Lanczos kernel

Percentage Accurate: 97.9% → 97.8%

Time: 13.5s

Alternatives: 15

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(10^{-5} \leq x \land x \leq 1\right) \land \left(1 \leq tau \land tau \leq 5\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Initial Program: 97.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* (* x PI) tau)))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* x PI)) (* x PI)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = (x * ((float) M_PI)) * tau;
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((x * ((float) M_PI))) / (x * ((float) M_PI)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(x * Float32(pi)) * tau)
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(x * Float32(pi))) / Float32(x * Float32(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = (x * single(pi)) * tau;
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((x * single(pi))) / (x * single(pi)));
end

Alternative 1: 97.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\\ \frac{\frac{\sin t\_1}{\pi \cdot x}}{\frac{t\_1}{\sin \left(\pi \cdot x\right)}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* PI (* x tau))))
   (/ (/ (sin t_1) (* PI x)) (/ t_1 (sin (* PI x))))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = ((float) M_PI) * (x * tau);
	return (sinf(t_1) / (((float) M_PI) * x)) / (t_1 / sinf((((float) M_PI) * x)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(pi) * Float32(x * tau))
	return Float32(Float32(sin(t_1) / Float32(Float32(pi) * x)) / Float32(t_1 / sin(Float32(Float32(pi) * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = single(pi) * (x * tau);
	tmp = (sin(t_1) / (single(pi) * x)) / (t_1 / sin((single(pi) * x)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 1}{\color{blue}{tau \cdot \frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   4. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{tau} \cdot \frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(tau \cdot \frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{x \cdot \pi}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(x \cdot \pi\right)}}} \]

5. Final simplification 98.0%

   \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{\pi \cdot x}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(\pi \cdot x\right)}} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 2: 97.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := tau \cdot \left(\pi \cdot x\right)\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \frac{\sin \left(\pi \cdot x\right)}{\pi \cdot x} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* tau (* PI x))))
   (* (/ (sin t_1) t_1) (/ (sin (* PI x)) (* PI x)))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = tau * (((float) M_PI) * x);
	return (sinf(t_1) / t_1) * (sinf((((float) M_PI) * x)) / (((float) M_PI) * x));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(tau * Float32(Float32(pi) * x))
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(sin(Float32(Float32(pi) * x)) / Float32(Float32(pi) * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = tau * (single(pi) * x);
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (sin((single(pi) * x)) / (single(pi) * x));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Final simplification 98.0%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(tau \cdot \left(\pi \cdot x\right)\right)}{tau \cdot \left(\pi \cdot x\right)} \cdot \frac{\sin \left(\pi \cdot x\right)}{\pi \cdot x} \]
4. Add Preprocessing

Alternative 3: 97.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\\ \frac{\sin t\_1}{\pi \cdot x} \cdot \frac{\sin \left(\pi \cdot x\right)}{t\_1} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* PI (* x tau))))
   (* (/ (sin t_1) (* PI x)) (/ (sin (* PI x)) t_1))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = ((float) M_PI) * (x * tau);
	return (sinf(t_1) / (((float) M_PI) * x)) * (sinf((((float) M_PI) * x)) / t_1);
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(pi) * Float32(x * tau))
	return Float32(Float32(sin(t_1) / Float32(Float32(pi) * x)) * Float32(sin(Float32(Float32(pi) * x)) / t_1))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = single(pi) * (x * tau);
	tmp = (sin(t_1) / (single(pi) * x)) * (sin((single(pi) * x)) / t_1);
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau} \cdot \frac{\color{blue}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \]

   2. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\color{blue}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{tau}} \]

   4. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{x \cdot \pi} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}} \]

5. Final simplification 97.7%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{\pi \cdot x} \cdot \frac{\sin \left(\pi \cdot x\right)}{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 4: 85.1% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := tau \cdot \left(\pi \cdot x\right)\\ \frac{\sin t\_1}{t\_1} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* tau (* PI x))))
   (*
    (/ (sin t_1) t_1)
    (+ 1.0 (* x (* x (* -0.16666666666666666 (* PI PI))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = tau * (((float) M_PI) * x);
	return (sinf(t_1) / t_1) * (1.0f + (x * (x * (-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(tau * Float32(Float32(pi) * x))
	return Float32(Float32(sin(t_1) / t_1) * Float32(Float32(1.0) + Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = tau * (single(pi) * x);
	tmp = (sin(t_1) / t_1) * (single(1.0) + (x * (x * (single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * single(pi))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \color{blue}{\left(1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   6. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. PI-lowering-PI.f32 86.3%

       \[\leadsto \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), tau\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(x, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 86.3%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \color{blue}{\left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \]

6. Final simplification 86.3%

   \[\leadsto \frac{\sin \left(tau \cdot \left(\pi \cdot x\right)\right)}{tau \cdot \left(\pi \cdot x\right)} \cdot \left(1 + x \cdot \left(x \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
7. Add Preprocessing

Alternative 5: 80.0% accurate, 4.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\\ t_2 := \pi + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(t\_1 \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \frac{\pi}{t\_2} + \frac{\left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot t\_1\right)}{t\_2} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* PI (* PI PI)))
        (t_2 (+ PI (* (* x x) (* t_1 0.16666666666666666)))))
   (+
    (/ PI t_2)
    (/ (* (* tau (* tau (* x x))) (* -0.16666666666666666 t_1)) t_2))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = ((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI));
	float t_2 = ((float) M_PI) + ((x * x) * (t_1 * 0.16666666666666666f));
	return (((float) M_PI) / t_2) + (((tau * (tau * (x * x))) * (-0.16666666666666666f * t_1)) / t_2);
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))
	t_2 = Float32(Float32(pi) + Float32(Float32(x * x) * Float32(t_1 * Float32(0.16666666666666666))))
	return Float32(Float32(Float32(pi) / t_2) + Float32(Float32(Float32(tau * Float32(tau * Float32(x * x))) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * t_1)) / t_2))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = single(pi) * (single(pi) * single(pi));
	t_2 = single(pi) + ((x * x) * (t_1 * single(0.16666666666666666)));
	tmp = (single(pi) / t_2) + (((tau * (tau * (x * x))) * (single(-0.16666666666666666) * t_1)) / t_2);
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}} \]

   3. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau}} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{x} \cdot \frac{\frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau} \]

   5. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot tau\right)} \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}} \]

   8. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{x} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   9. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{x}}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{x}\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{x}}{\frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{\sin \left(x \cdot \pi\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \left(tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\frac{1}{6} \cdot \left(tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} \cdot \left(tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \left(tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{1}{6} \cdot tau\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot tau\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f32 85.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 85.3%

   \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{x}}{\color{blue}{tau \cdot \pi + \left(0.16666666666666666 \cdot tau\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \frac{{tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)} + \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)} + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \frac{{tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}} \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)} + \frac{{tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)} \cdot \color{blue}{\frac{-1}{6}} \]

   3. associate-/l* N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)} + \left({tau}^{2} \cdot \frac{{x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right) \cdot \frac{-1}{6} \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)} + {tau}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{{x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)} \cdot \frac{-1}{6}\right)} \]

   5. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)} + {tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}}\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right), \color{blue}{\left({tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \frac{{x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}}{\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)}\right) \]

10. Simplified 81.2%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\pi}{\pi + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 0.16666666666666666\right)} + \frac{\left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot -0.16666666666666666\right)}{\pi + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

11. Final simplification 81.2%

    \[\leadsto \frac{\pi}{\pi + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 0.16666666666666666\right)} + \frac{\left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)}{\pi + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot 0.16666666666666666\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 6: 79.8% accurate, 5.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\\ \frac{\pi \cdot tau + \left(tau \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot t\_1\right)\right)}{\pi \cdot tau + \left(tau \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot t\_1\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* PI (* PI PI))))
   (/
    (+
     (* PI tau)
     (* (* tau (* tau tau)) (* (* x x) (* -0.16666666666666666 t_1))))
    (+ (* PI tau) (* (* tau 0.16666666666666666) (* (* x x) t_1))))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = ((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI));
	return ((((float) M_PI) * tau) + ((tau * (tau * tau)) * ((x * x) * (-0.16666666666666666f * t_1)))) / ((((float) M_PI) * tau) + ((tau * 0.16666666666666666f) * ((x * x) * t_1)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(pi) * tau) + Float32(Float32(tau * Float32(tau * tau)) * Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * t_1)))) / Float32(Float32(Float32(pi) * tau) + Float32(Float32(tau * Float32(0.16666666666666666)) * Float32(Float32(x * x) * t_1))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = single(pi) * (single(pi) * single(pi));
	tmp = ((single(pi) * tau) + ((tau * (tau * tau)) * ((x * x) * (single(-0.16666666666666666) * t_1)))) / ((single(pi) * tau) + ((tau * single(0.16666666666666666)) * ((x * x) * t_1)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}} \]

   3. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau}} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{x} \cdot \frac{\frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau} \]

   5. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot tau\right)} \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}} \]

   8. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{x} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   9. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{x}}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{x}\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{x}}{\frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{\sin \left(x \cdot \pi\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \left(tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\frac{1}{6} \cdot \left(tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} \cdot \left(tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \left(tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{1}{6} \cdot tau\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot tau\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f32 85.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 85.3%

   \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{x}}{\color{blue}{tau \cdot \pi + \left(0.16666666666666666 \cdot tau\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{3} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{3} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{3}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{3}\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{3}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {x}^{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {x}^{2}\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\left(tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\color{blue}{tau}, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{3} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{3}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot {x}^{2}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{3}\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot {x}^{2}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{3}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. associate-*r* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{3} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left({tau}^{3} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({tau}^{3} \cdot \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-commutative N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left({tau}^{3} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 80.9%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{tau \cdot \pi + \left(tau \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}}{tau \cdot \pi + \left(0.16666666666666666 \cdot tau\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]

11. Final simplification 80.9%

    \[\leadsto \frac{\pi \cdot tau + \left(tau \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}{\pi \cdot tau + \left(tau \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 7: 79.6% accurate, 5.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_1 := \pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\\ \frac{tau \cdot \left(\pi + \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot t\_1\right)\right)}{\pi \cdot tau + \left(tau \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot t\_1\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (let* ((t_1 (* PI (* PI PI))))
   (/
    (* tau (+ PI (* (* tau (* tau (* x x))) (* -0.16666666666666666 t_1))))
    (+ (* PI tau) (* (* tau 0.16666666666666666) (* (* x x) t_1))))))

C

float code(float x, float tau) {
	float t_1 = ((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI));
	return (tau * (((float) M_PI) + ((tau * (tau * (x * x))) * (-0.16666666666666666f * t_1)))) / ((((float) M_PI) * tau) + ((tau * 0.16666666666666666f) * ((x * x) * t_1)));
}

Julia

function code(x, tau)
	t_1 = Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))
	return Float32(Float32(tau * Float32(Float32(pi) + Float32(Float32(tau * Float32(tau * Float32(x * x))) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * t_1)))) / Float32(Float32(Float32(pi) * tau) + Float32(Float32(tau * Float32(0.16666666666666666)) * Float32(Float32(x * x) * t_1))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	t_1 = single(pi) * (single(pi) * single(pi));
	tmp = (tau * (single(pi) + ((tau * (tau * (x * x))) * (single(-0.16666666666666666) * t_1)))) / ((single(pi) * tau) + ((tau * single(0.16666666666666666)) * ((x * x) * t_1)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/ N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau}} \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right) \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{x \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}} \]

   3. times-frac N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau}} \]

   4. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{x} \cdot \frac{\frac{\sin \color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau} \]

   5. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)}} \]

   6. *-commutative N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot tau\right)} \]

   7. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{x} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}} \]

   8. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{x} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   9. un-div-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{x}}{\color{blue}{\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   10. /-lowering-/.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{x}\right), \color{blue}{\left(\frac{\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(x \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot tau\right)\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 97.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{x}}{\frac{\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{\sin \left(x \cdot \pi\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) + tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \left(tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right) + \color{blue}{\frac{1}{6} \cdot \left(tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)}\right)\right) \]

   2. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(tau \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{1}{6} \cdot \left(tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{1}{6}} \cdot \left(tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{1}{6} \cdot \left(tau \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\left(\frac{1}{6} \cdot tau\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{1}{6} \cdot tau\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{3}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. cube-mult N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{\color{blue}{2}}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   17. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   18. PI-lowering-PI.f32 85.3%

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{/.f32}\left(\mathsf{sin.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(x, tau\right)\right)\right), x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 85.3%

   \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{x}}{\color{blue}{tau \cdot \pi + \left(0.16666666666666666 \cdot tau\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)}} \]

8. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\color{blue}{\left(tau \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)}, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(tau \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(tau \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) + \left({tau}^{2} \cdot \frac{-1}{6}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(tau \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) + {tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \left(\mathsf{PI}\left(\right) + {tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\color{blue}{\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)}, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left({tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{\mathsf{PI.f32}\left(\right)}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({tau}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left({tau}^{2} \cdot \left(\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right)\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\left(\left({tau}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{3}\right) \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\left({tau}^{2} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({tau}^{2} \cdot {x}^{2}\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{3} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(tau, \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{1}{6}, tau\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 80.7%

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{tau \cdot \left(\pi + \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}}{tau \cdot \pi + \left(0.16666666666666666 \cdot tau\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]

11. Final simplification 80.7%

    \[\leadsto \frac{tau \cdot \left(\pi + \left(tau \cdot \left(tau \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)\right)}{\pi \cdot tau + \left(tau \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right)} \]
12. Add Preprocessing

Alternative 8: 78.7% accurate, 7.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right) + -0.027777777777777776\right)}{0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (/
   (*
    (* x (* x (* PI PI)))
    (+
     (* (* tau tau) (* (* tau tau) 0.027777777777777776))
     -0.027777777777777776))
   (+ 0.16666666666666666 (* -0.16666666666666666 (* tau tau))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + (((x * (x * (((float) M_PI) * ((float) M_PI)))) * (((tau * tau) * ((tau * tau) * 0.027777777777777776f)) + -0.027777777777777776f)) / (0.16666666666666666f + (-0.16666666666666666f * (tau * tau))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(x * Float32(x * Float32(Float32(pi) * Float32(pi)))) * Float32(Float32(Float32(tau * tau) * Float32(Float32(tau * tau) * Float32(0.027777777777777776))) + Float32(-0.027777777777777776))) / Float32(Float32(0.16666666666666666) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + (((x * (x * (single(pi) * single(pi)))) * (((tau * tau) * ((tau * tau) * single(0.027777777777777776))) + single(-0.027777777777777776))) / (single(0.16666666666666666) + (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 1}{\color{blue}{tau \cdot \frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   4. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{tau} \cdot \frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(tau \cdot \frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{x \cdot \pi}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(x \cdot \pi\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({tau}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 80.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 80.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right) + -0.16666666666666666\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right) \]

   2. flip-+ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \frac{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) - \frac{-1}{6} \cdot \frac{-1}{6}}{\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) - \frac{-1}{6}}}\right)\right) \]

   3. associate-*r/ N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) - \frac{-1}{6} \cdot \frac{-1}{6}\right)}{\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) - \frac{-1}{6}}}\right)\right) \]

   4. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{/.f32}\left(\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) - \frac{-1}{6} \cdot \frac{-1}{6}\right)\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) - \frac{-1}{6}\right)}\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 80.1%

   \[\leadsto 1 + \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right) + -0.027777777777777776\right)}{-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right) + 0.16666666666666666}} \]

10. Final simplification 80.1%

    \[\leadsto 1 + \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot \left(\left(tau \cdot tau\right) \cdot 0.027777777777777776\right) + -0.027777777777777776\right)}{0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)} \]
11. Add Preprocessing

Alternative 9: 78.7% accurate, 10.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \pi \cdot \left(\pi \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   (* x x)
   (+
    (* -0.16666666666666666 (* PI PI))
    (* PI (* PI (* -0.16666666666666666 (* tau tau))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((x * x) * ((-0.16666666666666666f * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) + (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * (-0.16666666666666666f * (tau * tau))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(Float32(pi) * Float32(pi))) + Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((x * x) * ((single(-0.16666666666666666) * (single(pi) * single(pi))) + (single(pi) * (single(pi) * (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 1}{\color{blue}{tau \cdot \frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   4. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{tau} \cdot \frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(tau \cdot \frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{x \cdot \pi}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(x \cdot \pi\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({tau}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 80.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 80.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right) + -0.16666666666666666\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   2. distribute-rgt-in N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) + \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   3. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right), \color{blue}{\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \frac{-1}{6}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{-1}{6}\right), \left(\color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)} \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{-1}{6}\right), \left(\left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   7. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \frac{-1}{6}\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   8. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{6}\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{6}\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. associate-*l* N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{6}\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{6}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{6}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{6}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   14. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{6}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{6}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(tau \cdot tau\right)}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 80.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \frac{-1}{6}\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{tau}\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 80.1%

   \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot -0.16666666666666666 + \pi \cdot \left(\pi \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right)} \]

10. Final simplification 80.1%

    \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\pi \cdot \pi\right) + \pi \cdot \left(\pi \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 10: 78.7% accurate, 12.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   (* x x)
   (*
    PI
    (* PI (+ -0.16666666666666666 (* -0.16666666666666666 (* tau tau))))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((x * x) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * (-0.16666666666666666f + (-0.16666666666666666f * (tau * tau))))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((x * x) * (single(pi) * (single(pi) * (single(-0.16666666666666666) + (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau))))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 1}{\color{blue}{tau \cdot \frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   4. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{tau} \cdot \frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(tau \cdot \frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{x \cdot \pi}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(x \cdot \pi\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({tau}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 80.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 80.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right) + -0.16666666666666666\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) + \frac{-1}{6}\right)\right)}\right)\right)\right) \]

   2. *-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) + \frac{-1}{6}\right)\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) + \frac{-1}{6}\right)\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) + \frac{-1}{6}\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   5. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right) + \frac{-1}{6}\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   6. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   7. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(\frac{-1}{6} \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 80.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right)\right)\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 80.1%

   \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\pi \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right) \cdot \pi\right)} \]

10. Final simplification 80.1%

    \[\leadsto 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)\right) \]
11. Add Preprocessing

Alternative 11: 78.7% accurate, 12.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+
  1.0
  (*
   (* x x)
   (*
    (* PI PI)
    (+ -0.16666666666666666 (* -0.16666666666666666 (* tau tau)))))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((x * x) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f + (-0.16666666666666666f * (tau * tau)))));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(x * x) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) + Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((x * x) * ((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) + (single(-0.16666666666666666) * (tau * tau)))));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. +-commutative N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   6. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right)\right) \]

   7. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} + \frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   13. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   14. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \color{blue}{\left({tau}^{2}\right)}\right)\right)\right)\right)\right) \]

   15. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot \color{blue}{tau}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

   16. *-lowering-*.f32 80.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, \color{blue}{tau}\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

5. Simplified 80.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 + -0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right)\right)} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 12: 69.7% accurate, 14.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* (* -0.16666666666666666 (* tau tau)) (* (* PI PI) (* x x)))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((-0.16666666666666666f * (tau * tau)) * ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (x * x)));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(tau * tau)) * Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((single(-0.16666666666666666) * (tau * tau)) * ((single(pi) * single(pi)) * (x * x)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 1}{\color{blue}{tau \cdot \frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   4. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{tau} \cdot \frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(tau \cdot \frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{x \cdot \pi}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(x \cdot \pi\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({tau}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 80.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 80.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right) + -0.16666666666666666\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in tau around inf

   \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right)}\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right), \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({tau}^{2}\right)\right), \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right), \left({x}^{\color{blue}{2}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \left({x}^{\color{blue}{2}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right)\right) \]

   9. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   10. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

   12. PI-lowering-PI.f32 72.2%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 72.2%

    \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)} \]

11. Final simplification 72.2%

    \[\leadsto 1 + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right)\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 13: 64.4% accurate, 19.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau)
 :precision binary32
 (+ 1.0 (* (* PI PI) (* -0.16666666666666666 (* x x)))))

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f + ((((float) M_PI) * ((float) M_PI)) * (-0.16666666666666666f * (x * x)));
}

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(pi) * Float32(pi)) * Float32(Float32(-0.16666666666666666) * Float32(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0) + ((single(pi) * single(pi)) * (single(-0.16666666666666666) * (x * x)));
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing
3. Step-by-step derivation

   1. clear-num N/A

      \[\leadsto \frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau} \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   2. associate-/r* N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau} \cdot \frac{\color{blue}{1}}{\frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   3. frac-times N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} \cdot 1}{\color{blue}{tau \cdot \frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}}} \]

   4. *-rgt-identity N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{tau} \cdot \frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   5. /-lowering-/.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{/.f32}\left(\left(\frac{\sin \left(\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right) \cdot tau\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}\right), \color{blue}{\left(tau \cdot \frac{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}{\sin \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 98.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sin \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)}{x \cdot \pi}}{\frac{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}{\sin \left(x \cdot \pi\right)}}} \]

5. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left({x}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right) + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   3. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(x \cdot x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot \left({tau}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} + \frac{-1}{6} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right) \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} + \color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. distribute-rgt-out N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   7. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right), \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)}\right)\right)\right) \]

   8. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   9. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right), \left(\color{blue}{\frac{-1}{6}} \cdot {tau}^{2} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   11. PI-lowering-PI.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \left(\frac{-1}{6} \cdot \color{blue}{{tau}^{2}} + \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   12. +-lowering-+.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {tau}^{2}\right), \color{blue}{\frac{-1}{6}}\right)\right)\right)\right) \]

   13. *-lowering-*.f32 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({tau}^{2}\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   14. unpow2 N/A

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(tau \cdot tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

   15. *-lowering-*.f32 80.1%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(x, x\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right), \mathsf{+.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(tau, tau\right)\right), \frac{-1}{6}\right)\right)\right)\right) \]

7. Simplified 80.1%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(tau \cdot tau\right) + -0.16666666666666666\right)\right)} \]

8. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1 + \frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. +-lowering-+.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \color{blue}{\left(\frac{-1}{6} \cdot \left({x}^{2} \cdot {\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)}\right) \]

   2. associate-*r* N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right) \cdot \color{blue}{{\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}}\right)\right) \]

   3. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\left(\frac{-1}{6} \cdot {x}^{2}\right), \color{blue}{\left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

   4. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left({x}^{2}\right)\right), \left({\color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}}^{2}\right)\right)\right) \]

   5. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \left(x \cdot x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   6. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left({\mathsf{PI}\left(\right)}^{2}\right)\right)\right) \]

   7. unpow2 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \left(\mathsf{PI}\left(\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   8. *-lowering-*.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI}\left(\right), \color{blue}{\mathsf{PI}\left(\right)}\right)\right)\right) \]

   9. PI-lowering-PI.f32 N/A

      \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)\right) \]

   10. PI-lowering-PI.f32 67.4%

       \[\leadsto \mathsf{+.f32}\left(1, \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{*.f32}\left(\frac{-1}{6}, \mathsf{*.f32}\left(x, x\right)\right), \mathsf{*.f32}\left(\mathsf{PI.f32}\left(\right), \mathsf{PI.f32}\left(\right)\right)\right)\right) \]

10. Simplified 67.4%

    \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)} \]

11. Final simplification 67.4%

    \[\leadsto 1 + \left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]
12. Add Preprocessing

Alternative 14: 63.4% accurate, 219.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau) :precision binary32 1.0)

C

float code(float x, float tau) {
	return 1.0f;
}

Fortran

real(4) function code(x, tau)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: tau
    code = 1.0e0
end function

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(1.0);
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

3. Taylor expanded in x around 0

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
4. Step-by-step derivation

5. Simplified 66.4%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]
6. Add Preprocessing

Alternative 15: 6.3% accurate, 219.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x tau) :precision binary32 0.0)

C

float code(float x, float tau) {
	return 0.0f;
}

Fortran

real(4) function code(x, tau)
    real(4), intent (in) :: x
    real(4), intent (in) :: tau
    code = 0.0e0
end function

Julia

function code(x, tau)
	return Float32(0.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x, tau)
	tmp = single(0.0);
end

Derivation

1. Initial program 98.0%

   \[\frac{\sin \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau\right)}{\left(x \cdot \pi\right) \cdot tau} \cdot \frac{\sin \left(x \cdot \pi\right)}{x \cdot \pi} \]
2. Add Preprocessing

4. Applied egg-rr 72.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\cos \left(x \cdot \left(\pi \cdot \left(tau - 1\right)\right)\right)}{2}}{x \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)\right)} - \frac{\frac{\cos \left(\left(x \cdot \pi\right) \cdot \left(tau + 1\right)\right)}{2}}{x \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)\right)\right)}} \]

6. Applied egg-rr 61.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\cos \left(\left(\pi \cdot x\right) \cdot \left(tau + -1\right)\right)}{2}}{\pi \cdot x} - \frac{\frac{\cos \left(\pi \cdot \left(x \cdot \left(tau + 1\right)\right)\right)}{x \cdot 2}}{\pi}}{\pi \cdot \left(x \cdot tau\right)}} \]

7. Taylor expanded in tau around 0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(-1 \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(-1 \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \frac{\cos \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{tau} \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   2. cos-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(-1 \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \frac{\cos \left(\mathsf{neg}\left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   3. mul-1-neg N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(-1 \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} + \left(\mathsf{neg}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \frac{\cos \left(-1 \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   4. cancel-sign-sub-inv N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(-1 \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(-1 \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{\color{blue}{tau} \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} \]

   5. div-sub N/A

      \[\leadsto \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(-1 \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)} - \color{blue}{\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos \left(-1 \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)\right)}{x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)}}{tau \cdot \left(x \cdot \mathsf{PI}\left(\right)\right)}} \]

   6. +-inverses 6.3%

      \[\leadsto 0 \]

9. Simplified 6.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]
10. Add Preprocessing

Reproduce

herbie shell --seed 2024161 
(FPCore (x tau)
  :name "Lanczos kernel"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 1e-5 x) (<= x 1.0)) (and (<= 1.0 tau) (<= tau 5.0)))
  (* (/ (sin (* (* x PI) tau)) (* (* x PI) tau)) (/ (sin (* x PI)) (* x PI))))