Ian Simplification

Percentage Accurate: 6.9% → 8.4%

Time: 2.3min

Alternatives: 8

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) - (2.0 * Math.asin(Math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) - (2.0 * math.asin(math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) - (2.0 * Math.asin(Math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) - (2.0 * math.asin(math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 8.4% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\pi \cdot \pi}{4}\\ t_1 := \pi \cdot \left(\pi \cdot \frac{\pi \cdot \pi}{16}\right)\\ t_2 := 0.5 + \frac{x}{-2}\\ t_3 := \cos^{-1} \left(\sqrt{t\_2}\right)\\ t_4 := \pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left({t\_2}^{0.5}\right)\\ t_5 := t\_4 \cdot \left(t\_4 + \frac{\pi}{2}\right)\\ \frac{\frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{8} - {\left(\pi - t\_3 \cdot 2\right)}^{3}}{\frac{t\_0 \cdot t\_1 + {t\_5}^{3}}{t\_1 + t\_5 \cdot \left(t\_4 \cdot \left(\frac{\pi}{2} + \left(\pi + -2 \cdot t\_3\right)\right) - t\_0\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (* PI PI) 4.0))
        (t_1 (* PI (* PI (/ (* PI PI) 16.0))))
        (t_2 (+ 0.5 (/ x -2.0)))
        (t_3 (acos (sqrt t_2)))
        (t_4 (+ PI (* -2.0 (acos (pow t_2 0.5)))))
        (t_5 (* t_4 (+ t_4 (/ PI 2.0)))))
   (/
    (- (/ (* PI (* PI PI)) 8.0) (pow (- PI (* t_3 2.0)) 3.0))
    (/
     (+ (* t_0 t_1) (pow t_5 3.0))
     (+ t_1 (* t_5 (- (* t_4 (+ (/ PI 2.0) (+ PI (* -2.0 t_3)))) t_0)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (((double) M_PI) * ((double) M_PI)) / 4.0;
	double t_1 = ((double) M_PI) * (((double) M_PI) * ((((double) M_PI) * ((double) M_PI)) / 16.0));
	double t_2 = 0.5 + (x / -2.0);
	double t_3 = acos(sqrt(t_2));
	double t_4 = ((double) M_PI) + (-2.0 * acos(pow(t_2, 0.5)));
	double t_5 = t_4 * (t_4 + (((double) M_PI) / 2.0));
	return (((((double) M_PI) * (((double) M_PI) * ((double) M_PI))) / 8.0) - pow((((double) M_PI) - (t_3 * 2.0)), 3.0)) / (((t_0 * t_1) + pow(t_5, 3.0)) / (t_1 + (t_5 * ((t_4 * ((((double) M_PI) / 2.0) + (((double) M_PI) + (-2.0 * t_3)))) - t_0))));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (Math.PI * Math.PI) / 4.0;
	double t_1 = Math.PI * (Math.PI * ((Math.PI * Math.PI) / 16.0));
	double t_2 = 0.5 + (x / -2.0);
	double t_3 = Math.acos(Math.sqrt(t_2));
	double t_4 = Math.PI + (-2.0 * Math.acos(Math.pow(t_2, 0.5)));
	double t_5 = t_4 * (t_4 + (Math.PI / 2.0));
	return (((Math.PI * (Math.PI * Math.PI)) / 8.0) - Math.pow((Math.PI - (t_3 * 2.0)), 3.0)) / (((t_0 * t_1) + Math.pow(t_5, 3.0)) / (t_1 + (t_5 * ((t_4 * ((Math.PI / 2.0) + (Math.PI + (-2.0 * t_3)))) - t_0))));
}

Python

def code(x):
	t_0 = (math.pi * math.pi) / 4.0
	t_1 = math.pi * (math.pi * ((math.pi * math.pi) / 16.0))
	t_2 = 0.5 + (x / -2.0)
	t_3 = math.acos(math.sqrt(t_2))
	t_4 = math.pi + (-2.0 * math.acos(math.pow(t_2, 0.5)))
	t_5 = t_4 * (t_4 + (math.pi / 2.0))
	return (((math.pi * (math.pi * math.pi)) / 8.0) - math.pow((math.pi - (t_3 * 2.0)), 3.0)) / (((t_0 * t_1) + math.pow(t_5, 3.0)) / (t_1 + (t_5 * ((t_4 * ((math.pi / 2.0) + (math.pi + (-2.0 * t_3)))) - t_0))))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(pi * pi) / 4.0)
	t_1 = Float64(pi * Float64(pi * Float64(Float64(pi * pi) / 16.0)))
	t_2 = Float64(0.5 + Float64(x / -2.0))
	t_3 = acos(sqrt(t_2))
	t_4 = Float64(pi + Float64(-2.0 * acos((t_2 ^ 0.5))))
	t_5 = Float64(t_4 * Float64(t_4 + Float64(pi / 2.0)))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(pi * Float64(pi * pi)) / 8.0) - (Float64(pi - Float64(t_3 * 2.0)) ^ 3.0)) / Float64(Float64(Float64(t_0 * t_1) + (t_5 ^ 3.0)) / Float64(t_1 + Float64(t_5 * Float64(Float64(t_4 * Float64(Float64(pi / 2.0) + Float64(pi + Float64(-2.0 * t_3)))) - t_0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = (pi * pi) / 4.0;
	t_1 = pi * (pi * ((pi * pi) / 16.0));
	t_2 = 0.5 + (x / -2.0);
	t_3 = acos(sqrt(t_2));
	t_4 = pi + (-2.0 * acos((t_2 ^ 0.5)));
	t_5 = t_4 * (t_4 + (pi / 2.0));
	tmp = (((pi * (pi * pi)) / 8.0) - ((pi - (t_3 * 2.0)) ^ 3.0)) / (((t_0 * t_1) + (t_5 ^ 3.0)) / (t_1 + (t_5 * ((t_4 * ((pi / 2.0) + (pi + (-2.0 * t_3)))) - t_0))));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(Pi * Pi), $MachinePrecision] / 4.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(Pi * N[(Pi * N[(N[(Pi * Pi), $MachinePrecision] / 16.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.5 + N[(x / -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[ArcCos[N[Sqrt[t$95$2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(Pi + N[(-2.0 * N[ArcCos[N[Power[t$95$2, 0.5], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(t$95$4 * N[(t$95$4 + N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(Pi * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 8.0), $MachinePrecision] - N[Power[N[(Pi - N[(t$95$3 * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$1), $MachinePrecision] + N[Power[t$95$5, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$1 + N[(t$95$5 * N[(N[(t$95$4 * N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] + N[(Pi + N[(-2.0 * t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 8.2%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 - \frac{x}{2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2\right)} \]

6. Applied egg-rr 8.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{8} - {\left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2\right)}^{3}}{\pi \cdot \frac{\pi}{4} + \left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} + \left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2\right)\right)}} \]

8. Applied egg-rr 8.3%

   \[\leadsto \frac{\frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{8} - {\left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2\right)}^{3}}{\color{blue}{\frac{\frac{\pi \cdot \pi}{4} \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \frac{\pi \cdot \pi}{16}\right)\right) + {\left(\left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot \left(\left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) + \frac{\pi}{2}\right)\right)}^{3}}{\pi \cdot \left(\pi \cdot \frac{\pi \cdot \pi}{16}\right) + \left(\left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot \left(\left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) + \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot \left(\left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot \left(\left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi \cdot \pi}{4}\right)}}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), 8\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 16\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right)\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 16\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), 8\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 16\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right)\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 16\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{-2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), 8\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 16\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right)\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 16\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{x}{-2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 8.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), 8\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 16\right)\right)\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right)\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 16\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(-2, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), 4\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Applied egg-rr 8.3%

    \[\leadsto \frac{\frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{8} - {\left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2\right)}^{3}}{\frac{\frac{\pi \cdot \pi}{4} \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \frac{\pi \cdot \pi}{16}\right)\right) + {\left(\left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot \left(\left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) + \frac{\pi}{2}\right)\right)}^{3}}{\pi \cdot \left(\pi \cdot \frac{\pi \cdot \pi}{16}\right) + \left(\left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot \left(\left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) + \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot \left(\left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot \left(\left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right)}\right) + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi \cdot \pi}{4}\right)}} \]

11. Final simplification 8.3%

    \[\leadsto \frac{\frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{8} - {\left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2\right)}^{3}}{\frac{\frac{\pi \cdot \pi}{4} \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \frac{\pi \cdot \pi}{16}\right)\right) + {\left(\left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot \left(\left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) + \frac{\pi}{2}\right)\right)}^{3}}{\pi \cdot \left(\pi \cdot \frac{\pi \cdot \pi}{16}\right) + \left(\left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot \left(\left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) + \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot \left(\left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left({\left(0.5 + \frac{x}{-2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} + \left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right)\right)\right) - \frac{\pi \cdot \pi}{4}\right)}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 2: 8.4% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + x \cdot -0.5}\right)\\ \frac{\frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{8} - {\left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2\right)}^{3}}{\pi \cdot \left(\pi \cdot 0.25\right) + \left(\pi + t\_0\right) \cdot \left(t\_0 + \pi \cdot 1.5\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* -2.0 (acos (sqrt (+ 0.5 (* x -0.5)))))))
   (/
    (-
     (/ (* PI (* PI PI)) 8.0)
     (pow (- PI (* (acos (sqrt (+ 0.5 (/ x -2.0)))) 2.0)) 3.0))
    (+ (* PI (* PI 0.25)) (* (+ PI t_0) (+ t_0 (* PI 1.5)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = -2.0 * acos(sqrt((0.5 + (x * -0.5))));
	return (((((double) M_PI) * (((double) M_PI) * ((double) M_PI))) / 8.0) - pow((((double) M_PI) - (acos(sqrt((0.5 + (x / -2.0)))) * 2.0)), 3.0)) / ((((double) M_PI) * (((double) M_PI) * 0.25)) + ((((double) M_PI) + t_0) * (t_0 + (((double) M_PI) * 1.5))));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = -2.0 * Math.acos(Math.sqrt((0.5 + (x * -0.5))));
	return (((Math.PI * (Math.PI * Math.PI)) / 8.0) - Math.pow((Math.PI - (Math.acos(Math.sqrt((0.5 + (x / -2.0)))) * 2.0)), 3.0)) / ((Math.PI * (Math.PI * 0.25)) + ((Math.PI + t_0) * (t_0 + (Math.PI * 1.5))));
}

Python

def code(x):
	t_0 = -2.0 * math.acos(math.sqrt((0.5 + (x * -0.5))))
	return (((math.pi * (math.pi * math.pi)) / 8.0) - math.pow((math.pi - (math.acos(math.sqrt((0.5 + (x / -2.0)))) * 2.0)), 3.0)) / ((math.pi * (math.pi * 0.25)) + ((math.pi + t_0) * (t_0 + (math.pi * 1.5))))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(-2.0 * acos(sqrt(Float64(0.5 + Float64(x * -0.5)))))
	return Float64(Float64(Float64(Float64(pi * Float64(pi * pi)) / 8.0) - (Float64(pi - Float64(acos(sqrt(Float64(0.5 + Float64(x / -2.0)))) * 2.0)) ^ 3.0)) / Float64(Float64(pi * Float64(pi * 0.25)) + Float64(Float64(pi + t_0) * Float64(t_0 + Float64(pi * 1.5)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = -2.0 * acos(sqrt((0.5 + (x * -0.5))));
	tmp = (((pi * (pi * pi)) / 8.0) - ((pi - (acos(sqrt((0.5 + (x / -2.0)))) * 2.0)) ^ 3.0)) / ((pi * (pi * 0.25)) + ((pi + t_0) * (t_0 + (pi * 1.5))));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(-2.0 * N[ArcCos[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(x * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(N[(Pi * N[(Pi * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 8.0), $MachinePrecision] - N[Power[N[(Pi - N[(N[ArcCos[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(x / -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(Pi * N[(Pi * 0.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(Pi + t$95$0), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 + N[(Pi * 1.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 8.2%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 - \frac{x}{2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2\right)} \]

6. Applied egg-rr 8.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{8} - {\left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2\right)}^{3}}{\pi \cdot \frac{\pi}{4} + \left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} + \left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2\right)\right)}} \]

7. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), 8\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right), 3\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \left(\mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), 8\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right), 3\right)\right), \left(\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \left(\mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x}\right)\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   2. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), 8\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right), 3\right)\right), \left(\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \left(\mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), 8\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right), 3\right)\right), \left(\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \left(\mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   4. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), 8\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right), 3\right)\right), \left(\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \left(\mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), 8\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(x, -2\right)\right)\right)\right), 2\right)\right), 3\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) - 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right) \cdot \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - 2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot x}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

9. Simplified 8.3%

   \[\leadsto \frac{\frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{8} - {\left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2\right)}^{3}}{\color{blue}{\pi \cdot \left(\pi \cdot 0.25\right) + \left(\pi + \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot x}\right) \cdot -2\right) \cdot \left(\pi \cdot 1.5 + \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + -0.5 \cdot x}\right) \cdot -2\right)}} \]

10. Final simplification 8.3%

    \[\leadsto \frac{\frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)}{8} - {\left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2\right)}^{3}}{\pi \cdot \left(\pi \cdot 0.25\right) + \left(\pi + -2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + x \cdot -0.5}\right)\right) \cdot \left(-2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + x \cdot -0.5}\right) + \pi \cdot 1.5\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 3: 8.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\pi}{2} - \pi\\ t_1 := \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right)\\ \frac{t\_0 \cdot t\_0 - {\left(t\_1 \cdot \left(0 - 2\right)\right)}^{2}}{t\_0 - t\_1 \cdot 2} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (/ PI 2.0) PI)) (t_1 (acos (sqrt (+ 0.5 (/ x -2.0))))))
   (/ (- (* t_0 t_0) (pow (* t_1 (- 0.0 2.0)) 2.0)) (- t_0 (* t_1 2.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (((double) M_PI) / 2.0) - ((double) M_PI);
	double t_1 = acos(sqrt((0.5 + (x / -2.0))));
	return ((t_0 * t_0) - pow((t_1 * (0.0 - 2.0)), 2.0)) / (t_0 - (t_1 * 2.0));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (Math.PI / 2.0) - Math.PI;
	double t_1 = Math.acos(Math.sqrt((0.5 + (x / -2.0))));
	return ((t_0 * t_0) - Math.pow((t_1 * (0.0 - 2.0)), 2.0)) / (t_0 - (t_1 * 2.0));
}

Python

def code(x):
	t_0 = (math.pi / 2.0) - math.pi
	t_1 = math.acos(math.sqrt((0.5 + (x / -2.0))))
	return ((t_0 * t_0) - math.pow((t_1 * (0.0 - 2.0)), 2.0)) / (t_0 - (t_1 * 2.0))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(pi / 2.0) - pi)
	t_1 = acos(sqrt(Float64(0.5 + Float64(x / -2.0))))
	return Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) - (Float64(t_1 * Float64(0.0 - 2.0)) ^ 2.0)) / Float64(t_0 - Float64(t_1 * 2.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = (pi / 2.0) - pi;
	t_1 = acos(sqrt((0.5 + (x / -2.0))));
	tmp = ((t_0 * t_0) - ((t_1 * (0.0 - 2.0)) ^ 2.0)) / (t_0 - (t_1 * 2.0));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - Pi), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[ArcCos[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(x / -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] - N[Power[N[(t$95$1 * N[(0.0 - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(t$95$1 * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 8.2%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 - \frac{x}{2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \color{blue}{\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2} \]

   2. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)}{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 8.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) - {\left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2\right)}^{2}}{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) + \left(-\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2\right)}} \]

7. Final simplification 8.2%

   \[\leadsto \frac{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) - {\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot \left(0 - 2\right)\right)}^{2}}{\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 8.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2\\ \frac{\pi \cdot \frac{\pi}{4} - {t\_0}^{2}}{t\_0 + \frac{\pi}{2}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- PI (* (acos (sqrt (+ 0.5 (/ x -2.0)))) 2.0))))
   (/ (- (* PI (/ PI 4.0)) (pow t_0 2.0)) (+ t_0 (/ PI 2.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = ((double) M_PI) - (acos(sqrt((0.5 + (x / -2.0)))) * 2.0);
	return ((((double) M_PI) * (((double) M_PI) / 4.0)) - pow(t_0, 2.0)) / (t_0 + (((double) M_PI) / 2.0));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.PI - (Math.acos(Math.sqrt((0.5 + (x / -2.0)))) * 2.0);
	return ((Math.PI * (Math.PI / 4.0)) - Math.pow(t_0, 2.0)) / (t_0 + (Math.PI / 2.0));
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.pi - (math.acos(math.sqrt((0.5 + (x / -2.0)))) * 2.0)
	return ((math.pi * (math.pi / 4.0)) - math.pow(t_0, 2.0)) / (t_0 + (math.pi / 2.0))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(pi - Float64(acos(sqrt(Float64(0.5 + Float64(x / -2.0)))) * 2.0))
	return Float64(Float64(Float64(pi * Float64(pi / 4.0)) - (t_0 ^ 2.0)) / Float64(t_0 + Float64(pi / 2.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = pi - (acos(sqrt((0.5 + (x / -2.0)))) * 2.0);
	tmp = ((pi * (pi / 4.0)) - (t_0 ^ 2.0)) / (t_0 + (pi / 2.0));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(Pi - N[(N[ArcCos[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(x / -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(Pi * N[(Pi / 4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 + N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 8.2%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 - \frac{x}{2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. flip-- N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 8.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\pi \cdot \frac{\pi}{4} - {\left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2\right)}^{2}}{\frac{\pi}{2} + \left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2\right)}} \]

7. Final simplification 8.2%

   \[\leadsto \frac{\pi \cdot \frac{\pi}{4} - {\left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2\right)}^{2}}{\left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2\right) + \frac{\pi}{2}} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 5: 8.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} + \left(\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2 - \pi\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (/ PI 2.0) (- (* (acos (sqrt (+ 0.5 (/ x -2.0)))) 2.0) PI)))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) + ((acos(sqrt((0.5 + (x / -2.0)))) * 2.0) - ((double) M_PI));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) + ((Math.acos(Math.sqrt((0.5 + (x / -2.0)))) * 2.0) - Math.PI);
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) + ((math.acos(math.sqrt((0.5 + (x / -2.0)))) * 2.0) - math.pi)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) + Float64(Float64(acos(sqrt(Float64(0.5 + Float64(x / -2.0)))) * 2.0) - pi))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) + ((acos(sqrt((0.5 + (x / -2.0)))) * 2.0) - pi);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] + N[(N[(N[ArcCos[N[Sqrt[N[(0.5 + N[(x / -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * 2.0), $MachinePrecision] - Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 8.2%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 - \frac{x}{2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)}\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   4. *-un-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   5. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{fma}\left(1, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right) \]

   6. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right) \]

   7. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right) \]

   8. fmm-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   9. *-un-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   10. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left({\left(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 8.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\pi}{2} - \left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2\right)} \]

7. Final simplification 8.2%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} + \left(\cos^{-1} \left(\sqrt{0.5 + \frac{x}{-2}}\right) \cdot 2 - \pi\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 6: 6.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) - (2.0 * Math.asin(Math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) - (2.0 * math.asin(math.sqrt(((1.0 - x) / 2.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(2.0 * asin(sqrt(Float64(Float64(1.0 - x) / 2.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(((1.0 - x) / 2.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[N[(N[(1.0 - x), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Add Preprocessing

Alternative 7: 5.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} + \left(2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) - \pi\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (/ PI 2.0) (- (* 2.0 (acos (sqrt 0.5))) PI)))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) + ((2.0 * acos(sqrt(0.5))) - ((double) M_PI));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) + ((2.0 * Math.acos(Math.sqrt(0.5))) - Math.PI);
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) + ((2.0 * math.acos(math.sqrt(0.5))) - math.pi)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) + Float64(Float64(2.0 * acos(sqrt(0.5))) - pi))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) + ((2.0 * acos(sqrt(0.5))) - pi);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] + N[(N[(2.0 * N[ArcCos[N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. asin-acos N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(2 \cdot \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   4. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot 1 + \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   8. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right)\right)\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 8.2%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \color{blue}{\left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \left({\left(0.5 - \frac{x}{2}\right)}^{0.5}\right)\right) \cdot 2\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}\right)\right), 2\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.4%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

7. Simplified 5.4%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - \left(\pi + \left(0 - \cos^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{0.5}\right)}\right) \cdot 2\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{2}\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)}\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), 2\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right) \]

   4. *-un-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   5. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{fma}\left(1, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}, \left(0 - \cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right) \]

   6. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \cdot 2\right)\right)\right) \]

   7. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{neg}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot 2\right)\right)\right)\right) \]

   8. fmm-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot 2}\right)\right) \]

   9. *-un-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) - \color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)} \cdot 2\right)\right) \]

   10. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right) \cdot 2\right)}\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)} \cdot 2\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\cos^{-1} \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right), \color{blue}{2}\right)\right)\right) \]

   13. acos-lowering-acos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

   14. sqrt-lowering-sqrt.f64 5.4%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{acos.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right), 2\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 5.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\pi}{2} - \left(\pi - \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) \cdot 2\right)} \]

10. Final simplification 5.4%

    \[\leadsto \frac{\pi}{2} + \left(2 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) - \pi\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 8: 4.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{0.5}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt 0.5)))))

C

double code(double x) {
	return (((double) M_PI) / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(0.5)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.PI / 2.0) - (2.0 * Math.asin(Math.sqrt(0.5)));
}

Python

def code(x):
	return (math.pi / 2.0) - (2.0 * math.asin(math.sqrt(0.5)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(pi / 2.0) - Float64(2.0 * asin(sqrt(0.5))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi / 2.0) - (2.0 * asin(sqrt(0.5)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Pi / 2.0), $MachinePrecision] - N[(2.0 * N[ArcSin[N[Sqrt[0.5], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{1 - x}{2}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f64 4.2%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{asin.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 4.2%

   \[\leadsto \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \sin^{-1} \color{blue}{\left(\sqrt{0.5}\right)} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 100.0% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (asin x))

C

double code(double x) {
	return asin(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = asin(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.asin(x);
}

Python

def code(x):
	return math.asin(x)

Julia

function code(x)
	return asin(x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = asin(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcSin[x], $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (x)
  :name "Ian Simplification"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (asin x))

  (- (/ PI 2.0) (* 2.0 (asin (sqrt (/ (- 1.0 x) 2.0))))))