UniformSampleCone, x

Percentage Accurate: 58.0% → 99.0%

Time: 14.1s

Alternatives: 13

Speedup: 2.1×

Specification

\[\left(\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Initial Program: 58.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\\ \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t\_0 \cdot t\_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos))))
   (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) + (ux * maxCos);
	return cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))
	return Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	t_0 = (single(1.0) - ux) + (ux * maxCos);
	tmp = cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (* (* ux (- 1.0 maxCos)) (+ 1.0 (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0))))))
  (cos (* (* 2.0 uy) PI))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf(((ux * (1.0f - maxCos)) * (1.0f + (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))))) * cosf(((2.0f * uy) * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))) * cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * uy) * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt(((ux * (single(1.0) - maxCos)) * (single(1.0) + (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))))) * cos(((single(2.0) * uy) * single(pi)));
end

Derivation

1. Initial program 55.9%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 56.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) + 1\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + -1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   10. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 62.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 + \left(1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(-1 + 1\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(0 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(1 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. neg-lowering-neg.f32 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(ux + \left(-maxCos\right) \cdot ux\right)}} \]

9. Taylor expanded in uy around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

11. Simplified 98.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{uy}\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    2. distribute-rgt1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right)}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right)}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), 1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{2}, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    5. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), 1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right), 1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    7. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), 1\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{uy}\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

    9. --lowering--.f32 99.1%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), 1\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

13. Applied egg-rr 99.1%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) \]

14. Final simplification 99.1%

    \[\leadsto \sqrt{\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) \]
15. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.005200000014156103:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.005200000014156103)
   (*
    (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)))
    (sqrt (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ 1.0 (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0))))))))
   (*
    (cos (* (* 2.0 uy) PI))
    (sqrt (+ (* ux (- 1.0 maxCos)) (* ux (- 1.0 ux)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.005200000014156103f) {
		tmp = (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * ((1.0f - maxCos) * (1.0f + (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))))));
	} else {
		tmp = cosf(((2.0f * uy) * ((float) M_PI))) * sqrtf(((ux * (1.0f - maxCos)) + (ux * (1.0f - ux))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.005200000014156103))
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))))));
	else
		tmp = Float32(cos(Float32(Float32(Float32(2.0) * uy) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)) + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.005200000014156103))
		tmp = (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi)))) * sqrt((ux * ((single(1.0) - maxCos) * (single(1.0) + (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))))));
	else
		tmp = cos(((single(2.0) * uy) * single(pi))) * sqrt(((ux * (single(1.0) - maxCos)) + (ux * (single(1.0) - ux))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.00520000001

   1. Initial program 57.2%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 57.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) + 1\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + -1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      10. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 62.4%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 + \left(1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(-1 + 1\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(0 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(1 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. neg-lowering-neg.f32 99.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 99.3%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(ux + \left(-maxCos\right) \cdot ux\right)}} \]

   9. Taylor expanded in uy around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   11. Simplified 99.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)} \]

   12. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)} + -2 \cdot \left(\left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)} + \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

       2. distribute-rgt1-in N/A

          \[\leadsto \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

       3. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {uy}^{2}\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \color{blue}{\left(1 - maxCos\right)}} \]

       5. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \color{blue}{ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {uy}^{2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}\right)}\right) \]

   14. Simplified 99.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

   if 0.00520000001 < uy

   1. Initial program 52.3%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 52.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) + 1\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + -1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      10. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 60.5%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 + \left(1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(-1 + 1\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(0 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(1 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. neg-lowering-neg.f32 97.8%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 97.8%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(ux + \left(-maxCos\right) \cdot ux\right)}} \]

   9. Taylor expanded in uy around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   11. Simplified 97.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)} \]

   12. Taylor expanded in maxCos around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]
   13. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, \color{blue}{uy}\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

       2. --lowering--.f32 94.3%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right), \mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   14. Simplified 94.3%

       \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \color{blue}{ux \cdot \left(1 - ux\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.005200000014156103:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 3: 98.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot 2 + -2\right) + \left(1 - ux\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* uy (* 2.0 PI)))
  (sqrt (* ux (+ 1.0 (+ (* maxCos (+ (* ux 2.0) -2.0)) (- 1.0 ux)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * (1.0f + ((maxCos * ((ux * 2.0f) + -2.0f)) + (1.0f - ux)))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * Float32(2.0)) + Float32(-2.0))) + Float32(Float32(1.0) - ux))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = cos((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * (single(1.0) + ((maxCos * ((ux * single(2.0)) + single(-2.0))) + (single(1.0) - ux)))));
end

Derivation

1. Initial program 55.9%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 56.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate--l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(1 + \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(ux - 1\right) + maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) + -1 \cdot \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) + -1 \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. distribute-lft-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) + \left(-1 \cdot ux + -1 \cdot -1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) + \left(-1 \cdot ux + 1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right) + \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\left(maxCos \cdot \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux - 2\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(2\right)\right)\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \left(2 \cdot ux + -2\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(2 \cdot ux\right), -2\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot 2\right), -2\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right), -2\right)\right), \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right), -2\right)\right), \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right), -2\right)\right), \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. --lowering--.f32 98.7%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(maxCos, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right), -2\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 98.7%

    \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot 2 + -2\right) + \left(1 - ux\right)\right)\right)}} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 4: 97.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.005200000014156103:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(1 - ux\right)\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.005200000014156103)
   (*
    (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)))
    (sqrt (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ 1.0 (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0))))))))
   (* (cos (* uy (* 2.0 PI))) (sqrt (* ux (+ 1.0 (- 1.0 ux)))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.005200000014156103f) {
		tmp = (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * ((1.0f - maxCos) * (1.0f + (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))))));
	} else {
		tmp = cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * (1.0f + (1.0f - ux))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.005200000014156103))
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))))));
	else
		tmp = Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) - ux)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.005200000014156103))
		tmp = (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi)))) * sqrt((ux * ((single(1.0) - maxCos) * (single(1.0) + (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))))));
	else
		tmp = cos((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * (single(1.0) + (single(1.0) - ux))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.00520000001

   1. Initial program 57.2%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 57.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) + 1\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + -1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      10. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 62.4%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 + \left(1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(-1 + 1\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(0 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(1 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. neg-lowering-neg.f32 99.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 99.3%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(ux + \left(-maxCos\right) \cdot ux\right)}} \]

   9. Taylor expanded in uy around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   11. Simplified 99.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)} \]

   12. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)} + -2 \cdot \left(\left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)} + \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

       2. distribute-rgt1-in N/A

          \[\leadsto \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

       3. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {uy}^{2}\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \color{blue}{\left(1 - maxCos\right)}} \]

       5. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \color{blue}{ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {uy}^{2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}\right)}\right) \]

   14. Simplified 99.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

   if 0.00520000001 < uy

   1. Initial program 52.3%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 52.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)}\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      2. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      3. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(\left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 98.0%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(-1 + maxCos\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \color{blue}{\left(1 + -1 \cdot \left(ux - 1\right)\right)}\right)\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + -1 \cdot \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + -1 \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. distribute-lft-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(-1 \cdot ux + -1 \cdot -1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(-1 \cdot ux + 1\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + -1 \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. --lowering--.f32 94.0%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 94.0%

       \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(1 - ux\right)\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.005200000014156103:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(1 - ux\right)\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 5: 97.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.005200000014156103:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.005200000014156103)
   (*
    (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)))
    (sqrt (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ 1.0 (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0))))))))
   (* (cos (* uy (* 2.0 PI))) (sqrt (* ux (- 2.0 ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.005200000014156103f) {
		tmp = (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * ((1.0f - maxCos) * (1.0f + (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))))));
	} else {
		tmp = cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * (2.0f - ux)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.005200000014156103))
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))))));
	else
		tmp = Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.005200000014156103))
		tmp = (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi)))) * sqrt((ux * ((single(1.0) - maxCos) * (single(1.0) + (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))))));
	else
		tmp = cos((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * (single(2.0) - ux)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.00520000001

   1. Initial program 57.2%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 57.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) + 1\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + -1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      10. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 62.4%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 + \left(1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(-1 + 1\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(0 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(1 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. neg-lowering-neg.f32 99.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 99.3%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(ux + \left(-maxCos\right) \cdot ux\right)}} \]

   9. Taylor expanded in uy around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   11. Simplified 99.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)} \]

   12. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)} + -2 \cdot \left(\left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)} + \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

       2. distribute-rgt1-in N/A

          \[\leadsto \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

       3. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {uy}^{2}\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \color{blue}{\left(1 - maxCos\right)}} \]

       5. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \color{blue}{ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {uy}^{2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}\right)}\right) \]

   14. Simplified 99.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

   if 0.00520000001 < uy

   1. Initial program 52.3%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 52.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) + 1\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + -1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      10. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 60.5%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 + \left(1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]

   7. Taylor expanded in maxCos around -inf

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left({maxCos}^{2} \cdot \left(-1 \cdot \frac{ux + \left(-1 \cdot \frac{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}{maxCos} + ux \cdot \left(\left(1 + -1 \cdot ux\right) - ux\right)\right)}{maxCos} + -1 \cdot {ux}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   9. Simplified 43.2%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(0 - ux \cdot ux\right) - \frac{ux + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) - ux\right) - \frac{ux \cdot \left(1 + \left(1 - ux\right)\right)}{maxCos}\right)}{maxCos}\right)}} \]

   10. Taylor expanded in maxCos around 0

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux \cdot \left(2 - ux\right)\right)}\right)\right) \]
   11. Step-by-step derivation

       1. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right)\right)\right) \]

       2. --lowering--.f32 93.9%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right)\right) \]

   12. Simplified 93.9%

       \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(2 - ux\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.005200000014156103:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 6: 93.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.024000000208616257:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot 2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (if (<= uy 0.024000000208616257)
   (*
    (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)))
    (sqrt (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ 1.0 (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0))))))))
   (* (cos (* uy (* 2.0 PI))) (sqrt (* ux 2.0)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float tmp;
	if (uy <= 0.024000000208616257f) {
		tmp = (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * ((1.0f - maxCos) * (1.0f + (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))))));
	} else {
		tmp = cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * 2.0f));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	tmp = Float32(0.0)
	if (uy <= Float32(0.024000000208616257))
		tmp = Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))))));
	else
		tmp = Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(2.0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
	if (uy <= single(0.024000000208616257))
		tmp = (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi)))) * sqrt((ux * ((single(1.0) - maxCos) * (single(1.0) + (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))))));
	else
		tmp = cos((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * sqrt((ux * single(2.0)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if uy < 0.0240000002

   1. Initial program 57.5%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 57.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) + 1\right)\right)\right) \]

      2. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + -1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

      3. associate-+l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      7. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      8. --lowering--.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      9. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      10. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      11. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

      12. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 62.6%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 + \left(1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(-1 + 1\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(0 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. distribute-rgt-in N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(1 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      6. *-lft-identity N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. neg-lowering-neg.f32 99.3%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. Applied egg-rr 99.3%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(ux + \left(-maxCos\right) \cdot ux\right)}} \]

   9. Taylor expanded in uy around inf

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative N/A

          \[\leadsto \sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

       2. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

   11. Simplified 99.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)} \]

   12. Taylor expanded in uy around 0

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)} + -2 \cdot \left(\left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)} + \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

       2. distribute-rgt1-in N/A

          \[\leadsto \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

       3. +-commutative N/A

          \[\leadsto \left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

       4. *-commutative N/A

          \[\leadsto \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {uy}^{2}\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \color{blue}{\left(1 - maxCos\right)}} \]

       5. associate-*r* N/A

          \[\leadsto \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \color{blue}{ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

       6. *-lowering-*.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {uy}^{2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}\right)}\right) \]

   14. Simplified 98.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

   if 0.0240000002 < uy

   1. Initial program 48.3%

      \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

      2. cos-lowering-cos.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

      3. associate-*l* N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      4. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      6. PI-lowering-PI.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

      7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

      8. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. distribute-rgt-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. Simplified 48.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
   4. Add Preprocessing

   5. Taylor expanded in ux around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right) - 1\right)}\right)\right)\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      2. metadata-eval N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

      3. +-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 + ux \cdot \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

      4. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \left(ux \cdot \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      5. *-lowering-*.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 + -1 \cdot \left(maxCos - 1\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      6. associate--l+ N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 + \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      7. +-lowering-+.f32 N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(-1 \cdot \left(maxCos - 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      8. mul-1-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      9. sub-neg N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      10. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      11. distribute-neg-in N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      12. metadata-eval N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      13. +-commutative N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      14. sub-neg N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      15. --lowering--.f32 N/A

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

      16. --lowering--.f32 38.2%

          \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{+.f32}\left(-1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 38.2%

      \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \color{blue}{\left(-1 + ux \cdot \left(1 + \left(\left(1 - maxCos\right) - maxCos\right)\right)\right)}} \]

   8. Taylor expanded in maxCos around 0

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(2 \cdot ux\right)}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative N/A

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot 2\right)\right)\right) \]

      2. *-lowering-*.f32 76.4%

         \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, 2\right)\right)\right) \]

   10. Simplified 76.4%

       \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot 2}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;uy \leq 0.024000000208616257:\\ \;\;\;\;\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot 2}\\ \end{array} \]
5. Add Preprocessing

Alternative 7: 88.0% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI)))
  (sqrt (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ 1.0 (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0)))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * ((1.0f - maxCos) * (1.0f + (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0)))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi)))) * sqrt((ux * ((single(1.0) - maxCos) * (single(1.0) + (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))))));
end

Derivation

1. Initial program 55.9%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 56.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) + 1\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + -1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   10. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 62.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 + \left(1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(-1 + 1\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(0 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(1 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. neg-lowering-neg.f32 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(ux + \left(-maxCos\right) \cdot ux\right)}} \]

9. Taylor expanded in uy around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

11. Simplified 98.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)} \]

12. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)} + -2 \cdot \left(\left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}\right)} \]
13. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)} + \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

    2. distribute-rgt1-in N/A

       \[\leadsto \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + 1\right) \cdot \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

    3. +-commutative N/A

       \[\leadsto \left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {uy}^{2}\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \color{blue}{\left(1 - maxCos\right)}} \]

    5. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {uy}^{2}\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \color{blue}{ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {uy}^{2}\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}\right)}\right) \]

14. Simplified 88.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

15. Final simplification 88.5%

    \[\leadsto \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 8: 82.8% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(1 - ux\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (* (+ 1.0 (* (* -2.0 (* uy uy)) (* PI PI))) (sqrt (* ux (+ 1.0 (- 1.0 ux))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return (1.0f + ((-2.0f * (uy * uy)) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * sqrtf((ux * (1.0f + (1.0f - ux))));
}

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-2.0) * Float32(uy * uy)) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) - ux)))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = (single(1.0) + ((single(-2.0) * (uy * uy)) * (single(pi) * single(pi)))) * sqrt((ux * (single(1.0) + (single(1.0) - ux))));
end

Derivation

1. Initial program 55.9%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 56.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) + 1\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + -1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   10. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 62.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 + \left(1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(-1 + 1\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(0 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(1 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. neg-lowering-neg.f32 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(ux + \left(-maxCos\right) \cdot ux\right)}} \]

9. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\right)}\right) \]

    2. cos-lowering-cos.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}}\right)\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{ux} + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{ux} + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\right)\right) \]

    6. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\right)\right) \]

    7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux + \left(1 - ux\right) \cdot ux\right)\right)\right) \]

    9. distribute-rgt1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) + 1\right) \cdot ux\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 - ux\right) + 1\right), ux\right)\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 - ux\right), 1\right), ux\right)\right)\right) \]

    12. --lowering--.f32 94.1%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), 1\right), ux\right)\right)\right) \]

11. Simplified 94.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(\left(1 - ux\right) + 1\right) \cdot ux}} \]

12. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{\left(1 + -2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), 1\right), ux\right)\right)\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + -2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), 1\right), ux\right)\right)\right) \]

    2. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {uy}^{2}\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), 1\right), \color{blue}{ux}\right)\right)\right) \]

    3. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot {uy}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), 1\right), ux\right)}\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot {uy}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), 1\right), \color{blue}{ux}\right)\right)\right) \]

    5. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(-2 \cdot \left({uy}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), 1\right), ux\right)\right)\right) \]

    6. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), 1\right), \color{blue}{ux}\right)\right)\right) \]

    7. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(-2 \cdot {uy}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), 1\right), \color{blue}{ux}\right)\right)\right) \]

    8. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left({uy}^{2}\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), 1\right), ux\right)\right)\right) \]

    9. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \left(uy \cdot uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), 1\right), ux\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), 1\right), ux\right)\right)\right) \]

    11. unpow2 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), 1\right), ux\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), 1\right), ux\right)\right)\right) \]

    13. PI-lowering-PI.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), 1\right), ux\right)\right)\right) \]

    14. PI-lowering-PI.f32 84.5%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(-2, \mathsf{*.f32}\left(uy, uy\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), 1\right), ux\right)\right)\right) \]

14. Simplified 84.5%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{\left(\left(1 - ux\right) + 1\right) \cdot ux} \]

15. Final simplification 84.5%

    \[\leadsto \left(1 + \left(-2 \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(1 - ux\right)\right)} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 9: 79.7% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (sqrt (* ux (* (- 1.0 maxCos) (+ 1.0 (+ 1.0 (* ux (+ maxCos -1.0))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * ((1.0f - maxCos) * (1.0f + (1.0f + (ux * (maxCos + -1.0f)))))));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt((ux * ((1.0e0 - maxcos) * (1.0e0 + (1.0e0 + (ux * (maxcos + (-1.0e0))))))))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - maxCos) * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(maxCos + Float32(-1.0))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * ((single(1.0) - maxCos) * (single(1.0) + (single(1.0) + (ux * (maxCos + single(-1.0))))))));
end

Derivation

1. Initial program 55.9%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 56.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) + 1\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + -1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   10. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 62.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 + \left(1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(-1 + 1\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(0 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(1 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. neg-lowering-neg.f32 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(ux + \left(-maxCos\right) \cdot ux\right)}} \]

9. Taylor expanded in uy around inf

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)} \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}\right), \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right) \]

11. Simplified 98.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)} \]

12. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)}} \]
13. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) \]

    2. distribute-lft-out N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    4. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    5. distribute-lft1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    6. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    7. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), 1\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    8. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), 1\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right), 1\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    10. --lowering--.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), 1\right), \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right) \]

    11. --lowering--.f32 78.1%

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right), 1\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right) \]

14. Simplified 78.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right) \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

15. Final simplification 78.1%

    \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 + \left(1 + ux \cdot \left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 10: 75.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(1 - ux\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (sqrt (+ (* ux (- 1.0 maxCos)) (* ux (- 1.0 ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf(((ux * (1.0f - maxCos)) + (ux * (1.0f - ux))));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt(((ux * (1.0e0 - maxcos)) + (ux * (1.0e0 - ux))))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - maxCos)) + Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt(((ux * (single(1.0) - maxCos)) + (ux * (single(1.0) - ux))));
end

Derivation

1. Initial program 55.9%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 56.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) + 1\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + -1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   10. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 62.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 + \left(1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(-1 + 1\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(0 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(1 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. neg-lowering-neg.f32 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(ux + \left(-maxCos\right) \cdot ux\right)}} \]

9. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 \cdot ux + \left(-1 \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. --lowering--.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. --lowering--.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. --lowering--.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. --lowering--.f32 78.1%

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 78.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

12. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \color{blue}{\left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right)\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \]

    2. --lowering--.f32 75.1%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right)\right)\right)\right) \]

14. Simplified 75.1%

    \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \color{blue}{ux \cdot \left(1 - ux\right)}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 11: 75.4% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(1 - ux\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos) :precision binary32 (sqrt (* ux (+ 1.0 (- 1.0 ux)))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * (1.0f + (1.0f - ux))));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt((ux * (1.0e0 + (1.0e0 - ux))))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(1.0) - ux))))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * (single(1.0) + (single(1.0) - ux))));
end

Derivation

1. Initial program 55.9%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 56.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) + 1\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + -1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   10. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 62.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 + \left(1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(-1 + 1\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(0 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(1 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. neg-lowering-neg.f32 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(ux + \left(-maxCos\right) \cdot ux\right)}} \]

9. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux + \left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    2. associate-+r+ N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    3. *-lft-identity N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    4. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 \cdot ux + \left(-1 \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    5. mul-1-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    6. distribute-rgt-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    7. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    8. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    9. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    10. --lowering--.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(ux \cdot \left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    11. associate-*r* N/A

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    12. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    13. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right), \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    14. --lowering--.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

    15. --lowering--.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    16. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

    17. --lowering--.f32 78.1%

        \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right), \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

11. Simplified 78.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

12. Taylor expanded in maxCos around 0

    \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)}\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux + \left(1 - ux\right) \cdot ux\right)\right) \]

    2. distribute-rgt1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) + 1\right) \cdot ux\right)\right) \]

    3. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 - ux\right) + 1\right), ux\right)\right) \]

    4. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 - ux\right), 1\right), ux\right)\right) \]

    5. --lowering--.f32 74.8%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), 1\right), ux\right)\right) \]

14. Simplified 74.8%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) + 1\right) \cdot ux}} \]

15. Final simplification 74.8%

    \[\leadsto \sqrt{ux \cdot \left(1 + \left(1 - ux\right)\right)} \]
16. Add Preprocessing

Alternative 12: 75.4% accurate, 2.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos) :precision binary32 (sqrt (* ux (- 2.0 ux))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux * (2.0f - ux)));
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = sqrt((ux * (2.0e0 - ux)))
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return sqrt(Float32(ux * Float32(Float32(2.0) - ux)))
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = sqrt((ux * (single(2.0) - ux)));
end

Derivation

1. Initial program 55.9%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 56.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right) + 1\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + -1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + 1\right)\right)\right) \]

   3. associate-+l+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   4. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(1 - maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   8. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   10. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

   12. --lowering--.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(-1 \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 62.0%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \left(-1 + \left(1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(\left(-1 + 1\right) + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(0 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. +-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(1 \cdot ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lft-identity N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) \cdot ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. neg-lowering-neg.f32 98.9%

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right), \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(1, maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(ux, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{neg.f32}\left(maxCos\right), ux\right)\right)\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\left(1 - maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(ux + \left(-maxCos\right) \cdot ux\right)}} \]

9. Taylor expanded in maxCos around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\right)}\right) \]

    2. cos-lowering-cos.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(2 \cdot \left(uy \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}}\right)\right) \]

    3. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{ux} + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\right)\right) \]

    4. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(2 \cdot uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{ux} + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\right)\right) \]

    5. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\right)\right) \]

    6. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)}\right)\right) \]

    7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux + ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right) \]

    8. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux + \left(1 - ux\right) \cdot ux\right)\right)\right) \]

    9. distribute-rgt1-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(\left(\left(1 - ux\right) + 1\right) \cdot ux\right)\right)\right) \]

    10. *-lowering-*.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\left(1 - ux\right) + 1\right), ux\right)\right)\right) \]

    11. +-lowering-+.f32 N/A

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(1 - ux\right), 1\right), ux\right)\right)\right) \]

    12. --lowering--.f32 94.1%

        \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(2, uy\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(1, ux\right), 1\right), ux\right)\right)\right) \]

11. Simplified 94.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(\left(1 - ux\right) + 1\right) \cdot ux}} \]

12. Taylor expanded in uy around 0

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}} \]
13. Step-by-step derivation

    1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(ux \cdot \left(2 - ux\right)\right)\right) \]

    2. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \left(2 - ux\right)\right)\right) \]

    3. --lowering--.f32 74.7%

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{\_.f32}\left(2, ux\right)\right)\right) \]

14. Simplified 74.7%

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{ux \cdot \left(2 - ux\right)}} \]
15. Add Preprocessing

Alternative 13: 6.6% accurate, 223.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos) :precision binary32 0.0)

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return 0.0f;
}

Fortran

real(4) function code(ux, uy, maxcos)
    real(4), intent (in) :: ux
    real(4), intent (in) :: uy
    real(4), intent (in) :: maxcos
    code = 0.0e0
end function

Julia

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(0.0)
end

MATLAB

function tmp = code(ux, uy, maxCos)
	tmp = single(0.0);
end

Derivation

1. Initial program 55.9%

   \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)}\right) \]

   2. cos-lowering-cos.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}}\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\left(uy \cdot \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \left(2 \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{\color{blue}{1} - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \left(\sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

   7. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right) \]

   8. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-rgt-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{cos.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(uy, \mathsf{*.f32}\left(2, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right), \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

3. Simplified 56.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)}} \]
4. Add Preprocessing

5. Taylor expanded in uy around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\left(1 + \left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 - ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   4. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(\mathsf{neg}\left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-neg-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   7. sub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(1 + \left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   8. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + 1\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   9. metadata-eval N/A

      \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\left(\mathsf{neg}\left(maxCos\right)\right) + \left(\mathsf{neg}\left(-1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   10. distribute-neg-in N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + -1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   11. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   12. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(\mathsf{neg}\left(\left(\mathsf{neg}\left(\left(maxCos - 1\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   13. remove-double-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \left(ux \cdot \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos - 1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   15. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   16. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(maxCos + -1\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   17. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \left(-1 + maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   18. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) - 1\right)\right)\right)\right) \]

   19. sub-neg N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + \left(\mathsf{neg}\left(1\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   20. metadata-eval N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(ux \cdot \left(1 - maxCos\right) + -1\right)\right)\right)\right) \]

   21. +-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(ux, \mathsf{+.f32}\left(-1, maxCos\right)\right)\right), \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 48.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 + \left(1 + ux \cdot \left(-1 + maxCos\right)\right) \cdot \left(-1 + ux \cdot \left(1 - maxCos\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in ux around 0

   \[\leadsto \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{-1}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

10. Simplified 6.6%

    \[\leadsto \sqrt{1 + \color{blue}{-1}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. pow1/2 N/A

       \[\leadsto {\left(1 + -1\right)}^{\color{blue}{\frac{1}{2}}} \]

    2. metadata-eval N/A

       \[\leadsto {0}^{\frac{1}{2}} \]

    3. metadata-eval 6.6%

       \[\leadsto 0 \]

12. Applied egg-rr 6.6%

    \[\leadsto \color{blue}{0} \]
13. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, x"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))