HairBSDF, gamma for a refracted ray

Percentage Accurate: 92.3% → 98.5%

Time: 13.1s

Alternatives: 3

Speedup: 3.1×

Specification

\[\left(\left(-1 \leq sinTheta\_O \land sinTheta\_O \leq 1\right) \land \left(-1 \leq h \land h \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq eta \land eta \leq 10\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin
  (/
   h
   (sqrt
    (-
     (* eta eta)
     (/
      (* sinTheta_O sinTheta_O)
      (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / sqrtf(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrtf((1.0f - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sintheta_o * sintheta_o) / sqrt((1.0e0 - (sintheta_o * sintheta_o))))))))
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / sqrt(Float32(Float32(eta * eta) - Float32(Float32(sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(sinTheta_O * sinTheta_O))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt((single(1.0) - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
end

Initial Program: 92.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin
  (/
   h
   (sqrt
    (-
     (* eta eta)
     (/
      (* sinTheta_O sinTheta_O)
      (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / sqrtf(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrtf((1.0f - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sintheta_o * sintheta_o) / sqrt((1.0e0 - (sintheta_o * sintheta_o))))))))
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / sqrt(Float32(Float32(eta * eta) - Float32(Float32(sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(sinTheta_O * sinTheta_O))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt((single(1.0) - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
end

Alternative 1: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta - sinTheta\_O} \cdot {\left(eta + sinTheta\_O\right)}^{0.5}}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin (/ h (* (sqrt (- eta sinTheta_O)) (pow (+ eta sinTheta_O) 0.5)))))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / (sqrtf((eta - sinTheta_O)) * powf((eta + sinTheta_O), 0.5f))));
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / (sqrt((eta - sintheta_o)) * ((eta + sintheta_o) ** 0.5e0))))
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / Float32(sqrt(Float32(eta - sinTheta_O)) * (Float32(eta + sinTheta_O) ^ Float32(0.5)))))
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / (sqrt((eta - sinTheta_O)) * ((eta + sinTheta_O) ^ single(0.5)))));
end

Derivation

1. Initial program 93.9%

   \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in sinTheta_O around 0

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\color{blue}{\left(-1 \cdot {sinTheta\_O}^{2} + {eta}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({eta}^{2} + -1 \cdot {sinTheta\_O}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({eta}^{2} + \left(\mathsf{neg}\left({sinTheta\_O}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. unsub-neg N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\left({eta}^{2} - {sinTheta\_O}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   4. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left({eta}^{2}\right), \left({sinTheta\_O}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\left(eta \cdot eta\right), \left({sinTheta\_O}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right), \left({sinTheta\_O}^{2}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right), \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 93.7%

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(eta, eta\right), \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, sinTheta\_O\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 93.7%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{\color{blue}{eta \cdot eta - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. pow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \left({\left(eta \cdot eta - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

   2. difference-of-squares N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \left({\left(\left(eta + sinTheta\_O\right) \cdot \left(eta - sinTheta\_O\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \left({\left(\left(eta - sinTheta\_O\right) \cdot \left(eta + sinTheta\_O\right)\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

   4. unpow-prod-down N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \left({\left(eta - sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}} \cdot {\left(eta + sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{*.f32}\left(\left({\left(eta - sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}\right), \left({\left(eta + sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   6. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\left(eta - sinTheta\_O\right), \frac{1}{2}\right), \left({\left(eta + sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   7. --lowering--.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right), \frac{1}{2}\right), \left({\left(eta + sinTheta\_O\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   8. pow-lowering-pow.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{pow.f32}\left(\left(eta + sinTheta\_O\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. +-lowering-+.f32 98.4%

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right), \frac{1}{2}\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\color{blue}{{\left(eta - sinTheta\_O\right)}^{0.5} \cdot {\left(eta + sinTheta\_O\right)}^{0.5}}}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow1/2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{*.f32}\left(\left(\sqrt{eta - sinTheta\_O}\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-lowering-sqrt.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\left(eta - sinTheta\_O\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

   3. --lowering--.f32 98.4%

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{sqrt.f32}\left(\mathsf{\_.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right)\right), \mathsf{pow.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(eta, sinTheta\_O\right), \frac{1}{2}\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\color{blue}{\sqrt{eta - sinTheta\_O}} \cdot {\left(eta + sinTheta\_O\right)}^{0.5}}\right) \]
10. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.8% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \frac{-0.5}{eta}\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin (/ h (+ eta (* sinTheta_O (* sinTheta_O (/ -0.5 eta)))))))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / (eta + (sinTheta_O * (sinTheta_O * (-0.5f / eta))))));
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / (eta + (sintheta_o * (sintheta_o * ((-0.5e0) / eta))))))
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / Float32(eta + Float32(sinTheta_O * Float32(sinTheta_O * Float32(Float32(-0.5) / eta))))))
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / (eta + (sinTheta_O * (sinTheta_O * (single(-0.5) / eta))))));
end

Derivation

1. Initial program 93.9%

   \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in sinTheta_O around 0

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \color{blue}{\left(eta + \frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2}}{eta}\right)}\right)\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \left(\frac{-1}{2} \cdot \frac{{sinTheta\_O}^{2}}{eta}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \left(\frac{\frac{-1}{2} \cdot {sinTheta\_O}^{2}}{eta}\right)\right)\right)\right) \]

   3. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{-1}{2} \cdot {sinTheta\_O}^{2}\right), eta\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{/.f32}\left(\left({sinTheta\_O}^{2} \cdot \frac{-1}{2}\right), eta\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{-1}{2}\right), eta\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{/.f32}\left(\left(sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \frac{-1}{2}\right)\right), eta\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \left(sinTheta\_O \cdot \frac{-1}{2}\right)\right), eta\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 97.3%

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \mathsf{*.f32}\left(sinTheta\_O, \frac{-1}{2}\right)\right), eta\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 97.3%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\color{blue}{eta + \frac{sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot -0.5\right)}{eta}}}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \left(\frac{\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{-1}{2}}{eta}\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \left(\left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right) \cdot \frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \left(\frac{\frac{-1}{2}}{eta} \cdot \left(sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{eta} \cdot sinTheta\_O\right) \cdot sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{eta} \cdot sinTheta\_O\right), sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\frac{-1}{2}}{eta}\right), sinTheta\_O\right), sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

   7. /-lowering-/.f32 98.0%

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, \mathsf{+.f32}\left(eta, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\frac{-1}{2}, eta\right), sinTheta\_O\right), sinTheta\_O\right)\right)\right)\right) \]

7. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + \color{blue}{\left(\frac{-0.5}{eta} \cdot sinTheta\_O\right) \cdot sinTheta\_O}}\right) \]

8. Final simplification 98.0%

   \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta + sinTheta\_O \cdot \left(sinTheta\_O \cdot \frac{-0.5}{eta}\right)}\right) \]
9. Add Preprocessing

Alternative 3: 95.2% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{eta}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta) :precision binary32 (asin (/ h eta)))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / eta));
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / eta))
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / eta))
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / eta));
end

Derivation

1. Initial program 93.9%

   \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}{\sqrt{1 - sinTheta\_O \cdot sinTheta\_O}}}}\right) \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in eta around inf

   \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{h}{eta}\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. /-lowering-/.f32 95.2%

      \[\leadsto \mathsf{asin.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(h, eta\right)\right) \]

5. Simplified 95.2%

   \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\frac{h}{eta}\right)} \]
6. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (sinTheta_O h eta)
  :name "HairBSDF, gamma for a refracted ray"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= -1.0 sinTheta_O) (<= sinTheta_O 1.0)) (and (<= -1.0 h) (<= h 1.0))) (and (<= 0.0 eta) (<= eta 10.0)))
  (asin (/ h (sqrt (- (* eta eta) (/ (* sinTheta_O sinTheta_O) (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))