UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 99.0% → 99.0%

Time: 20.5s

Alternatives: 24

Speedup: 0.8×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot xi + \left(\sin t\_2 \cdot t\_1\right) \cdot yi\right) + t\_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ t_1 := {\left(1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}^{0.5}\\ \mathsf{fma}\left(t\_1 \cdot \sin t\_0, yi, \left(t\_1 \cdot \cos t\_0\right) \cdot xi + ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI)))
        (t_1
         (pow
          (+
           1.0
           (* (- 1.0 ux) (* (* maxCos (* ux (* ux maxCos))) (+ ux -1.0))))
          0.5)))
   (fma
    (* t_1 (sin t_0))
    yi
    (+ (* (* t_1 (cos t_0)) xi) (* ux (* (* (- 1.0 ux) maxCos) zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float t_1 = powf((1.0f + ((1.0f - ux) * ((maxCos * (ux * (ux * maxCos))) * (ux + -1.0f)))), 0.5f);
	return fmaf((t_1 * sinf(t_0)), yi, (((t_1 * cosf(t_0)) * xi) + (ux * (((1.0f - ux) * maxCos) * zi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	t_1 = Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(ux * maxCos))) * Float32(ux + Float32(-1.0))))) ^ Float32(0.5)
	return fma(Float32(t_1 * sin(t_0)), yi, Float32(Float32(Float32(t_1 * cos(t_0)) * xi) + Float32(ux * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * zi))))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi, \left({\left(1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot xi + ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)} \]

7. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi, \left({\left(1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot xi + ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 2: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (*
   (sqrt
    (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (* (* ux ux) (* maxCos (* maxCos (+ ux -1.0)))))))
   (+
    (* (* 2.0 yi) (* (sin (* uy PI)) (cos (* uy PI))))
    (* (cos (* 2.0 (* uy PI))) xi)))
  (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * ((ux * ux) * (maxCos * (maxCos * (ux + -1.0f))))))) * (((2.0f * yi) * (sinf((uy * ((float) M_PI))) * cosf((uy * ((float) M_PI))))) + (cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))) * xi))) + (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(Float32(ux * ux) * Float32(maxCos * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))) * Float32(Float32(Float32(Float32(2.0) * yi) * Float32(sin(Float32(uy * Float32(pi))) * cos(Float32(uy * Float32(pi))))) + Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))) * xi))) + Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (sqrt((single(1.0) + ((single(1.0) - ux) * ((ux * ux) * (maxCos * (maxCos * (ux + single(-1.0)))))))) * (((single(2.0) * yi) * (sin((uy * single(pi))) * cos((uy * single(pi))))) + (cos((single(2.0) * (uy * single(pi)))) * xi))) + (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. sin-2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(yi \cdot \left(2 \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(yi \cdot 2\right) \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(yi \cdot 2\right), \left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, 2\right), \left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\color{blue}{1}, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, 2\right), \mathsf{*.f32}\left(\sin \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, 2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, 2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, 2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \cos \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. cos-lowering-cos.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, 2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, 2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 98.9%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, 2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{\left(yi \cdot 2\right) \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \pi\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

7. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \left(\sin \left(uy \cdot \pi\right) \cdot \cos \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \]
8. Add Preprocessing

Alternative 3: 99.0% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos t\_0 \cdot xi + \sin t\_0 \cdot yi\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+
    (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
    (*
     (sqrt
      (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (* (* ux ux) (* maxCos (* maxCos (+ ux -1.0)))))))
     (+ (* (cos t_0) xi) (* (sin t_0) yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + (sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * ((ux * ux) * (maxCos * (maxCos * (ux + -1.0f))))))) * ((cosf(t_0) * xi) + (sinf(t_0) * yi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(Float32(ux * ux) * Float32(maxCos * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))) * Float32(Float32(cos(t_0) * xi) + Float32(sin(t_0) * yi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + (sqrt((single(1.0) + ((single(1.0) - ux) * ((ux * ux) * (maxCos * (maxCos * (ux + single(-1.0)))))))) * ((cos(t_0) * xi) + (sin(t_0) * yi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 4: 98.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(\cos t\_0 \cdot xi + \sin t\_0 \cdot yi\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+
    (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
    (+ (* (cos t_0) xi) (* (sin t_0) yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + ((cosf(t_0) * xi) + (sinf(t_0) * yi));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(Float32(cos(t_0) * xi) + Float32(sin(t_0) * yi)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + ((cos(t_0) * xi) + (sin(t_0) * yi));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   8. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \color{blue}{maxCos}\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 5: 98.7% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \cos t\_0 \cdot xi + \left(\sin t\_0 \cdot yi + zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+
    (* (cos t_0) xi)
    (+ (* (sin t_0) yi) (* zi (* maxCos (* ux (- 1.0 ux))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return (cosf(t_0) * xi) + ((sinf(t_0) * yi) + (zi * (maxCos * (ux * (1.0f - ux)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(cos(t_0) * xi) + Float32(Float32(sin(t_0) * yi) + Float32(zi * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = (cos(t_0) * xi) + ((sin(t_0) * yi) + (zi * (maxCos * (ux * (single(1.0) - ux)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)} \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)} \]

8. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 97.0% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ t_1 := \cos t\_0\\ \mathbf{if}\;uy \leq 0.11999999731779099:\\ \;\;\;\;zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(t\_1 \cdot xi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right) + uy \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;xi \cdot \left(t\_1 + \frac{\sin t\_0}{\frac{xi}{yi}}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))) (t_1 (cos t_0)))
   (if (<= uy 0.11999999731779099)
     (+
      (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
      (*
       (+
        1.0
        (* (* 0.5 (* maxCos maxCos)) (* (* ux ux) (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0)))))
       (+
        (* t_1 xi)
        (*
         uy
         (+
          (* PI (* 2.0 yi))
          (* uy (* uy (* -1.3333333333333333 (* yi (* PI (* PI PI)))))))))))
     (* xi (+ t_1 (/ (sin t_0) (/ xi yi)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float t_1 = cosf(t_0);
	float tmp;
	if (uy <= 0.11999999731779099f) {
		tmp = (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + ((1.0f + ((0.5f * (maxCos * maxCos)) * ((ux * ux) * ((1.0f - ux) * (ux + -1.0f))))) * ((t_1 * xi) + (uy * ((((float) M_PI) * (2.0f * yi)) + (uy * (uy * (-1.3333333333333333f * (yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))))))));
	} else {
		tmp = xi * (t_1 + (sinf(t_0) / (xi / yi)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	t_1 = cos(t_0)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.11999999731779099))
		tmp = Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(0.5) * Float32(maxCos * maxCos)) * Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))) * Float32(Float32(t_1 * xi) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * yi)) + Float32(uy * Float32(uy * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))))))));
	else
		tmp = Float32(xi * Float32(t_1 + Float32(sin(t_0) / Float32(xi / yi))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	t_1 = cos(t_0);
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.11999999731779099))
		tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + ((single(1.0) + ((single(0.5) * (maxCos * maxCos)) * ((ux * ux) * ((single(1.0) - ux) * (ux + single(-1.0)))))) * ((t_1 * xi) + (uy * ((single(pi) * (single(2.0) * yi)) + (uy * (uy * (single(-1.3333333333333333) * (yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))))))));
	else
		tmp = xi * (t_1 + (sin(t_0) / (xi / yi)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.119999997

   1. Initial program 99.2%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot yi\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi + uy \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      11. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      12. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f32 98.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. Simplified 98.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi + uy \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right) + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   if 0.119999997 < uy

   1. Initial program 97.1%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in xi around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right), \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

   7. Simplified 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{xi}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 89.8%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 89.8%

       \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right) \cdot \color{blue}{xi} \]

       2. clear-num N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{1}{\frac{xi}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right) \cdot xi \]

       3. associate-/r* N/A

          \[\leadsto \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{1}{\frac{\frac{xi}{yi}}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right) \cdot xi \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{1}{\frac{\frac{xi}{yi}}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}\right), \color{blue}{xi}\right) \]

   12. Applied egg-rr 89.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{\frac{xi}{yi}}\right) \cdot xi} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.11999999731779099:\\ \;\;\;\;zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right) + uy \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{\frac{xi}{yi}}\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 95.7% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \sin t\_0 \cdot yi + \left(\cos t\_0 \cdot xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+ (* (sin t_0) yi) (+ (* (cos t_0) xi) (* maxCos (* ux zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return (sinf(t_0) * yi) + ((cosf(t_0) * xi) + (maxCos * (ux * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(sin(t_0) * yi) + Float32(Float32(cos(t_0) * xi) + Float32(maxCos * Float32(ux * zi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = (sin(t_0) * yi) + ((cos(t_0) * xi) + (maxCos * (ux * zi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), yi, \left({\left(1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}^{0.5} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot xi + ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)\right)} \]

7. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \left(\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot zi\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   13. sin-lowering-sin.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. PI-lowering-PI.f32 96.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Simplified 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \]

10. Final simplification 96.5%

    \[\leadsto \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 8: 95.7% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ \cos t\_0 \cdot xi + \left(\sin t\_0 \cdot yi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))))
   (+ (* (cos t_0) xi) (+ (* (sin t_0) yi) (* maxCos (* ux zi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	return (cosf(t_0) * xi) + ((sinf(t_0) * yi) + (maxCos * (ux * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(cos(t_0) * xi) + Float32(Float32(sin(t_0) * yi) + Float32(maxCos * Float32(ux * zi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	tmp = (cos(t_0) * xi) + ((sin(t_0) * yi) + (maxCos * (ux * zi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]

   2. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)} \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   5. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{ux}\right)\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \left(maxCos \cdot zi\right) \cdot \color{blue}{ux}\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\left(maxCos \cdot zi\right) \cdot ux\right)}\right)\right) \]

7. Simplified 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)} \]

8. Final simplification 96.5%

   \[\leadsto \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 9: 97.0% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\\ t_1 := \cos t\_0 \cdot xi\\ \mathbf{if}\;uy \leq 0.11999999731779099:\\ \;\;\;\;zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(t\_1 + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right) + uy \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_1 + \sin t\_0 \cdot yi\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy PI))) (t_1 (* (cos t_0) xi)))
   (if (<= uy 0.11999999731779099)
     (+
      (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
      (*
       (+
        1.0
        (* (* 0.5 (* maxCos maxCos)) (* (* ux ux) (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0)))))
       (+
        t_1
        (*
         uy
         (+
          (* PI (* 2.0 yi))
          (* uy (* uy (* -1.3333333333333333 (* yi (* PI (* PI PI)))))))))))
     (+ t_1 (* (sin t_0) yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * ((float) M_PI));
	float t_1 = cosf(t_0) * xi;
	float tmp;
	if (uy <= 0.11999999731779099f) {
		tmp = (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + ((1.0f + ((0.5f * (maxCos * maxCos)) * ((ux * ux) * ((1.0f - ux) * (ux + -1.0f))))) * (t_1 + (uy * ((((float) M_PI) * (2.0f * yi)) + (uy * (uy * (-1.3333333333333333f * (yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))))))));
	} else {
		tmp = t_1 + (sinf(t_0) * yi);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))
	t_1 = Float32(cos(t_0) * xi)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.11999999731779099))
		tmp = Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(0.5) * Float32(maxCos * maxCos)) * Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))) * Float32(t_1 + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * yi)) + Float32(uy * Float32(uy * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))))))));
	else
		tmp = Float32(t_1 + Float32(sin(t_0) * yi));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * single(pi));
	t_1 = cos(t_0) * xi;
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.11999999731779099))
		tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + ((single(1.0) + ((single(0.5) * (maxCos * maxCos)) * ((ux * ux) * ((single(1.0) - ux) * (ux + single(-1.0)))))) * (t_1 + (uy * ((single(pi) * (single(2.0) * yi)) + (uy * (uy * (single(-1.3333333333333333) * (yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))))))));
	else
		tmp = t_1 + (sin(t_0) * yi);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.119999997

   1. Initial program 99.2%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in uy around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      2. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      3. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      5. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      6. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot yi\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      10. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      11. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      12. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      13. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      14. *-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      15. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi + uy \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      5. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      8. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      11. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      12. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      13. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      14. +-lowering-+.f32 98.3%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. Simplified 98.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi + uy \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right) + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   if 0.119999997 < uy

   1. Initial program 97.1%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

      8. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 89.8%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 89.8%

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.11999999731779099:\\ \;\;\;\;zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right) + uy \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 94.2% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right) + uy \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
  (*
   (+
    1.0
    (* (* 0.5 (* maxCos maxCos)) (* (* ux ux) (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0)))))
   (+
    (* (cos (* 2.0 (* uy PI))) xi)
    (*
     uy
     (+
      (* PI (* 2.0 yi))
      (* uy (* uy (* -1.3333333333333333 (* yi (* PI (* PI PI))))))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + ((1.0f + ((0.5f * (maxCos * maxCos)) * ((ux * ux) * ((1.0f - ux) * (ux + -1.0f))))) * ((cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))) * xi) + (uy * ((((float) M_PI) * (2.0f * yi)) + (uy * (uy * (-1.3333333333333333f * (yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(0.5) * Float32(maxCos * maxCos)) * Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))) * Float32(Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))) * xi) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * yi)) + Float32(uy * Float32(uy * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + ((single(1.0) + ((single(0.5) * (maxCos * maxCos)) * ((ux * ux) * ((single(1.0) - ux) * (ux + single(-1.0)))))) * ((cos((single(2.0) * (uy * single(pi)))) * xi) + (uy * ((single(pi) * (single(2.0) * yi)) + (uy * (uy * (single(-1.3333333333333333) * (yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot yi\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   13. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 93.9%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi + uy \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + \frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right) \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left({maxCos}^{2}\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   14. +-lowering-+.f32 93.8%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

10. Simplified 93.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi + uy \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right) + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Final simplification 93.8%

    \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(1 + \left(0.5 \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right) + uy \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 11: 94.1% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right) + uy \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot -0.5\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
  (*
   (+
    (* (cos (* 2.0 (* uy PI))) xi)
    (*
     uy
     (+
      (* PI (* 2.0 yi))
      (* uy (* uy (* -1.3333333333333333 (* yi (* PI (* PI PI)))))))))
   (+
    1.0
    (* (* ux ux) (+ (* ux (* maxCos maxCos)) (* (* maxCos maxCos) -0.5)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + (((cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))) * xi) + (uy * ((((float) M_PI) * (2.0f * yi)) + (uy * (uy * (-1.3333333333333333f * (yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))))))) * (1.0f + ((ux * ux) * ((ux * (maxCos * maxCos)) + ((maxCos * maxCos) * -0.5f)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))) * xi) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * yi)) + Float32(uy * Float32(uy * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * ux) * Float32(Float32(ux * Float32(maxCos * maxCos)) + Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(-0.5)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + (((cos((single(2.0) * (uy * single(pi)))) * xi) + (uy * ((single(pi) * (single(2.0) * yi)) + (uy * (uy * (single(-1.3333333333333333) * (yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))))))))) * (single(1.0) + ((ux * ux) * ((ux * (maxCos * maxCos)) + ((maxCos * maxCos) * single(-0.5))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot yi\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   13. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 93.9%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi + uy \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + {ux}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2} + {maxCos}^{2} \cdot ux\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left({ux}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2} + {maxCos}^{2} \cdot ux\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2} + {maxCos}^{2} \cdot ux\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2} + {maxCos}^{2} \cdot ux\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2} + {maxCos}^{2} \cdot ux\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left({maxCos}^{2} \cdot ux + \frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\left({maxCos}^{2} \cdot ux\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left({maxCos}^{2}\right), ux\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot maxCos\right), ux\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), ux\right), \left(\frac{-1}{2} \cdot {maxCos}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), ux\right), \left({maxCos}^{2} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({maxCos}^{2}\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot maxCos\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 93.7%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-4}{3}, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

10. Simplified 93.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot ux + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot -0.5\right)\right)} \cdot \left(uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi + uy \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right) + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

11. Final simplification 93.7%

    \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right) + uy \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 + \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right) + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot -0.5\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 12: 94.0% accurate, 3.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* maxCos (* (- 1.0 ux) (* ux zi)))
  (+
   (* xi (cos (* PI (* 2.0 uy))))
   (*
    uy
    (+
     (* 2.0 (* PI yi))
     (* (* yi (* PI (* PI PI))) (* -1.3333333333333333 (* uy uy))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (maxCos * ((1.0f - ux) * (ux * zi))) + ((xi * cosf((((float) M_PI) * (2.0f * uy)))) + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + ((yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * (-1.3333333333333333f * (uy * uy))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * zi))) + Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy)))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (maxCos * ((single(1.0) - ux) * (ux * zi))) + ((xi * cos((single(pi) * (single(2.0) * uy)))) + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + ((yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) * (single(-1.3333333333333333) * (uy * uy))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot yi\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   13. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 93.9%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi + uy \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot \left(zi \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right), \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot zi\right), \left(1 - ux\right)\right)\right), \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \left(1 - ux\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(\color{blue}{\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)} + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right), \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

10. Simplified 93.7%

    \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot zi\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right) + \left(xi \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

11. Final simplification 93.7%

    \[\leadsto maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 13: 91.1% accurate, 3.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* maxCos (* ux zi))
  (+
   (* xi (cos (* PI (* 2.0 uy))))
   (*
    uy
    (+
     (* 2.0 (* PI yi))
     (* (* yi (* PI (* PI PI))) (* -1.3333333333333333 (* uy uy))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (maxCos * (ux * zi)) + ((xi * cosf((((float) M_PI) * (2.0f * uy)))) + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + ((yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * (-1.3333333333333333f * (uy * uy))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * zi)) + Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy)))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (maxCos * (ux * zi)) + ((xi * cos((single(pi) * (single(2.0) * uy)))) + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + ((yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) * (single(-1.3333333333333333) * (uy * uy))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot yi\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   13. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 93.9%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi + uy \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(ux \cdot zi\right)\right), \left(\color{blue}{uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, zi\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

10. Simplified 91.5%

    \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \left(xi \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

11. Final simplification 91.5%

    \[\leadsto maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \left(xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 14: 85.8% accurate, 3.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* xi (cos (* PI (* 2.0 uy))))
  (*
   uy
   (+
    (* 2.0 (* PI yi))
    (* (* yi (* PI (* PI PI))) (* -1.3333333333333333 (* uy uy)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (xi * cosf((((float) M_PI) * (2.0f * uy)))) + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + ((yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * (-1.3333333333333333f * (uy * uy)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(xi * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * uy)))) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * Float32(Float32(-1.3333333333333333) * Float32(uy * uy))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (xi * cos((single(pi) * (single(2.0) * uy)))) + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + ((yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) * (single(-1.3333333333333333) * (uy * uy)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot yi\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   10. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   12. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \frac{-4}{3}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   13. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-4}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   14. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({uy}^{2} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

7. Simplified 93.9%

   \[\leadsto \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\color{blue}{uy \cdot \left(\left(2 \cdot yi\right) \cdot \pi + uy \cdot \left(uy \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \color{blue}{uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   10. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left({uy}^{2} \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

10. Simplified 87.7%

    \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

11. Final simplification 87.7%

    \[\leadsto xi \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(-1.3333333333333333 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 15: 85.0% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi \cdot \left(\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot -2\right)\right) + \frac{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi}{xi}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  xi
  (+
   (+ 1.0 (* (* PI PI) (* (* uy uy) -2.0)))
   (/ (* (sin (* 2.0 (* uy PI))) yi) xi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi * ((1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * ((uy * uy) * -2.0f))) + ((sinf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))) * yi) / xi));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi * Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(uy * uy) * Float32(-2.0)))) + Float32(Float32(sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))) * yi) / xi)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi * ((single(1.0) + ((single(pi) * single(pi)) * ((uy * uy) * single(-2.0)))) + ((sin((single(2.0) * (uy * single(pi)))) * yi) / xi));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in xi around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right), \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{xi}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 92.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

10. Simplified 92.5%

    \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)}, xi\right)\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)}\right), xi\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)}\right), xi\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)}\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

    5. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

    9. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 86.3%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

13. Simplified 86.3%

    \[\leadsto xi \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right) \]

14. Final simplification 86.3%

    \[\leadsto xi \cdot \left(\left(1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot -2\right)\right) + \frac{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi}{xi}\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 16: 84.9% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi \cdot \left(\left(1 + -2 \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \frac{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  xi
  (+
   (+ 1.0 (* -2.0 (* uy (* uy (* PI PI)))))
   (* yi (/ (sin (* 2.0 (* uy PI))) xi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi * ((1.0f + (-2.0f * (uy * (uy * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))))) + (yi * (sinf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))) / xi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi * Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))) + Float32(yi * Float32(sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))) / xi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi * ((single(1.0) + (single(-2.0) * (uy * (uy * (single(pi) * single(pi)))))) + (yi * (sin((single(2.0) * (uy * single(pi)))) / xi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in xi around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right), \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{xi}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 92.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

10. Simplified 92.5%

    \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-/l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(yi \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}}\right)\right)\right) \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \color{blue}{yi}\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right), \color{blue}{yi}\right)\right)\right) \]

    4. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), xi\right), yi\right)\right)\right) \]

    5. sin-lowering-sin.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), yi\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), yi\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), yi\right)\right)\right) \]

    8. PI-lowering-PI.f32 92.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), yi\right)\right)\right) \]

12. Applied egg-rr 92.3%

    \[\leadsto xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\frac{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi} \cdot yi}\right) \]

13. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), yi\right)\right)\right) \]
14. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), yi\right)\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {uy}^{2}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right), yi\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)}, yi\right)\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right), yi\right)\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), yi\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right), yi\right)\right)\right) \]

    7. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), yi\right)\right)\right) \]

    8. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot \left(uy \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), yi\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(uy \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), yi\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), yi\right)\right)\right) \]

    11. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), yi\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), yi\right)\right)\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), yi\right)\right)\right) \]

    14. PI-lowering-PI.f32 86.1%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right), yi\right)\right)\right) \]

15. Simplified 86.1%

    \[\leadsto xi \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} + \frac{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi} \cdot yi\right) \]

16. Final simplification 86.1%

    \[\leadsto xi \cdot \left(\left(1 + -2 \cdot \left(uy \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) + yi \cdot \frac{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right) \]
17. Add Preprocessing

Alternative 17: 83.6% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.2199999988079071:\\ \;\;\;\;xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.2199999988079071)
   (+
    xi
    (*
     uy
     (+
      (* 2.0 (* PI yi))
      (*
       uy
       (+
        (* -2.0 (* xi (* PI PI)))
        (* (* yi (* PI (* PI PI))) (* uy -1.3333333333333333)))))))
   (+ (* (cos (* 2.0 (* uy PI))) xi) (* maxCos (* ux zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.2199999988079071f) {
		tmp = xi + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * ((-2.0f * (xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) + ((yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * (uy * -1.3333333333333333f))))));
	} else {
		tmp = (cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))) * xi) + (maxCos * (ux * zi));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.2199999988079071))
		tmp = Float32(xi + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) + Float32(Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * Float32(uy * Float32(-1.3333333333333333))))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))) * xi) + Float32(maxCos * Float32(ux * zi)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.2199999988079071))
		tmp = xi + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * ((single(-2.0) * (xi * (single(pi) * single(pi)))) + ((yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) * (uy * single(-1.3333333333333333)))))));
	else
		tmp = (cos((single(2.0) * (uy * single(pi)))) * xi) + (maxCos * (ux * zi));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.219999999

   1. Initial program 99.2%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in xi around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right), \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

   7. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{xi}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 93.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 93.0%

       \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \color{blue}{xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 89.1%

       \[\leadsto \color{blue}{xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(-1.3333333333333333 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 0.219999999 < uy

   1. Initial program 96.5%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in yi around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot maxCos\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      16. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f32 63.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. Simplified 63.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)}\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{maxCos} \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

      4. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

      7. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \color{blue}{\left(ux \cdot zi\right)}\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 59.8%

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{zi}\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 59.8%

       \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 86.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.2199999988079071:\\ \;\;\;\;xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 18: 82.3% accurate, 4.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ (* (cos (* 2.0 (* uy PI))) xi) (* 2.0 (* uy (* PI yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))) * xi) + (2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))) * xi) + Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (cos((single(2.0) * (uy * single(pi)))) * xi) + (single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in xi around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right), \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{xi}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 92.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

10. Simplified 92.5%

    \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \frac{uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\color{blue}{xi}}\right)\right)\right) \]

    2. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot yi\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f32 84.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

13. Simplified 84.7%

    \[\leadsto xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}{xi}}\right) \]

14. Taylor expanded in xi around 0

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
15. Step-by-step derivation

    1. +-commutative N/A

       \[\leadsto xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

    2. *-commutative N/A

       \[\leadsto xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{uy}\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{uy} \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot uy\right)}\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \cdot uy\right)\right) \]

    6. cos-lowering-cos.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \cdot uy\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot \left(\color{blue}{yi} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot uy\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot uy\right)\right) \]

    9. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot uy\right)\right) \]

    10. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy\right)}\right)\right) \]

    11. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    14. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    15. PI-lowering-PI.f32 84.8%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 84.8%

    \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} \]

17. Final simplification 84.8%

    \[\leadsto \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \]
18. Add Preprocessing

Alternative 19: 83.3% accurate, 4.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.2199999988079071:\\ \;\;\;\;xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.2199999988079071)
   (+
    xi
    (*
     uy
     (+
      (* 2.0 (* PI yi))
      (*
       uy
       (+
        (* -2.0 (* xi (* PI PI)))
        (* (* yi (* PI (* PI PI))) (* uy -1.3333333333333333)))))))
   (* (cos (* 2.0 (* uy PI))) xi)))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.2199999988079071f) {
		tmp = xi + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * ((-2.0f * (xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) + ((yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * (uy * -1.3333333333333333f))))));
	} else {
		tmp = cosf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))) * xi;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.2199999988079071))
		tmp = Float32(xi + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) + Float32(Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * Float32(uy * Float32(-1.3333333333333333))))))));
	else
		tmp = Float32(cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))) * xi);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.2199999988079071))
		tmp = xi + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * ((single(-2.0) * (xi * (single(pi) * single(pi)))) + ((yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) * (uy * single(-1.3333333333333333)))))));
	else
		tmp = cos((single(2.0) * (uy * single(pi)))) * xi;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.219999999

   1. Initial program 99.2%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in xi around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right), \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

   7. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{xi}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 93.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 93.0%

       \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \color{blue}{xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

       3. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

       4. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       6. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

       7. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

       8. +-lowering-+.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 89.1%

       \[\leadsto \color{blue}{xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(-1.3333333333333333 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   if 0.219999999 < uy

   1. Initial program 96.5%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in yi around 0

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{ux}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

      8. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left({maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)}, maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({maxCos}^{2}\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \color{blue}{ux}\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      10. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(maxCos \cdot maxCos\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      12. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({ux}^{2}\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      13. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      14. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      15. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      16. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      17. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      18. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

      19. +-lowering-+.f32 63.5%

          \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, ux\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]

   7. Simplified 63.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. PI-lowering-PI.f32 55.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 55.5%

       \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 86.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.2199999988079071:\\ \;\;\;\;xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 20: 81.8% accurate, 14.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  xi
  (*
   uy
   (+
    (* 2.0 (* PI yi))
    (*
     uy
     (+
      (* -2.0 (* xi (* PI PI)))
      (* (* yi (* PI (* PI PI))) (* uy -1.3333333333333333))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + (uy * ((-2.0f * (xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) + ((yi * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * (uy * -1.3333333333333333f))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) + Float32(Float32(yi * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * Float32(uy * Float32(-1.3333333333333333))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + (uy * ((single(-2.0) * (xi * (single(pi) * single(pi)))) + ((yi * (single(pi) * (single(pi) * single(pi)))) * (uy * single(-1.3333333333333333)))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in xi around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right), \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{xi}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 92.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

10. Simplified 92.5%

    \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\color{blue}{uy} \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-4}{3} \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 82.9%

    \[\leadsto \color{blue}{xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(-1.3333333333333333 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)} \]

14. Final simplification 82.9%

    \[\leadsto xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + \left(yi \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -1.3333333333333333\right)\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 21: 78.4% accurate, 24.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ xi (* uy (+ (* 2.0 (* PI yi)) (* (* xi (* PI PI)) (* uy -2.0))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + (uy * ((2.0f * (((float) M_PI) * yi)) + ((xi * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (uy * -2.0f))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(uy * Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * yi)) + Float32(Float32(xi * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) * Float32(uy * Float32(-2.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + (uy * ((single(2.0) * (single(pi) * yi)) + ((xi * (single(pi) * single(pi))) * (uy * single(-2.0)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in xi around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right), \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{xi}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 92.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

10. Simplified 92.5%

    \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(uy \cdot \left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)}\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(-2 \cdot \left(uy \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot uy\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{2} \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \left(xi \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. PI-lowering-PI.f32 80.1%

        \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, uy\right), \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

13. Simplified 80.1%

    \[\leadsto \color{blue}{xi + uy \cdot \left(\left(-2 \cdot uy\right) \cdot \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} \]

14. Final simplification 80.1%

    \[\leadsto xi + uy \cdot \left(2 \cdot \left(\pi \cdot yi\right) + \left(xi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(uy \cdot -2\right)\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 22: 55.9% accurate, 27.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\\ \mathbf{if}\;yi \leq -5.9999998100067255 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \mathbf{elif}\;yi \leq 2.000000026702864 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;xi\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (* uy (* PI yi)))))
   (if (<= yi -5.9999998100067255e-15)
     t_0
     (if (<= yi 2.000000026702864e-10) xi t_0))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi));
	float tmp;
	if (yi <= -5.9999998100067255e-15f) {
		tmp = t_0;
	} else if (yi <= 2.000000026702864e-10f) {
		tmp = xi;
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (yi <= Float32(-5.9999998100067255e-15))
		tmp = t_0;
	elseif (yi <= Float32(2.000000026702864e-10))
		tmp = xi;
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi));
	tmp = single(0.0);
	if (yi <= single(-5.9999998100067255e-15))
		tmp = t_0;
	elseif (yi <= single(2.000000026702864e-10))
		tmp = xi;
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if yi < -5.99999981e-15 or 2.00000003e-10 < yi

   1. Initial program 98.6%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in xi around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right), \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

   7. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{xi}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 98.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 98.2%

       \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \frac{uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate-*r/ N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\color{blue}{xi}}\right)\right)\right) \]

       2. /-lowering-/.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

       4. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

       5. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot yi\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

       7. PI-lowering-PI.f32 84.6%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   13. Simplified 84.6%

       \[\leadsto xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}{xi}}\right) \]

   14. Taylor expanded in xi around 0

       \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
   15. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right) \]

       3. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

       4. PI-lowering-PI.f32 58.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   16. Simplified 58.3%

       \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} \]

   if -5.99999981e-15 < yi < 2.00000003e-10

   1. Initial program 99.1%

      \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in xi around inf

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-out N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right), \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

   7. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]

      3. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{xi}\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

      7. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      9. sin-lowering-sin.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 89.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 89.3%

       \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} \]

   11. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \color{blue}{xi} \]
   12. Step-by-step derivation

   13. Simplified 61.0%

       \[\leadsto \color{blue}{xi} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 60.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;yi \leq -5.9999998100067255 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;yi \leq 2.000000026702864 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;xi\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 23: 74.5% accurate, 51.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+ xi (* 2.0 (* uy (* PI yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi + (2.0f * (uy * (((float) M_PI) * yi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(xi + Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(Float32(pi) * yi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi + (single(2.0) * (uy * (single(pi) * yi)));
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in xi around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right), \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{xi}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 92.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

10. Simplified 92.5%

    \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(2 \cdot \frac{uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]
12. Step-by-step derivation

    1. associate-*r/ N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{\color{blue}{xi}}\right)\right)\right) \]

    2. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\left(uy \cdot yi\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

    7. PI-lowering-PI.f32 84.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, yi\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

13. Simplified 84.7%

    \[\leadsto xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}{xi}}\right) \]

14. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]
15. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto xi + 2 \cdot \left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{uy}\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto xi + \left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{uy} \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot uy\right)}\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(2 \cdot \color{blue}{\left(\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot uy\right)}\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \left(2 \cdot \left(uy \cdot \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \color{blue}{\left(yi \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(yi, \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

    9. PI-lowering-PI.f32 75.5%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(xi, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

16. Simplified 75.5%

    \[\leadsto \color{blue}{xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} \]

17. Final simplification 75.5%

    \[\leadsto xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \]
18. Add Preprocessing

Alternative 24: 45.4% accurate, 461.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ xi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos) :precision binary32 xi)

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return xi;
}

Fortran

real(4) function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: xi
    real(4), intent (in) :: yi
    real(4), intent (in) :: zi
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = xi
end function

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return xi
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = xi;
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in xi around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\left(xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi} \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right), zi\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)}\right), zi\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(xi \cdot \sqrt{1 + {maxCos}^{2} \cdot \left({ux}^{2} \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)}\right), \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), maxCos\right)\right)}, zi\right)\right) \]

7. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \color{blue}{\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)}\right)\right) \]

   3. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}}{xi}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{\color{blue}{yi} \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{xi}\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \color{blue}{xi}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   9. sin-lowering-sin.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 92.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(xi, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(yi, \mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right), xi\right)\right)\right) \]

10. Simplified 92.5%

    \[\leadsto \color{blue}{xi \cdot \left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \frac{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}{xi}\right)} \]

11. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \color{blue}{xi} \]
12. Step-by-step derivation

13. Simplified 46.5%

    \[\leadsto \color{blue}{xi} \]
14. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))