2cbrt (problem 3.3.4)

Percentage Accurate: 7.2% → 99.0%

Time: 10.8s

Alternatives: 9

Speedup: 2.0×

Specification

\[x > 1 \land x < 10^{+308}\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 7.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.0% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 10^{+15}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(1 + x\right) - x}{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666} + \left(\sqrt[3]{x \cdot x} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\frac{x}{\sqrt[3]{x}}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1e+15)
   (/
    (- (+ 1.0 x) x)
    (+
     (pow (+ 1.0 x) 0.6666666666666666)
     (+ (cbrt (* x x)) (cbrt (* x (+ 1.0 x))))))
   (/ 0.3333333333333333 (/ x (cbrt x)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1e+15) {
		tmp = ((1.0 + x) - x) / (pow((1.0 + x), 0.6666666666666666) + (cbrt((x * x)) + cbrt((x * (1.0 + x)))));
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 / (x / cbrt(x));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1e+15) {
		tmp = ((1.0 + x) - x) / (Math.pow((1.0 + x), 0.6666666666666666) + (Math.cbrt((x * x)) + Math.cbrt((x * (1.0 + x)))));
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 / (x / Math.cbrt(x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1e+15)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + x) - x) / Float64((Float64(1.0 + x) ^ 0.6666666666666666) + Float64(cbrt(Float64(x * x)) + cbrt(Float64(x * Float64(1.0 + x))))));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 / Float64(x / cbrt(x)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1e+15], N[(N[(N[(1.0 + x), $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision] / N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 0.6666666666666666], $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[(x * x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(x * N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 / N[(x / N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1e15

   1. Initial program 57.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left({x}^{\color{blue}{\frac{1}{3}}}\right)\right) \]

      2. pow-lowering-pow.f64 56.0%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{1}{3}}\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 56.0%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}} \]

   6. Applied egg-rr 97.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(1 + x\right) - x}{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666} + \left({\left(0 - \sqrt[3]{x}\right)}^{2} - {\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \left(0 - \sqrt[3]{x}\right)\right)}} \]

   7. Taylor expanded in x around 0

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right), \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{2}} - -1 \cdot \sqrt[3]{x + {x}^{2}}\right)}\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right), \left(\sqrt[3]{{x}^{2}} + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \sqrt[3]{x + {x}^{2}}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

      2. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right), \left(\sqrt[3]{{x}^{2}} + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\sqrt[3]{x + {x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. remove-double-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right), \left(\sqrt[3]{{x}^{2}} + \sqrt[3]{x + {x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      4. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right), \left(\sqrt[3]{x + {x}^{2}} + \color{blue}{\sqrt[3]{{x}^{2}}}\right)\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt[3]{x + {x}^{2}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{2}}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left(x + {x}^{2}\right)\right), \left(\sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{2}}}\right)\right)\right)\right) \]

      7. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left(x + x \cdot x\right)\right), \left(\sqrt[3]{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      8. distribute-rgt1-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\left(x + 1\right) \cdot x\right)\right), \left(\sqrt[3]{{\color{blue}{x}}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\left(1 \cdot x + 1\right) \cdot x\right)\right), \left(\sqrt[3]{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. lft-mult-inverse N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\left(1 \cdot x + \frac{1}{x} \cdot x\right) \cdot x\right)\right), \left(\sqrt[3]{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      11. distribute-rgt-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{x}\right)\right) \cdot x\right)\right), \left(\sqrt[3]{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(1 + \frac{1}{x}\right)\right), x\right)\right), \left(\sqrt[3]{{\color{blue}{x}}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \left(\frac{1}{x} + 1\right)\right), x\right)\right), \left(\sqrt[3]{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      14. distribute-lft-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot \frac{1}{x} + x \cdot 1\right), x\right)\right), \left(\sqrt[3]{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      15. rgt-mult-inverse N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 + x \cdot 1\right), x\right)\right), \left(\sqrt[3]{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      16. *-rgt-identity N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(1 + x\right), x\right)\right), \left(\sqrt[3]{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      17. +-lowering-+.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right)\right), \left(\sqrt[3]{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

      18. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\left({x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      19. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right)\right)\right)\right) \]

      20. *-lowering-*.f64 98.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), x\right)\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. Simplified 98.3%

      \[\leadsto \frac{\left(1 + x\right) - x}{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666} + \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\left(1 + x\right) \cdot x} + \sqrt[3]{x \cdot x}\right)}} \]

   if 1e15 < x

   1. Initial program 4.4%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)}\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\sqrt[3]{\frac{-1 \cdot -1}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

      3. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\sqrt[3]{-1 \cdot \frac{-1}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

      4. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{-1}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot -1}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 50.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 50.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {\left(\frac{1}{x \cdot x}\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{3}}} \]

      2. inv-pow N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {\left({\left(x \cdot x\right)}^{-1}\right)}^{\frac{1}{3}} \]

      3. pow-pow N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {\left(x \cdot x\right)}^{\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{1}{3}\right)}} \]

      4. pow2 N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{\left(\color{blue}{-1} \cdot \frac{1}{3}\right)} \]

      5. pow-pow N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot \left(-1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)}} \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {x}^{\left(2 \cdot \frac{-1}{3}\right)} \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {x}^{\frac{-2}{3}} \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {x}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{2}{3}\right)\right)} \]

      9. pow-flip N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\color{blue}{{x}^{\frac{2}{3}}}} \]

      10. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{\color{blue}{{x}^{\frac{2}{3}}}} \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left({x}^{\frac{2}{3}}\right)}\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 90.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{pow.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{2}{3}}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 90.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{{x}^{0.6666666666666666}}} \]

   9. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{\frac{x}{\sqrt[3]{x}}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 10^{+15}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(1 + x\right) - x}{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666} + \left(\sqrt[3]{x \cdot x} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\frac{x}{\sqrt[3]{x}}}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.1% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{1}{x}}{\sqrt[3]{{\left({x}^{-0.5}\right)}^{2} + \frac{2}{x \cdot x}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (/ 1.0 x)
  (+
   (cbrt (+ (pow (pow x -0.5) 2.0) (/ 2.0 (* x x))))
   (+ (cbrt (+ (/ 1.0 x) (/ 1.0 (* x x)))) (/ 1.0 (cbrt x))))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / x) / (cbrt((pow(pow(x, -0.5), 2.0) + (2.0 / (x * x)))) + (cbrt(((1.0 / x) + (1.0 / (x * x)))) + (1.0 / cbrt(x))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 / x) / (Math.cbrt((Math.pow(Math.pow(x, -0.5), 2.0) + (2.0 / (x * x)))) + (Math.cbrt(((1.0 / x) + (1.0 / (x * x)))) + (1.0 / Math.cbrt(x))));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / x) / Float64(cbrt(Float64(((x ^ -0.5) ^ 2.0) + Float64(2.0 / Float64(x * x)))) + Float64(cbrt(Float64(Float64(1.0 / x) + Float64(1.0 / Float64(x * x)))) + Float64(1.0 / cbrt(x)))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] / N[(N[Power[N[(N[Power[N[Power[x, -0.5], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(2.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. rem-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   3. rem-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{x + 1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} - \color{blue}{\frac{x}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{x}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 7.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + 1}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666} + \left({x}^{0.6666666666666666} + {\left(x \cdot \left(x + 1\right)\right)}^{0.3333333333333333}\right)} - \frac{x}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666} + \left({x}^{0.6666666666666666} + {\left(x \cdot \left(x + 1\right)\right)}^{0.3333333333333333}\right)}} \]

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{x \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)}\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}\right)\right) \]

   5. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right), \left(2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \left(2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{x}} + \frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   8. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \left(\frac{2 \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \color{blue}{\frac{1}{{x}^{2}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \left(\frac{2}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{\color{blue}{1}}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \color{blue}{\frac{1}{{x}^{2}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{\color{blue}{{x}^{2}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{\color{blue}{{x}^{2}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{2}{x \cdot x}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x} + \frac{1}{x}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. cbrt-div N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt[3]{1}}{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}}\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{x}}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow1/3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{{x}^{\color{blue}{\frac{1}{3}}}}\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{{x}^{\left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{2}\right)}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{{\left({x}^{\frac{1}{6}}\right)}^{\color{blue}{2}}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left({\left({x}^{\frac{1}{6}}\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left({x}^{\color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot 2\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left({x}^{\frac{1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow1/3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt[3]{x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cbrt-lowering-cbrt.f64 98.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cbrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 98.3%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{2}{x \cdot x}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x} + \frac{1}{x}} + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{{1}^{3}}{x}\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cbrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. rem-cube-cbrt N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{{1}^{3}}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cbrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. cube-div N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{3}\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cbrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. sqr-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)} \cdot {\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cbrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. pow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({\left({\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}\right)}^{2}\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cbrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)}, \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cbrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. inv-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{-1}\right)}^{\left(\frac{3}{2}\right)}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cbrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. pow-pow N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\left(-1 \cdot \frac{3}{2}\right)}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cbrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\left(-1 \cdot \frac{3}{2}\right)}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cbrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\frac{-3}{2}}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cbrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\left(3 \cdot \frac{-1}{2}\right)}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cbrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. metadata-eval N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\left(3 \cdot \frac{-1}{2}\right)}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cbrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. pow-pow N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cbrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. rem-cube-cbrt N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\left({x}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cbrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. pow-lowering-pow.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \left(\frac{-1}{2}\right)\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cbrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. metadata-eval 98.3%

        \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \frac{-1}{2}\right), 2\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cbrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 98.3%

    \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left({x}^{-0.5}\right)}^{2}} + \frac{2}{x \cdot x}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x} + \frac{1}{x}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

12. Final simplification 98.3%

    \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\sqrt[3]{{\left({x}^{-0.5}\right)}^{2} + \frac{2}{x \cdot x}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)} \]
13. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.0% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 5 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\frac{x}{\sqrt[3]{x}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666} + \left({x}^{0.6666666666666666} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (- (cbrt (+ 1.0 x)) (cbrt x)) 5e-11)
   (/ 0.3333333333333333 (/ x (cbrt x)))
   (/
    1.0
    (+
     (pow (+ 1.0 x) 0.6666666666666666)
     (+ (pow x 0.6666666666666666) (cbrt (* x (+ 1.0 x))))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((cbrt((1.0 + x)) - cbrt(x)) <= 5e-11) {
		tmp = 0.3333333333333333 / (x / cbrt(x));
	} else {
		tmp = 1.0 / (pow((1.0 + x), 0.6666666666666666) + (pow(x, 0.6666666666666666) + cbrt((x * (1.0 + x)))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((Math.cbrt((1.0 + x)) - Math.cbrt(x)) <= 5e-11) {
		tmp = 0.3333333333333333 / (x / Math.cbrt(x));
	} else {
		tmp = 1.0 / (Math.pow((1.0 + x), 0.6666666666666666) + (Math.pow(x, 0.6666666666666666) + Math.cbrt((x * (1.0 + x)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (Float64(cbrt(Float64(1.0 + x)) - cbrt(x)) <= 5e-11)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 / Float64(x / cbrt(x)));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64((Float64(1.0 + x) ^ 0.6666666666666666) + Float64((x ^ 0.6666666666666666) + cbrt(Float64(x * Float64(1.0 + x))))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 5e-11], N[(0.3333333333333333 / N[(x / N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[N[(1.0 + x), $MachinePrecision], 0.6666666666666666], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 0.6666666666666666], $MachinePrecision] + N[Power[N[(x * N[(1.0 + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (cbrt.f64 x)) < 5.00000000000000018e-11

   1. Initial program 4.4%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)}\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\sqrt[3]{\frac{-1 \cdot -1}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

      3. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\sqrt[3]{-1 \cdot \frac{-1}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

      4. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{-1}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot -1}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 50.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 50.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {\left(\frac{1}{x \cdot x}\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{3}}} \]

      2. inv-pow N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {\left({\left(x \cdot x\right)}^{-1}\right)}^{\frac{1}{3}} \]

      3. pow-pow N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {\left(x \cdot x\right)}^{\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{1}{3}\right)}} \]

      4. pow2 N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{\left(\color{blue}{-1} \cdot \frac{1}{3}\right)} \]

      5. pow-pow N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot \left(-1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)}} \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {x}^{\left(2 \cdot \frac{-1}{3}\right)} \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {x}^{\frac{-2}{3}} \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {x}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{2}{3}\right)\right)} \]

      9. pow-flip N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\color{blue}{{x}^{\frac{2}{3}}}} \]

      10. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{\color{blue}{{x}^{\frac{2}{3}}}} \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left({x}^{\frac{2}{3}}\right)}\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 90.3%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{pow.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{2}{3}}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 90.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{{x}^{0.6666666666666666}}} \]

   9. Applied egg-rr 99.2%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{\frac{x}{\sqrt[3]{x}}}} \]

   if 5.00000000000000018e-11 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x #s(literal 1 binary64))) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 57.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing
   3. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left({x}^{\color{blue}{\frac{1}{3}}}\right)\right) \]

      2. sqr-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left({x}^{\left(\frac{\frac{1}{3}}{2}\right)} \cdot \color{blue}{{x}^{\left(\frac{\frac{1}{3}}{2}\right)}}\right)\right) \]

      3. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \left({\left({x}^{\left(\frac{\frac{1}{3}}{2}\right)}\right)}^{\color{blue}{2}}\right)\right) \]

      4. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\left({x}^{\left(\frac{\frac{1}{3}}{2}\right)}\right), \color{blue}{2}\right)\right) \]

      5. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \left(\frac{\frac{1}{3}}{2}\right)\right), 2\right)\right) \]

      6. metadata-eval 55.8%

         \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(x, 1\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \frac{1}{6}\right), 2\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 55.8%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left({x}^{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]

   6. Applied egg-rr 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + \left(x - x\right)}{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666} + \left({x}^{0.6666666666666666} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-inverses N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(1 + 0\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \color{blue}{\frac{2}{3}}\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \frac{2}{3}\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval 97.3%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(1, x\right), \frac{2}{3}\right)}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \frac{2}{3}\right), \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, x\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 97.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666} + \left({x}^{0.6666666666666666} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{1 + x} - \sqrt[3]{x} \leq 5 \cdot 10^{-11}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\frac{x}{\sqrt[3]{x}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(1 + x\right)}^{0.6666666666666666} + \left({x}^{0.6666666666666666} + \sqrt[3]{x \cdot \left(1 + x\right)}\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.1% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{1}{x}}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{2}{x \cdot x}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (/ 1.0 x)
  (+
   (+ (cbrt (+ (/ 1.0 x) (/ 1.0 (* x x)))) (/ 1.0 (cbrt x)))
   (cbrt (+ (/ 1.0 x) (/ 2.0 (* x x)))))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / x) / ((cbrt(((1.0 / x) + (1.0 / (x * x)))) + (1.0 / cbrt(x))) + cbrt(((1.0 / x) + (2.0 / (x * x)))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 / x) / ((Math.cbrt(((1.0 / x) + (1.0 / (x * x)))) + (1.0 / Math.cbrt(x))) + Math.cbrt(((1.0 / x) + (2.0 / (x * x)))));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / x) / Float64(Float64(cbrt(Float64(Float64(1.0 / x) + Float64(1.0 / Float64(x * x)))) + Float64(1.0 / cbrt(x))) + cbrt(Float64(Float64(1.0 / x) + Float64(2.0 / Float64(x * x))))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Power[N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] + N[(2.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. rem-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   3. rem-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{x + 1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} - \color{blue}{\frac{x}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{x}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 7.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + 1}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666} + \left({x}^{0.6666666666666666} + {\left(x \cdot \left(x + 1\right)\right)}^{0.3333333333333333}\right)} - \frac{x}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666} + \left({x}^{0.6666666666666666} + {\left(x \cdot \left(x + 1\right)\right)}^{0.3333333333333333}\right)}} \]

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{x \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)}\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}\right)\right) \]

   5. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right), \left(2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \left(2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{x}} + \frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   8. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \left(\frac{2 \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \color{blue}{\frac{1}{{x}^{2}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \left(\frac{2}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{\color{blue}{1}}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \color{blue}{\frac{1}{{x}^{2}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{\color{blue}{{x}^{2}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{\color{blue}{{x}^{2}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{2}{x \cdot x}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x} + \frac{1}{x}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. cbrt-div N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\frac{\sqrt[3]{1}}{\color{blue}{\sqrt[3]{x}}}\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{x}}}\right)\right)\right)\right) \]

   3. unpow1/3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{{x}^{\color{blue}{\frac{1}{3}}}}\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{{x}^{\left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{2}\right)}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \left(\frac{1}{{\left({x}^{\frac{1}{6}}\right)}^{\color{blue}{2}}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \color{blue}{\left({\left({x}^{\frac{1}{6}}\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left({x}^{\color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot 2\right)}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left({x}^{\frac{1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow1/3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \left(\sqrt[3]{x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. cbrt-lowering-cbrt.f64 98.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, x\right)\right)\right), \mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{cbrt.f64}\left(x\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 98.3%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{2}{x \cdot x}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x} + \frac{1}{x}} + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}\right)} \]

10. Final simplification 98.3%

    \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) + \sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{2}{x \cdot x}}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.9% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{1}{x}}{\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{2}{x \cdot x}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (/ 1.0 x)
  (+
   (cbrt (+ (/ 1.0 x) (/ 2.0 (* x x))))
   (+ (cbrt (+ (/ 1.0 x) (/ 1.0 (* x x)))) (cbrt (/ 1.0 x))))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / x) / (cbrt(((1.0 / x) + (2.0 / (x * x)))) + (cbrt(((1.0 / x) + (1.0 / (x * x)))) + cbrt((1.0 / x))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 / x) / (Math.cbrt(((1.0 / x) + (2.0 / (x * x)))) + (Math.cbrt(((1.0 / x) + (1.0 / (x * x)))) + Math.cbrt((1.0 / x))));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / x) / Float64(cbrt(Float64(Float64(1.0 / x) + Float64(2.0 / Float64(x * x)))) + Float64(cbrt(Float64(Float64(1.0 / x) + Float64(1.0 / Float64(x * x)))) + cbrt(Float64(1.0 / x)))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] / N[(N[Power[N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] + N[(2.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] + N[(1.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(1.0 / x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. flip3-- N/A

      \[\leadsto \frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. rem-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   3. rem-cube-cbrt N/A

      \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{x + 1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} - \color{blue}{\frac{x}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   5. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{x + 1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{x}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 7.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x + 1}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666} + \left({x}^{0.6666666666666666} + {\left(x \cdot \left(x + 1\right)\right)}^{0.3333333333333333}\right)} - \frac{x}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666} + \left({x}^{0.6666666666666666} + {\left(x \cdot \left(x + 1\right)\right)}^{0.3333333333333333}\right)}} \]

5. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{x \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}} \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right), \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)}\right) \]

   3. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}\right)\right) \]

   5. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right), \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{1}{x}\right), \left(2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \left(2 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1}{x}} + \frac{1}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   8. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \left(\frac{2 \cdot 1}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \color{blue}{\frac{1}{{x}^{2}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \left(\frac{2}{{x}^{2}}\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{\color{blue}{1}}{{x}^{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \color{blue}{\frac{1}{{x}^{2}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   11. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{\color{blue}{{x}^{2}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{\color{blue}{{x}^{2}}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, x\right), \mathsf{/.f64}\left(2, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}}\right), \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}\right)\right)\right) \]

7. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{2}{x \cdot x}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x} + \frac{1}{x}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)}} \]

8. Final simplification 98.1%

   \[\leadsto \frac{\frac{1}{x}}{\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{2}{x \cdot x}} + \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x}} + \sqrt[3]{\frac{1}{x}}\right)} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 92.0% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot {x}^{-0.6666666666666666}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.35e+154)
   (/ 0.3333333333333333 (cbrt (* x x)))
   (* 0.3333333333333333 (pow x -0.6666666666666666))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = 0.3333333333333333 / cbrt((x * x));
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * pow(x, -0.6666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35e+154) {
		tmp = 0.3333333333333333 / Math.cbrt((x * x));
	} else {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.pow(x, -0.6666666666666666);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 / cbrt(Float64(x * x)));
	else
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * (x ^ -0.6666666666666666));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.35e+154], N[(0.3333333333333333 / N[Power[N[(x * x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, -0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 8.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)}\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\sqrt[3]{\frac{-1 \cdot -1}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

      3. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\sqrt[3]{-1 \cdot \frac{-1}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

      4. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{-1}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot -1}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 95.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 95.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {\left(\frac{1}{x \cdot x}\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{3}}} \]

      2. inv-pow N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {\left({\left(x \cdot x\right)}^{-1}\right)}^{\frac{1}{3}} \]

      3. pow-pow N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {\left(x \cdot x\right)}^{\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{1}{3}\right)}} \]

      4. pow2 N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{\left(\color{blue}{-1} \cdot \frac{1}{3}\right)} \]

      5. pow-pow N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot \left(-1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)}} \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {x}^{\left(2 \cdot \frac{-1}{3}\right)} \]

      7. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {x}^{\frac{-2}{3}} \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {x}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{2}{3}\right)\right)} \]

      9. pow-flip N/A

         \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\color{blue}{{x}^{\frac{2}{3}}}} \]

      10. un-div-inv N/A

          \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{\color{blue}{{x}^{\frac{2}{3}}}} \]

      11. /-lowering-/.f64 N/A

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left({x}^{\frac{2}{3}}\right)}\right) \]

      12. pow-lowering-pow.f64 88.7%

          \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{pow.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{2}{3}}\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 88.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{{x}^{0.6666666666666666}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{\left(2 \cdot \color{blue}{\frac{1}{3}}\right)}\right)\right) \]

      2. pow-sqr N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({x}^{\frac{1}{3}} \cdot \color{blue}{{x}^{\frac{1}{3}}}\right)\right) \]

      3. pow-prod-down N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\left(x \cdot x\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{3}}}\right)\right) \]

      4. pow1/3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\sqrt[3]{x \cdot x}\right)\right) \]

      5. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(x \cdot x\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f64 95.4%

         \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right) \]

   9. Applied egg-rr 95.4%

      \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{\sqrt[3]{x \cdot x}}} \]

   if 1.35000000000000003e154 < x

   1. Initial program 4.7%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in x around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)}\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\sqrt[3]{\frac{-1 \cdot -1}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

      3. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\sqrt[3]{-1 \cdot \frac{-1}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

      4. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{-1}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      5. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot -1}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      6. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f64 4.7%

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 4.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} \cdot \color{blue}{\frac{1}{3}} \]

      2. *-lowering-*.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\right), \color{blue}{\frac{1}{3}}\right) \]

      3. pow1/3 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{x \cdot x}\right)}^{\frac{1}{3}}\right), \frac{1}{3}\right) \]

      4. inv-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left({\left(x \cdot x\right)}^{-1}\right)}^{\frac{1}{3}}\right), \frac{1}{3}\right) \]

      5. pow-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(x \cdot x\right)}^{\left(-1 \cdot \frac{1}{3}\right)}\right), \frac{1}{3}\right) \]

      6. pow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left({x}^{2}\right)}^{\left(-1 \cdot \frac{1}{3}\right)}\right), \frac{1}{3}\right) \]

      7. pow-pow N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot \left(-1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)}\right), \frac{1}{3}\right) \]

      8. pow-lowering-pow.f64 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \left(2 \cdot \left(-1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right), \frac{1}{3}\right) \]

      9. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \left(2 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right), \frac{1}{3}\right) \]

      10. metadata-eval 89.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \frac{-2}{3}\right), \frac{1}{3}\right) \]

   7. Applied egg-rr 89.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{-0.6666666666666666} \cdot 0.3333333333333333} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333}{\sqrt[3]{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot {x}^{-0.6666666666666666}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 97.0% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{0.3333333333333333}{\frac{x}{\sqrt[3]{x}}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ 0.3333333333333333 (/ x (cbrt x))))

C

double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 / (x / cbrt(x));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 / (x / Math.cbrt(x));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(0.3333333333333333 / Float64(x / cbrt(x)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.3333333333333333 / N[(x / N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)}\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\sqrt[3]{\frac{-1 \cdot -1}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\sqrt[3]{-1 \cdot \frac{-1}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

   4. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{-1}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot -1}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 51.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 51.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {\left(\frac{1}{x \cdot x}\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{3}}} \]

   2. inv-pow N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {\left({\left(x \cdot x\right)}^{-1}\right)}^{\frac{1}{3}} \]

   3. pow-pow N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {\left(x \cdot x\right)}^{\color{blue}{\left(-1 \cdot \frac{1}{3}\right)}} \]

   4. pow2 N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {\left({x}^{2}\right)}^{\left(\color{blue}{-1} \cdot \frac{1}{3}\right)} \]

   5. pow-pow N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot \left(-1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)}} \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {x}^{\left(2 \cdot \frac{-1}{3}\right)} \]

   7. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {x}^{\frac{-2}{3}} \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot {x}^{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{2}{3}\right)\right)} \]

   9. pow-flip N/A

      \[\leadsto \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\color{blue}{{x}^{\frac{2}{3}}}} \]

   10. un-div-inv N/A

       \[\leadsto \frac{\frac{1}{3}}{\color{blue}{{x}^{\frac{2}{3}}}} \]

   11. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left({x}^{\frac{2}{3}}\right)}\right) \]

   12. pow-lowering-pow.f64 88.9%

       \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{pow.f64}\left(x, \color{blue}{\frac{2}{3}}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 88.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{{x}^{0.6666666666666666}}} \]

9. Applied egg-rr 97.4%

   \[\leadsto \frac{0.3333333333333333}{\color{blue}{\frac{x}{\sqrt[3]{x}}}} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 8: 88.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.3333333333333333 \cdot {x}^{-0.6666666666666666} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 0.3333333333333333 (pow x -0.6666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * pow(x, -0.6666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.3333333333333333d0 * (x ** (-0.6666666666666666d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.3333333333333333 * Math.pow(x, -0.6666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return 0.3333333333333333 * math.pow(x, -0.6666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.3333333333333333 * (x ^ -0.6666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.3333333333333333 * (x ^ -0.6666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, -0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}\right)}\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\sqrt[3]{\frac{-1 \cdot -1}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\sqrt[3]{-1 \cdot \frac{-1}{{x}^{2}}}\right)\right) \]

   4. cbrt-lowering-cbrt.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(-1 \cdot \frac{-1}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\frac{-1 \cdot -1}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left({x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f64 51.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{cbrt.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(x, x\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 51.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} \cdot \color{blue}{\frac{1}{3}} \]

   2. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\right), \color{blue}{\frac{1}{3}}\right) \]

   3. pow1/3 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(\frac{1}{x \cdot x}\right)}^{\frac{1}{3}}\right), \frac{1}{3}\right) \]

   4. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left({\left(x \cdot x\right)}^{-1}\right)}^{\frac{1}{3}}\right), \frac{1}{3}\right) \]

   5. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left(x \cdot x\right)}^{\left(-1 \cdot \frac{1}{3}\right)}\right), \frac{1}{3}\right) \]

   6. pow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({\left({x}^{2}\right)}^{\left(-1 \cdot \frac{1}{3}\right)}\right), \frac{1}{3}\right) \]

   7. pow-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{\left(2 \cdot \left(-1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)}\right), \frac{1}{3}\right) \]

   8. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \left(2 \cdot \left(-1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right), \frac{1}{3}\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \left(2 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right), \frac{1}{3}\right) \]

   10. metadata-eval 88.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(x, \frac{-2}{3}\right), \frac{1}{3}\right) \]

7. Applied egg-rr 88.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{-0.6666666666666666} \cdot 0.3333333333333333} \]

8. Final simplification 88.9%

   \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot {x}^{-0.6666666666666666} \]
9. Add Preprocessing

Alternative 9: 1.8% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- 1.0 (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 6.8%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt[3]{x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}\right) \]

   2. cbrt-lowering-cbrt.f64 1.8%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{cbrt.f64}\left(x\right)\right) \]

5. Simplified 1.8%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt[3]{x}} \]
6. Add Preprocessing

Developer Target 1: 98.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \frac{1}{\left(t\_0 \cdot t\_0 + \sqrt[3]{x} \cdot t\_0\right) + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (/ 1.0 (+ (+ (* t_0 t_0) (* (cbrt x) t_0)) (* (cbrt x) (cbrt x))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (cbrt(x) * t_0)) + (cbrt(x) * cbrt(x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / (((t_0 * t_0) + (Math.cbrt(x) * t_0)) + (Math.cbrt(x) * Math.cbrt(x)));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	return Float64(1.0 / Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) + Float64(cbrt(x) * t_0)) + Float64(cbrt(x) * cbrt(x))))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  :pre (and (> x 1.0) (< x 1e+308))

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ 1 (+ (* (cbrt (+ x 1)) (cbrt (+ x 1))) (* (cbrt x) (cbrt (+ x 1))) (* (cbrt x) (cbrt x)))))

  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))