math.sin on complex, real part

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 10.7s

Alternatives: 19

Speedup: 1.5×

• 48.8% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (+ (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp((0.0 - im)) + exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp((0.0d0 - im)) + exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) + Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp((0.0 - im)) + math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) + exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp((0.0 - im)) + exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (+ (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp((0.0 - im)) + exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp((0.0d0 - im)) + exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) + Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp((0.0 - im)) + math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) + exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp((0.0 - im)) + exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin re \cdot \cosh im \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 (* (sin re) (cosh im)))

C

double code(double re, double im) {
	return sin(re) * cosh(im);
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = sin(re) * cosh(im)
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return Math.sin(re) * Math.cosh(im);
}

Python

def code(re, im):
	return math.sin(re) * math.cosh(im)

Julia

function code(re, im)
	return Float64(sin(re) * cosh(im))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = sin(re) * cosh(im);
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

   6. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

   7. cosh-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

   10. exp-0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   12. exp-0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

   13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

   14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

   3. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

   5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]
7. Add Preprocessing

Alternative 2: 75.7% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\\ t_1 := \left(im \cdot im\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{if}\;im \leq 7 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(t\_0 \cdot t\_1\right) + -1}{t\_1 + -1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          0.5
          (*
           (* im im)
           (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889)))))
        (t_1 (* (* im im) t_0)))
   (if (<= im 7e+51)
     (* (sin re) (/ (+ (* (* im im) (* t_0 t_1)) -1.0) (+ t_1 -1.0)))
     (*
      (sin re)
      (+
       1.0
       (*
        (* im im)
        (+
         0.5
         (*
          (* im im)
          (+ 0.041666666666666664 (* im (* im 0.001388888888888889)))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)));
	double t_1 = (im * im) * t_0;
	double tmp;
	if (im <= 7e+51) {
		tmp = sin(re) * ((((im * im) * (t_0 * t_1)) + -1.0) / (t_1 + -1.0));
	} else {
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + (im * (im * 0.001388888888888889)))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 + ((im * im) * (0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0)))
    t_1 = (im * im) * t_0
    if (im <= 7d+51) then
        tmp = sin(re) * ((((im * im) * (t_0 * t_1)) + (-1.0d0)) / (t_1 + (-1.0d0)))
    else
        tmp = sin(re) * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + ((im * im) * (0.041666666666666664d0 + (im * (im * 0.001388888888888889d0)))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)));
	double t_1 = (im * im) * t_0;
	double tmp;
	if (im <= 7e+51) {
		tmp = Math.sin(re) * ((((im * im) * (t_0 * t_1)) + -1.0) / (t_1 + -1.0));
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + (im * (im * 0.001388888888888889)))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = 0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))
	t_1 = (im * im) * t_0
	tmp = 0
	if im <= 7e+51:
		tmp = math.sin(re) * ((((im * im) * (t_0 * t_1)) + -1.0) / (t_1 + -1.0))
	else:
		tmp = math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + (im * (im * 0.001388888888888889)))))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))))
	t_1 = Float64(Float64(im * im) * t_0)
	tmp = 0.0
	if (im <= 7e+51)
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(t_0 * t_1)) + -1.0) / Float64(t_1 + -1.0)));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.041666666666666664 + Float64(im * Float64(im * 0.001388888888888889))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = 0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)));
	t_1 = (im * im) * t_0;
	tmp = 0.0;
	if (im <= 7e+51)
		tmp = sin(re) * ((((im * im) * (t_0 * t_1)) + -1.0) / (t_1 + -1.0));
	else
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + (im * (im * 0.001388888888888889)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 7e+51], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision] / N[(t$95$1 + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.041666666666666664 + N[(im * N[(im * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 7e51

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]

   5. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 92.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   7. Simplified 92.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \cdot \sin re \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right) + 1\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      2. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right) - 1 \cdot 1}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right) - 1}\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right) - 1 \cdot 1\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right) - 1\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 70.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right) - 1}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right) - 1}} \cdot \sin re \]

   if 7e51 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]

   5. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \cdot \sin re \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 75.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 7 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right) + -1}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right) + -1}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 78.9% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 0.43:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 0.43)
   (*
    (cosh im)
    (*
     re
     (+
      1.0
      (*
       (* re re)
       (+
        -0.16666666666666666
        (*
         re
         (*
          re
          (+ 0.008333333333333333 (* (* re re) -0.0001984126984126984)))))))))
   (*
    (sin re)
    (+
     1.0
     (*
      (* im im)
      (+
       0.5
       (*
        (* im im)
        (+ 0.041666666666666664 (* im (* im 0.001388888888888889))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 0.43) {
		tmp = cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666 + (re * (re * (0.008333333333333333 + ((re * re) * -0.0001984126984126984))))))));
	} else {
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + (im * (im * 0.001388888888888889)))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 0.43d0) then
        tmp = cosh(im) * (re * (1.0d0 + ((re * re) * ((-0.16666666666666666d0) + (re * (re * (0.008333333333333333d0 + ((re * re) * (-0.0001984126984126984d0)))))))))
    else
        tmp = sin(re) * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + ((im * im) * (0.041666666666666664d0 + (im * (im * 0.001388888888888889d0)))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 0.43) {
		tmp = Math.cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666 + (re * (re * (0.008333333333333333 + ((re * re) * -0.0001984126984126984))))))));
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + (im * (im * 0.001388888888888889)))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 0.43:
		tmp = math.cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666 + (re * (re * (0.008333333333333333 + ((re * re) * -0.0001984126984126984))))))))
	else:
		tmp = math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + (im * (im * 0.001388888888888889)))))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 0.43)
		tmp = Float64(cosh(im) * Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(re * Float64(re * Float64(0.008333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * -0.0001984126984126984)))))))));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.041666666666666664 + Float64(im * Float64(im * 0.001388888888888889))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 0.43)
		tmp = cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666 + (re * (re * (0.008333333333333333 + ((re * re) * -0.0001984126984126984))))))));
	else
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + (im * (im * 0.001388888888888889)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 0.43], N[(N[Cosh[im], $MachinePrecision] * N[(re * N[(1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(re * N[(re * N[(0.008333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.041666666666666664 + N[(im * N[(im * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 0.429999999999999993

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(\color{blue}{im}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{6} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left(\frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 68.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   9. Simplified 68.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \cosh im \]

   if 0.429999999999999993 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]

   5. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 96.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   7. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \cdot \sin re \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 75.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 0.43:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 79.7% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 0.43:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 0.43)
   (*
    (cosh im)
    (*
     re
     (+
      1.0
      (*
       (* re re)
       (+ -0.16666666666666666 (* (* re re) 0.008333333333333333))))))
   (*
    (sin re)
    (+
     1.0
     (*
      (* im im)
      (+
       0.5
       (*
        (* im im)
        (+ 0.041666666666666664 (* im (* im 0.001388888888888889))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 0.43) {
		tmp = cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.008333333333333333)))));
	} else {
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + (im * (im * 0.001388888888888889)))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 0.43d0) then
        tmp = cosh(im) * (re * (1.0d0 + ((re * re) * ((-0.16666666666666666d0) + ((re * re) * 0.008333333333333333d0)))))
    else
        tmp = sin(re) * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + ((im * im) * (0.041666666666666664d0 + (im * (im * 0.001388888888888889d0)))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 0.43) {
		tmp = Math.cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.008333333333333333)))));
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + (im * (im * 0.001388888888888889)))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 0.43:
		tmp = math.cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.008333333333333333)))))
	else:
		tmp = math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + (im * (im * 0.001388888888888889)))))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 0.43)
		tmp = Float64(cosh(im) * Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.16666666666666666 + Float64(Float64(re * re) * 0.008333333333333333))))));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.041666666666666664 + Float64(im * Float64(im * 0.001388888888888889))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 0.43)
		tmp = cosh(im) * (re * (1.0 + ((re * re) * (-0.16666666666666666 + ((re * re) * 0.008333333333333333)))));
	else
		tmp = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + (im * (im * 0.001388888888888889)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 0.43], N[(N[Cosh[im], $MachinePrecision] * N[(re * N[(1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.16666666666666666 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.041666666666666664 + N[(im * N[(im * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 0.429999999999999993

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right)}\right) \]

      3. sin-lowering-sin.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{1} \cdot \cosh im\right)\right) \]

      4. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \cosh im\right) \]

      5. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \cosh im} \]

   7. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(\color{blue}{im}\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{6} + \frac{1}{120} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(\frac{1}{120} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 71.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{120}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   9. Simplified 71.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)} \cdot \cosh im \]

   if 0.429999999999999993 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]

   5. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      12. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 96.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   7. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \cdot \sin re \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 76.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 0.43:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(re \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.008333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 92.2% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 135:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.5 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (sin re)
          (+ 1.0 (* (* im im) (+ 0.5 (* im (* im 0.041666666666666664))))))))
   (if (<= im 135.0) t_0 (if (<= im 2.5e+77) (* re (cosh im)) t_0))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))));
	double tmp;
	if (im <= 135.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 2.5e+77) {
		tmp = re * cosh(im);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sin(re) * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + (im * (im * 0.041666666666666664d0)))))
    if (im <= 135.0d0) then
        tmp = t_0
    else if (im <= 2.5d+77) then
        tmp = re * cosh(im)
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = Math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))));
	double tmp;
	if (im <= 135.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 2.5e+77) {
		tmp = re * Math.cosh(im);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = math.sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))))
	tmp = 0
	if im <= 135.0:
		tmp = t_0
	elif im <= 2.5e+77:
		tmp = re * math.cosh(im)
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(sin(re) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * 0.041666666666666664))))))
	tmp = 0.0
	if (im <= 135.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 2.5e+77)
		tmp = Float64(re * cosh(im));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = sin(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))));
	tmp = 0.0;
	if (im <= 135.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 2.5e+77)
		tmp = re * cosh(im);
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(im * N[(im * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 135.0], t$95$0, If[LessEqual[im, 2.5e+77], N[(re * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 135 or 2.50000000000000002e77 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 94.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]

   if 135 < im < 2.50000000000000002e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \color{blue}{re}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 90.9%

      \[\leadsto \left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{re} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cosh im, re\right) \]

      2. cosh-lowering-cosh.f64 90.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cosh.f64}\left(im\right), re\right) \]

   9. Applied egg-rr 90.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\cosh im} \cdot re \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 135:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.5 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 84.0% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 135:\\ \;\;\;\;\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6 \cdot 10^{+144}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.5\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 135.0)
   (* (* (sin re) 0.5) (+ (* im im) 2.0))
   (if (<= im 6e+144) (* re (cosh im)) (* (sin re) (* (* im im) 0.5)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 135.0) {
		tmp = (sin(re) * 0.5) * ((im * im) + 2.0);
	} else if (im <= 6e+144) {
		tmp = re * cosh(im);
	} else {
		tmp = sin(re) * ((im * im) * 0.5);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 135.0d0) then
        tmp = (sin(re) * 0.5d0) * ((im * im) + 2.0d0)
    else if (im <= 6d+144) then
        tmp = re * cosh(im)
    else
        tmp = sin(re) * ((im * im) * 0.5d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 135.0) {
		tmp = (Math.sin(re) * 0.5) * ((im * im) + 2.0);
	} else if (im <= 6e+144) {
		tmp = re * Math.cosh(im);
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * ((im * im) * 0.5);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 135.0:
		tmp = (math.sin(re) * 0.5) * ((im * im) + 2.0)
	elif im <= 6e+144:
		tmp = re * math.cosh(im)
	else:
		tmp = math.sin(re) * ((im * im) * 0.5)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 135.0)
		tmp = Float64(Float64(sin(re) * 0.5) * Float64(Float64(im * im) + 2.0));
	elseif (im <= 6e+144)
		tmp = Float64(re * cosh(im));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(im * im) * 0.5));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 135.0)
		tmp = (sin(re) * 0.5) * ((im * im) + 2.0);
	elseif (im <= 6e+144)
		tmp = re * cosh(im);
	else
		tmp = sin(re) * ((im * im) * 0.5);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 135.0], N[(N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 6e+144], N[(re * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 135

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 84.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 84.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \]

   if 135 < im < 5.9999999999999998e144

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \color{blue}{re}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 78.6%

      \[\leadsto \left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{re} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cosh im, re\right) \]

      2. cosh-lowering-cosh.f64 78.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cosh.f64}\left(im\right), re\right) \]

   9. Applied egg-rr 78.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\cosh im} \cdot re \]

   if 5.9999999999999998e144 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]

   5. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \cdot \sin re \]

   8. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \cdot \sin re \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 84.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 135:\\ \;\;\;\;\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6 \cdot 10^{+144}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.5\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 71.7% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 135:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6 \cdot 10^{+144}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.5\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 135.0)
   (sin re)
   (if (<= im 6e+144) (* re (cosh im)) (* (sin re) (* (* im im) 0.5)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 135.0) {
		tmp = sin(re);
	} else if (im <= 6e+144) {
		tmp = re * cosh(im);
	} else {
		tmp = sin(re) * ((im * im) * 0.5);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 135.0d0) then
        tmp = sin(re)
    else if (im <= 6d+144) then
        tmp = re * cosh(im)
    else
        tmp = sin(re) * ((im * im) * 0.5d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 135.0) {
		tmp = Math.sin(re);
	} else if (im <= 6e+144) {
		tmp = re * Math.cosh(im);
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * ((im * im) * 0.5);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 135.0:
		tmp = math.sin(re)
	elif im <= 6e+144:
		tmp = re * math.cosh(im)
	else:
		tmp = math.sin(re) * ((im * im) * 0.5)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 135.0)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 6e+144)
		tmp = Float64(re * cosh(im));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(im * im) * 0.5));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 135.0)
		tmp = sin(re);
	elseif (im <= 6e+144)
		tmp = re * cosh(im);
	else
		tmp = sin(re) * ((im * im) * 0.5);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 135.0], N[Sin[re], $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 6e+144], N[(re * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 135

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 68.5%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 68.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   if 135 < im < 5.9999999999999998e144

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \color{blue}{re}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 78.6%

      \[\leadsto \left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{re} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cosh im, re\right) \]

      2. cosh-lowering-cosh.f64 78.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cosh.f64}\left(im\right), re\right) \]

   9. Applied egg-rr 78.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\cosh im} \cdot re \]

   if 5.9999999999999998e144 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]

   5. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \cdot \sin re \]

   8. Taylor expanded in im around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2}\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \cdot \sin re \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 72.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 135:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6 \cdot 10^{+144}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.5\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 69.2% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 135:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 135.0) (sin re) (* re (cosh im))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 135.0) {
		tmp = sin(re);
	} else {
		tmp = re * cosh(im);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 135.0d0) then
        tmp = sin(re)
    else
        tmp = re * cosh(im)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 135.0) {
		tmp = Math.sin(re);
	} else {
		tmp = re * Math.cosh(im);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 135.0:
		tmp = math.sin(re)
	else:
		tmp = re * math.cosh(im)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 135.0)
		tmp = sin(re);
	else
		tmp = Float64(re * cosh(im));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 135.0)
		tmp = sin(re);
	else
		tmp = re * cosh(im);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 135.0], N[Sin[re], $MachinePrecision], N[(re * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 135

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 68.5%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 68.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   if 135 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \color{blue}{re}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 74.0%

      \[\leadsto \left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{re} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cosh im, re\right) \]

      2. cosh-lowering-cosh.f64 74.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cosh.f64}\left(im\right), re\right) \]

   9. Applied egg-rr 74.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cosh im} \cdot re \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 69.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 135:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \cosh im\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 66.9% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 580:\\ \;\;\;\;\sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 580.0)
   (sin re)
   (*
    (*
     re
     (+
      0.5
      (*
       re
       (*
        re
        (+
         -0.08333333333333333
         (*
          (* re re)
          (+ 0.004166666666666667 (* (* re re) -9.92063492063492e-5))))))))
    (+
     2.0
     (*
      (* im im)
      (+
       1.0
       (*
        (* im im)
        (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778)))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 580.0) {
		tmp = sin(re);
	} else {
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 580.0d0) then
        tmp = sin(re)
    else
        tmp = (re * (0.5d0 + (re * (re * ((-0.08333333333333333d0) + ((re * re) * (0.004166666666666667d0 + ((re * re) * (-9.92063492063492d-5))))))))) * (2.0d0 + ((im * im) * (1.0d0 + ((im * im) * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 580.0) {
		tmp = Math.sin(re);
	} else {
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 580.0:
		tmp = math.sin(re)
	else:
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 580.0)
		tmp = sin(re);
	else
		tmp = Float64(Float64(re * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * Float64(0.004166666666666667 + Float64(Float64(re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))) * Float64(2.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778)))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 580.0)
		tmp = sin(re);
	else
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 580.0], N[Sin[re], $MachinePrecision], N[(N[(re * N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.08333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(0.004166666666666667 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -9.92063492063492e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 580

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 68.5%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 68.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   if 580 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 88.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.4%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left(\frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 70.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 70.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 10: 58.1% accurate, 6.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 5 \cdot 10^{+179}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 5e+179)
   (*
    (*
     re
     (+
      0.5
      (*
       re
       (*
        re
        (+
         -0.08333333333333333
         (*
          (* re re)
          (+ 0.004166666666666667 (* (* re re) -9.92063492063492e-5))))))))
    (+
     2.0
     (*
      (* im im)
      (+
       1.0
       (*
        (* im im)
        (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778)))))))
   (* re (+ 1.0 (* (* im im) (+ 0.5 (* im (* im 0.041666666666666664))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 5e+179) {
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))));
	} else {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 5d+179) then
        tmp = (re * (0.5d0 + (re * (re * ((-0.08333333333333333d0) + ((re * re) * (0.004166666666666667d0 + ((re * re) * (-9.92063492063492d-5))))))))) * (2.0d0 + ((im * im) * (1.0d0 + ((im * im) * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0))))))
    else
        tmp = re * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + (im * (im * 0.041666666666666664d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 5e+179) {
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))));
	} else {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 5e+179:
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))))
	else:
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 5e+179)
		tmp = Float64(Float64(re * Float64(0.5 + Float64(re * Float64(re * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * Float64(0.004166666666666667 + Float64(Float64(re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))) * Float64(2.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778)))))));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * 0.041666666666666664))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 5e+179)
		tmp = (re * (0.5 + (re * (re * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5)))))))) * (2.0 + ((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778))))));
	else
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 5e+179], N[(N[(re * N[(0.5 + N[(re * N[(re * N[(-0.08333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(0.004166666666666667 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -9.92063492063492e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(im * N[(im * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 5e179

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 93.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 93.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{12} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left(\frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 59.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 59.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]

   if 5e179 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 89.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 20.4%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 11: 59.2% accurate, 8.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (+
   2.0
   (*
    (* im im)
    (+
     1.0
     (*
      (* im im)
      (+ 0.08333333333333333 (* (* im im) 0.002777777777777778))))))
  (*
   re
   (+
    0.5
    (*
     (* re re)
     (+ -0.08333333333333333 (* re (* re 0.004166666666666667))))))))

C

double code(double re, double im) {
	return (2.0 + ((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667))))));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (2.0d0 + ((im * im) * (1.0d0 + ((im * im) * (0.08333333333333333d0 + ((im * im) * 0.002777777777777778d0)))))) * (re * (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.08333333333333333d0) + (re * (re * 0.004166666666666667d0))))))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (2.0 + ((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667))))));
}

Python

def code(re, im):
	return (2.0 + ((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667))))))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(2.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.08333333333333333 + Float64(Float64(im * im) * 0.002777777777777778)))))) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(re * Float64(re * 0.004166666666666667)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (2.0 + ((im * im) * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + ((im * im) * 0.002777777777777778)))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + (re * (re * 0.004166666666666667))))));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(2.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.08333333333333333 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.08333333333333333 + N[(re * N[(re * 0.004166666666666667), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 93.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.8%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2} + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{12} + \frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\frac{1}{240} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(re \cdot \left(re \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 56.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{1}{240}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 56.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]

9. Final simplification 56.0%

   \[\leadsto \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot 0.004166666666666667\right)\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 12: 57.9% accurate, 9.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 5 \cdot 10^{+179}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 5e+179)
   (*
    re
    (*
     (+
      2.0
      (*
       im
       (*
        im
        (+
         1.0
         (*
          (* im im)
          (+ 0.08333333333333333 (* im (* im 0.002777777777777778))))))))
     (+ 0.5 (* (* re re) -0.08333333333333333))))
   (* re (+ 1.0 (* (* im im) (+ 0.5 (* im (* im 0.041666666666666664))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 5e+179) {
		tmp = re * ((2.0 + (im * (im * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)))))))) * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333)));
	} else {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 5d+179) then
        tmp = re * ((2.0d0 + (im * (im * (1.0d0 + ((im * im) * (0.08333333333333333d0 + (im * (im * 0.002777777777777778d0)))))))) * (0.5d0 + ((re * re) * (-0.08333333333333333d0))))
    else
        tmp = re * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + (im * (im * 0.041666666666666664d0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 5e+179) {
		tmp = re * ((2.0 + (im * (im * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)))))))) * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333)));
	} else {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 5e+179:
		tmp = re * ((2.0 + (im * (im * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)))))))) * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333)))
	else:
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 5e+179)
		tmp = Float64(re * Float64(Float64(2.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.08333333333333333 + Float64(im * Float64(im * 0.002777777777777778)))))))) * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * -0.08333333333333333))));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * 0.041666666666666664))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 5e+179)
		tmp = re * ((2.0 + (im * (im * (1.0 + ((im * im) * (0.08333333333333333 + (im * (im * 0.002777777777777778)))))))) * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333)));
	else
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 5e+179], N[(re * N[(N[(2.0 + N[(im * N[(im * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.08333333333333333 + N[(im * N[(im * 0.002777777777777778), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(im * N[(im * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 5e179

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 93.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 93.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto re \cdot \left(\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

      2. fma-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(re, \color{blue}{\frac{-1}{12} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)}, re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(re, \frac{-1}{12} \cdot \left(\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{{re}^{2}}\right), re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(re, \left(\frac{-1}{12} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{{re}^{2}}, re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. fma-undefine N/A

         \[\leadsto re \cdot \left(\left(\frac{-1}{12} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{12} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \cdot {re}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Simplified 59.2%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)} \]

   if 5e179 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

      6. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

      13. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

      14. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

   5. Simplified 89.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 20.4%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 55.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 5 \cdot 10^{+179}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(\left(2 + im \cdot \left(im \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + im \cdot \left(im \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 58.6% accurate, 14.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  re
  (+
   1.0
   (*
    (* im im)
    (+
     0.5
     (*
      (* im im)
      (+ 0.041666666666666664 (* im (* im 0.001388888888888889)))))))))

C

double code(double re, double im) {
	return re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + (im * (im * 0.001388888888888889)))))));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = re * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + ((im * im) * (0.041666666666666664d0 + (im * (im * 0.001388888888888889d0)))))))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + (im * (im * 0.001388888888888889)))))));
}

Python

def code(re, im):
	return re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + (im * (im * 0.001388888888888889)))))))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.041666666666666664 + Float64(im * Float64(im * 0.001388888888888889))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + (im * (im * 0.001388888888888889)))))));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(re * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.041666666666666664 + N[(im * N[(im * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

   6. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

   7. cosh-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

   10. exp-0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   12. exp-0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

   13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

   14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]

5. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \color{blue}{re}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 58.9%

   \[\leadsto \left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{re} \]

8. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, re\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 55.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

10. Simplified 55.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \cdot re \]

11. Final simplification 55.9%

    \[\leadsto re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 14: 58.5% accurate, 16.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  re
  (+
   1.0
   (* (* im im) (+ 0.5 (* (* im im) (* (* im im) 0.001388888888888889)))))))

C

double code(double re, double im) {
	return re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * ((im * im) * 0.001388888888888889)))));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = re * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + ((im * im) * ((im * im) * 0.001388888888888889d0)))))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * ((im * im) * 0.001388888888888889)))));
}

Python

def code(re, im):
	return re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * ((im * im) * 0.001388888888888889)))))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + ((im * im) * ((im * im) * 0.001388888888888889)))));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(re * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

   6. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

   7. cosh-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

   10. exp-0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

   12. exp-0 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

   13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

   14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]

5. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \color{blue}{re}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 58.9%

   \[\leadsto \left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{re} \]

8. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, re\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   12. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 55.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

10. Simplified 55.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \cdot re \]

11. Taylor expanded in im around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{4}\right)}\right)\right)\right), re\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right)\right)\right)\right), re\right) \]

    2. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{720} \cdot \left({im}^{2} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

    3. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right) \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), re\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 55.9%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), re\right) \]

13. Simplified 55.9%

    \[\leadsto \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)}\right)\right) \cdot re \]

14. Final simplification 55.9%

    \[\leadsto re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 15: 56.1% accurate, 20.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* re (+ 1.0 (* (* im im) (+ 0.5 (* im (* im 0.041666666666666664)))))))

C

double code(double re, double im) {
	return re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = re * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + (im * (im * 0.041666666666666664d0)))))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))));
}

Python

def code(re, im):
	return re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * 0.041666666666666664))))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = re * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(re * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(im * N[(im * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \color{blue}{\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)}\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re + \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \]

   4. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]

   6. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \sin re\right)} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin \color{blue}{re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\sin re}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} \cdot {im}^{2}\right)\right) \]

   13. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right) + \sin re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

   14. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \sin re \cdot 1 + \sin re \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]

5. Simplified 90.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 54.7%

   \[\leadsto \color{blue}{re} \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 16: 41.2% accurate, 22.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 10^{+116}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.5\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 1e+116)
   (* re (+ 1.0 (* re (* re -0.16666666666666666))))
   (* re (+ 1.0 (* (* im im) 0.5)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 1e+116) {
		tmp = re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * 0.5));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 1d+116) then
        tmp = re * (1.0d0 + (re * (re * (-0.16666666666666666d0))))
    else
        tmp = re * (1.0d0 + ((im * im) * 0.5d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 1e+116) {
		tmp = re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)));
	} else {
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * 0.5));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 1e+116:
		tmp = re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))
	else:
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * 0.5))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 1e+116)
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * -0.16666666666666666))));
	else
		tmp = Float64(re * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * 0.5)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 1e+116)
		tmp = re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)));
	else
		tmp = re * (1.0 + ((im * im) * 0.5));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 1e+116], N[(re * N[(1.0 + N[(re * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(re * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 1.00000000000000002e116

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 62.1%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 62.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 38.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 38.0%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot re\right)}\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 37.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 37.7%

       \[\leadsto re \cdot \left(1 + re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) \]

   if 1.00000000000000002e116 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\sin re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\sin re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right)\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{0 - im}\right)\right), \sin re\right) \]

      6. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \sin re\right) \]

      7. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \sin re\right) \]

      8. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      10. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0} \cdot \cosh im\right), \sin re\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{0}\right), \cosh im\right), \sin \color{blue}{re}\right) \]

      12. exp-0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \sin re\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \sin re\right) \]

      14. sin-lowering-sin.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \sin re} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \color{blue}{re}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 71.4%

      \[\leadsto \left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{re} \]

   8. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)}, re\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)\right), re\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2}\right)\right)\right), re\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot im\right)\right)\right), re\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 61.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, im\right)\right)\right), re\right) \]

   10. Simplified 61.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)} \cdot re \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 40.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 10^{+116}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.5\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 30.7% accurate, 25.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 4.2 \cdot 10^{+115}:\\ \;\;\;\;re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 4.2e+115) re (* -0.16666666666666666 (* re (* re re)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 4.2e+115) {
		tmp = re;
	} else {
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * (re * re));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 4.2d+115) then
        tmp = re
    else
        tmp = (-0.16666666666666666d0) * (re * (re * re))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 4.2e+115) {
		tmp = re;
	} else {
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * (re * re));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 4.2e+115:
		tmp = re
	else:
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * (re * re))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 4.2e+115)
		tmp = re;
	else
		tmp = Float64(-0.16666666666666666 * Float64(re * Float64(re * re)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 4.2e+115)
		tmp = re;
	else
		tmp = -0.16666666666666666 * (re * (re * re));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 4.2e+115], re, N[(-0.16666666666666666 * N[(re * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 4.20000000000000007e115

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 56.2%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 56.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 31.5%

      \[\leadsto \color{blue}{re} \]

   if 4.20000000000000007e115 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. sin-lowering-sin.f64 51.6%

         \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 51.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 33.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 33.3%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot re\right)}\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 33.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 33.3%

       \[\leadsto re \cdot \left(1 + re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) \]

   12. Taylor expanded in re around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {re}^{3}} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{3}\right)}\right) \]

       2. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot re\right)}\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \left(re \cdot {re}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left({re}^{2}\right)}\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 33.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{re}\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 33.3%

       \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot \left(re \cdot re\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 18: 34.3% accurate, 34.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* re (+ 1.0 (* re (* re -0.16666666666666666)))))

C

double code(double re, double im) {
	return re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = re * (1.0d0 + (re * (re * (-0.16666666666666666d0))))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)));
}

Python

def code(re, im):
	return re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(re * Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * -0.16666666666666666))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(re * N[(1.0 + N[(re * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 55.6%

      \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

5. Simplified 55.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{6}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{120} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{120}} + \frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{5040} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{5040}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f64 36.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{120}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{5040}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 36.0%

   \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.16666666666666666 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.008333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0001984126984126984\right)\right)\right)\right)} \]

9. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot re\right)}\right)\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 35.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 35.0%

    \[\leadsto re \cdot \left(1 + re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 19: 27.3% accurate, 309.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ re \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 re)

C

double code(double re, double im) {
	return re;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = re
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return re;
}

Python

def code(re, im):
	return re

Julia

function code(re, im)
	return re
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = re;
end

Wolfram

code[re_, im_] := re

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{0 - im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]
4. Step-by-step derivation

   1. sin-lowering-sin.f64 55.6%

      \[\leadsto \mathsf{sin.f64}\left(re\right) \]

5. Simplified 55.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{re} \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 27.6%

   \[\leadsto \color{blue}{re} \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, real part"
  :precision binary64
  (* (* 0.5 (sin re)) (+ (exp (- 0.0 im)) (exp im))))