Jmat.Real.erfi, branch x greater than or equal to 5

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 16.9s

Alternatives: 23

Speedup: 6.4×

• 99.4% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

\[x \geq 0.5\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{\left|x\right|}\\ t_1 := \left(t\_0 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ t_2 := \left(t\_1 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(t\_0 + \frac{1}{2} \cdot t\_1\right) + \frac{3}{4} \cdot t\_2\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(t\_2 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (fabs x)))
        (t_1 (* (* t_0 t_0) t_0))
        (t_2 (* (* t_1 t_0) t_0)))
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x))))
    (+
     (+ (+ t_0 (* (/ 1.0 2.0) t_1)) (* (/ 3.0 4.0) t_2))
     (* (/ 15.0 8.0) (* (* t_2 t_0) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / fabs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / sqrt(((double) M_PI))) * exp((fabs(x) * fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / Math.abs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / Math.sqrt(Math.PI)) * Math.exp((Math.abs(x) * Math.abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 / math.fabs(x)
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0
	return ((1.0 / math.sqrt(math.pi)) * math.exp((math.fabs(x) * math.fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 / abs(x))
	t_1 = Float64(Float64(t_0 * t_0) * t_0)
	t_2 = Float64(Float64(t_1 * t_0) * t_0)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 / sqrt(pi)) * exp(Float64(abs(x) * abs(x)))) * Float64(Float64(Float64(t_0 + Float64(Float64(1.0 / 2.0) * t_1)) + Float64(Float64(3.0 / 4.0) * t_2)) + Float64(Float64(15.0 / 8.0) * Float64(Float64(t_2 * t_0) * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 1.0 / abs(x);
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	tmp = ((1.0 / sqrt(pi)) * exp((abs(x) * abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(1.0 / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$0 + N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(3.0 / 4.0), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(15.0 / 8.0), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$2 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{\left|x\right|}\\ t_1 := \left(t\_0 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ t_2 := \left(t\_1 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\\ \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(t\_0 + \frac{1}{2} \cdot t\_1\right) + \frac{3}{4} \cdot t\_2\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(t\_2 \cdot t\_0\right) \cdot t\_0\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (fabs x)))
        (t_1 (* (* t_0 t_0) t_0))
        (t_2 (* (* t_1 t_0) t_0)))
   (*
    (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x))))
    (+
     (+ (+ t_0 (* (/ 1.0 2.0) t_1)) (* (/ 3.0 4.0) t_2))
     (* (/ 15.0 8.0) (* (* t_2 t_0) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / fabs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / sqrt(((double) M_PI))) * exp((fabs(x) * fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / Math.abs(x);
	double t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	double t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	return ((1.0 / Math.sqrt(Math.PI)) * Math.exp((Math.abs(x) * Math.abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 / math.fabs(x)
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0
	return ((1.0 / math.sqrt(math.pi)) * math.exp((math.fabs(x) * math.fabs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 / abs(x))
	t_1 = Float64(Float64(t_0 * t_0) * t_0)
	t_2 = Float64(Float64(t_1 * t_0) * t_0)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 / sqrt(pi)) * exp(Float64(abs(x) * abs(x)))) * Float64(Float64(Float64(t_0 + Float64(Float64(1.0 / 2.0) * t_1)) + Float64(Float64(3.0 / 4.0) * t_2)) + Float64(Float64(15.0 / 8.0) * Float64(Float64(t_2 * t_0) * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 1.0 / abs(x);
	t_1 = (t_0 * t_0) * t_0;
	t_2 = (t_1 * t_0) * t_0;
	tmp = ((1.0 / sqrt(pi)) * exp((abs(x) * abs(x)))) * (((t_0 + ((1.0 / 2.0) * t_1)) + ((3.0 / 4.0) * t_2)) + ((15.0 / 8.0) * ((t_2 * t_0) * t_0)));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(t$95$1 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, N[(N[(N[(1.0 / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$0 + N[(N[(1.0 / 2.0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(3.0 / 4.0), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(15.0 / 8.0), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$2 * t$95$0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Alternative 1: 100.0% accurate, 4.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{{\left(e^{x}\right)}^{x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (/
   (*
    (pow (exp x) x)
    (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x))))
   (sqrt PI))
  (fabs x)))

C

double code(double x) {
	return ((pow(exp(x), x) * (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x)))) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((Math.pow(Math.exp(x), x) * (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x)))) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x);
}

Python

def code(x):
	return ((math.pow(math.exp(x), x) * (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x)))) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64((exp(x) ^ x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x)))) / sqrt(pi)) / abs(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (((exp(x) ^ x) * (1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x)))) / sqrt(pi)) / abs(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[Power[N[Exp[x], $MachinePrecision], x], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left|x\right|}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. exp-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(e^{x}\right)}^{x}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

   2. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{x}\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. exp-lowering-exp.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{{\left(e^{x}\right)}^{x}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 2: 93.3% accurate, 4.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_1 := 1 + t\_0\\ t_2 := x \cdot \left(x \cdot \left(-1 - t\_0\right)\right)\\ t_3 := x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ t_4 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - t\_3\right)\\ \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 10^{+26}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1 + \left(t\_1 \cdot t\_1\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(t\_1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot t\_2\right)\right)\right)}{\left(1 + t\_2\right) \cdot \left(1 + t\_1 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot t\_1\right)\right)\right)\right)}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|}\\ \mathbf{elif}\;\left|x\right| \leq 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(\left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + t\_3\right)\right) \cdot t\_4\right) \cdot \frac{1}{1 + t\_4}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (* x x)))
        (t_1 (+ 1.0 t_0))
        (t_2 (* x (* x (- -1.0 t_0))))
        (t_3 (* x (* x (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666)))))
        (t_4 (* (* x x) (- -1.0 t_3))))
   (if (<= (fabs x) 1e+26)
     (*
      (+ 1.0 (/ 0.5 (* x x)))
      (/
       (/
        (+ 1.0 (* (* t_1 t_1) (* (* x (* x (* x x))) (* t_1 (* (* x x) t_2)))))
        (* (+ 1.0 t_2) (+ 1.0 (* t_1 (* (* x x) (* x (* x t_1)))))))
       (* (sqrt PI) (fabs x))))
     (if (<= (fabs x) 1e+51)
       (/
        (/
         (*
          (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x)))
          (* (+ 1.0 (* (* (* x x) (+ 1.0 t_3)) t_4)) (/ 1.0 (+ 1.0 t_4))))
         (sqrt PI))
        (fabs x))
       (/
        (+
         1.0
         (*
          (* x x)
          (+ 1.0 (* (* x x) (+ 0.5 (* x (* x 0.16666666666666666)))))))
        (fabs (* x (sqrt PI))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 * (x * x);
	double t_1 = 1.0 + t_0;
	double t_2 = x * (x * (-1.0 - t_0));
	double t_3 = x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)));
	double t_4 = (x * x) * (-1.0 - t_3);
	double tmp;
	if (fabs(x) <= 1e+26) {
		tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * (((1.0 + ((t_1 * t_1) * ((x * (x * (x * x))) * (t_1 * ((x * x) * t_2))))) / ((1.0 + t_2) * (1.0 + (t_1 * ((x * x) * (x * (x * t_1))))))) / (sqrt(((double) M_PI)) * fabs(x)));
	} else if (fabs(x) <= 1e+51) {
		tmp = (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_3)) * t_4)) * (1.0 / (1.0 + t_4)))) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x);
	} else {
		tmp = (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) / fabs((x * sqrt(((double) M_PI))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 * (x * x);
	double t_1 = 1.0 + t_0;
	double t_2 = x * (x * (-1.0 - t_0));
	double t_3 = x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)));
	double t_4 = (x * x) * (-1.0 - t_3);
	double tmp;
	if (Math.abs(x) <= 1e+26) {
		tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * (((1.0 + ((t_1 * t_1) * ((x * (x * (x * x))) * (t_1 * ((x * x) * t_2))))) / ((1.0 + t_2) * (1.0 + (t_1 * ((x * x) * (x * (x * t_1))))))) / (Math.sqrt(Math.PI) * Math.abs(x)));
	} else if (Math.abs(x) <= 1e+51) {
		tmp = (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_3)) * t_4)) * (1.0 / (1.0 + t_4)))) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x);
	} else {
		tmp = (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) / Math.abs((x * Math.sqrt(Math.PI)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.5 * (x * x)
	t_1 = 1.0 + t_0
	t_2 = x * (x * (-1.0 - t_0))
	t_3 = x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))
	t_4 = (x * x) * (-1.0 - t_3)
	tmp = 0
	if math.fabs(x) <= 1e+26:
		tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * (((1.0 + ((t_1 * t_1) * ((x * (x * (x * x))) * (t_1 * ((x * x) * t_2))))) / ((1.0 + t_2) * (1.0 + (t_1 * ((x * x) * (x * (x * t_1))))))) / (math.sqrt(math.pi) * math.fabs(x)))
	elif math.fabs(x) <= 1e+51:
		tmp = (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_3)) * t_4)) * (1.0 / (1.0 + t_4)))) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)
	else:
		tmp = (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) / math.fabs((x * math.sqrt(math.pi)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.5 * Float64(x * x))
	t_1 = Float64(1.0 + t_0)
	t_2 = Float64(x * Float64(x * Float64(-1.0 - t_0)))
	t_3 = Float64(x * Float64(x * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))))
	t_4 = Float64(Float64(x * x) * Float64(-1.0 - t_3))
	tmp = 0.0
	if (abs(x) <= 1e+26)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(0.5 / Float64(x * x))) * Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(t_1 * t_1) * Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))) * Float64(t_1 * Float64(Float64(x * x) * t_2))))) / Float64(Float64(1.0 + t_2) * Float64(1.0 + Float64(t_1 * Float64(Float64(x * x) * Float64(x * Float64(x * t_1))))))) / Float64(sqrt(pi) * abs(x))));
	elseif (abs(x) <= 1e+51)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) * Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + t_3)) * t_4)) * Float64(1.0 / Float64(1.0 + t_4)))) / sqrt(pi)) / abs(x));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))))))) / abs(Float64(x * sqrt(pi))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 0.5 * (x * x);
	t_1 = 1.0 + t_0;
	t_2 = x * (x * (-1.0 - t_0));
	t_3 = x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)));
	t_4 = (x * x) * (-1.0 - t_3);
	tmp = 0.0;
	if (abs(x) <= 1e+26)
		tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * (((1.0 + ((t_1 * t_1) * ((x * (x * (x * x))) * (t_1 * ((x * x) * t_2))))) / ((1.0 + t_2) * (1.0 + (t_1 * ((x * x) * (x * (x * t_1))))))) / (sqrt(pi) * abs(x)));
	elseif (abs(x) <= 1e+51)
		tmp = (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_3)) * t_4)) * (1.0 / (1.0 + t_4)))) / sqrt(pi)) / abs(x);
	else
		tmp = (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) / abs((x * sqrt(pi)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(x * N[(x * N[(-1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(x * N[(x * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-1.0 - t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Abs[x], $MachinePrecision], 1e+26], N[(N[(1.0 + N[(0.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision] * N[(N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(t$95$1 * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(1.0 + t$95$2), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(t$95$1 * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[N[Abs[x], $MachinePrecision], 1e+51], N[(N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[(1.0 + t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (fabs.f64 x) < 1.00000000000000005e26

   1. Initial program 99.7%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 96.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 96.7%

      \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 3.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 3.9%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \]

   12. Applied egg-rr 36.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1 - \left(\left(\left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}{\left(1 - x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)}}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \]

   if 1.00000000000000005e26 < (fabs.f64 x) < 1e51

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left|x\right|}} \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. exp-prod N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(e^{x}\right)}^{x}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{x}\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{{\left(e^{x}\right)}^{x}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       11. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{6} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 5.4%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

   11. Simplified 5.4%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       2. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

   13. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\right)} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \]

   if 1e51 < (fabs.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 - \frac{\left(0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot 1}{\left(1 - \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\left|\sqrt{\pi} \cdot x\right|}{e^{x \cdot x}}}} \]

   7. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right|\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)\right) \]

      5. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}} \]

   10. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{6} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 94.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 10^{+26}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1 + \left(\left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(-1 - 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-1 - 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|}\\ \mathbf{elif}\;\left|x\right| \leq 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(\left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 90.3% accurate, 4.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_1 := x \cdot \left(x \cdot t\_0\right)\\ t_2 := t\_0 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot t\_1\right)\\ t_3 := 1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\\ t_4 := t\_1 + -1\\ t_5 := \sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|\\ \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 10^{+36}:\\ \;\;\;\;t\_3 \cdot \frac{\frac{1 + t\_1 \cdot t\_2}{1 + t\_1 \cdot t\_4}}{t\_5}\\ \mathbf{elif}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+75}:\\ \;\;\;\;t\_3 \cdot \frac{\frac{t\_2 + -1}{t\_4}}{t\_5}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 1.0 (* 0.5 (* x x))))
        (t_1 (* x (* x t_0)))
        (t_2 (* t_0 (* (* x x) t_1)))
        (t_3 (+ 1.0 (/ 0.5 (* x x))))
        (t_4 (+ t_1 -1.0))
        (t_5 (* (sqrt PI) (fabs x))))
   (if (<= (fabs x) 1e+36)
     (* t_3 (/ (/ (+ 1.0 (* t_1 t_2)) (+ 1.0 (* t_1 t_4))) t_5))
     (if (<= (fabs x) 5e+75)
       (* t_3 (/ (/ (+ t_2 -1.0) t_4) t_5))
       (* (* (* x x) (* x x)) (* 0.5 (/ (sqrt (/ 1.0 PI)) (fabs x))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 + (0.5 * (x * x));
	double t_1 = x * (x * t_0);
	double t_2 = t_0 * ((x * x) * t_1);
	double t_3 = 1.0 + (0.5 / (x * x));
	double t_4 = t_1 + -1.0;
	double t_5 = sqrt(((double) M_PI)) * fabs(x);
	double tmp;
	if (fabs(x) <= 1e+36) {
		tmp = t_3 * (((1.0 + (t_1 * t_2)) / (1.0 + (t_1 * t_4))) / t_5);
	} else if (fabs(x) <= 5e+75) {
		tmp = t_3 * (((t_2 + -1.0) / t_4) / t_5);
	} else {
		tmp = ((x * x) * (x * x)) * (0.5 * (sqrt((1.0 / ((double) M_PI))) / fabs(x)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 + (0.5 * (x * x));
	double t_1 = x * (x * t_0);
	double t_2 = t_0 * ((x * x) * t_1);
	double t_3 = 1.0 + (0.5 / (x * x));
	double t_4 = t_1 + -1.0;
	double t_5 = Math.sqrt(Math.PI) * Math.abs(x);
	double tmp;
	if (Math.abs(x) <= 1e+36) {
		tmp = t_3 * (((1.0 + (t_1 * t_2)) / (1.0 + (t_1 * t_4))) / t_5);
	} else if (Math.abs(x) <= 5e+75) {
		tmp = t_3 * (((t_2 + -1.0) / t_4) / t_5);
	} else {
		tmp = ((x * x) * (x * x)) * (0.5 * (Math.sqrt((1.0 / Math.PI)) / Math.abs(x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 + (0.5 * (x * x))
	t_1 = x * (x * t_0)
	t_2 = t_0 * ((x * x) * t_1)
	t_3 = 1.0 + (0.5 / (x * x))
	t_4 = t_1 + -1.0
	t_5 = math.sqrt(math.pi) * math.fabs(x)
	tmp = 0
	if math.fabs(x) <= 1e+36:
		tmp = t_3 * (((1.0 + (t_1 * t_2)) / (1.0 + (t_1 * t_4))) / t_5)
	elif math.fabs(x) <= 5e+75:
		tmp = t_3 * (((t_2 + -1.0) / t_4) / t_5)
	else:
		tmp = ((x * x) * (x * x)) * (0.5 * (math.sqrt((1.0 / math.pi)) / math.fabs(x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 + Float64(0.5 * Float64(x * x)))
	t_1 = Float64(x * Float64(x * t_0))
	t_2 = Float64(t_0 * Float64(Float64(x * x) * t_1))
	t_3 = Float64(1.0 + Float64(0.5 / Float64(x * x)))
	t_4 = Float64(t_1 + -1.0)
	t_5 = Float64(sqrt(pi) * abs(x))
	tmp = 0.0
	if (abs(x) <= 1e+36)
		tmp = Float64(t_3 * Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(t_1 * t_2)) / Float64(1.0 + Float64(t_1 * t_4))) / t_5));
	elseif (abs(x) <= 5e+75)
		tmp = Float64(t_3 * Float64(Float64(Float64(t_2 + -1.0) / t_4) / t_5));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x)) * Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / pi)) / abs(x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 1.0 + (0.5 * (x * x));
	t_1 = x * (x * t_0);
	t_2 = t_0 * ((x * x) * t_1);
	t_3 = 1.0 + (0.5 / (x * x));
	t_4 = t_1 + -1.0;
	t_5 = sqrt(pi) * abs(x);
	tmp = 0.0;
	if (abs(x) <= 1e+36)
		tmp = t_3 * (((1.0 + (t_1 * t_2)) / (1.0 + (t_1 * t_4))) / t_5);
	elseif (abs(x) <= 5e+75)
		tmp = t_3 * (((t_2 + -1.0) / t_4) / t_5);
	else
		tmp = ((x * x) * (x * x)) * (0.5 * (sqrt((1.0 / pi)) / abs(x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 + N[(0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(x * N[(x * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$0 * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(1.0 + N[(0.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(t$95$1 + -1.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Abs[x], $MachinePrecision], 1e+36], N[(t$95$3 * N[(N[(N[(1.0 + N[(t$95$1 * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(t$95$1 * t$95$4), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[N[Abs[x], $MachinePrecision], 5e+75], N[(t$95$3 * N[(N[(N[(t$95$2 + -1.0), $MachinePrecision] / t$95$4), $MachinePrecision] / t$95$5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (fabs.f64 x) < 1.00000000000000004e36

   1. Initial program 99.8%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 97.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 97.9%

      \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 3.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 3.9%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. flip3-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{{1}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({1}^{3} + {\left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)}^{3}\right), \left(1 \cdot 1 + \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right) - 1 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 38.8%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) - 1\right)}}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \]

   if 1.00000000000000004e36 < (fabs.f64 x) < 5.0000000000000002e75

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 5.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 5.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + 1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + 1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       4. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) - 1 \cdot 1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) - 1 \cdot 1\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 100.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) - 1}{x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) - 1}}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \]

   if 5.0000000000000002e75 < (fabs.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

       9. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{5}{4}} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

       10. associate-*l/ N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{5}{4} \cdot \frac{1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|}}\right)\right) \]

       11. *-lft-identity N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{5}{4} \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left|x\right|}\right)\right) \]

       12. associate-*r/ N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\frac{5}{4} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|}}\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{5}{4}}{\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left|x\right|}\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{5}{4}}{\left|x\right| \cdot \color{blue}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

       15. times-frac N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{5}{4}}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

   13. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(0.5 + \frac{1.25}{x \cdot x}\right)\right)} \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right)}\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)}\right)\right) \]

       2. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot 1}{\color{blue}{\left|x\right|}}\right)\right)\right) \]

       3. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|\color{blue}{x}\right|}\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right)\right) \]

       7. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right)\right) \]

       8. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 92.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 10^{+36}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{1 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + -1\right)}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|}\\ \mathbf{elif}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+75}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{\left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) + -1}{x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + -1}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 91.2% accurate, 5.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ t_1 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - t\_0\right)\\ \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(\left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + t\_0\right)\right) \cdot t\_1\right) \cdot \frac{1}{1 + t\_1}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666)))))
        (t_1 (* (* x x) (- -1.0 t_0))))
   (if (<= (fabs x) 1e+51)
     (/
      (/
       (*
        (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x)))
        (* (+ 1.0 (* (* (* x x) (+ 1.0 t_0)) t_1)) (/ 1.0 (+ 1.0 t_1))))
       (sqrt PI))
      (fabs x))
     (/
      (+
       1.0
       (* (* x x) (+ 1.0 (* (* x x) (+ 0.5 (* x (* x 0.16666666666666666)))))))
      (fabs (* x (sqrt PI)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)));
	double t_1 = (x * x) * (-1.0 - t_0);
	double tmp;
	if (fabs(x) <= 1e+51) {
		tmp = (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_0)) * t_1)) * (1.0 / (1.0 + t_1)))) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x);
	} else {
		tmp = (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) / fabs((x * sqrt(((double) M_PI))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)));
	double t_1 = (x * x) * (-1.0 - t_0);
	double tmp;
	if (Math.abs(x) <= 1e+51) {
		tmp = (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_0)) * t_1)) * (1.0 / (1.0 + t_1)))) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x);
	} else {
		tmp = (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) / Math.abs((x * Math.sqrt(Math.PI)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)))
	t_1 = (x * x) * (-1.0 - t_0)
	tmp = 0
	if math.fabs(x) <= 1e+51:
		tmp = (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_0)) * t_1)) * (1.0 / (1.0 + t_1)))) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)
	else:
		tmp = (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) / math.fabs((x * math.sqrt(math.pi)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))))
	t_1 = Float64(Float64(x * x) * Float64(-1.0 - t_0))
	tmp = 0.0
	if (abs(x) <= 1e+51)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) * Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + t_0)) * t_1)) * Float64(1.0 / Float64(1.0 + t_1)))) / sqrt(pi)) / abs(x));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))))))) / abs(Float64(x * sqrt(pi))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666)));
	t_1 = (x * x) * (-1.0 - t_0);
	tmp = 0.0;
	if (abs(x) <= 1e+51)
		tmp = (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * ((1.0 + (((x * x) * (1.0 + t_0)) * t_1)) * (1.0 / (1.0 + t_1)))) / sqrt(pi)) / abs(x);
	else
		tmp = (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) / abs((x * sqrt(pi)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Abs[x], $MachinePrecision], 1e+51], N[(N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (fabs.f64 x) < 1e51

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left|x\right|}} \]

      2. associate-/r* N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. exp-prod N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(e^{x}\right)}^{x}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{x}\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{{\left(e^{x}\right)}^{x}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       11. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{6} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 4.8%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

   11. Simplified 4.8%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       2. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

   13. Applied egg-rr 54.3%

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\right)} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \]

   if 1e51 < (fabs.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 - \frac{\left(0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot 1}{\left(1 - \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\left|\sqrt{\pi} \cdot x\right|}{e^{x \cdot x}}}} \]

   7. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right|\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)\right) \]

      5. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}} \]

   10. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{6} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(\left(1 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-1 - x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 87.4% accurate, 5.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{x \cdot x}\\ t_1 := \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{{\pi}^{-0.5} \cdot \left(1 - t\_1 \cdot t\_1\right)}{\left|x\right| \cdot \left(1 - t\_1\right)} \cdot \left(1 + t\_0 \cdot \left(0.5 + \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right) \cdot t\_0\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (* x x))) (t_1 (* (* x x) (+ 1.0 (* 0.5 (* x x))))))
   (if (<= (fabs x) 1e+51)
     (*
      (/ (* (pow PI -0.5) (- 1.0 (* t_1 t_1))) (* (fabs x) (- 1.0 t_1)))
      (+ 1.0 (* t_0 (+ 0.5 (* (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) t_0)))))
     (/
      (+
       1.0
       (* (* x x) (+ 1.0 (* (* x x) (+ 0.5 (* x (* x 0.16666666666666666)))))))
      (fabs (* x (sqrt PI)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / (x * x);
	double t_1 = (x * x) * (1.0 + (0.5 * (x * x)));
	double tmp;
	if (fabs(x) <= 1e+51) {
		tmp = ((pow(((double) M_PI), -0.5) * (1.0 - (t_1 * t_1))) / (fabs(x) * (1.0 - t_1))) * (1.0 + (t_0 * (0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) * t_0))));
	} else {
		tmp = (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) / fabs((x * sqrt(((double) M_PI))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 / (x * x);
	double t_1 = (x * x) * (1.0 + (0.5 * (x * x)));
	double tmp;
	if (Math.abs(x) <= 1e+51) {
		tmp = ((Math.pow(Math.PI, -0.5) * (1.0 - (t_1 * t_1))) / (Math.abs(x) * (1.0 - t_1))) * (1.0 + (t_0 * (0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) * t_0))));
	} else {
		tmp = (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) / Math.abs((x * Math.sqrt(Math.PI)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 / (x * x)
	t_1 = (x * x) * (1.0 + (0.5 * (x * x)))
	tmp = 0
	if math.fabs(x) <= 1e+51:
		tmp = ((math.pow(math.pi, -0.5) * (1.0 - (t_1 * t_1))) / (math.fabs(x) * (1.0 - t_1))) * (1.0 + (t_0 * (0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) * t_0))))
	else:
		tmp = (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) / math.fabs((x * math.sqrt(math.pi)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 / Float64(x * x))
	t_1 = Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(0.5 * Float64(x * x))))
	tmp = 0.0
	if (abs(x) <= 1e+51)
		tmp = Float64(Float64(Float64((pi ^ -0.5) * Float64(1.0 - Float64(t_1 * t_1))) / Float64(abs(x) * Float64(1.0 - t_1))) * Float64(1.0 + Float64(t_0 * Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) * t_0)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))))))) / abs(Float64(x * sqrt(pi))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 1.0 / (x * x);
	t_1 = (x * x) * (1.0 + (0.5 * (x * x)));
	tmp = 0.0;
	if (abs(x) <= 1e+51)
		tmp = (((pi ^ -0.5) * (1.0 - (t_1 * t_1))) / (abs(x) * (1.0 - t_1))) * (1.0 + (t_0 * (0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) * t_0))));
	else
		tmp = (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) / abs((x * sqrt(pi)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Abs[x], $MachinePrecision], 1e+51], N[(N[(N[(N[Power[Pi, -0.5], $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[(1.0 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(t$95$0 * N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (fabs.f64 x) < 1e51

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) + {x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right) + \left({x}^{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 4.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(1 + x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot 0.5\right) + 1\right) \cdot x\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} \cdot \frac{1 \cdot 1 - \left(x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right) + 1\right) \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right) + 1\right) \cdot x\right)\right)}{1 - x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right) + 1\right) \cdot x\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. frac-times N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right) + 1\right) \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right) + 1\right) \cdot x\right)\right)\right)}{\left|x\right| \cdot \left(1 - x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right) + 1\right) \cdot x\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right) + 1\right) \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right) + 1\right) \cdot x\right)\right)\right)\right), \left(\left|x\right| \cdot \left(1 - x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{2}\right) + 1\right) \cdot x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 27.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\pi}^{-0.5} \cdot \left(1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}{\left|x\right| \cdot \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

   if 1e51 < (fabs.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 - \frac{\left(0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot 1}{\left(1 - \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\left|\sqrt{\pi} \cdot x\right|}{e^{x \cdot x}}}} \]

   7. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)}\right) \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right|\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)\right) \]

      5. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. PI-lowering-PI.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}} \]

   10. Taylor expanded in x around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. associate-*r* N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{6} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 100.0%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 87.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{{\pi}^{-0.5} \cdot \left(1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)}{\left|x\right| \cdot \left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{1}{x \cdot x}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.9% accurate, 5.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}\\ \frac{1 - \frac{t\_0 \cdot t\_0}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{\frac{1 - \frac{t\_0}{x \cdot x}}{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x)))))
   (/
    (- 1.0 (/ (* t_0 t_0) (* x (* x (* x x)))))
    (/ (- 1.0 (/ t_0 (* x x))) (/ (exp (* x x)) (fabs (* x (sqrt PI))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x));
	return (1.0 - ((t_0 * t_0) / (x * (x * (x * x))))) / ((1.0 - (t_0 / (x * x))) / (exp((x * x)) / fabs((x * sqrt(((double) M_PI))))));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x));
	return (1.0 - ((t_0 * t_0) / (x * (x * (x * x))))) / ((1.0 - (t_0 / (x * x))) / (Math.exp((x * x)) / Math.abs((x * Math.sqrt(Math.PI)))));
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))
	return (1.0 - ((t_0 * t_0) / (x * (x * (x * x))))) / ((1.0 - (t_0 / (x * x))) / (math.exp((x * x)) / math.fabs((x * math.sqrt(math.pi)))))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x)))
	return Float64(Float64(1.0 - Float64(Float64(t_0 * t_0) / Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))))) / Float64(Float64(1.0 - Float64(t_0 / Float64(x * x))) / Float64(exp(Float64(x * x)) / abs(Float64(x * sqrt(pi))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = 0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x));
	tmp = (1.0 - ((t_0 * t_0) / (x * (x * (x * x))))) / ((1.0 - (t_0 / (x * x))) / (exp((x * x)) / abs((x * sqrt(pi)))));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(1.0 - N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] / N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(1.0 - N[(t$95$0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Abs[N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 - \frac{\left(0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot 1}{\left(1 - \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\left|\sqrt{\pi} \cdot x\right|}{e^{x \cdot x}}}} \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - \frac{\left(0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{\frac{1 - \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}}}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 7: 87.1% accurate, 5.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_1 := x \cdot \left(x \cdot t\_0\right)\\ \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+75}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{t\_0 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot t\_1\right) + -1}{t\_1 + -1}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 1.0 (* 0.5 (* x x)))) (t_1 (* x (* x t_0))))
   (if (<= (fabs x) 5e+75)
     (*
      (+ 1.0 (/ 0.5 (* x x)))
      (/
       (/ (+ (* t_0 (* (* x x) t_1)) -1.0) (+ t_1 -1.0))
       (* (sqrt PI) (fabs x))))
     (* (* (* x x) (* x x)) (* 0.5 (/ (sqrt (/ 1.0 PI)) (fabs x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 + (0.5 * (x * x));
	double t_1 = x * (x * t_0);
	double tmp;
	if (fabs(x) <= 5e+75) {
		tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((((t_0 * ((x * x) * t_1)) + -1.0) / (t_1 + -1.0)) / (sqrt(((double) M_PI)) * fabs(x)));
	} else {
		tmp = ((x * x) * (x * x)) * (0.5 * (sqrt((1.0 / ((double) M_PI))) / fabs(x)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 1.0 + (0.5 * (x * x));
	double t_1 = x * (x * t_0);
	double tmp;
	if (Math.abs(x) <= 5e+75) {
		tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((((t_0 * ((x * x) * t_1)) + -1.0) / (t_1 + -1.0)) / (Math.sqrt(Math.PI) * Math.abs(x)));
	} else {
		tmp = ((x * x) * (x * x)) * (0.5 * (Math.sqrt((1.0 / Math.PI)) / Math.abs(x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 1.0 + (0.5 * (x * x))
	t_1 = x * (x * t_0)
	tmp = 0
	if math.fabs(x) <= 5e+75:
		tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((((t_0 * ((x * x) * t_1)) + -1.0) / (t_1 + -1.0)) / (math.sqrt(math.pi) * math.fabs(x)))
	else:
		tmp = ((x * x) * (x * x)) * (0.5 * (math.sqrt((1.0 / math.pi)) / math.fabs(x)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(1.0 + Float64(0.5 * Float64(x * x)))
	t_1 = Float64(x * Float64(x * t_0))
	tmp = 0.0
	if (abs(x) <= 5e+75)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(0.5 / Float64(x * x))) * Float64(Float64(Float64(Float64(t_0 * Float64(Float64(x * x) * t_1)) + -1.0) / Float64(t_1 + -1.0)) / Float64(sqrt(pi) * abs(x))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x)) * Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / pi)) / abs(x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 1.0 + (0.5 * (x * x));
	t_1 = x * (x * t_0);
	tmp = 0.0;
	if (abs(x) <= 5e+75)
		tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((((t_0 * ((x * x) * t_1)) + -1.0) / (t_1 + -1.0)) / (sqrt(pi) * abs(x)));
	else
		tmp = ((x * x) * (x * x)) * (0.5 * (sqrt((1.0 / pi)) / abs(x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(1.0 + N[(0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(x * N[(x * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[Abs[x], $MachinePrecision], 5e+75], N[(N[(1.0 + N[(0.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(t$95$0 * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision] / N[(t$95$1 + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (fabs.f64 x) < 5.0000000000000002e75

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 99.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 4.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 4.5%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) + 1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{2}\right) + 1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       3. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 1\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       4. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) - 1 \cdot 1}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 1}\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) - 1 \cdot 1\right), \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 1\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 52.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) - 1}{x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) - 1}}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \]

   if 5.0000000000000002e75 < (fabs.f64 x)

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}\right) \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

       3. pow-sqr N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

       9. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{5}{4}} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

       10. associate-*l/ N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{5}{4} \cdot \frac{1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|}}\right)\right) \]

       11. *-lft-identity N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{5}{4} \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left|x\right|}\right)\right) \]

       12. associate-*r/ N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\frac{5}{4} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|}}\right)\right) \]

       13. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{5}{4}}{\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left|x\right|}\right)\right) \]

       14. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{5}{4}}{\left|x\right| \cdot \color{blue}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

       15. times-frac N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{5}{4}}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

   13. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(0.5 + \frac{1.25}{x \cdot x}\right)\right)} \]

   14. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right)}\right) \]
   15. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)}\right)\right) \]

       2. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot 1}{\color{blue}{\left|x\right|}}\right)\right)\right) \]

       3. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|\color{blue}{x}\right|}\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right)\right) \]

       7. PI-lowering-PI.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right)\right) \]

       8. fabs-lowering-fabs.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 87.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| \leq 5 \cdot 10^{+75}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\frac{\left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) + -1}{x \cdot \left(x \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + -1}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 100.0% accurate, 6.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (/
   (*
    (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x)))
    (exp (* x x)))
   (sqrt PI))
  (fabs x)))

C

double code(double x) {
	return (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * exp((x * x))) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * Math.exp((x * x))) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x);
}

Python

def code(x):
	return (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * math.exp((x * x))) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) * exp(Float64(x * x))) / sqrt(pi)) / abs(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) * exp((x * x))) / sqrt(pi)) / abs(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left|x\right|}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}} \]

7. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \frac{\frac{\left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \]
8. Add Preprocessing

Alternative 9: 99.5% accurate, 6.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (/ (exp (* x x)) (* (sqrt PI) (fabs x)))
  (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ 0.75 (* x x))) (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return (exp((x * x)) / (sqrt(((double) M_PI)) * fabs(x))) * (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp((x * x)) / (Math.sqrt(Math.PI) * Math.abs(x))) * (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return (math.exp((x * x)) / (math.sqrt(math.pi) * math.fabs(x))) * (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(Float64(x * x)) / Float64(sqrt(pi) * abs(x))) * Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(0.75 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp((x * x)) / (sqrt(pi) * abs(x))) * (1.0 + ((0.5 + (0.75 / (x * x))) / (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(0.75 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({\color{blue}{x}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{3}{4} \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\frac{3}{4}}{{x}^{2}}\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 99.8%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5 + \frac{0.75}{x \cdot x}}{x \cdot x}}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 10: 99.6% accurate, 6.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (/ (* (exp (* x x)) (+ 1.0 (/ 0.5 (* x x)))) (sqrt PI)) (fabs x)))

C

double code(double x) {
	return ((exp((x * x)) * (1.0 + (0.5 / (x * x)))) / sqrt(((double) M_PI))) / fabs(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((Math.exp((x * x)) * (1.0 + (0.5 / (x * x)))) / Math.sqrt(Math.PI)) / Math.abs(x);
}

Python

def code(x):
	return ((math.exp((x * x)) * (1.0 + (0.5 / (x * x)))) / math.sqrt(math.pi)) / math.fabs(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(exp(Float64(x * x)) * Float64(1.0 + Float64(0.5 / Float64(x * x)))) / sqrt(pi)) / abs(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((exp((x * x)) * (1.0 + (0.5 / (x * x)))) / sqrt(pi)) / abs(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(0.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{\frac{1}{2}}{x \cdot x}\right)}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left|x\right|}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{\frac{1}{2}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{\frac{1}{2}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{\frac{1}{2}}{x \cdot x}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(e^{x \cdot x}\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2}}{x \cdot x}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   6. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2}}{x \cdot x}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(1 + \frac{\frac{1}{2}}{x \cdot x}\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\frac{1}{2}}{x \cdot x}\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   13. fabs-lowering-fabs.f64 99.7%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 11: 99.5% accurate, 6.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (/ (exp (* x x)) (* (sqrt PI) (fabs x))) (+ 1.0 (/ 0.5 (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return (exp((x * x)) / (sqrt(((double) M_PI)) * fabs(x))) * (1.0 + (0.5 / (x * x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp((x * x)) / (Math.sqrt(Math.PI) * Math.abs(x))) * (1.0 + (0.5 / (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return (math.exp((x * x)) / (math.sqrt(math.pi) * math.fabs(x))) * (1.0 + (0.5 / (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(Float64(x * x)) / Float64(sqrt(pi) * abs(x))) * Float64(1.0 + Float64(0.5 / Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp((x * x)) / (sqrt(pi) * abs(x))) * (1.0 + (0.5 / (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(0.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 12: 99.5% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x \cdot x}}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (exp (* x x)) (fabs (* x (sqrt PI)))))

C

double code(double x) {
	return exp((x * x)) / fabs((x * sqrt(((double) M_PI))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.exp((x * x)) / Math.abs((x * Math.sqrt(Math.PI)));
}

Python

def code(x):
	return math.exp((x * x)) / math.fabs((x * math.sqrt(math.pi)))

Julia

function code(x)
	return Float64(exp(Float64(x * x)) / abs(Float64(x * sqrt(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = exp((x * x)) / abs((x * sqrt(pi)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Exp[N[(x * x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Abs[N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 - \frac{\left(0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot 1}{\left(1 - \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\left|\sqrt{\pi} \cdot x\right|}{e^{x \cdot x}}}} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)}\right) \]

   2. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right|\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)\right) \]

   5. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 13: 83.9% accurate, 8.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (/
   (+ 1.0 (/ (+ 0.5 (/ (+ 0.75 (/ 1.875 (* x x))) (* x x))) (* x x)))
   (fabs x))
  (/
   (+
    1.0
    (* (* x x) (+ 1.0 (* x (* x (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666)))))))
   (sqrt PI))))

C

double code(double x) {
	return ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / fabs(x)) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / sqrt(((double) M_PI)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / Math.abs(x)) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / Math.sqrt(Math.PI));
}

Python

def code(x):
	return ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / math.fabs(x)) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / math.sqrt(math.pi))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(0.5 + Float64(Float64(0.75 + Float64(1.875 / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / Float64(x * x))) / abs(x)) * Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))))))) / sqrt(pi)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((1.0 + ((0.5 + ((0.75 + (1.875 / (x * x))) / (x * x))) / (x * x))) / abs(x)) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / sqrt(pi));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(1.0 + N[(N[(0.5 + N[(N[(0.75 + N[(1.875 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left|x\right|}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}\right)\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{e^{x \cdot x} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. exp-prod N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({\left(e^{x}\right)}^{x}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

   2. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(e^{x}\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. exp-lowering-exp.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{{\left(e^{x}\right)}^{x}} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \]

9. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    11. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{6} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    12. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    14. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 83.6%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

11. Simplified 83.6%

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\sqrt{\pi}}}{\left|x\right|} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-/l/ N/A

       \[\leadsto \frac{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\color{blue}{\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{\left(1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

    3. times-frac N/A

       \[\leadsto \frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{3}{4} + \frac{\frac{15}{8}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\left|x\right|}\right), \color{blue}{\left(\frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right) \]

13. Applied egg-rr 83.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{\left|x\right|} \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 14: 83.8% accurate, 9.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (+ 1.0 (/ 0.5 (* x x)))
  (/
   (+
    1.0
    (* (* x x) (+ 1.0 (* x (* x (+ 0.5 (* (* x x) 0.16666666666666666)))))))
   (* (sqrt PI) (fabs x)))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / (sqrt(((double) M_PI)) * fabs(x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / (Math.sqrt(Math.PI) * Math.abs(x)));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / (math.sqrt(math.pi) * math.fabs(x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(0.5 / Float64(x * x))) * Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.5 + Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666))))))) / Float64(sqrt(pi) * abs(x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 + (0.5 / (x * x))) * ((1.0 + ((x * x) * (1.0 + (x * (x * (0.5 + ((x * x) * 0.16666666666666666))))))) / (sqrt(pi) * abs(x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(0.5 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(x * N[(x * N[(0.5 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 83.6%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 83.6%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \]

11. Final simplification 83.6%

    \[\leadsto \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 15: 83.8% accurate, 9.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+
   1.0
   (* (* x x) (+ 1.0 (* (* x x) (+ 0.5 (* x (* x 0.16666666666666666)))))))
  (fabs (* x (sqrt PI)))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) / fabs((x * sqrt(((double) M_PI))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) / Math.abs((x * Math.sqrt(Math.PI)));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) / math.fabs((x * math.sqrt(math.pi)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.5 + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))))))) / abs(Float64(x * sqrt(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 + ((x * x) * (1.0 + ((x * x) * (0.5 + (x * (x * 0.16666666666666666))))))) / abs((x * sqrt(pi)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 - \frac{\left(0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot 1}{\left(1 - \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\left|\sqrt{\pi} \cdot x\right|}{e^{x \cdot x}}}} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)}\right) \]

   2. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right|\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)\right) \]

   5. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}} \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(\frac{1}{6} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{1}{6} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 83.6%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 83.6%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 16: 75.7% accurate, 9.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \frac{0.5 + \frac{1.25}{x \cdot x}}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (* (* x x) (* x x)) (/ (+ 0.5 (/ 1.25 (* x x))) (fabs (* x (sqrt PI))))))

C

double code(double x) {
	return ((x * x) * (x * x)) * ((0.5 + (1.25 / (x * x))) / fabs((x * sqrt(((double) M_PI)))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((x * x) * (x * x)) * ((0.5 + (1.25 / (x * x))) / Math.abs((x * Math.sqrt(Math.PI))));
}

Python

def code(x):
	return ((x * x) * (x * x)) * ((0.5 + (1.25 / (x * x))) / math.fabs((x * math.sqrt(math.pi))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x)) * Float64(Float64(0.5 + Float64(1.25 / Float64(x * x))) / abs(Float64(x * sqrt(pi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * x) * (x * x)) * ((0.5 + (1.25 / (x * x))) / abs((x * sqrt(pi))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(0.5 + N[(1.25 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 75.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 75.4%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \]

11. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    3. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{5}{4}} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    10. associate-*l/ N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{5}{4} \cdot \frac{1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|}}\right)\right) \]

    11. *-lft-identity N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{5}{4} \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left|x\right|}\right)\right) \]

    12. associate-*r/ N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\frac{5}{4} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|}}\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{5}{4}}{\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left|x\right|}\right)\right) \]

    14. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{5}{4}}{\left|x\right| \cdot \color{blue}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

    15. times-frac N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{5}{4}}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

13. Simplified 75.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(0.5 + \frac{1.25}{x \cdot x}\right)\right)} \]
14. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{5}{4}}{x \cdot x}\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}}\right)\right) \]

    2. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{5}{4}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\left|x\right|}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}}}\right)\right) \]

    3. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{5}{4}}{x \cdot x}}{\color{blue}{\frac{\left|x\right|}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}}}\right)\right) \]

    4. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{5}{4}}{x \cdot x}}{\frac{1}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}}}}\right)\right) \]

    5. sqrt-div N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{5}{4}}{x \cdot x}}{\frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|\color{blue}{x}\right|}}}\right)\right) \]

    6. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{5}{4}}{x \cdot x}}{\frac{1}{\frac{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}}}\right)\right) \]

    7. associate-/l/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{5}{4}}{x \cdot x}}{\frac{1}{\frac{1}{\color{blue}{\left|x\right| \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}}}\right)\right) \]

    8. add-sqr-sqrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{5}{4}}{x \cdot x}}{\frac{1}{\frac{1}{\left|x\right| \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}}}}\right)\right) \]

    9. rem-sqrt-square N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{5}{4}}{x \cdot x}}{\frac{1}{\frac{1}{\left|x\right| \cdot \left|\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|}}}\right)\right) \]

    10. fabs-mul N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{5}{4}}{x \cdot x}}{\frac{1}{\frac{1}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|}}}\right)\right) \]

    11. clear-num N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{5}{4}}{x \cdot x}}{\frac{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|}{\color{blue}{1}}}\right)\right) \]

    12. /-rgt-identity N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{\frac{5}{4}}{x \cdot x}}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|}\right)\right) \]

    13. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + \frac{\frac{5}{4}}{x \cdot x}\right), \color{blue}{\left(\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)}\right)\right) \]

15. Applied egg-rr 75.4%

    \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{0.5 + \frac{1.25}{x \cdot x}}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 17: 75.7% accurate, 9.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (+ 1.0 (* (* x x) (+ 1.0 (* 0.5 (* x x))))) (fabs (* x (sqrt PI)))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (0.5 * (x * x))))) / fabs((x * sqrt(((double) M_PI))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (0.5 * (x * x))))) / Math.abs((x * Math.sqrt(Math.PI)));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (0.5 * (x * x))))) / math.fabs((x * math.sqrt(math.pi)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(1.0 + Float64(0.5 * Float64(x * x))))) / abs(Float64(x * sqrt(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 + ((x * x) * (1.0 + (0.5 * (x * x))))) / abs((x * sqrt(pi)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 - \frac{\left(0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot 1}{\left(1 - \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\left|\sqrt{\pi} \cdot x\right|}{e^{x \cdot x}}}} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)}\right) \]

   2. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right|\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)\right) \]

   5. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}} \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f64}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 75.4%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 75.4%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)}}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|} \]

13. Final simplification 75.4%

    \[\leadsto \frac{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 18: 75.9% accurate, 9.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (* (* x x) (* x x)) (* 0.5 (/ (sqrt (/ 1.0 PI)) (fabs x)))))

C

double code(double x) {
	return ((x * x) * (x * x)) * (0.5 * (sqrt((1.0 / ((double) M_PI))) / fabs(x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return ((x * x) * (x * x)) * (0.5 * (Math.sqrt((1.0 / Math.PI)) / Math.abs(x)));
}

Python

def code(x):
	return ((x * x) * (x * x)) * (0.5 * (math.sqrt((1.0 / math.pi)) / math.fabs(x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(x * x)) * Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / pi)) / abs(x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * x) * (x * x)) * (0.5 * (sqrt((1.0 / pi)) / abs(x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 75.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 75.4%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \]

11. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    3. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{5}{4}} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    10. associate-*l/ N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{5}{4} \cdot \frac{1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|}}\right)\right) \]

    11. *-lft-identity N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{5}{4} \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left|x\right|}\right)\right) \]

    12. associate-*r/ N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\frac{5}{4} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|}}\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{5}{4}}{\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left|x\right|}\right)\right) \]

    14. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{5}{4}}{\left|x\right| \cdot \color{blue}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

    15. times-frac N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{5}{4}}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

13. Simplified 75.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(0.5 + \frac{1.25}{x \cdot x}\right)\right)} \]

14. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right)}\right) \]
15. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)}\right)\right) \]

    2. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot 1}{\color{blue}{\left|x\right|}}\right)\right)\right) \]

    3. *-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|\color{blue}{x}\right|}\right)\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right)\right)\right) \]

    5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right)\right)\right) \]

    8. fabs-lowering-fabs.f64 75.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 75.4%

    \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|}\right)} \]
17. Add Preprocessing

Alternative 19: 68.5% accurate, 9.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) \cdot \frac{0.5}{\left|x\right|}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (* x x) (* (* (* x x) (sqrt (/ 1.0 PI))) (/ 0.5 (fabs x)))))

C

double code(double x) {
	return (x * x) * (((x * x) * sqrt((1.0 / ((double) M_PI)))) * (0.5 / fabs(x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (x * x) * (((x * x) * Math.sqrt((1.0 / Math.PI))) * (0.5 / Math.abs(x)));
}

Python

def code(x):
	return (x * x) * (((x * x) * math.sqrt((1.0 / math.pi))) * (0.5 / math.fabs(x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(Float64(x * x) * sqrt(Float64(1.0 / pi))) * Float64(0.5 / abs(x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * x) * (((x * x) * sqrt((1.0 / pi))) * (0.5 / abs(x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 75.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 75.4%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \]

11. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{4}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{4}}{\left|x\right|}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    2. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot {x}^{4}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    3. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot {x}^{\left(2 \cdot 2\right)}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

    4. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

    5. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{{x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \]

    7. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}}{\left|x\right|}\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    8. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{2}}{\left|x\right|}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}} \]

    9. associate-*r* N/A

       \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x}^{2}}{\left|x\right|}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)} \]

    10. associate-*r* N/A

        \[\leadsto {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)}\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}\right) \]

    12. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    14. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{2}}\right)\right) \]

    15. associate-*l/ N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{{x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

    16. associate-*l/ N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{\left({x}^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{\left|x\right|}}\right)\right) \]

13. Simplified 66.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) \cdot \frac{0.5}{\left|x\right|}\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 20: 52.4% accurate, 9.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 1.25\right)}{\left|x\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* (sqrt (/ 1.0 PI)) (* (* x x) 1.25)) (fabs x)))

C

double code(double x) {
	return (sqrt((1.0 / ((double) M_PI))) * ((x * x) * 1.25)) / fabs(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.sqrt((1.0 / Math.PI)) * ((x * x) * 1.25)) / Math.abs(x);
}

Python

def code(x):
	return (math.sqrt((1.0 / math.pi)) * ((x * x) * 1.25)) / math.fabs(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 / pi)) * Float64(Float64(x * x) * 1.25)) / abs(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (sqrt((1.0 / pi)) * ((x * x) * 1.25)) / abs(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 1.25), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{{x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{0.5}{x \cdot x}}\right) \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 75.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 75.4%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{0.5}{x \cdot x}\right) \]

11. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)}\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    3. pow-sqr N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left({x}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} + \frac{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    9. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \color{blue}{\frac{5}{4}} \cdot \left(\frac{1}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    10. associate-*l/ N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{5}{4} \cdot \frac{1 \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|}}\right)\right) \]

    11. *-lft-identity N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{5}{4} \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left|x\right|}\right)\right) \]

    12. associate-*r/ N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\frac{5}{4} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{{x}^{2} \cdot \left|x\right|}}\right)\right) \]

    13. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{5}{4}}{\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left|x\right|}\right)\right) \]

    14. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{5}{4}}{\left|x\right| \cdot \color{blue}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

    15. times-frac N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{5}{4}}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

13. Simplified 75.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|} \cdot \left(0.5 + \frac{1.25}{x \cdot x}\right)\right)} \]

14. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{5}{4} \cdot \left(\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)} \]
15. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{5}{4} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \color{blue}{\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|}}\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(\frac{5}{4} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \color{blue}{\frac{{x}^{2}}{\left|x\right|}} \]

    3. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \left(\frac{5}{4} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \frac{1 \cdot {x}^{2}}{\left|\color{blue}{x}\right|} \]

    4. associate-*l/ N/A

       \[\leadsto \left(\frac{5}{4} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right) \]

    5. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \left(\left(\frac{5}{4} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \color{blue}{{x}^{2}} \]

    6. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(\frac{5}{4} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \cdot {\color{blue}{x}}^{2} \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto {x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{5}{4} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right)} \]

    8. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \frac{5}{4}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)} \]

    9. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \frac{5}{4}\right) \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot 1}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

    10. *-rgt-identity N/A

        \[\leadsto \left({x}^{2} \cdot \frac{5}{4}\right) \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|\color{blue}{x}\right|} \]

    11. associate-*r/ N/A

        \[\leadsto \frac{\left({x}^{2} \cdot \frac{5}{4}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

    12. /-lowering-/.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left({x}^{2} \cdot \frac{5}{4}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

16. Simplified 51.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 1.25\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|}} \]

17. Final simplification 51.2%

    \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 1.25\right)}{\left|x\right|} \]
18. Add Preprocessing

Alternative 21: 52.2% accurate, 10.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1 + x \cdot x}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (+ 1.0 (* x x)) (fabs (* x (sqrt PI)))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 + (x * x)) / fabs((x * sqrt(((double) M_PI))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 + (x * x)) / Math.abs((x * Math.sqrt(Math.PI)));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 + (x * x)) / math.fabs((x * math.sqrt(math.pi)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(x * x)) / abs(Float64(x * sqrt(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 + (x * x)) / abs((x * sqrt(pi)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Abs[N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 - \frac{\left(0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot 1}{\left(1 - \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\left|\sqrt{\pi} \cdot x\right|}{e^{x \cdot x}}}} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)}\right) \]

   2. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right|\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)\right) \]

   5. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}} \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {x}^{2}\right)}, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 51.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

12. Simplified 51.2%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + x \cdot x}}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 22: 52.2% accurate, 10.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot x}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (* x x) (fabs (* x (sqrt PI)))))

C

double code(double x) {
	return (x * x) / fabs((x * sqrt(((double) M_PI))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (x * x) / Math.abs((x * Math.sqrt(Math.PI)));
}

Python

def code(x):
	return (x * x) / math.fabs((x * math.sqrt(math.pi)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * x) / abs(Float64(x * sqrt(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * x) / abs((x * sqrt(pi)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * x), $MachinePrecision] / N[Abs[N[(x * N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 - \frac{\left(0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \left(0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right)}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \cdot 1}{\left(1 - \frac{0.5 + \frac{0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}}{x \cdot x}}{x \cdot x}\right) \cdot \frac{\left|\sqrt{\pi} \cdot x\right|}{e^{x \cdot x}}}} \]

7. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{{x}^{2}}}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{{x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)}\right) \]

   2. exp-lowering-exp.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right|\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x} \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)\right) \]

   5. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f64 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}} \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|} + \frac{{x}^{2}}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|} + \frac{{x}^{2} \cdot 1}{\left|\color{blue}{x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right|} \]

    2. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \frac{1}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|} + {x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|}} \]

    3. distribute-rgt1-in N/A

       \[\leadsto \left({x}^{2} + 1\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|}} \]

    4. +-commutative N/A

       \[\leadsto \left(1 + {x}^{2}\right) \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|} \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + {x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|}\right)}\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{1}}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|}\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right), \left(\frac{1}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|}\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \left(\frac{1}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|}\right)\right) \]

    9. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)}\right)\right) \]

    10. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{fabs.f64}\left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f64 51.2%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 51.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}} \]

13. Taylor expanded in x around inf

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{2}}{\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|}} \]
14. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\left|x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right|\right)}\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\left|\color{blue}{x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right|\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\left|\color{blue}{x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right|\right)\right) \]

    4. fabs-lowering-fabs.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\left(x \cdot \sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\sqrt{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f64 51.2%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{fabs.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

15. Simplified 51.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot x}{\left|x \cdot \sqrt{\pi}\right|}} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 23: 2.3% accurate, 10.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{{\pi}^{-0.5}}{\left|x\right|} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (pow PI -0.5) (fabs x)))

C

double code(double x) {
	return pow(((double) M_PI), -0.5) / fabs(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.pow(Math.PI, -0.5) / Math.abs(x);
}

Python

def code(x):
	return math.pow(math.pi, -0.5) / math.fabs(x)

Julia

function code(x)
	return Float64((pi ^ -0.5) / abs(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (pi ^ -0.5) / abs(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[Pi, -0.5], $MachinePrecision] / N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right) \cdot \left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} + \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{3}{4} \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) + \frac{15}{8} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{1}{\left|x\right|} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right) \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)\right) \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x \cdot x}}{\sqrt{\pi} \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot 1}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|x\right|}\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. fabs-lowering-fabs.f64 2.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{3}{4}, \mathsf{/.f64}\left(\frac{15}{8}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 2.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|}} \cdot \left(1 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.5 + \frac{1}{x \cdot x} \cdot \left(0.75 + \frac{1.875}{x \cdot x}\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot \frac{1}{\left|x\right|}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}} \cdot 1}{\color{blue}{\left|x\right|}} \]

   2. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}}{\left|\color{blue}{x}\right|} \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

   5. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

   7. fabs-lowering-fabs.f64 2.3%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{PI.f64}\left(\right)\right)\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

10. Simplified 2.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\frac{1}{\pi}}}{\left|x\right|}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right), \color{blue}{\left(\left|x\right|\right)}\right) \]

    2. inv-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{-1}}\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

    3. sqrt-pow1 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

    4. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{\frac{-1}{2}}\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

    5. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\left|\color{blue}{x}\right|\right)\right) \]

    6. PI-lowering-PI.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \left(\left|x\right|\right)\right) \]

    7. fabs-lowering-fabs.f64 2.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{PI.f64}\left(\right), \frac{-1}{2}\right), \mathsf{fabs.f64}\left(x\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 2.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\pi}^{-0.5}}{\left|x\right|}} \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (x)
  :name "Jmat.Real.erfi, branch x greater than or equal to 5"
  :precision binary64
  :pre (>= x 0.5)
  (* (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (exp (* (fabs x) (fabs x)))) (+ (+ (+ (/ 1.0 (fabs x)) (* (/ 1.0 2.0) (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))))) (* (/ 3.0 4.0) (* (* (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))))) (* (/ 15.0 8.0) (* (* (* (* (* (* (/ 1.0 (fabs x)) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x))) (/ 1.0 (fabs x)))))))