math.cos on complex, real part

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 13.4s

Alternatives: 15

Speedup: 1.5×

• 48.8% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (+ (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp(-im) + exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (exp(-im) + exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp(-im) + Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp(-im) + math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) + exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp(-im) + exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] + N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (+ (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp(-im) + exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (exp(-im) + exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp(-im) + Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp(-im) + math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) + exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp(-im) + exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] + N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\cos re}{\frac{1}{\cosh im}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 (/ (cos re) (/ 1.0 (cosh im))))

C

double code(double re, double im) {
	return cos(re) / (1.0 / cosh(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = cos(re) / (1.0d0 / cosh(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return Math.cos(re) / (1.0 / Math.cosh(im));
}

Python

def code(re, im):
	return math.cos(re) / (1.0 / math.cosh(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(cos(re) / Float64(1.0 / cosh(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = cos(re) / (1.0 / cosh(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \cos re}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos re\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - \color{blue}{e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

   7. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}}\right)\right) \]

   8. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)}\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)\right)\right) \]

   11. cosh-undef N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(2 \cdot \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

   13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \cos re}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \cos re}{1} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \cosh im\right)} \]

   2. /-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\color{blue}{2} \cdot \cosh im\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{\cosh im} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2\right) \cdot \cosh im \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(\cos re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right)\right) \cdot \cosh \color{blue}{im} \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(\cos re \cdot 1\right) \cdot \cosh im \]

   7. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot \cosh \color{blue}{im} \]

   8. cosh-def N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot \frac{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}{\color{blue}{2}} \]

   9. cosh-undef N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot \frac{2 \cdot \cosh im}{2} \]

   10. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \frac{\cos re \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)}{\color{blue}{2}} \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\cos re \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \color{blue}{2}\right) \]

   12. remove-double-div N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\cos re \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}\right), 2\right) \]

   13. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\cos re}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}\right), 2\right) \]

   14. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\cos re, \left(\frac{1}{2 \cdot \cosh im}\right)\right), 2\right) \]

   15. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{2 \cdot \cosh im}\right)\right), 2\right) \]

   16. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\cosh im}\right)\right), 2\right) \]

   17. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\cosh im}\right)\right), 2\right) \]

   18. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \cosh im\right)\right), 2\right) \]

   19. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right), 2\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\cos re}{\frac{0.5}{\cosh im}}}{2}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-/l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\cos re}{\color{blue}{2 \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\cosh im}}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(2 \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\cosh im}\right)}\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\cosh im}\right)\right) \]

   4. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{\cosh im}}\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{\cosh \color{blue}{im}}\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\cosh im}\right)\right) \]

   7. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos re}{\frac{1}{\cosh im}}} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 2: 100.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos re \cdot \cosh im \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 (* (cos re) (cosh im)))

C

double code(double re, double im) {
	return cos(re) * cosh(im);
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = cos(re) * cosh(im)
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return Math.cos(re) * Math.cosh(im);
}

Python

def code(re, im):
	return math.cos(re) * math.cosh(im)

Julia

function code(re, im)
	return Float64(cos(re) * cosh(im))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = cos(re) * cosh(im);
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[Cosh[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}} \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

   3. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \cos re}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

   4. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos re\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - \color{blue}{e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

   7. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}}\right)\right) \]

   8. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)}\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)\right)\right) \]

   11. cosh-undef N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(2 \cdot \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

   13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \cos re}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \cos re}{1} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \cosh im\right)} \]

   2. /-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\color{blue}{2} \cdot \cosh im\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{\cosh im} \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\cos re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2\right) \cdot \cosh im \]

   5. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(\cos re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right)\right) \cdot \cosh \color{blue}{im} \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \left(\cos re \cdot 1\right) \cdot \cosh im \]

   7. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot \cosh \color{blue}{im} \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \cosh im \cdot \color{blue}{\cos re} \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\cosh im, \color{blue}{\cos re}\right) \]

   10. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cosh.f64}\left(im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{cosh.f64}\left(im\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\cosh im \cdot \cos re} \]

7. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \cos re \cdot \cosh im \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 94.5% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\\ \mathbf{if}\;im \leq 135:\\ \;\;\;\;\frac{\cos re}{\frac{1}{1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot t\_0\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 7 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot t\_0\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889))))
   (if (<= im 135.0)
     (/ (cos re) (/ 1.0 (+ 1.0 (* im (* im (+ 0.5 (* im (* im t_0))))))))
     (if (<= im 7e+51)
       (*
        (cosh im)
        (+
         1.0
         (*
          (* re re)
          (+
           -0.5
           (*
            (* re re)
            (+ 0.041666666666666664 (* re (* re -0.001388888888888889))))))))
       (* (cos re) (+ 1.0 (* im (* im (+ 0.5 (* (* im im) t_0))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889);
	double tmp;
	if (im <= 135.0) {
		tmp = cos(re) / (1.0 / (1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * t_0)))))));
	} else if (im <= 7e+51) {
		tmp = cosh(im) * (1.0 + ((re * re) * (-0.5 + ((re * re) * (0.041666666666666664 + (re * (re * -0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = cos(re) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * t_0)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0)
    if (im <= 135.0d0) then
        tmp = cos(re) / (1.0d0 / (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + (im * (im * t_0)))))))
    else if (im <= 7d+51) then
        tmp = cosh(im) * (1.0d0 + ((re * re) * ((-0.5d0) + ((re * re) * (0.041666666666666664d0 + (re * (re * (-0.001388888888888889d0))))))))
    else
        tmp = cos(re) * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + ((im * im) * t_0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889);
	double tmp;
	if (im <= 135.0) {
		tmp = Math.cos(re) / (1.0 / (1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * t_0)))))));
	} else if (im <= 7e+51) {
		tmp = Math.cosh(im) * (1.0 + ((re * re) * (-0.5 + ((re * re) * (0.041666666666666664 + (re * (re * -0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = Math.cos(re) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * t_0)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = 0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)
	tmp = 0
	if im <= 135.0:
		tmp = math.cos(re) / (1.0 / (1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * t_0)))))))
	elif im <= 7e+51:
		tmp = math.cosh(im) * (1.0 + ((re * re) * (-0.5 + ((re * re) * (0.041666666666666664 + (re * (re * -0.001388888888888889)))))))
	else:
		tmp = math.cos(re) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * t_0)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))
	tmp = 0.0
	if (im <= 135.0)
		tmp = Float64(cos(re) / Float64(1.0 / Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * t_0))))))));
	elseif (im <= 7e+51)
		tmp = Float64(cosh(im) * Float64(1.0 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(0.041666666666666664 + Float64(re * Float64(re * -0.001388888888888889))))))));
	else
		tmp = Float64(cos(re) * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * t_0))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = 0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889);
	tmp = 0.0;
	if (im <= 135.0)
		tmp = cos(re) / (1.0 / (1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * t_0)))))));
	elseif (im <= 7e+51)
		tmp = cosh(im) * (1.0 + ((re * re) * (-0.5 + ((re * re) * (0.041666666666666664 + (re * (re * -0.001388888888888889)))))));
	else
		tmp = cos(re) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * t_0)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 135.0], N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] / N[(1.0 / N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(im * N[(im * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 7e+51], N[(N[Cosh[im], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(0.041666666666666664 + N[(re * N[(re * -0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 135

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-+ N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}} \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

      3. un-div-inv N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \cos re}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}}} \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right), \color{blue}{\left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)}\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos re\right), \left(\frac{\color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

      6. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - \color{blue}{e^{im}}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}\right)\right) \]

      7. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\frac{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} \cdot e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im} \cdot e^{im}}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} - e^{im}}}}\right)\right) \]

      8. flip-+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \left(\frac{1}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + \color{blue}{e^{im}}}\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)}\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(e^{im} + \color{blue}{e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}\right)\right)\right) \]

      11. cosh-undef N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(2 \cdot \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \color{blue}{\cosh im}\right)\right)\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(2, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \cos re}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \cos re}{1} \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \cosh im\right)} \]

      2. /-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\color{blue}{2} \cdot \cosh im\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{\cosh im} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(\left(\cos re \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2\right) \cdot \cosh im \]

      5. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \left(\cos re \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right)\right) \cdot \cosh \color{blue}{im} \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \left(\cos re \cdot 1\right) \cdot \cosh im \]

      7. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot \cosh \color{blue}{im} \]

      8. cosh-def N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot \frac{e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}}{\color{blue}{2}} \]

      9. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot \frac{2 \cdot \cosh im}{2} \]

      10. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \frac{\cos re \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)}{\color{blue}{2}} \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\cos re \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \color{blue}{2}\right) \]

      12. remove-double-div N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\cos re \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}\right), 2\right) \]

      13. div-inv N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{\cos re}{\frac{1}{2 \cdot \cosh im}}\right), 2\right) \]

      14. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\cos re, \left(\frac{1}{2 \cdot \cosh im}\right)\right), 2\right) \]

      15. cos-lowering-cos.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{2 \cdot \cosh im}\right)\right), 2\right) \]

      16. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\cosh im}\right)\right), 2\right) \]

      17. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\frac{\frac{1}{2}}{\cosh im}\right)\right), 2\right) \]

      18. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \cosh im\right)\right), 2\right) \]

      19. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right), 2\right) \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\cos re}{\frac{0.5}{\cosh im}}}{2}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-/l/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos re}{\color{blue}{2 \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\cosh im}}} \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos re, \color{blue}{\left(2 \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\cosh im}\right)}\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\cosh im}\right)\right) \]

      4. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\color{blue}{\cosh im}}\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \left(\frac{1}{\cosh \color{blue}{im}}\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\cosh im}\right)\right) \]

      7. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos re}{\frac{1}{\cosh im}}} \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 95.1%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(re\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 95.1%

       \[\leadsto \frac{\cos re}{\frac{1}{\color{blue}{1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)}}} \]

   if 135 < im < 7e51

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \cos re\right) \]

      6. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \cos re\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \cos re\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      10. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \cos re\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \cos re} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{-1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \cosh im \cdot \left(\color{blue}{1} + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\cosh im} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\cosh im}\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), \cosh \color{blue}{im}\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{-1}{2} + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), \cosh im\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{2} + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), \cosh im\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \cosh im\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{24} + re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \cosh im\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{24} + re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \cosh im\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \cosh im\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \cosh im\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \cosh im\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right) \cdot \cosh im} \]

   if 7e51 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \cos re\right) \]

      6. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \cos re\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \cos re\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      10. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \cos re\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \cos re} \]

   5. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \cdot \cos re \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 96.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 135:\\ \;\;\;\;\frac{\cos re}{\frac{1}{1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 7 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 94.5% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 135:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq 7 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (cos re)
          (+
           1.0
           (*
            im
            (*
             im
             (+
              0.5
              (*
               (* im im)
               (+
                0.041666666666666664
                (* (* im im) 0.001388888888888889))))))))))
   (if (<= im 135.0)
     t_0
     (if (<= im 7e+51)
       (*
        (cosh im)
        (+
         1.0
         (*
          (* re re)
          (+
           -0.5
           (*
            (* re re)
            (+ 0.041666666666666664 (* re (* re -0.001388888888888889))))))))
       t_0))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = cos(re) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	double tmp;
	if (im <= 135.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 7e+51) {
		tmp = cosh(im) * (1.0 + ((re * re) * (-0.5 + ((re * re) * (0.041666666666666664 + (re * (re * -0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(re) * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + ((im * im) * (0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0)))))))
    if (im <= 135.0d0) then
        tmp = t_0
    else if (im <= 7d+51) then
        tmp = cosh(im) * (1.0d0 + ((re * re) * ((-0.5d0) + ((re * re) * (0.041666666666666664d0 + (re * (re * (-0.001388888888888889d0))))))))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = Math.cos(re) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	double tmp;
	if (im <= 135.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 7e+51) {
		tmp = Math.cosh(im) * (1.0 + ((re * re) * (-0.5 + ((re * re) * (0.041666666666666664 + (re * (re * -0.001388888888888889)))))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = math.cos(re) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))))
	tmp = 0
	if im <= 135.0:
		tmp = t_0
	elif im <= 7e+51:
		tmp = math.cosh(im) * (1.0 + ((re * re) * (-0.5 + ((re * re) * (0.041666666666666664 + (re * (re * -0.001388888888888889)))))))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(cos(re) * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))))))))
	tmp = 0.0
	if (im <= 135.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 7e+51)
		tmp = Float64(cosh(im) * Float64(1.0 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(0.041666666666666664 + Float64(re * Float64(re * -0.001388888888888889))))))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = cos(re) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	tmp = 0.0;
	if (im <= 135.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 7e+51)
		tmp = cosh(im) * (1.0 + ((re * re) * (-0.5 + ((re * re) * (0.041666666666666664 + (re * (re * -0.001388888888888889)))))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 135.0], t$95$0, If[LessEqual[im, 7e+51], N[(N[Cosh[im], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(0.041666666666666664 + N[(re * N[(re * -0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 135 or 7e51 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \cos re\right) \]

      6. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \cos re\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \cos re\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      10. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \cos re\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \cos re} \]

   5. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 95.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

   7. Simplified 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \cdot \cos re \]

   if 135 < im < 7e51

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \cos re\right) \]

      6. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \cos re\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \cos re\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      10. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \cos re\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \cos re} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{-1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \cosh im \cdot \left(\color{blue}{1} + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\cosh im} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\cosh im}\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), \cosh \color{blue}{im}\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{-1}{2} + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), \cosh im\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{2} + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right), \cosh im\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \cosh im\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{24} + re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \cosh im\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{24} + re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \cosh im\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(re \cdot \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \cosh im\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \cosh im\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \cosh im\right) \]

      13. cosh-lowering-cosh.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right) \cdot \cosh im} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 135:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 7 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 79.3% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 0.43:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + 0.041666666666666664 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 0.43)
   (*
    (cosh im)
    (+ 1.0 (* (* re re) (+ -0.5 (* 0.041666666666666664 (* re re))))))
   (*
    (cos re)
    (+
     1.0
     (*
      im
      (*
       im
       (+
        0.5
        (*
         (* im im)
         (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 0.43) {
		tmp = cosh(im) * (1.0 + ((re * re) * (-0.5 + (0.041666666666666664 * (re * re)))));
	} else {
		tmp = cos(re) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 0.43d0) then
        tmp = cosh(im) * (1.0d0 + ((re * re) * ((-0.5d0) + (0.041666666666666664d0 * (re * re)))))
    else
        tmp = cos(re) * (1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + ((im * im) * (0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0)))))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 0.43) {
		tmp = Math.cosh(im) * (1.0 + ((re * re) * (-0.5 + (0.041666666666666664 * (re * re)))));
	} else {
		tmp = Math.cos(re) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 0.43:
		tmp = math.cosh(im) * (1.0 + ((re * re) * (-0.5 + (0.041666666666666664 * (re * re)))))
	else:
		tmp = math.cos(re) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 0.43)
		tmp = Float64(cosh(im) * Float64(1.0 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.5 + Float64(0.041666666666666664 * Float64(re * re))))));
	else
		tmp = Float64(cos(re) * Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 0.43)
		tmp = cosh(im) * (1.0 + ((re * re) * (-0.5 + (0.041666666666666664 * (re * re)))));
	else
		tmp = cos(re) * (1.0 + (im * (im * (0.5 + ((im * im) * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 0.43], N[(N[Cosh[im], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.5 + N[(0.041666666666666664 * N[(re * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 0.429999999999999993

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \cos re\right) \]

      6. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \cos re\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \cos re\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      10. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \cos re\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \cos re} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 67.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{-1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 67.0%

      \[\leadsto \left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 72.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 72.6%

       \[\leadsto \left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \color{blue}{\left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664}\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lft-identity N/A

          \[\leadsto \cosh im \cdot \left(\color{blue}{1} + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right) \]

       2. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right) \cdot \color{blue}{\cosh im} \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right), \color{blue}{\cosh im}\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left(\frac{-1}{2} + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), \cosh \color{blue}{im}\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{-1}{2} + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), \cosh im\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{2} + \left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right), \cosh im\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), \cosh im\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), \cosh im\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), \cosh im\right) \]

       10. cosh-lowering-cosh.f64 72.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 72.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \cosh im} \]

   if 0.429999999999999993 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \cos re\right) \]

      6. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \cos re\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \cos re\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      10. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \cos re\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \cos re} \]

   5. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\color{blue}{re}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f64 96.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

   7. Simplified 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \cdot \cos re \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 78.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 0.43:\\ \;\;\;\;\cosh im \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + 0.041666666666666664 \cdot \left(re \cdot re\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 92.1% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 1.55:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.5 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (*
          (cos re)
          (+ 1.0 (* (* im im) (+ 0.5 (* im (* im 0.041666666666666664))))))))
   (if (<= im 1.55) t_0 (if (<= im 2.5e+77) (cosh im) t_0))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = cos(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))));
	double tmp;
	if (im <= 1.55) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 2.5e+77) {
		tmp = cosh(im);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = cos(re) * (1.0d0 + ((im * im) * (0.5d0 + (im * (im * 0.041666666666666664d0)))))
    if (im <= 1.55d0) then
        tmp = t_0
    else if (im <= 2.5d+77) then
        tmp = cosh(im)
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = Math.cos(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))));
	double tmp;
	if (im <= 1.55) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 2.5e+77) {
		tmp = Math.cosh(im);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = math.cos(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))))
	tmp = 0
	if im <= 1.55:
		tmp = t_0
	elif im <= 2.5e+77:
		tmp = math.cosh(im)
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(cos(re) * Float64(1.0 + Float64(Float64(im * im) * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * 0.041666666666666664))))))
	tmp = 0.0
	if (im <= 1.55)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 2.5e+77)
		tmp = cosh(im);
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = cos(re) * (1.0 + ((im * im) * (0.5 + (im * (im * 0.041666666666666664)))));
	tmp = 0.0;
	if (im <= 1.55)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 2.5e+77)
		tmp = cosh(im);
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.5 + N[(im * N[(im * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 1.55], t$95$0, If[LessEqual[im, 2.5e+77], N[Cosh[im], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 1.55000000000000004 or 2.50000000000000002e77 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-rgt-identity N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \cos re\right) \]

      3. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2} + \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      4. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2} + \frac{1}{2}\right)} \]

      5. distribute-lft-out N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{2}}\right) \]

      6. *-commutative N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right)} \cdot \frac{1}{2}\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \cos re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

      11. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \cos re \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \cos re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      13. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) + im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)} \]

   5. Simplified 94.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]

   if 1.55000000000000004 < im < 2.50000000000000002e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \cos re\right) \]

      6. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \cos re\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \cos re\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      10. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \cos re\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \cos re} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 85.5%

      \[\leadsto \left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.55:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.5 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 84.5% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq 1.55:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* (cos re) 0.5) (+ (* im im) 2.0))))
   (if (<= im 1.55) t_0 (if (<= im 1.35e+154) (cosh im) t_0))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (cos(re) * 0.5) * ((im * im) + 2.0);
	double tmp;
	if (im <= 1.55) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 1.35e+154) {
		tmp = cosh(im);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (cos(re) * 0.5d0) * ((im * im) + 2.0d0)
    if (im <= 1.55d0) then
        tmp = t_0
    else if (im <= 1.35d+154) then
        tmp = cosh(im)
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = (Math.cos(re) * 0.5) * ((im * im) + 2.0);
	double tmp;
	if (im <= 1.55) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 1.35e+154) {
		tmp = Math.cosh(im);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = (math.cos(re) * 0.5) * ((im * im) + 2.0)
	tmp = 0
	if im <= 1.55:
		tmp = t_0
	elif im <= 1.35e+154:
		tmp = math.cosh(im)
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(cos(re) * 0.5) * Float64(Float64(im * im) + 2.0))
	tmp = 0.0
	if (im <= 1.55)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 1.35e+154)
		tmp = cosh(im);
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = (cos(re) * 0.5) * ((im * im) + 2.0);
	tmp = 0.0;
	if (im <= 1.55)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 1.35e+154)
		tmp = cosh(im);
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] * N[(N[(im * im), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 1.55], t$95$0, If[LessEqual[im, 1.35e+154], N[Cosh[im], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 1.55000000000000004 or 1.35000000000000003e154 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 86.1%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 86.1%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + im \cdot im\right)} \]

   if 1.55000000000000004 < im < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \cos re\right) \]

      6. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \cos re\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \cos re\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      10. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \cos re\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \cos re} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 87.1%

      \[\leadsto \left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 86.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 1.55:\\ \;\;\;\;\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\cosh im\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\cos re \cdot 0.5\right) \cdot \left(im \cdot im + 2\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 68.9% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.7:\\ \;\;\;\;\cos re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cosh im\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 (if (<= im 2.7) (cos re) (cosh im)))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 2.7) {
		tmp = cos(re);
	} else {
		tmp = cosh(im);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 2.7d0) then
        tmp = cos(re)
    else
        tmp = cosh(im)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 2.7) {
		tmp = Math.cos(re);
	} else {
		tmp = Math.cosh(im);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 2.7:
		tmp = math.cos(re)
	else:
		tmp = math.cosh(im)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 2.7)
		tmp = cos(re);
	else
		tmp = cosh(im);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 2.7)
		tmp = cos(re);
	else
		tmp = cosh(im);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 2.7], N[Cos[re], $MachinePrecision], N[Cosh[im], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 2.7000000000000002

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 68.9%

         \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 68.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]

   if 2.7000000000000002 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \cos re\right) \]

      6. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \cos re\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \cos re\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      10. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \cos re\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \cos re} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 84.8%

      \[\leadsto \left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 72.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.7:\\ \;\;\;\;\cos re\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cosh im\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 67.6% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\\ t_1 := \left(im \cdot im\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{if}\;im \leq 510:\\ \;\;\;\;\cos re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9.2 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.25 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(t\_0 \cdot t\_1\right)\right)}{0.5 - t\_1}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot t\_0\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889)))
        (t_1 (* (* im im) t_0)))
   (if (<= im 510.0)
     (cos re)
     (if (<= im 9.2e+51)
       (*
        (+
         1.0
         (*
          (* re re)
          (+
           -0.5
           (*
            (* re re)
            (+ 0.041666666666666664 (* re (* re -0.001388888888888889)))))))
        (+
         1.0
         (/ (* (* im im) (- 0.25 (* (* im im) (* t_0 t_1)))) (- 0.5 t_1))))
       (+ 1.0 (* im (* im (+ 0.5 (* im (* im t_0))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889);
	double t_1 = (im * im) * t_0;
	double tmp;
	if (im <= 510.0) {
		tmp = cos(re);
	} else if (im <= 9.2e+51) {
		tmp = (1.0 + ((re * re) * (-0.5 + ((re * re) * (0.041666666666666664 + (re * (re * -0.001388888888888889))))))) * (1.0 + (((im * im) * (0.25 - ((im * im) * (t_0 * t_1)))) / (0.5 - t_1)));
	} else {
		tmp = 1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * t_0)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0)
    t_1 = (im * im) * t_0
    if (im <= 510.0d0) then
        tmp = cos(re)
    else if (im <= 9.2d+51) then
        tmp = (1.0d0 + ((re * re) * ((-0.5d0) + ((re * re) * (0.041666666666666664d0 + (re * (re * (-0.001388888888888889d0)))))))) * (1.0d0 + (((im * im) * (0.25d0 - ((im * im) * (t_0 * t_1)))) / (0.5d0 - t_1)))
    else
        tmp = 1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + (im * (im * t_0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889);
	double t_1 = (im * im) * t_0;
	double tmp;
	if (im <= 510.0) {
		tmp = Math.cos(re);
	} else if (im <= 9.2e+51) {
		tmp = (1.0 + ((re * re) * (-0.5 + ((re * re) * (0.041666666666666664 + (re * (re * -0.001388888888888889))))))) * (1.0 + (((im * im) * (0.25 - ((im * im) * (t_0 * t_1)))) / (0.5 - t_1)));
	} else {
		tmp = 1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * t_0)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = 0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)
	t_1 = (im * im) * t_0
	tmp = 0
	if im <= 510.0:
		tmp = math.cos(re)
	elif im <= 9.2e+51:
		tmp = (1.0 + ((re * re) * (-0.5 + ((re * re) * (0.041666666666666664 + (re * (re * -0.001388888888888889))))))) * (1.0 + (((im * im) * (0.25 - ((im * im) * (t_0 * t_1)))) / (0.5 - t_1)))
	else:
		tmp = 1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * t_0)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))
	t_1 = Float64(Float64(im * im) * t_0)
	tmp = 0.0
	if (im <= 510.0)
		tmp = cos(re);
	elseif (im <= 9.2e+51)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(0.041666666666666664 + Float64(re * Float64(re * -0.001388888888888889))))))) * Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(0.25 - Float64(Float64(im * im) * Float64(t_0 * t_1)))) / Float64(0.5 - t_1))));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * t_0))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = 0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889);
	t_1 = (im * im) * t_0;
	tmp = 0.0;
	if (im <= 510.0)
		tmp = cos(re);
	elseif (im <= 9.2e+51)
		tmp = (1.0 + ((re * re) * (-0.5 + ((re * re) * (0.041666666666666664 + (re * (re * -0.001388888888888889))))))) * (1.0 + (((im * im) * (0.25 - ((im * im) * (t_0 * t_1)))) / (0.5 - t_1)));
	else
		tmp = 1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * t_0)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 510.0], N[Cos[re], $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 9.2e+51], N[(N[(1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(0.041666666666666664 + N[(re * N[(re * -0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.25 - N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.5 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(im * N[(im * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 510

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 68.6%

         \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 68.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]

   if 510 < im < 9.2000000000000002e51

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \cos re\right) \]

      6. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \cos re\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \cos re\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      10. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \cos re\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \cos re} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{-1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 20.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 20.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)}{\frac{1}{2} - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)}{\frac{1}{2} - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 52.0%

       \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.25 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)}{0.5 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)}}\right) \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right) \]

   if 9.2000000000000002e51 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \cos re\right) \]

      6. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \cos re\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \cos re\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      10. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \cos re\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \cos re} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 63.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{-1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 63.6%

      \[\leadsto \left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 63.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 63.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 86.4%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 86.4%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 71.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 510:\\ \;\;\;\;\cos re\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9.2 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.25 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)}{0.5 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 45.5% accurate, 4.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\\ t_1 := \left(im \cdot im\right) \cdot t\_0\\ \mathbf{if}\;im \leq 2.5 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.25 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(t\_0 \cdot t\_1\right)\right)}{0.5 - t\_1}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot t\_0\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889)))
        (t_1 (* (* im im) t_0)))
   (if (<= im 2.5e-9)
     1.0
     (if (<= im 5e+51)
       (*
        (+
         1.0
         (*
          (* re re)
          (+
           -0.5
           (*
            (* re re)
            (+ 0.041666666666666664 (* re (* re -0.001388888888888889)))))))
        (+
         1.0
         (/ (* (* im im) (- 0.25 (* (* im im) (* t_0 t_1)))) (- 0.5 t_1))))
       (+ 1.0 (* im (* im (+ 0.5 (* im (* im t_0))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889);
	double t_1 = (im * im) * t_0;
	double tmp;
	if (im <= 2.5e-9) {
		tmp = 1.0;
	} else if (im <= 5e+51) {
		tmp = (1.0 + ((re * re) * (-0.5 + ((re * re) * (0.041666666666666664 + (re * (re * -0.001388888888888889))))))) * (1.0 + (((im * im) * (0.25 - ((im * im) * (t_0 * t_1)))) / (0.5 - t_1)));
	} else {
		tmp = 1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * t_0)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0)
    t_1 = (im * im) * t_0
    if (im <= 2.5d-9) then
        tmp = 1.0d0
    else if (im <= 5d+51) then
        tmp = (1.0d0 + ((re * re) * ((-0.5d0) + ((re * re) * (0.041666666666666664d0 + (re * (re * (-0.001388888888888889d0)))))))) * (1.0d0 + (((im * im) * (0.25d0 - ((im * im) * (t_0 * t_1)))) / (0.5d0 - t_1)))
    else
        tmp = 1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + (im * (im * t_0)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = 0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889);
	double t_1 = (im * im) * t_0;
	double tmp;
	if (im <= 2.5e-9) {
		tmp = 1.0;
	} else if (im <= 5e+51) {
		tmp = (1.0 + ((re * re) * (-0.5 + ((re * re) * (0.041666666666666664 + (re * (re * -0.001388888888888889))))))) * (1.0 + (((im * im) * (0.25 - ((im * im) * (t_0 * t_1)))) / (0.5 - t_1)));
	} else {
		tmp = 1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * t_0)))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = 0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)
	t_1 = (im * im) * t_0
	tmp = 0
	if im <= 2.5e-9:
		tmp = 1.0
	elif im <= 5e+51:
		tmp = (1.0 + ((re * re) * (-0.5 + ((re * re) * (0.041666666666666664 + (re * (re * -0.001388888888888889))))))) * (1.0 + (((im * im) * (0.25 - ((im * im) * (t_0 * t_1)))) / (0.5 - t_1)))
	else:
		tmp = 1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * t_0)))))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))
	t_1 = Float64(Float64(im * im) * t_0)
	tmp = 0.0
	if (im <= 2.5e-9)
		tmp = 1.0;
	elseif (im <= 5e+51)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(Float64(re * re) * Float64(-0.5 + Float64(Float64(re * re) * Float64(0.041666666666666664 + Float64(re * Float64(re * -0.001388888888888889))))))) * Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(im * im) * Float64(0.25 - Float64(Float64(im * im) * Float64(t_0 * t_1)))) / Float64(0.5 - t_1))));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * t_0))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = 0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889);
	t_1 = (im * im) * t_0;
	tmp = 0.0;
	if (im <= 2.5e-9)
		tmp = 1.0;
	elseif (im <= 5e+51)
		tmp = (1.0 + ((re * re) * (-0.5 + ((re * re) * (0.041666666666666664 + (re * (re * -0.001388888888888889))))))) * (1.0 + (((im * im) * (0.25 - ((im * im) * (t_0 * t_1)))) / (0.5 - t_1)));
	else
		tmp = 1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * t_0)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, 2.5e-9], 1.0, If[LessEqual[im, 5e+51], N[(N[(1.0 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(-0.5 + N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * N[(0.041666666666666664 + N[(re * N[(re * -0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(0.25 - N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * N[(t$95$0 * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.5 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(im * N[(im * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < 2.5000000000000001e-9

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 69.1%

         \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 69.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 36.2%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]

   if 2.5000000000000001e-9 < im < 5e51

   1. Initial program 99.8%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \cos re\right) \]

      6. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \cos re\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \cos re\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      10. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \cos re\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 99.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \cos re} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 75.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{-1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 75.5%

      \[\leadsto \left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 16.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 16.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. flip-+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)}{\frac{1}{2} - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)}{\frac{1}{2} - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} - im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 39.5%

       \[\leadsto \left(1 + \color{blue}{\frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.25 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)}{0.5 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)}}\right) \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right) \]

   if 5e51 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\cos re}\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \cos re\right) \]

      6. cosh-undef N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \cos re\right) \]

      7. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \cos re\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

      10. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \cos re\right) \]

      11. cos-lowering-cos.f64 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \cos re} \]

   5. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 63.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{-1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 63.6%

      \[\leadsto \left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-lowering-*.f64 63.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 63.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

       2. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

       3. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       7. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. unpow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 86.4%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 86.4%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 44.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 2.5 \cdot 10^{-9}:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.25 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(\left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right) \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)}{0.5 - \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 58.8% accurate, 16.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (+
  1.0
  (*
   im
   (*
    im
    (+
     0.5
     (*
      im
      (* im (+ 0.041666666666666664 (* (* im im) 0.001388888888888889)))))))))

C

double code(double re, double im) {
	return 1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = 1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + (im * (im * (0.041666666666666664d0 + ((im * im) * 0.001388888888888889d0)))))))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return 1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
}

Python

def code(re, im):
	return 1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.041666666666666664 + Float64(Float64(im * im) * 0.001388888888888889))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = 1.0 + (im * (im * (0.5 + (im * (im * (0.041666666666666664 + ((im * im) * 0.001388888888888889)))))));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(im * N[(im * N[(0.041666666666666664 + N[(N[(im * im), $MachinePrecision] * 0.001388888888888889), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\cos re} \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right) \cdot \frac{1}{2}\right), \color{blue}{\cos re}\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{\mathsf{neg}\left(im\right)} + e^{im}\right)\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(e^{im} + e^{\mathsf{neg}\left(im\right)}\right)\right), \cos re\right) \]

   6. cosh-undef N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 \cdot \cosh im\right)\right), \cos re\right) \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 \cdot \cosh im\right), \cos re\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \cosh im\right), \cos \color{blue}{re}\right) \]

   10. cosh-lowering-cosh.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \cos re\right) \]

   11. cos-lowering-cos.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \cos re} \]

5. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \color{blue}{\left(1 + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)} - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{{re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{720} \cdot {re}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \frac{-1}{720}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f64 56.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(1, \mathsf{cosh.f64}\left(im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{-1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 56.8%

   \[\leadsto \left(1 \cdot \cosh im\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left(im \cdot \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \left(im \cdot \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f64 54.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \frac{-1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 54.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + im \cdot \left(im \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(-0.5 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.041666666666666664 + re \cdot \left(re \cdot -0.001388888888888889\right)\right)\right)\right) \]

11. Taylor expanded in re around 0

    \[\leadsto \color{blue}{1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    3. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{24}} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \color{blue}{\left(\frac{1}{720} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{720}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 60.1%

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{24}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{720}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 60.1%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.041666666666666664 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.001388888888888889\right)\right)\right)\right)} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 12: 55.9% accurate, 23.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + 0.041666666666666664 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (+ 1.0 (* im (* im (+ 0.5 (* 0.041666666666666664 (* im im)))))))

C

double code(double re, double im) {
	return 1.0 + (im * (im * (0.5 + (0.041666666666666664 * (im * im)))));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = 1.0d0 + (im * (im * (0.5d0 + (0.041666666666666664d0 * (im * im)))))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return 1.0 + (im * (im * (0.5 + (0.041666666666666664 * (im * im)))));
}

Python

def code(re, im):
	return 1.0 + (im * (im * (0.5 + (0.041666666666666664 * (im * im)))))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(1.0 + Float64(im * Float64(im * Float64(0.5 + Float64(0.041666666666666664 * Float64(im * im))))))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = 1.0 + (im * (im * (0.5 + (0.041666666666666664 * (im * im)))));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(1.0 + N[(im * N[(im * N[(0.5 + N[(0.041666666666666664 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos re + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos re\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \color{blue}{{im}^{2}} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) + \frac{1}{2} \cdot \cos re\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) \cdot \cos re + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \cos re\right) \]

   3. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + {im}^{2} \cdot \left(\cos re \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2} + \frac{1}{2}\right)}\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2} + \frac{1}{2}\right)} \]

   5. distribute-lft-out N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{2}}\right) \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) + \left(\color{blue}{{im}^{2}} \cdot \cos re\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \]

   7. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \cos re\right)} \cdot \frac{1}{2}\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \left(\cos re \cdot {im}^{2}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \frac{1}{2}\right)}\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \cos re \cdot \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right) \]

   11. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \cos re \cdot \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \frac{1}{2}\right)}\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \left(\cos re \cdot \left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right) + \cos re \cdot \left(im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   13. distribute-lft-in N/A

       \[\leadsto \cos re \cdot 1 + \cos re \cdot \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right) + im \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot im\right)\right)} \]

5. Simplified 90.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.5 + im \cdot \left(im \cdot 0.041666666666666664\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(im \cdot im\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(im \cdot \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(im \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{1}{24} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{24}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f64 57.2%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{*.f64}\left(im, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{24}\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 57.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.041666666666666664\right)\right)} \]

9. Final simplification 57.2%

   \[\leadsto 1 + im \cdot \left(im \cdot \left(0.5 + 0.041666666666666664 \cdot \left(im \cdot im\right)\right)\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 13: 47.7% accurate, 25.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq 2.7 \cdot 10^{+229}:\\ \;\;\;\;1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot re\right) \cdot -0.5\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re 2.7e+229) (+ 1.0 (* 0.5 (* im im))) (* (* re re) -0.5)))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 2.7e+229) {
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	} else {
		tmp = (re * re) * -0.5;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (re <= 2.7d+229) then
        tmp = 1.0d0 + (0.5d0 * (im * im))
    else
        tmp = (re * re) * (-0.5d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= 2.7e+229) {
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	} else {
		tmp = (re * re) * -0.5;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if re <= 2.7e+229:
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im))
	else:
		tmp = (re * re) * -0.5
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (re <= 2.7e+229)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(0.5 * Float64(im * im)));
	else
		tmp = Float64(Float64(re * re) * -0.5);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (re <= 2.7e+229)
		tmp = 1.0 + (0.5 * (im * im));
	else
		tmp = (re * re) * -0.5;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[re, 2.7e+229], N[(1.0 + N[(0.5 * N[(im * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if re < 2.7e229

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(1 + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{1} + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left({im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{12}} + \frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \color{blue}{\left(\frac{1}{360} \cdot {im}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \left({im}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left({im}^{2}\right), \color{blue}{\frac{1}{360}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\left(im \cdot im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 94.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(re\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.2%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} + \frac{-1}{1440} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} + \frac{-1}{1440} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} + \frac{-1}{1440} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(re \cdot \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} + \frac{-1}{1440} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(re \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} + \frac{-1}{1440} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} + \frac{-1}{1440} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} + \frac{-1}{1440} \cdot {re}^{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} + \frac{-1}{1440} \cdot {re}^{2}\right) + \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \left(\frac{-1}{4} + {re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} + \frac{-1}{1440} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} + \frac{-1}{1440} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \left(\frac{1}{48} + \frac{-1}{1440} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \left(\frac{1}{48} + \frac{-1}{1440} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \left(\frac{1}{48} + \frac{-1}{1440} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \left(\frac{-1}{1440} \cdot {re}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \left({re}^{2} \cdot \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      17. *-lowering-*.f64 54.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{+.f64}\left(\frac{-1}{4}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{48}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{1440}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{12}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(im, im\right), \frac{1}{360}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 54.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.020833333333333332 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0006944444444444445\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(2 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(1 + \left(im \cdot im\right) \cdot \left(0.08333333333333333 + \left(im \cdot im\right) \cdot 0.002777777777777778\right)\right)\right) \]

   9. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} + \frac{-1}{1440} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{4}\right)\right) + {im}^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} + \frac{-1}{1440} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{4}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. distribute-rgt-out N/A

          \[\leadsto \left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} + \frac{-1}{1440} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{4}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{2} + {re}^{2} \cdot \left({re}^{2} \cdot \left(\frac{1}{48} + \frac{-1}{1440} \cdot {re}^{2}\right) - \frac{1}{4}\right)\right), \color{blue}{\left(2 + {im}^{2}\right)}\right) \]

   11. Simplified 46.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + re \cdot \left(re \cdot \left(-0.25 + \left(re \cdot re\right) \cdot \left(0.020833333333333332 + \left(re \cdot re\right) \cdot -0.0006944444444444445\right)\right)\right)\right) \cdot \left(2 + im \cdot im\right)} \]

   12. Taylor expanded in re around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \left(2 + {im}^{2}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \frac{1}{2} \cdot 2 + \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}} \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto 1 + \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot {im}^{2} \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {im}^{2}\right)}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left({im}^{2}\right)}\right)\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(im \cdot \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 47.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(im, \color{blue}{im}\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 47.8%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.5 \cdot \left(im \cdot im\right)} \]

   if 2.7e229 < re

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 51.6%

         \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 51.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \frac{-1}{2}\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \frac{-1}{2}\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 44.1%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 44.1%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto {re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{2}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 44.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{2}\right) \]

   11. Simplified 44.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot re\right) \cdot -0.5} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 14: 32.1% accurate, 30.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq 7.5 \cdot 10^{+15}:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(re \cdot re\right) \cdot -0.5\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im 7.5e+15) 1.0 (* (* re re) -0.5)))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 7.5e+15) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = (re * re) * -0.5;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (im <= 7.5d+15) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = (re * re) * (-0.5d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= 7.5e+15) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = (re * re) * -0.5;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if im <= 7.5e+15:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = (re * re) * -0.5
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (im <= 7.5e+15)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = Float64(Float64(re * re) * -0.5);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (im <= 7.5e+15)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = (re * re) * -0.5;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[LessEqual[im, 7.5e+15], 1.0, N[(N[(re * re), $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < 7.5e15

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 67.9%

         \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 67.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 35.6%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]

   if 7.5e15 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 3.1%

         \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(re\right) \]

   5. Simplified 3.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]

   6. Taylor expanded in re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}\right)}\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left({re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right) \]

      3. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\left(re \cdot re\right) \cdot \frac{-1}{2}\right)\right) \]

      4. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \left(re \cdot \color{blue}{\left(re \cdot \frac{-1}{2}\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\left(re \cdot \frac{-1}{2}\right)}\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 12.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(re, \mathsf{*.f64}\left(re, \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 12.2%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + re \cdot \left(re \cdot -0.5\right)} \]

   9. Taylor expanded in re around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{2} \cdot {re}^{2}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto {re}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{2}} \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({re}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{2}}\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(re \cdot re\right), \frac{-1}{2}\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 11.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(re, re\right), \frac{-1}{2}\right) \]

   11. Simplified 11.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot re\right) \cdot -0.5} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 15: 29.2% accurate, 308.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 1.0)

C

double code(double re, double im) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return 1.0;
}

Python

def code(re, im):
	return 1.0

Julia

function code(re, im)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[re_, im_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{-im} + e^{im}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]
4. Step-by-step derivation

   1. cos-lowering-cos.f64 55.8%

      \[\leadsto \mathsf{cos.f64}\left(re\right) \]

5. Simplified 55.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos re} \]

6. Taylor expanded in re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 29.4%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, real part"
  :precision binary64
  (* (* 0.5 (cos re)) (+ (exp (- im)) (exp im))))