2tan (problem 3.3.2)

Percentage Accurate: 62.4% → 99.5%

Time: 18.5s

Alternatives: 11

Speedup: 205.0×

Specification

\[\left(\left(-10000 \leq x \land x \leq 10000\right) \land 10^{-16} \cdot \left|x\right| < \varepsilon\right) \land \varepsilon < \left|x\right|\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 62.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (- (tan (+ x eps)) (tan x)))

C

double code(double x, double eps) {
	return tan((x + eps)) - tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = tan((x + eps)) - tan(x)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.tan((x + eps)) - Math.tan(x);
}

Python

def code(x, eps):
	return math.tan((x + eps)) - math.tan(x)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(tan(Float64(x + eps)) - tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = tan((x + eps)) - tan(x);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Tan[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ t_1 := t\_0 + {\tan x}^{4}\\ t_2 := t\_0 \cdot -0.3333333333333333\\ t_3 := \tan x + {\tan x}^{3}\\ \varepsilon \cdot \left(\left(t\_0 + \varepsilon \cdot \left(t\_3 + \varepsilon \cdot \left(t\_1 + \left(\left(0.3333333333333333 - t\_2\right) - \varepsilon \cdot \left(t\_3 \cdot -0.3333333333333333 + \tan x \cdot \left(\left(t\_2 + -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 - t\_1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0))
        (t_1 (+ t_0 (pow (tan x) 4.0)))
        (t_2 (* t_0 -0.3333333333333333))
        (t_3 (+ (tan x) (pow (tan x) 3.0))))
   (*
    eps
    (+
     (+
      t_0
      (*
       eps
       (+
        t_3
        (*
         eps
         (+
          t_1
          (-
           (- 0.3333333333333333 t_2)
           (*
            eps
            (+
             (* t_3 -0.3333333333333333)
             (* (tan x) (+ (+ t_2 -0.5) (- 0.16666666666666666 t_1)))))))))))
     1.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	double t_1 = t_0 + pow(tan(x), 4.0);
	double t_2 = t_0 * -0.3333333333333333;
	double t_3 = tan(x) + pow(tan(x), 3.0);
	return eps * ((t_0 + (eps * (t_3 + (eps * (t_1 + ((0.3333333333333333 - t_2) - (eps * ((t_3 * -0.3333333333333333) + (tan(x) * ((t_2 + -0.5) + (0.16666666666666666 - t_1))))))))))) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    t_0 = tan(x) ** 2.0d0
    t_1 = t_0 + (tan(x) ** 4.0d0)
    t_2 = t_0 * (-0.3333333333333333d0)
    t_3 = tan(x) + (tan(x) ** 3.0d0)
    code = eps * ((t_0 + (eps * (t_3 + (eps * (t_1 + ((0.3333333333333333d0 - t_2) - (eps * ((t_3 * (-0.3333333333333333d0)) + (tan(x) * ((t_2 + (-0.5d0)) + (0.16666666666666666d0 - t_1))))))))))) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
	double t_1 = t_0 + Math.pow(Math.tan(x), 4.0);
	double t_2 = t_0 * -0.3333333333333333;
	double t_3 = Math.tan(x) + Math.pow(Math.tan(x), 3.0);
	return eps * ((t_0 + (eps * (t_3 + (eps * (t_1 + ((0.3333333333333333 - t_2) - (eps * ((t_3 * -0.3333333333333333) + (Math.tan(x) * ((t_2 + -0.5) + (0.16666666666666666 - t_1))))))))))) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.tan(x), 2.0)
	t_1 = t_0 + math.pow(math.tan(x), 4.0)
	t_2 = t_0 * -0.3333333333333333
	t_3 = math.tan(x) + math.pow(math.tan(x), 3.0)
	return eps * ((t_0 + (eps * (t_3 + (eps * (t_1 + ((0.3333333333333333 - t_2) - (eps * ((t_3 * -0.3333333333333333) + (math.tan(x) * ((t_2 + -0.5) + (0.16666666666666666 - t_1))))))))))) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	t_1 = Float64(t_0 + (tan(x) ^ 4.0))
	t_2 = Float64(t_0 * -0.3333333333333333)
	t_3 = Float64(tan(x) + (tan(x) ^ 3.0))
	return Float64(eps * Float64(Float64(t_0 + Float64(eps * Float64(t_3 + Float64(eps * Float64(t_1 + Float64(Float64(0.3333333333333333 - t_2) - Float64(eps * Float64(Float64(t_3 * -0.3333333333333333) + Float64(tan(x) * Float64(Float64(t_2 + -0.5) + Float64(0.16666666666666666 - t_1))))))))))) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0;
	t_1 = t_0 + (tan(x) ^ 4.0);
	t_2 = t_0 * -0.3333333333333333;
	t_3 = tan(x) + (tan(x) ^ 3.0);
	tmp = eps * ((t_0 + (eps * (t_3 + (eps * (t_1 + ((0.3333333333333333 - t_2) - (eps * ((t_3 * -0.3333333333333333) + (tan(x) * ((t_2 + -0.5) + (0.16666666666666666 - t_1))))))))))) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(t$95$0 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(N[(t$95$0 + N[(eps * N[(t$95$3 + N[(eps * N[(t$95$1 + N[(N[(0.3333333333333333 - t$95$2), $MachinePrecision] - N[(eps * N[(N[(t$95$3 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$2 + -0.5), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 - t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Initial program 61.7%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + -0.16666666666666666\right) - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \color{blue}{\left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(\left(0.16666666666666666 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) + \left(-0.5 + {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \varepsilon}\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} + {\tan x}^{4}\right) + \left(\left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) - \varepsilon \cdot \left(\tan x \cdot \left(\left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} + {\tan x}^{4}\right)\right) + \left(-0.5 + {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) + -0.3333333333333333 \cdot \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

10. Final simplification 100.0%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} + {\tan x}^{4}\right) + \left(\left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333 + \tan x \cdot \left(\left({\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333 + -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} + {\tan x}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 2: 99.5% accurate, 0.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ t_1 := \tan x + {\tan x}^{3}\\ \varepsilon \cdot \left(\left(t\_0 + \varepsilon \cdot \left(t\_1 + \varepsilon \cdot \left(\left(t\_0 + {\tan x}^{4}\right) + \left(\left(0.3333333333333333 - t\_0 \cdot -0.3333333333333333\right) - \varepsilon \cdot \left(t\_1 \cdot -0.3333333333333333 + \tan x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0)) (t_1 (+ (tan x) (pow (tan x) 3.0))))
   (*
    eps
    (+
     (+
      t_0
      (*
       eps
       (+
        t_1
        (*
         eps
         (+
          (+ t_0 (pow (tan x) 4.0))
          (-
           (- 0.3333333333333333 (* t_0 -0.3333333333333333))
           (*
            eps
            (+
             (* t_1 -0.3333333333333333)
             (* (tan x) -0.3333333333333333)))))))))
     1.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	double t_1 = tan(x) + pow(tan(x), 3.0);
	return eps * ((t_0 + (eps * (t_1 + (eps * ((t_0 + pow(tan(x), 4.0)) + ((0.3333333333333333 - (t_0 * -0.3333333333333333)) - (eps * ((t_1 * -0.3333333333333333) + (tan(x) * -0.3333333333333333))))))))) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    t_0 = tan(x) ** 2.0d0
    t_1 = tan(x) + (tan(x) ** 3.0d0)
    code = eps * ((t_0 + (eps * (t_1 + (eps * ((t_0 + (tan(x) ** 4.0d0)) + ((0.3333333333333333d0 - (t_0 * (-0.3333333333333333d0))) - (eps * ((t_1 * (-0.3333333333333333d0)) + (tan(x) * (-0.3333333333333333d0)))))))))) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
	double t_1 = Math.tan(x) + Math.pow(Math.tan(x), 3.0);
	return eps * ((t_0 + (eps * (t_1 + (eps * ((t_0 + Math.pow(Math.tan(x), 4.0)) + ((0.3333333333333333 - (t_0 * -0.3333333333333333)) - (eps * ((t_1 * -0.3333333333333333) + (Math.tan(x) * -0.3333333333333333))))))))) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.tan(x), 2.0)
	t_1 = math.tan(x) + math.pow(math.tan(x), 3.0)
	return eps * ((t_0 + (eps * (t_1 + (eps * ((t_0 + math.pow(math.tan(x), 4.0)) + ((0.3333333333333333 - (t_0 * -0.3333333333333333)) - (eps * ((t_1 * -0.3333333333333333) + (math.tan(x) * -0.3333333333333333))))))))) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	t_1 = Float64(tan(x) + (tan(x) ^ 3.0))
	return Float64(eps * Float64(Float64(t_0 + Float64(eps * Float64(t_1 + Float64(eps * Float64(Float64(t_0 + (tan(x) ^ 4.0)) + Float64(Float64(0.3333333333333333 - Float64(t_0 * -0.3333333333333333)) - Float64(eps * Float64(Float64(t_1 * -0.3333333333333333) + Float64(tan(x) * -0.3333333333333333))))))))) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0;
	t_1 = tan(x) + (tan(x) ^ 3.0);
	tmp = eps * ((t_0 + (eps * (t_1 + (eps * ((t_0 + (tan(x) ^ 4.0)) + ((0.3333333333333333 - (t_0 * -0.3333333333333333)) - (eps * ((t_1 * -0.3333333333333333) + (tan(x) * -0.3333333333333333))))))))) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(N[(t$95$0 + N[(eps * N[(t$95$1 + N[(eps * N[(N[(t$95$0 + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 - N[(t$95$0 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(eps * N[(N[(t$95$1 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Initial program 61.7%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + -0.16666666666666666\right) - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \color{blue}{\left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(\left(0.16666666666666666 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) + \left(-0.5 + {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \varepsilon}\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} + {\tan x}^{4}\right) + \left(\left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) - \varepsilon \cdot \left(\tan x \cdot \left(\left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} + {\tan x}^{4}\right)\right) + \left(-0.5 + {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) + -0.3333333333333333 \cdot \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \frac{-1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \color{blue}{\frac{-1}{3}}\right), \mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

12. Simplified 100.0%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} + {\tan x}^{4}\right) + \left(\left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) - \varepsilon \cdot \left(\tan x \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333} + -0.3333333333333333 \cdot \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Final simplification 100.0%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} + {\tan x}^{4}\right) + \left(\left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333 + \tan x \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)\right) + 1\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.5% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := {\tan x}^{2}\\ \varepsilon \cdot \left(\left(t\_0 + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(t\_0 + {\tan x}^{4}\right) + \left(0.3333333333333333 - \frac{-0.3333333333333333 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) + 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (pow (tan x) 2.0)))
   (*
    eps
    (+
     (+
      t_0
      (*
       eps
       (+
        (+ (tan x) (pow (tan x) 3.0))
        (*
         eps
         (+
          (+ t_0 (pow (tan x) 4.0))
          (-
           0.3333333333333333
           (/
            (* -0.3333333333333333 (pow (sin x) 2.0))
            (pow (cos x) 2.0))))))))
     1.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = pow(tan(x), 2.0);
	return eps * ((t_0 + (eps * ((tan(x) + pow(tan(x), 3.0)) + (eps * ((t_0 + pow(tan(x), 4.0)) + (0.3333333333333333 - ((-0.3333333333333333 * pow(sin(x), 2.0)) / pow(cos(x), 2.0)))))))) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    t_0 = tan(x) ** 2.0d0
    code = eps * ((t_0 + (eps * ((tan(x) + (tan(x) ** 3.0d0)) + (eps * ((t_0 + (tan(x) ** 4.0d0)) + (0.3333333333333333d0 - (((-0.3333333333333333d0) * (sin(x) ** 2.0d0)) / (cos(x) ** 2.0d0)))))))) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = Math.pow(Math.tan(x), 2.0);
	return eps * ((t_0 + (eps * ((Math.tan(x) + Math.pow(Math.tan(x), 3.0)) + (eps * ((t_0 + Math.pow(Math.tan(x), 4.0)) + (0.3333333333333333 - ((-0.3333333333333333 * Math.pow(Math.sin(x), 2.0)) / Math.pow(Math.cos(x), 2.0)))))))) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = math.pow(math.tan(x), 2.0)
	return eps * ((t_0 + (eps * ((math.tan(x) + math.pow(math.tan(x), 3.0)) + (eps * ((t_0 + math.pow(math.tan(x), 4.0)) + (0.3333333333333333 - ((-0.3333333333333333 * math.pow(math.sin(x), 2.0)) / math.pow(math.cos(x), 2.0)))))))) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0
	return Float64(eps * Float64(Float64(t_0 + Float64(eps * Float64(Float64(tan(x) + (tan(x) ^ 3.0)) + Float64(eps * Float64(Float64(t_0 + (tan(x) ^ 4.0)) + Float64(0.3333333333333333 - Float64(Float64(-0.3333333333333333 * (sin(x) ^ 2.0)) / (cos(x) ^ 2.0)))))))) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = tan(x) ^ 2.0;
	tmp = eps * ((t_0 + (eps * ((tan(x) + (tan(x) ^ 3.0)) + (eps * ((t_0 + (tan(x) ^ 4.0)) + (0.3333333333333333 - ((-0.3333333333333333 * (sin(x) ^ 2.0)) / (cos(x) ^ 2.0)))))))) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(N[(t$95$0 + N[(eps * N[(N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(t$95$0 + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 - N[(N[(-0.3333333333333333 * N[Power[N[Sin[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Power[N[Cos[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 61.7%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + -0.16666666666666666\right) - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \color{blue}{\left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(\left(0.16666666666666666 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) + \left(-0.5 + {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \varepsilon}\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} + {\tan x}^{4}\right) + \left(\left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) - \varepsilon \cdot \left(\tan x \cdot \left(\left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} + {\tan x}^{4}\right)\right) + \left(-0.5 + {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) + -0.3333333333333333 \cdot \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

10. Taylor expanded in eps around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{3} - \frac{-1}{3} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{\frac{-1}{3} \cdot {\sin x}^{2}}{\color{blue}{{\cos x}^{2}}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{-1}{3} \cdot {\sin x}^{2}\right), \color{blue}{\left({\cos x}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \left({\sin x}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{\cos x}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{pow.f64}\left(\sin x, 2\right)\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\cos x, \color{blue}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. cos-lowering-cos.f64 100.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 4\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right)\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Simplified 100.0%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} + {\tan x}^{4}\right) + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 - \frac{-0.3333333333333333 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

13. Final simplification 100.0%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} + {\tan x}^{4}\right) + \left(0.3333333333333333 - \frac{-0.3333333333333333 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) + 1\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 4: 99.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   (+
    (pow (tan x) 2.0)
    (* eps (+ (+ (tan x) (pow (tan x) 3.0)) (* eps 0.3333333333333333))))
   1.0)))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((pow(tan(x), 2.0) + (eps * ((tan(x) + pow(tan(x), 3.0)) + (eps * 0.3333333333333333)))) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (((tan(x) ** 2.0d0) + (eps * ((tan(x) + (tan(x) ** 3.0d0)) + (eps * 0.3333333333333333d0)))) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((Math.pow(Math.tan(x), 2.0) + (eps * ((Math.tan(x) + Math.pow(Math.tan(x), 3.0)) + (eps * 0.3333333333333333)))) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((math.pow(math.tan(x), 2.0) + (eps * ((math.tan(x) + math.pow(math.tan(x), 3.0)) + (eps * 0.3333333333333333)))) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64((tan(x) ^ 2.0) + Float64(eps * Float64(Float64(tan(x) + (tan(x) ^ 3.0)) + Float64(eps * 0.3333333333333333)))) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (((tan(x) ^ 2.0) + (eps * ((tan(x) + (tan(x) ^ 3.0)) + (eps * 0.3333333333333333)))) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[(eps * N[(N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] + N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.7%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\left(1 + \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(-1 \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x} + \frac{\sin x \cdot \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{6} + \left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{{\cos x}^{2}} + \left(\frac{-1}{2} \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \frac{1}{6} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right) - -1 \cdot \frac{\sin x \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}{\cos x}\right)\right) - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left(\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + -0.16666666666666666\right) - \left(-0.5 + \left(\frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \left(\left(-0.5 + \frac{-0.5 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \left(\frac{0.16666666666666666 \cdot {\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(0.16666666666666666 - \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)}{\cos x} + \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left(\varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) + \color{blue}{\left(\left({\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right) + \left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \varepsilon \cdot \left(\left(\left(0.16666666666666666 - {\tan x}^{2} \cdot \left(1 + {\tan x}^{2}\right)\right) + \left(-0.5 + {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \tan x + \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \varepsilon}\right) + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \color{blue}{\left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} + {\tan x}^{4}\right) + \left(\left(0.3333333333333333 - {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right) - \varepsilon \cdot \left(\tan x \cdot \left(\left(0.16666666666666666 - \left({\tan x}^{2} + {\tan x}^{4}\right)\right) + \left(-0.5 + {\tan x}^{2} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) + -0.3333333333333333 \cdot \left(\tan x + {\tan x}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

10. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), 3\right)\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\frac{1}{3}}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

12. Simplified 99.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(1 + \left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot \color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right)\right) \]

13. Final simplification 99.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left({\tan x}^{2} + \varepsilon \cdot \left(\left(\tan x + {\tan x}^{3}\right) + \varepsilon \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + 1\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 5: 99.0% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)\\ \varepsilon \cdot \left(\frac{0.5 - t\_0}{0.5 + t\_0} + 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.5 (cos (* x 2.0)))))
   (* eps (+ (/ (- 0.5 t_0) (+ 0.5 t_0)) 1.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	double t_0 = 0.5 * cos((x * 2.0));
	return eps * (((0.5 - t_0) / (0.5 + t_0)) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    real(8) :: t_0
    t_0 = 0.5d0 * cos((x * 2.0d0))
    code = eps * (((0.5d0 - t_0) / (0.5d0 + t_0)) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	double t_0 = 0.5 * Math.cos((x * 2.0));
	return eps * (((0.5 - t_0) / (0.5 + t_0)) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	t_0 = 0.5 * math.cos((x * 2.0))
	return eps * (((0.5 - t_0) / (0.5 + t_0)) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	t_0 = Float64(0.5 * cos(Float64(x * 2.0)))
	return Float64(eps * Float64(Float64(Float64(0.5 - t_0) / Float64(0.5 + t_0)) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	t_0 = 0.5 * cos((x * 2.0));
	tmp = eps * (((0.5 - t_0) / (0.5 + t_0)) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := Block[{t$95$0 = N[(0.5 * N[Cos[N[(x * 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(eps * N[(N[(N[(0.5 - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(0.5 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 61.7%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}\right), \mathsf{tan.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\tan x + \tan \varepsilon\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\tan x, \tan \varepsilon\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   4. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \varepsilon\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   5. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\tan x, \tan \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   8. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   9. tan-lowering-tan.f64 61.9%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 61.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

5. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 61.9%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

7. Simplified 61.9%

   \[\leadsto \frac{\tan x + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)}}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \tan x \]

8. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) \cdot \varepsilon \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \varepsilon \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \varepsilon \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right), \varepsilon\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\sin x}^{2}\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin x, 2\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   10. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   11. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\cos x, 2\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 99.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right) \cdot \varepsilon} \]
11. Step-by-step derivation

    1. /-lowering-/.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\sin x}^{2}\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\sin x \cdot \sin x\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    3. sqr-sin-a N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    4. --lowering--.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    6. cos-lowering-cos.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\cos x \cdot \cos x\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    9. sqr-cos-a N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    10. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \cos \left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    12. cos-lowering-cos.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\left(2 \cdot x\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 99.5%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{\_.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{cos.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(2, x\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

12. Applied egg-rr 99.5%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(2 \cdot x\right)}} + 1\right) \cdot \varepsilon \]

13. Final simplification 99.5%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{0.5 - 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(x \cdot 2\right)} + 1\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 6: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \varepsilon \cdot {\tan x}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (+ eps (* eps (pow (tan x) 2.0))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * pow(tan(x), 2.0));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + (eps * (tan(x) ** 2.0d0))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + (eps * Math.pow(Math.tan(x), 2.0));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + (eps * math.pow(math.tan(x), 2.0))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(eps * (tan(x) ^ 2.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + (eps * (tan(x) ^ 2.0));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(eps * N[Power[N[Tan[x], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.7%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}\right), \mathsf{tan.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\tan x + \tan \varepsilon\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\tan x, \tan \varepsilon\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   4. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \varepsilon\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   5. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\tan x, \tan \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   8. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   9. tan-lowering-tan.f64 61.9%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 61.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

5. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 61.9%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

7. Simplified 61.9%

   \[\leadsto \frac{\tan x + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)}}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \tan x \]

8. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) \cdot \varepsilon \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \varepsilon \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \varepsilon \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right), \varepsilon\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\sin x}^{2}\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin x, 2\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   10. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   11. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\cos x, 2\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 99.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right) \cdot \varepsilon} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right)} \]

    2. flip3-+ N/A

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \frac{{\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)}^{3} + {1}^{3}}{\color{blue}{\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \left(1 \cdot 1 - \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} \cdot 1\right)}} \]

    3. flip3-+ N/A

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + \color{blue}{1}\right) \]

    4. unpow2 N/A

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{{\cos x}^{2}} + 1\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x \cdot \sin x}{\cos x \cdot \cos x} + 1\right) \]

    6. frac-times N/A

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + 1\right) \]

    7. tan-quot N/A

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\tan x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + 1\right) \]

    8. tan-quot N/A

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\tan x \cdot \tan x + 1\right) \]

    9. unpow2 N/A

       \[\leadsto \varepsilon \cdot \left({\tan x}^{2} + 1\right) \]

    10. distribute-rgt-in N/A

        \[\leadsto {\tan x}^{2} \cdot \varepsilon + \color{blue}{1 \cdot \varepsilon} \]

    11. *-lft-identity N/A

        \[\leadsto {\tan x}^{2} \cdot \varepsilon + \varepsilon \]

    12. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\left({\tan x}^{2} \cdot \varepsilon\right), \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

12. Applied egg-rr 99.5%

    \[\leadsto \color{blue}{{\tan x}^{2} \cdot \varepsilon + \varepsilon} \]

13. Final simplification 99.5%

    \[\leadsto \varepsilon + \varepsilon \cdot {\tan x}^{2} \]
14. Add Preprocessing

Alternative 7: 98.5% accurate, 7.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.37777777777777777 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.19682539682539682\right)\right)\right) + 1\right) + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   (*
    (* x x)
    (+
     (*
      (* x x)
      (+
       0.6666666666666666
       (* x (* x (+ 0.37777777777777777 (* (* x x) 0.19682539682539682))))))
     1.0))
   1.0)))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * (((x * x) * (((x * x) * (0.6666666666666666 + (x * (x * (0.37777777777777777 + ((x * x) * 0.19682539682539682)))))) + 1.0)) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * (((x * x) * (((x * x) * (0.6666666666666666d0 + (x * (x * (0.37777777777777777d0 + ((x * x) * 0.19682539682539682d0)))))) + 1.0d0)) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * (((x * x) * (((x * x) * (0.6666666666666666 + (x * (x * (0.37777777777777777 + ((x * x) * 0.19682539682539682)))))) + 1.0)) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * (((x * x) * (((x * x) * (0.6666666666666666 + (x * (x * (0.37777777777777777 + ((x * x) * 0.19682539682539682)))))) + 1.0)) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(0.6666666666666666 + Float64(x * Float64(x * Float64(0.37777777777777777 + Float64(Float64(x * x) * 0.19682539682539682)))))) + 1.0)) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * (((x * x) * (((x * x) * (0.6666666666666666 + (x * (x * (0.37777777777777777 + ((x * x) * 0.19682539682539682)))))) + 1.0)) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.6666666666666666 + N[(x * N[(x * N[(0.37777777777777777 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.19682539682539682), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.7%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}\right), \mathsf{tan.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\tan x + \tan \varepsilon\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\tan x, \tan \varepsilon\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   4. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \varepsilon\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   5. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\tan x, \tan \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   8. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   9. tan-lowering-tan.f64 61.9%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 61.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

5. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 61.9%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

7. Simplified 61.9%

   \[\leadsto \frac{\tan x + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)}}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \tan x \]

8. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) \cdot \varepsilon \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \varepsilon \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \varepsilon \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right), \varepsilon\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\sin x}^{2}\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin x, 2\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   10. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   11. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\cos x, 2\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 99.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right) \cdot \varepsilon} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)}, 1\right), \varepsilon\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    2. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    4. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    5. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    6. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    7. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{2}{3} + {x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    8. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    9. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    10. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    11. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\frac{17}{45} + \frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    13. +-lowering-+.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \left(\frac{62}{315} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    14. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \left({x}^{2} \cdot \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    16. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    17. *-lowering-*.f64 98.9%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(\frac{17}{45}, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \frac{62}{315}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

13. Simplified 98.9%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.37777777777777777 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.19682539682539682\right)\right)\right)\right)} + 1\right) \cdot \varepsilon \]

14. Final simplification 98.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot \left(0.37777777777777777 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.19682539682539682\right)\right)\right) + 1\right) + 1\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 8: 98.5% accurate, 9.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.37777777777777777\right)\right) + 1\right)\right) + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (*
  eps
  (+
   (*
    x
    (*
     x
     (+
      (* (* x x) (+ 0.6666666666666666 (* x (* x 0.37777777777777777))))
      1.0)))
   1.0)))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((x * (x * (((x * x) * (0.6666666666666666 + (x * (x * 0.37777777777777777)))) + 1.0))) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * ((x * (x * (((x * x) * (0.6666666666666666d0 + (x * (x * 0.37777777777777777d0)))) + 1.0d0))) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((x * (x * (((x * x) * (0.6666666666666666 + (x * (x * 0.37777777777777777)))) + 1.0))) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((x * (x * (((x * x) * (0.6666666666666666 + (x * (x * 0.37777777777777777)))) + 1.0))) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(0.6666666666666666 + Float64(x * Float64(x * 0.37777777777777777)))) + 1.0))) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * ((x * (x * (((x * x) * (0.6666666666666666 + (x * (x * 0.37777777777777777)))) + 1.0))) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(x * N[(x * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.6666666666666666 + N[(x * N[(x * 0.37777777777777777), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.7%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}\right), \mathsf{tan.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\tan x + \tan \varepsilon\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\tan x, \tan \varepsilon\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   4. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \varepsilon\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   5. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\tan x, \tan \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   8. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   9. tan-lowering-tan.f64 61.9%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 61.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

5. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 61.9%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

7. Simplified 61.9%

   \[\leadsto \frac{\tan x + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)}}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \tan x \]

8. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) \cdot \varepsilon \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \varepsilon \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \varepsilon \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right), \varepsilon\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\sin x}^{2}\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin x, 2\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   10. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   11. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\cos x, 2\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 99.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right) \cdot \varepsilon} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}, 1\right), \varepsilon\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    2. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot \left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    3. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    6. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\frac{2}{3} + \frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    9. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \left(\frac{17}{45} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \left({x}^{2} \cdot \frac{17}{45}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    11. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{17}{45}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    12. associate-*l* N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \left(x \cdot \left(x \cdot \frac{17}{45}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    13. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \frac{17}{45}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    14. *-lowering-*.f64 98.9%

        \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\frac{2}{3}, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \frac{17}{45}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

13. Simplified 98.9%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.37777777777777777\right)\right)\right)\right)} + 1\right) \cdot \varepsilon \]

14. Final simplification 98.9%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666666 + x \cdot \left(x \cdot 0.37777777777777777\right)\right) + 1\right)\right) + 1\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 9: 98.5% accurate, 13.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps)
 :precision binary64
 (+ eps (* (* x x) (+ eps (* x (* x (* eps 0.6666666666666666)))))))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps + ((x * x) * (eps + (x * (x * (eps * 0.6666666666666666)))));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps + ((x * x) * (eps + (x * (x * (eps * 0.6666666666666666d0)))))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps + ((x * x) * (eps + (x * (x * (eps * 0.6666666666666666)))));
}

Python

def code(x, eps):
	return eps + ((x * x) * (eps + (x * (x * (eps * 0.6666666666666666)))))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps + Float64(Float64(x * x) * Float64(eps + Float64(x * Float64(x * Float64(eps * 0.6666666666666666))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps + ((x * x) * (eps + (x * (x * (eps * 0.6666666666666666)))));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(eps + N[(x * N[(x * N[(eps * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.7%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}\right), \mathsf{tan.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\tan x + \tan \varepsilon\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\tan x, \tan \varepsilon\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   4. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \varepsilon\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   5. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\tan x, \tan \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   8. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   9. tan-lowering-tan.f64 61.9%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 61.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

5. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 61.9%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

7. Simplified 61.9%

   \[\leadsto \frac{\tan x + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)}}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \tan x \]

8. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) \cdot \varepsilon \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \varepsilon \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \varepsilon \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right), \varepsilon\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\sin x}^{2}\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin x, 2\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   10. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   11. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\cos x, 2\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 99.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right) \cdot \varepsilon} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + {x}^{2} \cdot \left(\varepsilon + \frac{2}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\varepsilon + \frac{2}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]

    2. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\varepsilon + \frac{2}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

    3. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\varepsilon} + \frac{2}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\varepsilon} + \frac{2}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot {x}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    6. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{2}{3}} \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \left(x \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot x\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \left(\varepsilon \cdot x\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    13. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(\left(\frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{x}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \left(x \cdot \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. *-lowering-*.f64 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{2}{3} \cdot \varepsilon\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f64 98.8%

        \[\leadsto \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), \mathsf{+.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(x, \mathsf{*.f64}\left(\frac{2}{3}, \color{blue}{\varepsilon}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 98.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot \varepsilon\right)\right)\right)} \]

14. Final simplification 98.8%

    \[\leadsto \varepsilon + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\varepsilon + x \cdot \left(x \cdot \left(\varepsilon \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 10: 98.4% accurate, 29.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \cdot \left(x \cdot x + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (* eps (+ (* x x) 1.0)))

C

double code(double x, double eps) {
	return eps * ((x * x) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps * ((x * x) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps * ((x * x) + 1.0);
}

Python

def code(x, eps):
	return eps * ((x * x) + 1.0)

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(eps * Float64(Float64(x * x) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps * ((x * x) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(eps * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 61.7%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. tan-sum N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\left(\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}\right), \mathsf{tan.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left(\tan x + \tan \varepsilon\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(\color{blue}{x}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\tan x, \tan \varepsilon\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   4. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \varepsilon\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   5. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \left(1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   6. --lowering--.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \left(\tan x \cdot \tan \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\tan x, \tan \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   8. tan-lowering-tan.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \tan \varepsilon\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   9. tan-lowering-tan.f64 61.9%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 61.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\tan x + \tan \varepsilon}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon}} - \tan x \]

5. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)}\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \left(1 + \frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \left(\frac{1}{3} \cdot {\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left({\varepsilon}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f64 61.9%

      \[\leadsto \mathsf{\_.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \mathsf{+.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f64}\left(\varepsilon, \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f64}\left(1, \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{tan.f64}\left(x\right), \mathsf{tan.f64}\left(\varepsilon\right)\right)\right)\right), \mathsf{tan.f64}\left(x\right)\right) \]

7. Simplified 61.9%

   \[\leadsto \frac{\tan x + \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)}}{1 - \tan x \cdot \tan \varepsilon} - \tan x \]

8. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(1 - -1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon} \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right) \cdot \varepsilon \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \varepsilon \]

   4. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right) \cdot \varepsilon \]

   5. *-lowering-*.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + \frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right), \varepsilon\right) \]

   7. +-lowering-+.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}}\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   8. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\left({\sin x}^{2}\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   9. pow-lowering-pow.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\sin x, 2\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   10. sin-lowering-sin.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \left({\cos x}^{2}\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   11. pow-lowering-pow.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\cos x, 2\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

   12. cos-lowering-cos.f64 99.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{/.f64}\left(\mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(x\right), 2\right), \mathsf{pow.f64}\left(\mathsf{cos.f64}\left(x\right), 2\right)\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

10. Simplified 99.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{{\sin x}^{2}}{{\cos x}^{2}} + 1\right) \cdot \varepsilon} \]

11. Taylor expanded in x around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon + \varepsilon \cdot {x}^{2}} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \varepsilon + {x}^{2} \cdot \color{blue}{\varepsilon} \]

    2. distribute-rgt1-in N/A

       \[\leadsto \left({x}^{2} + 1\right) \cdot \color{blue}{\varepsilon} \]

    3. +-commutative N/A

       \[\leadsto \left(1 + {x}^{2}\right) \cdot \varepsilon \]

    4. *-lowering-*.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left(1 + {x}^{2}\right), \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

    5. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\left({x}^{2} + 1\right), \varepsilon\right) \]

    6. +-lowering-+.f64 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left({x}^{2}\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\left(x \cdot x\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

    8. *-lowering-*.f64 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f64}\left(\mathsf{+.f64}\left(\mathsf{*.f64}\left(x, x\right), 1\right), \varepsilon\right) \]

13. Simplified 98.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x + 1\right) \cdot \varepsilon} \]

14. Final simplification 98.8%

    \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(x \cdot x + 1\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 11: 98.0% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \varepsilon \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 eps)

C

double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = eps
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return eps;
}

Python

def code(x, eps):
	return eps

Julia

function code(x, eps)
	return eps
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = eps;
end

Wolfram

code[x_, eps_] := eps

Derivation

1. Initial program 61.7%

   \[\tan \left(x + \varepsilon\right) - \tan x \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\sin \varepsilon, \color{blue}{\cos \varepsilon}\right) \]

   2. sin-lowering-sin.f64 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right), \cos \color{blue}{\varepsilon}\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f64 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{/.f64}\left(\mathsf{sin.f64}\left(\varepsilon\right), \mathsf{cos.f64}\left(\varepsilon\right)\right) \]

5. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \varepsilon}{\cos \varepsilon}} \]

6. Taylor expanded in eps around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon} \]
7. Step-by-step derivation

8. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon} \]
9. Add Preprocessing

Developer Target 1: 99.9% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin \varepsilon}{\cos x \cdot \cos \left(x + \varepsilon\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x eps) :precision binary64 (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

C

double code(double x, double eps) {
	return sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
}

Fortran

real(8) function code(x, eps)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: eps
    code = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)))
end function

Java

public static double code(double x, double eps) {
	return Math.sin(eps) / (Math.cos(x) * Math.cos((x + eps)));
}

Python

def code(x, eps):
	return math.sin(eps) / (math.cos(x) * math.cos((x + eps)))

Julia

function code(x, eps)
	return Float64(sin(eps) / Float64(cos(x) * cos(Float64(x + eps))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, eps)
	tmp = sin(eps) / (cos(x) * cos((x + eps)));
end

Wolfram

code[x_, eps_] := N[(N[Sin[eps], $MachinePrecision] / N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(x + eps), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (x eps)
  :name "2tan (problem 3.3.2)"
  :precision binary64
  :pre (and (and (and (<= -10000.0 x) (<= x 10000.0)) (< (* 1e-16 (fabs x)) eps)) (< eps (fabs x)))

  :alt
  (! :herbie-platform default (/ (sin eps) (* (cos x) (cos (+ x eps)))))

  (- (tan (+ x eps)) (tan x)))