powComplex, real part

Percentage Accurate: 40.0% → 78.8%

Time: 22.1s

Alternatives: 20

Speedup: 7.4×

• 35.8% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)\\ e^{t\_0 \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(t\_0 \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))))
   (*
    (exp (- (* t_0 y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
    (cos (+ (* t_0 y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * cos(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    t_0 = log(sqrt(((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im))))
    code = exp(((t_0 * y_46re) - (atan2(x_46im, x_46re) * y_46im))) * cos(((t_0 * y_46im) + (atan2(x_46im, x_46re) * y_46re)))
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return Math.exp(((t_0 * y_46_re) - (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * Math.cos(((t_0 * y_46_im) + (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))
	return math.exp(((t_0 * y_46_re) - (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * math.cos(((t_0 * y_46_im) + (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)))

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))
	return Float64(exp(Float64(Float64(t_0 * y_46_re) - Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * cos(Float64(Float64(t_0 * y_46_im) + Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_re))))
end

MATLAB

function tmp = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	tmp = exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * cos(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[Exp[N[(N[(t$95$0 * y$46$re), $MachinePrecision] - N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(t$95$0 * y$46$im), $MachinePrecision] + N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 40.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)\\ e^{t\_0 \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(t\_0 \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))))
   (*
    (exp (- (* t_0 y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
    (cos (+ (* t_0 y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * cos(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    t_0 = log(sqrt(((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im))))
    code = exp(((t_0 * y_46re) - (atan2(x_46im, x_46re) * y_46im))) * cos(((t_0 * y_46im) + (atan2(x_46im, x_46re) * y_46re)))
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	return Math.exp(((t_0 * y_46_re) - (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * Math.cos(((t_0 * y_46_im) + (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))
	return math.exp(((t_0 * y_46_re) - (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * math.cos(((t_0 * y_46_im) + (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)))

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))
	return Float64(exp(Float64(Float64(t_0 * y_46_re) - Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * cos(Float64(Float64(t_0 * y_46_im) + Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_re))))
end

MATLAB

function tmp = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))));
	tmp = exp(((t_0 * y_46_re) - (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))) * cos(((t_0 * y_46_im) + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_re)));
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[Exp[N[(N[(t$95$0 * y$46$re), $MachinePrecision] - N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(t$95$0 * y$46$im), $MachinePrecision] + N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 78.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_1 := {\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -5.8 \cdot 10^{+48}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - t\_0} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 6 \cdot 10^{+16}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{t\_0}}{t\_1}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1 + t\_0}{t\_1}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (atan2 x.im x.re) y.im)) (t_1 (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
   (if (<= y.re -5.8e+48)
     (*
      (exp (- (* y.re (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))) t_0))
      (cos (* y.im (log (hypot x.im x.re)))))
     (if (<= y.re 6e+16)
       (/
        (cos (+ (* y.im (log (hypot x.re x.im))) (* y.re (atan2 x.im x.re))))
        (/ (exp t_0) t_1))
       (/ 1.0 (/ (+ 1.0 t_0) t_1))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -5.8e+48) {
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	} else if (y_46_re <= 6e+16) {
		tmp = cos(((y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))) + (y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)))) / (exp(t_0) / t_1);
	} else {
		tmp = 1.0 / ((1.0 + t_0) / t_1);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -5.8e+48) {
		tmp = Math.exp(((y_46_re * Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * Math.cos((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re))));
	} else if (y_46_re <= 6e+16) {
		tmp = Math.cos(((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_re, x_46_im))) + (y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re)))) / (Math.exp(t_0) / t_1);
	} else {
		tmp = 1.0 / ((1.0 + t_0) / t_1);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_1 = math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -5.8e+48:
		tmp = math.exp(((y_46_re * math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * math.cos((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))))
	elif y_46_re <= 6e+16:
		tmp = math.cos(((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_re, x_46_im))) + (y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)))) / (math.exp(t_0) / t_1)
	else:
		tmp = 1.0 / ((1.0 + t_0) / t_1)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_1 = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -5.8e+48)
		tmp = Float64(exp(Float64(Float64(y_46_re * log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * cos(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))));
	elseif (y_46_re <= 6e+16)
		tmp = Float64(cos(Float64(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))) + Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re)))) / Float64(exp(t_0) / t_1));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(1.0 + t_0) / t_1));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_1 = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re;
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -5.8e+48)
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	elseif (y_46_re <= 6e+16)
		tmp = cos(((y_46_im * log(hypot(x_46_re, x_46_im))) + (y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)))) / (exp(t_0) / t_1);
	else
		tmp = 1.0 / ((1.0 + t_0) / t_1);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -5.8e+48], N[(N[Exp[N[(N[(y$46$re * N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 6e+16], N[(N[Cos[N[(N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision] / t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -5.7999999999999998e48

   1. Initial program 52.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 85.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 85.5%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)} \]

   if -5.7999999999999998e48 < y.re < 6e16

   1. Initial program 41.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 85.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   if 6e16 < y.re

   1. Initial program 29.0%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 53.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 62.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 62.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 59.7%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\color{blue}{x.re}, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

       4. atan2-lowering-atan2.f64 69.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 69.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 81.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -5.8 \cdot 10^{+48}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 6 \cdot 10^{+16}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1 + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 78.2% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_1 := \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ t_2 := x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -5.8 \cdot 10^{+48}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{t\_2}\right) - t\_0} \cdot t\_1\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.3 \cdot 10^{+192}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_1}{\frac{e^{t\_0}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\frac{-1}{{t\_2}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (atan2 x.im x.re) y.im))
        (t_1 (cos (* y.im (log (hypot x.im x.re)))))
        (t_2 (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))
   (if (<= y.re -5.8e+48)
     (* (exp (- (* y.re (log (sqrt t_2))) t_0)) t_1)
     (if (<= y.re 2.3e+192)
       (/ t_1 (/ (exp t_0) (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
       (/ -1.0 (/ -1.0 (pow t_2 (/ y.re 2.0))))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	double t_2 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -5.8e+48) {
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(t_2))) - t_0)) * t_1;
	} else if (y_46_re <= 2.3e+192) {
		tmp = t_1 / (exp(t_0) / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = -1.0 / (-1.0 / pow(t_2, (y_46_re / 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = Math.cos((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re))));
	double t_2 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -5.8e+48) {
		tmp = Math.exp(((y_46_re * Math.log(Math.sqrt(t_2))) - t_0)) * t_1;
	} else if (y_46_re <= 2.3e+192) {
		tmp = t_1 / (Math.exp(t_0) / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = -1.0 / (-1.0 / Math.pow(t_2, (y_46_re / 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_1 = math.cos((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re))))
	t_2 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -5.8e+48:
		tmp = math.exp(((y_46_re * math.log(math.sqrt(t_2))) - t_0)) * t_1
	elif y_46_re <= 2.3e+192:
		tmp = t_1 / (math.exp(t_0) / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	else:
		tmp = -1.0 / (-1.0 / math.pow(t_2, (y_46_re / 2.0)))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_1 = cos(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))))
	t_2 = Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -5.8e+48)
		tmp = Float64(exp(Float64(Float64(y_46_re * log(sqrt(t_2))) - t_0)) * t_1);
	elseif (y_46_re <= 2.3e+192)
		tmp = Float64(t_1 / Float64(exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	else
		tmp = Float64(-1.0 / Float64(-1.0 / (t_2 ^ Float64(y_46_re / 2.0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_1 = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re))));
	t_2 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -5.8e+48)
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(t_2))) - t_0)) * t_1;
	elseif (y_46_re <= 2.3e+192)
		tmp = t_1 / (exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	else
		tmp = -1.0 / (-1.0 / (t_2 ^ (y_46_re / 2.0)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -5.8e+48], N[(N[Exp[N[(N[(y$46$re * N[Log[N[Sqrt[t$95$2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 2.3e+192], N[(t$95$1 / N[(N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-1.0 / N[(-1.0 / N[Power[t$95$2, N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -5.7999999999999998e48

   1. Initial program 52.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 85.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 85.5%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)} \]

   if -5.7999999999999998e48 < y.re < 2.2999999999999999e192

   1. Initial program 38.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 80.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 81.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 81.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   if 2.2999999999999999e192 < y.re

   1. Initial program 28.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 33.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 42.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 42.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 42.9%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)}} \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}\right)} \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)}\right) \]

       4. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \left(0 - \color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)}\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       9. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{x.re \cdot x.re} + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-pow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. /-lowering-/.f64 47.6%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 47.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{0 - \frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}} \]

   13. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

   15. Simplified 66.7%

       \[\leadsto \frac{-1}{0 - \frac{\color{blue}{1}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 80.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -5.8 \cdot 10^{+48}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.3 \cdot 10^{+192}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\frac{-1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 78.0% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_1 := x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -7 \cdot 10^{+48}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{t\_1}\right) - t\_0} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 9.6 \cdot 10^{+196}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{e^{t\_0}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\frac{-1}{{t\_1}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (atan2 x.im x.re) y.im)) (t_1 (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))
   (if (<= y.re -7e+48)
     (*
      (exp (- (* y.re (log (sqrt t_1))) t_0))
      (cos (* y.re (atan2 x.im x.re))))
     (if (<= y.re 9.6e+196)
       (/
        (cos (* y.im (log (hypot x.im x.re))))
        (/ (exp t_0) (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
       (/ -1.0 (/ -1.0 (pow t_1 (/ y.re 2.0))))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -7e+48) {
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(t_1))) - t_0)) * cos((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	} else if (y_46_re <= 9.6e+196) {
		tmp = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / (exp(t_0) / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = -1.0 / (-1.0 / pow(t_1, (y_46_re / 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -7e+48) {
		tmp = Math.exp(((y_46_re * Math.log(Math.sqrt(t_1))) - t_0)) * Math.cos((y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re)));
	} else if (y_46_re <= 9.6e+196) {
		tmp = Math.cos((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / (Math.exp(t_0) / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	} else {
		tmp = -1.0 / (-1.0 / Math.pow(t_1, (y_46_re / 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_1 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -7e+48:
		tmp = math.exp(((y_46_re * math.log(math.sqrt(t_1))) - t_0)) * math.cos((y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)))
	elif y_46_re <= 9.6e+196:
		tmp = math.cos((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / (math.exp(t_0) / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	else:
		tmp = -1.0 / (-1.0 / math.pow(t_1, (y_46_re / 2.0)))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_1 = Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -7e+48)
		tmp = Float64(exp(Float64(Float64(y_46_re * log(sqrt(t_1))) - t_0)) * cos(Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))));
	elseif (y_46_re <= 9.6e+196)
		tmp = Float64(cos(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / Float64(exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	else
		tmp = Float64(-1.0 / Float64(-1.0 / (t_1 ^ Float64(y_46_re / 2.0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_1 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -7e+48)
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(t_1))) - t_0)) * cos((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	elseif (y_46_re <= 9.6e+196)
		tmp = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / (exp(t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	else
		tmp = -1.0 / (-1.0 / (t_1 ^ (y_46_re / 2.0)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -7e+48], N[(N[Exp[N[(N[(y$46$re * N[Log[N[Sqrt[t$95$1], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 9.6e+196], N[(N[Cos[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[(N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision] / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-1.0 / N[(-1.0 / N[Power[t$95$1, N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -6.9999999999999995e48

   1. Initial program 52.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 83.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 83.7%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if -6.9999999999999995e48 < y.re < 9.6000000000000002e196

   1. Initial program 38.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 80.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 81.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 81.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   if 9.6000000000000002e196 < y.re

   1. Initial program 28.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 33.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 42.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 42.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 42.9%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)}} \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}\right)} \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)}\right) \]

       4. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \left(0 - \color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)}\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       9. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{x.re \cdot x.re} + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-pow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. /-lowering-/.f64 47.6%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 47.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{0 - \frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}} \]

   13. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

   15. Simplified 66.7%

       \[\leadsto \frac{-1}{0 - \frac{\color{blue}{1}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 79.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -7 \cdot 10^{+48}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 9.6 \cdot 10^{+196}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\frac{-1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 78.3% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ t_1 := \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ t_2 := {\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -5.8 \cdot 10^{+48}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - t\_0} \cdot t\_1\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.2 \cdot 10^{+16}:\\ \;\;\;\;\frac{t\_1}{\frac{e^{t\_0}}{t\_2}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1 + t\_0}{t\_2}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (atan2 x.im x.re) y.im))
        (t_1 (cos (* y.re (atan2 x.im x.re))))
        (t_2 (pow (hypot x.re x.im) y.re)))
   (if (<= y.re -5.8e+48)
     (*
      (exp (- (* y.re (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))) t_0))
      t_1)
     (if (<= y.re 2.2e+16)
       (/ t_1 (/ (exp t_0) t_2))
       (/ 1.0 (/ (+ 1.0 t_0) t_2))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = cos((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	double t_2 = pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -5.8e+48) {
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * t_1;
	} else if (y_46_re <= 2.2e+16) {
		tmp = t_1 / (exp(t_0) / t_2);
	} else {
		tmp = 1.0 / ((1.0 + t_0) / t_2);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double t_1 = Math.cos((y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re)));
	double t_2 = Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -5.8e+48) {
		tmp = Math.exp(((y_46_re * Math.log(Math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * t_1;
	} else if (y_46_re <= 2.2e+16) {
		tmp = t_1 / (Math.exp(t_0) / t_2);
	} else {
		tmp = 1.0 / ((1.0 + t_0) / t_2);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	t_1 = math.cos((y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re)))
	t_2 = math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -5.8e+48:
		tmp = math.exp(((y_46_re * math.log(math.sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * t_1
	elif y_46_re <= 2.2e+16:
		tmp = t_1 / (math.exp(t_0) / t_2)
	else:
		tmp = 1.0 / ((1.0 + t_0) / t_2)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	t_1 = cos(Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re)))
	t_2 = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -5.8e+48)
		tmp = Float64(exp(Float64(Float64(y_46_re * log(sqrt(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * t_1);
	elseif (y_46_re <= 2.2e+16)
		tmp = Float64(t_1 / Float64(exp(t_0) / t_2));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(1.0 + t_0) / t_2));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	t_1 = cos((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re)));
	t_2 = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re;
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -5.8e+48)
		tmp = exp(((y_46_re * log(sqrt(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im))))) - t_0)) * t_1;
	elseif (y_46_re <= 2.2e+16)
		tmp = t_1 / (exp(t_0) / t_2);
	else
		tmp = 1.0 / ((1.0 + t_0) / t_2);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -5.8e+48], N[(N[Exp[N[(N[(y$46$re * N[Log[N[Sqrt[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 2.2e+16], N[(t$95$1 / N[(N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision] / t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision] / t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -5.7999999999999998e48

   1. Initial program 52.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 83.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{log.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right)\right), y.re\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 83.7%

      \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if -5.7999999999999998e48 < y.re < 2.2e16

   1. Initial program 41.7%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 85.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 83.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 83.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   if 2.2e16 < y.re

   1. Initial program 29.0%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 53.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 62.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 62.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 59.7%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\color{blue}{x.re}, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

       4. atan2-lowering-atan2.f64 69.5%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 69.5%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 80.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -5.8 \cdot 10^{+48}:\\ \;\;\;\;e^{y.re \cdot \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.2 \cdot 10^{+16}:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1 + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 77.2% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -5.5 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 510:\\ \;\;\;\;\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1 + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= y.re -5.5e-18)
   (* (cos (* y.re (atan2 x.im x.re))) (pow (hypot x.im x.re) y.re))
   (if (<= y.re 510.0)
     (*
      (cos (* y.im (log (hypot x.im x.re))))
      (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im))))
     (/
      1.0
      (/ (+ 1.0 (* (atan2 x.im x.re) y.im)) (pow (hypot x.re x.im) y.re))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -5.5e-18) {
		tmp = cos((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re))) * pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 510.0) {
		tmp = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	} else {
		tmp = 1.0 / ((1.0 + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)) / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -5.5e-18) {
		tmp = Math.cos((y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re))) * Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 510.0) {
		tmp = Math.cos((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) * Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	} else {
		tmp = 1.0 / ((1.0 + (Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)) / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if y_46_re <= -5.5e-18:
		tmp = math.cos((y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re))) * math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	elif y_46_re <= 510.0:
		tmp = math.cos((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) * math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)))
	else:
		tmp = 1.0 / ((1.0 + (math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)) / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -5.5e-18)
		tmp = Float64(cos(Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))) * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re));
	elseif (y_46_re <= 510.0)
		tmp = Float64(cos(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) * exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im))));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(1.0 + Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -5.5e-18)
		tmp = cos((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re))) * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re);
	elseif (y_46_re <= 510.0)
		tmp = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) * exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	else
		tmp = 1.0 / ((1.0 + (atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[LessEqual[y$46$re, -5.5e-18], N[(N[Cos[N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 510.0], N[(N[Cos[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[(1.0 + N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -5.5e-18

   1. Initial program 49.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 84.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 84.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if -5.5e-18 < y.re < 510

   1. Initial program 41.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right) \cdot e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]

      3. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}\right) \]

      4. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(0 - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \cos \left(\color{blue}{y.im} \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{y.im} \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right), \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. log-lowering-log.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. hypot-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. hypot-lowering-hypot.f64 82.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 82.5%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{0 - y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}} \cdot \cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)} \]

   if 510 < y.re

   1. Initial program 30.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 55.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 63.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 63.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 60.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\color{blue}{x.re}, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

       4. atan2-lowering-atan2.f64 69.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 69.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 79.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -5.5 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 510:\\ \;\;\;\;\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right) \cdot e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1 + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 77.2% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -5.5 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 14600:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{t\_0}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1 + t\_0}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
   (if (<= y.re -5.5e-18)
     (* (cos (* y.re (atan2 x.im x.re))) (pow (hypot x.im x.re) y.re))
     (if (<= y.re 14600.0)
       (/ (cos (* y.im (log (hypot x.im x.re)))) (exp t_0))
       (/ 1.0 (/ (+ 1.0 t_0) (pow (hypot x.re x.im) y.re)))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double tmp;
	if (y_46_re <= -5.5e-18) {
		tmp = cos((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re))) * pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 14600.0) {
		tmp = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / exp(t_0);
	} else {
		tmp = 1.0 / ((1.0 + t_0) / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double tmp;
	if (y_46_re <= -5.5e-18) {
		tmp = Math.cos((y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re))) * Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 14600.0) {
		tmp = Math.cos((y_46_im * Math.log(Math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / Math.exp(t_0);
	} else {
		tmp = 1.0 / ((1.0 + t_0) / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	tmp = 0
	if y_46_re <= -5.5e-18:
		tmp = math.cos((y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re))) * math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	elif y_46_re <= 14600.0:
		tmp = math.cos((y_46_im * math.log(math.hypot(x_46_im, x_46_re)))) / math.exp(t_0)
	else:
		tmp = 1.0 / ((1.0 + t_0) / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -5.5e-18)
		tmp = Float64(cos(Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))) * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re));
	elseif (y_46_re <= 14600.0)
		tmp = Float64(cos(Float64(y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / exp(t_0));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(1.0 + t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -5.5e-18)
		tmp = cos((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re))) * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re);
	elseif (y_46_re <= 14600.0)
		tmp = cos((y_46_im * log(hypot(x_46_im, x_46_re)))) / exp(t_0);
	else
		tmp = 1.0 / ((1.0 + t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -5.5e-18], N[(N[Cos[N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 14600.0], N[(N[Cos[N[(y$46$im * N[Log[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision] / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -5.5e-18

   1. Initial program 49.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 84.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 84.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if -5.5e-18 < y.re < 14600

   1. Initial program 41.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 83.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right), \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \left(e^{\color{blue}{y.im} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      4. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      7. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      8. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)\right) \]

      9. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      11. atan2-lowering-atan2.f64 82.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 82.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   if 14600 < y.re

   1. Initial program 30.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 55.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 63.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 63.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 60.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\color{blue}{x.re}, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

       4. atan2-lowering-atan2.f64 69.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 69.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 79.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -5.5 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 14600:\\ \;\;\;\;\frac{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1 + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 76.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -5.2 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 510:\\ \;\;\;\;\frac{0 - -1}{e^{t\_0}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1 + t\_0}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
   (if (<= y.re -5.2e-18)
     (* (cos (* y.re (atan2 x.im x.re))) (pow (hypot x.im x.re) y.re))
     (if (<= y.re 510.0)
       (/ (- 0.0 -1.0) (exp t_0))
       (/ 1.0 (/ (+ 1.0 t_0) (pow (hypot x.re x.im) y.re)))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double tmp;
	if (y_46_re <= -5.2e-18) {
		tmp = cos((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re))) * pow(hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 510.0) {
		tmp = (0.0 - -1.0) / exp(t_0);
	} else {
		tmp = 1.0 / ((1.0 + t_0) / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double tmp;
	if (y_46_re <= -5.2e-18) {
		tmp = Math.cos((y_46_re * Math.atan2(x_46_im, x_46_re))) * Math.pow(Math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 510.0) {
		tmp = (0.0 - -1.0) / Math.exp(t_0);
	} else {
		tmp = 1.0 / ((1.0 + t_0) / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	tmp = 0
	if y_46_re <= -5.2e-18:
		tmp = math.cos((y_46_re * math.atan2(x_46_im, x_46_re))) * math.pow(math.hypot(x_46_im, x_46_re), y_46_re)
	elif y_46_re <= 510.0:
		tmp = (0.0 - -1.0) / math.exp(t_0)
	else:
		tmp = 1.0 / ((1.0 + t_0) / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -5.2e-18)
		tmp = Float64(cos(Float64(y_46_re * atan(x_46_im, x_46_re))) * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re));
	elseif (y_46_re <= 510.0)
		tmp = Float64(Float64(0.0 - -1.0) / exp(t_0));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(1.0 + t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -5.2e-18)
		tmp = cos((y_46_re * atan2(x_46_im, x_46_re))) * (hypot(x_46_im, x_46_re) ^ y_46_re);
	elseif (y_46_re <= 510.0)
		tmp = (0.0 - -1.0) / exp(t_0);
	else
		tmp = 1.0 / ((1.0 + t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -5.2e-18], N[(N[Cos[N[(y$46$re * N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Power[N[Sqrt[x$46$im ^ 2 + x$46$re ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 510.0], N[(N[(0.0 - -1.0), $MachinePrecision] / N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision] / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -5.2000000000000001e-18

   1. Initial program 49.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 84.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 84.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   if -5.2000000000000001e-18 < y.re < 510

   1. Initial program 41.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 83.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 82.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 82.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 80.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)}} \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}\right)} \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)}\right) \]

       4. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \left(0 - \color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)}\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       9. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{x.re \cdot x.re} + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-pow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. /-lowering-/.f64 46.5%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 46.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{0 - \frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}} \]

   13. Taylor expanded in y.re around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

       3. atan2-lowering-atan2.f64 81.2%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 81.2%

       \[\leadsto \frac{-1}{0 - \color{blue}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   if 510 < y.re

   1. Initial program 30.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 55.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 63.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 63.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 60.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\color{blue}{x.re}, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

       4. atan2-lowering-atan2.f64 69.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 69.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 78.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -5.2 \cdot 10^{-18}:\\ \;\;\;\;\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 510:\\ \;\;\;\;\frac{0 - -1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1 + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 76.9% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -1.25:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\frac{-1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2900:\\ \;\;\;\;\frac{0 - -1}{e^{t\_0}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1 + t\_0}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (atan2 x.im x.re) y.im)))
   (if (<= y.re -1.25)
     (/ -1.0 (/ -1.0 (pow (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)) (/ y.re 2.0))))
     (if (<= y.re 2900.0)
       (/ (- 0.0 -1.0) (exp t_0))
       (/ 1.0 (/ (+ 1.0 t_0) (pow (hypot x.re x.im) y.re)))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.25) {
		tmp = -1.0 / (-1.0 / pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0)));
	} else if (y_46_re <= 2900.0) {
		tmp = (0.0 - -1.0) / exp(t_0);
	} else {
		tmp = 1.0 / ((1.0 + t_0) / pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.25) {
		tmp = -1.0 / (-1.0 / Math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0)));
	} else if (y_46_re <= 2900.0) {
		tmp = (0.0 - -1.0) / Math.exp(t_0);
	} else {
		tmp = 1.0 / ((1.0 + t_0) / Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im
	tmp = 0
	if y_46_re <= -1.25:
		tmp = -1.0 / (-1.0 / math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0)))
	elif y_46_re <= 2900.0:
		tmp = (0.0 - -1.0) / math.exp(t_0)
	else:
		tmp = 1.0 / ((1.0 + t_0) / math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -1.25)
		tmp = Float64(-1.0 / Float64(-1.0 / (Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)) ^ Float64(y_46_re / 2.0))));
	elseif (y_46_re <= 2900.0)
		tmp = Float64(Float64(0.0 - -1.0) / exp(t_0));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64(Float64(1.0 + t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im;
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -1.25)
		tmp = -1.0 / (-1.0 / (((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)) ^ (y_46_re / 2.0)));
	elseif (y_46_re <= 2900.0)
		tmp = (0.0 - -1.0) / exp(t_0);
	else
		tmp = 1.0 / ((1.0 + t_0) / (hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -1.25], N[(-1.0 / N[(-1.0 / N[Power[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 2900.0], N[(N[(0.0 - -1.0), $MachinePrecision] / N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision] / N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -1.25

   1. Initial program 53.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 68.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 67.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 67.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 67.2%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)}} \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}\right)} \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)}\right) \]

       4. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \left(0 - \color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)}\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       9. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{x.re \cdot x.re} + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-pow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. /-lowering-/.f64 67.2%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 67.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{0 - \frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}} \]

   13. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

   15. Simplified 84.5%

       \[\leadsto \frac{-1}{0 - \frac{\color{blue}{1}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}} \]

   if -1.25 < y.re < 2900

   1. Initial program 40.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 83.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 82.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 82.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 80.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)}} \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}\right)} \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)}\right) \]

       4. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \left(0 - \color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)}\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       9. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{x.re \cdot x.re} + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-pow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. /-lowering-/.f64 44.8%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 44.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{0 - \frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}} \]

   13. Taylor expanded in y.re around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

       3. atan2-lowering-atan2.f64 79.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 79.7%

       \[\leadsto \frac{-1}{0 - \color{blue}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   if 2900 < y.re

   1. Initial program 30.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 55.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 63.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 63.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 60.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right)}, y.re\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(\color{blue}{x.re}, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

       4. atan2-lowering-atan2.f64 69.4%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right), 1\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 69.4%

       \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} + 1}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 77.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -1.25:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\frac{-1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2900:\\ \;\;\;\;\frac{0 - -1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{1 + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 73.1% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{0 - -1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{if}\;y.im \leq -3.8 \cdot 10^{+130}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 1.5 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (- 0.0 -1.0) (exp (* (atan2 x.im x.re) y.im)))))
   (if (<= y.im -3.8e+130)
     t_0
     (if (<= y.im 1.5e+62) (pow (hypot x.re x.im) y.re) t_0))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (0.0 - -1.0) / exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	double tmp;
	if (y_46_im <= -3.8e+130) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_im <= 1.5e+62) {
		tmp = pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (0.0 - -1.0) / Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	double tmp;
	if (y_46_im <= -3.8e+130) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_im <= 1.5e+62) {
		tmp = Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = (0.0 - -1.0) / math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im))
	tmp = 0
	if y_46_im <= -3.8e+130:
		tmp = t_0
	elif y_46_im <= 1.5e+62:
		tmp = math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re)
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(Float64(0.0 - -1.0) / exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * y_46_im)))
	tmp = 0.0
	if (y_46_im <= -3.8e+130)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_im <= 1.5e+62)
		tmp = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re;
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = (0.0 - -1.0) / exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * y_46_im));
	tmp = 0.0;
	if (y_46_im <= -3.8e+130)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_im <= 1.5e+62)
		tmp = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re;
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(0.0 - -1.0), $MachinePrecision] / N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * y$46$im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$im, -3.8e+130], t$95$0, If[LessEqual[y$46$im, 1.5e+62], N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.im < -3.8000000000000002e130 or 1.5e62 < y.im

   1. Initial program 36.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 47.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 48.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 48.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 47.6%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)}} \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}\right)} \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)}\right) \]

       4. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \left(0 - \color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)}\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       9. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{x.re \cdot x.re} + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-pow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. /-lowering-/.f64 45.1%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 45.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{0 - \frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}} \]

   13. Taylor expanded in y.re around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}\right)}\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

       1. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right)\right) \]

       3. atan2-lowering-atan2.f64 59.6%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. Simplified 59.6%

       \[\leadsto \frac{-1}{0 - \color{blue}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]

   if -3.8000000000000002e130 < y.im < 1.5e62

   1. Initial program 43.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 85.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 86.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 86.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 84.2%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.re}^{2} + {x.im}^{2}}\right), y.re\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + {x.im}^{2}}\right), y.re\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right), y.re\right) \]

       5. hypot-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right), y.re\right) \]

       6. hypot-lowering-hypot.f64 86.1%

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right) \]

   13. Simplified 86.1%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 75.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.im \leq -3.8 \cdot 10^{+130}:\\ \;\;\;\;\frac{0 - -1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 1.5 \cdot 10^{+62}:\\ \;\;\;\;{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0 - -1}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 76.9% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -1.6:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\frac{-1}{{t\_0}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.85 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(t\_0 \cdot t\_0\right)}^{\left(\frac{y.re}{4}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))
   (if (<= y.re -1.6)
     (/ -1.0 (/ -1.0 (pow t_0 (/ y.re 2.0))))
     (if (<= y.re 2.85e-5)
       (exp (* (atan2 x.im x.re) (- 0.0 y.im)))
       (pow (* t_0 t_0) (/ y.re 4.0))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.6) {
		tmp = -1.0 / (-1.0 / pow(t_0, (y_46_re / 2.0)));
	} else if (y_46_re <= 2.85e-5) {
		tmp = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	} else {
		tmp = pow((t_0 * t_0), (y_46_re / 4.0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im)
    if (y_46re <= (-1.6d0)) then
        tmp = (-1.0d0) / ((-1.0d0) / (t_0 ** (y_46re / 2.0d0)))
    else if (y_46re <= 2.85d-5) then
        tmp = exp((atan2(x_46im, x_46re) * (0.0d0 - y_46im)))
    else
        tmp = (t_0 * t_0) ** (y_46re / 4.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.6) {
		tmp = -1.0 / (-1.0 / Math.pow(t_0, (y_46_re / 2.0)));
	} else if (y_46_re <= 2.85e-5) {
		tmp = Math.exp((Math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	} else {
		tmp = Math.pow((t_0 * t_0), (y_46_re / 4.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -1.6:
		tmp = -1.0 / (-1.0 / math.pow(t_0, (y_46_re / 2.0)))
	elif y_46_re <= 2.85e-5:
		tmp = math.exp((math.atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)))
	else:
		tmp = math.pow((t_0 * t_0), (y_46_re / 4.0))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -1.6)
		tmp = Float64(-1.0 / Float64(-1.0 / (t_0 ^ Float64(y_46_re / 2.0))));
	elseif (y_46_re <= 2.85e-5)
		tmp = exp(Float64(atan(x_46_im, x_46_re) * Float64(0.0 - y_46_im)));
	else
		tmp = Float64(t_0 * t_0) ^ Float64(y_46_re / 4.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -1.6)
		tmp = -1.0 / (-1.0 / (t_0 ^ (y_46_re / 2.0)));
	elseif (y_46_re <= 2.85e-5)
		tmp = exp((atan2(x_46_im, x_46_re) * (0.0 - y_46_im)));
	else
		tmp = (t_0 * t_0) ^ (y_46_re / 4.0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -1.6], N[(-1.0 / N[(-1.0 / N[Power[t$95$0, N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 2.85e-5], N[Exp[N[(N[ArcTan[x$46$im / x$46$re], $MachinePrecision] * N[(0.0 - y$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Power[N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision], N[(y$46$re / 4.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -1.6000000000000001

   1. Initial program 53.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 68.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 67.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 67.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 67.2%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)}} \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}\right)} \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)}\right) \]

       4. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \left(0 - \color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)}\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       9. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{x.re \cdot x.re} + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-pow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. /-lowering-/.f64 67.2%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 67.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{0 - \frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}} \]

   13. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

   15. Simplified 84.5%

       \[\leadsto \frac{-1}{0 - \frac{\color{blue}{1}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}} \]

   if -1.6000000000000001 < y.re < 2.8500000000000002e-5

   1. Initial program 39.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 83.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. atan2-lowering-atan2.f64 82.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 82.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{e^{y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. rec-exp N/A

         \[\leadsto e^{\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. exp-lowering-exp.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\left(y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      5. atan2-lowering-atan2.f64 80.1%

         \[\leadsto \mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 80.1%

       \[\leadsto \color{blue}{e^{-y.im \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}}} \]

   if 2.8500000000000002e-5 < y.re

   1. Initial program 32.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 56.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 62.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 62.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 62.9%

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

   10. Simplified 62.9%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto {\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}} \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)} \]

       3. sqr-pow N/A

          \[\leadsto {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\frac{y.re}{2}}{2}\right)} \cdot \color{blue}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\frac{y.re}{2}}{2}\right)}} \]

       4. pow-prod-down N/A

          \[\leadsto {\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{\frac{y.re}{2}}{2}\right)}} \]

       5. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{y.re}{2}}{2}\right)}\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{y.re}{2}}}{2}\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{\color{blue}{y.re}}{2}}{2}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{y.re}{2}}{2}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{y.re}{2}}{2}\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{y.re}{\color{blue}{2}}}{2}\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{y.re}{2}}{2}\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{y.re}{2}}{2}\right)\right) \]

       13. associate-/l/ N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(\frac{y.re}{\color{blue}{2 \cdot 2}}\right)\right) \]

       14. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(\frac{y.re}{4}\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(\frac{y.re}{2 + \color{blue}{2}}\right)\right) \]

       16. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(2 + 2\right)}\right)\right) \]

       17. metadata-eval 62.9%

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 4\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 62.9%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{y.re}{4}\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 75.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -1.6:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\frac{-1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 2.85 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot \left(0 - y.im\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{y.re}{4}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 63.9% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.im \leq 900:\\ \;\;\;\;{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\frac{-1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= y.im 900.0)
   (pow (hypot x.re x.im) y.re)
   (/ -1.0 (/ -1.0 (pow (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)) (/ y.re 2.0))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_im <= 900.0) {
		tmp = pow(hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	} else {
		tmp = -1.0 / (-1.0 / pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_im <= 900.0) {
		tmp = Math.pow(Math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re);
	} else {
		tmp = -1.0 / (-1.0 / Math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if y_46_im <= 900.0:
		tmp = math.pow(math.hypot(x_46_re, x_46_im), y_46_re)
	else:
		tmp = -1.0 / (-1.0 / math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0)))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (y_46_im <= 900.0)
		tmp = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re;
	else
		tmp = Float64(-1.0 / Float64(-1.0 / (Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)) ^ Float64(y_46_re / 2.0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if (y_46_im <= 900.0)
		tmp = hypot(x_46_re, x_46_im) ^ y_46_re;
	else
		tmp = -1.0 / (-1.0 / (((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)) ^ (y_46_re / 2.0)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[LessEqual[y$46$im, 900.0], N[Power[N[Sqrt[x$46$re ^ 2 + x$46$im ^ 2], $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision], N[(-1.0 / N[(-1.0 / N[Power[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.im < 900

   1. Initial program 42.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 82.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 83.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 83.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 82.2%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   11. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.re}^{2} + {x.im}^{2}}\right), y.re\right) \]

       3. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + {x.im}^{2}}\right), y.re\right) \]

       4. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right), y.re\right) \]

       5. hypot-define N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right), y.re\right) \]

       6. hypot-lowering-hypot.f64 76.6%

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right) \]

   13. Simplified 76.6%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}} \]

   if 900 < y.im

   1. Initial program 36.0%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 47.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 49.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 49.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 44.9%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)}} \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}\right)} \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)}\right) \]

       4. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \left(0 - \color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)}\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       9. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{x.re \cdot x.re} + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-pow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. /-lowering-/.f64 41.9%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 41.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{0 - \frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}} \]

   13. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

   15. Simplified 46.9%

       \[\leadsto \frac{-1}{0 - \frac{\color{blue}{1}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 67.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.im \leq 900:\\ \;\;\;\;{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\frac{-1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 61.6% accurate, 6.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -2 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\frac{-1}{{t\_0}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 510:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(t\_0 \cdot t\_0\right)}^{\left(\frac{y.re}{4}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im))))
   (if (<= y.re -2e-7)
     (/ -1.0 (/ -1.0 (pow t_0 (/ y.re 2.0))))
     (if (<= y.re 510.0) 1.0 (pow (* t_0 t_0) (/ y.re 4.0))))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -2e-7) {
		tmp = -1.0 / (-1.0 / pow(t_0, (y_46_re / 2.0)));
	} else if (y_46_re <= 510.0) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = pow((t_0 * t_0), (y_46_re / 4.0));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im)
    if (y_46re <= (-2d-7)) then
        tmp = (-1.0d0) / ((-1.0d0) / (t_0 ** (y_46re / 2.0d0)))
    else if (y_46re <= 510.0d0) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = (t_0 * t_0) ** (y_46re / 4.0d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -2e-7) {
		tmp = -1.0 / (-1.0 / Math.pow(t_0, (y_46_re / 2.0)));
	} else if (y_46_re <= 510.0) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = Math.pow((t_0 * t_0), (y_46_re / 4.0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -2e-7:
		tmp = -1.0 / (-1.0 / math.pow(t_0, (y_46_re / 2.0)))
	elif y_46_re <= 510.0:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = math.pow((t_0 * t_0), (y_46_re / 4.0))
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im))
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -2e-7)
		tmp = Float64(-1.0 / Float64(-1.0 / (t_0 ^ Float64(y_46_re / 2.0))));
	elseif (y_46_re <= 510.0)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = Float64(t_0 * t_0) ^ Float64(y_46_re / 4.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = (x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im);
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -2e-7)
		tmp = -1.0 / (-1.0 / (t_0 ^ (y_46_re / 2.0)));
	elseif (y_46_re <= 510.0)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = (t_0 * t_0) ^ (y_46_re / 4.0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -2e-7], N[(-1.0 / N[(-1.0 / N[Power[t$95$0, N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 510.0], 1.0, N[Power[N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision], N[(y$46$re / 4.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -1.9999999999999999e-7

   1. Initial program 53.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 68.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 67.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 67.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 67.2%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)}} \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}\right)} \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)}\right) \]

       4. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \left(0 - \color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)}\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       9. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{x.re \cdot x.re} + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-pow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. /-lowering-/.f64 67.2%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 67.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{0 - \frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}} \]

   13. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

   15. Simplified 84.5%

       \[\leadsto \frac{-1}{0 - \frac{\color{blue}{1}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}} \]

   if -1.9999999999999999e-7 < y.re < 510

   1. Initial program 40.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 60.4%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 60.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 57.6%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]

   if 510 < y.re

   1. Initial program 30.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 55.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 63.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 63.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 64.8%

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

   10. Simplified 64.8%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. sqrt-pow2 N/A

          \[\leadsto {\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}} \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)} \]

       3. sqr-pow N/A

          \[\leadsto {\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\frac{y.re}{2}}{2}\right)} \cdot \color{blue}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{\frac{y.re}{2}}{2}\right)}} \]

       4. pow-prod-down N/A

          \[\leadsto {\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{\frac{y.re}{2}}{2}\right)}} \]

       5. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{\frac{y.re}{2}}{2}\right)}\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{\frac{y.re}{2}}}{2}\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{\color{blue}{y.re}}{2}}{2}\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{y.re}{2}}{2}\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\frac{y.re}{2}}{2}\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{y.re}{\color{blue}{2}}}{2}\right)\right) \]

       11. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{y.re}{2}}{2}\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(\frac{\frac{y.re}{2}}{2}\right)\right) \]

       13. associate-/l/ N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(\frac{y.re}{\color{blue}{2 \cdot 2}}\right)\right) \]

       14. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(\frac{y.re}{4}\right)\right) \]

       15. metadata-eval N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \left(\frac{y.re}{2 + \color{blue}{2}}\right)\right) \]

       16. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \color{blue}{\left(2 + 2\right)}\right)\right) \]

       17. metadata-eval 64.8%

           \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 4\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 64.8%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{y.re}{4}\right)}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 65.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -2 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\frac{-1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 510:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)\right)}^{\left(\frac{y.re}{4}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 60.2% accurate, 6.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -1.6 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\frac{-1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.3 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(x.im + \frac{\left(x.re \cdot x.re\right) \cdot 0.5}{x.im}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= y.re -1.6e-5)
   (/ -1.0 (/ -1.0 (pow (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)) (/ y.re 2.0))))
   (if (<= y.re 1.3e-14)
     1.0
     (pow (+ x.im (/ (* (* x.re x.re) 0.5) x.im)) y.re))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.6e-5) {
		tmp = -1.0 / (-1.0 / pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0)));
	} else if (y_46_re <= 1.3e-14) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: tmp
    if (y_46re <= (-1.6d-5)) then
        tmp = (-1.0d0) / ((-1.0d0) / (((x_46re * x_46re) + (x_46im * x_46im)) ** (y_46re / 2.0d0)))
    else if (y_46re <= 1.3d-14) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = (x_46im + (((x_46re * x_46re) * 0.5d0) / x_46im)) ** y_46re
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.6e-5) {
		tmp = -1.0 / (-1.0 / Math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0)));
	} else if (y_46_re <= 1.3e-14) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = Math.pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if y_46_re <= -1.6e-5:
		tmp = -1.0 / (-1.0 / math.pow(((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)), (y_46_re / 2.0)))
	elif y_46_re <= 1.3e-14:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = math.pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -1.6e-5)
		tmp = Float64(-1.0 / Float64(-1.0 / (Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) + Float64(x_46_im * x_46_im)) ^ Float64(y_46_re / 2.0))));
	elseif (y_46_re <= 1.3e-14)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = Float64(x_46_im + Float64(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)) ^ y_46_re;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -1.6e-5)
		tmp = -1.0 / (-1.0 / (((x_46_re * x_46_re) + (x_46_im * x_46_im)) ^ (y_46_re / 2.0)));
	elseif (y_46_re <= 1.3e-14)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = (x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)) ^ y_46_re;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[LessEqual[y$46$re, -1.6e-5], N[(-1.0 / N[(-1.0 / N[Power[N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] + N[(x$46$im * x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 1.3e-14], 1.0, N[Power[N[(x$46$im + N[(N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] / x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -1.59999999999999993e-5

   1. Initial program 53.1%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 68.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 67.2%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 67.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

   10. Simplified 67.2%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. frac-2neg N/A

          \[\leadsto \frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\color{blue}{\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)}} \]

       2. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}\right)} \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)\right)}\right) \]

       4. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \left(0 - \color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \color{blue}{\left(\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}}\right)}\right)\right) \]

       6. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\left(e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}\right), \color{blue}{\left({\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)}\right)\right)\right) \]

       7. exp-lowering-exp.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im\right)\right), \left({\color{blue}{\left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right)}}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}, y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       9. atan2-lowering-atan2.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(\sqrt{\color{blue}{x.re \cdot x.re} + x.im \cdot x.im}\right)}^{y.re}\right)\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-pow2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \left({\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       12. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re\right), \color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right), \left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(x.im \cdot x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       16. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \left(\frac{y.re}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       17. /-lowering-/.f64 67.2%

           \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 67.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{0 - \frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}} \]

   13. Taylor expanded in y.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(-1, \mathsf{\_.f64}\left(0, \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, 2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   14. Step-by-step derivation

   15. Simplified 84.5%

       \[\leadsto \frac{-1}{0 - \frac{\color{blue}{1}}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}} \]

   if -1.59999999999999993e-5 < y.re < 1.29999999999999998e-14

   1. Initial program 39.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 60.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 60.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 58.9%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]

   if 1.29999999999999998e-14 < y.re

   1. Initial program 31.9%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 56.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 62.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 62.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 61.1%

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

   10. Simplified 61.1%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}} \]

   11. Taylor expanded in x.re around 0

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\left(x.im + \frac{1}{2} \cdot \frac{{x.re}^{2}}{x.im}\right)}, y.re\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x.re}^{2}}{x.im}\right)\right), y.re\right) \]

       2. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {x.re}^{2}}{x.im}\right)\right), y.re\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {x.re}^{2}\right), x.im\right)\right), y.re\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x.re}^{2}\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x.re \cdot x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 58.3%

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right) \]

   13. Simplified 58.3%

       \[\leadsto {\color{blue}{\left(x.im + \frac{0.5 \cdot \left(x.re \cdot x.re\right)}{x.im}\right)}}^{y.re} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 64.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -1.6 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\frac{-1}{\frac{-1}{{\left(x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}}}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.3 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(x.im + \frac{\left(x.re \cdot x.re\right) \cdot 0.5}{x.im}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 59.1% accurate, 6.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\left(x.im + \frac{\left(x.re \cdot x.re\right) \cdot 0.5}{x.im}\right)}^{y.re}\\ \mathbf{if}\;y.re \leq -1.05 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.4 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (+ x.im (/ (* (* x.re x.re) 0.5) x.im)) y.re)))
   (if (<= y.re -1.05e-7) t_0 (if (<= y.re 1.4e-14) 1.0 t_0))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.05e-7) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_re <= 1.4e-14) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x_46im + (((x_46re * x_46re) * 0.5d0) / x_46im)) ** y_46re
    if (y_46re <= (-1.05d-7)) then
        tmp = t_0
    else if (y_46re <= 1.4d-14) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double t_0 = Math.pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re);
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.05e-7) {
		tmp = t_0;
	} else if (y_46_re <= 1.4e-14) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	t_0 = math.pow((x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)), y_46_re)
	tmp = 0
	if y_46_re <= -1.05e-7:
		tmp = t_0
	elif y_46_re <= 1.4e-14:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = Float64(x_46_im + Float64(Float64(Float64(x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)) ^ y_46_re
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -1.05e-7)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_re <= 1.4e-14)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	t_0 = (x_46_im + (((x_46_re * x_46_re) * 0.5) / x_46_im)) ^ y_46_re;
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -1.05e-7)
		tmp = t_0;
	elseif (y_46_re <= 1.4e-14)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x$46$im + N[(N[(N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] / x$46$im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y$46$re, -1.05e-7], t$95$0, If[LessEqual[y$46$re, 1.4e-14], 1.0, t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.re < -1.05e-7 or 1.4e-14 < y.re

   1. Initial program 41.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 63.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 65.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 65.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 69.9%

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

   10. Simplified 69.9%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}} \]

   11. Taylor expanded in x.re around 0

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\left(x.im + \frac{1}{2} \cdot \frac{{x.re}^{2}}{x.im}\right)}, y.re\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{{x.re}^{2}}{x.im}\right)\right), y.re\right) \]

       2. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot {x.re}^{2}}{x.im}\right)\right), y.re\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {x.re}^{2}\right), x.im\right)\right), y.re\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left({x.re}^{2}\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right) \]

       5. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(x.re \cdot x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 69.0%

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x.im, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right), x.im\right)\right), y.re\right) \]

   13. Simplified 69.0%

       \[\leadsto {\color{blue}{\left(x.im + \frac{0.5 \cdot \left(x.re \cdot x.re\right)}{x.im}\right)}}^{y.re} \]

   if -1.05e-7 < y.re < 1.4e-14

   1. Initial program 40.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 60.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 60.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 59.2%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 64.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -1.05 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;{\left(x.im + \frac{\left(x.re \cdot x.re\right) \cdot 0.5}{x.im}\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.4 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{\left(x.im + \frac{\left(x.re \cdot x.re\right) \cdot 0.5}{x.im}\right)}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 57.5% accurate, 7.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.im \leq -4.1 \cdot 10^{-23}:\\ \;\;\;\;{\left(0 - x.im\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;x.im \leq 2.7 \cdot 10^{-38}:\\ \;\;\;\;{\left(x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= x.im -4.1e-23)
   (pow (- 0.0 x.im) y.re)
   (if (<= x.im 2.7e-38) (pow (* x.re x.re) (/ y.re 2.0)) (pow x.im y.re))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (x_46_im <= -4.1e-23) {
		tmp = pow((0.0 - x_46_im), y_46_re);
	} else if (x_46_im <= 2.7e-38) {
		tmp = pow((x_46_re * x_46_re), (y_46_re / 2.0));
	} else {
		tmp = pow(x_46_im, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: tmp
    if (x_46im <= (-4.1d-23)) then
        tmp = (0.0d0 - x_46im) ** y_46re
    else if (x_46im <= 2.7d-38) then
        tmp = (x_46re * x_46re) ** (y_46re / 2.0d0)
    else
        tmp = x_46im ** y_46re
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (x_46_im <= -4.1e-23) {
		tmp = Math.pow((0.0 - x_46_im), y_46_re);
	} else if (x_46_im <= 2.7e-38) {
		tmp = Math.pow((x_46_re * x_46_re), (y_46_re / 2.0));
	} else {
		tmp = Math.pow(x_46_im, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if x_46_im <= -4.1e-23:
		tmp = math.pow((0.0 - x_46_im), y_46_re)
	elif x_46_im <= 2.7e-38:
		tmp = math.pow((x_46_re * x_46_re), (y_46_re / 2.0))
	else:
		tmp = math.pow(x_46_im, y_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (x_46_im <= -4.1e-23)
		tmp = Float64(0.0 - x_46_im) ^ y_46_re;
	elseif (x_46_im <= 2.7e-38)
		tmp = Float64(x_46_re * x_46_re) ^ Float64(y_46_re / 2.0);
	else
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if (x_46_im <= -4.1e-23)
		tmp = (0.0 - x_46_im) ^ y_46_re;
	elseif (x_46_im <= 2.7e-38)
		tmp = (x_46_re * x_46_re) ^ (y_46_re / 2.0);
	else
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[LessEqual[x$46$im, -4.1e-23], N[Power[N[(0.0 - x$46$im), $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision], If[LessEqual[x$46$im, 2.7e-38], N[Power[N[(x$46$re * x$46$re), $MachinePrecision], N[(y$46$re / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x.im < -4.10000000000000029e-23

   1. Initial program 32.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 67.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 69.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 69.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 54.7%

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

   10. Simplified 54.7%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}} \]

   11. Taylor expanded in x.im around -inf

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot x.im\right)}, y.re\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x.im\right)\right), y.re\right) \]

       2. neg-lowering-neg.f64 70.0%

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x.im\right), y.re\right) \]

   13. Simplified 70.0%

       \[\leadsto {\color{blue}{\left(-x.im\right)}}^{y.re} \]

   if -4.10000000000000029e-23 < x.im < 2.70000000000000005e-38

   1. Initial program 48.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 64.7%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 64.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in x.re around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot x.re\right)}, y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x.re\right)\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 52.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 52.5%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(-x.re\right)}}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \]

   9. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x.re\right), y.re\right), \color{blue}{1}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Simplified 51.6%

       \[\leadsto {\left(-x.re\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{1} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto {\left(\mathsf{neg}\left(x.re\right)\right)}^{\color{blue}{y.re}} \]

       2. sqr-pow N/A

          \[\leadsto {\left(\mathsf{neg}\left(x.re\right)\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)} \cdot \color{blue}{{\left(\mathsf{neg}\left(x.re\right)\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}} \]

       3. pow-prod-down N/A

          \[\leadsto {\left(\left(\mathsf{neg}\left(x.re\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(x.re\right)\right)\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}} \]

       4. sqr-neg N/A

          \[\leadsto {\left(x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)} \]

       5. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(x.re \cdot x.re\right), \color{blue}{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \left(\frac{\color{blue}{y.re}}{2}\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 55.8%

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right), \mathsf{/.f64}\left(y.re, \color{blue}{2}\right)\right) \]

   13. Applied egg-rr 55.8%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}} \]

   if 2.70000000000000005e-38 < x.im

   1. Initial program 36.8%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 80.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 82.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 82.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 47.1%

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

   10. Simplified 47.1%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}} \]

   11. Taylor expanded in x.im around inf

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{x.im}, y.re\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 67.3%

       \[\leadsto {\color{blue}{x.im}}^{y.re} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 62.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.im \leq -4.1 \cdot 10^{-23}:\\ \;\;\;\;{\left(0 - x.im\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;x.im \leq 2.7 \cdot 10^{-38}:\\ \;\;\;\;{\left(x.re \cdot x.re\right)}^{\left(\frac{y.re}{2}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 16: 54.0% accurate, 7.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.im \leq -4.2 \cdot 10^{-47}:\\ \;\;\;\;{\left(0 - x.im\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;x.im \leq 2.3 \cdot 10^{-120}:\\ \;\;\;\;{\left(0 - x.re\right)}^{y.re}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= x.im -4.2e-47)
   (pow (- 0.0 x.im) y.re)
   (if (<= x.im 2.3e-120) (pow (- 0.0 x.re) y.re) (pow x.im y.re))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (x_46_im <= -4.2e-47) {
		tmp = pow((0.0 - x_46_im), y_46_re);
	} else if (x_46_im <= 2.3e-120) {
		tmp = pow((0.0 - x_46_re), y_46_re);
	} else {
		tmp = pow(x_46_im, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: tmp
    if (x_46im <= (-4.2d-47)) then
        tmp = (0.0d0 - x_46im) ** y_46re
    else if (x_46im <= 2.3d-120) then
        tmp = (0.0d0 - x_46re) ** y_46re
    else
        tmp = x_46im ** y_46re
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (x_46_im <= -4.2e-47) {
		tmp = Math.pow((0.0 - x_46_im), y_46_re);
	} else if (x_46_im <= 2.3e-120) {
		tmp = Math.pow((0.0 - x_46_re), y_46_re);
	} else {
		tmp = Math.pow(x_46_im, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if x_46_im <= -4.2e-47:
		tmp = math.pow((0.0 - x_46_im), y_46_re)
	elif x_46_im <= 2.3e-120:
		tmp = math.pow((0.0 - x_46_re), y_46_re)
	else:
		tmp = math.pow(x_46_im, y_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (x_46_im <= -4.2e-47)
		tmp = Float64(0.0 - x_46_im) ^ y_46_re;
	elseif (x_46_im <= 2.3e-120)
		tmp = Float64(0.0 - x_46_re) ^ y_46_re;
	else
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if (x_46_im <= -4.2e-47)
		tmp = (0.0 - x_46_im) ^ y_46_re;
	elseif (x_46_im <= 2.3e-120)
		tmp = (0.0 - x_46_re) ^ y_46_re;
	else
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[LessEqual[x$46$im, -4.2e-47], N[Power[N[(0.0 - x$46$im), $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision], If[LessEqual[x$46$im, 2.3e-120], N[Power[N[(0.0 - x$46$re), $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision], N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x.im < -4.2000000000000001e-47

   1. Initial program 34.2%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 67.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 68.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 68.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 53.8%

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

   10. Simplified 53.8%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}} \]

   11. Taylor expanded in x.im around -inf

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot x.im\right)}, y.re\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x.im\right)\right), y.re\right) \]

       2. neg-lowering-neg.f64 68.4%

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x.im\right), y.re\right) \]

   13. Simplified 68.4%

       \[\leadsto {\color{blue}{\left(-x.im\right)}}^{y.re} \]

   if -4.2000000000000001e-47 < x.im < 2.29999999999999986e-120

   1. Initial program 49.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 69.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 69.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in x.re around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot x.re\right)}, y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x.re\right)\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

      2. neg-lowering-neg.f64 58.9%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{y.re}, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 58.9%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(-x.re\right)}}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \]

   9. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x.re\right), y.re\right), \color{blue}{1}\right) \]
   10. Step-by-step derivation

   11. Simplified 55.5%

       \[\leadsto {\left(-x.re\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{1} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto {\left(\mathsf{neg}\left(x.re\right)\right)}^{\color{blue}{y.re}} \]

       2. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x.re\right)\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

       3. neg-sub0 N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(0 - x.re\right), y.re\right) \]

       4. --lowering--.f64 55.5%

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(0, x.re\right), y.re\right) \]

   13. Applied egg-rr 55.5%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(0 - x.re\right)}^{y.re}} \]

   if 2.29999999999999986e-120 < x.im

   1. Initial program 38.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 76.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 79.6%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 79.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 48.5%

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

   10. Simplified 48.5%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}} \]

   11. Taylor expanded in x.im around inf

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{x.im}, y.re\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 61.9%

       \[\leadsto {\color{blue}{x.im}}^{y.re} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 61.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.im \leq -4.2 \cdot 10^{-47}:\\ \;\;\;\;{\left(0 - x.im\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;x.im \leq 2.3 \cdot 10^{-120}:\\ \;\;\;\;{\left(0 - x.re\right)}^{y.re}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 54.3% accurate, 7.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.im \leq -2.5 \cdot 10^{-81}:\\ \;\;\;\;{\left(0 - x.im\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;x.im \leq 5.5 \cdot 10^{-191}:\\ \;\;\;\;{x.re}^{y.re}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= x.im -2.5e-81)
   (pow (- 0.0 x.im) y.re)
   (if (<= x.im 5.5e-191) (pow x.re y.re) (pow x.im y.re))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (x_46_im <= -2.5e-81) {
		tmp = pow((0.0 - x_46_im), y_46_re);
	} else if (x_46_im <= 5.5e-191) {
		tmp = pow(x_46_re, y_46_re);
	} else {
		tmp = pow(x_46_im, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: tmp
    if (x_46im <= (-2.5d-81)) then
        tmp = (0.0d0 - x_46im) ** y_46re
    else if (x_46im <= 5.5d-191) then
        tmp = x_46re ** y_46re
    else
        tmp = x_46im ** y_46re
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (x_46_im <= -2.5e-81) {
		tmp = Math.pow((0.0 - x_46_im), y_46_re);
	} else if (x_46_im <= 5.5e-191) {
		tmp = Math.pow(x_46_re, y_46_re);
	} else {
		tmp = Math.pow(x_46_im, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if x_46_im <= -2.5e-81:
		tmp = math.pow((0.0 - x_46_im), y_46_re)
	elif x_46_im <= 5.5e-191:
		tmp = math.pow(x_46_re, y_46_re)
	else:
		tmp = math.pow(x_46_im, y_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (x_46_im <= -2.5e-81)
		tmp = Float64(0.0 - x_46_im) ^ y_46_re;
	elseif (x_46_im <= 5.5e-191)
		tmp = x_46_re ^ y_46_re;
	else
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if (x_46_im <= -2.5e-81)
		tmp = (0.0 - x_46_im) ^ y_46_re;
	elseif (x_46_im <= 5.5e-191)
		tmp = x_46_re ^ y_46_re;
	else
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[LessEqual[x$46$im, -2.5e-81], N[Power[N[(0.0 - x$46$im), $MachinePrecision], y$46$re], $MachinePrecision], If[LessEqual[x$46$im, 5.5e-191], N[Power[x$46$re, y$46$re], $MachinePrecision], N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x.im < -2.4999999999999999e-81

   1. Initial program 36.4%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 67.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 69.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 69.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 54.9%

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

   10. Simplified 54.9%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}} \]

   11. Taylor expanded in x.im around -inf

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot x.im\right)}, y.re\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{neg}\left(x.im\right)\right), y.re\right) \]

       2. neg-lowering-neg.f64 67.5%

          \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{neg.f64}\left(x.im\right), y.re\right) \]

   13. Simplified 67.5%

       \[\leadsto {\color{blue}{\left(-x.im\right)}}^{y.re} \]

   if -2.4999999999999999e-81 < x.im < 5.5000000000000001e-191

   1. Initial program 46.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 70.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 70.9%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 70.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 56.1%

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

   10. Simplified 56.1%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}} \]

   11. Taylor expanded in x.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{x.re}, y.re\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 55.8%

       \[\leadsto {\color{blue}{x.re}}^{y.re} \]

   if 5.5000000000000001e-191 < x.im

   1. Initial program 40.6%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 77.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 79.1%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 79.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 49.7%

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

   10. Simplified 49.7%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}} \]

   11. Taylor expanded in x.im around inf

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{x.im}, y.re\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 57.9%

       \[\leadsto {\color{blue}{x.im}}^{y.re} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 60.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x.im \leq -2.5 \cdot 10^{-81}:\\ \;\;\;\;{\left(0 - x.im\right)}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;x.im \leq 5.5 \cdot 10^{-191}:\\ \;\;\;\;{x.re}^{y.re}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 51.6% accurate, 7.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -1.4 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 10200000000000:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x.re}^{y.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= y.re -1.4e-7)
   (pow x.im y.re)
   (if (<= y.re 10200000000000.0) 1.0 (pow x.re y.re))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.4e-7) {
		tmp = pow(x_46_im, y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 10200000000000.0) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = pow(x_46_re, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: tmp
    if (y_46re <= (-1.4d-7)) then
        tmp = x_46im ** y_46re
    else if (y_46re <= 10200000000000.0d0) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = x_46re ** y_46re
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.4e-7) {
		tmp = Math.pow(x_46_im, y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 10200000000000.0) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = Math.pow(x_46_re, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if y_46_re <= -1.4e-7:
		tmp = math.pow(x_46_im, y_46_re)
	elif y_46_re <= 10200000000000.0:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = math.pow(x_46_re, y_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -1.4e-7)
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	elseif (y_46_re <= 10200000000000.0)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = x_46_re ^ y_46_re;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -1.4e-7)
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	elseif (y_46_re <= 10200000000000.0)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = x_46_re ^ y_46_re;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[LessEqual[y$46$re, -1.4e-7], N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 10200000000000.0], 1.0, N[Power[x$46$re, y$46$re], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -1.4000000000000001e-7

   1. Initial program 51.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 69.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 67.7%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 67.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 79.0%

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

   10. Simplified 79.0%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}} \]

   11. Taylor expanded in x.im around inf

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{x.im}, y.re\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 58.4%

       \[\leadsto {\color{blue}{x.im}}^{y.re} \]

   if -1.4000000000000001e-7 < y.re < 1.02e13

   1. Initial program 40.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 60.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 60.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 57.5%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]

   if 1.02e13 < y.re

   1. Initial program 31.3%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 54.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 62.5%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 62.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 64.2%

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

   10. Simplified 64.2%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}} \]

   11. Taylor expanded in x.im around 0

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{x.re}, y.re\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 53.6%

       \[\leadsto {\color{blue}{x.re}}^{y.re} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 19: 51.6% accurate, 7.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \leq -1.3 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \mathbf{elif}\;y.re \leq 1.4 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;{x.im}^{y.re}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= y.re -1.3e-7)
   (pow x.im y.re)
   (if (<= y.re 1.4e-14) 1.0 (pow x.im y.re))))

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.3e-7) {
		tmp = pow(x_46_im, y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 1.4e-14) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = pow(x_46_im, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    real(8) :: tmp
    if (y_46re <= (-1.3d-7)) then
        tmp = x_46im ** y_46re
    else if (y_46re <= 1.4d-14) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = x_46im ** y_46re
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_re <= -1.3e-7) {
		tmp = Math.pow(x_46_im, y_46_re);
	} else if (y_46_re <= 1.4e-14) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = Math.pow(x_46_im, y_46_re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	tmp = 0
	if y_46_re <= -1.3e-7:
		tmp = math.pow(x_46_im, y_46_re)
	elif y_46_re <= 1.4e-14:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = math.pow(x_46_im, y_46_re)
	return tmp

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0
	if (y_46_re <= -1.3e-7)
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	elseif (y_46_re <= 1.4e-14)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 0.0;
	if (y_46_re <= -1.3e-7)
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	elseif (y_46_re <= 1.4e-14)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = x_46_im ^ y_46_re;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := If[LessEqual[y$46$re, -1.3e-7], N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision], If[LessEqual[y$46$re, 1.4e-14], 1.0, N[Power[x$46$im, y$46$re], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y.re < -1.29999999999999999e-7 or 1.4e-14 < y.re

   1. Initial program 41.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \cos \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)} \]

      2. associate-*l/ N/A

         \[\leadsto \frac{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      3. associate-/l* N/A

         \[\leadsto e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re} \cdot \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}} \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

      5. associate-/r/ N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{\color{blue}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}}}} \]

      6. exp-diff N/A

         \[\leadsto \frac{\cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im - \log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re}} \]

   3. Simplified 63.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos \left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right) \cdot y.im + y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\left(y.im \cdot \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right)}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \log \left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)}\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      3. log-lowering-log.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), \color{blue}{y.im}\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 65.0%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.im, \mathsf{log.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{exp.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right), y.im\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.re, x.im\right), y.re\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 65.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\cos \left(y.im \cdot \log \left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)}}{\frac{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}} \]

   8. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), \color{blue}{y.re}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left({x.im}^{2} + {x.re}^{2}\right)\right), y.re\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x.im}^{2}\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x.im \cdot x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      5. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left({x.re}^{2}\right)\right)\right), y.re\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \left(x.re \cdot x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 69.9%

         \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x.im, x.im\right), \mathsf{*.f64}\left(x.re, x.re\right)\right)\right), y.re\right) \]

   10. Simplified 69.9%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right)}^{y.re}} \]

   11. Taylor expanded in x.im around inf

       \[\leadsto \mathsf{pow.f64}\left(\color{blue}{x.im}, y.re\right) \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 52.5%

       \[\leadsto {\color{blue}{x.im}}^{y.re} \]

   if -1.29999999999999999e-7 < y.re < 1.4e-14

   1. Initial program 40.5%

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in y.im around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      3. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

      4. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      6. hypot-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      7. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

      10. atan2-lowering-atan2.f64 60.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 60.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   6. Taylor expanded in y.re around 0

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 59.2%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 20: 25.8% accurate, 829.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x.re x.im y.re y.im) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x_46re, x_46im, y_46re, y_46im)
    real(8), intent (in) :: x_46re
    real(8), intent (in) :: x_46im
    real(8), intent (in) :: y_46re
    real(8), intent (in) :: y_46im
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im):
	return 1.0

Julia

function code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x_46_re, x_46_im, y_46_re, y_46_im)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x$46$re_, x$46$im_, y$46$re_, y$46$im_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 41.0%

   \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \cos \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in y.im around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right) \cdot {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto {\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re} \cdot \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right)}^{y.re}\right), \color{blue}{\cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

   3. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{{x.im}^{2} + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \color{blue}{\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)}\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + {x.re}^{2}}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\sqrt{x.im \cdot x.im + x.re \cdot x.re}\right), y.re\right), \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

   6. hypot-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

   7. hypot-lowering-hypot.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \cos \left(\color{blue}{y.re} \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)\right)\right) \]

   10. atan2-lowering-atan2.f64 67.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{hypot.f64}\left(x.im, x.re\right), y.re\right), \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(y.re, \mathsf{atan2.f64}\left(x.im, x.re\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 67.1%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.im, x.re\right)\right)}^{y.re} \cdot \cos \left(y.re \cdot \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re}\right)} \]

6. Taylor expanded in y.re around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 29.9%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "powComplex, real part"
  :precision binary64
  (* (exp (- (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im))) (cos (+ (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re)))))