Rust f64::atanh

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 8.2s

Alternatives: 9

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tanh^{-1} x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (atanh x))

C

double code(double x) {
	return atanh(x);
}

Python

def code(x):
	return math.atanh(x)

Julia

function code(x)
	return atanh(x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = atanh(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[ArcTanh[x], $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{2 \cdot x}{1 - x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.5 (log1p (/ (* 2.0 x) (- 1.0 x)))))

C

double code(double x) {
	return 0.5 * log1p(((2.0 * x) / (1.0 - x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 0.5 * Math.log1p(((2.0 * x) / (1.0 - x)));
}

Python

def code(x):
	return 0.5 * math.log1p(((2.0 * x) / (1.0 - x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(0.5 * log1p(Float64(Float64(2.0 * x) / Float64(1.0 - x))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.5 * N[Log[1 + N[(N[(2.0 * x), $MachinePrecision] / N[(1.0 - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{2 \cdot x}{1 - x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.5 (log1p (/ (* 2.0 x) (- 1.0 x)))))

C

double code(double x) {
	return 0.5 * log1p(((2.0 * x) / (1.0 - x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 0.5 * Math.log1p(((2.0 * x) / (1.0 - x)));
}

Python

def code(x):
	return 0.5 * math.log1p(((2.0 * x) / (1.0 - x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(0.5 * log1p(Float64(Float64(2.0 * x) / Float64(1.0 - x))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.5 * N[Log[1 + N[(N[(2.0 * x), $MachinePrecision] / N[(1.0 - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[0.5 \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{2 \cdot x}{1 - x}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.8% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \left(1 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.1111111111111111 + x \cdot \left(x \cdot 0.13333333333333333\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (*
   x
   (-
    1.0
    (*
     (* x (* x (* x x)))
     (+ 0.1111111111111111 (* x (* x 0.13333333333333333))))))
  (-
   1.0
   (*
    (* x x)
    (+
     0.3333333333333333
     (* x (* x (+ 0.2 (* x (* x 0.14285714285714285))))))))))

C

double code(double x) {
	return (x * (1.0 - ((x * (x * (x * x))) * (0.1111111111111111 + (x * (x * 0.13333333333333333)))))) / (1.0 - ((x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + (x * (x * 0.14285714285714285))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (1.0d0 - ((x * (x * (x * x))) * (0.1111111111111111d0 + (x * (x * 0.13333333333333333d0)))))) / (1.0d0 - ((x * x) * (0.3333333333333333d0 + (x * (x * (0.2d0 + (x * (x * 0.14285714285714285d0))))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (1.0 - ((x * (x * (x * x))) * (0.1111111111111111 + (x * (x * 0.13333333333333333)))))) / (1.0 - ((x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + (x * (x * 0.14285714285714285))))))));
}

Python

def code(x):
	return (x * (1.0 - ((x * (x * (x * x))) * (0.1111111111111111 + (x * (x * 0.13333333333333333)))))) / (1.0 - ((x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + (x * (x * 0.14285714285714285))))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(1.0 - Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(x * x))) * Float64(0.1111111111111111 + Float64(x * Float64(x * 0.13333333333333333)))))) / Float64(1.0 - Float64(Float64(x * x) * Float64(0.3333333333333333 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.2 + Float64(x * Float64(x * 0.14285714285714285)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (1.0 - ((x * (x * (x * x))) * (0.1111111111111111 + (x * (x * 0.13333333333333333)))))) / (1.0 - ((x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + (x * (x * 0.14285714285714285))))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(1.0 - N[(N[(x * N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.1111111111111111 + N[(x * N[(x * 0.13333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 - N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + N[(x * N[(x * N[(0.2 + N[(x * N[(x * 0.14285714285714285), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[0.5 \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{2 \cdot x}{1 - x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{5}} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \color{blue}{\left(\frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{7}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{7}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x} \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)} \cdot x \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot x}{\color{blue}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot x\right), \color{blue}{\left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

7. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot x}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. pow-sqr N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot {x}^{3}\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \left(\frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \left(\frac{2}{15} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \left(\left(\frac{2}{15} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \left(x \cdot \left(\frac{2}{15} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{2}{15} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{2}{15}\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. *-lowering-*.f64 99.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{2}{15}\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 99.6%

    \[\leadsto \frac{\left(1 - \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.1111111111111111 + x \cdot \left(x \cdot 0.13333333333333333\right)\right)}\right) \cdot x}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)} \]

11. Final simplification 99.6%

    \[\leadsto \frac{x \cdot \left(1 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.1111111111111111 + x \cdot \left(x \cdot 0.13333333333333333\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.8% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.2 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.14285714285714285\right)\right)} \cdot \left(1 - x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.1111111111111111 + x \cdot \left(x \cdot 0.13333333333333333\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (/
   x
   (-
    1.0
    (*
     (* x x)
     (+
      0.3333333333333333
      (* (* x x) (+ 0.2 (* (* x x) 0.14285714285714285)))))))
  (-
   1.0
   (*
    x
    (*
     (* x (* x x))
     (+ 0.1111111111111111 (* x (* x 0.13333333333333333))))))))

C

double code(double x) {
	return (x / (1.0 - ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * (0.2 + ((x * x) * 0.14285714285714285))))))) * (1.0 - (x * ((x * (x * x)) * (0.1111111111111111 + (x * (x * 0.13333333333333333))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x / (1.0d0 - ((x * x) * (0.3333333333333333d0 + ((x * x) * (0.2d0 + ((x * x) * 0.14285714285714285d0))))))) * (1.0d0 - (x * ((x * (x * x)) * (0.1111111111111111d0 + (x * (x * 0.13333333333333333d0))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x / (1.0 - ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * (0.2 + ((x * x) * 0.14285714285714285))))))) * (1.0 - (x * ((x * (x * x)) * (0.1111111111111111 + (x * (x * 0.13333333333333333))))));
}

Python

def code(x):
	return (x / (1.0 - ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * (0.2 + ((x * x) * 0.14285714285714285))))))) * (1.0 - (x * ((x * (x * x)) * (0.1111111111111111 + (x * (x * 0.13333333333333333))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x / Float64(1.0 - Float64(Float64(x * x) * Float64(0.3333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.2 + Float64(Float64(x * x) * 0.14285714285714285))))))) * Float64(1.0 - Float64(x * Float64(Float64(x * Float64(x * x)) * Float64(0.1111111111111111 + Float64(x * Float64(x * 0.13333333333333333)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x / (1.0 - ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * (0.2 + ((x * x) * 0.14285714285714285))))))) * (1.0 - (x * ((x * (x * x)) * (0.1111111111111111 + (x * (x * 0.13333333333333333))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x / N[(1.0 - N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.2 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.14285714285714285), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 - N[(x * N[(N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.1111111111111111 + N[(x * N[(x * 0.13333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[0.5 \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{2 \cdot x}{1 - x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{5}} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \color{blue}{\left(\frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{7}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{7}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{x} \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)} \cdot x \]

   3. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot x}{\color{blue}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 \cdot 1 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot x\right), \color{blue}{\left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)}\right) \]

7. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot x}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{4} \cdot \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{4}\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot 2\right)}\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. pow-sqr N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot {x}^{2}\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot {x}^{3}\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{3}\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. cube-mult N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot {x}^{2}\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left({x}^{2}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \left(\frac{2}{15} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \left(\frac{2}{15} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \left(\left(\frac{2}{15} \cdot x\right) \cdot x\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \left(x \cdot \left(\frac{2}{15} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{2}{15} \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   19. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{2}{15}\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. *-lowering-*.f64 99.6%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{9}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{2}{15}\right)\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 99.6%

    \[\leadsto \frac{\left(1 - \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.1111111111111111 + x \cdot \left(x \cdot 0.13333333333333333\right)\right)}\right) \cdot x}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \left(1 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{9} + x \cdot \left(x \cdot \frac{2}{15}\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{x}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)}} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \frac{x}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{9} + x \cdot \left(x \cdot \frac{2}{15}\right)\right)\right)} \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{x}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + x \cdot \left(x \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)}\right), \color{blue}{\left(1 - \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{9} + x \cdot \left(x \cdot \frac{2}{15}\right)\right)\right)}\right) \]

12. Applied egg-rr 99.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{1 - \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.2 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.14285714285714285\right)\right)} \cdot \left(1 - x \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.1111111111111111 + x \cdot \left(x \cdot 0.13333333333333333\right)\right)\right)\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.7% accurate, 5.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x + \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  x
  (*
   (* x (* x x))
   (+
    0.3333333333333333
    (* x (* x (+ 0.2 (* x (* x 0.14285714285714285)))))))))

C

double code(double x) {
	return x + ((x * (x * x)) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + (x * (x * 0.14285714285714285)))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x + ((x * (x * x)) * (0.3333333333333333d0 + (x * (x * (0.2d0 + (x * (x * 0.14285714285714285d0)))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x + ((x * (x * x)) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + (x * (x * 0.14285714285714285)))))));
}

Python

def code(x):
	return x + ((x * (x * x)) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + (x * (x * 0.14285714285714285)))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x + Float64(Float64(x * Float64(x * x)) * Float64(0.3333333333333333 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.2 + Float64(x * Float64(x * 0.14285714285714285))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x + ((x * (x * x)) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + (x * (x * 0.14285714285714285)))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x + N[(N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + N[(x * N[(x * N[(0.2 + N[(x * N[(x * 0.14285714285714285), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[0.5 \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{2 \cdot x}{1 - x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{5}} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \color{blue}{\left(\frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{7}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{7}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right) + \color{blue}{1}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) \cdot x + \color{blue}{1 \cdot x} \]

   3. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) \cdot x + x \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right) \cdot x\right), \color{blue}{x}\right) \]

7. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + x} \]

8. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto x + \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + x \cdot \left(x \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.7% accurate, 5.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  x
  (+
   1.0
   (*
    (* x x)
    (+
     0.3333333333333333
     (* x (* x (+ 0.2 (* (* x x) 0.14285714285714285)))))))))

C

double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + ((x * x) * 0.14285714285714285)))))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (1.0d0 + ((x * x) * (0.3333333333333333d0 + (x * (x * (0.2d0 + ((x * x) * 0.14285714285714285d0)))))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + ((x * x) * 0.14285714285714285)))))));
}

Python

def code(x):
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + ((x * x) * 0.14285714285714285)))))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.3333333333333333 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.2 + Float64(Float64(x * x) * 0.14285714285714285))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (1.0 + ((x * x) * (0.3333333333333333 + (x * (x * (0.2 + ((x * x) * 0.14285714285714285)))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + N[(x * N[(x * N[(0.2 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.14285714285714285), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[0.5 \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{2 \cdot x}{1 - x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{5}} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(x \cdot \left(\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right) \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \color{blue}{\left(\frac{1}{7} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{7}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{7}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{5}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{7}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.2 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.14285714285714285\right)\right)\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.6% accurate, 7.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x + x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.2\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ x (* x (* (* x x) (+ 0.3333333333333333 (* (* x x) 0.2))))))

C

double code(double x) {
	return x + (x * ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.2))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x + (x * ((x * x) * (0.3333333333333333d0 + ((x * x) * 0.2d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x + (x * ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.2))));
}

Python

def code(x):
	return x + (x * ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.2))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x + Float64(x * Float64(Float64(x * x) * Float64(0.3333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * 0.2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x + (x * ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.2))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x + N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[0.5 \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{2 \cdot x}{1 - x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{5}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{5}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5}\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.2\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right) + \color{blue}{1}\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right) \cdot x + \color{blue}{1 \cdot x} \]

   3. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right) \cdot x + x \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right) \cdot x\right), \color{blue}{x}\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right)\right), x\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right)\right), x\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right)\right), x\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{1}{3} + \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right)\right), x\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{5}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5}\right)\right)\right)\right), x\right) \]

7. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.2\right)\right) + x} \]

8. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto x + x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.2\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 7: 99.6% accurate, 7.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.2\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (+ 1.0 (* (* x x) (+ 0.3333333333333333 (* (* x x) 0.2))))))

C

double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.2))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (1.0d0 + ((x * x) * (0.3333333333333333d0 + ((x * x) * 0.2d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.2))));
}

Python

def code(x):
	return x * (1.0 + ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.2))))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.3333333333333333 + Float64(Float64(x * x) * 0.2)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (1.0 + ((x * x) * (0.3333333333333333 + ((x * x) * 0.2))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[0.5 \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{2 \cdot x}{1 - x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{3}} + \frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{1}{5} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{5}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{5}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{1}{5}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 99.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{1}{5}\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.2\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 8: 99.5% accurate, 12.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (+ 1.0 (* (* x x) 0.3333333333333333))))

C

double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * 0.3333333333333333));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (1.0d0 + ((x * x) * 0.3333333333333333d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (1.0 + ((x * x) * 0.3333333333333333));
}

Python

def code(x):
	return x * (1.0 + ((x * x) * 0.3333333333333333))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * 0.3333333333333333)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (1.0 + ((x * x) * 0.3333333333333333));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[0.5 \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{2 \cdot x}{1 - x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {x}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(1 + \frac{1}{3} \cdot {x}^{2}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{3} \cdot {x}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left({x}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(x \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

6. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 9: 98.9% accurate, 109.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[0.5 \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{2 \cdot x}{1 - x}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (x)
  :name "Rust f64::atanh"
  :precision binary64
  (* 0.5 (log1p (/ (* 2.0 x) (- 1.0 x)))))