math.cos on complex, imaginary part

Percentage Accurate: 65.8% → 99.7%

Time: 14.7s

Alternatives: 18

Speedup: 2.8×

• 48.8% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 65.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{0 - im\_m} - e^{im\_m}\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t\_0 \leq -0.5:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- 0.0 im_m)) (exp im_m))))
   (*
    im_s
    (if (<= t_0 -0.5)
      (* t_0 (* 0.5 (sin re)))
      (* im_m (* (sin re) (+ -1.0 (* im_m (* im_m -0.16666666666666666)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.5) {
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	} else {
		tmp = im_m * (sin(re) * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp((0.0d0 - im_m)) - exp(im_m)
    if (t_0 <= (-0.5d0)) then
        tmp = t_0 * (0.5d0 * sin(re))
    else
        tmp = im_m * (sin(re) * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666d0)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = Math.exp((0.0 - im_m)) - Math.exp(im_m);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.5) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = im_m * (Math.sin(re) * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = math.exp((0.0 - im_m)) - math.exp(im_m)
	tmp = 0
	if t_0 <= -0.5:
		tmp = t_0 * (0.5 * math.sin(re))
	else:
		tmp = im_m * (math.sin(re) * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(exp(Float64(0.0 - im_m)) - exp(im_m))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -0.5)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(sin(re) * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.16666666666666666)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -0.5)
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	else
		tmp = im_m * (sin(re) * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[t$95$0, -0.5], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -0.5

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   if -0.5 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 52.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \sin re}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{-1} \cdot \sin re\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + \color{blue}{-1} \cdot \sin re\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)}\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 88.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{0 - im} - e^{im} \leq -0.5:\\ \;\;\;\;\left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \sin re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{0 - im\_m} - e^{im\_m} \leq -5 \cdot 10^{+56}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(1 - e^{im\_m}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \left(\left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right) + im\_m \cdot -2\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (sin re))))
   (*
    im_s
    (if (<= (- (exp (- 0.0 im_m)) (exp im_m)) -5e+56)
      (* t_0 (- 1.0 (exp im_m)))
      (*
       t_0
       (+
        (*
         (* im_m (* im_m im_m))
         (+
          -0.3333333333333333
          (*
           (* im_m im_m)
           (+
            -0.016666666666666666
            (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968)))))
        (* im_m -2.0)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if ((exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m)) <= -5e+56) {
		tmp = t_0 * (1.0 - exp(im_m));
	} else {
		tmp = t_0 * (((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))) + (im_m * -2.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.5d0 * sin(re)
    if ((exp((0.0d0 - im_m)) - exp(im_m)) <= (-5d+56)) then
        tmp = t_0 * (1.0d0 - exp(im_m))
    else
        tmp = t_0 * (((im_m * (im_m * im_m)) * ((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0)))))) + (im_m * (-2.0d0)))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = 0.5 * Math.sin(re);
	double tmp;
	if ((Math.exp((0.0 - im_m)) - Math.exp(im_m)) <= -5e+56) {
		tmp = t_0 * (1.0 - Math.exp(im_m));
	} else {
		tmp = t_0 * (((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))) + (im_m * -2.0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = 0.5 * math.sin(re)
	tmp = 0
	if (math.exp((0.0 - im_m)) - math.exp(im_m)) <= -5e+56:
		tmp = t_0 * (1.0 - math.exp(im_m))
	else:
		tmp = t_0 * (((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))) + (im_m * -2.0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (Float64(exp(Float64(0.0 - im_m)) - exp(im_m)) <= -5e+56)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(1.0 - exp(im_m)));
	else
		tmp = Float64(t_0 * Float64(Float64(Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))) + Float64(im_m * -2.0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = 0.5 * sin(re);
	tmp = 0.0;
	if ((exp((0.0 - im_m)) - exp(im_m)) <= -5e+56)
		tmp = t_0 * (1.0 - exp(im_m));
	else
		tmp = t_0 * (((im_m * (im_m * im_m)) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))) + (im_m * -2.0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[N[(N[Exp[N[(0.0 - im$95$m), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -5e+56], N[(t$95$0 * N[(1.0 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(N[(N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(im$95$m * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -5.00000000000000024e56

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \]

   if -5.00000000000000024e56 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 53.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right) + \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{im \cdot -2}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right) + -2 \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot im\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 95.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right) + im \cdot -2\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{0 - im} - e^{im} \leq -5 \cdot 10^{+56}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(1 - e^{im}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right) + im \cdot -2\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.9% accurate, 2.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\\ t_1 := 0.5 \cdot \sin re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 135:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(\left(im\_m \cdot \left(im\_m \cdot im\_m\right)\right) \cdot t\_0 + im\_m \cdot -2\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 3.35 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot t\_0\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (+
          -0.3333333333333333
          (*
           (* im_m im_m)
           (+
            -0.016666666666666666
            (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968)))))
        (t_1 (* 0.5 (sin re))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 135.0)
      (* t_1 (+ (* (* im_m (* im_m im_m)) t_0) (* im_m -2.0)))
      (if (<= im_m 3.35e+44)
        (* (- 1.0 (exp im_m)) (* 0.5 re))
        (* t_1 (* im_m (+ -2.0 (* im_m (* im_m t_0))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)));
	double t_1 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if (im_m <= 135.0) {
		tmp = t_1 * (((im_m * (im_m * im_m)) * t_0) + (im_m * -2.0));
	} else if (im_m <= 3.35e+44) {
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = t_1 * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * t_0))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0))))
    t_1 = 0.5d0 * sin(re)
    if (im_m <= 135.0d0) then
        tmp = t_1 * (((im_m * (im_m * im_m)) * t_0) + (im_m * (-2.0d0)))
    else if (im_m <= 3.35d+44) then
        tmp = (1.0d0 - exp(im_m)) * (0.5d0 * re)
    else
        tmp = t_1 * (im_m * ((-2.0d0) + (im_m * (im_m * t_0))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)));
	double t_1 = 0.5 * Math.sin(re);
	double tmp;
	if (im_m <= 135.0) {
		tmp = t_1 * (((im_m * (im_m * im_m)) * t_0) + (im_m * -2.0));
	} else if (im_m <= 3.35e+44) {
		tmp = (1.0 - Math.exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = t_1 * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * t_0))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))
	t_1 = 0.5 * math.sin(re)
	tmp = 0
	if im_m <= 135.0:
		tmp = t_1 * (((im_m * (im_m * im_m)) * t_0) + (im_m * -2.0))
	elif im_m <= 3.35e+44:
		tmp = (1.0 - math.exp(im_m)) * (0.5 * re)
	else:
		tmp = t_1 * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * t_0))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))
	t_1 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 135.0)
		tmp = Float64(t_1 * Float64(Float64(Float64(im_m * Float64(im_m * im_m)) * t_0) + Float64(im_m * -2.0)));
	elseif (im_m <= 3.35e+44)
		tmp = Float64(Float64(1.0 - exp(im_m)) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = Float64(t_1 * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * t_0)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)));
	t_1 = 0.5 * sin(re);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 135.0)
		tmp = t_1 * (((im_m * (im_m * im_m)) * t_0) + (im_m * -2.0));
	elseif (im_m <= 3.35e+44)
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	else
		tmp = t_1 * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * t_0))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 135.0], N[(t$95$1 * N[(N[(N[(im$95$m * N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(im$95$m * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 3.35e+44], N[(N[(1.0 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 135

   1. Initial program 53.3%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right) + \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{im \cdot -2}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right) + -2 \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot im\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 95.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right) + im \cdot -2\right)} \]

   if 135 < im < 3.35000000000000018e44

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 83.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 83.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(1 - e^{im}\right) \]

   if 3.35000000000000018e44 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 96.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 135:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right) + im \cdot -2\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.35 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.9% accurate, 2.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 135:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 3.35 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* 0.5 (sin re))
          (*
           im_m
           (+
            -2.0
            (*
             im_m
             (*
              im_m
              (+
               -0.3333333333333333
               (*
                (* im_m im_m)
                (+
                 -0.016666666666666666
                 (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968)))))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 135.0)
      t_0
      (if (<= im_m 3.35e+44) (* (- 1.0 (exp im_m)) (* 0.5 re)) t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = (0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 135.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 3.35e+44) {
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (0.5d0 * sin(re)) * (im_m * ((-2.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0)))))))))
    if (im_m <= 135.0d0) then
        tmp = t_0
    else if (im_m <= 3.35d+44) then
        tmp = (1.0d0 - exp(im_m)) * (0.5d0 * re)
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = (0.5 * Math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 135.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 3.35e+44) {
		tmp = (1.0 - Math.exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = (0.5 * math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))))
	tmp = 0
	if im_m <= 135.0:
		tmp = t_0
	elif im_m <= 3.35e+44:
		tmp = (1.0 - math.exp(im_m)) * (0.5 * re)
	else:
		tmp = t_0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 135.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 3.35e+44)
		tmp = Float64(Float64(1.0 - exp(im_m)) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = (0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 135.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 3.35e+44)
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 135.0], t$95$0, If[LessEqual[im$95$m, 3.35e+44], N[(N[(1.0 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 135 or 3.35000000000000018e44 < im

   1. Initial program 61.5%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 96.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 135 < im < 3.35000000000000018e44

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 83.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 83.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(1 - e^{im}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 135:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.35 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.8% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := -0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.016666666666666666\\ t_1 := 0.5 \cdot \sin re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 135:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(t\_1 \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot t\_0\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 4.2 \cdot 10^{+58}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot t\_0\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ -0.3333333333333333 (* (* im_m im_m) -0.016666666666666666)))
        (t_1 (* 0.5 (sin re))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 135.0)
      (* im_m (* t_1 (+ -2.0 (* (* im_m im_m) t_0))))
      (if (<= im_m 4.2e+58)
        (* (- 1.0 (exp im_m)) (* 0.5 re))
        (* t_1 (* im_m (+ -2.0 (* im_m (* im_m t_0))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666);
	double t_1 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if (im_m <= 135.0) {
		tmp = im_m * (t_1 * (-2.0 + ((im_m * im_m) * t_0)));
	} else if (im_m <= 4.2e+58) {
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = t_1 * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * t_0))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = (-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666d0))
    t_1 = 0.5d0 * sin(re)
    if (im_m <= 135.0d0) then
        tmp = im_m * (t_1 * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * t_0)))
    else if (im_m <= 4.2d+58) then
        tmp = (1.0d0 - exp(im_m)) * (0.5d0 * re)
    else
        tmp = t_1 * (im_m * ((-2.0d0) + (im_m * (im_m * t_0))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = -0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666);
	double t_1 = 0.5 * Math.sin(re);
	double tmp;
	if (im_m <= 135.0) {
		tmp = im_m * (t_1 * (-2.0 + ((im_m * im_m) * t_0)));
	} else if (im_m <= 4.2e+58) {
		tmp = (1.0 - Math.exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = t_1 * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * t_0))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = -0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666)
	t_1 = 0.5 * math.sin(re)
	tmp = 0
	if im_m <= 135.0:
		tmp = im_m * (t_1 * (-2.0 + ((im_m * im_m) * t_0)))
	elif im_m <= 4.2e+58:
		tmp = (1.0 - math.exp(im_m)) * (0.5 * re)
	else:
		tmp = t_1 * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * t_0))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.016666666666666666))
	t_1 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 135.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(t_1 * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * t_0))));
	elseif (im_m <= 4.2e+58)
		tmp = Float64(Float64(1.0 - exp(im_m)) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = Float64(t_1 * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * t_0)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = -0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666);
	t_1 = 0.5 * sin(re);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 135.0)
		tmp = im_m * (t_1 * (-2.0 + ((im_m * im_m) * t_0)));
	elseif (im_m <= 4.2e+58)
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	else
		tmp = t_1 * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * t_0))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 135.0], N[(im$95$m * N[(t$95$1 * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 4.2e+58], N[(N[(1.0 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 135

   1. Initial program 53.3%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right) + \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{im \cdot -2}\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right) + -2 \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot im\right)}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 95.5%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right) + im \cdot -2\right)} \]

   8. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right), \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{3}\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{60}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{-1}{60}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{60}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 93.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{60}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 93.9%

       \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666 + -0.3333333333333333\right) + -2\right)\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{60} + \frac{-1}{3}\right) + -2\right) \cdot \color{blue}{im}\right) \]

       2. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{60} + \frac{-1}{3}\right) + -2\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{60} + \frac{-1}{3}\right) + -2\right)\right), \color{blue}{im}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sin re\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{60} + \frac{-1}{3}\right) + -2\right)\right), im\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \sin re\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{60} + \frac{-1}{3}\right) + -2\right)\right), im\right) \]

       6. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{60} + \frac{-1}{3}\right) + -2\right)\right), im\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{60} + \frac{-1}{3}\right)\right), -2\right)\right), im\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{60} + \frac{-1}{3}\right)\right), -2\right)\right), im\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{60} + \frac{-1}{3}\right)\right), -2\right)\right), im\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{60}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), -2\right)\right), im\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{60}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), -2\right)\right), im\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 93.9%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{60}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), -2\right)\right), im\right) \]

   12. Applied egg-rr 93.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666 + -0.3333333333333333\right) + -2\right)\right) \cdot im} \]

   if 135 < im < 4.20000000000000024e58

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 85.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 85.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(1 - e^{im}\right) \]

   if 4.20000000000000024e58 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 94.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 135:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.2 \cdot 10^{+58}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 96.8% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 135:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 4.2 \cdot 10^{+58}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (* 0.5 (sin re))
          (*
           im_m
           (+
            -2.0
            (*
             im_m
             (*
              im_m
              (+
               -0.3333333333333333
               (* (* im_m im_m) -0.016666666666666666)))))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 135.0)
      t_0
      (if (<= im_m 4.2e+58) (* (- 1.0 (exp im_m)) (* 0.5 re)) t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = (0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 135.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 4.2e+58) {
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (0.5d0 * sin(re)) * (im_m * ((-2.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666d0)))))))
    if (im_m <= 135.0d0) then
        tmp = t_0
    else if (im_m <= 4.2d+58) then
        tmp = (1.0d0 - exp(im_m)) * (0.5d0 * re)
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = (0.5 * Math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666))))));
	double tmp;
	if (im_m <= 135.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 4.2e+58) {
		tmp = (1.0 - Math.exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = (0.5 * math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666))))))
	tmp = 0
	if im_m <= 135.0:
		tmp = t_0
	elif im_m <= 4.2e+58:
		tmp = (1.0 - math.exp(im_m)) * (0.5 * re)
	else:
		tmp = t_0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.016666666666666666)))))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 135.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 4.2e+58)
		tmp = Float64(Float64(1.0 - exp(im_m)) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = (0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666))))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 135.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 4.2e+58)
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 135.0], t$95$0, If[LessEqual[im$95$m, 4.2e+58], N[(N[(1.0 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 135 or 4.20000000000000024e58 < im

   1. Initial program 61.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{60}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 95.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{60}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)} \]

   if 135 < im < 4.20000000000000024e58

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 85.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 85.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(1 - e^{im}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 135:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.2 \cdot 10^{+58}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 95.5% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.3333333333333333\right)\\ t_1 := 0.5 \cdot \sin re\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 155:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(im\_m \cdot -2 + im\_m \cdot t\_0\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 8.2 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + t\_0\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* im_m (* im_m -0.3333333333333333))) (t_1 (* 0.5 (sin re))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 155.0)
      (* t_1 (+ (* im_m -2.0) (* im_m t_0)))
      (if (<= im_m 8.2e+102)
        (* (- 1.0 (exp im_m)) (* 0.5 re))
        (* t_1 (* im_m (+ -2.0 t_0))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * -0.3333333333333333);
	double t_1 = 0.5 * sin(re);
	double tmp;
	if (im_m <= 155.0) {
		tmp = t_1 * ((im_m * -2.0) + (im_m * t_0));
	} else if (im_m <= 8.2e+102) {
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = t_1 * (im_m * (-2.0 + t_0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (im_m * (-0.3333333333333333d0))
    t_1 = 0.5d0 * sin(re)
    if (im_m <= 155.0d0) then
        tmp = t_1 * ((im_m * (-2.0d0)) + (im_m * t_0))
    else if (im_m <= 8.2d+102) then
        tmp = (1.0d0 - exp(im_m)) * (0.5d0 * re)
    else
        tmp = t_1 * (im_m * ((-2.0d0) + t_0))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (im_m * -0.3333333333333333);
	double t_1 = 0.5 * Math.sin(re);
	double tmp;
	if (im_m <= 155.0) {
		tmp = t_1 * ((im_m * -2.0) + (im_m * t_0));
	} else if (im_m <= 8.2e+102) {
		tmp = (1.0 - Math.exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = t_1 * (im_m * (-2.0 + t_0));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (im_m * -0.3333333333333333)
	t_1 = 0.5 * math.sin(re)
	tmp = 0
	if im_m <= 155.0:
		tmp = t_1 * ((im_m * -2.0) + (im_m * t_0))
	elif im_m <= 8.2e+102:
		tmp = (1.0 - math.exp(im_m)) * (0.5 * re)
	else:
		tmp = t_1 * (im_m * (-2.0 + t_0))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(im_m * -0.3333333333333333))
	t_1 = Float64(0.5 * sin(re))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 155.0)
		tmp = Float64(t_1 * Float64(Float64(im_m * -2.0) + Float64(im_m * t_0)));
	elseif (im_m <= 8.2e+102)
		tmp = Float64(Float64(1.0 - exp(im_m)) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = Float64(t_1 * Float64(im_m * Float64(-2.0 + t_0)));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (im_m * -0.3333333333333333);
	t_1 = 0.5 * sin(re);
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 155.0)
		tmp = t_1 * ((im_m * -2.0) + (im_m * t_0));
	elseif (im_m <= 8.2e+102)
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	else
		tmp = t_1 * (im_m * (-2.0 + t_0));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 155.0], N[(t$95$1 * N[(N[(im$95$m * -2.0), $MachinePrecision] + N[(im$95$m * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 8.2e+102], N[(N[(1.0 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 * N[(im$95$m * N[(-2.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 155

   1. Initial program 53.3%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 90.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{3}\right) + \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(\left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \cdot im + \color{blue}{-2 \cdot im}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)\right) \cdot im\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot im\right)}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot im\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot im\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot im\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \left(-2 \cdot im\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \left(im \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 90.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 90.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right) + im \cdot -2\right)} \]

   if 155 < im < 8.1999999999999999e102

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 76.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 76.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(1 - e^{im}\right) \]

   if 8.1999999999999999e102 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 90.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 155:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot -2 + im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 8.2 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 95.5% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 135:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 8.2 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 135.0)
    (* im_m (* (sin re) (+ -1.0 (* im_m (* im_m -0.16666666666666666)))))
    (if (<= im_m 8.2e+102)
      (* (- 1.0 (exp im_m)) (* 0.5 re))
      (*
       (* 0.5 (sin re))
       (* im_m (+ -2.0 (* im_m (* im_m -0.3333333333333333)))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 135.0) {
		tmp = im_m * (sin(re) * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	} else if (im_m <= 8.2e+102) {
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * -0.3333333333333333))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 135.0d0) then
        tmp = im_m * (sin(re) * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666d0)))))
    else if (im_m <= 8.2d+102) then
        tmp = (1.0d0 - exp(im_m)) * (0.5d0 * re)
    else
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (im_m * ((-2.0d0) + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333d0)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 135.0) {
		tmp = im_m * (Math.sin(re) * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	} else if (im_m <= 8.2e+102) {
		tmp = (1.0 - Math.exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * -0.3333333333333333))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 135.0:
		tmp = im_m * (math.sin(re) * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))))
	elif im_m <= 8.2e+102:
		tmp = (1.0 - math.exp(im_m)) * (0.5 * re)
	else:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * -0.3333333333333333))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 135.0)
		tmp = Float64(im_m * Float64(sin(re) * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.16666666666666666)))));
	elseif (im_m <= 8.2e+102)
		tmp = Float64(Float64(1.0 - exp(im_m)) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.3333333333333333)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 135.0)
		tmp = im_m * (sin(re) * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	elseif (im_m <= 8.2e+102)
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	else
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * -0.3333333333333333))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 135.0], N[(im$95$m * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im$95$m, 8.2e+102], N[(N[(1.0 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 135

   1. Initial program 53.3%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \sin re}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{-1} \cdot \sin re\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + \color{blue}{-1} \cdot \sin re\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)}\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 87.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 87.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

   if 135 < im < 8.1999999999999999e102

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 76.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 76.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(1 - e^{im}\right) \]

   if 8.1999999999999999e102 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 88.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 135:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 8.2 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 93.1% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ \begin{array}{l} t_0 := im\_m \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 135:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im\_m \leq 5.5 \cdot 10^{+144}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          im_m
          (* (sin re) (+ -1.0 (* im_m (* im_m -0.16666666666666666)))))))
   (*
    im_s
    (if (<= im_m 135.0)
      t_0
      (if (<= im_m 5.5e+144) (* (- 1.0 (exp im_m)) (* 0.5 re)) t_0)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (sin(re) * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	double tmp;
	if (im_m <= 135.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 5.5e+144) {
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = im_m * (sin(re) * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666d0)))))
    if (im_m <= 135.0d0) then
        tmp = t_0
    else if (im_m <= 5.5d+144) then
        tmp = (1.0d0 - exp(im_m)) * (0.5d0 * re)
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double t_0 = im_m * (Math.sin(re) * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	double tmp;
	if (im_m <= 135.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im_m <= 5.5e+144) {
		tmp = (1.0 - Math.exp(im_m)) * (0.5 * re);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	t_0 = im_m * (math.sin(re) * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))))
	tmp = 0
	if im_m <= 135.0:
		tmp = t_0
	elif im_m <= 5.5e+144:
		tmp = (1.0 - math.exp(im_m)) * (0.5 * re)
	else:
		tmp = t_0
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	t_0 = Float64(im_m * Float64(sin(re) * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.16666666666666666)))))
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 135.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 5.5e+144)
		tmp = Float64(Float64(1.0 - exp(im_m)) * Float64(0.5 * re));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	t_0 = im_m * (sin(re) * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 135.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im_m <= 5.5e+144)
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := Block[{t$95$0 = N[(im$95$m * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 135.0], t$95$0, If[LessEqual[im$95$m, 5.5e+144], N[(N[(1.0 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 135 or 5.50000000000000022e144 < im

   1. Initial program 57.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \sin re}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{-1} \cdot \sin re\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + \color{blue}{-1} \cdot \sin re\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)}\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 88.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 88.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

   if 135 < im < 5.50000000000000022e144

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 78.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 78.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(1 - e^{im}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 87.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 135:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5.5 \cdot 10^{+144}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 87.2% accurate, 2.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 135:\\ \;\;\;\;0 - im\_m \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im\_m}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 135.0)
    (- 0.0 (* im_m (sin re)))
    (* (- 1.0 (exp im_m)) (* 0.5 re)))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 135.0) {
		tmp = 0.0 - (im_m * sin(re));
	} else {
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 135.0d0) then
        tmp = 0.0d0 - (im_m * sin(re))
    else
        tmp = (1.0d0 - exp(im_m)) * (0.5d0 * re)
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 135.0) {
		tmp = 0.0 - (im_m * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = (1.0 - Math.exp(im_m)) * (0.5 * re);
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 135.0:
		tmp = 0.0 - (im_m * math.sin(re))
	else:
		tmp = (1.0 - math.exp(im_m)) * (0.5 * re)
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 135.0)
		tmp = Float64(0.0 - Float64(im_m * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 - exp(im_m)) * Float64(0.5 * re));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 135.0)
		tmp = 0.0 - (im_m * sin(re));
	else
		tmp = (1.0 - exp(im_m)) * (0.5 * re);
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 135.0], N[(0.0 - N[(im$95$m * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 - N[Exp[im$95$m], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 135

   1. Initial program 53.3%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \sin re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \sin re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\sin re}\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 68.9%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 68.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \sin re} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \sin re\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sin re \cdot im\right) \]

      3. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin re\right)\right), \color{blue}{im}\right) \]

      5. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\sin re\right), im\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 68.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), im\right) \]

   7. Applied egg-rr 68.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-\sin re\right) \cdot im} \]

   if 135 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\color{blue}{1} - e^{im}\right) \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 74.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 74.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(1 - e^{im}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 69.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 135:\\ \;\;\;\;0 - im \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 82.1% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im\_m \leq 650:\\ \;\;\;\;0 - im\_m \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(\left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.3333333333333333\right) + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(\left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= im_m 650.0)
    (- 0.0 (* im_m (sin re)))
    (*
     im_m
     (*
      (*
       re
       (+
        0.5
        (*
         (* re re)
         (+
          -0.08333333333333333
          (*
           (* re re)
           (+ 0.004166666666666667 (* (* re re) -9.92063492063492e-5)))))))
      (+
       (+ -2.0 (* (* im_m im_m) -0.3333333333333333))
       (*
        (* im_m im_m)
        (*
         (* im_m im_m)
         (+
          -0.016666666666666666
          (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 650.0) {
		tmp = 0.0 - (im_m * sin(re));
	} else {
		tmp = im_m * ((re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))) * ((-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)) + ((im_m * im_m) * ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (im_m <= 650.0d0) then
        tmp = 0.0d0 - (im_m * sin(re))
    else
        tmp = im_m * ((re * (0.5d0 + ((re * re) * ((-0.08333333333333333d0) + ((re * re) * (0.004166666666666667d0 + ((re * re) * (-9.92063492063492d-5)))))))) * (((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333d0))) + ((im_m * im_m) * ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0)))))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (im_m <= 650.0) {
		tmp = 0.0 - (im_m * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = im_m * ((re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))) * ((-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)) + ((im_m * im_m) * ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if im_m <= 650.0:
		tmp = 0.0 - (im_m * math.sin(re))
	else:
		tmp = im_m * ((re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))) * ((-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)) + ((im_m * im_m) * ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (im_m <= 650.0)
		tmp = Float64(0.0 - Float64(im_m * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.08333333333333333 + Float64(Float64(re * re) * Float64(0.004166666666666667 + Float64(Float64(re * re) * -9.92063492063492e-5))))))) * Float64(Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.3333333333333333)) + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (im_m <= 650.0)
		tmp = 0.0 - (im_m * sin(re));
	else
		tmp = im_m * ((re * (0.5 + ((re * re) * (-0.08333333333333333 + ((re * re) * (0.004166666666666667 + ((re * re) * -9.92063492063492e-5))))))) * ((-2.0 + ((im_m * im_m) * -0.3333333333333333)) + ((im_m * im_m) * ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[im$95$m, 650.0], N[(0.0 - N[(im$95$m * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.08333333333333333 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(0.004166666666666667 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -9.92063492063492e-5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 650

   1. Initial program 53.3%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \sin re\right) \]

      2. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \sin re\right)}\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\sin re}\right)\right) \]

      5. sin-lowering-sin.f64 68.9%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 68.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \sin re} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub0-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \sin re\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\sin re \cdot im\right) \]

      3. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\sin re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sin re\right)\right), \color{blue}{im}\right) \]

      5. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\sin re\right), im\right) \]

      6. sin-lowering-sin.f64 68.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), im\right) \]

   7. Applied egg-rr 68.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-\sin re\right) \cdot im} \]

   if 650 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right)}, \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{12}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{12} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      11. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(re \cdot \left(\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      16. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left(\frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      17. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left(\frac{-1}{10080} \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      18. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left(\left(\frac{-1}{10080} \cdot re\right) \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      19. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \left(re \cdot \left(\frac{-1}{10080} \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      20. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{10080} \cdot re\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      21. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

      22. *-lowering-*.f64 80.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{240}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{10080}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 80.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + re \cdot \left(re \cdot \left(0.004166666666666667 + re \cdot \left(re \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   6. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-2 \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right) + \frac{-1}{2520} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{240} + \frac{-1}{10080} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{12}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Simplified 66.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right) + \left(\left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968 + -0.016666666666666666\right)\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right)} \]

   10. Applied egg-rr 70.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right) + \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right) \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \cdot im} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 69.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 650:\\ \;\;\;\;0 - im \cdot \sin re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(\left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.08333333333333333 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.004166666666666667 + \left(re \cdot re\right) \cdot -9.92063492063492 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.3333333333333333\right) + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 58.8% accurate, 8.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 5 \cdot 10^{+179}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(-2 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 5e+179)
    (*
     (*
      im_m
      (+
       -2.0
       (*
        im_m
        (*
         im_m
         (+
          -0.3333333333333333
          (*
           (* im_m im_m)
           (+
            -0.016666666666666666
            (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968))))))))
     (* 0.5 (* re (+ 1.0 (* re (* re -0.16666666666666666))))))
    (* im_m (* re (+ -1.0 (* im_m (* im_m -0.16666666666666666))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 5e+179) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))) * (0.5 * (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))));
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 5d+179) then
        tmp = (im_m * ((-2.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0))))))))) * (0.5d0 * (re * (1.0d0 + (re * (re * (-0.16666666666666666d0))))))
    else
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666d0)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 5e+179) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))) * (0.5 * (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))));
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 5e+179:
		tmp = (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))) * (0.5 * (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))))
	else:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 5e+179)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))) * Float64(0.5 * Float64(re * Float64(1.0 + Float64(re * Float64(re * -0.16666666666666666))))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.16666666666666666)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 5e+179)
		tmp = (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))) * (0.5 * (re * (1.0 + (re * (re * -0.16666666666666666)))));
	else
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 5e+179], N[(N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * N[(re * N[(1.0 + N[(re * N[(re * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 5e179

   1. Initial program 64.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(1 + \frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{-1}{6} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 59.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 59.6%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \]

   if 5e179 < re

   1. Initial program 48.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \sin re}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{-1} \cdot \sin re\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + \color{blue}{-1} \cdot \sin re\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)}\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 85.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 85.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 20.7%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{re} \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 55.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 5 \cdot 10^{+179}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot \left(re \cdot \left(1 + re \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 58.8% accurate, 8.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 5 \cdot 10^{+179}:\\ \;\;\;\;\left(im\_m \cdot \left(-2 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (if (<= re 5e+179)
    (*
     (*
      im_m
      (+
       -2.0
       (*
        im_m
        (*
         im_m
         (+
          -0.3333333333333333
          (*
           (* im_m im_m)
           (+
            -0.016666666666666666
            (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968))))))))
     (* re (+ 0.5 (* (* re re) -0.08333333333333333))))
    (* im_m (* re (+ -1.0 (* im_m (* im_m -0.16666666666666666))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 5e+179) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333)));
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    real(8) :: tmp
    if (re <= 5d+179) then
        tmp = (im_m * ((-2.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0))))))))) * (re * (0.5d0 + ((re * re) * (-0.08333333333333333d0))))
    else
        tmp = im_m * (re * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666d0)))))
    end if
    code = im_s * tmp
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	double tmp;
	if (re <= 5e+179) {
		tmp = (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333)));
	} else {
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	}
	return im_s * tmp;
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	tmp = 0
	if re <= 5e+179:
		tmp = (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333)))
	else:
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))))
	return im_s * tmp

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0
	if (re <= 5e+179)
		tmp = Float64(Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))) * Float64(re * Float64(0.5 + Float64(Float64(re * re) * -0.08333333333333333))));
	else
		tmp = Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.16666666666666666)))));
	end
	return Float64(im_s * tmp)
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp_2 = code(im_s, re, im_m)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 5e+179)
		tmp = (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))) * (re * (0.5 + ((re * re) * -0.08333333333333333)));
	else
		tmp = im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666))));
	end
	tmp_2 = im_s * tmp;
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * If[LessEqual[re, 5e+179], N[(N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(re * N[(0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 5e179

   1. Initial program 64.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

      2. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(re \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{1}{2} + \frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{-1}{12} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left({re}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{12}, \left(re \cdot re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 59.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(re, re\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 59.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot \left(0.5 + -0.08333333333333333 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \]

   if 5e179 < re

   1. Initial program 48.6%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \sin re}\right)\right) \]

      5. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{-1} \cdot \sin re\right)\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + \color{blue}{-1} \cdot \sin re\right)\right) \]

      8. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)}\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)}\right)\right) \]

      13. sin-lowering-sin.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right)\right) \]

      14. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      18. *-lowering-*.f64 85.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 85.3%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 20.7%

      \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{re} \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 55.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 5 \cdot 10^{+179}:\\ \;\;\;\;\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(re \cdot \left(0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.08333333333333333\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 59.7% accurate, 12.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (*
   (* 0.5 re)
   (*
    im_m
    (+
     -2.0
     (*
      im_m
      (*
       im_m
       (+
        -0.3333333333333333
        (*
         (* im_m im_m)
         (+
          -0.016666666666666666
          (* (* im_m im_m) -0.0003968253968253968)))))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * ((0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * ((0.5d0 * re) * (im_m * ((-2.0d0) + (im_m * (im_m * ((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.016666666666666666d0) + ((im_m * im_m) * (-0.0003968253968253968d0))))))))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * ((0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * ((0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.016666666666666666 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.0003968253968253968))))))))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * ((0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666 + ((im_m * im_m) * -0.0003968253968253968)))))))));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.016666666666666666 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.0003968253968253968), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 94.1%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 56.5%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{60}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 56.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 15: 57.7% accurate, 16.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im\_m \cdot im\_m\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (*
   (* 0.5 re)
   (*
    im_m
    (+
     -2.0
     (*
      (* im_m im_m)
      (+ -0.3333333333333333 (* (* im_m im_m) -0.016666666666666666))))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * ((0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666))))));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * ((0.5d0 * re) * (im_m * ((-2.0d0) + ((im_m * im_m) * ((-0.3333333333333333d0) + ((im_m * im_m) * (-0.016666666666666666d0)))))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * ((0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666))))));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * ((0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666))))))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(Float64(im_m * im_m) * Float64(-0.3333333333333333 + Float64(Float64(im_m * im_m) * -0.016666666666666666)))))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * ((0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + ((im_m * im_m) * (-0.3333333333333333 + ((im_m * im_m) * -0.016666666666666666))))));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * N[(-0.3333333333333333 + N[(N[(im$95$m * im$95$m), $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)} - \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right) \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right) + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{{im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2520} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{60}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 94.1%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right) + \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{im \cdot -2}\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right) + -2 \cdot \color{blue}{im}\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(im \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{-1}{60} + \left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{2520}\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot im\right)}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 94.1%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.016666666666666666 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.0003968253968253968\right)\right) + im \cdot -2\right)} \]

8. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) - 2\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right) + -2\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right), \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} - \frac{1}{3}\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2} + \frac{-1}{3}\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{60} \cdot {im}^{2}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({im}^{2} \cdot \frac{-1}{60}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{-1}{60}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{-1}{60}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f64 92.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{60}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

10. Simplified 92.5%

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666 + -0.3333333333333333\right) + -2\right)\right)} \]

11. Taylor expanded in re around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{60}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), -2\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 55.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{-1}{60}\right), \frac{-1}{3}\right)\right), -2\right)\right)\right) \]

13. Simplified 55.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(im \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666 + -0.3333333333333333\right) + -2\right)\right) \]

14. Final simplification 55.3%

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(im \cdot \left(-2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(-0.3333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot -0.016666666666666666\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 16: 53.7% accurate, 23.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(\left(0.5 \cdot re\right) \cdot \left(im\_m \cdot \left(-2 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (*
  im_s
  (* (* 0.5 re) (* im_m (+ -2.0 (* im_m (* im_m -0.3333333333333333)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * ((0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * -0.3333333333333333)))));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * ((0.5d0 * re) * (im_m * ((-2.0d0) + (im_m * (im_m * (-0.3333333333333333d0))))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * ((0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * -0.3333333333333333)))));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * ((0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * -0.3333333333333333)))))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(Float64(0.5 * re) * Float64(im_m * Float64(-2.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.3333333333333333))))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * ((0.5 * re) * (im_m * (-2.0 + (im_m * (im_m * -0.3333333333333333)))));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(N[(0.5 * re), $MachinePrecision] * N[(im$95$m * N[(-2.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} - 2\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2} + -2\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \left(-2 + \color{blue}{\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \frac{-1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 85.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 85.7%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot re\right)}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 52.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, re\right), \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{im}, \mathsf{+.f64}\left(-2, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 52.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot re\right)} \cdot \left(im \cdot \left(-2 + im \cdot \left(im \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 17: 50.5% accurate, 28.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(im\_m \cdot \left(re \cdot \left(-1 + im\_m \cdot \left(im\_m \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m)
 :precision binary64
 (* im_s (* im_m (* re (+ -1.0 (* im_m (* im_m -0.16666666666666666)))))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666)))));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (im_m * (re * ((-1.0d0) + (im_m * (im_m * (-0.16666666666666666d0))))))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666)))));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666)))))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(im_m * Float64(re * Float64(-1.0 + Float64(im_m * Float64(im_m * -0.16666666666666666))))))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (im_m * (re * (-1.0 + (im_m * (im_m * -0.16666666666666666)))));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(im$95$m * N[(re * N[(-1.0 + N[(im$95$m * N[(im$95$m * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \frac{-1}{6} \cdot \left(\sin re \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto im \cdot \left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{{im}^{2}}\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(-1 \cdot \sin re + \left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{2} + \color{blue}{-1 \cdot \sin re}\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{-1} \cdot \sin re\right)\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({im}^{2} \cdot \sin re\right) + -1 \cdot \sin re\right)\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \sin re + \color{blue}{-1} \cdot \sin re\right)\right) \]

   8. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {im}^{2} + -1\right)}\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(im \cdot im\right) + -1\right)\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) \cdot im + -1\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\sin re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\sin re, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right) + -1\right)}\right)\right) \]

   13. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)} + -1\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \left(-1 + \color{blue}{im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot im\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. *-lowering-*.f64 82.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(re\right), \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 82.0%

   \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(\sin re \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{re}, \mathsf{+.f64}\left(-1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 49.0%

   \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{re} \cdot \left(-1 + im \cdot \left(im \cdot -0.16666666666666666\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 18: 33.8% accurate, 61.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} im\_m = \left|im\right| \\ im\_s = \mathsf{copysign}\left(1, im\right) \\ im\_s \cdot \left(0 - im\_m \cdot re\right) \end{array} \]

FPCore

im\_m = (fabs.f64 im)
im\_s = (copysign.f64 #s(literal 1 binary64) im)
(FPCore (im_s re im_m) :precision binary64 (* im_s (- 0.0 (* im_m re))))

C

im\_m = fabs(im);
im\_s = copysign(1.0, im);
double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (0.0 - (im_m * re));
}

Fortran

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0d0, im)
real(8) function code(im_s, re, im_m)
    real(8), intent (in) :: im_s
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im_m
    code = im_s * (0.0d0 - (im_m * re))
end function

Java

im\_m = Math.abs(im);
im\_s = Math.copySign(1.0, im);
public static double code(double im_s, double re, double im_m) {
	return im_s * (0.0 - (im_m * re));
}

Python

im\_m = math.fabs(im)
im\_s = math.copysign(1.0, im)
def code(im_s, re, im_m):
	return im_s * (0.0 - (im_m * re))

Julia

im\_m = abs(im)
im\_s = copysign(1.0, im)
function code(im_s, re, im_m)
	return Float64(im_s * Float64(0.0 - Float64(im_m * re)))
end

MATLAB

im\_m = abs(im);
im\_s = sign(im) * abs(1.0);
function tmp = code(im_s, re, im_m)
	tmp = im_s * (0.0 - (im_m * re));
end

Wolfram

im\_m = N[Abs[im], $MachinePrecision]
im\_s = N[With[{TMP1 = Abs[1.0], TMP2 = Sign[im]}, TMP1 * If[TMP2 == 0, 1, TMP2]], $MachinePrecision]
code[im$95$s_, re_, im$95$m_] := N[(im$95$s * N[(0.0 - N[(im$95$m * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 62.4%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sin re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot \sin re\right) \]

   2. neg-sub0 N/A

      \[\leadsto 0 - \color{blue}{im \cdot \sin re} \]

   3. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(im \cdot \sin re\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\sin re}\right)\right) \]

   5. sin-lowering-sin.f64 56.2%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{sin.f64}\left(re\right)\right)\right) \]

5. Simplified 56.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0 - im \cdot \sin re} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{re}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 34.3%

   \[\leadsto 0 - im \cdot \color{blue}{re} \]
9. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(im \cdot re\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(re \cdot im\right) \]

   3. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(re\right)\right) \cdot \color{blue}{im} \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(re\right)\right), \color{blue}{im}\right) \]

   5. neg-lowering-neg.f64 34.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(re\right), im\right) \]

10. Applied egg-rr 34.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(-re\right) \cdot im} \]

11. Final simplification 34.3%

    \[\leadsto 0 - im \cdot re \]
12. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.7% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (< (fabs im) 1.0)
   (-
    (*
     (sin re)
     (+
      (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im))
      (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im))))
   (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (fabs(im) < 1.0) {
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (abs(im) < 1.0d0) then
        tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666d0 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333d0 * im) * im) * im) * im) * im)))
    else
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.abs(im) < 1.0) {
		tmp = -(Math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.fabs(im) < 1.0:
		tmp = -(math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = Float64(-Float64(sin(re) * Float64(Float64(im + Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	else
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Less[N[Abs[im], $MachinePrecision], 1.0], (-N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im + N[(N[(N[(0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (if (< (fabs im) 1) (- (* (sin re) (+ im (* 1/6 im im im) (* 1/120 im im im im im)))) (* (* 1/2 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))