Beckmann Sample, near normal, slope_x

Percentage Accurate: 58.6% → 99.0%

Time: 13.2s

Alternatives: 15

Speedup: 3.1×

Specification

\[\left(\left(cosTheta\_i > 0.9999 \land cosTheta\_i \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u1 \land u1 \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * cos(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Initial Program: 58.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf((1.0f - u1))) * cosf(((2.0f * ((float) M_PI)) * u2));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log(Float32(Float32(1.0) - u1)))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * u2)))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(-log((single(1.0) - u1))) * cos(((single(2.0) * single(pi)) * u2));
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (cos (* 2.0 (* PI u2)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-log1pf(-u1)) * cosf((2.0f * (((float) M_PI) * u2)));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * cos(Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * u2))))
end

Derivation

1. Initial program 56.2%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing
5. Add Preprocessing

Alternative 2: 94.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.9999889731407166:\\ \;\;\;\;t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (cos (* u2 (* 2.0 PI)))))
   (if (<= t_0 0.9999889731407166)
     (* t_0 (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5)))))
     (sqrt (- (log1p (- u1)))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = cosf((u2 * (2.0f * ((float) M_PI))));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.9999889731407166f) {
		tmp = t_0 * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f))));
	} else {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = cos(Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi))))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.9999889731407166))
		tmp = Float32(t_0 * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5))))));
	else
		tmp = sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (cos.f32 (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)) < 0.999988973

   1. Initial program 54.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 87.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 87.6%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

   if 0.999988973 < (cos.f32 (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2))

   1. Initial program 57.2%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 97.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \leq 0.9999889731407166:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.7% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.10000000149011612:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \cos t\_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.10000000149011612)
     (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (+ 1.0 (* (* u2 u2) (* PI (* PI -2.0)))))
     (*
      (sqrt
       (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))))))
      (cos t_0)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.10000000149011612f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (1.0f + ((u2 * u2) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * -2.0f))));
	} else {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f)))))))) * cosf(t_0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.10000000149011612))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(-2.0))))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))))))) * cos(t_0));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.100000001

   1. Initial program 57.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f32 99.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right)} \]

   if 0.100000001 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 51.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 91.2%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 91.2%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.10000000149011612:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.4% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.10000000149011612:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.10000000149011612)
     (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (+ 1.0 (* (* u2 u2) (* PI (* PI -2.0)))))
     (*
      (cos t_0)
      (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.10000000149011612f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (1.0f + ((u2 * u2) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * -2.0f))));
	} else {
		tmp = cosf(t_0) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.10000000149011612))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(-2.0))))));
	else
		tmp = Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333))))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.100000001

   1. Initial program 57.4%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f32 99.1%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right)} \]

   if 0.100000001 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 51.7%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 90.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 90.0%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 97.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.10000000149011612:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 96.7% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.11999999731779099:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos t\_0 \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.11999999731779099)
     (* (sqrt (- (log1p (- u1)))) (+ 1.0 (* (* u2 u2) (* PI (* PI -2.0)))))
     (* (cos t_0) (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.11999999731779099f) {
		tmp = sqrtf(-log1pf(-u1)) * (1.0f + ((u2 * u2) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * -2.0f))));
	} else {
		tmp = cosf(t_0) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.11999999731779099))
		tmp = Float32(sqrt(Float32(-log1p(Float32(-u1)))) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(-2.0))))));
	else
		tmp = Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5))))));
	end
	return tmp
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.119999997

   1. Initial program 57.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f32 99.0%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right)} \]

   if 0.119999997 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 50.9%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, u2\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), u2\right)\right)\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 87.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 87.8%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 96.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.11999999731779099:\\ \;\;\;\;\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 90.3% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathbf{if}\;t\_0 \leq 0.12300000339746475:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos t\_0 \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* u2 (* 2.0 PI))))
   (if (<= t_0 0.12300000339746475)
     (*
      (+ 1.0 (* (* u2 u2) (* PI (* PI -2.0))))
      (sqrt
       (*
        u1
        (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25)))))))))
     (* (cos t_0) (sqrt u1)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = u2 * (2.0f * ((float) M_PI));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.12300000339746475f) {
		tmp = (1.0f + ((u2 * u2) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * -2.0f)))) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))))));
	} else {
		tmp = cosf(t_0) * sqrtf(u1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = Float32(u2 * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.12300000339746475))
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(-2.0))))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))))))));
	else
		tmp = Float32(cos(t_0) * sqrt(u1));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	t_0 = u2 * (single(2.0) * single(pi));
	tmp = single(0.0);
	if (t_0 <= single(0.12300000339746475))
		tmp = (single(1.0) + ((u2 * u2) * (single(pi) * (single(pi) * single(-2.0))))) * sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25)))))))));
	else
		tmp = cos(t_0) * sqrt(u1);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2) < 0.123000003

   1. Initial program 57.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f32 57.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 57.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 93.5%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Simplified 93.5%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \]

   if 0.123000003 < (*.f32 (*.f32 #s(literal 2 binary32) (PI.f32)) u2)

   1. Initial program 50.6%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), u2\right)\right)\right) \]
   4. Step-by-step derivation

   5. Simplified 79.0%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right) \leq 0.12300000339746475:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(u2 \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 84.0% accurate, 2.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (+ 1.0 (* (* u2 u2) (* PI (* PI -2.0))))
  (sqrt
   (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (1.0f + ((u2 * u2) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * -2.0f)))) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(-2.0))))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (single(1.0) + ((u2 * u2) * (single(pi) * (single(pi) * single(-2.0))))) * sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25)))))))));
end

Derivation

1. Initial program 56.2%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -2\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 51.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 51.3%

   \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 81.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 81.6%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot \left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \]

9. Final simplification 81.6%

   \[\leadsto \left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 8: 82.5% accurate, 2.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (*
  (+ 1.0 (* (* u2 u2) (* PI (* PI -2.0))))
  (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (1.0f + ((u2 * u2) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * -2.0f)))) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(-2.0))))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (single(1.0) + ((u2 * u2) * (single(pi) * (single(pi) * single(-2.0))))) * sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * single(0.3333333333333333)))))));
end

Derivation

1. Initial program 56.2%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -2\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 51.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 51.3%

   \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 80.2%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 80.2%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \]

9. Final simplification 80.2%

   \[\leadsto \left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 9: 80.2% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0008099999977275729:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1} \cdot \left(1 + -2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.0008099999977275729)
   (sqrt
    (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 (+ 0.3333333333333333 (* u1 0.25))))))))
   (* (sqrt u1) (+ 1.0 (* -2.0 (* PI (* PI (* u2 u2))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.0008099999977275729f) {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * (0.3333333333333333f + (u1 * 0.25f))))))));
	} else {
		tmp = sqrtf(u1) * (1.0f + (-2.0f * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * (u2 * u2)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.0008099999977275729))
		tmp = sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.3333333333333333) + Float32(u1 * Float32(0.25)))))))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(u1) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(u2 * u2))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if (u2 <= single(0.0008099999977275729))
		tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * (single(0.3333333333333333) + (u1 * single(0.25)))))))));
	else
		tmp = sqrt(u1) * (single(1.0) + (single(-2.0) * (single(pi) * (single(pi) * (u2 * u2)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 8.09999998e-4

   1. Initial program 57.5%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 97.2%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)}\right), 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(\frac{1}{4} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      7. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \left(u1 \cdot \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 92.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{3}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{4}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   10. Simplified 92.0%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}} \cdot 1 \]

   if 8.09999998e-4 < u2

   1. Initial program 54.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f32 40.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 40.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(\frac{1 \cdot 1 - u1 \cdot u1}{1 + u1}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(\frac{1}{\frac{1 + u1}{1 \cdot 1 - u1 \cdot u1}}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. log-rec N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{1 + u1}{1 \cdot 1 - u1 \cdot u1}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(\frac{1 + u1}{1 \cdot 1 - u1 \cdot u1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. log-lowering-log.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1 + u1}{1 \cdot 1 - u1 \cdot u1}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + u1\right), \left(1 \cdot 1 - u1 \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, u1\right), \left(1 \cdot 1 - u1 \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, u1\right), \left(1 - u1 \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, u1\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(u1 \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 38.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, u1\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 38.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(-\log \left(\frac{1 + u1}{1 - u1 \cdot u1}\right)\right)}} \cdot \left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1} \cdot \left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{u1}} \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{u1}\right)}\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{u1}}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{u1}\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{u1}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{u1}\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{u1}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{u1}\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{u1}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left({u2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{u1}\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({u2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{u1}\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{u1}\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{u1}\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f32 53.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right)\right) \]

   10. Simplified 53.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 77.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0008099999977275729:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot \left(0.3333333333333333 + u1 \cdot 0.25\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1} \cdot \left(1 + -2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 10: 79.2% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (+ 1.0 (* (* u2 u2) (* PI (* PI -2.0)))) (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return (1.0f + ((u2 * u2) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * -2.0f)))) * sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f))));
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(-2.0))))) * sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5))))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = (single(1.0) + ((u2 * u2) * (single(pi) * (single(pi) * single(-2.0))))) * sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * single(0.5)))));
end

Derivation

1. Initial program 56.2%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -2\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 51.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 51.3%

   \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 77.4%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Simplified 77.4%

   \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \]

9. Final simplification 77.4%

   \[\leadsto \left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)} \]
10. Add Preprocessing

Alternative 11: 79.0% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0008099999977275729:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1} \cdot \left(1 + -2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.0008099999977275729)
   (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))))))
   (* (sqrt u1) (+ 1.0 (* -2.0 (* PI (* PI (* u2 u2))))))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.0008099999977275729f) {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))))));
	} else {
		tmp = sqrtf(u1) * (1.0f + (-2.0f * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * (u2 * u2)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.0008099999977275729))
		tmp = sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333)))))));
	else
		tmp = Float32(sqrt(u1) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(-2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(u2 * u2))))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if (u2 <= single(0.0008099999977275729))
		tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * single(0.3333333333333333)))))));
	else
		tmp = sqrt(u1) * (single(1.0) + (single(-2.0) * (single(pi) * (single(pi) * (u2 * u2)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 8.09999998e-4

   1. Initial program 57.5%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 97.2%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 90.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   10. Simplified 90.6%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot 1 \]

   if 8.09999998e-4 < u2

   1. Initial program 54.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f32 40.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 40.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. flip-- N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(\frac{1 \cdot 1 - u1 \cdot u1}{1 + u1}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. clear-num N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(\frac{1}{\frac{1 + u1}{1 \cdot 1 - u1 \cdot u1}}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. log-rec N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(\frac{1 + u1}{1 \cdot 1 - u1 \cdot u1}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(\frac{1 + u1}{1 \cdot 1 - u1 \cdot u1}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. log-lowering-log.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\left(\frac{1 + u1}{1 \cdot 1 - u1 \cdot u1}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. /-lowering-/.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\left(1 + u1\right), \left(1 \cdot 1 - u1 \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, u1\right), \left(1 \cdot 1 - u1 \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, u1\right), \left(1 - u1 \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, u1\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(u1 \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 38.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, u1\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, u1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Applied egg-rr 38.5%

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(-\log \left(\frac{1 + u1}{1 - u1 \cdot u1}\right)\right)}} \cdot \left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1} \cdot \left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{u1}} \]

      2. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{u1}\right)}\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{u1}}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{u1}\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{u1}\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right), \left(\sqrt{u1}\right)\right) \]

      7. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{u1}\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{u1}\right)\right) \]

      9. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {u2}^{2}\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{u1}\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left({u2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{u1}\right)\right) \]

      11. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({u2}^{2}\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{u1}\right)\right) \]

      12. unpow2 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{u1}\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{u1}\right)\right) \]

      14. sqrt-lowering-sqrt.f32 53.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right)\right) \]

   10. Simplified 53.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 76.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0008099999977275729:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1} \cdot \left(1 + -2 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 12: 79.0% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0008099999977275729:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.0008099999977275729)
   (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))))))
   (* (+ 1.0 (* (* u2 u2) (* PI (* PI -2.0)))) (sqrt u1))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.0008099999977275729f) {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f))))));
	} else {
		tmp = (1.0f + ((u2 * u2) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * -2.0f)))) * sqrtf(u1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.0008099999977275729))
		tmp = sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(Float32(0.5) + Float32(u1 * Float32(0.3333333333333333)))))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(-2.0))))) * sqrt(u1));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if (u2 <= single(0.0008099999977275729))
		tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * (single(0.5) + (u1 * single(0.3333333333333333)))))));
	else
		tmp = (single(1.0) + ((u2 * u2) * (single(pi) * (single(pi) * single(-2.0))))) * sqrt(u1);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 8.09999998e-4

   1. Initial program 57.5%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 97.2%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)}\right), 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      3. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{3} \cdot u1\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \left(u1 \cdot \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      6. *-lowering-*.f32 90.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(\frac{1}{2}, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{3}\right)\right)\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   10. Simplified 90.6%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot 1 \]

   if 8.09999998e-4 < u2

   1. Initial program 54.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f32 40.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 40.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 53.2%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 76.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0008099999977275729:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 13: 76.6% accurate, 2.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0008099999977275729:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= u2 0.0008099999977275729)
   (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5))))
   (* (+ 1.0 (* (* u2 u2) (* PI (* PI -2.0)))) (sqrt u1))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if (u2 <= 0.0008099999977275729f) {
		tmp = sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f))));
	} else {
		tmp = (1.0f + ((u2 * u2) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * -2.0f)))) * sqrtf(u1);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = Float32(0.0)
	if (u2 <= Float32(0.0008099999977275729))
		tmp = sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5)))));
	else
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(u2 * u2) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(-2.0))))) * sqrt(u1));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = single(0.0);
	if (u2 <= single(0.0008099999977275729))
		tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * single(0.5)))));
	else
		tmp = (single(1.0) + ((u2 * u2) * (single(pi) * (single(pi) * single(-2.0))))) * sqrt(u1);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if u2 < 8.09999998e-4

   1. Initial program 57.5%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

      3. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      5. log1p-define N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      7. neg-lowering-neg.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

      8. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

      9. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      10. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 99.5%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
   6. Step-by-step derivation

   7. Simplified 97.2%

      \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

   8. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), 1\right) \]

      2. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      3. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 87.6%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   10. Simplified 87.6%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot 1 \]

   if 8.09999998e-4 < u2

   1. Initial program 54.0%

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
   2. Add Preprocessing

   3. Taylor expanded in u2 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({u2}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right)\right) \]

      2. associate-*r* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{u2}^{2}}\right)\right) \]

      3. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {u2}^{2}\right)}\right)\right) \]

      4. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({u2}^{2} \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({u2}^{2}\right), \color{blue}{\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

      6. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(u2 \cdot u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\color{blue}{-2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right) \]

      9. unpow2 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot -2\right)\right)\right)\right) \]

      10. associate-*l* N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot -2\right)}\right)\right)\right)\right) \]

      12. PI-lowering-PI.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{-2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. PI-lowering-PI.f32 40.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. Simplified 40.9%

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right)} \]

   6. Taylor expanded in u1 around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{u1}\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u2, u2\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), -2\right)\right)\right)\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

   8. Simplified 53.2%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1}} \cdot \left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;u2 \leq 0.0008099999977275729:\\ \;\;\;\;\sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(u2 \cdot u2\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot -2\right)\right)\right) \cdot \sqrt{u1}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 14: 72.7% accurate, 2.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (sqrt (* u1 (+ 1.0 (* u1 0.5)))))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf((u1 * (1.0f + (u1 * 0.5f))));
}

Fortran

real(4) function code(costheta_i, u1, u2)
    real(4), intent (in) :: costheta_i
    real(4), intent (in) :: u1
    real(4), intent (in) :: u2
    code = sqrt((u1 * (1.0e0 + (u1 * 0.5e0))))
end function

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return sqrt(Float32(u1 * Float32(Float32(1.0) + Float32(u1 * Float32(0.5)))))
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt((u1 * (single(1.0) + (u1 * single(0.5)))));
end

Derivation

1. Initial program 56.2%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 76.8%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

8. Taylor expanded in u1 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(u1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)}\right), 1\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \left(1 + \frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right), 1\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{1}{2} \cdot u1\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(u1 \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 70.6%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(u1, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(u1, \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right), 1\right) \]

10. Simplified 70.6%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)}} \cdot 1 \]

11. Final simplification 70.6%

    \[\leadsto \sqrt{u1 \cdot \left(1 + u1 \cdot 0.5\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 15: 64.6% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{u1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (cosTheta_i u1 u2) :precision binary32 (sqrt u1))

C

float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(u1);
}

Fortran

real(4) function code(costheta_i, u1, u2)
    real(4), intent (in) :: costheta_i
    real(4), intent (in) :: u1
    real(4), intent (in) :: u2
    code = sqrt(u1)
end function

Julia

function code(cosTheta_i, u1, u2)
	return sqrt(u1)
end

MATLAB

function tmp = code(cosTheta_i, u1, u2)
	tmp = sqrt(u1);
end

Derivation

1. Initial program 56.2%

   \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right)\right), \cos \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)}\right) \]

   3. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 - u1\right)\right)\right), \cos \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \cdot u2\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\log \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   5. log1p-define N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   6. log1p-lowering-log1p.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(u1\right)\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(\color{blue}{2} \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   7. neg-lowering-neg.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \cos \left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right) \]

   8. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot u2\right)\right)\right) \]

   9. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot u2\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 98.8%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), u2\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in u2 around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(\mathsf{log1p.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(u1\right)\right)\right)\right), \color{blue}{1}\right) \]
6. Step-by-step derivation

7. Simplified 76.8%

   \[\leadsto \sqrt{-\mathsf{log1p}\left(-u1\right)} \cdot \color{blue}{1} \]

9. Applied egg-rr 71.3%

   \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(\log \left(1 - u1 \cdot u1\right) - \mathsf{log1p}\left(u1\right)\right)}} \cdot 1 \]

10. Taylor expanded in u1 around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f32 62.8%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(u1\right) \]

12. Simplified 62.8%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{u1}} \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
  :name "Beckmann Sample, near normal, slope_x"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (> cosTheta_i 0.9999) (<= cosTheta_i 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 u1) (<= u1 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 u2) (<= u2 1.0)))
  (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (cos (* (* 2.0 PI) u2))))