Math.PI;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	return (180.0 * math.atan((((-180.0 * (y_45_scale / (x_45_scale * math.pi))) - ((angle * angle) * (((y_45_scale * math.pi) * 0.003703703703703704) / x_45_scale))) / angle))) / math.pi

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	return Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(Float64(-180.0 * Float64(y_45_scale / Float64(x_45_scale * pi))) - Float64(Float64(angle * angle) * Float64(Float64(Float64(y_45_scale * pi) * 0.003703703703703704) / x_45_scale))) / angle))) / pi)
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = (180.0 * atan((((-180.0 * (y_45_scale / (x_45_scale * pi))) - ((angle * angle) * (((y_45_scale * pi) * 0.003703703703703704) / x_45_scale))) / angle))) / pi;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(N[(-180.0 * N[(y$45$scale / N[(x$45$scale * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(angle * angle), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(y$45$scale * Pi), $MachinePrecision] * 0.003703703703703704), $MachinePrecision] / x$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / angle), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 17.2%

   \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

3. Simplified 16.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

7. Simplified 27.9%

   \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

8. Taylor expanded in angle around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \left(\frac{y-scale}{x-scale}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 51.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

10. Simplified 51.1%

    \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0.5 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi} \]
11. Step-by-step derivation

    1. unpow1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    3. pow-prod-up N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot {\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    4. pow-prod-down N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    6. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 52.8%

    \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0.5 \cdot \left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}{\color{blue}{{\left(0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}^{0.5}} \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi} \]

13. Taylor expanded in angle around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + -1 \cdot \left({angle}^{2} \cdot \left(\frac{1}{1080} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale} + \frac{1}{360} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)\right)}{angle}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left({angle}^{2} \cdot \left(\frac{1}{1080} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale} + \frac{1}{360} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)\right) + -180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{angle}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot \left(\left(\frac{1}{1080} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale} + \frac{1}{360} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right) \cdot {angle}^{2}\right) + -180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{angle}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{\left(-1 \cdot \left(\frac{1}{1080} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale} + \frac{1}{360} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)\right) \cdot {angle}^{2} + -180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{angle}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(-1 \cdot \left(\frac{1}{1080} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale} + \frac{1}{360} \cdot \frac{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{x-scale}\right)\right) \cdot {angle}^{2} + -180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), angle\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

15. Simplified 43.6%

    \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-180 \cdot \frac{y-scale}{x-scale \cdot \pi} - \left(angle \cdot angle\right) \cdot \frac{\left(y-scale \cdot \pi\right) \cdot 0.003703703703703704}{x-scale}}{angle}\right)}}{\pi} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 12: 37.7% accurate, 25.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{180}{angle}}{x-scale \cdot \pi} \cdot \left(0 - y-scale\right)\right)}{\pi} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (/
  (* 180.0 (atan (* (/ (/ 180.0 angle) (* x-scale PI)) (- 0.0 y-scale))))
  PI))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return (180.0 * atan((((180.0 / angle) / (x_45_scale * ((double) M_PI))) * (0.0 - y_45_scale)))) / ((double) M_PI);
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return (180.0 * Math.atan((((180.0 / angle) / (x_45_scale * Math.PI)) * (0.0 - y_45_scale)))) / Math.PI;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	return (180.0 * math.atan((((180.0 / angle) / (x_45_scale * math.pi)) * (0.0 - y_45_scale)))) / math.pi

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	return Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(Float64(Float64(180.0 / angle) / Float64(x_45_scale * pi)) * Float64(0.0 - y_45_scale)))) / pi)
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = (180.0 * atan((((180.0 / angle) / (x_45_scale * pi)) * (0.0 - y_45_scale)))) / pi;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(N[(N[(180.0 / angle), $MachinePrecision] / N[(x$45$scale * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$45$scale), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 17.2%

   \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

3. Simplified 16.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

7. Simplified 27.9%

   \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

8. Taylor expanded in x-scale around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(y-scale \cdot \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(x-scale \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   10. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f64 49.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

10. Simplified 49.7%

    \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-\frac{y-scale \cdot \cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}{x-scale \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]
11. Step-by-step derivation

    1. times-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\frac{y-scale}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    2. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(\left(y-scale \cdot \frac{1}{x-scale}\right) \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    3. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(y-scale \cdot \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{x-scale}\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \left(\frac{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    7. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \left(\frac{1}{\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    8. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\frac{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    9. quot-tan N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \tan \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    10. tan-lowering-tan.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f64 49.7%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x-scale\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{tan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 49.7%

    \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-\color{blue}{y-scale \cdot \left(\frac{1}{x-scale} \cdot \frac{1}{\tan \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}\right)}{\pi} \]

13. Taylor expanded in angle around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \color{blue}{\left(\frac{180}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \left(\frac{\frac{180}{angle}}{x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{180}{angle}\right), \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(180, angle\right), \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(180, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    5. PI-lowering-PI.f64 41.8%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(180, angle\right), \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

15. Simplified 41.8%

    \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-y-scale \cdot \color{blue}{\frac{\frac{180}{angle}}{x-scale \cdot \pi}}\right)}{\pi} \]

16. Final simplification 41.8%

    \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\frac{180}{angle}}{x-scale \cdot \pi} \cdot \left(0 - y-scale\right)\right)}{\pi} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 13: 37.7% accurate, 26.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \pi\right)}\right)}{\pi} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (/ (* 180.0 (atan (* -180.0 (/ y-scale (* angle (* x-scale PI)))))) PI))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return (180.0 * atan((-180.0 * (y_45_scale / (angle * (x_45_scale * ((double) M_PI))))))) / ((double) M_PI);
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return (180.0 * Math.atan((-180.0 * (y_45_scale / (angle * (x_45_scale * Math.PI)))))) / Math.PI;
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	return (180.0 * math.atan((-180.0 * (y_45_scale / (angle * (x_45_scale * math.pi)))))) / math.pi

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	return Float64(Float64(180.0 * atan(Float64(-180.0 * Float64(y_45_scale / Float64(angle * Float64(x_45_scale * pi)))))) / pi)
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = (180.0 * atan((-180.0 * (y_45_scale / (angle * (x_45_scale * pi)))))) / pi;
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := N[(N[(180.0 * N[ArcTan[N[(-180.0 * N[(y$45$scale / N[(angle * N[(x$45$scale * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 17.2%

   \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]

3. Simplified 16.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale}\right) - \mathsf{hypot}\left(\frac{{\left(a \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot b\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\left(a \cdot \cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}, \left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}\right)}{\left(\cos \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right) \cdot \sin \left(angle \cdot \frac{\pi}{180}\right)\right) \cdot \frac{\left(b - a\right) \cdot \left(2 \cdot \left(a + b\right)\right)}{y-scale \cdot x-scale}}\right)}{\pi}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in b around inf

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(\frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}} - \left(\sqrt{4 \cdot \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2} \cdot {\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2} \cdot {y-scale}^{2}} + {\left(\frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}} - \frac{{\sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{y-scale}^{2}}\right)}^{2}} + \frac{{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{180} \cdot \left(angle \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

7. Simplified 27.9%

   \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(\frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale} - \left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} + \sqrt{4 \cdot \left({\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2} \cdot \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{\left(x-scale \cdot x-scale\right) \cdot \left(y-scale \cdot y-scale\right)}\right) + {\left(\frac{{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale \cdot x-scale} - \frac{{\sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale \cdot y-scale}\right)}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}}{\pi} \]

8. Taylor expanded in angle around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \left(\frac{y-scale}{x-scale}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 51.1%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, x-scale\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{180}, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

10. Simplified 51.1%

    \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \left(\frac{0.5 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{y-scale}{x-scale}\right)}}{\cos \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(0.005555555555555556 \cdot \left(angle \cdot \pi\right)\right)}\right)}{\pi} \]

11. Taylor expanded in angle around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \left(\frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    2. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

    5. PI-lowering-PI.f64 41.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, \mathsf{/.f64}\left(y-scale, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right) \]

13. Simplified 41.7%

    \[\leadsto \frac{180 \cdot \tan^{-1} \color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \pi\right)}\right)}}{\pi} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 14: 37.7% accurate, 26.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot -180}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \pi\right)}\right)}{\pi} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (* 180.0 (/ (atan (/ (* y-scale -180.0) (* angle (* x-scale PI)))) PI)))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (x_45_scale * ((double) M_PI))))) / ((double) M_PI));
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (Math.atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (x_45_scale * Math.PI)))) / Math.PI);
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	return 180.0 * (math.atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (x_45_scale * math.pi)))) / math.pi)

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	return Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(Float64(y_45_scale * -180.0) / Float64(angle * Float64(x_45_scale * pi)))) / pi))
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 180.0 * (atan(((y_45_scale * -180.0) / (angle * (x_45_scale * pi)))) / pi);
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(N[(y$45$scale * -180.0), $MachinePrecision] / N[(angle * N[(x$45$scale * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 17.2%

   \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in angle around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(90 \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

5. Simplified 12.7%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{a \cdot a}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\left(angle \cdot \pi\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)}}{\pi} \]

6. Taylor expanded in a around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-180 \cdot y-scale\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \left(angle \cdot \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(x-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f64 41.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, y-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

8. Simplified 41.7%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-180 \cdot y-scale}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \pi\right)}\right)}}{\pi} \]

9. Final simplification 41.7%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{y-scale \cdot -180}{angle \cdot \left(x-scale \cdot \pi\right)}\right)}{\pi} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 15: 11.8% accurate, 26.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{x-scale}{angle} \cdot \frac{-180}{y-scale \cdot \pi}\right)}{\pi} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (* 180.0 (/ (atan (* (/ x-scale angle) (/ -180.0 (* y-scale PI)))) PI)))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (atan(((x_45_scale / angle) * (-180.0 / (y_45_scale * ((double) M_PI))))) / ((double) M_PI));
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (Math.atan(((x_45_scale / angle) * (-180.0 / (y_45_scale * Math.PI)))) / Math.PI);
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	return 180.0 * (math.atan(((x_45_scale / angle) * (-180.0 / (y_45_scale * math.pi)))) / math.pi)

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	return Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(Float64(x_45_scale / angle) * Float64(-180.0 / Float64(y_45_scale * pi)))) / pi))
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 180.0 * (atan(((x_45_scale / angle) * (-180.0 / (y_45_scale * pi)))) / pi);
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(N[(x$45$scale / angle), $MachinePrecision] * N[(-180.0 / N[(y$45$scale * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 17.2%

   \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in angle around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(90 \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

5. Simplified 12.7%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{a \cdot a}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\left(angle \cdot \pi\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)}}{\pi} \]

6. Taylor expanded in a around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{x-scale}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot x-scale}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-180 \cdot x-scale\right), \left(angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, x-scale\right), \left(angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, x-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, x-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f64 16.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, x-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

8. Simplified 16.5%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-180 \cdot x-scale}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \pi\right)}\right)}}{\pi} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{x-scale \cdot -180}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{x-scale}{angle} \cdot \frac{-180}{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{x-scale}{angle}\right), \left(\frac{-180}{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(x-scale, angle\right), \left(\frac{-180}{y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(x-scale, angle\right), \mathsf{/.f64}\left(-180, \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(x-scale, angle\right), \mathsf{/.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 16.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(x-scale, angle\right), \mathsf{/.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 16.5%

    \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{x-scale}{angle} \cdot \frac{-180}{y-scale \cdot \pi}\right)}}{\pi} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 16: 11.8% accurate, 26.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} a_m = \left|a\right| \\ 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(x-scale \cdot \frac{-180}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \pi\right)}\right)}{\pi} \end{array} \]

FPCore

a_m = (fabs.f64 a)
(FPCore (a_m b angle x-scale y-scale)
 :precision binary64
 (* 180.0 (/ (atan (* x-scale (/ -180.0 (* angle (* y-scale PI))))) PI)))

C

a_m = fabs(a);
double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (atan((x_45_scale * (-180.0 / (angle * (y_45_scale * ((double) M_PI)))))) / ((double) M_PI));
}

Java

a_m = Math.abs(a);
public static double code(double a_m, double b, double angle, double x_45_scale, double y_45_scale) {
	return 180.0 * (Math.atan((x_45_scale * (-180.0 / (angle * (y_45_scale * Math.PI))))) / Math.PI);
}

Python

a_m = math.fabs(a)
def code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale):
	return 180.0 * (math.atan((x_45_scale * (-180.0 / (angle * (y_45_scale * math.pi))))) / math.pi)

Julia

a_m = abs(a)
function code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	return Float64(180.0 * Float64(atan(Float64(x_45_scale * Float64(-180.0 / Float64(angle * Float64(y_45_scale * pi))))) / pi))
end

MATLAB

a_m = abs(a);
function tmp = code(a_m, b, angle, x_45_scale, y_45_scale)
	tmp = 180.0 * (atan((x_45_scale * (-180.0 / (angle * (y_45_scale * pi))))) / pi);
end

Wolfram

a_m = N[Abs[a], $MachinePrecision]
code[a$95$m_, b_, angle_, x$45$scale_, y$45$scale_] := N[(180.0 * N[(N[ArcTan[N[(x$45$scale * N[(-180.0 / N[(angle * N[(y$45$scale * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 17.2%

   \[180 \cdot \frac{\tan^{-1} \left(\frac{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale}\right) - \sqrt{{\left(\frac{\frac{{\left(a \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{x-scale}}{x-scale} - \frac{\frac{{\left(a \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2} + {\left(b \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right)}^{2}}{y-scale}}{y-scale}\right)}^{2} + {\left(\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}\right)}^{2}}}{\frac{\frac{\left(\left(2 \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{angle}{180} \cdot \pi\right)}{x-scale}}{y-scale}}\right)}{\pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in angle around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(90 \cdot \frac{x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)}{angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(90 \cdot \left(x-scale \cdot \left(y-scale \cdot \left(2 \cdot \frac{{a}^{2}}{{y-scale}^{2}} - 2 \cdot \frac{{b}^{2}}{{x-scale}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(angle \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left({b}^{2} - {a}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

5. Simplified 12.7%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{90 \cdot \left(\left(x-scale \cdot y-scale\right) \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{a \cdot a}{y-scale \cdot y-scale} - \frac{b \cdot b}{x-scale \cdot x-scale}\right)\right)\right)}{\left(angle \cdot \pi\right) \cdot \left(b \cdot b - a \cdot a\right)}\right)}}{\pi} \]

6. Taylor expanded in a around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\color{blue}{\left(-180 \cdot \frac{x-scale}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{-180 \cdot x-scale}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(-180 \cdot x-scale\right), \left(angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, x-scale\right), \left(angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, x-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, x-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f64 16.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(-180, x-scale\right), \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

8. Simplified 16.5%

   \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(\frac{-180 \cdot x-scale}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \pi\right)}\right)}}{\pi} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(\frac{x-scale \cdot -180}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   2. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\left(x-scale \cdot \frac{-180}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, \left(\frac{-180}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{/.f64}\left(-180, \left(angle \cdot \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{/.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(angle, \left(y-scale \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{/.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f64 16.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(180, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{atan.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x-scale, \mathsf{/.f64}\left(-180, \mathsf{*.f64}\left(angle, \mathsf{*.f64}\left(y-scale, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 16.5%

    \[\leadsto 180 \cdot \frac{\tan^{-1} \color{blue}{\left(x-scale \cdot \frac{-180}{angle \cdot \left(y-scale \cdot \pi\right)}\right)}}{\pi} \]
11. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (a b angle x-scale y-scale)
  :name "raw-angle from scale-rotated-ellipse"
  :precision binary64
  (* 180.0 (/ (atan (/ (- (- (/ (/ (+ (pow (* a (cos (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0) (pow (* b (sin (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0)) y-scale) y-scale) (/ (/ (+ (pow (* a (sin (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0) (pow (* b (cos (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0)) x-scale) x-scale)) (sqrt (+ (pow (- (/ (/ (+ (pow (* a (sin (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0) (pow (* b (cos (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0)) x-scale) x-scale) (/ (/ (+ (pow (* a (cos (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0) (pow (* b (sin (* (/ angle 180.0) PI))) 2.0)) y-scale) y-scale)) 2.0) (pow (/ (/ (* (* (* 2.0 (- (pow b 2.0) (pow a 2.0))) (sin (* (/ angle 180.0) PI))) (cos (* (/ angle 180.0) PI))) x-scale) y-scale) 2.0)))) (/ (/ (* (* (* 2.0 (- (pow b 2.0) (pow a 2.0))) (sin (* (/ angle 180.0) PI))) (cos (* (/ angle 180.0) PI))) x-scale) y-scale))) PI)))