Main:z from

Percentage Accurate: 91.6% → 99.5%

Time: 30.5s

Alternatives: 24

Speedup: 1.9×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (+
  (+
   (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (- (sqrt (+ y 1.0)) (sqrt y)))
   (- (sqrt (+ z 1.0)) (sqrt z)))
  (- (sqrt (+ t 1.0)) (sqrt t))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (((sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0d0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0d0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0d0)) - sqrt(t))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + (Math.sqrt((y + 1.0)) - Math.sqrt(y))) + (Math.sqrt((z + 1.0)) - Math.sqrt(z))) + (Math.sqrt((t + 1.0)) - Math.sqrt(t));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (((math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + (math.sqrt((y + 1.0)) - math.sqrt(y))) + (math.sqrt((z + 1.0)) - math.sqrt(z))) + (math.sqrt((t + 1.0)) - math.sqrt(t))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(sqrt(Float64(y + 1.0)) - sqrt(y))) + Float64(sqrt(Float64(z + 1.0)) - sqrt(z))) + Float64(sqrt(Float64(t + 1.0)) - sqrt(t)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(y + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(z + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(t + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 91.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (+
  (+
   (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (- (sqrt (+ y 1.0)) (sqrt y)))
   (- (sqrt (+ z 1.0)) (sqrt z)))
  (- (sqrt (+ t 1.0)) (sqrt t))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (((sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0d0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0d0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0d0)) - sqrt(t))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + (Math.sqrt((y + 1.0)) - Math.sqrt(y))) + (Math.sqrt((z + 1.0)) - Math.sqrt(z))) + (Math.sqrt((t + 1.0)) - Math.sqrt(t));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (((math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + (math.sqrt((y + 1.0)) - math.sqrt(y))) + (math.sqrt((z + 1.0)) - math.sqrt(z))) + (math.sqrt((t + 1.0)) - math.sqrt(t))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(sqrt(Float64(y + 1.0)) - sqrt(y))) + Float64(sqrt(Float64(z + 1.0)) - sqrt(z))) + Float64(sqrt(Float64(t + 1.0)) - sqrt(t)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (sqrt((y + 1.0)) - sqrt(y))) + (sqrt((z + 1.0)) - sqrt(z))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(y + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(z + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(t + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + t}\\ t_2 := \sqrt{x + 1}\\ t_3 := \sqrt{y} + {\left(1 + y\right)}^{0.5}\\ t_4 := \sqrt{1 + y}\\ t_5 := \left(t\_2 - \sqrt{x}\right) + \left(t\_4 - \sqrt{y}\right)\\ t_6 := t\_1 - \sqrt{t}\\ t_7 := \sqrt{x} + t\_2\\ \mathbf{if}\;t\_5 \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + t\_6\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;t\_5 \leq 1.95:\\ \;\;\;\;\frac{t\_3 \cdot \left(x + \left(1 - x\right)\right) + t\_7}{t\_3 \cdot t\_7} + t\_6\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + t\_4\right) + \left(\frac{1}{t\_1 + \sqrt{t}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 t)))
        (t_2 (sqrt (+ x 1.0)))
        (t_3 (+ (sqrt y) (pow (+ 1.0 y) 0.5)))
        (t_4 (sqrt (+ 1.0 y)))
        (t_5 (+ (- t_2 (sqrt x)) (- t_4 (sqrt y))))
        (t_6 (- t_1 (sqrt t)))
        (t_7 (+ (sqrt x) t_2)))
   (if (<= t_5 0.0)
     (+
      (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 x)))
      (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y))) (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z))) t_6)))
     (if (<= t_5 1.95)
       (+ (/ (+ (* t_3 (+ x (- 1.0 x))) t_7) (* t_3 t_7)) t_6)
       (-
        (+
         (+ 1.0 t_4)
         (+ (/ 1.0 (+ t_1 (sqrt t))) (/ 1.0 (+ (sqrt z) (sqrt (+ 1.0 z))))))
        (+ (sqrt x) (sqrt y)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + t));
	double t_2 = sqrt((x + 1.0));
	double t_3 = sqrt(y) + pow((1.0 + y), 0.5);
	double t_4 = sqrt((1.0 + y));
	double t_5 = (t_2 - sqrt(x)) + (t_4 - sqrt(y));
	double t_6 = t_1 - sqrt(t);
	double t_7 = sqrt(x) + t_2;
	double tmp;
	if (t_5 <= 0.0) {
		tmp = (0.5 * sqrt((1.0 / x))) + ((0.5 * sqrt((1.0 / y))) + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + t_6));
	} else if (t_5 <= 1.95) {
		tmp = (((t_3 * (x + (1.0 - x))) + t_7) / (t_3 * t_7)) + t_6;
	} else {
		tmp = ((1.0 + t_4) + ((1.0 / (t_1 + sqrt(t))) + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z)))))) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: t_6
    real(8) :: t_7
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + t))
    t_2 = sqrt((x + 1.0d0))
    t_3 = sqrt(y) + ((1.0d0 + y) ** 0.5d0)
    t_4 = sqrt((1.0d0 + y))
    t_5 = (t_2 - sqrt(x)) + (t_4 - sqrt(y))
    t_6 = t_1 - sqrt(t)
    t_7 = sqrt(x) + t_2
    if (t_5 <= 0.0d0) then
        tmp = (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / x))) + ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y))) + ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z))) + t_6))
    else if (t_5 <= 1.95d0) then
        tmp = (((t_3 * (x + (1.0d0 - x))) + t_7) / (t_3 * t_7)) + t_6
    else
        tmp = ((1.0d0 + t_4) + ((1.0d0 / (t_1 + sqrt(t))) + (1.0d0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0d0 + z)))))) - (sqrt(x) + sqrt(y))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + t));
	double t_2 = Math.sqrt((x + 1.0));
	double t_3 = Math.sqrt(y) + Math.pow((1.0 + y), 0.5);
	double t_4 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double t_5 = (t_2 - Math.sqrt(x)) + (t_4 - Math.sqrt(y));
	double t_6 = t_1 - Math.sqrt(t);
	double t_7 = Math.sqrt(x) + t_2;
	double tmp;
	if (t_5 <= 0.0) {
		tmp = (0.5 * Math.sqrt((1.0 / x))) + ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / y))) + ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / z))) + t_6));
	} else if (t_5 <= 1.95) {
		tmp = (((t_3 * (x + (1.0 - x))) + t_7) / (t_3 * t_7)) + t_6;
	} else {
		tmp = ((1.0 + t_4) + ((1.0 / (t_1 + Math.sqrt(t))) + (1.0 / (Math.sqrt(z) + Math.sqrt((1.0 + z)))))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + t))
	t_2 = math.sqrt((x + 1.0))
	t_3 = math.sqrt(y) + math.pow((1.0 + y), 0.5)
	t_4 = math.sqrt((1.0 + y))
	t_5 = (t_2 - math.sqrt(x)) + (t_4 - math.sqrt(y))
	t_6 = t_1 - math.sqrt(t)
	t_7 = math.sqrt(x) + t_2
	tmp = 0
	if t_5 <= 0.0:
		tmp = (0.5 * math.sqrt((1.0 / x))) + ((0.5 * math.sqrt((1.0 / y))) + ((0.5 * math.sqrt((1.0 / z))) + t_6))
	elif t_5 <= 1.95:
		tmp = (((t_3 * (x + (1.0 - x))) + t_7) / (t_3 * t_7)) + t_6
	else:
		tmp = ((1.0 + t_4) + ((1.0 / (t_1 + math.sqrt(t))) + (1.0 / (math.sqrt(z) + math.sqrt((1.0 + z)))))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + t))
	t_2 = sqrt(Float64(x + 1.0))
	t_3 = Float64(sqrt(y) + (Float64(1.0 + y) ^ 0.5))
	t_4 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	t_5 = Float64(Float64(t_2 - sqrt(x)) + Float64(t_4 - sqrt(y)))
	t_6 = Float64(t_1 - sqrt(t))
	t_7 = Float64(sqrt(x) + t_2)
	tmp = 0.0
	if (t_5 <= 0.0)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / x))) + Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y))) + Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z))) + t_6)));
	elseif (t_5 <= 1.95)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(t_3 * Float64(x + Float64(1.0 - x))) + t_7) / Float64(t_3 * t_7)) + t_6);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + t_4) + Float64(Float64(1.0 / Float64(t_1 + sqrt(t))) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + sqrt(Float64(1.0 + z)))))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + t));
	t_2 = sqrt((x + 1.0));
	t_3 = sqrt(y) + ((1.0 + y) ^ 0.5);
	t_4 = sqrt((1.0 + y));
	t_5 = (t_2 - sqrt(x)) + (t_4 - sqrt(y));
	t_6 = t_1 - sqrt(t);
	t_7 = sqrt(x) + t_2;
	tmp = 0.0;
	if (t_5 <= 0.0)
		tmp = (0.5 * sqrt((1.0 / x))) + ((0.5 * sqrt((1.0 / y))) + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + t_6));
	elseif (t_5 <= 1.95)
		tmp = (((t_3 * (x + (1.0 - x))) + t_7) / (t_3 * t_7)) + t_6;
	else
		tmp = ((1.0 + t_4) + ((1.0 / (t_1 + sqrt(t))) + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z)))))) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + y), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[(t$95$2 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$4 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[(t$95$1 - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$7 = N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + t$95$2), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$5, 0.0], N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$6), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$5, 1.95], N[(N[(N[(N[(t$95$3 * N[(x + N[(1.0 - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$7), $MachinePrecision] / N[(t$95$3 * t$95$7), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$6), $MachinePrecision], N[(N[(N[(1.0 + t$95$4), $MachinePrecision] + N[(N[(1.0 / N[(t$95$1 + N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) < 0.0

   1. Initial program 75.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 46.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + t} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \sqrt{1 + t}\right) - \sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + t}} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 40.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 40.6%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 43.6%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 43.6%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 48.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 48.9%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   if 0.0 < (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) < 1.94999999999999996

   1. Initial program 93.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 34.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 34.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   7. Applied egg-rr 59.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left({\left(1 + y\right)}^{0.5} + \sqrt{y}\right) \cdot \left(x + \left(1 - x\right)\right) + 1 \cdot \left(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}\right)}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}\right) \cdot \left({\left(1 + y\right)}^{0.5} + \sqrt{y}\right)}} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 1.94999999999999996 < (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y)))

   1. Initial program 98.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}{\color{blue}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}}\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{1 + t} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + t\right) - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + t\right) - t\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + t\right), t\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{t} + \color{blue}{\sqrt{1 + t}}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + t}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 99.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + t\right) - t}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \color{blue}{t}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \color{blue}{t}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} \cdot \sqrt{1 + z} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + z\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + z\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(1 + z\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + z\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 99.3%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{{\left(1 + z\right)}^{0.5} + \sqrt{z}}}\right) + \frac{\left(1 + t\right) - t}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \left(\frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \left(\frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

   9. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 66.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) \leq 1.95:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\sqrt{y} + {\left(1 + y\right)}^{0.5}\right) \cdot \left(x + \left(1 - x\right)\right) + \left(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}\right)}{\left(\sqrt{y} + {\left(1 + y\right)}^{0.5}\right) \cdot \left(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}\right)} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{1 + t} + \sqrt{t}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.6% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z}\\ t_2 := \sqrt{1 + t}\\ t_3 := \sqrt{x + 1}\\ t_4 := 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(t\_2 - \sqrt{t}\right)\right)\\ t_5 := \sqrt{1 + y}\\ t_6 := \left(\left(t\_3 - \sqrt{x}\right) + \left(t\_5 - \sqrt{y}\right)\right) + \left(t\_1 - \sqrt{z}\right)\\ \mathbf{if}\;t\_6 \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + t\_4\\ \mathbf{elif}\;t\_6 \leq 1.0002:\\ \;\;\;\;t\_4 + \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt{x} + {\left(x + 1\right)}^{0.5}}\\ \mathbf{elif}\;t\_6 \leq 2.0025:\\ \;\;\;\;t\_3 + \left(\left(t\_5 + \frac{1}{\sqrt{z} + t\_1}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{t\_2 + \sqrt{t}} + \left(\left(\left(1 + t\_5\right) + t\_1\right) - \left(\sqrt{y} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 z)))
        (t_2 (sqrt (+ 1.0 t)))
        (t_3 (sqrt (+ x 1.0)))
        (t_4
         (+
          (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y)))
          (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z))) (- t_2 (sqrt t)))))
        (t_5 (sqrt (+ 1.0 y)))
        (t_6 (+ (+ (- t_3 (sqrt x)) (- t_5 (sqrt y))) (- t_1 (sqrt z)))))
   (if (<= t_6 0.0)
     (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 x))) t_4)
     (if (<= t_6 1.0002)
       (+ t_4 (/ (- (+ x 1.0) x) (+ (sqrt x) (pow (+ x 1.0) 0.5))))
       (if (<= t_6 2.0025)
         (+ t_3 (- (+ t_5 (/ 1.0 (+ (sqrt z) t_1))) (+ (sqrt x) (sqrt y))))
         (+
          (/ 1.0 (+ t_2 (sqrt t)))
          (- (+ (+ 1.0 t_5) t_1) (+ (sqrt y) (+ (sqrt x) (sqrt z))))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z));
	double t_2 = sqrt((1.0 + t));
	double t_3 = sqrt((x + 1.0));
	double t_4 = (0.5 * sqrt((1.0 / y))) + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + (t_2 - sqrt(t)));
	double t_5 = sqrt((1.0 + y));
	double t_6 = ((t_3 - sqrt(x)) + (t_5 - sqrt(y))) + (t_1 - sqrt(z));
	double tmp;
	if (t_6 <= 0.0) {
		tmp = (0.5 * sqrt((1.0 / x))) + t_4;
	} else if (t_6 <= 1.0002) {
		tmp = t_4 + (((x + 1.0) - x) / (sqrt(x) + pow((x + 1.0), 0.5)));
	} else if (t_6 <= 2.0025) {
		tmp = t_3 + ((t_5 + (1.0 / (sqrt(z) + t_1))) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (1.0 / (t_2 + sqrt(t))) + (((1.0 + t_5) + t_1) - (sqrt(y) + (sqrt(x) + sqrt(z))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: t_6
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z))
    t_2 = sqrt((1.0d0 + t))
    t_3 = sqrt((x + 1.0d0))
    t_4 = (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y))) + ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z))) + (t_2 - sqrt(t)))
    t_5 = sqrt((1.0d0 + y))
    t_6 = ((t_3 - sqrt(x)) + (t_5 - sqrt(y))) + (t_1 - sqrt(z))
    if (t_6 <= 0.0d0) then
        tmp = (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / x))) + t_4
    else if (t_6 <= 1.0002d0) then
        tmp = t_4 + (((x + 1.0d0) - x) / (sqrt(x) + ((x + 1.0d0) ** 0.5d0)))
    else if (t_6 <= 2.0025d0) then
        tmp = t_3 + ((t_5 + (1.0d0 / (sqrt(z) + t_1))) - (sqrt(x) + sqrt(y)))
    else
        tmp = (1.0d0 / (t_2 + sqrt(t))) + (((1.0d0 + t_5) + t_1) - (sqrt(y) + (sqrt(x) + sqrt(z))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z));
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + t));
	double t_3 = Math.sqrt((x + 1.0));
	double t_4 = (0.5 * Math.sqrt((1.0 / y))) + ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / z))) + (t_2 - Math.sqrt(t)));
	double t_5 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double t_6 = ((t_3 - Math.sqrt(x)) + (t_5 - Math.sqrt(y))) + (t_1 - Math.sqrt(z));
	double tmp;
	if (t_6 <= 0.0) {
		tmp = (0.5 * Math.sqrt((1.0 / x))) + t_4;
	} else if (t_6 <= 1.0002) {
		tmp = t_4 + (((x + 1.0) - x) / (Math.sqrt(x) + Math.pow((x + 1.0), 0.5)));
	} else if (t_6 <= 2.0025) {
		tmp = t_3 + ((t_5 + (1.0 / (Math.sqrt(z) + t_1))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (1.0 / (t_2 + Math.sqrt(t))) + (((1.0 + t_5) + t_1) - (Math.sqrt(y) + (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(z))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z))
	t_2 = math.sqrt((1.0 + t))
	t_3 = math.sqrt((x + 1.0))
	t_4 = (0.5 * math.sqrt((1.0 / y))) + ((0.5 * math.sqrt((1.0 / z))) + (t_2 - math.sqrt(t)))
	t_5 = math.sqrt((1.0 + y))
	t_6 = ((t_3 - math.sqrt(x)) + (t_5 - math.sqrt(y))) + (t_1 - math.sqrt(z))
	tmp = 0
	if t_6 <= 0.0:
		tmp = (0.5 * math.sqrt((1.0 / x))) + t_4
	elif t_6 <= 1.0002:
		tmp = t_4 + (((x + 1.0) - x) / (math.sqrt(x) + math.pow((x + 1.0), 0.5)))
	elif t_6 <= 2.0025:
		tmp = t_3 + ((t_5 + (1.0 / (math.sqrt(z) + t_1))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y)))
	else:
		tmp = (1.0 / (t_2 + math.sqrt(t))) + (((1.0 + t_5) + t_1) - (math.sqrt(y) + (math.sqrt(x) + math.sqrt(z))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + z))
	t_2 = sqrt(Float64(1.0 + t))
	t_3 = sqrt(Float64(x + 1.0))
	t_4 = Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y))) + Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z))) + Float64(t_2 - sqrt(t))))
	t_5 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	t_6 = Float64(Float64(Float64(t_3 - sqrt(x)) + Float64(t_5 - sqrt(y))) + Float64(t_1 - sqrt(z)))
	tmp = 0.0
	if (t_6 <= 0.0)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / x))) + t_4);
	elseif (t_6 <= 1.0002)
		tmp = Float64(t_4 + Float64(Float64(Float64(x + 1.0) - x) / Float64(sqrt(x) + (Float64(x + 1.0) ^ 0.5))));
	elseif (t_6 <= 2.0025)
		tmp = Float64(t_3 + Float64(Float64(t_5 + Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + t_1))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y))));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 / Float64(t_2 + sqrt(t))) + Float64(Float64(Float64(1.0 + t_5) + t_1) - Float64(sqrt(y) + Float64(sqrt(x) + sqrt(z)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z));
	t_2 = sqrt((1.0 + t));
	t_3 = sqrt((x + 1.0));
	t_4 = (0.5 * sqrt((1.0 / y))) + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + (t_2 - sqrt(t)));
	t_5 = sqrt((1.0 + y));
	t_6 = ((t_3 - sqrt(x)) + (t_5 - sqrt(y))) + (t_1 - sqrt(z));
	tmp = 0.0;
	if (t_6 <= 0.0)
		tmp = (0.5 * sqrt((1.0 / x))) + t_4;
	elseif (t_6 <= 1.0002)
		tmp = t_4 + (((x + 1.0) - x) / (sqrt(x) + ((x + 1.0) ^ 0.5)));
	elseif (t_6 <= 2.0025)
		tmp = t_3 + ((t_5 + (1.0 / (sqrt(z) + t_1))) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	else
		tmp = (1.0 / (t_2 + sqrt(t))) + (((1.0 + t_5) + t_1) - (sqrt(y) + (sqrt(x) + sqrt(z))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$2 - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[(N[(N[(t$95$3 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$5 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$6, 0.0], N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$4), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$6, 1.0002], N[(t$95$4 + N[(N[(N[(x + 1.0), $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$6, 2.0025], N[(t$95$3 + N[(N[(t$95$5 + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 / N[(t$95$2 + N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(1.0 + t$95$5), $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 0.0

   1. Initial program 59.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 3.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + t} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \sqrt{1 + t}\right) - \sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + t}} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 69.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 69.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 76.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 76.0%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 86.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 86.6%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   if 0.0 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 1.0002

   1. Initial program 90.6%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 54.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + t} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \sqrt{1 + t}\right) - \sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + t}} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 65.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 65.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 43.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 43.3%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. flip-- N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{1 + x} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + x\right) - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + x\right) - x\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + x\right), x\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{1 + x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. pow1/2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left({\left(1 + x\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. +-lowering-+.f64 43.9%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 43.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + x\right) - x}{\sqrt{x} + {\left(1 + x\right)}^{0.5}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   if 1.0002 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 2.00249999999999995

   1. Initial program 97.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}{\color{blue}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}}\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{1 + t} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + t\right) - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + t\right) - t\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + t\right), t\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{t} + \color{blue}{\sqrt{1 + t}}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + t}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.1%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + t\right) - t}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \color{blue}{t}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \color{blue}{t}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} \cdot \sqrt{1 + z} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + z\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + z\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(1 + z\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + z\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.5%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{{\left(1 + z\right)}^{0.5} + \sqrt{z}}}\right) + \frac{\left(1 + t\right) - t}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}} \]

   7. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 32.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 32.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   if 2.00249999999999995 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z)))

   1. Initial program 98.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{z} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 94.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 94.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}{\color{blue}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}}\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{1 + t} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\left(1 + t\right) - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}{\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}}\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\left(1 + t\right) - t}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\left(1 + t\right) - t}{\sqrt{1 + t} + \sqrt{t}}\right)\right) \]

      7. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\left(1 + t\right) - t}{\sqrt{t} + \color{blue}{\sqrt{1 + t}}}\right)\right) \]

      8. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{1 + \left(t - t\right)}{\color{blue}{\sqrt{t}} + \sqrt{1 + t}}\right)\right) \]

      9. +-inverses N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{1 + 0}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\color{blue}{\sqrt{t}} + \sqrt{1 + t}}\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}\right)}\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t}\right)}\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + t}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 95.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 95.9%

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 52.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 1.0002:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) + \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt{x} + {\left(x + 1\right)}^{0.5}}\\ \mathbf{elif}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 2.0025:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt{1 + t} + \sqrt{t}} + \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\sqrt{y} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.4% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z}\\ t_2 := \sqrt{1 + t}\\ t_3 := \sqrt{x + 1}\\ t_4 := 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(t\_2 - \sqrt{t}\right)\right)\\ t_5 := \sqrt{1 + y}\\ t_6 := \left(\left(t\_3 - \sqrt{x}\right) + \left(t\_5 - \sqrt{y}\right)\right) + \left(t\_1 - \sqrt{z}\right)\\ \mathbf{if}\;t\_6 \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + t\_4\\ \mathbf{elif}\;t\_6 \leq 1.0002:\\ \;\;\;\;t\_4 + \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt{x} + {\left(x + 1\right)}^{0.5}}\\ \mathbf{elif}\;t\_6 \leq 2.98:\\ \;\;\;\;t\_3 + \left(\left(t\_5 + \frac{1}{\sqrt{z} + t\_1}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(t\_5 + 2\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(-0.125 + z \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \left(\sqrt{y} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right)\right)\right) + \frac{\left(1 + t\right) - t}{t\_2 + \sqrt{t}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 z)))
        (t_2 (sqrt (+ 1.0 t)))
        (t_3 (sqrt (+ x 1.0)))
        (t_4
         (+
          (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y)))
          (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z))) (- t_2 (sqrt t)))))
        (t_5 (sqrt (+ 1.0 y)))
        (t_6 (+ (+ (- t_3 (sqrt x)) (- t_5 (sqrt y))) (- t_1 (sqrt z)))))
   (if (<= t_6 0.0)
     (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 x))) t_4)
     (if (<= t_6 1.0002)
       (+ t_4 (/ (- (+ x 1.0) x) (+ (sqrt x) (pow (+ x 1.0) 0.5))))
       (if (<= t_6 2.98)
         (+ t_3 (- (+ t_5 (/ 1.0 (+ (sqrt z) t_1))) (+ (sqrt x) (sqrt y))))
         (+
          (-
           (+ (+ t_5 2.0) (* z (+ 0.5 (* z (+ -0.125 (* z 0.0625))))))
           (+ (sqrt y) (+ (sqrt x) (sqrt z))))
          (/ (- (+ 1.0 t) t) (+ t_2 (sqrt t)))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z));
	double t_2 = sqrt((1.0 + t));
	double t_3 = sqrt((x + 1.0));
	double t_4 = (0.5 * sqrt((1.0 / y))) + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + (t_2 - sqrt(t)));
	double t_5 = sqrt((1.0 + y));
	double t_6 = ((t_3 - sqrt(x)) + (t_5 - sqrt(y))) + (t_1 - sqrt(z));
	double tmp;
	if (t_6 <= 0.0) {
		tmp = (0.5 * sqrt((1.0 / x))) + t_4;
	} else if (t_6 <= 1.0002) {
		tmp = t_4 + (((x + 1.0) - x) / (sqrt(x) + pow((x + 1.0), 0.5)));
	} else if (t_6 <= 2.98) {
		tmp = t_3 + ((t_5 + (1.0 / (sqrt(z) + t_1))) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (((t_5 + 2.0) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) - (sqrt(y) + (sqrt(x) + sqrt(z)))) + (((1.0 + t) - t) / (t_2 + sqrt(t)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: t_6
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z))
    t_2 = sqrt((1.0d0 + t))
    t_3 = sqrt((x + 1.0d0))
    t_4 = (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y))) + ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z))) + (t_2 - sqrt(t)))
    t_5 = sqrt((1.0d0 + y))
    t_6 = ((t_3 - sqrt(x)) + (t_5 - sqrt(y))) + (t_1 - sqrt(z))
    if (t_6 <= 0.0d0) then
        tmp = (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / x))) + t_4
    else if (t_6 <= 1.0002d0) then
        tmp = t_4 + (((x + 1.0d0) - x) / (sqrt(x) + ((x + 1.0d0) ** 0.5d0)))
    else if (t_6 <= 2.98d0) then
        tmp = t_3 + ((t_5 + (1.0d0 / (sqrt(z) + t_1))) - (sqrt(x) + sqrt(y)))
    else
        tmp = (((t_5 + 2.0d0) + (z * (0.5d0 + (z * ((-0.125d0) + (z * 0.0625d0)))))) - (sqrt(y) + (sqrt(x) + sqrt(z)))) + (((1.0d0 + t) - t) / (t_2 + sqrt(t)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z));
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + t));
	double t_3 = Math.sqrt((x + 1.0));
	double t_4 = (0.5 * Math.sqrt((1.0 / y))) + ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / z))) + (t_2 - Math.sqrt(t)));
	double t_5 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double t_6 = ((t_3 - Math.sqrt(x)) + (t_5 - Math.sqrt(y))) + (t_1 - Math.sqrt(z));
	double tmp;
	if (t_6 <= 0.0) {
		tmp = (0.5 * Math.sqrt((1.0 / x))) + t_4;
	} else if (t_6 <= 1.0002) {
		tmp = t_4 + (((x + 1.0) - x) / (Math.sqrt(x) + Math.pow((x + 1.0), 0.5)));
	} else if (t_6 <= 2.98) {
		tmp = t_3 + ((t_5 + (1.0 / (Math.sqrt(z) + t_1))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (((t_5 + 2.0) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) - (Math.sqrt(y) + (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(z)))) + (((1.0 + t) - t) / (t_2 + Math.sqrt(t)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z))
	t_2 = math.sqrt((1.0 + t))
	t_3 = math.sqrt((x + 1.0))
	t_4 = (0.5 * math.sqrt((1.0 / y))) + ((0.5 * math.sqrt((1.0 / z))) + (t_2 - math.sqrt(t)))
	t_5 = math.sqrt((1.0 + y))
	t_6 = ((t_3 - math.sqrt(x)) + (t_5 - math.sqrt(y))) + (t_1 - math.sqrt(z))
	tmp = 0
	if t_6 <= 0.0:
		tmp = (0.5 * math.sqrt((1.0 / x))) + t_4
	elif t_6 <= 1.0002:
		tmp = t_4 + (((x + 1.0) - x) / (math.sqrt(x) + math.pow((x + 1.0), 0.5)))
	elif t_6 <= 2.98:
		tmp = t_3 + ((t_5 + (1.0 / (math.sqrt(z) + t_1))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y)))
	else:
		tmp = (((t_5 + 2.0) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) - (math.sqrt(y) + (math.sqrt(x) + math.sqrt(z)))) + (((1.0 + t) - t) / (t_2 + math.sqrt(t)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + z))
	t_2 = sqrt(Float64(1.0 + t))
	t_3 = sqrt(Float64(x + 1.0))
	t_4 = Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y))) + Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z))) + Float64(t_2 - sqrt(t))))
	t_5 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	t_6 = Float64(Float64(Float64(t_3 - sqrt(x)) + Float64(t_5 - sqrt(y))) + Float64(t_1 - sqrt(z)))
	tmp = 0.0
	if (t_6 <= 0.0)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / x))) + t_4);
	elseif (t_6 <= 1.0002)
		tmp = Float64(t_4 + Float64(Float64(Float64(x + 1.0) - x) / Float64(sqrt(x) + (Float64(x + 1.0) ^ 0.5))));
	elseif (t_6 <= 2.98)
		tmp = Float64(t_3 + Float64(Float64(t_5 + Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + t_1))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(t_5 + 2.0) + Float64(z * Float64(0.5 + Float64(z * Float64(-0.125 + Float64(z * 0.0625)))))) - Float64(sqrt(y) + Float64(sqrt(x) + sqrt(z)))) + Float64(Float64(Float64(1.0 + t) - t) / Float64(t_2 + sqrt(t))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z));
	t_2 = sqrt((1.0 + t));
	t_3 = sqrt((x + 1.0));
	t_4 = (0.5 * sqrt((1.0 / y))) + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + (t_2 - sqrt(t)));
	t_5 = sqrt((1.0 + y));
	t_6 = ((t_3 - sqrt(x)) + (t_5 - sqrt(y))) + (t_1 - sqrt(z));
	tmp = 0.0;
	if (t_6 <= 0.0)
		tmp = (0.5 * sqrt((1.0 / x))) + t_4;
	elseif (t_6 <= 1.0002)
		tmp = t_4 + (((x + 1.0) - x) / (sqrt(x) + ((x + 1.0) ^ 0.5)));
	elseif (t_6 <= 2.98)
		tmp = t_3 + ((t_5 + (1.0 / (sqrt(z) + t_1))) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	else
		tmp = (((t_5 + 2.0) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) - (sqrt(y) + (sqrt(x) + sqrt(z)))) + (((1.0 + t) - t) / (t_2 + sqrt(t)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$2 - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[(N[(N[(t$95$3 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$5 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$6, 0.0], N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$4), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$6, 1.0002], N[(t$95$4 + N[(N[(N[(x + 1.0), $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$6, 2.98], N[(t$95$3 + N[(N[(t$95$5 + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(t$95$5 + 2.0), $MachinePrecision] + N[(z * N[(0.5 + N[(z * N[(-0.125 + N[(z * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(1.0 + t), $MachinePrecision] - t), $MachinePrecision] / N[(t$95$2 + N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 0.0

   1. Initial program 59.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 3.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + t} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \sqrt{1 + t}\right) - \sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + t}} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 69.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 69.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 76.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 76.0%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 86.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 86.6%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   if 0.0 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 1.0002

   1. Initial program 90.6%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 54.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + t} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \sqrt{1 + t}\right) - \sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + t}} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 65.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 65.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 43.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 43.3%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. flip-- N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{1 + x} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + x\right) - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + x\right) - x\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + x\right), x\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{1 + x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. pow1/2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left({\left(1 + x\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. +-lowering-+.f64 43.9%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 43.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + x\right) - x}{\sqrt{x} + {\left(1 + x\right)}^{0.5}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   if 1.0002 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 2.97999999999999998

   1. Initial program 97.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}{\color{blue}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}}\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{1 + t} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + t\right) - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + t\right) - t\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + t\right), t\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{t} + \color{blue}{\sqrt{1 + t}}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + t}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 98.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.1%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + t\right) - t}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \color{blue}{t}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \color{blue}{t}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} \cdot \sqrt{1 + z} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + z\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + z\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(1 + z\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + z\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 98.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.5%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{{\left(1 + z\right)}^{0.5} + \sqrt{z}}}\right) + \frac{\left(1 + t\right) - t}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}} \]

   7. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 32.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 32.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   if 2.97999999999999998 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z)))

   1. Initial program 98.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{z} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 97.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in z around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(2 + \sqrt{1 + y}\right) + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(2 + \sqrt{1 + y}\right), \left(z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + 2\right), \left(z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), 2\right), \left(z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), 2\right), \left(z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \left(z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \left(\frac{1}{16} \cdot z + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \left(\frac{1}{16} \cdot z + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot z\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 97.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, z\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 97.0%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + 2\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(0.0625 \cdot z + -0.125\right)\right)\right)} - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, z\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}{\color{blue}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}}\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, z\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, z\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(t + 1\right) - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, z\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(t + 1\right) - t\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, z\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(t + 1\right), t\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      6. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, z\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + t\right), t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, z\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, z\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t + 1}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, z\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(t + 1\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, z\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, z\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 97.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, z\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 97.6%

       \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + 2\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(0.0625 \cdot z + -0.125\right)\right)\right) - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + t\right) - t}{\sqrt{1 + t} + \sqrt{t}}} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 52.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 1.0002:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) + \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt{x} + {\left(x + 1\right)}^{0.5}}\\ \mathbf{elif}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 2.98:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + 2\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(-0.125 + z \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \left(\sqrt{y} + \left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right)\right)\right) + \frac{\left(1 + t\right) - t}{\sqrt{1 + t} + \sqrt{t}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.7% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\\ t_2 := \sqrt{1 + z}\\ t_3 := \sqrt{1 + t}\\ t_4 := \sqrt{1 + y}\\ t_5 := \left(t\_1 + \left(t\_4 - \sqrt{y}\right)\right) + \left(t\_2 - \sqrt{z}\right)\\ t_6 := 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(t\_3 - \sqrt{t}\right)\\ \mathbf{if}\;t\_5 \leq 4 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + t\_6\right) + \frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + \sqrt{\frac{1}{x}} \cdot -0.125}{x}\\ \mathbf{elif}\;t\_5 \leq 1.9999999999985:\\ \;\;\;\;t\_1 + \left(t\_6 + \frac{1}{\sqrt{y} + {\left(1 + y\right)}^{0.5}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + t\_4\right) + \left(\frac{1}{t\_3 + \sqrt{t}} + \frac{1}{\sqrt{z} + t\_2}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)))
        (t_2 (sqrt (+ 1.0 z)))
        (t_3 (sqrt (+ 1.0 t)))
        (t_4 (sqrt (+ 1.0 y)))
        (t_5 (+ (+ t_1 (- t_4 (sqrt y))) (- t_2 (sqrt z))))
        (t_6 (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z))) (- t_3 (sqrt t)))))
   (if (<= t_5 4e-5)
     (+
      (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y))) t_6)
      (/ (+ (* (sqrt x) 0.5) (* (sqrt (/ 1.0 x)) -0.125)) x))
     (if (<= t_5 1.9999999999985)
       (+ t_1 (+ t_6 (/ 1.0 (+ (sqrt y) (pow (+ 1.0 y) 0.5)))))
       (-
        (+ (+ 1.0 t_4) (+ (/ 1.0 (+ t_3 (sqrt t))) (/ 1.0 (+ (sqrt z) t_2))))
        (+ (sqrt x) (sqrt y)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	double t_2 = sqrt((1.0 + z));
	double t_3 = sqrt((1.0 + t));
	double t_4 = sqrt((1.0 + y));
	double t_5 = (t_1 + (t_4 - sqrt(y))) + (t_2 - sqrt(z));
	double t_6 = (0.5 * sqrt((1.0 / z))) + (t_3 - sqrt(t));
	double tmp;
	if (t_5 <= 4e-5) {
		tmp = ((0.5 * sqrt((1.0 / y))) + t_6) + (((sqrt(x) * 0.5) + (sqrt((1.0 / x)) * -0.125)) / x);
	} else if (t_5 <= 1.9999999999985) {
		tmp = t_1 + (t_6 + (1.0 / (sqrt(y) + pow((1.0 + y), 0.5))));
	} else {
		tmp = ((1.0 + t_4) + ((1.0 / (t_3 + sqrt(t))) + (1.0 / (sqrt(z) + t_2)))) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: t_6
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)
    t_2 = sqrt((1.0d0 + z))
    t_3 = sqrt((1.0d0 + t))
    t_4 = sqrt((1.0d0 + y))
    t_5 = (t_1 + (t_4 - sqrt(y))) + (t_2 - sqrt(z))
    t_6 = (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z))) + (t_3 - sqrt(t))
    if (t_5 <= 4d-5) then
        tmp = ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y))) + t_6) + (((sqrt(x) * 0.5d0) + (sqrt((1.0d0 / x)) * (-0.125d0))) / x)
    else if (t_5 <= 1.9999999999985d0) then
        tmp = t_1 + (t_6 + (1.0d0 / (sqrt(y) + ((1.0d0 + y) ** 0.5d0))))
    else
        tmp = ((1.0d0 + t_4) + ((1.0d0 / (t_3 + sqrt(t))) + (1.0d0 / (sqrt(z) + t_2)))) - (sqrt(x) + sqrt(y))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x);
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + z));
	double t_3 = Math.sqrt((1.0 + t));
	double t_4 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double t_5 = (t_1 + (t_4 - Math.sqrt(y))) + (t_2 - Math.sqrt(z));
	double t_6 = (0.5 * Math.sqrt((1.0 / z))) + (t_3 - Math.sqrt(t));
	double tmp;
	if (t_5 <= 4e-5) {
		tmp = ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / y))) + t_6) + (((Math.sqrt(x) * 0.5) + (Math.sqrt((1.0 / x)) * -0.125)) / x);
	} else if (t_5 <= 1.9999999999985) {
		tmp = t_1 + (t_6 + (1.0 / (Math.sqrt(y) + Math.pow((1.0 + y), 0.5))));
	} else {
		tmp = ((1.0 + t_4) + ((1.0 / (t_3 + Math.sqrt(t))) + (1.0 / (Math.sqrt(z) + t_2)))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)
	t_2 = math.sqrt((1.0 + z))
	t_3 = math.sqrt((1.0 + t))
	t_4 = math.sqrt((1.0 + y))
	t_5 = (t_1 + (t_4 - math.sqrt(y))) + (t_2 - math.sqrt(z))
	t_6 = (0.5 * math.sqrt((1.0 / z))) + (t_3 - math.sqrt(t))
	tmp = 0
	if t_5 <= 4e-5:
		tmp = ((0.5 * math.sqrt((1.0 / y))) + t_6) + (((math.sqrt(x) * 0.5) + (math.sqrt((1.0 / x)) * -0.125)) / x)
	elif t_5 <= 1.9999999999985:
		tmp = t_1 + (t_6 + (1.0 / (math.sqrt(y) + math.pow((1.0 + y), 0.5))))
	else:
		tmp = ((1.0 + t_4) + ((1.0 / (t_3 + math.sqrt(t))) + (1.0 / (math.sqrt(z) + t_2)))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x))
	t_2 = sqrt(Float64(1.0 + z))
	t_3 = sqrt(Float64(1.0 + t))
	t_4 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	t_5 = Float64(Float64(t_1 + Float64(t_4 - sqrt(y))) + Float64(t_2 - sqrt(z)))
	t_6 = Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z))) + Float64(t_3 - sqrt(t)))
	tmp = 0.0
	if (t_5 <= 4e-5)
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y))) + t_6) + Float64(Float64(Float64(sqrt(x) * 0.5) + Float64(sqrt(Float64(1.0 / x)) * -0.125)) / x));
	elseif (t_5 <= 1.9999999999985)
		tmp = Float64(t_1 + Float64(t_6 + Float64(1.0 / Float64(sqrt(y) + (Float64(1.0 + y) ^ 0.5)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + t_4) + Float64(Float64(1.0 / Float64(t_3 + sqrt(t))) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + t_2)))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	t_2 = sqrt((1.0 + z));
	t_3 = sqrt((1.0 + t));
	t_4 = sqrt((1.0 + y));
	t_5 = (t_1 + (t_4 - sqrt(y))) + (t_2 - sqrt(z));
	t_6 = (0.5 * sqrt((1.0 / z))) + (t_3 - sqrt(t));
	tmp = 0.0;
	if (t_5 <= 4e-5)
		tmp = ((0.5 * sqrt((1.0 / y))) + t_6) + (((sqrt(x) * 0.5) + (sqrt((1.0 / x)) * -0.125)) / x);
	elseif (t_5 <= 1.9999999999985)
		tmp = t_1 + (t_6 + (1.0 / (sqrt(y) + ((1.0 + y) ^ 0.5))));
	else
		tmp = ((1.0 + t_4) + ((1.0 / (t_3 + sqrt(t))) + (1.0 / (sqrt(z) + t_2)))) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[(t$95$1 + N[(t$95$4 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$2 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$6 = N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$3 - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$5, 4e-5], N[(N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$6), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * -0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$5, 1.9999999999985], N[(t$95$1 + N[(t$95$6 + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 + y), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(1.0 + t$95$4), $MachinePrecision] + N[(N[(1.0 / N[(t$95$3 + N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 4.00000000000000033e-5

   1. Initial program 56.4%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 4.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + t} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \sqrt{1 + t}\right) - \sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + t}} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 68.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 68.8%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 76.5%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 76.5%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}}{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x} + \frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 87.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 87.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \sqrt{x} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   if 4.00000000000000033e-5 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 1.99999999999850009

   1. Initial program 93.2%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 57.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + t} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \sqrt{1 + t}\right) - \sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + t}} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 64.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 64.8%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{y + 1} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{y + 1} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(1 + y\right) - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1 + \left(y - y\right)}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-inverses N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1 + 0}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(1 + y\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + y\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 65.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 65.4%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{\frac{1}{{\left(1 + y\right)}^{0.5} + \sqrt{y}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   if 1.99999999999850009 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z)))

   1. Initial program 98.1%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}{\color{blue}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}}\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{1 + t} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + t\right) - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + t\right) - t\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + t\right), t\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{t} + \color{blue}{\sqrt{1 + t}}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + t}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 98.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + t\right) - t}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \color{blue}{t}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \color{blue}{t}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} \cdot \sqrt{1 + z} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + z\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + z\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(1 + z\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + z\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 98.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{{\left(1 + z\right)}^{0.5} + \sqrt{z}}}\right) + \frac{\left(1 + t\right) - t}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \left(\frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \left(\frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

   9. Simplified 56.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 64.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 4 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) + \frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + \sqrt{\frac{1}{x}} \cdot -0.125}{x}\\ \mathbf{elif}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 1.9999999999985:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right) + \frac{1}{\sqrt{y} + {\left(1 + y\right)}^{0.5}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{1 + t} + \sqrt{t}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.6% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + z}\\ t_2 := \sqrt{1 + t}\\ t_3 := 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(t\_2 - \sqrt{t}\right)\right)\\ t_4 := \sqrt{1 + y}\\ t_5 := \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(t\_4 - \sqrt{y}\right)\right) + \left(t\_1 - \sqrt{z}\right)\\ \mathbf{if}\;t\_5 \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + t\_3\\ \mathbf{elif}\;t\_5 \leq 1.0002:\\ \;\;\;\;t\_3 + \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt{x} + {\left(x + 1\right)}^{0.5}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + t\_4\right) + \left(\frac{1}{t\_2 + \sqrt{t}} + \frac{1}{\sqrt{z} + t\_1}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 z)))
        (t_2 (sqrt (+ 1.0 t)))
        (t_3
         (+
          (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y)))
          (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z))) (- t_2 (sqrt t)))))
        (t_4 (sqrt (+ 1.0 y)))
        (t_5
         (+
          (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (- t_4 (sqrt y)))
          (- t_1 (sqrt z)))))
   (if (<= t_5 0.0)
     (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 x))) t_3)
     (if (<= t_5 1.0002)
       (+ t_3 (/ (- (+ x 1.0) x) (+ (sqrt x) (pow (+ x 1.0) 0.5))))
       (-
        (+ (+ 1.0 t_4) (+ (/ 1.0 (+ t_2 (sqrt t))) (/ 1.0 (+ (sqrt z) t_1))))
        (+ (sqrt x) (sqrt y)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + z));
	double t_2 = sqrt((1.0 + t));
	double t_3 = (0.5 * sqrt((1.0 / y))) + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + (t_2 - sqrt(t)));
	double t_4 = sqrt((1.0 + y));
	double t_5 = ((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (t_4 - sqrt(y))) + (t_1 - sqrt(z));
	double tmp;
	if (t_5 <= 0.0) {
		tmp = (0.5 * sqrt((1.0 / x))) + t_3;
	} else if (t_5 <= 1.0002) {
		tmp = t_3 + (((x + 1.0) - x) / (sqrt(x) + pow((x + 1.0), 0.5)));
	} else {
		tmp = ((1.0 + t_4) + ((1.0 / (t_2 + sqrt(t))) + (1.0 / (sqrt(z) + t_1)))) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: t_5
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + z))
    t_2 = sqrt((1.0d0 + t))
    t_3 = (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y))) + ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z))) + (t_2 - sqrt(t)))
    t_4 = sqrt((1.0d0 + y))
    t_5 = ((sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + (t_4 - sqrt(y))) + (t_1 - sqrt(z))
    if (t_5 <= 0.0d0) then
        tmp = (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / x))) + t_3
    else if (t_5 <= 1.0002d0) then
        tmp = t_3 + (((x + 1.0d0) - x) / (sqrt(x) + ((x + 1.0d0) ** 0.5d0)))
    else
        tmp = ((1.0d0 + t_4) + ((1.0d0 / (t_2 + sqrt(t))) + (1.0d0 / (sqrt(z) + t_1)))) - (sqrt(x) + sqrt(y))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + z));
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + t));
	double t_3 = (0.5 * Math.sqrt((1.0 / y))) + ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / z))) + (t_2 - Math.sqrt(t)));
	double t_4 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double t_5 = ((Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + (t_4 - Math.sqrt(y))) + (t_1 - Math.sqrt(z));
	double tmp;
	if (t_5 <= 0.0) {
		tmp = (0.5 * Math.sqrt((1.0 / x))) + t_3;
	} else if (t_5 <= 1.0002) {
		tmp = t_3 + (((x + 1.0) - x) / (Math.sqrt(x) + Math.pow((x + 1.0), 0.5)));
	} else {
		tmp = ((1.0 + t_4) + ((1.0 / (t_2 + Math.sqrt(t))) + (1.0 / (Math.sqrt(z) + t_1)))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + z))
	t_2 = math.sqrt((1.0 + t))
	t_3 = (0.5 * math.sqrt((1.0 / y))) + ((0.5 * math.sqrt((1.0 / z))) + (t_2 - math.sqrt(t)))
	t_4 = math.sqrt((1.0 + y))
	t_5 = ((math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + (t_4 - math.sqrt(y))) + (t_1 - math.sqrt(z))
	tmp = 0
	if t_5 <= 0.0:
		tmp = (0.5 * math.sqrt((1.0 / x))) + t_3
	elif t_5 <= 1.0002:
		tmp = t_3 + (((x + 1.0) - x) / (math.sqrt(x) + math.pow((x + 1.0), 0.5)))
	else:
		tmp = ((1.0 + t_4) + ((1.0 / (t_2 + math.sqrt(t))) + (1.0 / (math.sqrt(z) + t_1)))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + z))
	t_2 = sqrt(Float64(1.0 + t))
	t_3 = Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y))) + Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z))) + Float64(t_2 - sqrt(t))))
	t_4 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	t_5 = Float64(Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(t_4 - sqrt(y))) + Float64(t_1 - sqrt(z)))
	tmp = 0.0
	if (t_5 <= 0.0)
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / x))) + t_3);
	elseif (t_5 <= 1.0002)
		tmp = Float64(t_3 + Float64(Float64(Float64(x + 1.0) - x) / Float64(sqrt(x) + (Float64(x + 1.0) ^ 0.5))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + t_4) + Float64(Float64(1.0 / Float64(t_2 + sqrt(t))) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + t_1)))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + z));
	t_2 = sqrt((1.0 + t));
	t_3 = (0.5 * sqrt((1.0 / y))) + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + (t_2 - sqrt(t)));
	t_4 = sqrt((1.0 + y));
	t_5 = ((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (t_4 - sqrt(y))) + (t_1 - sqrt(z));
	tmp = 0.0;
	if (t_5 <= 0.0)
		tmp = (0.5 * sqrt((1.0 / x))) + t_3;
	elseif (t_5 <= 1.0002)
		tmp = t_3 + (((x + 1.0) - x) / (sqrt(x) + ((x + 1.0) ^ 0.5)));
	else
		tmp = ((1.0 + t_4) + ((1.0 / (t_2 + sqrt(t))) + (1.0 / (sqrt(z) + t_1)))) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$2 - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$5 = N[(N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$4 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$5, 0.0], N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$3), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$5, 1.0002], N[(t$95$3 + N[(N[(N[(x + 1.0), $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(1.0 + t$95$4), $MachinePrecision] + N[(N[(1.0 / N[(t$95$2 + N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 0.0

   1. Initial program 59.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 3.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + t} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \sqrt{1 + t}\right) - \sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + t}} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 69.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 69.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 76.0%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 76.0%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 86.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 86.6%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   if 0.0 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z))) < 1.0002

   1. Initial program 90.6%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 54.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + t} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \sqrt{1 + t}\right) - \sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + t}} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 65.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 65.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 43.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 43.3%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. flip-- N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{1 + x} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + x\right) - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + x\right) - x\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + x\right), x\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       10. +-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{1 + x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       11. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. pow1/2 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left({\left(1 + x\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       14. pow-lowering-pow.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. +-lowering-+.f64 43.9%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. Applied egg-rr 43.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + x\right) - x}{\sqrt{x} + {\left(1 + x\right)}^{0.5}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   if 1.0002 < (+.f64 (+.f64 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 y #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 y))) (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 z #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 z)))

   1. Initial program 97.9%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}{\color{blue}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}}\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{1 + t} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + t\right) - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + t\right) - t\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + t\right), t\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{t} + \color{blue}{\sqrt{1 + t}}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + t}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 98.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 98.3%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + t\right) - t}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \color{blue}{t}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \color{blue}{t}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} \cdot \sqrt{1 + z} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + z\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + z\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(1 + z\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + z\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 98.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{{\left(1 + z\right)}^{0.5} + \sqrt{z}}}\right) + \frac{\left(1 + t\right) - t}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \left(\frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \left(\frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

   9. Simplified 52.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 53.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) \leq 1.0002:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) + \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt{x} + {\left(x + 1\right)}^{0.5}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{1 + t} + \sqrt{t}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 91.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\\ \mathbf{if}\;t\_1 \leq 4 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) + \frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + \sqrt{\frac{1}{x}} \cdot -0.125}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 + \left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x))))
   (if (<= t_1 4e-5)
     (+
      (+
       (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y)))
       (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z))) (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))))
      (/ (+ (* (sqrt x) 0.5) (* (sqrt (/ 1.0 x)) -0.125)) x))
     (+
      t_1
      (+
       (/ (- (+ 1.0 y) y) (+ (sqrt y) (sqrt (+ 1.0 y))))
       (- (sqrt (+ 1.0 z)) (sqrt z)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	double tmp;
	if (t_1 <= 4e-5) {
		tmp = ((0.5 * sqrt((1.0 / y))) + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)))) + (((sqrt(x) * 0.5) + (sqrt((1.0 / x)) * -0.125)) / x);
	} else {
		tmp = t_1 + ((((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + sqrt((1.0 + y)))) + (sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)
    if (t_1 <= 4d-5) then
        tmp = ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y))) + ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z))) + (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)))) + (((sqrt(x) * 0.5d0) + (sqrt((1.0d0 / x)) * (-0.125d0))) / x)
    else
        tmp = t_1 + ((((1.0d0 + y) - y) / (sqrt(y) + sqrt((1.0d0 + y)))) + (sqrt((1.0d0 + z)) - sqrt(z)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x);
	double tmp;
	if (t_1 <= 4e-5) {
		tmp = ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / y))) + ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / z))) + (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)))) + (((Math.sqrt(x) * 0.5) + (Math.sqrt((1.0 / x)) * -0.125)) / x);
	} else {
		tmp = t_1 + ((((1.0 + y) - y) / (Math.sqrt(y) + Math.sqrt((1.0 + y)))) + (Math.sqrt((1.0 + z)) - Math.sqrt(z)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)
	tmp = 0
	if t_1 <= 4e-5:
		tmp = ((0.5 * math.sqrt((1.0 / y))) + ((0.5 * math.sqrt((1.0 / z))) + (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)))) + (((math.sqrt(x) * 0.5) + (math.sqrt((1.0 / x)) * -0.125)) / x)
	else:
		tmp = t_1 + ((((1.0 + y) - y) / (math.sqrt(y) + math.sqrt((1.0 + y)))) + (math.sqrt((1.0 + z)) - math.sqrt(z)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= 4e-5)
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y))) + Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z))) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)))) + Float64(Float64(Float64(sqrt(x) * 0.5) + Float64(sqrt(Float64(1.0 / x)) * -0.125)) / x));
	else
		tmp = Float64(t_1 + Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + y) - y) / Float64(sqrt(y) + sqrt(Float64(1.0 + y)))) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) - sqrt(z))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	tmp = 0.0;
	if (t_1 <= 4e-5)
		tmp = ((0.5 * sqrt((1.0 / y))) + ((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)))) + (((sqrt(x) * 0.5) + (sqrt((1.0 / x)) * -0.125)) / x);
	else
		tmp = t_1 + ((((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + sqrt((1.0 + y)))) + (sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$1, 4e-5], N[(N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * -0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 + N[(N[(N[(N[(1.0 + y), $MachinePrecision] - y), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) < 4.00000000000000033e-5

   1. Initial program 83.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 57.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + t} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \sqrt{1 + t}\right) - \sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + t}} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 44.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 44.6%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 26.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 26.4%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in x around inf

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}}{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       2. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x} + \frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\color{blue}{\frac{1}{2}}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 29.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 29.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot \sqrt{x} + -0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}}{x}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   if 4.00000000000000033e-5 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x))

   1. Initial program 96.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 66.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 58.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 58.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{z}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y}\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y}}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      10. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 58.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 58.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 44.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \leq 4 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) + \frac{\sqrt{x} \cdot 0.5 + \sqrt{\frac{1}{x}} \cdot -0.125}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 91.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\\ \mathbf{if}\;t\_1 \leq 4 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 + \left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x))))
   (if (<= t_1 4e-5)
     (+
      (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))
      (+
       (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 (* x (* x x)))))
       (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 x)) (sqrt (/ 1.0 y))))))
     (+
      t_1
      (+
       (/ (- (+ 1.0 y) y) (+ (sqrt y) (sqrt (+ 1.0 y))))
       (- (sqrt (+ 1.0 z)) (sqrt z)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	double tmp;
	if (t_1 <= 4e-5) {
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + ((-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + sqrt((1.0 / y)))));
	} else {
		tmp = t_1 + ((((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + sqrt((1.0 + y)))) + (sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)
    if (t_1 <= 4d-5) then
        tmp = (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) + (((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / (x * (x * x))))) + (0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / x)) + sqrt((1.0d0 / y)))))
    else
        tmp = t_1 + ((((1.0d0 + y) - y) / (sqrt(y) + sqrt((1.0d0 + y)))) + (sqrt((1.0d0 + z)) - sqrt(z)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x);
	double tmp;
	if (t_1 <= 4e-5) {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) + ((-0.125 * Math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (Math.sqrt((1.0 / x)) + Math.sqrt((1.0 / y)))));
	} else {
		tmp = t_1 + ((((1.0 + y) - y) / (Math.sqrt(y) + Math.sqrt((1.0 + y)))) + (Math.sqrt((1.0 + z)) - Math.sqrt(z)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)
	tmp = 0
	if t_1 <= 4e-5:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) + ((-0.125 * math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (math.sqrt((1.0 / x)) + math.sqrt((1.0 / y)))))
	else:
		tmp = t_1 + ((((1.0 + y) - y) / (math.sqrt(y) + math.sqrt((1.0 + y)))) + (math.sqrt((1.0 + z)) - math.sqrt(z)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= 4e-5)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) + Float64(Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / Float64(x * Float64(x * x))))) + Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / x)) + sqrt(Float64(1.0 / y))))));
	else
		tmp = Float64(t_1 + Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 + y) - y) / Float64(sqrt(y) + sqrt(Float64(1.0 + y)))) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) - sqrt(z))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	tmp = 0.0;
	if (t_1 <= 4e-5)
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + ((-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + sqrt((1.0 / y)))));
	else
		tmp = t_1 + ((((1.0 + y) - y) / (sqrt(y) + sqrt((1.0 + y)))) + (sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$1, 4e-5], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 + N[(N[(N[(N[(1.0 + y), $MachinePrecision] - y), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) < 4.00000000000000033e-5

   1. Initial program 83.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 43.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 43.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 22.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 22.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   9. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{3}}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left({x}^{3}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       8. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 27.6%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 27.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 4.00000000000000033e-5 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x))

   1. Initial program 96.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 66.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 58.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 58.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y} - y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{z}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y}\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{1}, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y}}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      10. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 58.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right), y\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 58.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{1 + y} + \sqrt{y}}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 43.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \leq 4 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\frac{\left(1 + y\right) - y}{\sqrt{y} + \sqrt{1 + y}} + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 8: 91.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\\ \mathbf{if}\;t\_1 \leq 4 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x))))
   (if (<= t_1 4e-5)
     (+
      (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))
      (+
       (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 (* x (* x x)))))
       (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 x)) (sqrt (/ 1.0 y))))))
     (+ t_1 (+ (- (sqrt (+ 1.0 z)) (sqrt z)) (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	double tmp;
	if (t_1 <= 4e-5) {
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + ((-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + sqrt((1.0 / y)))));
	} else {
		tmp = t_1 + ((sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)
    if (t_1 <= 4d-5) then
        tmp = (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) + (((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / (x * (x * x))))) + (0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / x)) + sqrt((1.0d0 / y)))))
    else
        tmp = t_1 + ((sqrt((1.0d0 + z)) - sqrt(z)) + (sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x);
	double tmp;
	if (t_1 <= 4e-5) {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) + ((-0.125 * Math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (Math.sqrt((1.0 / x)) + Math.sqrt((1.0 / y)))));
	} else {
		tmp = t_1 + ((Math.sqrt((1.0 + z)) - Math.sqrt(z)) + (Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)
	tmp = 0
	if t_1 <= 4e-5:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) + ((-0.125 * math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (math.sqrt((1.0 / x)) + math.sqrt((1.0 / y)))))
	else:
		tmp = t_1 + ((math.sqrt((1.0 + z)) - math.sqrt(z)) + (math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x))
	tmp = 0.0
	if (t_1 <= 4e-5)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) + Float64(Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / Float64(x * Float64(x * x))))) + Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / x)) + sqrt(Float64(1.0 / y))))));
	else
		tmp = Float64(t_1 + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) - sqrt(z)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	tmp = 0.0;
	if (t_1 <= 4e-5)
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + ((-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + sqrt((1.0 / y)))));
	else
		tmp = t_1 + ((sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$1, 4e-5], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$1 + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) < 4.00000000000000033e-5

   1. Initial program 83.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 43.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 43.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 22.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 22.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   9. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{3}}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left({x}^{3}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       8. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 27.6%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 27.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 4.00000000000000033e-5 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x))

   1. Initial program 96.7%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 66.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 58.7%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 58.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 43.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \leq 4 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 9: 90.5% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \leq 0.005:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(1 - \sqrt{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) 0.005)
   (+
    (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))
    (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 x)) (sqrt (/ 1.0 y)))))
   (+
    (+ (- (sqrt (+ 1.0 z)) (sqrt z)) (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y)))
    (- 1.0 (sqrt x)))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if ((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) <= 0.005) {
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + sqrt((1.0 / y))));
	} else {
		tmp = ((sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y))) + (1.0 - sqrt(x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if ((sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) <= 0.005d0) then
        tmp = (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) + (0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / x)) + sqrt((1.0d0 / y))))
    else
        tmp = ((sqrt((1.0d0 + z)) - sqrt(z)) + (sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y))) + (1.0d0 - sqrt(x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if ((Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) <= 0.005) {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) + (0.5 * (Math.sqrt((1.0 / x)) + Math.sqrt((1.0 / y))));
	} else {
		tmp = ((Math.sqrt((1.0 + z)) - Math.sqrt(z)) + (Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y))) + (1.0 - Math.sqrt(x));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if (math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) <= 0.005:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) + (0.5 * (math.sqrt((1.0 / x)) + math.sqrt((1.0 / y))))
	else:
		tmp = ((math.sqrt((1.0 + z)) - math.sqrt(z)) + (math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y))) + (1.0 - math.sqrt(x))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) <= 0.005)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) + Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / x)) + sqrt(Float64(1.0 / y)))));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) - sqrt(z)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y))) + Float64(1.0 - sqrt(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if ((sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) <= 0.005)
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + sqrt((1.0 / y))));
	else
		tmp = ((sqrt((1.0 + z)) - sqrt(z)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y))) + (1.0 - sqrt(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.005], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x)) < 0.0050000000000000001

   1. Initial program 83.6%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 43.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 43.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 22.5%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 22.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   9. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       5. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       7. /-lowering-/.f64 27.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 27.1%

       \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 0.0050000000000000001 < (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (sqrt.f64 x))

   1. Initial program 97.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 67.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 59.1%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 59.1%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 56.5%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 56.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 - \sqrt{x}\right)} + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 41.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \leq 0.005:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(1 - \sqrt{x}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 91.8% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + y}\\ t_2 := \sqrt{1 + z}\\ \mathbf{if}\;t \leq 1.56 \cdot 10^{+43}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\left(1 + t\_1\right) + t\_2\right) - \sqrt{z}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}} + \left(\left(t\_2 - \sqrt{z}\right) + \left(t\_1 - \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 y))) (t_2 (sqrt (+ 1.0 z))))
   (if (<= t 1.56e+43)
     (+ (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t)) (- (+ (+ 1.0 t_1) t_2) (sqrt z)))
     (+
      (/ (- (+ x 1.0) x) (+ (sqrt x) (sqrt (+ x 1.0))))
      (+ (- t_2 (sqrt z)) (- t_1 (sqrt y)))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + y));
	double t_2 = sqrt((1.0 + z));
	double tmp;
	if (t <= 1.56e+43) {
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (((1.0 + t_1) + t_2) - sqrt(z));
	} else {
		tmp = (((x + 1.0) - x) / (sqrt(x) + sqrt((x + 1.0)))) + ((t_2 - sqrt(z)) + (t_1 - sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + y))
    t_2 = sqrt((1.0d0 + z))
    if (t <= 1.56d+43) then
        tmp = (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) + (((1.0d0 + t_1) + t_2) - sqrt(z))
    else
        tmp = (((x + 1.0d0) - x) / (sqrt(x) + sqrt((x + 1.0d0)))) + ((t_2 - sqrt(z)) + (t_1 - sqrt(y)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + z));
	double tmp;
	if (t <= 1.56e+43) {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) + (((1.0 + t_1) + t_2) - Math.sqrt(z));
	} else {
		tmp = (((x + 1.0) - x) / (Math.sqrt(x) + Math.sqrt((x + 1.0)))) + ((t_2 - Math.sqrt(z)) + (t_1 - Math.sqrt(y)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + y))
	t_2 = math.sqrt((1.0 + z))
	tmp = 0
	if t <= 1.56e+43:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) + (((1.0 + t_1) + t_2) - math.sqrt(z))
	else:
		tmp = (((x + 1.0) - x) / (math.sqrt(x) + math.sqrt((x + 1.0)))) + ((t_2 - math.sqrt(z)) + (t_1 - math.sqrt(y)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	t_2 = sqrt(Float64(1.0 + z))
	tmp = 0.0
	if (t <= 1.56e+43)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) + Float64(Float64(Float64(1.0 + t_1) + t_2) - sqrt(z)));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(x + 1.0) - x) / Float64(sqrt(x) + sqrt(Float64(x + 1.0)))) + Float64(Float64(t_2 - sqrt(z)) + Float64(t_1 - sqrt(y))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + y));
	t_2 = sqrt((1.0 + z));
	tmp = 0.0;
	if (t <= 1.56e+43)
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (((1.0 + t_1) + t_2) - sqrt(z));
	else
		tmp = (((x + 1.0) - x) / (sqrt(x) + sqrt((x + 1.0)))) + ((t_2 - sqrt(z)) + (t_1 - sqrt(y)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t, 1.56e+43], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision] + t$95$2), $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(x + 1.0), $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision] / N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$2 - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(t$95$1 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if t < 1.55999999999999988e43

   1. Initial program 94.4%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{z} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 26.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 26.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 26.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 26.3%

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 1.55999999999999988e43 < t

   1. Initial program 84.9%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 65.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 84.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 84.9%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)}\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      3. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x + 1\right) - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      4. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\left(x + 1\right) - x\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(x + 1\right), x\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), x\right), \left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 85.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 85.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}} + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 51.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq 1.56 \cdot 10^{+43}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \sqrt{z}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}} + \left(\left(\sqrt{1 + z} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 11: 91.7% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 23000:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= x 23000.0)
   (+
    (sqrt (+ x 1.0))
    (-
     (+ (sqrt (+ 1.0 y)) (/ 1.0 (+ (sqrt z) (sqrt (+ 1.0 z)))))
     (+ (sqrt x) (sqrt y))))
   (+
    (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))
    (+
     (* -0.125 (sqrt (/ 1.0 (* x (* x x)))))
     (* 0.5 (+ (sqrt (/ 1.0 x)) (sqrt (/ 1.0 y))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (x <= 23000.0) {
		tmp = sqrt((x + 1.0)) + ((sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + ((-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + sqrt((1.0 / y)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (x <= 23000.0d0) then
        tmp = sqrt((x + 1.0d0)) + ((sqrt((1.0d0 + y)) + (1.0d0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0d0 + z))))) - (sqrt(x) + sqrt(y)))
    else
        tmp = (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) + (((-0.125d0) * sqrt((1.0d0 / (x * (x * x))))) + (0.5d0 * (sqrt((1.0d0 / x)) + sqrt((1.0d0 / y)))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (x <= 23000.0) {
		tmp = Math.sqrt((x + 1.0)) + ((Math.sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (Math.sqrt(z) + Math.sqrt((1.0 + z))))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) + ((-0.125 * Math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (Math.sqrt((1.0 / x)) + Math.sqrt((1.0 / y)))));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if x <= 23000.0:
		tmp = math.sqrt((x + 1.0)) + ((math.sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (math.sqrt(z) + math.sqrt((1.0 + z))))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y)))
	else:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) + ((-0.125 * math.sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (math.sqrt((1.0 / x)) + math.sqrt((1.0 / y)))))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (x <= 23000.0)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(z) + sqrt(Float64(1.0 + z))))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y))));
	else
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) + Float64(Float64(-0.125 * sqrt(Float64(1.0 / Float64(x * Float64(x * x))))) + Float64(0.5 * Float64(sqrt(Float64(1.0 / x)) + sqrt(Float64(1.0 / y))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 23000.0)
		tmp = sqrt((x + 1.0)) + ((sqrt((1.0 + y)) + (1.0 / (sqrt(z) + sqrt((1.0 + z))))) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	else
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + ((-0.125 * sqrt((1.0 / (x * (x * x))))) + (0.5 * (sqrt((1.0 / x)) + sqrt((1.0 / y)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[x, 23000.0], N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[z], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.125 * N[Sqrt[N[(1.0 / N[(x * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 23000

   1. Initial program 97.0%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}}{\color{blue}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}}\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{t + 1} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{t + 1} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t} \cdot \sqrt{1 + t} - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + t\right) - \sqrt{t} \cdot \sqrt{t}\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + t\right) - t\right), \left(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + t\right), t\right), \left(\color{blue}{\sqrt{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t + 1}} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{1 + t} + \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

      10. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \left(\sqrt{t} + \color{blue}{\sqrt{1 + t}}\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t}\right)}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 + t}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 97.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(z, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 97.7%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + t\right) - t}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \color{blue}{t}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{z + 1} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), \color{blue}{t}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} \cdot \sqrt{z + 1} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} \cdot \sqrt{1 + z} - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + z\right) - \sqrt{z} \cdot \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. rem-square-sqrt N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\left(1 + z\right) - z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \left(\sqrt{1 + z} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. pow1/2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left({\left(1 + z\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left(1 + z\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 97.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(y, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right), t\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(t\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 97.9%

      \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 + z\right) - z}{{\left(1 + z\right)}^{0.5} + \sqrt{z}}}\right) + \frac{\left(1 + t\right) - t}{\sqrt{t} + \sqrt{1 + t}} \]

   7. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{1 + y}} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{z}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. sqrt-lowering-sqrt.f64 50.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(z\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 50.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   if 23000 < x

   1. Initial program 83.6%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 43.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 43.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 22.5%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 22.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   9. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{-1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       2. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \left(\sqrt{\frac{1}{{x}^{3}}}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{3}}\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       4. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left({x}^{3}\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       5. cube-mult N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{x}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       8. distribute-lft-out N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 27.3%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{8}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 27.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 38.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 23000:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} + \left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{\sqrt{z} + \sqrt{1 + z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(-0.125 \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}} + 0.5 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 90.8% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + y}\\ \mathbf{if}\;z \leq 9.8 \cdot 10^{+26}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\left(1 + t\_1\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \sqrt{z}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} + \left(t\_1 - \sqrt{y}\right)\right) - \sqrt{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 y))))
   (if (<= z 9.8e+26)
     (+
      (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))
      (- (+ (+ 1.0 t_1) (sqrt (+ 1.0 z))) (sqrt z)))
     (- (+ (sqrt (+ x 1.0)) (- t_1 (sqrt y))) (sqrt x)))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + y));
	double tmp;
	if (z <= 9.8e+26) {
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (((1.0 + t_1) + sqrt((1.0 + z))) - sqrt(z));
	} else {
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) + (t_1 - sqrt(y))) - sqrt(x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + y))
    if (z <= 9.8d+26) then
        tmp = (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) + (((1.0d0 + t_1) + sqrt((1.0d0 + z))) - sqrt(z))
    else
        tmp = (sqrt((x + 1.0d0)) + (t_1 - sqrt(y))) - sqrt(x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double tmp;
	if (z <= 9.8e+26) {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) + (((1.0 + t_1) + Math.sqrt((1.0 + z))) - Math.sqrt(z));
	} else {
		tmp = (Math.sqrt((x + 1.0)) + (t_1 - Math.sqrt(y))) - Math.sqrt(x);
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + y))
	tmp = 0
	if z <= 9.8e+26:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) + (((1.0 + t_1) + math.sqrt((1.0 + z))) - math.sqrt(z))
	else:
		tmp = (math.sqrt((x + 1.0)) + (t_1 - math.sqrt(y))) - math.sqrt(x)
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	tmp = 0.0
	if (z <= 9.8e+26)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) + Float64(Float64(Float64(1.0 + t_1) + sqrt(Float64(1.0 + z))) - sqrt(z)));
	else
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) + Float64(t_1 - sqrt(y))) - sqrt(x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + y));
	tmp = 0.0;
	if (z <= 9.8e+26)
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (((1.0 + t_1) + sqrt((1.0 + z))) - sqrt(z));
	else
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) + (t_1 - sqrt(y))) - sqrt(x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, 9.8e+26], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision] + N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(t$95$1 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < 9.79999999999999947e26

   1. Initial program 93.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{z} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 30.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 30.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. sqrt-lowering-sqrt.f64 32.4%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 32.4%

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 9.79999999999999947e26 < z

   1. Initial program 86.4%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 64.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{y} + \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 21.1%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 21.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \sqrt{y}\right) - \color{blue}{\sqrt{x}} \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{1 + y}\right) - \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      5. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      10. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y}}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      12. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 34.2%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 34.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) - \sqrt{x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 33.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 9.8 \cdot 10^{+26}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \sqrt{z}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) - \sqrt{x}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 91.7% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + y}\\ \mathbf{if}\;z \leq 0.82:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\left(t\_1 + 2\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(-0.125 + z \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{z}\right)\\ \mathbf{elif}\;z \leq 4 \cdot 10^{+30}:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + t\_1\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} + \left(t\_1 - \sqrt{y}\right)\right) - \sqrt{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 y))))
   (if (<= z 0.82)
     (+
      (- (sqrt (+ 1.0 t)) (sqrt t))
      (- (+ (+ t_1 2.0) (* z (+ 0.5 (* z (+ -0.125 (* z 0.0625)))))) (sqrt z)))
     (if (<= z 4e+30)
       (+ 1.0 (- (+ (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 z))) t_1) (+ (sqrt x) (sqrt y))))
       (- (+ (sqrt (+ x 1.0)) (- t_1 (sqrt y))) (sqrt x))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + y));
	double tmp;
	if (z <= 0.82) {
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (((t_1 + 2.0) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) - sqrt(z));
	} else if (z <= 4e+30) {
		tmp = 1.0 + (((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + t_1) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) + (t_1 - sqrt(y))) - sqrt(x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + y))
    if (z <= 0.82d0) then
        tmp = (sqrt((1.0d0 + t)) - sqrt(t)) + (((t_1 + 2.0d0) + (z * (0.5d0 + (z * ((-0.125d0) + (z * 0.0625d0)))))) - sqrt(z))
    else if (z <= 4d+30) then
        tmp = 1.0d0 + (((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / z))) + t_1) - (sqrt(x) + sqrt(y)))
    else
        tmp = (sqrt((x + 1.0d0)) + (t_1 - sqrt(y))) - sqrt(x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double tmp;
	if (z <= 0.82) {
		tmp = (Math.sqrt((1.0 + t)) - Math.sqrt(t)) + (((t_1 + 2.0) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) - Math.sqrt(z));
	} else if (z <= 4e+30) {
		tmp = 1.0 + (((0.5 * Math.sqrt((1.0 / z))) + t_1) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y)));
	} else {
		tmp = (Math.sqrt((x + 1.0)) + (t_1 - Math.sqrt(y))) - Math.sqrt(x);
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + y))
	tmp = 0
	if z <= 0.82:
		tmp = (math.sqrt((1.0 + t)) - math.sqrt(t)) + (((t_1 + 2.0) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) - math.sqrt(z))
	elif z <= 4e+30:
		tmp = 1.0 + (((0.5 * math.sqrt((1.0 / z))) + t_1) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y)))
	else:
		tmp = (math.sqrt((x + 1.0)) + (t_1 - math.sqrt(y))) - math.sqrt(x)
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	tmp = 0.0
	if (z <= 0.82)
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + t)) - sqrt(t)) + Float64(Float64(Float64(t_1 + 2.0) + Float64(z * Float64(0.5 + Float64(z * Float64(-0.125 + Float64(z * 0.0625)))))) - sqrt(z)));
	elseif (z <= 4e+30)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / z))) + t_1) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y))));
	else
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) + Float64(t_1 - sqrt(y))) - sqrt(x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + y));
	tmp = 0.0;
	if (z <= 0.82)
		tmp = (sqrt((1.0 + t)) - sqrt(t)) + (((t_1 + 2.0) + (z * (0.5 + (z * (-0.125 + (z * 0.0625)))))) - sqrt(z));
	elseif (z <= 4e+30)
		tmp = 1.0 + (((0.5 * sqrt((1.0 / z))) + t_1) - (sqrt(x) + sqrt(y)));
	else
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) + (t_1 - sqrt(y))) - sqrt(x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, 0.82], N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(t$95$1 + 2.0), $MachinePrecision] + N[(z * N[(0.5 + N[(z * N[(-0.125 + N[(z * 0.0625), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[z, 4e+30], N[(1.0 + N[(N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + t$95$1), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(t$95$1 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if z < 0.819999999999999951

   1. Initial program 96.5%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{z} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 32.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 32.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in z around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(2 + \sqrt{1 + y}\right) + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(2 + \sqrt{1 + y}\right), \left(z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + 2\right), \left(z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), 2\right), \left(z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), 2\right), \left(z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \left(z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \left(\frac{1}{16} \cdot z + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \left(\frac{1}{16} \cdot z + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot z\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f64 32.4%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, z\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 32.4%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + 2\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(0.0625 \cdot z + -0.125\right)\right)\right)} - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   9. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, z\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 34.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, z\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 34.1%

       \[\leadsto \left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + 2\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(0.0625 \cdot z + -0.125\right)\right)\right) - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   if 0.819999999999999951 < z < 4.0000000000000001e30

   1. Initial program 72.1%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{z} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 12.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 12.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right), \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right), \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{1}{z} \cdot \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 9.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 9.3%

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \color{blue}{z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \frac{1}{z} \cdot \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)\right)}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   9. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \color{blue}{\left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)}\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\color{blue}{z} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)}\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)}\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z}} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       11. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       12. distribute-rgt-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{1}{z} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 4.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \frac{1}{z} \cdot \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   12. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       9. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{\color{blue}{y}}\right)\right)\right)\right) \]

       12. sqrt-lowering-sqrt.f64 17.1%

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 17.1%

       \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(\left(\sqrt{1 + y} + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   if 4.0000000000000001e30 < z

   1. Initial program 86.5%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 64.6%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 64.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{y} + \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 21.3%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 21.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \sqrt{y}\right) - \color{blue}{\sqrt{x}} \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{1 + y}\right) - \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      5. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      10. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y}}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      12. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 33.9%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 33.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) - \sqrt{x}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 32.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 0.82:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right) + \left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + 2\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(-0.125 + z \cdot 0.0625\right)\right)\right) - \sqrt{z}\right)\\ \mathbf{elif}\;z \leq 4 \cdot 10^{+30}:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) - \sqrt{x}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 86.0% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 1.5 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;2 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + y \cdot 0.5\right) + z \cdot \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right) \cdot \frac{-1}{z} - \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) - \sqrt{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= z 1.5e+17)
   (+
    2.0
    (+
     (+ (sqrt (+ 1.0 z)) (* y 0.5))
     (* z (- (* (+ (sqrt x) (sqrt y)) (/ -1.0 z)) (sqrt (/ 1.0 z))))))
   (- (+ (sqrt (+ x 1.0)) (- (sqrt (+ 1.0 y)) (sqrt y))) (sqrt x))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (z <= 1.5e+17) {
		tmp = 2.0 + ((sqrt((1.0 + z)) + (y * 0.5)) + (z * (((sqrt(x) + sqrt(y)) * (-1.0 / z)) - sqrt((1.0 / z)))));
	} else {
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y))) - sqrt(x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (z <= 1.5d+17) then
        tmp = 2.0d0 + ((sqrt((1.0d0 + z)) + (y * 0.5d0)) + (z * (((sqrt(x) + sqrt(y)) * ((-1.0d0) / z)) - sqrt((1.0d0 / z)))))
    else
        tmp = (sqrt((x + 1.0d0)) + (sqrt((1.0d0 + y)) - sqrt(y))) - sqrt(x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (z <= 1.5e+17) {
		tmp = 2.0 + ((Math.sqrt((1.0 + z)) + (y * 0.5)) + (z * (((Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y)) * (-1.0 / z)) - Math.sqrt((1.0 / z)))));
	} else {
		tmp = (Math.sqrt((x + 1.0)) + (Math.sqrt((1.0 + y)) - Math.sqrt(y))) - Math.sqrt(x);
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if z <= 1.5e+17:
		tmp = 2.0 + ((math.sqrt((1.0 + z)) + (y * 0.5)) + (z * (((math.sqrt(x) + math.sqrt(y)) * (-1.0 / z)) - math.sqrt((1.0 / z)))))
	else:
		tmp = (math.sqrt((x + 1.0)) + (math.sqrt((1.0 + y)) - math.sqrt(y))) - math.sqrt(x)
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (z <= 1.5e+17)
		tmp = Float64(2.0 + Float64(Float64(sqrt(Float64(1.0 + z)) + Float64(y * 0.5)) + Float64(z * Float64(Float64(Float64(sqrt(x) + sqrt(y)) * Float64(-1.0 / z)) - sqrt(Float64(1.0 / z))))));
	else
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) + Float64(sqrt(Float64(1.0 + y)) - sqrt(y))) - sqrt(x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (z <= 1.5e+17)
		tmp = 2.0 + ((sqrt((1.0 + z)) + (y * 0.5)) + (z * (((sqrt(x) + sqrt(y)) * (-1.0 / z)) - sqrt((1.0 / z)))));
	else
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) + (sqrt((1.0 + y)) - sqrt(y))) - sqrt(x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[z, 1.5e+17], N[(2.0 + N[(N[(N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(y * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(z * N[(N[(N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 / z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < 1.5e17

   1. Initial program 94.5%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{z} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 30.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 30.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right), \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right), \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{1}{z} \cdot \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 29.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 29.8%

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \color{blue}{z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \frac{1}{z} \cdot \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)\right)}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   9. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \color{blue}{\left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)}\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\color{blue}{z} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)}\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)}\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z}} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       11. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       12. distribute-rgt-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{1}{z} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 19.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \frac{1}{z} \cdot \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   12. Taylor expanded in y around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{2} \cdot y\right)\right) - z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto 2 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{2} \cdot y\right) - z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{2} \cdot y\right) - z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)}\right) \]

       3. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z} + \frac{1}{2} \cdot y\right), \color{blue}{\left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + z}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot y\right)\right), \left(\color{blue}{z} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot y\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot y\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \left(y \cdot \frac{1}{2}\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{1}{2}\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       10. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z}} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       12. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       13. distribute-rgt-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(2, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(y, \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{1}{z} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 20.1%

       \[\leadsto \color{blue}{2 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + y \cdot 0.5\right) - z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \frac{1}{z} \cdot \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)} \]

   if 1.5e17 < z

   1. Initial program 85.9%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 63.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 63.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{y} + \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 20.4%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 20.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \sqrt{y}\right) - \color{blue}{\sqrt{x}} \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{1 + y}\right) - \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      5. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      10. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y}}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      12. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 33.2%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 33.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) - \sqrt{x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 26.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 1.5 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;2 + \left(\left(\sqrt{1 + z} + y \cdot 0.5\right) + z \cdot \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right) \cdot \frac{-1}{z} - \sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) - \sqrt{x}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 15: 86.2% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + y}\\ \mathbf{if}\;z \leq 1.5 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(t\_1 + \sqrt{1 + z}\right)\right) - z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \frac{\sqrt{y}}{z}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} + \left(t\_1 - \sqrt{y}\right)\right) - \sqrt{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 y))))
   (if (<= z 1.5e+17)
     (-
      (+ 1.0 (+ t_1 (sqrt (+ 1.0 z))))
      (* z (+ (sqrt (/ 1.0 z)) (/ (sqrt y) z))))
     (- (+ (sqrt (+ x 1.0)) (- t_1 (sqrt y))) (sqrt x)))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + y));
	double tmp;
	if (z <= 1.5e+17) {
		tmp = (1.0 + (t_1 + sqrt((1.0 + z)))) - (z * (sqrt((1.0 / z)) + (sqrt(y) / z)));
	} else {
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) + (t_1 - sqrt(y))) - sqrt(x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + y))
    if (z <= 1.5d+17) then
        tmp = (1.0d0 + (t_1 + sqrt((1.0d0 + z)))) - (z * (sqrt((1.0d0 / z)) + (sqrt(y) / z)))
    else
        tmp = (sqrt((x + 1.0d0)) + (t_1 - sqrt(y))) - sqrt(x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double tmp;
	if (z <= 1.5e+17) {
		tmp = (1.0 + (t_1 + Math.sqrt((1.0 + z)))) - (z * (Math.sqrt((1.0 / z)) + (Math.sqrt(y) / z)));
	} else {
		tmp = (Math.sqrt((x + 1.0)) + (t_1 - Math.sqrt(y))) - Math.sqrt(x);
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + y))
	tmp = 0
	if z <= 1.5e+17:
		tmp = (1.0 + (t_1 + math.sqrt((1.0 + z)))) - (z * (math.sqrt((1.0 / z)) + (math.sqrt(y) / z)))
	else:
		tmp = (math.sqrt((x + 1.0)) + (t_1 - math.sqrt(y))) - math.sqrt(x)
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	tmp = 0.0
	if (z <= 1.5e+17)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(t_1 + sqrt(Float64(1.0 + z)))) - Float64(z * Float64(sqrt(Float64(1.0 / z)) + Float64(sqrt(y) / z))));
	else
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) + Float64(t_1 - sqrt(y))) - sqrt(x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + y));
	tmp = 0.0;
	if (z <= 1.5e+17)
		tmp = (1.0 + (t_1 + sqrt((1.0 + z)))) - (z * (sqrt((1.0 / z)) + (sqrt(y) / z)));
	else
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) + (t_1 - sqrt(y))) - sqrt(x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, 1.5e+17], N[(N[(1.0 + N[(t$95$1 + N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(z * N[(N[Sqrt[N[(1.0 / z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[y], $MachinePrecision] / z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(t$95$1 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < 1.5e17

   1. Initial program 94.5%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{z} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 30.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 30.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right), \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right), \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{1}{z} \cdot \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 29.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 29.8%

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \color{blue}{z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \frac{1}{z} \cdot \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)\right)}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   9. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \color{blue}{\left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)}\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\color{blue}{z} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)}\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)}\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z}} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       11. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       12. distribute-rgt-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{1}{z} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 19.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \frac{1}{z} \cdot \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   12. Taylor expanded in y around inf

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)}\right)\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{\sqrt{y} \cdot 1}{\color{blue}{z}}\right)\right)\right)\right) \]

       2. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{\sqrt{y}}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 33.6%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), z\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 33.6%

       \[\leadsto \left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \color{blue}{\frac{\sqrt{y}}{z}}\right) \]

   if 1.5e17 < z

   1. Initial program 85.9%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 63.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 63.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{y} + \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 20.4%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 20.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \sqrt{y}\right) - \color{blue}{\sqrt{x}} \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{1 + y}\right) - \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      5. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      10. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y}}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      12. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 33.2%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 33.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) - \sqrt{x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 16: 70.0% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{x + 1}\\ t_2 := \sqrt{1 + y}\\ \mathbf{if}\;z \leq 2.75 \cdot 10^{+23}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(t\_2 + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \sqrt{z}\\ \mathbf{elif}\;z \leq 1.9 \cdot 10^{+167}:\\ \;\;\;\;\left(t\_2 + t\_1\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(t\_1 - \sqrt{x}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ x 1.0))) (t_2 (sqrt (+ 1.0 y))))
   (if (<= z 2.75e+23)
     (- (+ 1.0 (+ t_2 (sqrt (+ 1.0 z)))) (sqrt z))
     (if (<= z 1.9e+167)
       (- (+ t_2 t_1) (+ (sqrt x) (sqrt y)))
       (+ (- t_1 (sqrt x)) (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((x + 1.0));
	double t_2 = sqrt((1.0 + y));
	double tmp;
	if (z <= 2.75e+23) {
		tmp = (1.0 + (t_2 + sqrt((1.0 + z)))) - sqrt(z);
	} else if (z <= 1.9e+167) {
		tmp = (t_2 + t_1) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	} else {
		tmp = (t_1 - sqrt(x)) + (0.5 * sqrt((1.0 / y)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((x + 1.0d0))
    t_2 = sqrt((1.0d0 + y))
    if (z <= 2.75d+23) then
        tmp = (1.0d0 + (t_2 + sqrt((1.0d0 + z)))) - sqrt(z)
    else if (z <= 1.9d+167) then
        tmp = (t_2 + t_1) - (sqrt(x) + sqrt(y))
    else
        tmp = (t_1 - sqrt(x)) + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((x + 1.0));
	double t_2 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double tmp;
	if (z <= 2.75e+23) {
		tmp = (1.0 + (t_2 + Math.sqrt((1.0 + z)))) - Math.sqrt(z);
	} else if (z <= 1.9e+167) {
		tmp = (t_2 + t_1) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y));
	} else {
		tmp = (t_1 - Math.sqrt(x)) + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / y)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((x + 1.0))
	t_2 = math.sqrt((1.0 + y))
	tmp = 0
	if z <= 2.75e+23:
		tmp = (1.0 + (t_2 + math.sqrt((1.0 + z)))) - math.sqrt(z)
	elif z <= 1.9e+167:
		tmp = (t_2 + t_1) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y))
	else:
		tmp = (t_1 - math.sqrt(x)) + (0.5 * math.sqrt((1.0 / y)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(x + 1.0))
	t_2 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	tmp = 0.0
	if (z <= 2.75e+23)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(t_2 + sqrt(Float64(1.0 + z)))) - sqrt(z));
	elseif (z <= 1.9e+167)
		tmp = Float64(Float64(t_2 + t_1) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y)));
	else
		tmp = Float64(Float64(t_1 - sqrt(x)) + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((x + 1.0));
	t_2 = sqrt((1.0 + y));
	tmp = 0.0;
	if (z <= 2.75e+23)
		tmp = (1.0 + (t_2 + sqrt((1.0 + z)))) - sqrt(z);
	elseif (z <= 1.9e+167)
		tmp = (t_2 + t_1) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	else
		tmp = (t_1 - sqrt(x)) + (0.5 * sqrt((1.0 / y)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, 2.75e+23], N[(N[(1.0 + N[(t$95$2 + N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[z, 1.9e+167], N[(N[(t$95$2 + t$95$1), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(t$95$1 - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if z < 2.75000000000000002e23

   1. Initial program 93.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{z} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 30.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 30.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right), \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right), \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{1}{z} \cdot \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 29.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 29.1%

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \color{blue}{z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \frac{1}{z} \cdot \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)\right)}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   9. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \color{blue}{\left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)}\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\color{blue}{z} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)}\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)}\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z}} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       11. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       12. distribute-rgt-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{1}{z} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 18.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \frac{1}{z} \cdot \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   12. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 31.3%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right) \]

   14. Simplified 31.3%

       \[\leadsto \left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \color{blue}{\sqrt{z}} \]

   if 2.75000000000000002e23 < z < 1.89999999999999997e167

   1. Initial program 88.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 58.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 58.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{y} + \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 12.6%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 12.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)} \]

   if 1.89999999999999997e167 < z

   1. Initial program 84.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 39.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + t} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \sqrt{1 + t}\right) - \sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + t}} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 85.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 85.2%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 42.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 42.2%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in y around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)}\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 20.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 20.1%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 24.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 2.75 \cdot 10^{+23}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \sqrt{z}\\ \mathbf{elif}\;z \leq 1.9 \cdot 10^{+167}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{x + 1}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 17: 85.4% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + y}\\ \mathbf{if}\;z \leq 9.8 \cdot 10^{+26}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(t\_1 + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \sqrt{z}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} + \left(t\_1 - \sqrt{y}\right)\right) - \sqrt{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 y))))
   (if (<= z 9.8e+26)
     (- (+ 1.0 (+ t_1 (sqrt (+ 1.0 z)))) (sqrt z))
     (- (+ (sqrt (+ x 1.0)) (- t_1 (sqrt y))) (sqrt x)))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + y));
	double tmp;
	if (z <= 9.8e+26) {
		tmp = (1.0 + (t_1 + sqrt((1.0 + z)))) - sqrt(z);
	} else {
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) + (t_1 - sqrt(y))) - sqrt(x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + y))
    if (z <= 9.8d+26) then
        tmp = (1.0d0 + (t_1 + sqrt((1.0d0 + z)))) - sqrt(z)
    else
        tmp = (sqrt((x + 1.0d0)) + (t_1 - sqrt(y))) - sqrt(x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double tmp;
	if (z <= 9.8e+26) {
		tmp = (1.0 + (t_1 + Math.sqrt((1.0 + z)))) - Math.sqrt(z);
	} else {
		tmp = (Math.sqrt((x + 1.0)) + (t_1 - Math.sqrt(y))) - Math.sqrt(x);
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + y))
	tmp = 0
	if z <= 9.8e+26:
		tmp = (1.0 + (t_1 + math.sqrt((1.0 + z)))) - math.sqrt(z)
	else:
		tmp = (math.sqrt((x + 1.0)) + (t_1 - math.sqrt(y))) - math.sqrt(x)
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	tmp = 0.0
	if (z <= 9.8e+26)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(t_1 + sqrt(Float64(1.0 + z)))) - sqrt(z));
	else
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) + Float64(t_1 - sqrt(y))) - sqrt(x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + y));
	tmp = 0.0;
	if (z <= 9.8e+26)
		tmp = (1.0 + (t_1 + sqrt((1.0 + z)))) - sqrt(z);
	else
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) + (t_1 - sqrt(y))) - sqrt(x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, 9.8e+26], N[(N[(1.0 + N[(t$95$1 + N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(t$95$1 - N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < 9.79999999999999947e26

   1. Initial program 93.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{z} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 30.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 30.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right), \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right), \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{1}{z} \cdot \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 28.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 28.9%

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \color{blue}{z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \frac{1}{z} \cdot \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)\right)}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   9. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \color{blue}{\left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)}\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\color{blue}{z} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)}\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)}\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z}} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       11. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       12. distribute-rgt-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{1}{z} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 18.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \frac{1}{z} \cdot \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   12. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 31.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right) \]

   14. Simplified 31.7%

       \[\leadsto \left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \color{blue}{\sqrt{z}} \]

   if 9.79999999999999947e26 < z

   1. Initial program 86.4%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 64.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 64.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{y} + \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 21.1%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 21.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \sqrt{y}\right) - \color{blue}{\sqrt{x}} \]

      2. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} + \sqrt{1 + y}\right) - \sqrt{y}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      5. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      10. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y}}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} \cdot \sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      12. rem-square-sqrt N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      13. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 34.2%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right) \]

   10. Applied egg-rr 34.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} + \left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right)\right) - \sqrt{x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.
4. Add Preprocessing

Alternative 18: 69.9% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} t_1 := \sqrt{1 + y}\\ \mathbf{if}\;z \leq 4.6 \cdot 10^{+22}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(t\_1 + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \sqrt{z}\\ \mathbf{elif}\;z \leq 1.9 \cdot 10^{+167}:\\ \;\;\;\;\left(1 + t\_1\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (sqrt (+ 1.0 y))))
   (if (<= z 4.6e+22)
     (- (+ 1.0 (+ t_1 (sqrt (+ 1.0 z)))) (sqrt z))
     (if (<= z 1.9e+167)
       (- (+ 1.0 t_1) (+ (sqrt x) (sqrt y)))
       (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y))))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = sqrt((1.0 + y));
	double tmp;
	if (z <= 4.6e+22) {
		tmp = (1.0 + (t_1 + sqrt((1.0 + z)))) - sqrt(z);
	} else if (z <= 1.9e+167) {
		tmp = (1.0 + t_1) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	} else {
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (0.5 * sqrt((1.0 / y)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_1 = sqrt((1.0d0 + y))
    if (z <= 4.6d+22) then
        tmp = (1.0d0 + (t_1 + sqrt((1.0d0 + z)))) - sqrt(z)
    else if (z <= 1.9d+167) then
        tmp = (1.0d0 + t_1) - (sqrt(x) + sqrt(y))
    else
        tmp = (sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double t_1 = Math.sqrt((1.0 + y));
	double tmp;
	if (z <= 4.6e+22) {
		tmp = (1.0 + (t_1 + Math.sqrt((1.0 + z)))) - Math.sqrt(z);
	} else if (z <= 1.9e+167) {
		tmp = (1.0 + t_1) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y));
	} else {
		tmp = (Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / y)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	t_1 = math.sqrt((1.0 + y))
	tmp = 0
	if z <= 4.6e+22:
		tmp = (1.0 + (t_1 + math.sqrt((1.0 + z)))) - math.sqrt(z)
	elif z <= 1.9e+167:
		tmp = (1.0 + t_1) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y))
	else:
		tmp = (math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + (0.5 * math.sqrt((1.0 / y)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt(Float64(1.0 + y))
	tmp = 0.0
	if (z <= 4.6e+22)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(t_1 + sqrt(Float64(1.0 + z)))) - sqrt(z));
	elseif (z <= 1.9e+167)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + t_1) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y)));
	else
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	t_1 = sqrt((1.0 + y));
	tmp = 0.0;
	if (z <= 4.6e+22)
		tmp = (1.0 + (t_1 + sqrt((1.0 + z)))) - sqrt(z);
	elseif (z <= 1.9e+167)
		tmp = (1.0 + t_1) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	else
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (0.5 * sqrt((1.0 / y)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := Block[{t$95$1 = N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, 4.6e+22], N[(N[(1.0 + N[(t$95$1 + N[Sqrt[N[(1.0 + z), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[z, 1.9e+167], N[(N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if z < 4.6000000000000004e22

   1. Initial program 93.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{z} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. associate-+r+ N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      15. sqrt-lowering-sqrt.f64 30.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 30.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \color{blue}{\left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right), \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right), \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{1}{z} \cdot \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 29.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 29.1%

      \[\leadsto \left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \color{blue}{z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \frac{1}{z} \cdot \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)\right)}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   9. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \color{blue}{\left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)}\right) \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\color{blue}{z} \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       7. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \left(z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       8. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)}\right)\right) \]

       9. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)}\right)\right)\right) \]

       10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \frac{1}{z}} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       11. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{z} + \sqrt{y} \cdot \frac{1}{z}\right)\right)\right)\right) \]

       12. distribute-rgt-out N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \left(\frac{1}{z} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       13. *-lowering-*.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       14. /-lowering-/.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right)\right)\right)\right) \]

       15. +-lowering-+.f64 N/A

           \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{y}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 18.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - z \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{z}} + \frac{1}{z} \cdot \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)} \]

   12. Taylor expanded in z around inf

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{z}\right)}\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. sqrt-lowering-sqrt.f64 31.3%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right) \]

   14. Simplified 31.3%

       \[\leadsto \left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \color{blue}{\sqrt{z}} \]

   if 4.6000000000000004e22 < z < 1.89999999999999997e167

   1. Initial program 88.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 58.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 58.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{y} + \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 12.6%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 12.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \sqrt{1 + y}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 8.5%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 8.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \sqrt{1 + y}\right)} - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right) \]

   if 1.89999999999999997e167 < z

   1. Initial program 84.8%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 39.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + t} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \sqrt{1 + t}\right) - \sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + t}} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 85.2%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 85.2%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 42.2%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 42.2%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in y around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)}\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 20.1%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 20.1%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 23.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 4.6 \cdot 10^{+22}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \sqrt{z}\\ \mathbf{elif}\;z \leq 1.9 \cdot 10^{+167}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 19: 66.2% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 18000000:\\ \;\;\;\;\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= y 18000000.0)
   (- (+ 1.0 (sqrt (+ 1.0 y))) (+ (sqrt x) (sqrt y)))
   (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y))))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (y <= 18000000.0) {
		tmp = (1.0 + sqrt((1.0 + y))) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	} else {
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (0.5 * sqrt((1.0 / y)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (y <= 18000000.0d0) then
        tmp = (1.0d0 + sqrt((1.0d0 + y))) - (sqrt(x) + sqrt(y))
    else
        tmp = (sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)) + (0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (y <= 18000000.0) {
		tmp = (1.0 + Math.sqrt((1.0 + y))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y));
	} else {
		tmp = (Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x)) + (0.5 * Math.sqrt((1.0 / y)));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if y <= 18000000.0:
		tmp = (1.0 + math.sqrt((1.0 + y))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y))
	else:
		tmp = (math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)) + (0.5 * math.sqrt((1.0 / y)))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (y <= 18000000.0)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + sqrt(Float64(1.0 + y))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y)));
	else
		tmp = Float64(Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x)) + Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 18000000.0)
		tmp = (1.0 + sqrt((1.0 + y))) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	else
		tmp = (sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x)) + (0.5 * sqrt((1.0 / y)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[y, 18000000.0], N[(N[(1.0 + N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < 1.8e7

   1. Initial program 96.5%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 54.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 54.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{y} + \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 25.0%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 25.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \sqrt{1 + y}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 19.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 19.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \sqrt{1 + y}\right)} - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right) \]

   if 1.8e7 < y

   1. Initial program 84.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)} \]

      2. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)} \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right) \]

      4. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{x + 1}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)} + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(x + 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{y + 1}} - \sqrt{y}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\left(\sqrt{y + 1} - \color{blue}{\sqrt{y}}\right) + \left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)}\right)\right) \]

      9. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{y + 1}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\color{blue}{\left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(y + 1\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\color{blue}{\sqrt{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      11. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      12. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right), \left(\left(\sqrt{\color{blue}{z + 1}} - \sqrt{z}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\sqrt{z + 1} - \color{blue}{\sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 51.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \left(\sqrt{1 + z} + \left(\sqrt{1 + t} - \left(\sqrt{z} + \sqrt{t}\right)\right)\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + t} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right) - \sqrt{t}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \sqrt{1 + t}\right) - \sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{z}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{z}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{1 + t}} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + t}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{t}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      8. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + t\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{t}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \left(\sqrt{t}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 49.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 49.7%

      \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\left(\sqrt{1 + y} - \sqrt{y}\right) + \color{blue}{\left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)}\right) \]

   8. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f64 52.3%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, z\right)}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, t\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 52.3%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{z}} + \left(\sqrt{1 + t} - \sqrt{t}\right)\right)\right) \]

   11. Taylor expanded in y around 0

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right)}\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)}\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right)\right) \]

       3. /-lowering-/.f64 23.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 23.8%

       \[\leadsto \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 21.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 18000000:\\ \;\;\;\;\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 20: 65.9% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 28000000:\\ \;\;\;\;\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= y 28000000.0)
   (- (+ 1.0 (sqrt (+ 1.0 y))) (+ (sqrt x) (sqrt y)))
   (+ (sqrt (+ x 1.0)) (- (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y))) (sqrt x)))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (y <= 28000000.0) {
		tmp = (1.0 + sqrt((1.0 + y))) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	} else {
		tmp = sqrt((x + 1.0)) + ((0.5 * sqrt((1.0 / y))) - sqrt(x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (y <= 28000000.0d0) then
        tmp = (1.0d0 + sqrt((1.0d0 + y))) - (sqrt(x) + sqrt(y))
    else
        tmp = sqrt((x + 1.0d0)) + ((0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y))) - sqrt(x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (y <= 28000000.0) {
		tmp = (1.0 + Math.sqrt((1.0 + y))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y));
	} else {
		tmp = Math.sqrt((x + 1.0)) + ((0.5 * Math.sqrt((1.0 / y))) - Math.sqrt(x));
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if y <= 28000000.0:
		tmp = (1.0 + math.sqrt((1.0 + y))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y))
	else:
		tmp = math.sqrt((x + 1.0)) + ((0.5 * math.sqrt((1.0 / y))) - math.sqrt(x))
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (y <= 28000000.0)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + sqrt(Float64(1.0 + y))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y)));
	else
		tmp = Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) + Float64(Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y))) - sqrt(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 28000000.0)
		tmp = (1.0 + sqrt((1.0 + y))) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	else
		tmp = sqrt((x + 1.0)) + ((0.5 * sqrt((1.0 / y))) - sqrt(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[y, 28000000.0], N[(N[(1.0 + N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < 2.8e7

   1. Initial program 96.5%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 54.9%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 54.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{y} + \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 25.0%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 25.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \sqrt{1 + y}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 19.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 19.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \sqrt{1 + y}\right)} - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right) \]

   if 2.8e7 < y

   1. Initial program 84.3%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 24.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 24.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 48.9%

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 48.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   9. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate--l+ N/A

          \[\leadsto \sqrt{1 + x} + \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)} \]

       2. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)}\right) \]

       3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       4. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right) \]

       5. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

       7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       8. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right) \]

       9. sqrt-lowering-sqrt.f64 19.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 19.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 19.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 28000000:\\ \;\;\;\;\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 21: 65.0% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 3.8 \cdot 10^{+15}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (if (<= y 3.8e+15)
   (- (+ 1.0 (sqrt (+ 1.0 y))) (+ (sqrt x) (sqrt y)))
   (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (y <= 3.8e+15) {
		tmp = (1.0 + sqrt((1.0 + y))) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	} else {
		tmp = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    real(8) :: tmp
    if (y <= 3.8d+15) then
        tmp = (1.0d0 + sqrt((1.0d0 + y))) - (sqrt(x) + sqrt(y))
    else
        tmp = sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	double tmp;
	if (y <= 3.8e+15) {
		tmp = (1.0 + Math.sqrt((1.0 + y))) - (Math.sqrt(x) + Math.sqrt(y));
	} else {
		tmp = Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x);
	}
	return tmp;
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	tmp = 0
	if y <= 3.8e+15:
		tmp = (1.0 + math.sqrt((1.0 + y))) - (math.sqrt(x) + math.sqrt(y))
	else:
		tmp = math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)
	return tmp

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0
	if (y <= 3.8e+15)
		tmp = Float64(Float64(1.0 + sqrt(Float64(1.0 + y))) - Float64(sqrt(x) + sqrt(y)));
	else
		tmp = Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x));
	end
	return tmp
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp_2 = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 3.8e+15)
		tmp = (1.0 + sqrt((1.0 + y))) - (sqrt(x) + sqrt(y));
	else
		tmp = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := If[LessEqual[y, 3.8e+15], N[(N[(1.0 + N[Sqrt[N[(1.0 + y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < 3.8e15

   1. Initial program 95.6%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 54.0%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 54.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{y} + \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 24.5%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 24.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)} \]

   9. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(1 + \sqrt{1 + y}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 19.3%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   11. Simplified 19.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \sqrt{1 + y}\right)} - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right) \]

   if 3.8e15 < y

   1. Initial program 84.9%

      \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in z around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      2. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      6. associate--r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      7. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      10. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

      12. sqrt-lowering-sqrt.f64 24.7%

          \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 24.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

   6. Taylor expanded in t around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. --lowering--.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

      8. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{y} + \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

      10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

      11. sqrt-lowering-sqrt.f64 3.7%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 3.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)} \]

   9. Taylor expanded in y around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. --lowering--.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right) \]

       2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

       4. sqrt-lowering-sqrt.f64 20.2%

          \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right) \]

   11. Simplified 20.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 19.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 3.8 \cdot 10^{+15}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 22: 35.6% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t) :precision binary64 (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = sqrt((x + 1.0d0)) - sqrt(x)
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return Math.sqrt((x + 1.0)) - Math.sqrt(x);
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return math.sqrt((x + 1.0)) - math.sqrt(x)

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) - sqrt(x))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = sqrt((x + 1.0)) - sqrt(x);
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 90.3%

   \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in z around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   6. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   12. sqrt-lowering-sqrt.f64 39.6%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

5. Simplified 39.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

6. Taylor expanded in t around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)}\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}} + \sqrt{y}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

   6. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\sqrt{y} + \color{blue}{\sqrt{x}}\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{y}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right)\right) \]

   10. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right)\right) \]

   11. sqrt-lowering-sqrt.f64 14.2%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(y\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right) \]

8. Simplified 14.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{y} + \sqrt{x}\right)} \]

9. Taylor expanded in y around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{x}\right)}\right) \]

    2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{x}}\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right) \]

    4. sqrt-lowering-sqrt.f64 15.6%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right) \]

11. Simplified 15.6%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}} \]

12. Final simplification 15.6%

    \[\leadsto \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 23: 7.9% accurate, 7.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t) :precision binary64 (* 0.5 (sqrt (/ 1.0 y))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.5 * sqrt((1.0 / y));
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = 0.5d0 * sqrt((1.0d0 / y))
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.5 * Math.sqrt((1.0 / y));
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return 0.5 * math.sqrt((1.0 / y))

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(0.5 * sqrt(Float64(1.0 / y)))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.5 * sqrt((1.0 / y));
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(0.5 * N[Sqrt[N[(1.0 / y), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 90.3%

   \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in z around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + y}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + x}\right) - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   2. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\sqrt{1 + x} - \left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   6. associate--r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   11. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   12. sqrt-lowering-sqrt.f64 39.6%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

5. Simplified 39.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + y} + \left(\left(\sqrt{1 + x} - \sqrt{x}\right) - \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

6. Taylor expanded in y around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + x} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right) - \sqrt{x}\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x} + \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + x}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   3. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{x}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   9. sqrt-lowering-sqrt.f64 28.4%

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(x\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

8. Simplified 28.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{1 + x} + \left(0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}} - \sqrt{x}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

9. Taylor expanded in y around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right)}\right) \]

    2. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(\frac{1}{y}\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 8.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, y\right)\right)\right) \]

11. Simplified 8.0%

    \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{y}}} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 24: 4.2% accurate, 117.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} [x, y, z, t] = \mathsf{sort}([x, y, z, t])\\ \\ 0.0625 \cdot \left(z \cdot \left(z \cdot z\right)\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t) :precision binary64 (* 0.0625 (* z (* z z))))

C

assert(x < y && y < z && z < t);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.0625 * (z * (z * z));
}

Fortran

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = 0.0625d0 * (z * (z * z))
end function

Java

assert x < y && y < z && z < t;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return 0.0625 * (z * (z * z));
}

Python

[x, y, z, t] = sort([x, y, z, t])
def code(x, y, z, t):
	return 0.0625 * (z * (z * z))

Julia

x, y, z, t = sort([x, y, z, t])
function code(x, y, z, t)
	return Float64(0.0625 * Float64(z * Float64(z * z)))
end

MATLAB

x, y, z, t = num2cell(sort([x, y, z, t])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = 0.0625 * (z * (z * z));
end

Wolfram

NOTE: x, y, z, and t should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[(0.0625 * N[(z * N[(z * z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 90.3%

   \[\left(\left(\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) + \left(\sqrt{y + 1} - \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{z + 1} - \sqrt{z}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right) - \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right)}, \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(1 + \left(\sqrt{1 + y} + \sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   2. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \left(\sqrt{1 + y}\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + z}\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{y} + \sqrt{z}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\sqrt{x} + \left(\sqrt{z} + \sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   10. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{x}\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   13. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \left(\sqrt{z}\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   14. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \left(\sqrt{y}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   15. sqrt-lowering-sqrt.f64 23.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, z\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

5. Simplified 23.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\left(1 + \sqrt{1 + y}\right) + \sqrt{1 + z}\right) - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right)} + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

6. Taylor expanded in z around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\color{blue}{\left(2 + \left(\sqrt{1 + y} + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\left(\left(2 + \sqrt{1 + y}\right) + z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(2 + \sqrt{1 + y}\right), \left(z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)}\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y} + 2\right), \left(z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt{1 + y}\right), 2\right), \left(z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{t}, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   5. sqrt-lowering-sqrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\left(1 + y\right)\right), 2\right), \left(z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \left(z \cdot \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \left(\frac{1}{2} + z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(z \cdot \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \left(\frac{1}{16} \cdot z - \frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \left(\frac{1}{16} \cdot z + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{8}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \left(\frac{1}{16} \cdot z + \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{16} \cdot z\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f64 17.3%

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, y\right)\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, z\right), \frac{-1}{8}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(x\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(z\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(y\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{sqrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(t, 1\right)\right), \mathsf{sqrt.f64}\left(t\right)\right)\right) \]

8. Simplified 17.3%

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt{1 + y} + 2\right) + z \cdot \left(0.5 + z \cdot \left(0.0625 \cdot z + -0.125\right)\right)\right)} - \left(\left(\sqrt{x} + \sqrt{z}\right) + \sqrt{y}\right)\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \]

9. Taylor expanded in z around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{16} \cdot {z}^{3}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \color{blue}{\left({z}^{3}\right)}\right) \]

    2. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(z \cdot \color{blue}{\left(z \cdot z\right)}\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \left(z \cdot {z}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(z, \color{blue}{\left({z}^{2}\right)}\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(z, \left(z \cdot \color{blue}{z}\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 3.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{16}, \mathsf{*.f64}\left(z, \mathsf{*.f64}\left(z, \color{blue}{z}\right)\right)\right) \]

11. Simplified 3.9%

    \[\leadsto \color{blue}{0.0625 \cdot \left(z \cdot \left(z \cdot z\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(\frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y + 1} + \sqrt{y}}\right) + \frac{1}{\sqrt{z + 1} + \sqrt{z}}\right) + \left(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (+
  (+
   (+
    (/ 1.0 (+ (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)))
    (/ 1.0 (+ (sqrt (+ y 1.0)) (sqrt y))))
   (/ 1.0 (+ (sqrt (+ z 1.0)) (sqrt z))))
  (- (sqrt (+ t 1.0)) (sqrt t))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((1.0 / (sqrt((x + 1.0)) + sqrt(x))) + (1.0 / (sqrt((y + 1.0)) + sqrt(y)))) + (1.0 / (sqrt((z + 1.0)) + sqrt(z)))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (((1.0d0 / (sqrt((x + 1.0d0)) + sqrt(x))) + (1.0d0 / (sqrt((y + 1.0d0)) + sqrt(y)))) + (1.0d0 / (sqrt((z + 1.0d0)) + sqrt(z)))) + (sqrt((t + 1.0d0)) - sqrt(t))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (((1.0 / (Math.sqrt((x + 1.0)) + Math.sqrt(x))) + (1.0 / (Math.sqrt((y + 1.0)) + Math.sqrt(y)))) + (1.0 / (Math.sqrt((z + 1.0)) + Math.sqrt(z)))) + (Math.sqrt((t + 1.0)) - Math.sqrt(t));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (((1.0 / (math.sqrt((x + 1.0)) + math.sqrt(x))) + (1.0 / (math.sqrt((y + 1.0)) + math.sqrt(y)))) + (1.0 / (math.sqrt((z + 1.0)) + math.sqrt(z)))) + (math.sqrt((t + 1.0)) - math.sqrt(t))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / Float64(sqrt(Float64(x + 1.0)) + sqrt(x))) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(Float64(y + 1.0)) + sqrt(y)))) + Float64(1.0 / Float64(sqrt(Float64(z + 1.0)) + sqrt(z)))) + Float64(sqrt(Float64(t + 1.0)) - sqrt(t)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (((1.0 / (sqrt((x + 1.0)) + sqrt(x))) + (1.0 / (sqrt((y + 1.0)) + sqrt(y)))) + (1.0 / (sqrt((z + 1.0)) + sqrt(z)))) + (sqrt((t + 1.0)) - sqrt(t));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(N[(N[(1.0 / N[(N[Sqrt[N[(x + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[N[(y + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(N[Sqrt[N[(z + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Sqrt[z], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Sqrt[N[(t + 1.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (x y z t)
  :name "Main:z from "
  :precision binary64

  :alt
  (! :herbie-platform default (+ (+ (+ (/ 1 (+ (sqrt (+ x 1)) (sqrt x))) (/ 1 (+ (sqrt (+ y 1)) (sqrt y)))) (/ 1 (+ (sqrt (+ z 1)) (sqrt z)))) (- (sqrt (+ t 1)) (sqrt t))))

  (+ (+ (+ (- (sqrt (+ x 1.0)) (sqrt x)) (- (sqrt (+ y 1.0)) (sqrt y))) (- (sqrt (+ z 1.0)) (sqrt z))) (- (sqrt (+ t 1.0)) (sqrt t))))