Beckmann Distribution sample, tan2theta, alphax == alphay

Percentage Accurate: 56.1% → 98.9%

Time: 11.3s

Alternatives: 16

Speedup: 21.6×

Specification

\[\left(0.0001 \leq \alpha \land \alpha \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u0 \land u0 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (* (* (- alpha) alpha) (log (- 1.0 u0))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return (-alpha * alpha) * logf((1.0f - u0));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = (-alpha * alpha) * log((1.0e0 - u0))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(Float32(Float32(-alpha) * alpha) * log(Float32(Float32(1.0) - u0)))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = (-alpha * alpha) * log((single(1.0) - u0));
end

Initial Program: 56.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (* (* (- alpha) alpha) (log (- 1.0 u0))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return (-alpha * alpha) * logf((1.0f - u0));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = (-alpha * alpha) * log((1.0e0 - u0))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(Float32(Float32(-alpha) * alpha) * log(Float32(Float32(1.0) - u0)))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = (-alpha * alpha) * log((single(1.0) - u0));
end

Alternative 1: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{log1p}\left(-u0\right) \cdot \left(\alpha \cdot \left(-\alpha\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0) :precision binary32 (* (log1p (- u0)) (* alpha (- alpha))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return log1pf(-u0) * (alpha * -alpha);
}

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(log1p(Float32(-u0)) * Float32(alpha * Float32(-alpha)))
end

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right), \color{blue}{\log \left(1 - u0\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \log \left(1 - \color{blue}{u0}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   6. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   7. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f32 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\alpha \cdot \left(-\alpha\right)\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(-u0\right) \cdot \left(\alpha \cdot \left(-\alpha\right)\right) \]
6. Add Preprocessing

Alternative 2: 94.0% accurate, 2.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\\ \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \frac{u0 \cdot u0 - t\_0 \cdot \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)}{u0 + t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (let* ((t_0
         (* u0 (* u0 (+ -0.5 (* u0 (+ -0.3333333333333333 (* u0 -0.25))))))))
   (*
    (* alpha alpha)
    (/
     (- (* u0 u0) (* t_0 (* u0 (* u0 (+ -0.5 (* u0 -0.3333333333333333))))))
     (+ u0 t_0)))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	float t_0 = u0 * (u0 * (-0.5f + (u0 * (-0.3333333333333333f + (u0 * -0.25f)))));
	return (alpha * alpha) * (((u0 * u0) - (t_0 * (u0 * (u0 * (-0.5f + (u0 * -0.3333333333333333f)))))) / (u0 + t_0));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    real(4) :: t_0
    t_0 = u0 * (u0 * ((-0.5e0) + (u0 * ((-0.3333333333333333e0) + (u0 * (-0.25e0))))))
    code = (alpha * alpha) * (((u0 * u0) - (t_0 * (u0 * (u0 * ((-0.5e0) + (u0 * (-0.3333333333333333e0))))))) / (u0 + t_0))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	t_0 = Float32(u0 * Float32(u0 * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u0 * Float32(Float32(-0.3333333333333333) + Float32(u0 * Float32(-0.25)))))))
	return Float32(Float32(alpha * alpha) * Float32(Float32(Float32(u0 * u0) - Float32(t_0 * Float32(u0 * Float32(u0 * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u0 * Float32(-0.3333333333333333))))))) / Float32(u0 + t_0)))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	t_0 = u0 * (u0 * (single(-0.5) + (u0 * (single(-0.3333333333333333) + (u0 * single(-0.25))))));
	tmp = (alpha * alpha) * (((u0 * u0) - (t_0 * (u0 * (u0 * (single(-0.5) + (u0 * single(-0.3333333333333333))))))) / (u0 + t_0));
end

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(-1 + \color{blue}{u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u0}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 93.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.7%

   \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \left(-1 \cdot u0 + \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0}\right)\right) \]

   2. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \left(\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right) + \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)} \cdot u0\right)\right) \]

   3. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right) - \left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0\right) \cdot \left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0\right)}{\color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right) - \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0}}\right)\right) \]

   4. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right) - \left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0\right) \cdot \left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0\right)}{1 \cdot \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right) - \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)} \cdot u0}\right)\right) \]

   5. fmm-def N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \left(\frac{\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right) - \left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0\right) \cdot \left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0\right)}{\mathsf{fma}\left(1, \color{blue}{\mathsf{neg}\left(u0\right)}, \mathsf{neg}\left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0\right)\right)}\right)\right) \]

   6. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right) - \left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0\right) \cdot \left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(1, \mathsf{neg}\left(u0\right), \mathsf{neg}\left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0\right)\right)\right)}\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 93.8%

   \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \color{blue}{\frac{u0 \cdot u0 - \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right)}{\left(-u0\right) - u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, u0\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{3} \cdot u0\right)}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u0\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, u0\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u0\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 94.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, u0\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u0\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 94.4%

    \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \frac{u0 \cdot u0 - \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + \color{blue}{u0 \cdot -0.3333333333333333}\right)\right)\right)}{\left(-u0\right) - u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)} \]

11. Final simplification 94.4%

    \[\leadsto \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \frac{u0 \cdot u0 - \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)}{u0 + u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 3: 93.4% accurate, 4.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\\ t\_0 - \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot t\_0 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u0 (* alpha alpha))))
   (-
    t_0
    (* (* u0 (+ -0.5 (* u0 (+ -0.3333333333333333 (* u0 -0.25))))) t_0))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	float t_0 = u0 * (alpha * alpha);
	return t_0 - ((u0 * (-0.5f + (u0 * (-0.3333333333333333f + (u0 * -0.25f))))) * t_0);
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    real(4) :: t_0
    t_0 = u0 * (alpha * alpha)
    code = t_0 - ((u0 * ((-0.5e0) + (u0 * ((-0.3333333333333333e0) + (u0 * (-0.25e0)))))) * t_0)
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	t_0 = Float32(u0 * Float32(alpha * alpha))
	return Float32(t_0 - Float32(Float32(u0 * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u0 * Float32(Float32(-0.3333333333333333) + Float32(u0 * Float32(-0.25)))))) * t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	t_0 = u0 * (alpha * alpha);
	tmp = t_0 - ((u0 * (single(-0.5) + (u0 * (single(-0.3333333333333333) + (u0 * single(-0.25)))))) * t_0);
end

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(-1 + \color{blue}{u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u0}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 93.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.7%

   \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{u0} \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot u0\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)} \]

   3. +-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot u0\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) + \color{blue}{-1}\right) \]

   4. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot u0\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot u0\right) \cdot -1} \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot u0\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot u0\right) \cdot -1\right)}\right) \]

7. Applied egg-rr 94.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(0 - \alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) + \left(u0 \cdot \left(0 - \alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot -1} \]

8. Final simplification 94.1%

   \[\leadsto u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right) - \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 4: 93.4% accurate, 5.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \alpha \cdot \left(\alpha \cdot u0 - \alpha \cdot \left(\left(u0 \cdot u0\right) \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (*
  alpha
  (-
   (* alpha u0)
   (*
    alpha
    (* (* u0 u0) (+ -0.5 (* u0 (+ -0.3333333333333333 (* u0 -0.25)))))))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return alpha * ((alpha * u0) - (alpha * ((u0 * u0) * (-0.5f + (u0 * (-0.3333333333333333f + (u0 * -0.25f)))))));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = alpha * ((alpha * u0) - (alpha * ((u0 * u0) * ((-0.5e0) + (u0 * ((-0.3333333333333333e0) + (u0 * (-0.25e0))))))))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(alpha * Float32(Float32(alpha * u0) - Float32(alpha * Float32(Float32(u0 * u0) * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u0 * Float32(Float32(-0.3333333333333333) + Float32(u0 * Float32(-0.25)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = alpha * ((alpha * u0) - (alpha * ((u0 * u0) * (single(-0.5) + (u0 * (single(-0.3333333333333333) + (u0 * single(-0.25))))))));
end

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(-1 + \color{blue}{u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u0}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 93.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.7%

   \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{u0} \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)} \]

   3. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \color{blue}{\alpha}\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\alpha} \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \color{blue}{\alpha}\right) \]

7. Applied egg-rr 93.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-\alpha\right)\right) \cdot \alpha} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \left(-1 \cdot u0 + \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0\right)\right), \alpha\right) \]

   3. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right) + \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0\right)\right), \alpha\right) \]

   4. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) + \left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \left(\left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \left(\left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u0\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \left(\left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u0\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \left(\left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u0\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

9. Applied egg-rr 94.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-u0\right) \cdot \left(-\alpha\right) + \left(\left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot u0\right)\right) \cdot \left(-\alpha\right)\right)} \cdot \alpha \]

10. Final simplification 94.1%

    \[\leadsto \alpha \cdot \left(\alpha \cdot u0 - \alpha \cdot \left(\left(u0 \cdot u0\right) \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 5: 93.2% accurate, 5.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \alpha \cdot \left(\left(\alpha \cdot u0\right) \cdot \left(\left(-u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) - -1\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (*
  alpha
  (*
   (* alpha u0)
   (- (- (* u0 (+ -0.5 (* u0 (+ -0.3333333333333333 (* u0 -0.25)))))) -1.0))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return alpha * ((alpha * u0) * (-(u0 * (-0.5f + (u0 * (-0.3333333333333333f + (u0 * -0.25f))))) - -1.0f));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = alpha * ((alpha * u0) * (-(u0 * ((-0.5e0) + (u0 * ((-0.3333333333333333e0) + (u0 * (-0.25e0)))))) - (-1.0e0)))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(alpha * Float32(Float32(alpha * u0) * Float32(Float32(-Float32(u0 * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u0 * Float32(Float32(-0.3333333333333333) + Float32(u0 * Float32(-0.25))))))) - Float32(-1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = alpha * ((alpha * u0) * (-(u0 * (single(-0.5) + (u0 * (single(-0.3333333333333333) + (u0 * single(-0.25)))))) - single(-1.0)));
end

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(-1 + \color{blue}{u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u0}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 93.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.7%

   \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\alpha \cdot \left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\alpha \cdot \left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)} \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha \cdot \left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)}\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\alpha \cdot u0\right) \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\alpha}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha \cdot u0\right), \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\alpha}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right), \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \]

   13. neg-lowering-neg.f32 93.9%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right), \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 93.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\alpha \cdot u0\right) \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-\alpha\right)} \]

8. Final simplification 93.9%

   \[\leadsto \alpha \cdot \left(\left(\alpha \cdot u0\right) \cdot \left(\left(-u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) - -1\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 6: 93.1% accurate, 5.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\alpha \cdot u0\right) \cdot \left(\alpha \cdot \left(\left(-u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) - -1\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (*
  (* alpha u0)
  (*
   alpha
   (- (- (* u0 (+ -0.5 (* u0 (+ -0.3333333333333333 (* u0 -0.25)))))) -1.0))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return (alpha * u0) * (alpha * (-(u0 * (-0.5f + (u0 * (-0.3333333333333333f + (u0 * -0.25f))))) - -1.0f));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = (alpha * u0) * (alpha * (-(u0 * ((-0.5e0) + (u0 * ((-0.3333333333333333e0) + (u0 * (-0.25e0)))))) - (-1.0e0)))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(Float32(alpha * u0) * Float32(alpha * Float32(Float32(-Float32(u0 * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u0 * Float32(Float32(-0.3333333333333333) + Float32(u0 * Float32(-0.25))))))) - Float32(-1.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = (alpha * u0) * (alpha * (-(u0 * (single(-0.5) + (u0 * (single(-0.3333333333333333) + (u0 * single(-0.25)))))) - single(-1.0)));
end

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(-1 + \color{blue}{u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u0}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 93.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.7%

   \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{u0} \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)} \]

   3. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \color{blue}{\alpha}\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\alpha} \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \color{blue}{\alpha}\right) \]

7. Applied egg-rr 93.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-\alpha\right)\right) \cdot \alpha} \]
8. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \alpha \cdot \color{blue}{\left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right)} \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \alpha \cdot \left(u0 \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right)}\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\alpha \cdot u0\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right)} \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha \cdot u0\right), \color{blue}{\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right)}\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right), \left(\color{blue}{\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)}\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{\alpha}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right)\right) \]

   11. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right)\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right)\right) \]

   13. neg-lowering-neg.f32 93.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 93.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\alpha \cdot u0\right) \cdot \left(\left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \left(-\alpha\right)\right)} \]

10. Final simplification 93.8%

    \[\leadsto \left(\alpha \cdot u0\right) \cdot \left(\alpha \cdot \left(\left(-u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) - -1\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 7: 93.2% accurate, 5.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ u0 \cdot \left(\alpha \cdot \left(\alpha \cdot \left(\left(-u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) - -1\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (*
  u0
  (*
   alpha
   (*
    alpha
    (-
     (- (* u0 (+ -0.5 (* u0 (+ -0.3333333333333333 (* u0 -0.25))))))
     -1.0)))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return u0 * (alpha * (alpha * (-(u0 * (-0.5f + (u0 * (-0.3333333333333333f + (u0 * -0.25f))))) - -1.0f)));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = u0 * (alpha * (alpha * (-(u0 * ((-0.5e0) + (u0 * ((-0.3333333333333333e0) + (u0 * (-0.25e0)))))) - (-1.0e0))))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(u0 * Float32(alpha * Float32(alpha * Float32(Float32(-Float32(u0 * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u0 * Float32(Float32(-0.3333333333333333) + Float32(u0 * Float32(-0.25))))))) - Float32(-1.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = u0 * (alpha * (alpha * (-(u0 * (single(-0.5) + (u0 * (single(-0.3333333333333333) + (u0 * single(-0.25)))))) - single(-1.0))));
end

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(-1 + \color{blue}{u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u0}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 93.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.7%

   \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{u0} \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)} \]

   3. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \color{blue}{\alpha}\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\alpha} \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \color{blue}{\alpha}\right) \]

7. Applied egg-rr 93.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-\alpha\right)\right) \cdot \alpha} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(u0 \cdot \left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right)\right) \cdot \alpha \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto u0 \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \cdot \alpha\right)} \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \cdot \alpha\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \color{blue}{\alpha}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

   12. neg-lowering-neg.f32 93.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 93.8%

   \[\leadsto \color{blue}{u0 \cdot \left(\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \left(-\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right)} \]

10. Final simplification 93.8%

    \[\leadsto u0 \cdot \left(\alpha \cdot \left(\alpha \cdot \left(\left(-u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) - -1\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 8: 93.4% accurate, 5.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \alpha \cdot \left(\alpha \cdot \left(u0 - \left(u0 \cdot u0\right) \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (*
  alpha
  (*
   alpha
   (- u0 (* (* u0 u0) (+ -0.5 (* u0 (+ -0.3333333333333333 (* u0 -0.25)))))))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return alpha * (alpha * (u0 - ((u0 * u0) * (-0.5f + (u0 * (-0.3333333333333333f + (u0 * -0.25f)))))));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = alpha * (alpha * (u0 - ((u0 * u0) * ((-0.5e0) + (u0 * ((-0.3333333333333333e0) + (u0 * (-0.25e0))))))))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(alpha * Float32(alpha * Float32(u0 - Float32(Float32(u0 * u0) * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u0 * Float32(Float32(-0.3333333333333333) + Float32(u0 * Float32(-0.25)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = alpha * (alpha * (u0 - ((u0 * u0) * (single(-0.5) + (u0 * (single(-0.3333333333333333) + (u0 * single(-0.25))))))));
end

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(-1 + \color{blue}{u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u0}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 93.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.7%

   \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{u0} \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)} \]

   3. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \color{blue}{\alpha}\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\alpha} \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \color{blue}{\alpha}\right) \]

7. Applied egg-rr 93.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-\alpha\right)\right) \cdot \alpha} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) + -1\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0 + -1 \cdot u0\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   3. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0\right), \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \cdot u0\right) \cdot u0\right), \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot u0\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right), \left(u0 \cdot u0\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \left(u0 \cdot u0\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \left(u0 \cdot u0\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(u0 \cdot u0\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(u0 \cdot u0\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, u0\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   13. neg-lowering-neg.f32 94.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, u0\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(u0\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

9. Applied egg-rr 94.1%

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot u0\right) + \left(-u0\right)\right)} \cdot \left(-\alpha\right)\right) \cdot \alpha \]

10. Final simplification 94.1%

    \[\leadsto \alpha \cdot \left(\alpha \cdot \left(u0 - \left(u0 \cdot u0\right) \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 9: 93.4% accurate, 5.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(u0 - \left(u0 \cdot u0\right) \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (*
  (* alpha alpha)
  (- u0 (* (* u0 u0) (+ -0.5 (* u0 (+ -0.3333333333333333 (* u0 -0.25))))))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return (alpha * alpha) * (u0 - ((u0 * u0) * (-0.5f + (u0 * (-0.3333333333333333f + (u0 * -0.25f))))));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = (alpha * alpha) * (u0 - ((u0 * u0) * ((-0.5e0) + (u0 * ((-0.3333333333333333e0) + (u0 * (-0.25e0)))))))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(Float32(alpha * alpha) * Float32(u0 - Float32(Float32(u0 * u0) * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u0 * Float32(Float32(-0.3333333333333333) + Float32(u0 * Float32(-0.25))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = (alpha * alpha) * (u0 - ((u0 * u0) * (single(-0.5) + (u0 * (single(-0.3333333333333333) + (u0 * single(-0.25)))))));
end

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(-1 + \color{blue}{u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u0}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 93.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.7%

   \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. flip3-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{{-1}^{3} + {\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)}^{3}}{\color{blue}{-1 \cdot -1 + \left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) - -1 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)}}\right)\right)\right) \]

   2. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{/.f32}\left(\left({-1}^{3} + {\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)}^{3}\right), \color{blue}{\left(-1 \cdot -1 + \left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) - -1 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 93.5%

   \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \left(u0 \cdot \color{blue}{\frac{-1 + \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \left(\left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right)}{1 + \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right) - -1\right)}}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \left(\frac{u0 \cdot \left(-1 + \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)}{\color{blue}{1 + \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) - -1\right)}}\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-out-- N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \left(\frac{u0 \cdot \left(-1 + \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)}{1 + \left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) - \color{blue}{-1 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)}\right)}\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \left(\frac{u0 \cdot \left(-1 + \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)}{-1 \cdot -1 + \left(\color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)} - -1 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   4. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \left(u0 \cdot \color{blue}{\frac{-1 + \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)}{-1 \cdot -1 + \left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) - -1 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)}}\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 94.0%

   \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right) \cdot \left(u0 \cdot u0\right) + \left(-u0\right)\right)} \]

10. Final simplification 94.0%

    \[\leadsto \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(u0 - \left(u0 \cdot u0\right) \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 10: 93.4% accurate, 5.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(u0 - u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (*
  (* alpha alpha)
  (- u0 (* u0 (* u0 (+ -0.5 (* u0 (+ -0.3333333333333333 (* u0 -0.25)))))))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return (alpha * alpha) * (u0 - (u0 * (u0 * (-0.5f + (u0 * (-0.3333333333333333f + (u0 * -0.25f)))))));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = (alpha * alpha) * (u0 - (u0 * (u0 * ((-0.5e0) + (u0 * ((-0.3333333333333333e0) + (u0 * (-0.25e0))))))))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(Float32(alpha * alpha) * Float32(u0 - Float32(u0 * Float32(u0 * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u0 * Float32(Float32(-0.3333333333333333) + Float32(u0 * Float32(-0.25)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = (alpha * alpha) * (u0 - (u0 * (u0 * (single(-0.5) + (u0 * (single(-0.3333333333333333) + (u0 * single(-0.25))))))));
end

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(-1 + \color{blue}{u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u0}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 93.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.7%

   \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right) + \color{blue}{-1}\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0 + \color{blue}{-1 \cdot u0}\right)\right) \]

   3. neg-mul-1 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot u0\right), \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)}\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u0}\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\color{blue}{u0}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   12. neg-lowering-neg.f32 94.0%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(u0\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 94.0%

   \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) + \left(-u0\right)\right)} \]

8. Final simplification 94.0%

   \[\leadsto \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \left(u0 - u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 11: 91.3% accurate, 6.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \alpha \cdot \left(u0 \cdot \left(\alpha + u0 \cdot \left(\alpha \cdot \left(u0 \cdot 0.3333333333333333\right) + \alpha \cdot 0.5\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (*
  alpha
  (*
   u0
   (+ alpha (* u0 (+ (* alpha (* u0 0.3333333333333333)) (* alpha 0.5)))))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return alpha * (u0 * (alpha + (u0 * ((alpha * (u0 * 0.3333333333333333f)) + (alpha * 0.5f)))));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = alpha * (u0 * (alpha + (u0 * ((alpha * (u0 * 0.3333333333333333e0)) + (alpha * 0.5e0)))))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(alpha * Float32(u0 * Float32(alpha + Float32(u0 * Float32(Float32(alpha * Float32(u0 * Float32(0.3333333333333333))) + Float32(alpha * Float32(0.5)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = alpha * (u0 * (alpha + (u0 * ((alpha * (u0 * single(0.3333333333333333))) + (alpha * single(0.5))))));
end

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(-1 + \color{blue}{u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u0}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 93.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.7%

   \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{u0} \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)} \]

   3. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \color{blue}{\alpha}\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\alpha} \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \color{blue}{\alpha}\right) \]

7. Applied egg-rr 93.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-\alpha\right)\right) \cdot \alpha} \]

8. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\alpha + u0 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \left(\alpha \cdot u0\right) + \frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right)}, \alpha\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\alpha + u0 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \left(\alpha \cdot u0\right) + \frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \left(u0 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \left(\alpha \cdot u0\right) + \frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{1}{3} \cdot \left(\alpha \cdot u0\right) + \frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{1}{3} \cdot \left(\alpha \cdot u0\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\alpha \cdot u0\right) \cdot \frac{1}{3}\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\left(\alpha \cdot \left(u0 \cdot \frac{1}{3}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\left(\alpha \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot u0\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \left(\frac{1}{3} \cdot u0\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \left(u0 \cdot \frac{1}{3}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{1}{3}\right)\right), \left(\frac{1}{2} \cdot \alpha\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{1}{3}\right)\right), \left(\alpha \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 92.5%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{1}{3}\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \alpha\right) \]

10. Simplified 92.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\alpha + u0 \cdot \left(\alpha \cdot \left(u0 \cdot 0.3333333333333333\right) + \alpha \cdot 0.5\right)\right)\right)} \cdot \alpha \]

11. Final simplification 92.5%

    \[\leadsto \alpha \cdot \left(u0 \cdot \left(\alpha + u0 \cdot \left(\alpha \cdot \left(u0 \cdot 0.3333333333333333\right) + \alpha \cdot 0.5\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 12: 91.1% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \alpha \cdot \left(\alpha \cdot \left(u0 \cdot \left(\left(--1\right) - u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (*
  alpha
  (* alpha (* u0 (- (- -1.0) (* u0 (+ -0.5 (* u0 -0.3333333333333333))))))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return alpha * (alpha * (u0 * (-(-1.0f) - (u0 * (-0.5f + (u0 * -0.3333333333333333f))))));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = alpha * (alpha * (u0 * (-(-1.0e0) - (u0 * ((-0.5e0) + (u0 * (-0.3333333333333333e0)))))))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(alpha * Float32(alpha * Float32(u0 * Float32(Float32(-Float32(-1.0)) - Float32(u0 * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u0 * Float32(-0.3333333333333333))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = alpha * (alpha * (u0 * (-single(-1.0) - (u0 * (single(-0.5) + (u0 * single(-0.3333333333333333)))))));
end

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(-1 + \color{blue}{u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u0}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 93.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.7%

   \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{u0} \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)} \]

   3. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \color{blue}{\alpha}\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\alpha} \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \color{blue}{\alpha}\right) \]

7. Applied egg-rr 93.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-\alpha\right)\right) \cdot \alpha} \]

8. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot u0\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

   12. *-lowering-*.f32 92.4%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right) \]

10. Simplified 92.4%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \cdot \left(-\alpha\right)\right) \cdot \alpha \]

11. Final simplification 92.4%

    \[\leadsto \alpha \cdot \left(\alpha \cdot \left(u0 \cdot \left(\left(--1\right) - u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 13: 91.1% accurate, 6.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ u0 \cdot \left(\alpha \cdot \left(\alpha \cdot \left(\left(--1\right) - u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (*
  u0
  (* alpha (* alpha (- (- -1.0) (* u0 (+ -0.5 (* u0 -0.3333333333333333))))))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return u0 * (alpha * (alpha * (-(-1.0f) - (u0 * (-0.5f + (u0 * -0.3333333333333333f))))));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = u0 * (alpha * (alpha * (-(-1.0e0) - (u0 * ((-0.5e0) + (u0 * (-0.3333333333333333e0)))))))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(u0 * Float32(alpha * Float32(alpha * Float32(Float32(-Float32(-1.0)) - Float32(u0 * Float32(Float32(-0.5) + Float32(u0 * Float32(-0.3333333333333333))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = u0 * (alpha * (alpha * (-single(-1.0) - (u0 * (single(-0.5) + (u0 * single(-0.3333333333333333)))))));
end

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(-1 + \color{blue}{u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u0}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 93.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.7%

   \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{u0} \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)} \]

   3. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \color{blue}{\alpha}\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\alpha} \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \color{blue}{\alpha}\right) \]

7. Applied egg-rr 93.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-\alpha\right)\right) \cdot \alpha} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(u0 \cdot \left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right)\right) \cdot \alpha \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto u0 \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \cdot \alpha\right)} \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \cdot \alpha\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \color{blue}{\alpha}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

   12. neg-lowering-neg.f32 93.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 93.8%

   \[\leadsto \color{blue}{u0 \cdot \left(\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \left(-\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right)} \]

10. Taylor expanded in u0 around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right)\right) \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right) + -1\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right)\right) \]

    3. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 - \frac{1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right)\right) \]

    6. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right)\right) \]

    7. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0 + \frac{-1}{2}\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right)\right) \]

    8. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \frac{-1}{3} \cdot u0\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right)\right) \]

    9. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(\frac{-1}{3} \cdot u0\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right)\right) \]

    10. *-commutative N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(u0 \cdot \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right)\right) \]

    11. *-lowering-*.f32 92.3%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right)\right) \]

12. Simplified 92.3%

    \[\leadsto u0 \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)} \cdot \left(-\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right) \]

13. Final simplification 92.3%

    \[\leadsto u0 \cdot \left(\alpha \cdot \left(\alpha \cdot \left(\left(--1\right) - u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 14: 87.1% accurate, 9.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ u0 \cdot \left(\alpha \cdot \left(\alpha + \alpha \cdot \left(u0 \cdot 0.5\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0)
 :precision binary32
 (* u0 (* alpha (+ alpha (* alpha (* u0 0.5))))))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return u0 * (alpha * (alpha + (alpha * (u0 * 0.5f))));
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = u0 * (alpha * (alpha + (alpha * (u0 * 0.5e0))))
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(u0 * Float32(alpha * Float32(alpha + Float32(alpha * Float32(u0 * Float32(0.5))))))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = u0 * (alpha * (alpha + (alpha * (u0 * single(0.5)))));
end

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) - 1\right)}\right)\right) \]

   2. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right) + -1\right)\right)\right) \]

   4. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(-1 + \color{blue}{u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) - \frac{1}{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right) + \frac{-1}{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + \color{blue}{u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0 - \frac{1}{3}\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{3}\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{4} \cdot u0 + \frac{-1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + \color{blue}{\frac{-1}{4} \cdot u0}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{4} \cdot u0\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. *-lowering-*.f32 93.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right), \alpha\right), \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\frac{-1}{4}}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.7%

   \[\leadsto \left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \color{blue}{\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{u0} \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{neg}\left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)} \]

   3. distribute-lft-neg-out N/A

      \[\leadsto \left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \color{blue}{\alpha}\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\alpha} \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \color{blue}{\alpha}\right) \]

7. Applied egg-rr 93.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(u0 \cdot \left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right)\right) \cdot \left(-\alpha\right)\right) \cdot \alpha} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \left(u0 \cdot \left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right)\right) \cdot \alpha \]

   2. associate-*l* N/A

      \[\leadsto u0 \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \cdot \alpha\right)} \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \color{blue}{\left(\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right) \cdot \alpha\right)}\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \color{blue}{\alpha}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{2} + u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \left(u0 \cdot \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \left(\frac{-1}{3} + u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

   10. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \left(u0 \cdot \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

   12. neg-lowering-neg.f32 93.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{-1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \alpha\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 93.8%

   \[\leadsto \color{blue}{u0 \cdot \left(\left(\left(-1 + u0 \cdot \left(-0.5 + u0 \cdot \left(-0.3333333333333333 + u0 \cdot -0.25\right)\right)\right) \cdot \left(-\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right)} \]

10. Taylor expanded in u0 around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(\alpha + \frac{1}{2} \cdot \left(\alpha \cdot u0\right)\right)}, \alpha\right)\right) \]
11. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha + \left(\frac{1}{2} \cdot \alpha\right) \cdot u0\right), \alpha\right)\right) \]

    2. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\alpha, \left(\left(\frac{1}{2} \cdot \alpha\right) \cdot u0\right)\right), \alpha\right)\right) \]

    3. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\alpha, \left(\left(\alpha \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot u0\right)\right), \alpha\right)\right) \]

    4. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\alpha, \left(\alpha \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot u0\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \left(\frac{1}{2} \cdot u0\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

    6. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \left(u0 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 89.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(u0, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{*.f32}\left(u0, \frac{1}{2}\right)\right)\right), \alpha\right)\right) \]

12. Simplified 89.1%

    \[\leadsto u0 \cdot \left(\color{blue}{\left(\alpha + \alpha \cdot \left(u0 \cdot 0.5\right)\right)} \cdot \alpha\right) \]

13. Final simplification 89.1%

    \[\leadsto u0 \cdot \left(\alpha \cdot \left(\alpha + \alpha \cdot \left(u0 \cdot 0.5\right)\right)\right) \]
14. Add Preprocessing

Alternative 15: 74.3% accurate, 21.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \alpha \cdot \left(\alpha \cdot u0\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0) :precision binary32 (* alpha (* alpha u0)))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return alpha * (alpha * u0);
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = alpha * (alpha * u0)
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(alpha * Float32(alpha * u0))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = alpha * (alpha * u0);
end

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right), \color{blue}{\log \left(1 - u0\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \log \left(1 - \color{blue}{u0}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   6. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   7. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f32 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\alpha \cdot \left(-\alpha\right)\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{\alpha}^{2} \cdot u0} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({\alpha}^{2}\right), \color{blue}{u0}\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right), u0\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 77.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), u0\right) \]

7. Simplified 77.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot u0} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \alpha \cdot \color{blue}{\left(\alpha \cdot u0\right)} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \left(\alpha \cdot u0\right) \cdot \color{blue}{\alpha} \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha \cdot u0\right), \color{blue}{\alpha}\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 77.3%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, u0\right), \alpha\right) \]

9. Applied egg-rr 77.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\alpha \cdot u0\right) \cdot \alpha} \]

10. Final simplification 77.3%

    \[\leadsto \alpha \cdot \left(\alpha \cdot u0\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 16: 74.3% accurate, 21.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (alpha u0) :precision binary32 (* u0 (* alpha alpha)))

C

float code(float alpha, float u0) {
	return u0 * (alpha * alpha);
}

Fortran

real(4) function code(alpha, u0)
    real(4), intent (in) :: alpha
    real(4), intent (in) :: u0
    code = u0 * (alpha * alpha)
end function

Julia

function code(alpha, u0)
	return Float32(u0 * Float32(alpha * alpha))
end

MATLAB

function tmp = code(alpha, u0)
	tmp = u0 * (alpha * alpha);
end

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\left(\left(-\alpha\right) \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(1 - u0\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right) \cdot \alpha\right), \color{blue}{\log \left(1 - u0\right)}\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \left(\mathsf{neg}\left(\alpha\right)\right)\right), \log \color{blue}{\left(1 - u0\right)}\right) \]

   4. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \log \left(1 - \color{blue}{u0}\right)\right) \]

   5. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   6. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   7. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u0\right)\right)\right)\right) \]

   8. neg-lowering-neg.f32 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \mathsf{neg.f32}\left(\alpha\right)\right), \mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u0\right)\right)\right) \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\alpha \cdot \left(-\alpha\right)\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(-u0\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u0 around 0

   \[\leadsto \color{blue}{{\alpha}^{2} \cdot u0} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left({\alpha}^{2}\right), \color{blue}{u0}\right) \]

   2. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\alpha \cdot \alpha\right), u0\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 77.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\alpha, \alpha\right), u0\right) \]

7. Simplified 77.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot u0} \]

8. Final simplification 77.2%

   \[\leadsto u0 \cdot \left(\alpha \cdot \alpha\right) \]
9. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (alpha u0)
  :name "Beckmann Distribution sample, tan2theta, alphax == alphay"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 0.0001 alpha) (<= alpha 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 u0) (<= u0 1.0)))
  (* (* (- alpha) alpha) (log (- 1.0 u0))))