Sample trimmed logistic on [-pi, pi]

Percentage Accurate: 98.9% → 99.0%

Time: 18.7s

Alternatives: 15

Speedup: 1.3×

Specification

\[\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u \land u \leq 1\right) \land \left(0 \leq s \land s \leq 1.0651631\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)));
	return -s * logf(((1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf((-((float) M_PI) / s)))) - t_0)) + t_0)) - 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-Float32(pi)) / s)))) - t_0)) + t_0)) - Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)));
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((-single(pi) / s)))) - t_0)) + t_0)) - single(1.0)));
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - t\_0\right) + t\_0} - 1\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s))))))
   (*
    (- s)
    (log
     (-
      (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) t_0)) t_0))
      1.0)))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = 1.0f / (1.0f + expf((((float) M_PI) / s)));
	return -s * logf(((1.0f / ((u * ((1.0f / (1.0f + expf((-((float) M_PI) / s)))) - t_0)) + t_0)) - 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(pi) / s))))
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(u * Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(1.0) + exp(Float32(Float32(-Float32(pi)) / s)))) - t_0)) + t_0)) - Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = single(1.0) / (single(1.0) + exp((single(pi) / s)));
	tmp = -s * log(((single(1.0) / ((u * ((single(1.0) / (single(1.0) + exp((-single(pi) / s)))) - t_0)) + t_0)) - single(1.0)));
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{1 - u}{e^{\frac{\pi}{s}} + 1} + \frac{u}{e^{0 - \frac{\pi}{s}} + 1}\\ s \cdot \log \left(\frac{\frac{1}{t\_0} + 1}{{t\_0}^{-2} + -1}\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0
         (+
          (/ (- 1.0 u) (+ (exp (/ PI s)) 1.0))
          (/ u (+ (exp (- 0.0 (/ PI s))) 1.0)))))
   (* s (log (/ (+ (/ 1.0 t_0) 1.0) (+ (pow t_0 -2.0) -1.0))))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = ((1.0f - u) / (expf((((float) M_PI) / s)) + 1.0f)) + (u / (expf((0.0f - (((float) M_PI) / s))) + 1.0f));
	return s * logf((((1.0f / t_0) + 1.0f) / (powf(t_0, -2.0f) + -1.0f)));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(exp(Float32(Float32(pi) / s)) + Float32(1.0))) + Float32(u / Float32(exp(Float32(Float32(0.0) - Float32(Float32(pi) / s))) + Float32(1.0))))
	return Float32(s * log(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) / t_0) + Float32(1.0)) / Float32((t_0 ^ Float32(-2.0)) + Float32(-1.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	t_0 = ((single(1.0) - u) / (exp((single(pi) / s)) + single(1.0))) + (u / (exp((single(0.0) - (single(pi) / s))) + single(1.0)));
	tmp = s * log((((single(1.0) / t_0) + single(1.0)) / ((t_0 ^ single(-2.0)) + single(-1.0))));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}\right)\right) \]

   2. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \log \left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}}\right)\right) \]

   3. log-rec N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1}{\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - -1 \cdot -1}\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\left(-\log \left(\frac{\frac{1}{\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + 1}{{\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)}^{-2} + -1}\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + 1\right), \left({\left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-2} + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \left(-\log \color{blue}{\left(\frac{1 + \frac{1}{\frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}}}}{{\left(\frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}} + \frac{u}{1 + e^{\frac{\pi}{-s}}}\right)}^{-2} + -1}\right)}\right) \]

9. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto s \cdot \log \left(\frac{\frac{1}{\frac{1 - u}{e^{\frac{\pi}{s}} + 1} + \frac{u}{e^{0 - \frac{\pi}{s}} + 1}} + 1}{{\left(\frac{1 - u}{e^{\frac{\pi}{s}} + 1} + \frac{u}{e^{0 - \frac{\pi}{s}} + 1}\right)}^{-2} + -1}\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.9% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{\frac{\pi}{s}}\\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\mathsf{expm1}\left(-\log \left(\frac{1 - u}{t\_0 + 1} + \frac{u}{\frac{1}{t\_0} + 1}\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (exp (/ PI s))))
   (*
    (- s)
    (log
     (expm1
      (- (log (+ (/ (- 1.0 u) (+ t_0 1.0)) (/ u (+ (/ 1.0 t_0) 1.0))))))))))

C

float code(float u, float s) {
	float t_0 = expf((((float) M_PI) / s));
	return -s * logf(expm1f(-logf((((1.0f - u) / (t_0 + 1.0f)) + (u / ((1.0f / t_0) + 1.0f))))));
}

Julia

function code(u, s)
	t_0 = exp(Float32(Float32(pi) / s))
	return Float32(Float32(-s) * log(expm1(Float32(-log(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(t_0 + Float32(1.0))) + Float32(u / Float32(Float32(Float32(1.0) / t_0) + Float32(1.0)))))))))
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} + -1\right)\right)\right) \]

   2. fma-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(1, \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}, -1\right)\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\mathsf{fma}\left(1, \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}}, \mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 \cdot \frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - 1\right)\right)\right) \]

   5. div-inv N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}} - 1\right)\right)\right) \]

   6. inv-pow N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left({\left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)}^{-1} - 1\right)\right)\right) \]

   7. pow-to-exp N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(e^{\log \left(\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right) \cdot -1} - 1\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\mathsf{expm1}\left(-\log \left(\frac{u}{1 + \frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right)\right)\right)} \]

7. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\mathsf{expm1}\left(-\log \left(\frac{1 - u}{e^{\frac{\pi}{s}} + 1} + \frac{u}{\frac{1}{e^{\frac{\pi}{s}}} + 1}\right)\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.9% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{1 - u}{e^{\frac{\pi}{s}} + 1} + \frac{u}{e^{0 - \frac{\pi}{s}} + 1}} + -1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (*
  (- s)
  (log
   (+
    (/
     1.0
     (+
      (/ (- 1.0 u) (+ (exp (/ PI s)) 1.0))
      (/ u (+ (exp (- 0.0 (/ PI s))) 1.0))))
    -1.0))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf(((1.0f / (((1.0f - u) / (expf((((float) M_PI) / s)) + 1.0f)) + (u / (expf((0.0f - (((float) M_PI) / s))) + 1.0f)))) + -1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(exp(Float32(Float32(pi) / s)) + Float32(1.0))) + Float32(u / Float32(exp(Float32(Float32(0.0) - Float32(Float32(pi) / s))) + Float32(1.0))))) + Float32(-1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log(((single(1.0) / (((single(1.0) - u) / (exp((single(pi) / s)) + single(1.0))) + (u / (exp((single(0.0) - (single(pi) / s))) + single(1.0))))) + single(-1.0)));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. sub0-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   2. distribute-neg-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 98.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{\color{blue}{\frac{-\pi}{s}}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]

7. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{1 - u}{e^{\frac{\pi}{s}} + 1} + \frac{u}{e^{0 - \frac{\pi}{s}} + 1}} + -1\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 4: 31.8% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq 2.5000000784359874 \cdot 10^{-23}:\\ \;\;\;\;s \cdot \left(\left(\log s - u \cdot -2\right) - \log \pi\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0 - s \cdot s}{s} \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{1 - u}{e^{\frac{\pi}{s}} + 1} + \frac{u}{1 + 1}}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (if (<= s 2.5000000784359874e-23)
   (* s (- (- (log s) (* u -2.0)) (log PI)))
   (*
    (/ (- 0.0 (* s s)) s)
    (log
     (+
      -1.0
      (/ 1.0 (+ (/ (- 1.0 u) (+ (exp (/ PI s)) 1.0)) (/ u (+ 1.0 1.0)))))))))

C

float code(float u, float s) {
	float tmp;
	if (s <= 2.5000000784359874e-23f) {
		tmp = s * ((logf(s) - (u * -2.0f)) - logf(((float) M_PI)));
	} else {
		tmp = ((0.0f - (s * s)) / s) * logf((-1.0f + (1.0f / (((1.0f - u) / (expf((((float) M_PI) / s)) + 1.0f)) + (u / (1.0f + 1.0f))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(u, s)
	tmp = Float32(0.0)
	if (s <= Float32(2.5000000784359874e-23))
		tmp = Float32(s * Float32(Float32(log(s) - Float32(u * Float32(-2.0))) - log(Float32(pi))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(Float32(0.0) - Float32(s * s)) / s) * log(Float32(Float32(-1.0) + Float32(Float32(1.0) / Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - u) / Float32(exp(Float32(Float32(pi) / s)) + Float32(1.0))) + Float32(u / Float32(Float32(1.0) + Float32(1.0))))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(u, s)
	tmp = single(0.0);
	if (s <= single(2.5000000784359874e-23))
		tmp = s * ((log(s) - (u * single(-2.0))) - log(single(pi)));
	else
		tmp = ((single(0.0) - (s * s)) / s) * log((single(-1.0) + (single(1.0) / (((single(1.0) - u) / (exp((single(pi) / s)) + single(1.0))) + (u / (single(1.0) + single(1.0)))))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if s < 2.50000008e-23

   1. Initial program 98.8%

      \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

   3. Simplified 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in s around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right) \]

      2. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. distribute-lft-neg-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

      5. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-4 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot -4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

      8. associate-/l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{-4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 21.5%

      \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \frac{-4}{s}\right)} \]

   8. Taylor expanded in u around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\log \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right) + -2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)}\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\log \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)}\right)\right) \]

      2. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right) \]

      3. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right) \]

      4. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. associate-*r/ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \left(\frac{-2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\color{blue}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}\right)\right)\right) \]

      7. times-frac N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \left(\frac{-2}{s} \cdot \color{blue}{\frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-2}{s}\right), \color{blue}{\left(\frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)\right) \]

      9. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \left(\frac{\color{blue}{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right) \]

      10. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. PI-lowering-PI.f32 22.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 22.2%

       \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\pi}{s}\right) + \frac{-2}{s} \cdot \frac{\pi \cdot u}{1 + \frac{\pi}{s}}\right)} \]

   11. Taylor expanded in s around 0

       \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(s \cdot \left(\log \mathsf{PI}\left(\right) + \left(-2 \cdot u + -1 \cdot \log s\right)\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(-1 \cdot s\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \mathsf{PI}\left(\right) + \left(-2 \cdot u + -1 \cdot \log s\right)\right)} \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot s\right), \color{blue}{\left(\log \mathsf{PI}\left(\right) + \left(-2 \cdot u + -1 \cdot \log s\right)\right)}\right) \]

       3. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right), \left(\color{blue}{\log \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(-2 \cdot u + -1 \cdot \log s\right)\right)\right) \]

       4. neg-lowering-neg.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\color{blue}{\log \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(-2 \cdot u + -1 \cdot \log s\right)\right)\right) \]

       5. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\log \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot u + -1 \cdot \log s\right)}\right)\right) \]

       6. log-lowering-log.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2 \cdot u} + -1 \cdot \log s\right)\right)\right) \]

       7. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot u + -1 \cdot \log s\right)\right)\right) \]

       8. mul-1-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot u + \left(\mathsf{neg}\left(\log s\right)\right)\right)\right)\right) \]

       9. unsub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot u - \color{blue}{\log s}\right)\right)\right) \]

       10. --lowering--.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(-2 \cdot u\right), \color{blue}{\log s}\right)\right)\right) \]

       11. *-commutative N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(u \cdot -2\right), \log \color{blue}{s}\right)\right)\right) \]

       12. *-lowering-*.f32 N/A

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, -2\right), \log \color{blue}{s}\right)\right)\right) \]

       13. log-lowering-log.f32 22.6%

           \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, -2\right), \mathsf{log.f32}\left(s\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 22.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \left(\log \pi + \left(u \cdot -2 - \log s\right)\right)} \]

   if 2.50000008e-23 < s

   1. Initial program 98.6%

      \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

   3. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. neg-sub0 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(0 - s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)}\right)\right) \]

      2. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{0 \cdot 0 - s \cdot s}{0 + s}\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)}\right)\right) \]

      3. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(0 \cdot 0 - s \cdot s\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)}\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(0 - s \cdot s\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{1}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]

      5. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \left(s \cdot s\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right)}, -1\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \left(0 + s\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \color{blue}{\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)}\right), -1\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 93.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{-1}\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 93.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0 - s \cdot s}{0 + s}} \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]

   7. Taylor expanded in s around inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(0, \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(0, s\right)\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(u, \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{1}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{exp.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right), -1\right)\right)\right) \]
   8. Step-by-step derivation

   9. Simplified 37.8%

      \[\leadsto \frac{0 - s \cdot s}{0 + s} \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + \color{blue}{1}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 32.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;s \leq 2.5000000784359874 \cdot 10^{-23}:\\ \;\;\;\;s \cdot \left(\left(\log s - u \cdot -2\right) - \log \pi\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{0 - s \cdot s}{s} \cdot \log \left(-1 + \frac{1}{\frac{1 - u}{e^{\frac{\pi}{s}} + 1} + \frac{u}{1 + 1}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 25.3% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ s \cdot \left(\left(\log s - u \cdot -2\right) - \log \pi\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* s (- (- (log s) (* u -2.0)) (log PI))))

C

float code(float u, float s) {
	return s * ((logf(s) - (u * -2.0f)) - logf(((float) M_PI)));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(s * Float32(Float32(log(s) - Float32(u * Float32(-2.0))) - log(Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = s * ((log(s) - (u * single(-2.0))) - log(single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-4 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot -4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{-4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 24.4%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \frac{-4}{s}\right)} \]

8. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\log \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right) + -2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\log \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)}\right)\right) \]

   2. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right) \]

   3. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \left(\frac{-2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\color{blue}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}\right)\right)\right) \]

   7. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \left(\frac{-2}{s} \cdot \color{blue}{\frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-2}{s}\right), \color{blue}{\left(\frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \left(\frac{\color{blue}{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. PI-lowering-PI.f32 24.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 24.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\pi}{s}\right) + \frac{-2}{s} \cdot \frac{\pi \cdot u}{1 + \frac{\pi}{s}}\right)} \]

11. Taylor expanded in s around 0

    \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(s \cdot \left(\log \mathsf{PI}\left(\right) + \left(-2 \cdot u + -1 \cdot \log s\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(-1 \cdot s\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \mathsf{PI}\left(\right) + \left(-2 \cdot u + -1 \cdot \log s\right)\right)} \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot s\right), \color{blue}{\left(\log \mathsf{PI}\left(\right) + \left(-2 \cdot u + -1 \cdot \log s\right)\right)}\right) \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right), \left(\color{blue}{\log \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(-2 \cdot u + -1 \cdot \log s\right)\right)\right) \]

    4. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\color{blue}{\log \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(-2 \cdot u + -1 \cdot \log s\right)\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\log \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot u + -1 \cdot \log s\right)}\right)\right) \]

    6. log-lowering-log.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2 \cdot u} + -1 \cdot \log s\right)\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot u + -1 \cdot \log s\right)\right)\right) \]

    8. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot u + \left(\mathsf{neg}\left(\log s\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. unsub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-2 \cdot u - \color{blue}{\log s}\right)\right)\right) \]

    10. --lowering--.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(-2 \cdot u\right), \color{blue}{\log s}\right)\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\left(u \cdot -2\right), \log \color{blue}{s}\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, -2\right), \log \color{blue}{s}\right)\right)\right) \]

    13. log-lowering-log.f32 24.9%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u, -2\right), \mathsf{log.f32}\left(s\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 24.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \left(\log \pi + \left(u \cdot -2 - \log s\right)\right)} \]

14. Final simplification 24.9%

    \[\leadsto s \cdot \left(\left(\log s - u \cdot -2\right) - \log \pi\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 6: 25.3% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ s \cdot \left(\log s - \log \pi\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* s (- (log s) (log PI))))

C

float code(float u, float s) {
	return s * (logf(s) - logf(((float) M_PI)));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(s * Float32(log(s) - log(Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = s * (log(s) - log(single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-4 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot -4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{-4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 24.4%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \frac{-4}{s}\right)} \]

8. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\log \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   2. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f32 24.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right) \]

10. Simplified 24.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\frac{\pi}{s}\right)} \]

11. Taylor expanded in s around 0

    \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(s \cdot \left(\log \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \log s\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(-1 \cdot s\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \log s\right)} \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 \cdot s\right), \color{blue}{\left(\log \mathsf{PI}\left(\right) + -1 \cdot \log s\right)}\right) \]

    3. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right), \left(\color{blue}{\log \mathsf{PI}\left(\right)} + -1 \cdot \log s\right)\right) \]

    4. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\color{blue}{\log \mathsf{PI}\left(\right)} + -1 \cdot \log s\right)\right) \]

    5. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\log \mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot \log s\right)}\right)\right) \]

    6. log-lowering-log.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{-1} \cdot \log s\right)\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(-1 \cdot \log s\right)\right)\right) \]

    8. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\log s\right)\right)\right)\right) \]

    9. neg-lowering-neg.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\log s\right)\right)\right) \]

    10. log-lowering-log.f32 24.9%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(s\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 24.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \left(\log \pi + \left(-\log s\right)\right)} \]

14. Final simplification 24.9%

    \[\leadsto s \cdot \left(\log s - \log \pi\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 7: 25.2% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ s \cdot \left(\left(0 - u \cdot -2\right) - \mathsf{log1p}\left(\frac{\pi}{s}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s)
 :precision binary32
 (* s (- (- 0.0 (* u -2.0)) (log1p (/ PI s)))))

C

float code(float u, float s) {
	return s * ((0.0f - (u * -2.0f)) - log1pf((((float) M_PI) / s)));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(s * Float32(Float32(Float32(0.0) - Float32(u * Float32(-2.0))) - log1p(Float32(Float32(pi) / s))))
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-4 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot -4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{-4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 24.4%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \frac{-4}{s}\right)} \]

8. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\log \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right) + -2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\log \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)}\right)\right) \]

   2. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right) \]

   3. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \left(\frac{-2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\color{blue}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}\right)\right)\right) \]

   7. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \left(\frac{-2}{s} \cdot \color{blue}{\frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-2}{s}\right), \color{blue}{\left(\frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \left(\frac{\color{blue}{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. PI-lowering-PI.f32 24.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 24.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\pi}{s}\right) + \frac{-2}{s} \cdot \frac{\pi \cdot u}{1 + \frac{\pi}{s}}\right)} \]

11. Taylor expanded in s around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot u\right)}\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \left(u \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 24.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u, \color{blue}{-2}\right)\right)\right) \]

13. Simplified 24.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\pi}{s}\right) + \color{blue}{u \cdot -2}\right) \]

14. Final simplification 24.7%

    \[\leadsto s \cdot \left(\left(0 - u \cdot -2\right) - \mathsf{log1p}\left(\frac{\pi}{s}\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 8: 25.2% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{\frac{-1}{s}}{\frac{-1}{\pi}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* (- s) (log1p (/ (/ -1.0 s) (/ -1.0 PI)))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * log1pf(((-1.0f / s) / (-1.0f / ((float) M_PI))));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log1p(Float32(Float32(Float32(-1.0) / s) / Float32(Float32(-1.0) / Float32(pi)))))
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-4 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot -4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{-4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 24.4%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \frac{-4}{s}\right)} \]

8. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\log \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   2. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f32 24.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right) \]

10. Simplified 24.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\frac{\pi}{s}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\frac{1}{\frac{s}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    2. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\frac{1}{s \cdot \frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    3. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\frac{\frac{1}{s}}{\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}}\right)\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{1}{s}\right), \left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    5. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \left(\frac{1}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    6. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f32 24.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(1, s\right), \mathsf{/.f32}\left(1, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 24.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{\frac{1}{s}}{\frac{1}{\pi}}}\right) \]

13. Final simplification 24.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{\frac{-1}{s}}{\frac{-1}{\pi}}\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 9: 25.2% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{\pi}{s} + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* (- s) (log (+ (/ PI s) 1.0))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * logf(((((float) M_PI) / s) + 1.0f));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log(Float32(Float32(Float32(pi) / s) + Float32(1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -s * log(((single(pi) / s) + single(1.0)));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-4 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot -4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{-4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 24.4%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \frac{-4}{s}\right)} \]

8. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 24.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 24.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(1 + \color{blue}{\frac{\pi}{s}}\right) \]

11. Final simplification 24.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{\pi}{s} + 1\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 10: 25.2% accurate, 4.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(-s\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(\frac{\pi}{s}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* (- s) (log1p (/ PI s))))

C

float code(float u, float s) {
	return -s * log1pf((((float) M_PI) / s));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(-s) * log1p(Float32(Float32(pi) / s)))
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-4 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot -4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{-4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 24.4%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \frac{-4}{s}\right)} \]

8. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\log \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   2. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f32 24.7%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right) \]

10. Simplified 24.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\frac{\pi}{s}\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 11: 13.8% accurate, 39.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{s} \cdot \left(\left(s \cdot s\right) \cdot \frac{-1}{s}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* (/ PI s) (* (* s s) (/ -1.0 s))))

C

float code(float u, float s) {
	return (((float) M_PI) / s) * ((s * s) * (-1.0f / s));
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(Float32(pi) / s) * Float32(Float32(s * s) * Float32(Float32(-1.0) / s)))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = (single(pi) / s) * ((s * s) * (single(-1.0) / s));
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 11.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

7. Simplified 11.6%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\pi}{s}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   2. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   3. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(1 \cdot s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1} \cdot s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   6. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{\frac{1}{s}}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   7. *-inverses N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{\frac{\frac{s}{s}}{s}}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   8. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{\frac{s}{s \cdot s}}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   9. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{s} \cdot \left(s \cdot s\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   10. distribute-lft-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{s}\right)\right) \cdot \left(s \cdot s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, s\right)\right) \]

   11. *-inverses N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{s}{s}}{s}\right)\right) \cdot \left(s \cdot s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   12. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{s}{s \cdot s}\right)\right) \cdot \left(s \cdot s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{s}{s \cdot s}\right)\right), \left(s \cdot s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, s\right)\right) \]

   14. associate-/r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{\frac{s}{s}}{s}\right)\right), \left(s \cdot s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   15. *-inverses N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{s}\right)\right), \left(s \cdot s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   16. distribute-neg-frac N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{s}\right), \left(s \cdot s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   17. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{s}\right), \left(s \cdot s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   18. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-1, s\right), \left(s \cdot s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   19. *-lowering-*.f32 13.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-1, s\right), \mathsf{*.f32}\left(s, s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 13.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{-1}{s} \cdot \left(s \cdot s\right)\right)} \cdot \frac{\pi}{s} \]

10. Final simplification 13.9%

    \[\leadsto \frac{\pi}{s} \cdot \left(\left(s \cdot s\right) \cdot \frac{-1}{s}\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 12: 13.8% accurate, 39.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\pi}{s} \cdot \frac{0 - s \cdot s}{s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (* (/ PI s) (/ (- 0.0 (* s s)) s)))

C

float code(float u, float s) {
	return (((float) M_PI) / s) * ((0.0f - (s * s)) / s);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(Float32(pi) / s) * Float32(Float32(Float32(0.0) - Float32(s * s)) / s))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = (single(pi) / s) * ((single(0.0) - (s * s)) / s);
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 11.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

7. Simplified 11.6%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\pi}{s}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. remove-double-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   2. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(-1 \cdot s\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   3. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right) \cdot s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(1 \cdot s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{1} \cdot s\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   6. associate-/r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{\frac{1}{s}}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   7. *-inverses N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{\frac{\frac{s}{s}}{s}}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   8. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{\frac{s}{s \cdot s}}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   9. clear-num N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{\frac{\frac{s}{s \cdot s}}{1}}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   10. /-rgt-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{\frac{s}{s \cdot s}}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   11. div-inv N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{s \cdot \frac{1}{s \cdot s}}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   12. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{\frac{s \cdot 1}{s \cdot s}}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   13. *-inverses N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{\frac{s \cdot \frac{s}{s}}{s \cdot s}}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   14. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{\frac{\frac{s \cdot s}{s}}{s \cdot s}}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   15. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{\frac{\frac{1}{\frac{s}{s \cdot s}}}{s \cdot s}}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   16. clear-num N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\frac{s \cdot s}{\frac{1}{\frac{s}{s \cdot s}}}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   17. distribute-frac-neg2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{s \cdot s}{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{\frac{s}{s \cdot s}}\right)}\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}, s\right)\right) \]

   18. frac-2neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{s \cdot s}{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\mathsf{neg}\left(\frac{s}{s \cdot s}\right)}\right)}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   19. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{s \cdot s}{\mathsf{neg}\left(\frac{-1}{\mathsf{neg}\left(\frac{s}{s \cdot s}\right)}\right)}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   20. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{s \cdot s}{\mathsf{neg}\left(\frac{\mathsf{neg}\left(1\right)}{\mathsf{neg}\left(\frac{s}{s \cdot s}\right)}\right)}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

   21. frac-2neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{s \cdot s}{\mathsf{neg}\left(\frac{1}{\frac{s}{s \cdot s}}\right)}\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 13.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{s \cdot s}{-s}} \cdot \frac{\pi}{s} \]

10. Final simplification 13.9%

    \[\leadsto \frac{\pi}{s} \cdot \frac{0 - s \cdot s}{s} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 13: 11.5% accurate, 61.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(u \cdot \pi\right) - \pi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (- (* 2.0 (* u PI)) PI))

C

float code(float u, float s) {
	return (2.0f * (u * ((float) M_PI))) - ((float) M_PI);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(u * Float32(pi))) - Float32(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = (single(2.0) * (u * single(pi))) - single(pi);
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in s around inf

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right) \]

   2. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. distribute-lft-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(4\right)\right) \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   5. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-4 \cdot \frac{\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{-4 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot -4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{-4}{s}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{log.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \left(\frac{-1}{4} \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{1}{4} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\frac{-4}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 24.4%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \log \color{blue}{\left(1 + \left(\left(\pi \cdot u\right) \cdot 0.5 + \pi \cdot -0.25\right) \cdot \frac{-4}{s}\right)} \]

8. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\log \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right) + -2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\log \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)}\right)\right) \]

   2. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right) \]

   3. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), s\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \left(-2 \cdot \frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \left(\frac{-2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\color{blue}{s \cdot \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}}\right)\right)\right) \]

   7. times-frac N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \left(\frac{-2}{s} \cdot \color{blue}{\frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-2}{s}\right), \color{blue}{\left(\frac{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \left(\frac{\color{blue}{u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}}\right)\right)\right)\right) \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u\right), \left(\color{blue}{1} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \left(1 + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. PI-lowering-PI.f32 24.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(-2, s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 24.7%

    \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\pi}{s}\right) + \frac{-2}{s} \cdot \frac{\pi \cdot u}{1 + \frac{\pi}{s}}\right)} \]

11. Taylor expanded in s around -inf

    \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + 2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

    2. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \]

    3. unsub-neg N/A

       \[\leadsto 2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) - \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \]

    4. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\left(2 \cdot \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(u \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    8. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

    9. PI-lowering-PI.f32 11.9%

       \[\leadsto \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

13. Simplified 11.9%

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(\pi \cdot u\right) - \pi} \]

14. Final simplification 11.9%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(u \cdot \pi\right) - \pi \]
15. Add Preprocessing

Alternative 14: 11.3% accurate, 61.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 - \frac{s \cdot \pi}{s} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (- 0.0 (/ (* s PI) s)))

C

float code(float u, float s) {
	return 0.0f - ((s * ((float) M_PI)) / s);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(Float32(0.0) - Float32(Float32(s * Float32(pi)) / s))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = single(0.0) - ((s * single(pi)) / s);
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{s}\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{s}\right)\right) \]

   2. PI-lowering-PI.f32 11.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), s\right)\right) \]

7. Simplified 11.6%

   \[\leadsto \left(-s\right) \cdot \color{blue}{\frac{\pi}{s}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\color{blue}{s}} \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{s}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(s\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), s\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 11.6%

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(s\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), s\right) \]

9. Applied egg-rr 11.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(-s\right) \cdot \pi}{s}} \]

10. Final simplification 11.6%

    \[\leadsto 0 - \frac{s \cdot \pi}{s} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 15: 11.3% accurate, 216.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -\pi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u s) :precision binary32 (- PI))

C

float code(float u, float s) {
	return -((float) M_PI);
}

Julia

function code(u, s)
	return Float32(-Float32(pi))
end

MATLAB

function tmp = code(u, s)
	tmp = -single(pi);
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{u \cdot \left(\frac{1}{1 + e^{\frac{-\pi}{s}}} - \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}\right) + \frac{1}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} - 1\right) \]

3. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-s\right) \cdot \log \left(\frac{1}{\frac{u}{1 + e^{0 - \frac{\pi}{s}}} + \frac{1 - u}{1 + e^{\frac{\pi}{s}}}} + -1\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u around 0

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   2. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right)\right) \]

   3. PI-lowering-PI.f32 11.6%

      \[\leadsto \mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right)\right) \]

7. Simplified 11.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-\pi} \]
8. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (u s)
  :name "Sample trimmed logistic on [-pi, pi]"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 2.328306437e-10 u) (<= u 1.0)) (and (<= 0.0 s) (<= s 1.0651631)))
  (* (- s) (log (- (/ 1.0 (+ (* u (- (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ (- PI) s)))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))) (/ 1.0 (+ 1.0 (exp (/ PI s)))))) 1.0))))